传热学-第四章.
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《传热学》课后习题答案-第四章
t k i，j 1 t k i，j t k i，j 1 t k i , j r r rj rj r 2 r 2 rj r
并简化，可以得出与上式完全一样相同的结果。
4-7、 一金属短圆柱在炉内受热厚被竖直地移植到空气中冷却， 底面可以认为是绝热的。为用数值法确定冷却过程中柱体温 度的变化， 取中心角为 1rad 的区域来研究 （如本题附图所示） 。 已知柱体表面发射率，自然对流表面传热系数，环境温度， 金属的热扩散率，试列出图中节点（1，1） ， （M,1）(M,n)及 （M,N） 的离散方程式。 在 r 及 z 方向上网格是各自均分的。 解：应用热平衡法来建立四个节点点离散方程。 节点（1，1） ：
， 离散方程的建立 4-5、试将直角坐标中的常物性无内热源的二维稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指 出其稳定性条件（ x y) 。 解：常物性无内热源二维非稳态方程微分方程为
4.3636t 2 2.53t1 1.8336t f
t2
2.53t f 1.8336t f
2t 2t t a x 2 y 2
Bi=0.1,1,10 的三种情况计算下列特征方程的根
n (n 1,2,6) :
n a Fo 2 0.2 并用计算机查明，当 时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计
算中用前六项之和来替代）可能引起 的误差。 解： n Bi 0.1 1.0 10
tan n
第四章
复习题 1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。 2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。 3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似， 为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。 4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数 用差分公式表示来建立。试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方 程的异同与优劣。 5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之． 6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？ 7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解 时是否因为初场的假设不合适而造成？
第四章传热学
4. 非稳态导热4.1 知识结构1. 非稳态导热的特点；2. （恒温介质、第三类边界条件）一维分析解求解方法（分离变量，特解叠加）及解的形式（无穷级数求和）；3. 解的准则方程形式，各准则（无量纲过余温度、无量纲尺度、傅里叶准则、毕渥准则）的定义式及其物理涵义； 4. 查诺谟图求解方法；5. 多维问题的解(几个一维问题解（无量纲过余温度）的乘积)；6. 集总参数法应用的条件和解的形式；7. 半无限大物体的非稳态导热。
4.2 重点内容剖析4.2.1 概述在设备启动、停车、或间歇运行等过程中，温度场随时间发生变化，热流也随时间发生变化，这样的过程称为非稳态导热。
一．过程特点分类1. 周期性非稳态导热（比较复杂，本书不做研究） 如地球表面受日照的情况 （周期为24小时）对于内燃机气缸壁受燃气冲刷的情况，周期为几分之一秒，温度波动只在很浅的表层，一般作为稳态处理。
2. 非周期性非稳态导热：（趋于稳态的过程，非稳态 稳态） 例子：如图4-1，一个无限大平板，初始温度均匀，某一时刻左壁面突然受到一恒温热源的加热，分析平壁内非稳态温度场的变化过程： (1) 存在两个阶段初始阶段：温度变化到达右壁面之前（如曲线A-C-D ），右侧不参与换热，此时物体内分为两个区间，非稳态导热规律控制区A-C 和初始温度区C-D 。
正规状况阶段：温度变化到达右壁面之后，右侧参与换热，初始温度分布的tx1t 0t ABCDEF图4-1 非稳态导热过程的温度变化影响逐渐消失。
(2) 热流方向上热流量处处不等因为物体各处温度随时间变化而引起内能的变化，在热量传递路径中，一部分热量要用于（或来源于）这些内能，所以热流方向上的热流量处处不等。
二. 研究任务1. 确定物体内部某点达到预定温度所需时间以及该期间所需供给或取走的热量，以便合理拟定加热和冷却的工艺条件，正确选择传热工质；2. 计算某一时刻物体内的温度场及温度场随时间和空间的变化率，以便校核部件所承受的热应力，并根据它制定热工设备的快速启动与安全操作规程。
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析
3
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第4章 非稳态导热的计算与分析
本章着重讨论非稳态导热问题 ——非稳态导热的基本概念 ——对称加热的无限大平壁的非稳态导热过程 ——最简单的非稳态导热问题－集总热容系统
4
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第4章 非稳态导热的计算与分析
4.1 概述
非稳态导热的分类： ——周期性的非稳态导热（periodic unsteady heat conduction）：由于边界条件（或内热源）随时间呈周 期性变化，使物体内的温度场也随时间按周期性规律变 化，这种状况通常称为准稳态
19
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4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
整个瞬态导热过程可以分为两个阶段： 初始阶段（initial regime）：也称为非正规状况阶段，
指在穿透时刻之前阶段，此时平壁内的温度分布主要受 初始温度分布t0的影响。
正规状况阶段（regular regime）：穿透时刻之后，非稳态 过程进行到一定的程度，平壁初始温度分布的影响逐渐消失，此 后不同时刻的温度分布主要受热边界条件的影响。这个阶段的非 稳态导热称为正规状况阶段。
第4章 非稳本态节导内热容的结计束 算与分析
1
• 稳态导热是一种理想化的情况 • 受环境温度变化的影响，生活和工程中真正意义上的稳 态导热是不存在的 • 只是对工程中的某些问题，忽略温度随时间变化所造成 的影响、误差不大，而将其简化为稳态导热
