结构力学 静定结构的受力分析

第1节 静定平面桁架

一、桁架的内力计算方法

1、结点法

取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。该法最适用于计算简单桁架。

根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：

（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。

（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。

（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。

F N3

F N3=0

F N1=F N2=0

F N3=F N4(a)

(b)(c)F N4

(d)F N3=F P

F P

N1F F N2

F N1

F N2

F N1

F N2

F N1

F N2

F N3

F N3

F N1=F N2，F N1=F N2，

F N1=F N2，

图2-2-1

（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。例如

图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。

1A

2

F P

F P

A

F P

F P

B

F P

F P

B

A

(b)(a)

X =0

图2-2-2 图2-2-3

（5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。

（6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。

0B F P

F P

F P

F P

B

－

A'

B'

A －

A

(a)

(b)

图2-2-4

2、截面法

截面法取出的隔离体包含两个以上的结点，隔离体上的外力与内力构成平面一般力系，建立三个平衡方程求解。该法一般用于计算联合桁架，也可用于简单桁架中少数杆件的计算。

在用截面法计算时，充分利用截面单杆，也能使计算得到简化。

截面单杆的概念：在被某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆称为截面单杆。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。

截面单杆可分为两种情况：

（1）截面只截断三根杆，且此三根杆不交于一点，则其中每一杆都是截面单杆。计算时，对其中两杆的交点取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三杆的轴力，如图2-2-5（a ）中，CD 、AD 、AB 杆都

是截面m-m 的单杆。

E

(a)

(b)B

A F

D

F NCD

F NAD

F NAB

F P

F RF

m

m

C

m

m (a)a

a

(b)

m m

图2-2-5 图2-2-6

（2）截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆也是截面单杆，如图2-2-6(a),（b ）中，a 杆是截面m-m 的单杆。

3、结点法与截面法的联合应用

联合应用结点法和截面法可以求解复杂桁架（求解复杂桁架也可以用下面讲到的通路法和代替杆法）。

4、通路法（初参数法）

通路法和代替杆法主要用于求解复杂桁架。

通路法的基本思路是从三杆相交的结点中取任一杆件的轴力作为初参数x （待定），由此结点出发，沿着可以用结点法求解的一个回路依次取结点算出各杆轴力与x 的关系，最后利用闭合条件求出x 后，再计算其余各杆轴力。

C 6

F P

11

3

910

F D A

F P /2102

G E F P /2

8

7

a

a

B

4

5a

a

a

a

图2-2-7

例如图2-2-7中，设x F N =4，依次取结点E 、G 、F 和B 。由结点E ，求得x F N 2328=， x F N 3

5

6-=；

由结点G ，求得x F N 3511=， x F N 3

139-=；由结点F ，得x F N 31310-=， x F N 2327=；由结点B ，

得2

324P N F

x F -=。

根据闭合条件有（这里杆4的轴力从结点E 经G 、F 到B 所求的应该相等），232P F x x -=

解得P N F x F 2

3

4-

== 已知F N4后，可求出其余各杆轴力，结果见表2-1。

表2-1

杆号 1，2 3，4 5，6 7，8

9，10 11 轴力（×F P ）

－3/2 －3/2 2/5

2- 2/13

－5/2 杆长

2a

a

5a

2a

13a

2a

5、代替杆法

此法是利用更换杆件连结部位使复杂桁架变成简单桁架，并使新桁架与原桁架等价（各杆轴力相同）以求得原桁架轴力。例如图2-2-7中，把AG 杆改为CF 杆，就变换为图2-2-8（a ）所示的简单桁架。如

果新桁架在原有荷载和F NAG （真值）共同作用下使新杆轴力F NCF 为零，那么根据静定内力解答唯一性，新桁架的各杆轴力就是原桁架各杆轴力。

A

C D

F NAG

(a)

F

G B

A

E

50

6

23－0

5120

4

13

(b)

F F P /2

F P /2

F P /2

F P /2

F P

F P F P

F P

F P

F NP 图P

F NAG

－5

-5535

A -3

16

92

-0

5

-3

( c)

3

42-2-5

2

-212

1333-2

3-2

3-2

5252

32-2-( d)

13 252

--2F N 1

)

(×13图图

N F F P

F P F P

F P

F P F P F P F P F P

G F P F P

213

图2-2-8

下面讨论具体计算步骤。

（1）分别求新桁架在原荷载单独作用下和在被替换杆的轴力为单位力作用下各杆的轴力F NP 和N F ，如图2-2-8（b ）和（c ）所示。

（2）对CF 杆建立0=+AG N N NP F F F ，即：013

5655125=-AG

N P F F ，求得P AG N F F 213= （3）按NAG N P N N F F F F +=求得原桁架各杆轴力F N ，本例结果如图（d ）所示，与表2-1所得结果相同。

