学而思初一数学春季班第2讲-目标中考满分班-教师版

函数1级
平面直角坐标系认识初步 函数2级
平面直角坐标系中的变换
函数3级 函数初步
暑期班 第二讲
春季班 第一讲
减肥记
漫画释义
满分晋级阶梯
2
平面直角坐标系
中的变换
编写思路：
本讲求面积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程.
一：让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横、纵坐标关系。

二：（1）对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。

对于任意的平移，可以将其理解先上下平移、后左右平移的组合。

（2）对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。

从而将图形的平移转化成为点的平移。

并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。

三、简单的数形结合：求三角形面积问题。

让学生充分掌握割补法求三角形面积，并理解为何要用割补法。

让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的计算关系。

四、找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法.
点()P a b ，
关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，
关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，
关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，和点()Q c d ，的中点是
2
2a c b d M ++⎛⎫
⎪⎝⎭，．（选讲）思路导航
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题型一：坐标系中的对称
【引例】 在平面直角坐标系中，()45P -，关于x 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的
坐标是 ，关于原点的对称点是 ．
【解析】 关于x 轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，坐标是()45--，
； 关于y 轴的对称点纵坐标不变，横坐标互为相反数，坐标是()45，
； 关于原点的对称点横、纵坐标都互为相反数，坐标是()45-，
．
【例1】 ⑴ 点()35P -，
关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--， B ．()53，
C ．()35-，
D ．()35，
⑵ 点()21P -，
关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，
B ． ()21，
C ．()21-，
D ．()21-，
⑶ 在平面直角坐标系中，点()23P -，
关于原点对称点P '的坐标是 ．
⑷ 点()23，
P 关于直线3x =的对称点为 ，关于直线5y =的对称点为 ． ⑸ 已知点()121P a a +-，
关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．
【解析】 ⑴ D ；⑵ B ；⑶ ()2,3-；⑷ ()43，，()27，；⑸ 1
12
a -<<．
【例2】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
⑴ 由图观察易知()20A ，
关于直线l 的对称点A '的坐标为()02，，请在图中分别标明()53B ，，()25C -，关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出它们的坐标：
B ' ，
C ' ；
归纳与发现：
⑵ 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，
关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；
⑶ 点()A a b ，在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ．
典题精练
例题精讲
【解析】 ⑴ ()35B '，
，()52C '-，； ⑵ ()b a ，
； ⑶ a b >，b a >．
⑴ 点平移：
①将点()x y ，向右（或向左）平移a 个单位可得对应点()x a y +，或()x a y -，． ②将点()x y ，向上（或向下）平移b 个单位可得对应点()x y b +，或()x y b -，．
⑵ 图形平移：
①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位．
②如果把图形各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位．
注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．
【引例】 点()35M --，
向上平移7个单位得到点1M 的坐标为 ；再向左平移3个单位得到点2M 的坐标为 ．
【解析】 点向上平移7个单位，则横坐标不变，纵坐标增加7，即1M 坐标为()32-，，再向左平移3
个单位，则纵坐标不变，横坐标减少3，即2M 坐标为()62-，．
【例3】 ⑴ 平面直角坐标系中，将(2,1)P -向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到'P ，
C
B A'A
-1-2-3-3-2-1O y
x
123456
6
54321l 典题精练
例题精讲
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题型二：坐标系中的平移
⑵ 平面直角坐标系中，线段11A B ′′
是由线段AB 经过平移得到的，点()14A --，的对应点为 ()111A -，′，那么此过程是先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到
的，则点B ()11，
的对应点1B 坐标为 ． ⑶将点()21，P m n -+沿x 轴负方向平移3个单位，得到()112，P m -，则点P 坐标是 ． （一五六中学期中）