2
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• 生活和工程中还存在着大量的不能简化为稳态导热的现 象和问题，其中物体内的温度明显随时间而变化 • ——冷冻食品的解冻过程 • ——烘烤食品（花生米、蛋糕等点心） • ——热处理工艺中金属在高温火炉内的加热以及加热后 在水或空气中的冷却过程等 • ——焖井过程热量在地层内的扩散过程
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第4章 非稳态导热的计算与分析
本章着重讨论非稳态导热问题 ——非稳态导热的基本概念 ——对称加热的无限大平壁的非稳态导热过程 ——最简单的非稳态导热问题－集总热容系统
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第4章 非稳态导热的计算与分析
4.1 概述
非稳态导热的分类： ——周期性的非稳态导热（periodic unsteady heat conduction）：由于边界条件（或内热源）随时间呈周 期性变化，使物体内的温度场也随时间按周期性规律变 化，这种状况通常称为准稳态
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4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
整个瞬态导热过程可以分为两个阶段： 初始阶段（initial regime）：也称为非正规状况阶段，
指在穿透时刻之前阶段，此时平壁内的温度分布主要受 初始温度分布t0的影响。
正规状况阶段（regular regime）：穿透时刻之后，非稳态 过程进行到一定的程度，平壁初始温度分布的影响逐渐消失，此 后不同时刻的温度分布主要受热边界条件的影响。这个阶段的非 稳态导热称为正规状况阶段。
第4章 非稳本态节导内热容的结计束 算与分析
1
• 稳态导热是一种理想化的情况 • 受环境温度变化的影响，生活和工程中真正意义上的稳 态导热是不存在的 • 只是对工程中的某些问题，忽略温度随时间变化所造成 的影响、误差不大，而将其简化为稳态导热
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• 生活和工程中还存在着大量的不能简化为稳态导热的现 象和问题，其中物体内的温度明显随时间而变化 • ——冷冻食品的解冻过程 • ——烘烤食品（花生米、蛋糕等点心） • ——热处理工艺中金属在高温火炉内的加热以及加热后 在水或空气中的冷却过程等 • ——焖井过程热量在地层内的扩散过程
传热学第4章对流换热(Convective Heat Transfer)
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述 工程应用背景
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述
热对流 对流换热：
计算关系式
Φ hAtw tf
Φ hAtf tw
本章的主要任务：确定 h 的具体表达式
——请千万小心，步步都是富贵险中求。殊不知多少江湖英豪；名门侠女都 曾栽在这块看似山青湖静，实则风阴涛涌的领域！
第二节：对流换热问题的数学描写—对流换热微分方程组
二维、常物性、不可压、稳态
u v 0 x y
u
u x
v
u y
Fx
1
p x
2u x 2
2u y 2
u
v x
v
v y
Fy
1
p y
2v x 2
2v y 2
u
t x
v
t y
a
2t x 2
2t y 2
t
h tw t y w
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述 求h主要有以下基本途径：
Φ h At w t f
h
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述
影响对流换热的基本因素： 流动因素、几何因素和物性参数 流动因素 a 流动起因 自然对流(Natural Convection)—— 强迫对流(Forced Convection)—— b 流动状态 层流(Laminar Flow)—— 紊流(Turbulent Flow)—— c 流体有无相变(Phase Change) 凝结换热(Condensation Heat Transfer) 沸腾换热(Boiling Heat Transfer)
第一节：概述 工程应用背景
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述
热对流 对流换热：
计算关系式
Φ hAtw tf
Φ hAtf tw
本章的主要任务：确定 h 的具体表达式
——请千万小心，步步都是富贵险中求。殊不知多少江湖英豪；名门侠女都 曾栽在这块看似山青湖静，实则风阴涛涌的领域！
第二节：对流换热问题的数学描写—对流换热微分方程组
二维、常物性、不可压、稳态
u v 0 x y
u
u x
v
u y
Fx
1
p x
2u x 2
2u y 2
u
v x
v
v y
Fy
1
p y
2v x 2
2v y 2
u
t x
v
t y
a
2t x 2
2t y 2
t
h tw t y w
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述 求h主要有以下基本途径：
Φ h At w t f
h
第四章 对流换热(Convective Heat Transfer)
第一节：概述
影响对流换热的基本因素： 流动因素、几何因素和物性参数 流动因素 a 流动起因 自然对流(Natural Convection)—— 强迫对流(Forced Convection)—— b 流动状态 层流(Laminar Flow)—— 紊流(Turbulent Flow)—— c 流体有无相变(Phase Change) 凝结换热(Condensation Heat Transfer) 沸腾换热(Boiling Heat Transfer)
传热学第四章
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
a)温度分布；b)两侧表面上导热量随时间的变化
图4-1
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
（1）温度场：【如图4-1a）所示】 ①首先，紧挨高温表面部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的温度t0，如图中曲线FBC所示； ②其次，随着时间的推移，温度变化波及的范围不断扩大， 以致在一定时间以后，右侧表面的温度也逐渐升高， 如图中曲线FC、FD所示； ③最后，达到一个新的稳态导热时，温度分布保持恒定， 如图中曲线FE所示。（λ为常数时，FE 为直线。）