注意：用代替杆法分析桁架内力的关键是选取被代替杆。选取的原则是拆除此杆后所确定的代替桁架易于内力计算。

例2-2-1 用杆件代替法求图2-2-9所示桁架的内力F N1。（同济大学1998）

a

a 2a

A D a

a

a (a)(b)

D 1C

A B

000D

00

1

3

2 51C

B A (c)

－2/3C B X 1=1

F P

F P F P /2F P /2

-F P /2

F N 图

F NP 图

－1

－1

2

2 2 53

32 22 232

图2-2-9

解: （1）确定代替桁架。取B 支座链杆为被代替杆，代替桁架如图b 所示。

（2）建立等价条件。对CD 杆有0

1=+X F F CD

N CD NP 。对图b 的代替桁架先求支座反力，判断零杆。然

后取结点D ，由0=∑

y F ，

求得2/P CD

NP F F -= ；在代替桁架的被代替杆位置作用单位力11=X （图c ），求得；32

-=CD

N

F

， 代入等价条件求得)(432321↓-=?-=-=P P CD

N

CD

NP F F F F X （3）求F N1

P P N NP N F F X F F F 2

5

)43(352011

11-=-+

=+=（压力） 四、桁架内力计算的技巧

（1）先判断是否有零杆，以减少计算量。

（2）用截面法时，尽量利用截面单杆的概念，使一个平衡方程只包含一个未知力，避免解联立方程。

（3）利用对称性简化计算。

五、例题解析

（一）零杆的应用

例2-2-2 图2-2-10a 所示桁架零杆（包括支座链杆）的数目为：（ ）（浙江大学2005） A 、3根； B 、5根； C 、7根； D ．9根。

a

a

a

a

a /2

a

(a)

(b)

00

F P

F P

F P

F P

图2-2-10

答案：C 。利用对称，零杆示于图b 。

例2-2-3 图2-2-11a 所示对称桁架中，零杆的根数为（不含支座链杆） 。(中南大学2005)

0000

F P F P

F P

F P

(b)

(a)

图2-2-11

答案：8根。零杆示于图b 。

例2-2-4 图2-2-12a 所示结构桁架杆件零杆的个数为 。(南京工业大学2005)

000

F P

F P

F P

F P

(a)

(b)

图2-2-12

答案：7根。示于图b 。

例2-2-5 图2-2-13a 桁架中的零杆数（包括支座链杆）为 。（西安建筑科技大学2004）

b

6a

000

00

F P /2

F P /2

F P /2F P /2

(b)

(a)

F P

F P

图2-2-13

答案：17根。提示：根据静定结构的性质——如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受力，其余部分不受力。零杆示于图b 。

例2-2-6 如图2-2-14a 所示桁架结构1杆轴力一定为：（ ）（一级注册结构工程师基础考试复习题）

A 、拉力；

B 、压力；

C 、零；

D 、需要给出内部三个铰的位置才能确定具体受力性质。 答案：C 。

解：取I-I 截面内部为隔离体，对任意两个未知力的交点取矩，都可求出第三个未知力等于零，进一步得出组成内部三角形的杆件都是零杆，因此1杆的轴力等于零。

1

I

I

1

B

A

C

F P

(a)

(b)

F P

F P

F P

F P

(b )0

(a )

图2-2-14 图2-2-15

例2-2-7 判断图2-2-15a 所示结构零杆的个数。

答案：4根，见图b 。提示：反对称荷载下，对称轴处的竖杆为零杆。

例2-2-8 求图2-2-16a 所示桁架C 支座反力和杆件1的轴力。(同济大学2006)

C

F

D

A

B

E

1

(b)

(a)

G

E

B

A D

F C

a

a

a

F P F P 1

F P

D

F N1F ND F C

F NC F

F NC G

F RC

G

a

a

a

a

图2-2-16

解：首先判断零杆，分析可知杆FB 、DB 、AG 均为零杆，去除零杆后，原结构变为图b 所示。用结点法，取D 结点分析

P DF N P DF N x

F F F F F

20220-=?=+?

=∑，P N N DF N y F F F F F -=?=-?=∑1102

20(压力) 由结点F 易知，P D F N CF N F F F 2-== 再取C 结点分析

P CF N CG N x

F F F F

20-==?=∑

P RC RC CG N CF N y

F F F F F F

20)(2

2

0=?=++?