⑷ 平面直角坐标系中，线段A B ′′是由线段AB 经过平移得到的，点()21，A -的对应点为 ()34，A ′，点B 的对应点为()40，B ′，则点B 的坐标为（ ）
A ．()93，
B ．()13，--
C ．()33，-
D ．()31，--
（一五六中学期中）
【解析】 ⑴ ()22-，
； ⑵ 右2，上3，()3,4；
⑶ ()12，．由题意知23112m m n --=-⎧⎨+=⎩，解得3
1m n =⎧⎨=⎩
．故点()12P ，．
⑷ B ；可知线段AB 向右平移5个单位，向上平移3个单位得到A B ''，故点B 坐标是()13，--．
【例4】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案
中左、右眼睛的坐标分别是(42)-，，(22)-，，右边图案中左眼的坐标是(34)，，则右边
图案中右眼的坐标是_______．
（北京十二中期中） ⑵ 如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE 绕
A 点逆时针旋转90︒再向右平移2个单位的图形
（其中C 、D 为所在小正方形边的中点）．
⑶ 如图，把图1中的A e 经过平移得到O e （如图2），如果图1中A e 上一点P 的坐标为
()m n ，，那么平移后在图2中的对应点P '的坐标为 ．
（三帆中学期中）
【解析】 ⑴ 左眼坐标由(42)-，变为(34)，，由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平
移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为(54)，． ⑵ 图略；
A B C
D
E -3图1
-图2
⑶ ()21m n +-，
；A e 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到O e ．
在平面直角坐标系或网格中求面积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用大图形的总面积减去周围小三角形的面积．一般方法有割补法和等积变换法．
找规律的题目一定要先找123n =、、几个图形规律，再推广到n 的情况．
从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论，这是创造性思维的特点．
【引例】 如图，直角坐标系中，ABC △的顶点都在网格点上，其中点A 坐
标为()21-，，则ABC △的面积为 平方单位． 【解析】 长方形FDEB 的面积是12平方单位，ADC △的面积是1.5平方单
位，AEB △的面积是4个平方单位，BFC △的面积是1.5平方单位，所以ABC △的面积为124 1.5 1.55---=平方单位．
【例5】 ⑴ 直角坐标系中，已知()10A -，、()30B ，两点，点C 在y 轴上，ABC △的面积是4，则点
C 的坐标是 ．
⑵ 如右图，已知直角坐标系中()14A -，、()02B ，，平移线段AB ， 使点B 移到点()30C ，，此时点A 记作点D ，则四边形ABCD 的 面积是 ．
（161中学期中）
【解析】 ⑴ ()02，或()02，-；
⑵ 4；点A 平移后的坐标为()22D ，
，所以BD x ∥轴，2BD =，故1
22242
ABCD S =⨯⨯⨯=．
【例6】 ⑴ 如下左图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为(00)A ，，(90)B ，，
(75)C ，，(27)D ，
．求四边形ABCD 的面积．
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题型三：坐标系中的面积与规律问题
O
F E
D
C
B
A y x
1O y
x
D
C B
A
54321A
y D (2,7)
C (7,5)
y
⑵如上右图，ABC △，将ABC △向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到111A B C △．
①画出平移后的111A B C △；
②写出111A B C △三个顶点的坐标；（在图中标出）
③已知点P 在x 轴上，以1A 、1B 、P 为顶点的三角形面积为4，求P 点的坐标．
【解析】 ⑴ 本题的关键是根据平面直角坐标系的长度单位、原点和坐
标轴方向的意义解决简单的面积问题．可以把图形分割成3个直角三角形和1个正方形，问题就迎刃而解了．
如右图，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，过C 作y 轴的垂线，则可把图形分割成特殊的4部分，因此
(275225)25542ABCD S =⨯+⨯+⨯÷+⨯=四边形．
⑵ ①略；
②()()()111042041A B C ，，，，，;
③ ()00，
或()40，．
【探究对象】平面直角坐标系中求面积的方法
【探究目的】熟练利用几种方法快速准确求面积，为以后学习函数综合题打好基础 建议教师：先让学生自由发散，最后教师再总结方法 方法一、割补法（割：分割后再加；补：补全再减.）
【探究1】如图所示，()()()1,4,4,3,5,0A B C ,求图形OABC 的面积.
解析： 割：如上左图，分别过点A 、B 做x 轴的垂线段AD 、BE OAD BCE OABC ABED S S S S =++△△四边形梯形 ()111
=14+4+33+13=14222
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
补：如上右图，先补全为长方形再减去其余图形
OAD BCE ABE OABC ODEC S S S S S =---△△△四边形四边形 111
=54141414=14222
⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯
【探究2】如下图所示，()()354,3A B -，
，，求图形OAB 的面积.
解析：补：如上右图所示，补全图形为ABD △
OAB ABD AOD BOD S S S S =--
△△△△
11111
7
838372222
=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=
割：利用一次函数可求出直线AB 解析式为：811=77y x -，故11
7
OC =
()11111
34272
OAB OAC OBC S S S =+=⨯⨯+=△△△ 【此法教师备选】