t f ( x, y, z, )
dt （3）物体在非稳态导热过程中的温升速率： d
（4）某一时刻物体表面的热流量Φ(W) 或从某一时刻起经过一定时间后表面传递的总热量Q(J)。 要解决以上问题，必须首先求出： 物体在非稳态导热过程中的温度场。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
※求解非稳态导热过程中物体的温度场，通常可采用
第四章 非稳态导热
第一节 概 述 一、基本概念
非稳态导热即指温度场随时间而变化的导热过程 1、定义（P53）
t f ( x, y, z, )
※在自然界和工程中有许多非稳态导热问题。 例如，锅炉、蒸汽轮机和内燃机等动力机械在起动、停机和变 工况运行时的导热； 又如，在冶金、热处理和热加工等过程中，工件被加热或冷却 时的导热； 再有，大地和房屋等白天被太阳加热、夜晚被冷却时的导热。 ※由此可见，研究非稳态导热具有很大的实际意义。
l
—— 导热物体的某一尺寸，详见后述。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
1、毕渥数Bi （P55）
有时用引用尺寸l
e
l ——导热物体的某一尺寸
传热和传质基本原理-----第四章-三传类比
相当于空气的相对湿度为30%。
38
4.5 边界层类比
流体流动的控制方程是非线性的偏微分方程组，处理 非线性偏微分方程依然是当今科学界的一大难题
实际工程问题：靠近固体 壁面的一薄层流体速度变 化较大，而其余部分速度 梯度很小
➢ 远离固体壁面，视为理想流 体－－欧拉方程、伯努利方程
➢ 靠近固体壁面的一薄层流体， 进行控制方程的简化－－流动 边界层
27
❖ 在薄层内取一微元体，那么进入微元体的热流为 由温度梯度引起的导热热流、由进入微元体的传 递组分本身具有的焓。
稳定状态时，微元体处于热平衡，满足下列关系式：
令
无因次数为传质阿克曼修正
系数，表示传质速率的大小、
方向对传热的影响。
28
得 边界条件为
令
得方程的解为：
代入边界条件，最后得到流体在薄层内的温度分别为：
水蒸 汽的汽化潜热r=2463.1kJ/kg，Sc=0.6.,Pr=0.7。 试计算干空气的温度。
2.试计算空气沿水面流动时的对流质交换系数hm和每小时从 水面上蒸发的水量。已知空气的流速u=3m/s，沿气流方向
的
水面长度l=0.3m，水面的温度为15 ℃，空气的温度20℃，
空气的总压力1.013*105Pa，其中水蒸汽分压力p2=701Pa，
➢边界层厚度
1904年普朗特首先提出
39
4.5.1 边界层理论的基本概念
边界层的定义
流体在绕过固体壁面流动时，紧 靠固体壁面形成速度梯度较大的 流体薄层称为流动边界层
流速相当于主流区速度的0.99处到固 体壁面间的距离定义为边界层的厚度
边界层的形成与特点 Re vl
平板绕流
Re x
v0 x
传热学4-导热数值解法基础2013
第四章 导热数值解法基础
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
求解导热问题的三种基本方法
方法：理论分析法、数值计算法、实验法
三种方法的基本求解过程
理论分析方法：在理论分析的基础上，直接 对导热微分方程在给定的定解条件下进行积 分，这样获得的解称之为分析解，或理论解
数值计算法
把原来在时间和空间连续的物理量的场，用
有限个离散点上的值的集合来代替，通过求
N (i,j+1)
y y W (i-1,j) (i, j) (i+1,j) E
P
(i,j-1) S x x
y
o
x
ti 1, j ti 1, j ti , j ti 1, j ti 1, j ti , j t 2x x x x i , j
qw
x y
2x x 2
y x
4ti, j 2ti 1, j ti, j 1 tm,n 1
qw qvi, j
(2) 外部角点
qw
y ti 1, j ti, j x ti, j 1 ti, j 2 x 2 y y x x y qw qw qvi, j 0 2 2 2 2
区域离散的概念：
控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
网格线
控制体
节点(i,j)
j
二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性导热问 题. 对研究区域进 行离散。 △x,△y,△τ 为空间和时间 步长。
y
y M
x
x
i
网格划分
节点: 网格线交点. 控制容积: 节点代表的区 域 ,其边界位于两点之间. 界面: 控制容积的边界. 网格划分方法: A: 先确定节点，后定界面；
传热学-第四章 对流换热的理论分析第一讲-动力工程
速度场和温度场由对流换热微分方程组确定： 连续性方程、动量方程、能量方程
对流换热过程微分方程式
h（x Tw
T）
T y
w, x
与导热中的第三类边界条件有何本质差异？
流体中的温度梯度 流体的热物性
4-2 对流换热过程的数学描述
为便于分析，只限于分析二维对流换热
假设：a) 流体为不可压缩的牛顿型流体
4-1 对流换热概述
一、对流换热
1、定义：流体与固体壁直接接触、且存在相对运 动时所发生的热量传递过程
Tw T
对流换热与热对流不同 不是基本传热方式
对流 & 对流换热
对流，流体中温度不同的各部分之间，由于相对的 宏观运动而把热量从一处迁移至另一处的过程
流体在作相对宏观运动的同时，分子的微观运动并 没有停止，也就是说流体微团内部还以导热方式传递 热量，这一作用习惯上称为扩散作用
（2）动量传递和热量传递的类比法 利用湍流时动量传递和热量传递的类似规律，由湍 流时的局部表面摩擦系数推知局部表面传热系数
（3）实验法 用相似理论指导
四、对流换热过程的单值性条件
单值性条件：能单值地反映对流换热过程特点的条件 完整数学描述：对流换热微分方程组 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界 1、几何条件 说明对流换热过程中的几何形状和大小
速度边界层
在紧靠壁面的流体薄层内，由于分子导热，热量从 壁面传递到流体中
当热量通过导热自壁面传入流体后，一部分以焓的 形式被运动着的流体带向下游-----热对流；另一部分 则以热量的形式通过导热传向离壁面稍远的流体层----热扩散
热扩散
热对流
被加热的流体向前运动，带走了一部分热量，从而使 向垂直于壁面方向传递的热量逐渐减少；流体中的温 度变化率也逐渐衰减
对流换热过程微分方程式
h（x Tw
T）
T y
w, x
与导热中的第三类边界条件有何本质差异？