=∑ (↓) 例2-2-9 求出图2-2-17a 所示桁架体系中1、2、3杆的轴力。(中国矿业大学2005)

解：先判断零杆（图b ），F N1＝0，再由结点B 、A 受力平衡可求出P N P N F F F F 4

9,2

52

3-=-=。

F P

F P

3

2

1

3m

2m F P

F P

3

2

10

A B 0

4m

4m

(a)(b)

l l

l l

l l

c

b

a

A

F P

图2-2-17 图2-2-18

例2-2-10 计算图2-2-18所示桁架中杆件a 、b 、c 的轴力。（重庆大学2005） 解：先判断零杆，易得0,0==c N a N F F ，再取A 结点，得P b N F F -=（压力）。

（二）结点法与截面法

例2-2-11 图2-2-19所示静定平面桁架，在荷载作用下，杆件1的轴力F N1= ,杆件2的轴力F N2＝ 。(湖南大学2006)

10kN F P =3m 3m

12A

B C

I

I

II II

D

E

4m 4m

4m

图2-2-19

解：法一、截面法。先取I-I 截面右侧分析，由∑=0D M 求出kN F NAB 3/20=(拉力)。再取II-II 截面右侧分析，由

∑=0E

M

求出kN F N 3/251-=(压力)。最后由C 结点水平方向受力平衡求出

kN F F N N 3/2512=＝－(拉力)。

法二、截面法与结点法的联合应用

先取II-II 截面右侧分析，由∑=0y F 得01021=+-y y F F 。再取结点C 分析，由∑=0x F 得021=+x x F F ，联立求解方程即得答案。

例2-2-12 图2-2-20a 所示桁架a 杆的内力F Na ＝ 。（湖南大学2004）

a

30kN 4m

3m

α

30kN

F Na

(a)

(b)

3m

3m

3m

3m

3m

图2-2-20

解：用截面法截取上半部分分析（图b ）。由()拉力kN F F F a N a N x 5030cos 0=?=?=∑α。 例2-2-13 试分析图2-2-21所示桁架并计算杆1、2、3的轴力F N1、F N2和F N3。（同济大学2005）

F N1

F N2

F

F N4

F NBE

F N3

F yB

B F P

F yA

F xA

F yB

F P

I II

II

I

A

C D

B E

3a

3a 2a

2a

2a

2a

2a

2a

3

2

1

3F P

2F P

4G

F F NFG

图2-2-21

解：由整体

∑x

F

＝0得F xA ＝F P ；∑A M ＝0得F yB ＝3F P ；

∑y

F

＝0得F yA ＝2F P

作I －I 截面，分析左侧，

∑c

M

＝0得F N2＝－3

34F P ＝－2.309F P

分析结点B ，∑y F ＝0即F NBE sin60°＋F yB ＝0得F NBE ＝－32F P

∑x

F

＝0即F N3＋F NBE cos60°＝F P 得F N3＝2.732F P

作II －II 截面，分析左侧，∑C M ＝0 可得F N4＝－3

34F P

分析结点F ，NFG N y F F F -=?=∑10，0260cos 0214=-?+?=∑N N N x F F F F ?F N1＝0；

综上，F N1＝0， F N2＝－2.309F P （压力）， F N3＝2.732F P （拉力） 例2-2-14 求图2-2-22所示桁架结构杆1和杆2的轴力。(西南交大2005)

2

1d /2d /2

4×d I

I B

A

C

II II D

E

F

F RC

F P

F P

图2-2-22

解：选取I —I 截面，取右侧分析，

2

0C P R B

F F M

=

?∑＝； 再取II-II 截面右侧分析，2

02P N D

F F M

-

=?∑＝(压力)。 再取结点F 、E 分析，易得 P N F F 21=（拉力）。

例2-2-15 计算图2-2-23a 桁架中a 、b 、c 杆的轴力。（中国矿业大学2006）

2m 3m

2m

2m

3m

14kN a b c

A B C

D

F

E 14b

A D E

14

40

F Na

F NAB

F NC

t 70kN (a)

(b)

图2-2-23

解：按与几何组成相反的顺序进行内力分析，即求出支座反力后，截断AB 、CD 、EF 三根杆件，取三角形ADE 作受力分析（图b ）：

由；00=?=∑NC x F F 100-=?=∑

Na A F M kN(压力) 再由结点D ，

0=∑t

F

得kN F Nb 9.945cos 14=?= （拉力）

。 例2-2-16 试求图2-2-24a 所示桁架中a 杆和b 杆的内力。(北京科技大学2004)

