数学二次函数综合(定值)问题与解析
二次函数-定值问题典型例题
二次函数-定值问题【例1】如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．考点：二次函数综合题专题：压轴题．分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，又易得x1•x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1•OB+y2•OA=0．解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣，∴△OCD的面积S=（﹣）•b=﹣．∵kS+32=0，∴k（﹣）+32=0，解得b=±8，∵b＞0，∴b=8；（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，将x=代入y=x2，得y=（）2，整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，∴y1•y2=64，∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）证明：由勾股定理，得OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，同理，将y=kx+8代入y=x2，得kx+8=x2，即x2﹣8kx﹣64=0，∴x1•x2=﹣64，∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++，又∵OA2+OB2=+++，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．∵∠AOB=90°，∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，又∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴=，∵OE=﹣x1，BF=y2，∴=，∴x1•OB+y2•OA=0．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1•y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m 1 2 3由上表猜想：对任意m（m＞0）均有= ．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．考点：二次函数综合题分析：猜想与证明：把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从而得出均有=；探究与证明：（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论；（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论；联想与拓展：由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积，就可以求出其比值．解答：解：猜想与证明：当m=1时，1=x2，1=x2，∴x=±2，x=±3，∴AB=4，CD=6，∴；当m=2时，4=x2，4=x2，∴x=±4，x=±6，∴AB=8，CD=12，∴；当m=3时，9=x2，9=x2，∴x=±6，x=±9，∴AB=12，CD=18，∴；∴填表为m 1 2 3对任意m（m＞0）均有=．理由：将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±2m，∴A（﹣2m，m2），B（2m，m2），∴AB=4m．将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±3m，∴C（﹣3m，m2），D（3m，m2），∴CD=6m．∴，∴对任意m（m＞0）均有=；探究与运用：（1）∵O、Q关于直线CD对称，∴PQ=OP．∵CD∥x轴，∴∠DPQ=∠DPO=90°．∴△AOB与△CQD的高相等．∵=，∴AB=CD．∵S△AOB=AB•PO，S△CQD=CD•PQ，∴=，（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，∴PO=PB=m2，AB=2OP∴m2=m4，∴4m2=m4，∴m1=0，m2=﹣2，m3=2．∵m＞0，∴m=2，∴OP=4，AB=8，∴PD=6，CD=12．∴S△AOB==16∴S△CQD==24，∴S△CQD﹣S△AOB=24﹣16=8．当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP∴m2=m4，∴9m2=m4，∴m1=0，m2=﹣3，m3=3．∵m＞0，∴m=3，∴OP=6，AB=12，∴PQ=9，CD=18．∴S△AOB==54∴S△CQD==81，∴S△CQD﹣S△AOB=81﹣54=27；联想与拓展由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m2），D（3m，m2），∵AE∥y轴，DF∥y轴，∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m，∴y=（﹣2m）2，y=（3m）2，∴y=m2，y=m2，∴E（﹣2m，m2），F（3m，m2），∴AE=m2﹣m2=m2，DF=m2﹣m2=m2．S△AEM=×m2•2m=m3，S△DFM=m2•3m=m3．∴=．故答案为：；；．点评：本题考出了对称轴为y轴的抛物线的性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．【例3】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）设抛物线C2，（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化1的顶点式形式y=a（x﹣1）为一般形式即可；（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．解答：（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），∵抛物线过点（0，），∴a（0﹣1）2=，解得a=，∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2，一般形式为y=x2﹣x+；（2）解：当m=2时，m2=4，∵BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标为4，∴（x﹣1）2=4，解得x1=5，x2=﹣3，∴点B（﹣3，4），C（5，4），∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣5，4），设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣5﹣1）2﹣h=4，解得h=5；（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，∴点B、C的纵坐标为m2，∴（x﹣1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=1﹣2m，∴点C的坐标为（1+2m，m2），又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m，∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，解得h=2m+1，∴EF=h+m2=m2+2m+1，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．3718684专题：代数几何综合题．分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB=35，sin ∠OAB=55. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，35AB =5sin OAB ∠=5sin 3535BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理， 得2222(35)36AD AB BD =-=-=．