流体中的温度梯度 流体的热物性
4-2 对流换热过程的数学描述
为便于分析，只限于分析二维对流换热
假设：a) 流体为不可压缩的牛顿型流体
4-1 对流换热概述
一、对流换热
1、定义：流体与固体壁直接接触、且存在相对运 动时所发生的热量传递过程
Tw T
对流换热与热对流不同 不是基本传热方式
对流 & 对流换热
对流，流体中温度不同的各部分之间，由于相对的 宏观运动而把热量从一处迁移至另一处的过程
流体在作相对宏观运动的同时，分子的微观运动并 没有停止，也就是说流体微团内部还以导热方式传递 热量，这一作用习惯上称为扩散作用
（2）动量传递和热量传递的类比法 利用湍流时动量传递和热量传递的类似规律，由湍 流时的局部表面摩擦系数推知局部表面传热系数
（3）实验法 用相似理论指导
四、对流换热过程的单值性条件
单值性条件：能单值地反映对流换热过程特点的条件 完整数学描述：对流换热微分方程组 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界 1、几何条件 说明对流换热过程中的几何形状和大小
速度边界层
在紧靠壁面的流体薄层内，由于分子导热，热量从 壁面传递到流体中
当热量通过导热自壁面传入流体后，一部分以焓的 形式被运动着的流体带向下游-----热对流；另一部分 则以热量的形式通过导热传向离壁面稍远的流体层----热扩散
热扩散
热对流
被加热的流体向前运动，带走了一部分热量，从而使 向垂直于壁面方向传递的热量逐渐减少；流体中的温 度变化率也逐渐衰减
第五版传热学第四章
3.C＋＋ —— C plus plus，C语言的增强版，目前最常用的应用程序设计 语言，数值计算软件主要使用的语言。
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
物理问题的数值求解过程
优点——无条件稳定 缺点——不可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算 (k+1)Δ τ 时刻温度分布
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第四节 常用算法语言和计算软件简介
一、常用算法语言
1.FORTRAN语言 ——Formula Translation，数值计算领域所使用的主要语言。
2.C语言 ——将高级语言的基本结构和语句与低级语言的对地址操作结合 起来的应用程序设计语言。
k k k k ti Fo ti 1 ti 1 1 2 Foti
优点——可根据kΔ τ 时刻温度分布直接计算(k+1)Δ τ 时刻温度分布 缺点——选择Δ x和 Δ τ 时必须满足稳定性条件 a a 1 或 1 2 0 2 2 x x 2
第三节 非稳态导热的数值计算
研究对象——一维非稳态导热问题 一、显式差分格式
t 2t a x 2
高等传热学-相变-第4章
第四章 流动沸腾液体在管道或回路中流动时，产生的沸腾现象称为流动沸腾。
这种流动可能是外力强制形成，也可能是回路内的流体的密度差引起的自然循环。
由于流动沸腾中伴随着各种类型的汽液两相流动，所以比池内沸腾更复杂。
目前还无法对流动沸腾过程进行解析求解，研究的途径主要是实验。
§4-1 流型与沸腾工况流动沸腾的特点:1). 由于管道的沿途加热和液体蒸发，汽液两相流的流型会发生一系列的变化。
2). 随着容积流量的增大，流体逐步加速使压力降增大，而引起系统压力的下降，饱和温度也随之降低，这反过来对流型和沸腾产生影响。
因此，对沿加热管的流动沸腾，需分段进行分析计算。
3). 工程上，加热管的配置有竖直和水平两种典型方式（倾斜布置管道处于二者之间）。
在这两种情况下的流动和沸腾特性有明显的差别，一般分开研究。
一、竖直管内流动沸腾的流型和换热工况如图，是典型的竖直管内流动沸腾的流型和换热工况。
当单相流体从下部进入加热管后，①一开始，加热壁上尚不具备成核条件，这时流动为单相流，换热工况为液体的单相对流换热（A区）。
②随着液体被加热，温度升高，逐步使壁面上的某些开始满足成核条件，开始出现小汽泡。
当汽泡长大到一定尺寸后，脱离壁面进入主流，在汽泡刚开始产生的阶段，液体核心区的温度高低于对应的主流压力下的饱和温度，使脱离壁面而后的小汽泡很快在过冷的液体中凝结，加速液体升温，使换热增强。
这时的换热工况为流动过冷沸腾，其流型是泡状流(B区)。
③当液体的主流温度达到饱和温度后，进入主流的汽泡不再凝结，换热进入饱和沸腾工况。
④随着液体中汽泡数量的不断增加，小汽泡之间发生碰撞与合并，开始出现较大的汽团或称弹状大汽泡，其流型由泡状流演变为弹状流动(仍为饱和沸腾)。
⑤随着液体的进一步汽化，含汽量的增加，两相流型转变为环状流，即汽相在管中心区，而液相附着于管壁上。
⑥随着液层的变薄，壁面上的沸腾逐渐被抑制，汽化转变为汽液分界面上的蒸发，换热工况由饱和沸腾逐步变为强制对流蒸发。
热工基础传热学
λ——导热系数（热导率 )，
w/(m·k)，与物体性质、 温度有关，各向同性与各向异 性之别。 热流密度：
q=Φ/A= λΔt /δ
二、热对流
1、特征：（1）物体相互接触； （2）各部分之间发生相对位移；
（3）依靠微观离子热运动。 （4）固体—流体、 流体—流体 2、热流量与热流密度 热流量：牛顿冷却公式
第四章 热量传递的基本原理
第一节 热量传递的三种基本方式
传热的三种不同形式:热传导、热对流、 热辐射。 一、热传导
1、特征：（1）物体相互接触； （2）各部分之间不发生相对位移； （3）依靠微观离子热运动。
（4）固体—固体、固体—流体、 流 体—流体
2、热流量与热流密度 热流量： Φ= λ AΔt /δ
φ
y
x
c t
1 r t
r r r
1 r2
t
t
.
z z
球坐标系里导热微分方程：
z
t(r,φ,θ) θ
φ
y
x
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin 2
t
r
2
1
sin
sin
t
.
2、求解导热微分方程的定解条件
（1）第一类边界条件：已知边界上的温度
例如：tw=const tw=f1(τ)
一维稳态温度场
τ≠const t=f (x,y,z,τ) 非稳态温度场
等温线和等温面
2、温度梯度
t-Δt t t+Δt
lim t t
gradt n
n
n0 n n
q
n
3、傅立叶定律——导热基本定律
w/(m·k)，与物体性质、 温度有关，各向同性与各向异 性之别。 热流密度：
q=Φ/A= λΔt /δ
二、热对流
1、特征：（1）物体相互接触； （2）各部分之间发生相对位移；
（3）依靠微观离子热运动。 （4）固体—流体、 流体—流体 2、热流量与热流密度 热流量：牛顿冷却公式
第四章 热量传递的基本原理
第一节 热量传递的三种基本方式
传热的三种不同形式:热传导、热对流、 热辐射。 一、热传导