/2F P

F P F P F P

F P

F P F P /2

B

A

II II

I I

a

b 3m

3m 6×4m

F Nb 3F P

F P

F P F P /2

A

B

F Na

α

F Nb

3F P

F P F P

F P

/2A

(c)(b)(a)

图2-2-24

解：先取Ⅰ－Ⅰ截面以左分析（图b ）。

由P Nb P P P Nb A F F F F F F M 3804828360-=?=?-?-?+??=∑（压力）。

再取Ⅱ－Ⅱ截面以左分析（图c ），

由048122

1236cos 60=?-?-?-?+?+??=∑P P P P Na Nb B F F F F F F M αP Na F F 12

5-=?（压力）。

例2-2-17 请求出图2-2-25a 所示桁架a ，b 杆的内力。(华中科技大学2004)

l

l

l

l

l

l

G F I

E J N

M

L

K

H B D

C

A

b a

(a)(b)

2F P

F P

G

F

I E J

N

M

L

K

H B

D

C

A

II

I I II

a

b

2F P

F P

F yB

F yA

4F P /3

5F P /3

C

45

2F P

F Na

F Nb

4F P /9

5F P /9

图2-2-25

解：取整体分析，易得：P A

y P B y F F F F 3

53

4==，

取Ⅰ－Ⅰ截面以左为研究对象，由P CA N P CA N L F F l F l F M 9

503

530=?=?-??=∑(拉力)；

再取Ⅱ－Ⅱ截面以右为研究对象，由P CD N P CD N M F F l F l F M 9

403

430=?=?-??=∑(拉力)；

最后，取结点C 为研究对象，由P a

N P P a N x F F F F F F 9

29

59

445cos 0=?=+??=?∑（拉力）；由

9

170245sin 0P b N P a N b N y F F F F F F =

?=-?+?=∑ （拉力） 例2-2-18 求图2-2-26a 所示桁架中1、2杆件的轴力。(北京交大2006)

a

F P

2

1

(b)

(a)

1

F P

20

I I

F G

H

D

E

C

B

A

(d)

NGD

F RD

F D

F P

(c)F

G

F N2NGD

F F N1

4a

F RA

图2-2-26

解：先将零杆示于图b ，取I-I 截面以左部分分析（图c ），

P NGD NGD

P F F F a F a F M 5051

0-=?=??+??=∑(压力) 取D 点（图d ），P D R y F F F =?=∑0(↑)。再对整体分析：

由()

↑=?=?+?-??=∑2/0340P A R P P A R E F F a F a F a F M ，则2/P AF N F F -=(压力)。 取结点F 分析，可求得P N F F 2

51=(拉力)，P NFG F F -=(压力)，

最后分析结点G ，由∑=0x F 得P N F F =2(拉力)。

例2-2-19 求图2-2-27a 所示桁架各杆的轴力。（西南交大2006）

a

a

a

a

2a

G

E

F

D

C

B

A

E F

D

C

B A

I

I

0000

RD

F (b)

(a)

G

F P

F P F P

F P F P － F P 2

图2-2-27

解：取Ⅰ－Ⅰ截面左半部分为研究对象，由0=∑G M 可得A 支座的反力等于零，从而可以判断出更多的零杆，剩下杆件的轴力也极易求出，见图b 。

例2-2-20 对图2-2-28a 所示桁架结构，（1）指出零杆；（2）求出支座反力；（3）求出其余杆的轴力。(西安建筑科技大学2003)

C

B a

a

a

a

a

(a)

(b)D C

B F yA F yB

F P

2- 2000

000

-0.522

-0.5

-0.5（ ）

F P 1

0.50.5

N F F P

F xD F xC

D

A

A

图2-2-28

解：过程略，零杆和其余杆的轴力示于图b 。支座反力()()→=←=P xC P xD F F F F 5.0,5.0；

()()↓=↑=P yA P yB F F F F 5.05.1，。

例2-2-21 计算图2-2-29a 所示桁架各杆的内力。其中，板面承受3m 宽的水压力。(清华大学2004)

1m

2m

2.5m

1.5m

板面

水

q

1m

1.5m

2m 2.5m

A

75kN

C 20kN

E

F

40kN B

D

(b)

(a)

(c)

F

－4784.67

-757.57

-24.54

47.7

40.91

－47-40.91

24.55

110.5

9.415

M 图(kN m)F N (kN)