1064OD OA AD ∴=-=-=．点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．y F P 3BEC D A P 2P 1O∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ········· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，． 而点(43)C -，，1(63)P ∴-，． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，； 而点(100)A ，，2(612)P ∴-，． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △中，由勾股定理，得220AP ===．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点．······················· 1分 ③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，．而点(00)O ，，3(147)P ∴，． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ······················· 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ·················· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭．3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················ 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ····················· 1分 综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．【例6】、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。
考点12 二次函数(精讲)(解析版)
考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。
而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。
题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。
当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。
最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
二次函数(定值问题)
二次函数--定值问题解法一：设直线解析式，利用韦达定理进行解题解法二：设点的坐标，利用相似进行解题1、如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．2、如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．3、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数 (为常数)的图象与x 轴交于点A(，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．（1）求的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．54y x m =+m 3-2y ax bx c =++a b c ，，a m 111M ()x y ，222M ()x y ，2112P P M M M M⋅4.如图，已知A B C ∆为直角三角形，90A C B ∠=︒，A C B C=,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结P Q 并延长交B C 于点E ，连结 B Q 并延长交AC 于点F ，试证明：()F C A CE C +为定值．yxQP F EDC BA O5. 如图1所示，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，二次函数y=ax 2+[x/6]+c 的图象F 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （-3，0），M （0，-1）。
一道二次函数经典30问解析（全）
01特别说明02针对变式题目03形定问题1、分析：二次函数有三种表达形式：由A、C两点坐标可以求出表达式里b、c两个参数的值，由顶点公式可求出顶点D的坐标。
（也可以采用设一般式或交点式方法求解）2、分析：由点A、C、D的坐标可以求出AD、AC、CD的长度，从而判断出ΔACD的形状。
04线段问题3、分析：因为BE=CE,则点E为BC的垂直平分线与y轴的交点。
根据勾股定理找出直角ΔOBE三边的关系从而求出点E的坐标。
4、分析：设出点P的坐标，然后再求出直线AC的表达式，从而表示出交点N的坐标，从而用x表示PM和MN的长度，根据PM和MN的关系求出点P的坐标。
05线段最值问题5、分析：求线段PH可以转化为求PF的最值，用含有x的表达式表示出PF的长度，根据二次函数求最值的方法从而求出PF的最大值。
根据PH和PF的数量关系求出PH的最大值和P的坐标。
（或者根据面积法求出高PH的函数表达式，同理可求）06线段最值问题6、分析：由（5）知PH=GH,矩形PEGH为正方形。
C矩形PEGH=4PH,当PH最大时成立。
7、分析：△BCP的周长为：BC+BP+PC,BC长度是定值，当PB+PC最小时，△BCP的周长最小。
07面积问题10、分析：四边形ABCD为不规则图形，可以采用隔或者补的方法转化为规则的图形。
解：过点D作DE垂直于x轴于点E。
08特殊图形1直角三角形2等腰三角形09平行四边形存在性10相似三角形11角度问题27、分析：若使直线AC与BM的夹角等于∠ACB的2倍，则∠MCB=∠MBC,则MC=MB,利用勾股定理用点M的坐标表示出MC和MB的长度，从而求出点M的坐标。
28、分析：若使∠BCO+∠BNO=∠BAC,可以在∠BAC上截取∠OAE=∠BCO,过点E作EF垂直AC于点F,则∠BNO=∠EAF，根据∠EAF的正切值求出点ON的长度即可。
12旋转问题29、分析：如图所示，分两种情况，根据旋转前后图形全等，设出抛物线一个点的坐标，根据数量关系表示出另一个抛物线的点的坐标，代入抛物线解析式，从而求出点O’坐标。
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题(原卷版)
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊，同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数功底与几何功底都有较高的要求.知识点梳理一、定值问题二、定点问题题型一 面积定值2022·山东淄博·中考真题2023·福建厦门三模题型二 线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考2024届福建龙岩市统考期中2020·西藏·中考真题题型二 线段和定值2023广州市二中月考2022·四川巴中·中考真题2024届湖北黄石市·九年级统考2023·四川乐山·统考二模2023·海口华侨中学考模2023·江苏徐州·4月模拟2022·湖南张家界·中考真题题型三 加权线段和定值2023·四川广元·中考真题2020·四川德阳·中考真题题型四 线段乘积为定值2023·四川南充·中考真题2024届·武汉市东湖高新区统考2024届福建省福州屏东中学月考2024届福州市晋安区统考2023·福建福州·校考三模题型五 比值为定值2023年广西钦州市一模2023福建厦门一中模拟2023年福州市屏东中学中考模拟武汉·中考真题题型六 横（纵）坐标定值2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题2024届湖北潜江市初12校联考题型七 角度为定值2023·成都武侯区西川中学三模四川乐山·统考中考真题题型八 其它定值问题2023·浙江湖州·统考一模2024届福建省南平市统考2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型九 结合韦达定理求定点2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟2024届武汉市青山区九年级统考2024届武汉市新洲区12月统考2024届·福建厦门市第九中学期中2023·武汉光谷实验中学中考模拟2023广东省梅州市九年级下期中2024届福州市九校联盟期中2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型十 已知定值求定点2024届武汉市洪山区九年级统考2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中2023年广州市天河外国语学校中考三模知识点梳理一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