1、特征：（1）物体相互接触； （2）各部分之间不发生相对位移； （3）依靠微观离子热运动。
（4）固体—固体、固体—流体、 流 体—流体
2、热流量与热流密度 热流量： Φ= λ AΔt /δ
φ
y
x
c t
1 r t
r r r
1 r2
t
t
.
z z
球坐标系里导热微分方程：
z
t(r,φ,θ) θ
φ
y
x
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin 2
t
r
2
1
sin
sin
t
.
2、求解导热微分方程的定解条件
（1）第一类边界条件：已知边界上的温度
例如：tw=const tw=f1(τ)
一维稳态温度场
τ≠const t=f (x,y,z,τ) 非稳态温度场
等温线和等温面
2、温度梯度
t-Δt t t+Δt
lim t t
gradt n
n
n0 n n
q
n
3、傅立叶定律——导热基本定律
传热学-第四章 对流换热的理论分析第四讲-动力工程
Nu 3.658
分析表明，（1）层流时，对于同一截面形状的管道，均匀热流 条件下的Nu数总是高于定壁温情况下的Nu数；（2）管道截面形 状对层流换热有着显著的影响。
本章结束
在管内温度边界层充分发展段，可以采用无量纲温度来构造出无 量纲温度不随流动方向发生变化，即
T (x, r) Tw (x) Tf (x) Tw (x)
x
x
T( Tf
x, r) Tw (x) (x) Tw (x)
0
流体在壁面 处的无量纲壁温对半径的导数也是常数，即
C
r rr0 因此，热 充分发展段的对流换热系数
达西摩擦阻力系数
f
dp d dx
p d l
64
u m 2
um2 Re
2
2
达西摩擦阻力系数与范宁摩擦阻力系数的关系
Cf
f 4
二、换热特征分析（Tw<Tin）
热进口段长度：
层流：LTt w 0.05Re Pr; Lqt w 0.07 Re Pr
d
d
湍流 : Lt [10, 45] d
注意观察：常物性流体管内局部对流换热系数的分布 特点？层流//湍流
4-7 管内层流充分发展对流换热理论解
工程上、日常生活中有大量应用： 暖气管道、各类热水及蒸汽管道、换热器
一、流动特征分析
1. 流动进口段与充分发展段
在管内充分发展段，当流体物性为常数时，截面 上流体的速度分布将不在改变，出现所谓的速度 “自模化”的现象
• 层流、湍流；临界雷诺数 Rec=2300
r02
r2
1 4r02
பைடு நூலகம்
r4)
Tf
Tw
11 48
大学传热学第四章 导热问题的数值解法1
对解进行分析
获得物体中的温度分布常常不是工程问题的最终目的，所 得出的温度场可能进一步用于计算热流量或计算设备、零 部件的热应力及热变形等。对于数值计算所获得的温度场 及所需要的一些其他物理量应作仔细的分析，以获得定性 或定量上的一些新的结论。
建立节点方程的泰勒级数展开法
• 函数的泰勒级数展开式为
二维稳态导热内部节点方程式的建立
ydy m,n+1
m-1,n
m,n
x
y
x m,n-1
m+1,n
xdx
y
• 从左面进入微元体的热量
t t
y m1,n
m ,n
x
x
• 从右面进入微元体的热量
t t
y m1,n
m ,n
xdx
x
• 从下面进入微元体的热量
t t
x m,n1
m ,n
y
y
• 从上面进入微元体的热量
t t
x m,n1
m ,n
ydy
y
二维稳态导热内节点方程
• 当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向 进入微元体的热量之和为零
0
x
xdx
y
ydy
• 将各热量计算表达式带入，整理后得到
t 1 t t t t
m ,n
4 m1,n
m1,n
m ,n1
y
y
从上面进入微元体的热量
t t
m,n1 m,n x / 2
ydy
y
二维稳态导热平直边界上节点方程
• 当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向 进入微元体的热量之和为零
0
m,n
m,n
传热学课件：第四章 数值解法
（2）高斯—赛德尔迭代法
①选初值；
②一次次的直接计算t1，t2，…，tn ，注意计算tn 时， tn前面的温度全部用新值代替。如知道t1后， 求t2时，用t1代替原设的初值。
例题：有一正方形截面，边界长为1m，边 界上的温度已知，求t1，t2，t3，t4。
解（1）列节点方程式
100℃
500℃
12
3 4 100℃
100℃
迭代法
n
t1
t2
t3
t4
0
300
300
200
200
1
275 268.75 168.75 159.38
2 259.38 254.69 154.69 152.35
3 252.35 251.26 151.18 150.61
4 250.61 250.31 150.31 150.15
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。
由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
2. 间接法（迭代法）经过有限次的迭代，求出近似解， 对于计算机来说，存储量较少。
松弛法（余数调节法）
高斯—赛德尔迭代法
（1）松弛法 ①设初值； ②求R1，R2，…，Rn，找Rmax；(余数) ③如设R4为最大，改变t4，使R4 ≈0，t4=t4+R4/4： ④重新计算有关节点的余数；
⑤重复步骤③ ④ ，直到全部余数为零。
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
23
判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时，选此准则较好
24
例题：
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解： 第三类边界条件下，常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论：
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联 立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
传热学 第四章 对流传热原理
潜热在传热中起了主要作用 对于同一种流体，潜热要比显热大的多，所以有 无相变时的传热规律也大相径庭。
h相变 >h单相
College of Energy & Power Engineering
4. 壁面的几何形状、大小和位臵
换热表面的形状／大小／换热表面与流体流动方向的 相对位置以及换热表面的状态（光滑或粗糙） 内部流动对流换热：管内或槽内 外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束