方法二、容斥法：面积差
【探究3】如图所示，求12S S -的值.
解析：1211
=6424822
ABD ACD S S S S --=⨯⨯-⨯⨯=△△
【教师备选】
B B
方法三、转化法：平行线，一边转到轴上
【探究4】如图所示，求三角形AOB 的面积.
解析：过点A 做OB 的平行线，交y 轴于点C ，连接BC
由一次函数知识可求出直线1=2OB y x ：，设直线1
=+2
AC y x b ：
求得1
=+22
y x ，得()0,2C
由等积变换可知1
=24=42
AOB BOC S S =⨯⨯△△
【探究5】如图所示，求三角形ABC 的面积.
解析：过点A 作BC 的平行线交y 轴于点D ，连接DC 利用一次函数求得:=2+2BC y x ，设直线:=2+AD y x b 求得=2+7y x ，()0,7D
由等积变换可知15
=15=22
ABC DBC S S =⨯⨯△△
【点评】方法一和二为坐标系中求面积的常用方法，方法三转化法用到了一次函数的知识，作为教师
备选，建议教师可给学生传递这种求面积的思想，即把其中的一条边转化为坐标轴，从而快
速的求出面积.
【变式】已知，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且3OB OA ==．
⑴直接写出点A 、B 的坐标； ⑵若点()22C -，，求BOC △的面积；
⑶点P 是与y 轴平行的直线上一点，且点P 的横坐标为1，若ABP △的面积是6，求点P 的坐标．
【解析】 ⑴()()3,00,3A B ，
;
⑵1
3232
BOC S =⨯⨯=△;
⑶ 分两种情况：
①当点P 在第一象限时，设()1,,>0P a a ，如图1所示
AOB ABP BDP AODP S S S S =++△△△四边形
即()()191
1+3=+6+3222a a ⨯-，
解得=6a ()1,6P
②当点P 在第四象限时，设()1,,<0P a a ，如图2所示 ABP AOB BDP AODP S S S S =+-△△△四边形 即()()911
+1+313+=6222
a a ⨯-⨯⨯
解得=2,a 故=2a -. 即()1,2P -
图1 图2
【例7】 ⑴ 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，
图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四 条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边 上的整点个数共有 个．
（清华附中期中）
⑵ 如图，在平面直角坐标系中，第1次将OAB △变换成11OA B △，第二次将OAB △变换成
22OA B △，第3次将OAB △变换成33OA B △．
已知()13A ，，()123A ，
，()243A ，，()383A ，，()20B ，，()140B ，，()280B ，，()3160B ， 观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将33OA B △变换成44OA B △，则点4
A 的坐标是 ，点4
B 的坐标是 ，点n A 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．
【解析】 ⑴ 40；⑵ ()163，，()320，，()23，n ，()
120，n +
【例8】 一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从
原点运动到(10)，，而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平
行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min 后，求这个粒子所处的位置坐标．
【解析】 弄清粒子的运动规律，并求出靠近1989min 后粒子所在的特殊点的坐标，最后确定所求点的
坐标．
对于这种运算数较大的题目，我们首先来寻找规律，先观察横坐标与纵坐标相同的点： (00)，，粒子运动了0min ．
(11)，，粒子运动了122(min)⨯=，向左运动． (22)，，粒子运动了236(min)⨯=，向下运动． (33)，，粒子运动了3412(min)⨯=，向左运动． (44)，，粒子运动了4520(min)⨯=，向下运动．
……
于是点(4444)，处粒子运动了44451980(min)⨯=．这时粒子向下运动，从而在运动了2013min 后，粒子所在的位置是(444433)-，
，即(4411)，．
【变式】将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标
()x y ，，且x ，y 均为整数．如数5对应的坐标为()11-，
，则数 对应的坐标是()23-，，数2012对应的坐标是 ． （2012年101中期中）
【拓展】 数1950对应的坐标是 .
【解析】 36，()922-，
. ()22,9- 真题赏析
1234567
8
9101112131415161718192021
22
23242526
27
28293031
323334353637 x
y
如右图所示，可观察到奇数平方数的规律如下
数字 坐标
21=1 ()0,0
23=9 ()11-， 25=25 ()22-，
……
那么由245=2025可得数2025对应的坐标为()2222-，
， 故数2012对应的坐标为()221322--，
，即()922-，. 拓展：由于2012比较接近45的平方，而1950接近44的平方，故观察偶数平方数的规律
数字 坐标
22=4 ()0,1
24=16 ()12-， 26=36 ()23-，
……
由244=1936可得数1936对应的坐标为()21,22-，此时再往左一个数字1937对应坐标为
()22,22-，此后向下数字变大，故1950对应的坐标为()22,2213--，即()22,9-.
【教师备选】
【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1
个单位，用实数加法表示为()321+-=．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a
个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序
数对{}a b ，叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{}a b ，与“平移量”{}c d ，的加法运算法则为{}{}{}a b c d a c b d +=++，，，． 解决问题：