二次函数中的定值问题
二次函数中的定值问题二次函数定值问题是中考压轴题常考考点，解决二次函数中的定值问题，可以根据特殊位置，特殊点去探求定值是多少，做到心中有数;其次再证明在一般情况下这个结论也成立，在运动变化过程中，应注意分清哪些量是变量，哪些是常量，其中二次函数定值问题常与一次函数结合一起，利用韦达定理解决二次函数中的定值问题是常用的解题思路！例1.抛物线y＝ax2﹣6x+c与x轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，△ABD为等边三角形．求ac的值例2.如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A 点在B点左），与y轴交于C点，连接BC，P为对称轴右侧抛物线上的动点，直线PA交y轴于E点，直线PB交y轴于点D，判断的值是否为定值，若是，求出定值，若不是请说明理由．例3.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a（a＞1）交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．过点B且与抛物线仅有一个交点的直线y＝kx+b交y轴于点D，求的值．例4.已知抛物线C1：y＝x2﹣1与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．例5.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是AB的中点，平行四边形CDEF的顶点D，E均在抛物线上．点F 在抛物线上，连接DF，求证：直线DF过一定点．解：联立得：，例6.Rt△ABC的三个顶点都在抛物线y＝﹣x2+4上，且直角顶点C在该抛物线的顶点处，设直线AB的解析式为y＝kx+b，试证明该直线必过一定点．例7.抛物线y＝﹣x2+2x+3;与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧），与y 轴交于点C，D为对称轴GT右边抛物线上的任意一点，连接AD，BD分别交GT于M、N两点，试证明MT+NT为定值．例8.如图，抛物线y＝﹣x2+3x﹣3;顶点D在x轴上，抛物线与直线l交于A、B两点．∠ADB＝90°，求证：直线l经过定点，并求出定点坐标．例10.如图已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求•的值．例11.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+x+2;的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值;若不是，请说明理由．例12.已知y＝x2﹣2x﹣3过点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）．直线y＝kx+k+1与此抛物线交于M、N两点，在抛物线上是否存在定点Q，使得对于任意实数k，都有∠MQN＝90°，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．例13.如图，抛物线y＝x2+x﹣2;与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴负半轴交于点C．经过定点P作一次函数y＝kx+与抛物线交于M，N两点．试探究是否为定值？请说明理由．例14.已知抛物线C1：y＝﹣x2+2x+3经过点（2，3），与x轴交于A（﹣1，0）、B两点．平移抛物线C1，使其顶点在y轴上，得到抛物线C2，过定点H（0，2）的直线交抛物线C2于M、N两点，过M、N的直线MR、NR与抛物线C2都只有唯一公共点，求证：R点在定直线上运动．例15.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标;若不是，请说明理由．练习1.抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于点A、点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，D点为抛物线上第三象限内一动点．过点N（﹣3，0）作y轴的平行线，交AD所在直线于点E，交BD所在直线于点F，在点D的运动过程中，求4NE+NF 的值．2.抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线l∥BC，直线l交抛物线于点M、N，直线AM交y轴于点P，直线AN交y轴于点Q，点P、Q的纵坐标为y P，y Q，求证：y P+y Q的值为定值．3.抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值．4.抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过点D（0，3）的直线交y＝﹣2x于M点，交抛物线于E、F两点，求﹣的值．5.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点交y轴于点C．点P在第四象限的抛物线上，过A，B，P作⊙O1，作PQ⊥x轴于Q，交⊙O于点H，求HQ的值．6.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴正半轴交于点D，M、N为y轴上的两个不同的动点，且OM＝ON，射线DM、DN分别与抛物线交于P、Q两点，求的值．7.平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+4x的顶点为A（2，4），且经过坐标原点．若直线y＝kx﹣2k+5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为P，当k＜0时，试说明直线MP过一定点Q，并求出点Q的坐标．8.如图，抛物线y＝﹣x2+1的顶点C在y轴正半轴上，与x轴交于A、B两点（A 点在B点左边）直线AQ、BP分别交y轴于E、F两点，求OE+OF的值．9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（其中m＞0），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于点C．平面上一点E（m，2），过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，求证：OM•ON是一个定值．10.已知抛物线y＝x2,直线y＝kx+2与抛物线交于点E，F，点P是抛物线上的动点，延长PE，PF分别交直线y＝﹣2于M，N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值．11.如图，过点F（0，2）的直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（M在N的左侧），证明：无论k取何实数，+为定值，并求出该值．12.抛物线y＝x2﹣2x﹣3，2，直线y＝kx+k+1与抛物线C2交于M、N两点，在抛物线上是否存在定点Q，使得对于任意实数k都有∠MQN＝90°？若存在，求点Q的坐标;若不存在，请说明理由．13.