College of Energy & Power Engineering
雷诺数的物理意义
ul ul u Re u
l
2
惯性力与黏性力之比
College of Energy & Power Engineering
3. 流体有无相变
单相换热 流体的显热变化
相变换热 沸腾、凝结、升华、 凝固、融化等
要有有限差分法、有限元法、有限分析法、边界元
法等等。 各种数值方法的根本区别主要在区域离散
和方程离散处理方法的不同，其基本思想大致可描
述为：把原来在时间和空间坐标中连续的物理量场
（如速度场、温度场、浓度场等）， 用有限个离散 点上的值的集合来代替，按一定方式建立起关于这 些值的代数方程并求解之。
College of Energy & Power Engineering
1. 流动的起因或其他外 部动力源所造成
强迫对流换热
College of Energy & Power Engineering
流动的起因不同，流体中的速度场也有差 别，所以传热规律就不一样了，从而对流换热 系数也不同。 一般来说，同一种流体的强迫对流换热系
对流传热的基本公式
h相变 >h单相
College of Energy & Power Engineering
4. 壁面的几何形状、大小和位臵
换热表面的形状／大小／换热表面与流体流动方向的 相对位置以及换热表面的状态（光滑或粗糙） 内部流动对流换热：管内或槽内 外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束
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雷诺数的物理意义
ul ul u Re u
l
2
惯性力与黏性力之比
College of Energy & Power Engineering
3. 流体有无相变
单相换热 流体的显热变化
相变换热 沸腾、凝结、升华、 凝固、融化等
要有有限差分法、有限元法、有限分析法、边界元
法等等。 各种数值方法的根本区别主要在区域离散
和方程离散处理方法的不同，其基本思想大致可描
述为：把原来在时间和空间坐标中连续的物理量场
（如速度场、温度场、浓度场等）， 用有限个离散 点上的值的集合来代替，按一定方式建立起关于这 些值的代数方程并求解之。
College of Energy & Power Engineering
1. 流动的起因或其他外 部动力源所造成
强迫对流换热
College of Energy & Power Engineering
流动的起因不同，流体中的速度场也有差 别，所以传热规律就不一样了，从而对流换热 系数也不同。 一般来说，同一种流体的强迫对流换热系
对流传热的基本公式
传热学-4 导热问题数值解基础
hx
1 ti, j
ti1, j
ti, j1
x2 i, j
2
2hx
t
f
（c）内部角点
g
2
hx
3
ti,
j
2
ti1, j ti, j1
ti1, j
ti, j1
3x2 i, j
2
2hx
tf
三 节点差分方程的求解
1） 直接解法：通过有限次运算获得精确解的方 法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2） 迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初 场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前 的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法， 称迭代计算收敛。
4-2 稳态导热问题的数值计算
（6） 解的分析
通过求解代数方程，获得物体中的温度分布， 根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及 热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场 及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上 的结论。
4-2 稳态导热问题的数值计算
建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
j
y
y
x
x
i
I
除 i=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余 (i-1)j 个 节点均需建立离散方程，共有 (i-1)j 个方程，则构成一 个封闭的代数方程组。
4-2 稳态导热问题的数值计算
1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各 项系数在整个求解过程中不再变化； 2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中 各项系数在整个求解过程中不断更新； 3 ）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是 否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计 算所得之解的偏差是否小于允许值。
传热学课件第四章非稳态导热
exp
hA
cV
hA
cV
h V
A
c
V
A2
hl
c
l2
hl
a
l2
BiV
FoV
0
e BiV FoV
exp
BiV FoV
下角标V表示以 l=V/A为特征长度
在0~ 时间内物体和周围环境之间交换的热量
升高到t1并保持不变，而右侧仍与温度为t0的 空气接触。这时紧挨高温表面那部分的温度
很快上升，而其余部分则仍保持初始温度t0， 如图中曲线HBD所示。随着时间的推移，经τ 1, τ 2，τ 3…平壁从左到右各部分的温度也依次 升高，从某一时刻开始平壁右侧表面温度逐
渐升高，图中曲线HCD、HE、HF示意性地表示
• 二、Bi数对导热体温度分布的影响
•
Bi hL L / 的大小对非稳态导热过程中导
热体内的 温1度/ h 分布有重要的影响。
• 厚为2δ的平壁突然置于流体中冷却时 ，Bi数 不同壁中温度场的变化会出现三种情形 。
思考题: 试说明毕渥数的物理意义。 毕渥数趋于
零和毕渥数趋于无穷各代表什么样的换热条件？ 有人认为，毕渥数趋于零代表了绝热工况，你 是否赞同这一观点，为什么？
圆
球 Bi hR
Fo
a 2
BiV
h
FoV
a 2
Fo
a
R2
BiV
h(R / 2)
FoV
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m ,n
m ,n
m ,n
m ,n
若取上面式右边的前三项，并将两式相加，移项整理 即得二阶导数的中心差分：