20.1

35

图(kN)

Q F 40

40

图2-2-29

解：计算简图如图b ，图中m kN bh q /903310=??==γ，再将线性力化为结点力，用结点法或截面法求得各杆轴力如图c ，梁式杆的弯矩图和剪力图也见图c ，注意：弯矩图为三次曲线，剪力图为二次曲线。

例2-2-22 试求图2-2-30a 所示桁架指定杆件的内力F N1、F N2。

E a

a

a (a)

F A 1C B

G D E F NDE F (d)NDF

F N1

h

D

h h 2

(b)F C

NCA

F F F N1F NDF

(c)NGE NGE

F NFD

F

F G

D N2

II II I I F P

F P

F NCB E F N2

(e)F NDE

NGE

F

图2-2-30

解： 作闭合截面I-I ，则所截得四根杆件，除NGE F 外，其余各杆内力均交于结点C （图b ），由

P GE x C

F h

a F M

=

?=∑0

再取II-II 截面以上部分为隔离体（图c ），P xEG xDF x F h

a

F F F ==?=∑0 结点D （图d ），P yD F N y

F F F F

-=-=?=∑10 结点E （图e ），

P yG E N y

F F F F

-=-=?=∑20

（三）对称性的利用

例2-2-23 图2-2-31a 所示桁架结构杆1的轴力为零。（ ）（天津大学2005）

8a

1

a

a F P

F P

F P

F P

(a)

0(b)F P

F P

F P

F P

图2-2-31

答案：√。提示：将原荷载分成正对称和反对称（图b ），两图中杆1轴力均为零。 例2-2-24 图2-2-32a 所示桁架支座A 的反力（向上为正）是：（ ）（大连理工2005） A 、F P ； B 、2 F P ； C 、F P /2； D 、0。

2d 2d 2d

d d

A

F P F P

00

00

02F P

F P

F P

A

(a)

(b)

图2-2-32

答案：B 。提示：先判断零杆，可知，两端支座反力都是零，易得答案。 例2-2-25 求图2-2-33a 所示桁架中a 、b 杆的内力F N a 、F N b 。（南京工业大学2005）

d

b a d

6d

00

I a b

I

F P F P F P F P

F P F P

F P F P

(a)

(b)

图2-2-33

提示：先判断零杆，再取I-I 截面以上计算。P Na F F 23

=

（拉力）

，P Nb F F 2

23-=(压力)。 例2-2-26 计算在图2-2-34a 所示荷载作用下静定桁架中指定杆的轴力Nc Nb Na F F F 和、。(长安大学2007)

0.5m

1.5m

4m

1m 1m 2m

2m 2m 2m

F P

F P

F P

F P

F P

F P

(a)

(b)

F P

F P

F P

F P

F P

000

00F P

F P

F P

a

b

c c

b

a c

b

(c)

A 000

F P

图2-2-34

解：由于荷载反对称，可判断出A 支座的竖向反力为零，见图b ，又由整体

0=∑x

F

，得A 支座

的水平反力为零，从而判断出更多的零杆，故有0=Na F 。再取对称轴右半部分分析，由结点法易得，

P Nb F F =（拉力）

，2

P Nc F

F -=(压力)。 例2-2-27 图2-2-35a 所示桁架分别承受图a 、b 所示两种荷载，试写出二者内力相同的杆件号。（西南交大2000）

a

a

1

7

8

2

39

2a

a

a

9

6

4

5a

7

8

6

3

4

1

5

F P

F P

2F P

1

7

8

(c)

2

39

5

64000

0000F P

F P

(a)

(b)

图2-2-35

解： 图（a ）等于图（b ）加图（c ），因此本题实际上是要找出图（c ）中的零杆。图（c ）是反对称

荷载，很容易判断出整个结构的零杆，示于图c 中。

（四）代替杆法与通路法

例2-2-28 试求出图2-2-36a 所示桁架的支座反力RB F 和HC F 。（同济大学2000）

D

D

a

a

A

E

a

B

F

E

A

B

F

(a)

C

a

(b)

C

E

A

B

-1

(c)

D

C

F

X 1=1

1

1

1

F P

F P

F P /2

F P

F N 图

F NP 图

图2-2-36

解： 取支座C 为被代替杆，代替桁架如图（b ）,则对CD 杆有0)1(011=-+?=+X F X F F P N NP ，解方程得P F X =1，因此，)(1←==P C H F X F ，再对整体分析可得)(2

↓=P

RB F F