抛物线y＝﹣x2+2x+3，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P 作x轴的垂线交抛物线于点D．直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N 两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值;如果不是，请说明理由．14.抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．15.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣x﹣4的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围;若不变，求DE 的长．16.抛物线y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值;若不是，请说明理由．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+，抛物线y＝﹣x2+ x+（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B,若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．18.已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2m（m＞2），顶点为点M，抛物线与x轴交于A、B点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若直线CM交x轴于点N，请求的值．。
中考压轴题二次函数中的最(定)值问题
二次函数中的最（定）值问题【典例1】（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 与直线y ＝kx +b 都经过A （0，﹣3）、B （3，0）两点，该抛物线的顶点为C ． （1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并求△P AB 面积的最大值．【点拨】（1）将A （0，﹣3）、B （3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标和E 点坐标，则CE ＝2，分两种情况讨论：①若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE ＝MN ，②若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE ＝MN ，设M （a ，a ﹣3），则N （a ，a 2﹣2a ﹣3），可分别得到方程求出点M 的坐标；（3）如图，作PG ∥y 轴交直线AB 于点G ，设P （m ，m 2﹣2m ﹣3），则G （m ，m ﹣3），可由S △PAB =12PG ⋅OB ，得到m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 经过A （0，﹣3）、B （3，0）两点， ∴{9a −6+c =0c =−3， ∴{a =1c =−3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，∵直线y ＝kx +b 经过A （0，﹣3）、B （3，0）两点， ∴{3k +b =0b =−3，解得：{k =1b =−3， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ﹣3， （2）∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点C 的坐标为（1，﹣4）， ∵CE ∥y 轴， ∴E （1，﹣2）， ∴CE ＝2，①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE ＝MN ， 设M （a ，a ﹣3），则N （a ，a 2﹣2a ﹣3）， ∴MN ＝a ﹣3﹣（a 2﹣2a ﹣3）＝﹣a 2+3a ，∴﹣a 2+3a ＝2，解得：a ＝2，a ＝1（舍去）， ∴M （2，﹣1），②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE ＝MN ，设M （a ，a ﹣3），则N （a ，a 2﹣2a ﹣3）， ∴MN ＝a 2﹣2a ﹣3﹣（a ﹣3）＝a 2﹣3a ，∴a 2﹣3a ＝2， 解得：a =3+√172，a =3−√172（舍去）， ∴M （3+√172，−3+√172）， 综合可得M 点的坐标为（2，﹣1）或（3+√172，−3+√172）． （3）如图，作PG ∥y 轴交直线AB 于点G ， 设P （m ，m 2﹣2m ﹣3），则G （m ，m ﹣3），∴PG ＝m ﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+3m ，∴S △P AB ＝S △PGA +S △PGB =12PG ⋅OB =12×(−m 2+3m)×3=−32m 2+92m =−32(m −32)2+278， ∴当m =32时，△P AB 面积的最大值是278，此时P 点坐标为（32，−154）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．【典例2】（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），OA ＝1，经过点A 的一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，△ABD 的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标； （3）若点P 为x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE +35P A 的最小值．【点拨】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A （﹣1，0），可求得a 的值，由△ABD 的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A 、D 的坐标可求出一次函数解析式； （2）作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由S △ACE ＝S △AME ﹣S △CME 构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E 关于x 轴的对称点F ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交x 轴于点P ，则∠BAE ＝∠HAP ＝∠HFE ，利用锐角三角函数的定义可得出EP +35AP ＝FP +HP ，此时FH 最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y ＝ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2， ∵OA ＝1，∴点A 的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a ﹣2＝0， ∴a =12，∴抛物线的解析式为y =12(x −1)2−2，即y =12x 2−x −32． 令y ＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴B （3，0）， ∴AB ＝OA +OB ＝4， ∵△ABD 的面积为5， ∴S △ABD =12AB ⋅y D =5，∴y D =52，代入抛物线解析式得，52=12x 2−x −32，解得x 1＝﹣2，x 2＝4， ∴D （4，52），设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，∴{4k +b =52−k +b =0，解得：{k =12b =12， ∴直线AD 的解析式为y =12x +12．