2t x
2 m ,n
t m 1,n 2t m ,n t m 1,n x 2
截断误差 未明确 o ( x 2 ) 写出的级数余项中 的 Δ x 的最低阶数 为2
同样可以写出：
2t y 2
m ,n
2t y
2
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y 2
0 无内热源 2t x
2
o (y 2 )
2t y
2
根据
2t x2Fra bibliotek
v
0 有内热源
t m1,n 2t m,n t m1,n x
2
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y
2
, v m ,n
0
如果x=y ，则
t m ,n 1 v ,m , n 2 t m1,n t m1,n t m,n 1 t m,n 1 x 4
对于无内热源，且x=y
t m,n 1 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4
根据泰勒级数可知一阶导数的近似公式
t n 1 t n x 2 t ( x) t ( x) x 2
tn2 tn1 tn1 tn tn2 2tn1 tn x x t ( x) x x 2
改进初场
是否收敛 是 解的分析
否
(1) 建立控制方程及定解条件 二维矩形域内稳态无内 热源，常物性的导热问题。 控制方程： 2t
y
W t0
h3tf
h2tf
x
边界条件：
2
2t y
2
0
O
h1tf
H
x
t x 0 t 0
t x
t y
t y
x H
h2 [t (H , y ) tf ]
§4-2 内节点离散方程的建立方法
1. 建立离散方程的常用方法
(1) Taylor(泰勒)级数展开法 (2) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(3) 控制容积积分法
(4) 多项式拟合法
2. 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点 (i+1，j)的温度ti+1，j
2t x 2 i
ti 1 2ti ti 1 x 2
t 例：有人对一阶导数 提出了如下表达式 x n
3tn 5tn 1 tn2 t x n 2x 2
试判断该表达式是否正确，为什么？ t 解： 表达式实质是用tn、tn+1及tn+2三点差商表达一阶导数 x n
y 0
h1[t ( x ,0) t f ]
h3[t ( x ,W ) t f ]
y W
(2) 区域离散化
tm，n N
网格线：与坐标轴平行的线
节 步 点：网格线的交点
长：两相临节点间的距离 y
y o x x
M
控制容积：节点所代表的区域 界面线：控制容积的边界线 (3) 区域离散化
一阶、二阶导数的常用差分表达式
导 数 差分表示式 截断误差 备注
ti 1 ti x
O(x) O(x)
i点的向前差分 i点的向后差分 i点的中心差分 i点的中心差分
t x i
ti ti 1 x ti 1 ti 1 2 x
O(x 2 ) O(x 2 )
① 适应性不好；
② 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）
有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element）
4. 导热问题的数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件 确定节点(区域离散化)
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
m ,n
x 4 4t 4 4! x
m ,n
用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点(i-1，j)的温度ti-1，j
t m 1,n t m,n t x x x 2 2t 2! x 2 x 3 3t 3! x 3 x 4 4t 4! x 4
离散方程：节点上物理量的代数方程，如tm,n
tm,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
(4) 设立迭代初场
对各点物理量设置初始值
(5) 求解代数方程组 采用迭代法求解方程组
(6) 解的分析
根据温度分布,求热流
t t q x x
3. 三种方法的优缺点
(1) 分析法 ① 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计
算提供比较依据；
② 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见； ③ 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
(2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别
对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低
(3) 实验法 是传热学的基本研究方法
(2) 数值计算法 把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散 点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关 于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 (3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，对所研究对象的传热 过程进行观察、测量
x 2 x 3 f ( x x) f ( x) xf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
t m 1,n t m,n
t x x
m ,n
x 2 2t 2 2! x
m ,n
x 3 3t 3 3! x
第四章
导热问题的数值解法
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
1. 求解导热问题的三种基本方法
(1) 理论分析法；
(2) 数值计算法；
(3) 实验法
2. 三种方法的基本求解过程
(1) 理论分析方法 在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解 条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解 (解析解 ) ， 或叫理论解；
m ,n
m ,n
m ,n
