传热学-第四章.
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
, v m ,n
0
如果x=y ，则
t m ,n 1 v ,m , n 2 t m1,n t m1,n t m,n 1 t m,n 1 x 4
对于无内热源，且x=y
t m,n 1 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4
2t x 2 i
ti 1 2ti ti 1 x 2
t 例：有人对一阶导数 提出了如下表达式 x n
3tn 5tn 1 tn2 t x n 2x 2
试判断该表达式是否正确，为什么？ t 解： 表达式实质是用tn、tn+1及tn+2三点差商表达一阶导数 x n
一阶、二阶导数的常用差分表达式
导 数 差分表示式 截断误差 备注
ti 1 ti x
O(x) O(x)
i点的向前差分 i点的向后差分 i点的中心差分 i点的中心差分
t x i
ti ti 1 x ti 1 ti 1 2 x
O(x 2 ) O(x 2 )
第四章
导热问题的数值解法
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
1. 求解导热问题的三种基本方法
(1) 理论分析法；
(2) 数值计算法；
(3) 实验法
2. 三种方法的基本求解过程
(1) 理论分析方法 在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解 条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解 (解析解 ) ， 或叫理论解；
3. 三种方法的优缺点
(1) 分析法 ① 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计
算提供比较依据；
② 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见； ③ 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
(2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别
对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低
(3) 实验法 是传热学的基本研究方法
m ,n
m ,n
m ,n
m ,n
若取上面式右边的前三项，并将两式相加，移项整理 即得二阶导数的中心差分：
2t x
2 m ,n
t m 1,n 2t m ,n t m 1,n x 2
截断误差 未明确 o ( x 2 ) 写出的级数余项中 的 Δ x 的最低阶数 为2
同样可以写出：
① 适应性不好；
② 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）
有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element）
4. 导热问题的数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件 确定节点(区域离散化)
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
离散方程：节点上物理量的代数方程，如tm,n
tm,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
(4) 设立迭代初场
对各点物理量设置初始值
(5) 求解代数方程组 采用迭代法求解方程组
(6) 解的分析
根据温度分布,求热流
t t q x x
§4-2 内节点离散方程的建立方法
1. 建立离散方程的常用方法
(1) Taylor(泰勒)级数展开法 (2) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(3) 控制容积积分法
(4) 多项式拟合法
2. 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点 (i+1，j)的温度ti+1，j
m ,n
x 4 4t 4 4! x
m ,n
用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点(i-1，j)的温度ti-1，j
t m 1,n t m,n t x x x 2 2t 2! x 2 x 3 3t 3! x 3 x 4 4t 4! x 4
பைடு நூலகம்
改进初场
是否收敛 是 解的分析
否
(1) 建立控制方程及定解条件 二维矩形域内稳态无内 热源，常物性的导热问题。 控制方程： 2t
y
W t0
h3tf
h2tf
x
边界条件：
2
2t y
2
0
O
h1tf
H
x
t x 0 t 0
t x
t y
t y
x H
h2 [t (H , y ) tf ]
x 2 x 3 f ( x x) f ( x) xf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
t m 1,n t m,n
t x x
m ,n
x 2 2t 2 2! x
m ,n
x 3 3t 3 3! x
根据泰勒级数可知一阶导数的近似公式
t n 1 t n x 2 t ( x) t ( x) x 2
tn2 tn1 tn1 tn tn2 2tn1 tn x x t ( x) x x 2
2t y 2
m ,n
2t y
2
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y 2
0 无内热源 2t x
2
o (y 2 )
2t y
2
根据
2t x
2
v
0 有内热源
t m1,n 2t m,n t m1,n x
2
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y
(2) 数值计算法 把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散 点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关 于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 (3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，对所研究对象的传热 过程进行观察、测量
y 0
h1[t ( x ,0) t f ]
h3[t ( x ,W ) t f ]
y W
(2) 区域离散化
tm，n N
网格线：与坐标轴平行的线
节 步 点：网格线的交点
长：两相临节点间的距离 y
y o x x
M