（2）过点E 作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，设E （a ，12a 2−a −32），则M （a ，12a +12），∴EM =12a +12−12a 2+a +32=−12a 2+32a +2， ∴S △ACE ＝S △AME ﹣S △CME =12×EM ⋅1=12(−12a 2+32a +2)×1=−14(a 2−3a −4)， =−14(a −32)2+2516，∴当a =32时，△ACE 的面积有最大值，最大值是2516，此时E 点坐标为（32，−158）．（3）作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交x 轴于点P ，∵E （32，−158），OA ＝1，∴AG ＝1+32=52，EG =158，∴AG EG=52158=43，∵∠AGE ＝∠AHP ＝90° ∴sin ∠EAG =PHAP =EGAE =35， ∴PH =35AP ， ∵E 、F 关于x 轴对称， ∴PE ＝PF ，∴PE +35AP ＝FP +HP ＝FH ，此时FH 最小， ∵EF =158×2=154，∠AEG ＝∠HEF ， ∴sin∠AEG =sin∠HEF =AGAE =FHEF =45， ∴FH =45×154=3． ∴PE +35P A 的最小值是3．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．【精练1】（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ，C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由．【点拨】（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3，即可求解；（2）设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，即可求解；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，即可求解．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x=32时，PD最大值为：94；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为√33，则直线CH的表达式为：y=−√3x+3，当x＝1时，y＝3−√3，当y＝0时，x=√3，故点N、M的坐标分别为：（1，3−√3）、（√3，0），CN+MN+12MB的最小值＝CH＝CM+FH=3+3√32．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性等，其中（3），本题提供对的采取的用点的对称轴确定线段和的方法，是此类题目的一般方法．【精练2】（2020•郑州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y=−12x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求PDOD的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．【点拨】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段PDOD =PFOB，则PF取最大值时，求得PDOD的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO ＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii ）点E 在y 轴上时，过点PK ⊥x 轴于K ，作PS ⊥y 轴于S ，同理可证得△EPS ≌△CPK ，可得PS ＝PK ，则P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点E 在y 轴上时，过点PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，同理可证得△PEN ≌△PCM ，可得PN ＝PM ，则P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题． 【解答】解：（1）直线y ＝x +4与坐标轴交于A 、B 两点， 当x ＝0时，y ＝4，x ＝﹣4时，y ＝0， ∴A （﹣4，0），B （0，4），把A ，B 两点的坐标代入解析式得，{−4b +c =8c =4，解得，{b =−1c =4，∴抛物线的解析式为y =−12x 2−x +4； （2）如图1，作PF ∥BO 交AB 于点F ， ∴△PFD ∽△OBD ， ∴PD OD=PF OB，∵OB 为定值， ∴当PF 取最大值时，PD OD有最大值，设P （x ，−12x 2−x +4），其中﹣4＜x ＜0，则F （x ，x +4）， ∴PF =y P −y F =−12x 2−x +4−(x +4)=−12x 2−2x ， ∵−12＜0且对称轴是直线x ＝﹣2， ∴当x ＝﹣2时，PF 有最大值， 此时PF ＝2，PD OD=PF OB=12；（3）∵点C （2，0）， ∴CO ＝2，（i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，{∠HPC=∠OCF ∠PHC=∠COF PC=CF，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴−12x2−x+4=2，解得，x=−1±√5，∴P1(−1+√5，2)，P2(−1−√5，2)，（ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，∴PS＝PK，∴P点的横纵坐标互为相反数，∴−12x2−x+4=−x，解得x＝2√2（舍去），x＝﹣2√2，∴P3(−2√2，2√2)，如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，∴PN＝PM，∴P点的横纵坐标相等，∴−12x2−x+4=x，解得x=−2+2√3，x=−2−2√3（舍去），∴P4(−2+2√3，−2+2√3)，综合以上可得P点坐标为(−2+2√3，−2+2√3)，(−2√2，2√2)，(−1+√5，2)，(−1−√5，2)．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论．【精练3】（2020•武汉模拟）如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．（1）求抛物线M2的解析式；（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则EGHF的值是否为定值，证明你的结论．【点拨】（1）先将抛物线M1：y＝﹣x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式；（2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值；（3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出EGHF的值为1．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；（2）∵抛物线M1与M2交于点B，∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x＝3，∴B（3，3），将点B（3，3）代入y＝kx，得，k＝1，∴y OB＝x，∵抛物线M2与直线OB交于点C，∴x＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1＝3，x2＝6，∴C（6，6），∵点P的横坐标为m，∴点P（m，﹣m2+4m），则Q（m，﹣m2+10m﹣18），∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，∴S△PQC=12（6m﹣18）（6﹣m）＝﹣3m2+27m﹣54，＝﹣3（m−92）2+274，在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时，x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），∵B（3，3），∴3≤m≤4，∴在S＝﹣3（m−92）2+274中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6；（3）GEHF的值是定值1，理由如下：设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，则y EH＝x﹣k，∴令x﹣k＝﹣x2+4x，解得，x1=3+√9+4k2，x2=3−√9+4k2，∴x F=3+√9+4k2，x E=3−√9+4k2，令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，解得，x1=9+√9+4k2，x2=9−√9+4k2，∴x H=9+√9+4k2，x G=9−√9+4k2，∴ME＝x G﹣x E=9−√9+4k2−3−√9+4k2=3，FN＝x H﹣x F=9+√9+4k2−3+√9+4k2=3，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，∴△GEM∽△HFN，∴GEHF =EMFN，∴GEHF =EMFN=33=1，∴GEHF的值是定值1．