基本不等式在最值问题中的应用归纳

不等式中最值问题全梳理

教师专用（2020.8.23）

题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题

例题1 若方程

ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则22

12x x +的取值范围是（ ）

A ．()1,+∞

B

．

)

+∞

C ．

()2,+∞ D ．()0,1

【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为

ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞，12,Inx m Inx m =-=

故可得()120In x x =，解得211x x =

，则22

12x x +

=212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题2

2291

sin cos αα

+的最小值为（ ）

A ．2

B ．16

C ．8

D ．12

【分析】利用22sin cos 1αα+=将

22

91sin cos αα

+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵2

2

sin cos 1αα+=，∴()22

2222

9191sin cos sin cos sin cos αααααα

⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭

2222

sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，2

1cos 4α=时“=”成立，故22

91

sin cos αα

+的最小值为16. 【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最

值，属于基础题.

例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y

n －4＝0(m >0，n >0)上，则

m ＋n 的最小值为________．

【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1

n

＝4，

∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝1

4(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭

⎫

2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.

题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题

例题4 已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪

-+≤⎨⎪≥⎩

，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中

0,0m n >>），则

11

2m n

+的最小值为（ ） A ．3

B ．1

C ．2

D ．

32

【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，利用不等式求得

11

2m n

+最小值. 【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函

数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.

(

)11111151519322323232322

n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且

仅当

,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为3

2

.故选：D

【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想

方法，属于中档题.

题型三 基本不等式与数列相结合的最值问题

例题5 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）

A ．最大值为4-

B ．最小值为4

C ．最小值为4-

D ．最大值为4或4-

【解析】因为122a a =-，由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=

-，变形可得11

2

d a a =--

因为数列{}n a 为递增数列,所以11

2

0d a a =--

>，即10a <，而由等差数列通项公式可知312a a d =+()11111242a a a a a ⎛⎫

⎛⎫=+--

=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()

31144a a a ⎛⎫

=-+-≥= ⎪⎝⎭，

当且仅当12a =-时取得等号，所以3a 的最小值为4。 例题6 已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1

ab 的最小值为________． 【解析】由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝⎛

⎭⎫2a ＋b 22

＝4，

当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以

1ab 的最小值为12

. 题型四 基本不等式与向量相结合的最值问题

例题7 如图所示,已知点G 是

ABC 的重心,过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N 两点，且

AM xAB =，AN yAC =，则3x y +的最小值为______.

【分析】根据重心的性质有133

1

AG AB AC =

+,再表达成,AM AN 的关系式,再根据M ,G ,N 三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.

【解析】根据条件：1AC AN y =

,1AB AM x =,又133

1

AG AB AC =+,1133AG AM A x y N ∴=+. 又M ,G ,N 三点共线,11

331y x

∴

+=. (

)114433333333x x y x y x y y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+=

⎪⎝⎭

. 3x

y ∴+的最小值为

3,当且仅当3x y y x =时“=

”成立.故答案为：

3

. 题型五 基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题