⑴ 计算：{}{}3112+，
，； ⑵ 动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{}31，
平移到A ，再按照“平移量”{}12， 平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{}12，平移到C ，再按照“平移量”{}31，
平移，最后的位置还是点B 吗？在图1中画出四边形OABC ．
⑶ 如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头()23P ，
，再从码头P 航行到码头()55Q ，，最后回到出发点O ，请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
（2012北京101中期中）
【解析】 ⑴}{4,3；⑵是，如图所示；
⑶}{}{}{}{2,3+3,2+5,5=0,0--.
【备选2】观察下列有规律的点的坐标：
()111A ，，()224A -，，()334A ，，()442A -，，()557A ，，6463A ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，，()7710A ，，()881A -，
依此规律，11A 的坐标为 ，12A 的坐标为 ．
（2012年101中期中）
【解析】 ()1111,16A ，12212,3A ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
横坐标的规律很明显，而纵坐标4
14,427,,10, 1 (3)
----，，，中的奇数数列1,4,7,10是公差为3
的等差数列，11A 的纵坐标为16，偶数数列可转化为4444
,,,1234
----，故12A 的纵坐标为
42=63
--. 【备选3】一个动点P 在平面直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到（1，1），然后按图中箭
头所示方向运动，每次移动三角形的一边长.即（1，1）→（2，0）→（3，2）→（4，0）→（5，1）→……，按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点P 的坐标是 ，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是 .
【解析】 ()()17,12011,2，.
【备选4】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B
两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A 、B 、C 为顶 点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
（2012清华附中期中） 【解析】 B .
【备选5】在平面直角坐标系中，已知()22A -，，在y 轴上确定点P ，使AOP △为等腰三角形，则符
合条件的点P 共有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
（2012陈分期中考试）
【解析】 C
题型一 坐标系中的对称 巩固练习
【练习1】 ⑴ 在平面直角坐标系中，点()25A ，
与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--， B ．()25--，
C ．()25，-
D ．()25，-
⑵ 已知点()P x y ，，()Q m n ，，如果00x m y n +=+=，，那么点P Q ，（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于过点()()0011，，，的直线对称 ⑶ 已知：()2
|1|20x y -++=，则()x y ，
关于原点对称的点为 ．
(12，0)
(10，0)(8，0)(6，0)(4，0)(2，0)(11，2)
(9，1)
(7，2)
(5，1)
(3，2)
(1，1)
O 复习巩固
（北京十二中）
⑷ 已知点()33P a b +，与点()52Q a b -+，关于x 轴对称，则a = ，b = ．
【解析】 ⑴ Ｃ；⑵ A ；⑶ ()12-，；⑷ 12a b ==-，；由35
23a b a b +=-⎧⎨
+=-⎩
解得12a b =⎧⎨=-⎩． 题型二 坐标系中的平移 巩固练习
【练习2】 ⑴线段CD 是由线段AB 平移得到的，点()15A -，的对应点是()42C ，，则点()41B -，的
对应点D 的坐标为 ．
⑵在平面直角坐标系中有一个已知点A ，现在x 轴向下平移3个单位，y 轴向左平移2个单 位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A 的坐标为()12-，，在旧的坐标系下，点A 的坐标为 ．
【解析】 ⑴()9,4-；⑵()31--，
．
【练习3】 如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．
⑴ 线段DC 是线段AB 经过怎样的平移得到的？ ⑵ 若C 点的坐标是()41，，A 点的坐标是()12--，，你能写出
B 、D 两点的坐标吗？
⑶ 求平行四边形ABCD 的面积．
（首师大二附中期中）
【解析】 ⑴ 先向右平移1个单位再向上平移3个单位．
⑵ ()32B -，
，()01D ，． ⑶ 4312ABCD S =⨯=Y ．
题型三 坐标系中的面积和规律问题 巩固练习
【练习4】 ⑴ 已知()02，A -，()50，B ，()43，
C ，求△ABC 的面积． （四中期中） ⑵ 已知：()40A ，，()10B x -，，()13C ，，ABC △的面积6=， 求代数式22225432x x x x x -++--的值．
（人大附中期中）
【解析】 ⑴ 17
2
．
⑵ 由题可得4AB =，得1441x x --=±⇒=或7x =-，原式化简
222254322x x x x x x -++--=--，代入得3-或5
【练习5】 如图，长为1，宽为2的长方形ABCD 以右下角的顶点为中心顺时
针旋转90︒，此时A 点的坐标为 ；依次旋转2009次，则顶
D
C
B
A
点A 的坐标为 ．
【解析】 ()32，，()30152，．
第十四种品格：信念
你的意念能跳多高
布勃卡是举世闻名的奥运会撑杆跳冠军，享有“撑杆跳沙皇”的美誉。