【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握用函数的思想求极值等．【精练4】（2019秋•南岗区期末）如图，抛物线y＝ax2﹣11ax+24a交x轴于C，D两点，交y轴于点B（0，449），过抛物线的顶点A作x轴的垂线AE，垂足为点E，作直线BE．（1）求直线BE的解析式；（2）点H为第一象限内直线AE上的一点，连接CH，取CH的中点K，作射线DK交抛物线于点P，设线段EH的长为m，点P的横坐标为n，求n与m之间的函数关系式．（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，在线段BE上有一点Q，连接QH，QC，线段QH交线段PD于点F，若∠HFD＝2∠FDO，∠HQC＝90°+12∠FDO，求n的值．【点拨】（1）根据抛物线可得对称轴，可知点E的坐标，利用待定系数法可得一次函数BE的解析式；（2）如图1，作辅助线，构建直角三角形，根据抛物线过点B （0，449），可得a 的值，计算y ＝0时，x的值可得C 和D 两点的坐标，从而知CD 的值，根据P 的横坐标可表示其纵坐标，根据tan ∠PDM =PMDM=1154(n−3)(n−8)8−n=1154(3−n)，tan ∠KDN =KN DN =m2154=2m 15，相等列方程为1154(3−n)=2m 15，可得结论；（3）如图2，延长HF 交x 轴于T ，先根据已知得∠FDO ＝∠FTO ，由等角的三角函数相等和（2）中的结论得：tan ∠FDO ＝tan ∠FTO ，则m ET=2m 15，可得ET 和CT 的长，令∠FDO ＝∠FTO ＝2α，表示角可得∠TCQ ＝∠TQC ，则TQ ＝CT ＝5， 设Q 的坐标为（t ，−89t +449），根据定理列方程可得：TS 2+QS 2＝TQ 2，（2+t ）2+（−89t +449）2＝52，解得t 1=4729，t 2＝1；根据两个t 的值分别求n 的值即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣11ax +24a ， ∴对称轴是：x =−−11a2a =112， ∴E （112，0），∵B （0，449），设直线BE 的解析式为：y ＝kx +b ，则{112k +b =0b =449，解得：{k =−89b =449， ∴直线BE 的解析式为：y =−89x +449；（2）如图1，过K 作KN ⊥x 轴于N ，过P 作PM ⊥x 轴于M ，∵抛物线y ＝ax 2﹣11ax +24a 交y 轴于点B （0，449），∴24a =449， ∴a =1154， ∴y =1154x 2−12154x +449=1154（x ﹣3）（x ﹣8）， ∴当y ＝0时，1154（x ﹣3）（x ﹣8）＝0，解得：x ＝3或8， ∴C （3，0），D （8，0）， ∴OC ＝3，OD ＝8， ∴CD ＝5，CE ＝DE =52， ∴P 点在抛物线上， ∴P [n ，1154（n ﹣3）（n ﹣8）]，∴PM =1154（n ﹣3）（n ﹣8），DM ＝8﹣n ，∴tan ∠PDM =PM DM =1154(n−3)(n−8)8−n =1154(3−n)，∵AE ⊥x 轴，∴∠KNC ＝∠HEC ＝90°， ∴KN ∥EH ， ∴CN EN=CK KH=1，∴CN ＝EN =12CE =54，∴KN =12HE =12m ，ND =154，在△KDN 中，tan ∠KDN 中，tan ∠KDN =KN DN =m2154=2m 15，∴1154(3−n)=2m 15，n =−3655m +3；（3）如图2，延长HF 交x 轴于T ，∵∠HFD ＝2∠FDO ，∠HFD ＝∠FDO +∠FTO ， ∴∠FDO ＝∠FTO ， ∴tan ∠FDO ＝tan ∠FTO ， 在Rt △HTE 中，tan ∠FTO =EHET ， ∴m ET=2m 15，∴ET =152， ∴CT ＝5，令∠FDO ＝∠FTO ＝2α，∴∠HQC ＝90°+12∠FDO =90°+α，∴∠TQC ＝180°﹣∠HQC ＝90°﹣α，∠TCQ ＝180°﹣∠HTC ﹣∠TQC ＝90°﹣α， ∴∠TCQ ＝∠TQC ， ∴TQ ＝CT ＝5，∵点Q 在直线y =−89x +449上，∴可设Q 的坐标为（t ，−89t +449）， 过Q 作QS ⊥x 轴于S ，则QS =−89t +449，TS ＝2+t ， 在Rt △TQS 中，TS 2+QS 2＝TQ 2， ∴（2+t ）2+（−89t +449）2＝52， 解得t 1=4729，t 2＝1；①当t =4729时，QS =10029，TS =10529， 在Rt △QTH 中，tan ∠QTS =1002910529=2021，∴2m 15=2021，m =507， ∴n =−3655×507+3=−12977， ②当t ＝1时，QS ＝4，TS ＝3， 在Rt △QTH 中，tan ∠QTS =QS TS =43， ∴2m 15=43，m ＝10， ∴n =−3655×10+3=−3911． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角函数、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等，其中（3），运用方程的思想，求解t 的值，难度很大．【精练5】（2019秋•大东区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0），点B （4，0），与y 轴交于点C （0，2√3），连接BC ，位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ，连接AC ，BC ，P A ，PB ，PC ． （1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似的点P 点的横坐标； （3）如图1，当直线1运动时，求△PCB 面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H 、K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH 、HK ，当△PCB 的面积最大时，请直接写出PH +HK +√32KG 的最小值．