控制容积：节点所代表的区域 界面线：控制容积的边界线 (3) 区域离散化
, v m ,n
0
如果x=y ，则
t m ,n 1 v ,m , n 2 t m1,n t m1,n t m,n 1 t m,n 1 x 4
对于无内热源，且x=y
t m,n 1 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4
2t x 2 i
ti 1 2ti ti 1 x 2
t 例：有人对一阶导数 提出了如下表达式 x n
3tn 5tn 1 tn2 t x n 2x 2
试判断该表达式是否正确，为什么？ t 解： 表达式实质是用tn、tn+1及tn+2三点差商表达一阶导数 x n
一阶、二阶导数的常用差分表达式
导 数 差分表示式 截断误差 备注
ti 1 ti x
O(x) O(x)
i点的向前差分 i点的向后差分 i点的中心差分 i点的中心差分
t x i
ti ti 1 x ti 1 ti 1 2 x
O(x 2 ) O(x 2 )
第四章
导热问题的数值解法
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
1. 求解导热问题的三种基本方法
(1) 理论分析法；
(2) 数值计算法；
(3) 实验法
2. 三种方法的基本求解过程
(1) 理论分析方法 在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解 条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解 (解析解 ) ， 或叫理论解；
3. 三种方法的优缺点
(1) 分析法 ① 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计
算提供比较依据；
② 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见； ③ 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
(2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别
对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低
(3) 实验法 是传热学的基本研究方法
m ,n
m ,n
m ,n
m ,n
若取上面式右边的前三项，并将两式相加，移项整理 即得二阶导数的中心差分：
2t x
2 m ,n
t m 1,n 2t m ,n t m 1,n x 2
截断误差 未明确 o ( x 2 ) 写出的级数余项中 的 Δ x 的最低阶数 为2
同样可以写出：
① 适应性不好；
② 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）
有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element）
4. 导热问题的数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件 确定节点(区域离散化)
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
离散方程：节点上物理量的代数方程，如tm,n
tm,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
(4) 设立迭代初场
对各点物理量设置初始值
(5) 求解代数方程组 采用迭代法求解方程组
(6) 解的分析
根据温度分布,求热流
t t q x x
§4-2 内节点离散方程的建立方法
1. 建立离散方程的常用方法
(1) Taylor(泰勒)级数展开法 (2) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(3) 控制容积积分法
(4) 多项式拟合法
2. 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点 (i+1，j)的温度ti+1，j
m ,n
x 4 4t 4 4! x
m ,n
用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点(i-1，j)的温度ti-1，j
t m 1,n t m,n t x x x 2 2t 2! x 2 x 3 3t 3! x 3 x 4 4t 4! x 4
பைடு நூலகம்
改进初场
是否收敛 是 解的分析
否
(1) 建立控制方程及定解条件 二维矩形域内稳态无内 热源，常物性的导热问题。 控制方程： 2t
y
W t0
h3tf
h2tf
x
边界条件：
2
2t y
2
0
O
h1tf
H
x
t x 0 t 0
t x
t y
t y
x H
h2 [t (H , y ) tf ]
x 2 x 3 f ( x x) f ( x) xf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
t m 1,n t m,n
t x x
m ,n
x 2 2t 2 2! x
m ,n
x 3 3t 3 3! x
根据泰勒级数可知一阶导数的近似公式
t n 1 t n x 2 t ( x) t ( x) x 2
tn2 tn1 tn1 tn tn2 2tn1 tn x x t ( x) x x 2
2t y 2
m ,n
2t y
2
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y 2
0 无内热源 2t x
2
o (y 2 )
2t y
2
根据
2t x
2
v
0 有内热源
t m1,n 2t m,n t m1,n x
2
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y
(2) 数值计算法 把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散 点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关 于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 (3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，对所研究对象的传热 过程进行观察、测量
y 0
h1[t ( x ,0) t f ]
h3[t ( x ,W ) t f ]
y W
(2) 区域离散化
tm，n N
网格线：与坐标轴平行的线
节 步 点：网格线的交点
长：两相临节点间的距离 y
y o x x
M
控制容积：节点所代表的区域 界面线：控制容积的边界线 (3) 区域离散化