结构力学 静定结构的受力分析

第1节 静定平面桁架一、桁架的内力计算方法1、结点法取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。

该法最适用于计算简单桁架。

根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。

（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。

（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。

推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。

F N3F N3=0F N1=F N2=0F N3=F N4(a)(b)(c)F N4(d)F N3=F PF PN1F F N2F N1F N2F N1F N2F N1F N2F N3F N3F N1=F N2，F N1=F N2，F N1=F N2，图2-2-1（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。

例如图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。

1A2F PF PAF PF PBF PF PBA(b)(a)X =0图2-2-2 图2-2-3（5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。

如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。

（6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。

如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。

其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。

0B F PF PF PF PB－A'B'A －A(a)(b)图2-2-42、截面法截面法取出的隔离体包含两个以上的结点，隔离体上的外力与内力构成平面一般力系，建立三个平衡方程求解。

该法一般用于计算联合桁架，也可用于简单桁架中少数杆件的计算。

在用截面法计算时，充分利用截面单杆，也能使计算得到简化。

截面单杆的概念：在被某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆称为截面单杆。

截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。

截面单杆可分为两种情况：（1）截面只截断三根杆，且此三根杆不交于一点，则其中每一杆都是截面单杆。

计算时，对其中两杆的交点取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三杆的轴力，如图2-2-5（a ）中，CD 、AD 、AB 杆都是截面m-m 的单杆。

E(a)(b)BA FDF NCDF NADF NABF PF RFmmCmm (a)aa(b)m m图2-2-5 图2-2-6（2）截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆也是截面单杆，如图2-2-6(a),（b ）中，a 杆是截面m-m 的单杆。

3、结点法与截面法的联合应用联合应用结点法和截面法可以求解复杂桁架（求解复杂桁架也可以用下面讲到的通路法和代替杆法）。

4、通路法（初参数法）通路法和代替杆法主要用于求解复杂桁架。

通路法的基本思路是从三杆相交的结点中取任一杆件的轴力作为初参数x （待定），由此结点出发，沿着可以用结点法求解的一个回路依次取结点算出各杆轴力与x 的关系，最后利用闭合条件求出x 后，再计算其余各杆轴力。

C 6F P113910F D AF P /2102G E F P /287aaB45aaaa图2-2-7例如图2-2-7中，设x F N =4，依次取结点E 、G 、F 和B 。

由结点E ，求得x F N 2328=， x F N 356-=；由结点G ，求得x F N 3511=， x F N 3139-=；由结点F ，得x F N 31310-=， x F N 2327=；由结点B ，得2324P N Fx F -=。

根据闭合条件有（这里杆4的轴力从结点E 经G 、F 到B 所求的应该相等），232P F x x -=解得P N F x F 234-== 已知F N4后，可求出其余各杆轴力，结果见表2-1。

表2-1杆号 1，2 3，4 5，6 7，89，10 11 轴力（×F P ）－3/2 －3/2 2/52- 2/13－5/2 杆长2aa5a2a13a2a5、代替杆法此法是利用更换杆件连结部位使复杂桁架变成简单桁架，并使新桁架与原桁架等价（各杆轴力相同）以求得原桁架轴力。

例如图2-2-7中，把AG 杆改为CF 杆，就变换为图2-2-8（a ）所示的简单桁架。

如果新桁架在原有荷载和F NAG （真值）共同作用下使新杆轴力F NCF 为零，那么根据静定内力解答唯一性，新桁架的各杆轴力就是原桁架各杆轴力。

AC DF NAG(a)FG BAE50623－05120413(b)F F P /2F P /2F P /2F P /2F PF P F PF PF PF NP 图PF NAG－5-5535A -31692-05-3( c)342-2-52-2121333-23-23-2525232-2-( d)13 252--2F N 1)(×13图图N F F PF P F PF PF P F P F P F P F PG F P F P213图2-2-8下面讨论具体计算步骤。

（1）分别求新桁架在原荷载单独作用下和在被替换杆的轴力为单位力作用下各杆的轴力F NP 和N F ，如图2-2-8（b ）和（c ）所示。

（2）对CF 杆建立0=+AG N N NP F F F ，即：0135655125=-AGN P F F ，求得P AG N F F 213= （3）按NAG N P N N F F F F +=求得原桁架各杆轴力F N ，本例结果如图（d ）所示，与表2-1所得结果相同。