【点拨】（1）根据A和B的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2√3）代入可得：a=−√34，即可求解；（2）只有当∠P AE＝∠ACO时，△PEA△∽AOC，可得方程，解方程可得P的横坐标；（3）如图1，先确定△PCB的面积最大时，PD最大，设P（x，−√34x2+√32x+2√3），D（x，−√32x+2√3），表示PD的长，根据二次函数的最值可得PD的最大值，最后利用三角形面积公式可得结论；（4）由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2√3），则OP=√22+(2√3)2=4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+√32KG＝PH+HK+KM′≥PM，求出PM即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），点B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2√3）代入得：a=−√3 4，故抛物线的表达式为：y=−√34（x+2）（x﹣4）=−√34x2+√32x+2√3；（2）设P（x，−√34x2+√32x+2√3），∵动直线l在y轴的右侧，P为抛物线与l的交点，∴0＜x＜4，∵点A（﹣2，0）、C（0，2√3），∴OA＝2，OC＝2√3，∵l⊥x轴，∴∠PEA ＝∠AOC ＝90°， ∵∠P AE ≠∠CAO ，∴只有当∠P AE ＝∠ACO 时，△PEA ∽△AOC ，此时PEAE=AO OC，即−√34x 2+√32x+2√3x+2=2√3，3x 2﹣2x ﹣16＝0， （x +2）（3x ﹣8）＝0， x ＝﹣2（舍）或83，则点P 的横坐标为83；（3）如图1，△PCB 的面积=12⋅PD ⋅OB ，∵OB ＝4是定值，∴当PD 的值最大时，△PCB 的面积最大， ∵B （4，0），C （0，2√3）， 设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ， 则{4k +b =0b =2√3， 解得：{k =−√32b =2√3，∴直线BC 的解析式为：y =−√32x +2√3，设P （x ，−√34x 2+√32x +2√3），D （x ，−√32x +2√3），∴PD ＝（−√34x 2+√32x +2√3）﹣（−√32x +2√3）=−√34x 2+√3x =−√34（x ﹣2）2+√3，∵−√34＜0，∴当x＝2时，PD有最大值是√3，此时△PCB的面积=12⋅PD⋅OB=12×√3×4＝2√3；（4）如图2中，△AOC中，OA＝2，OC＝2√3，∴AC＝4，∴∠ACO＝30°，∵BG∥AC，∴∠BGO＝∠ACO＝30°，Rt△BOG中，OB＝4，∴OG＝4√3，由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2√3），则OP=√22+(2√3)2=4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+√32KG＝PH+HK+KM′≥PM，∵P（2，2√3），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，Rt△OMG中，OG＝4√3，MG＝2√3，∴OM＝6，可得PM＝10，∴PH+HK+√32KG的最小值为10．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【精练6】（2016秋•集宁区期末）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【点拨】（1）由对称轴确定h的值，代入点A坐标即可求解；（2）设出点P坐标并表示△POC的面积根据题意列出方程求解即可；（3）设出点Q，D坐标并表示线段QD的长度，建立二次函数，运用二次函数的最值求解即可．【解答】解：（1）由题意对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式：y＝a（x+1）2﹣4，把点A（﹣3，0）代入可得，a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，（2）如图1，y ＝x 2+2x ﹣3，当x ＝0时，y ＝﹣3，所以点C （0，﹣3），OC ＝3，令y ＝0，解得：x ＝﹣3，或x ＝1，∴点B （1，0），OB ＝1，设点P （m ，m 2+2m ﹣3），此时S △POC =12×OC ×|m |=32|m |， S △BOC =12×OB ×OC =32， 由S △POC ＝4S △BOC 得32|m |＝6，解得：m ＝4或m ＝﹣4，m 2+2m ﹣3＝21，或m 2+2m ﹣3＝5，所以点P 的坐标为：（4，21），或（﹣4，5）；（3）如图2，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ，把A （﹣3，0），C （0，﹣3）代入得：{0=−3k +b −3=b，解得：{k =−1b =−3， 所以直线AC ：y ＝﹣x ﹣3，设点Q （n ，﹣n ﹣3），点D （n ，n 2+2n ﹣3）所以：DQ ＝﹣n ﹣3﹣（n 2+2n ﹣3）＝﹣n 2﹣3n ＝﹣（n +32）2+94，所以当n =−32时，DQ 有最大值94． 【点睛】此题主要考查二次函数综合问题，会求函数解析式，会根据面积相等建立方程并准确求解，知道运用二次函数可以解决线段最值问题，是解题的关键．【精练7】（2019秋•农安县期末）定义：对于抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），若b 2＝ac ，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y ＝x 2﹣x +1是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）将黄金抛物线y ＝x 2﹣x +1沿对称轴向下平移3个单位①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②新抛物线如图所示，与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于C ，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．③当直线BC 下方的抛物线上动点P 运动到什么位置时，四边形 OBPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形OBPC 的最大面积．【点拨】（1）直接根据黄金抛物线的定义写一个解析式即可；（2）①根据平移的知识直接写出新抛物线的解析式；②设P 点坐标为（x ，x 2﹣x ﹣2），PP ′交CO 于E ，若四边形POP ′C 是菱形，则有PC ＝PO ，连结PP ′则PE ⊥CO 于E ，P 点的横坐标为﹣1，进而解方程求出x 的值；③过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2﹣x ﹣2），先求出BC 的直线解析式，进而设Q 点的坐标为（x ，x ﹣2），根据S 四边形OBPC ＝S △OBC +S △BPQ +S △CPQ 列出x 的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出满足条件的P 点坐标以及面积最大值．【解答】解：（1）不唯一，例如：y ＝x 2+x +1；（2）①：y ＝x 2﹣x ﹣2；②存在点P ，如图1，使四边形POP ′C 为菱形．设P 点坐标为（x ，x 2﹣x ﹣2），PP ′交CO 于E若四边形POP ′C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP ′则PE ⊥CO 于E ，∴OE ＝EC ＝1，∴y ＝﹣1，∴x 2﹣x ﹣2＝﹣1解得x 1=1+√52，x 2=1−√52（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（1+√52，﹣1）； ③过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，x 2﹣x ﹣2），易得，直线BC 的解析式：y ＝x ﹣2则Q 点的坐标为（x ，x ﹣2）．S 四边形OBPC ＝S △OBC +S △BPQ +S △CPQ=12OB •OC +12QP •OF +12QP •FB =12×2×2+12(−x 2+2x)×2＝﹣（x ﹣1）2+3，当x ＝1时，四边形OBPC 的面积最大此时P 点的坐标为（1，﹣2），四边形OBPC 的面积最大值是3．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及黄金抛物线新定义、菱形的判定与性质、四边形面积的求法等知识，解答此题要掌握黄金抛物线的定义，解答（2）问需要掌握菱形的性质以及分割法求四边形的面积，此题难度不大．。
中考江苏省、南京市、广东省各地市数学试题“二次函数综合题”专题汇编与解析