若取上面式右边的前三项，并将两式相加，移项整理 即得二阶导数的中心差分：
2t x
2 m ,n
t m 1,n 2t m ,n t m 1,n x 2
截断误差 未明确 o ( x 2 ) 写出的级数余项中 的 Δ x 的最低阶数 为2
同样可以写出：
2t y 2
m ,n
2t y
2
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y 2
0 无内热源 2t x
2
o (y 2 )
2t y
2
根据
2t x2Fra bibliotek
v
0 有内热源
t m1,n 2t m,n t m1,n x
2
t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y
2
, v m ,n
0
如果x=y ，则
t m ,n 1 v ,m , n 2 t m1,n t m1,n t m,n 1 t m,n 1 x 4
对于无内热源，且x=y
t m,n 1 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4
根据泰勒级数可知一阶导数的近似公式
t n 1 t n x 2 t ( x) t ( x) x 2
tn2 tn1 tn1 tn tn2 2tn1 tn x x t ( x) x x 2
改进初场
是否收敛 是 解的分析
否
(1) 建立控制方程及定解条件 二维矩形域内稳态无内 热源，常物性的导热问题。 控制方程： 2t
y
W t0
h3tf
h2tf
x
边界条件：
2
2t y
2
0
O
h1tf
H
x
t x 0 t 0
t x
t y
t y
x H
h2 [t (H , y ) tf ]
§4-2 内节点离散方程的建立方法
1. 建立离散方程的常用方法
(1) Taylor(泰勒)级数展开法 (2) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
(3) 控制容积积分法
(4) 多项式拟合法
2. 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点 (i+1，j)的温度ti+1，j
2t x 2 i
ti 1 2ti ti 1 x 2
t 例：有人对一阶导数 提出了如下表达式 x n
3tn 5tn 1 tn2 t x n 2x 2
试判断该表达式是否正确，为什么？ t 解： 表达式实质是用tn、tn+1及tn+2三点差商表达一阶导数 x n
y 0
h1[t ( x ,0) t f ]
h3[t ( x ,W ) t f ]
y W
(2) 区域离散化
tm，n N
网格线：与坐标轴平行的线
节 步 点：网格线的交点
长：两相临节点间的距离 y
y o x x
M
控制容积：节点所代表的区域 界面线：控制容积的边界线 (3) 区域离散化
一阶、二阶导数的常用差分表达式
导 数 差分表示式 截断误差 备注
ti 1 ti x
O(x) O(x)
i点的向前差分 i点的向后差分 i点的中心差分 i点的中心差分
t x i
ti ti 1 x ti 1 ti 1 2 x
O(x 2 ) O(x 2 )
① 适应性不好；
② 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）
有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element）
4. 导热问题的数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件 确定节点(区域离散化)
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
m ,n
x 4 4t 4 4! x
m ,n
用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点(i-1，j)的温度ti-1，j
t m 1,n t m,n t x x x 2 2t 2! x 2 x 3 3t 3! x 3 x 4 4t 4! x 4
离散方程：节点上物理量的代数方程，如tm,n
tm,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
(4) 设立迭代初场
对各点物理量设置初始值
(5) 求解代数方程组 采用迭代法求解方程组
(6) 解的分析
根据温度分布,求热流
t t q x x
3. 三种方法的优缺点
(1) 分析法 ① 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计
算提供比较依据；
② 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见； ③ 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
(2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别
对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低
(3) 实验法 是传热学的基本研究方法
(2) 数值计算法 把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散 点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关 于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 (3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，对所研究对象的传热 过程进行观察、测量
x 2 x 3 f ( x x) f ( x) xf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
t m 1,n t m,n
t x x
m ,n
x 2 2t 2 2! x
m ,n
x 3 3t 3 3! x
第四章
导热问题的数值解法
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
1. 求解导热问题的三种基本方法
(1) 理论分析法；
(2) 数值计算法；
(3) 实验法
2. 三种方法的基本求解过程
(1) 理论分析方法 在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解 条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解 (解析解 ) ， 或叫理论解；