注意：用代替杆法分析桁架内力的关键是选取被代替杆。

选取的原则是拆除此杆后所确定的代替桁架易于内力计算。

例2-2-1 用杆件代替法求图2-2-9所示桁架的内力F N1。

（同济大学1998）aa 2aA D aaa (a)(b)D 1CA B000D00132 51CB A (c)－2/3C B X 1=1F PF P F P /2F P /2-F P /2F N 图F NP 图－1－122 2 5332 22 232图2-2-9解: （1）确定代替桁架。

取B 支座链杆为被代替杆，代替桁架如图b 所示。

（2）建立等价条件。

对CD 杆有01=+X F F CDN CD NP 。

对图b 的代替桁架先求支座反力，判断零杆。

然后取结点D ，由0=∑y F ，求得2/P CDNP F F -= ；在代替桁架的被代替杆位置作用单位力11=X （图c ），求得；32-=CDNF， 代入等价条件求得)(432321↓-=⨯-=-=P P CDNCDNP F F F F X （3）求F N1P P N NP N F F X F F F 25)43(35201111-=-+=+=（压力） 四、桁架内力计算的技巧（1）先判断是否有零杆，以减少计算量。

（2）用截面法时，尽量利用截面单杆的概念，使一个平衡方程只包含一个未知力，避免解联立方程。

（3）利用对称性简化计算。

五、例题解析（一）零杆的应用例2-2-2 图2-2-10a 所示桁架零杆（包括支座链杆）的数目为：（ ）（浙江大学2005） A 、3根； B 、5根； C 、7根； D ．9根。

aaaaa /2a(a)(b)00F PF PF PF P图2-2-10答案：C 。

利用对称，零杆示于图b 。

例2-2-3 图2-2-11a 所示对称桁架中，零杆的根数为（不含支座链杆） 。

(中南大学2005)0000F P F PF PF P(b)(a)图2-2-11答案：8根。

零杆示于图b 。

例2-2-4 图2-2-12a 所示结构桁架杆件零杆的个数为 。

(南京工业大学2005)000F PF PF PF P(a)(b)图2-2-12答案：7根。

示于图b 。

例2-2-5 图2-2-13a 桁架中的零杆数（包括支座链杆）为 。

（西安建筑科技大学2004）b6a00000F P /2F P /2F P /2F P /2(b)(a)F PF P图2-2-13答案：17根。

提示：根据静定结构的性质——如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受力，其余部分不受力。

零杆示于图b 。

例2-2-6 如图2-2-14a 所示桁架结构1杆轴力一定为：（ ）（一级注册结构工程师基础考试复习题）A 、拉力；B 、压力；C 、零；D 、需要给出内部三个铰的位置才能确定具体受力性质。

答案：C 。

解：取I-I 截面内部为隔离体，对任意两个未知力的交点取矩，都可求出第三个未知力等于零，进一步得出组成内部三角形的杆件都是零杆，因此1杆的轴力等于零。

1II1BACF P(a)(b)F PF PF PF P(b )0(a )图2-2-14 图2-2-15例2-2-7 判断图2-2-15a 所示结构零杆的个数。

答案：4根，见图b 。

提示：反对称荷载下，对称轴处的竖杆为零杆。

例2-2-8 求图2-2-16a 所示桁架C 支座反力和杆件1的轴力。

(同济大学2006)CFDABE1(b)(a)GEBA DF CaaaF P F P 1F PDF N1F ND F CF NC FF NC GF RCGaaaa图2-2-16解：首先判断零杆，分析可知杆FB 、DB 、AG 均为零杆，去除零杆后，原结构变为图b 所示。

用结点法，取D 结点分析P DF N P DF N xF F F F F20220-=⇒=+⇒=∑，P N N DF N y F F F F F -=⇒=-⇒=∑110220(压力) 由结点F 易知，P D F N CF N F F F 2-== 再取C 结点分析P CF N CG N xF F F F20-==⇒=∑P RC RC CG N CF N yF F F F F F20)(220=⇒=++⇒=∑ (↓) 例2-2-9 求出图2-2-17a 所示桁架体系中1、2、3杆的轴力。

(中国矿业大学2005)解：先判断零杆（图b ），F N1＝0，再由结点B 、A 受力平衡可求出P N P N F F F F 49,2523-=-=。

F PF P3213m2m F PF P3210A B 04m4m(a)(b)l ll ll lcbaAF P图2-2-17 图2-2-18例2-2-10 计算图2-2-18所示桁架中杆件a 、b 、c 的轴力。