他曾35次创造撑杆跳世界纪录，所保持的两项世界纪录，迄今无人打破。

在参加“国家勋章”的授勋典礼上，记者们纷纷提问：“你的成功的秘诀是什么？”布勃卡微笔着说：“很简单，每次撑杆跳之前，我先让自己的意念‘跳’过横杆。

”
作为一名撑杆跳选手，有一段日子，尽管布勃卡不断尝试新的高度，但每次都以失败告终。

他苦恼过、沮丧过，甚至怀疑自己的潜力。

有一天，他来到训练场，禁不住摇头对教练说：“我实在跳不过去。

”教练平静地问：“你是怎么想的？”布勃卡如实回答：“只要踏上起跳线，一看清那根高悬的横杆，心里就害怕。

”教练看着他，突然厉声喝道：“布勃卡，你现在要做的是闭上眼睛，先让你的意念从标杆上‘跳’过去。

”教练的训斥，让布勃卡如梦初醒。

遵从教练的吩咐，他重新撑杆。

这一次，他顺利地跃身而过。

教练欣慰地笑了，语重心长地说：“记住，先将你的意念从标杆上‘跳’过去，你的身体就一定会跟着过去。

”
突破心灵障碍，才能超越自己。

如果你的意念屈服了，那么你可能真的就不行。

著名的钢铁大王卡耐基经常提醒自己的一句箴言是：我想赢，我一定能赢。

结果他真的赢了。