2019年中考江苏省、南京市、广东省各地市数学试题“二次函数综合题”专题汇编与解析一．解答题（共11小题）1．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣12x2﹣32x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．2．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B （x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝4x（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）3．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A 的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB ＝2S△QRB，求点P的坐标．5．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝25x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝275时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围．6．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A 是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．7．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．8．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．9．（2019•深圳）如图抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），点C （0，3），且OB ＝OC ． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线x ＝1上的两个动点，且DE ＝1，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分，求点P 的坐标．10．（2019•广州）已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点． （1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的图象交于点P ，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围．11．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝8x 2+4x ﹣8与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△P AM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？2019年中考江苏省、南京市、广东省各地市数学试题“二次函数综合题”专题汇编参考解析一．解答题（共11小题）1．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣12x2﹣32x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．【解】：（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，2﹣2x﹣3），将Q（x+2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣12（x+2）2﹣32（x+2）+2，解得，x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得y＝﹣12x2﹣32x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣12（x﹣2）2﹣32（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x＝﹣43，此时点P的坐标为（3，0）或（﹣43，139）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（2，﹣3），得PQ的中点坐标为（2，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得﹣x2+2x﹣3═﹣12（2﹣x）2﹣32（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣43，139）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，∴△PSC∽△RTC，∴，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x2＝4，在Rt△PRH中，tan∠PRH＝＝过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，所以2m＝，解得，m＝，所以点Q坐标为（，﹣，﹣7．2．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B （x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ 3 ．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是（1，2）．（2）函数y＝4x（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【解】：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，∵0≤x≤2，∴x+y＝3，∴，解得：，∴B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，根据题意，得，∵x＞0，∴，4400x xx x -+-=+，∴43x x+=，∴x 2+4＝3x ， ∴x 2﹣3x +4＝0，∴△＝b 2﹣4ac ＝﹣7＜0， ∴方程x 2﹣3x +4＝0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）＝3． （3）设D （x ，y ），根据题意得，d （O ，D ）＝|x ﹣0|+|x 2﹣5x +7﹣0|＝|x |+|x 2﹣5x +7|， ∵225357()024x x x -+=-+>， 又x ≥0，∴d （O ，D ）＝|x |+|x 2﹣5x +7|＝x +x 2﹣5x +7＝x 2﹣4x +7＝（x ﹣2）2+3， ∴当x ＝2时，d （O ，D ）有最小值3，此时点D 的坐标是（2，1）．（4）如图，以M 为原点，MN 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，将函数y ＝﹣x 的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E ，过点E 作EH ⊥MN ，垂足为H ，修建方案是：先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处．理由：设过点E 的直线l 1与x 轴相交于点F ．在景观湖边界所在曲线上任取一点P ，过点P 作直线l 2∥l 1，l 2与x 轴相交于点G ．∵∠EFH ＝45°，∴EH ＝HF ，d （O ，E ）＝OH +EH ＝OF ， 同理d （O ，P ）＝OG ， ∵OG ≥OF ，∴d（O，P）≥d（O，E），∴上述方案修建的道路最短．3．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣3 16∴二次函数的表达式为：y＝﹣316（x﹣1）2+3（2）依题意，点B（5，0），点D（1，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b，代入得，解得∴线段BD所在的直线为y＝34-x+154，设点E的坐标为：（x，34-x+154）∴ED2＝（x﹣1）2+（﹣34x+154﹣3）2，EF＝∵ED＝EF，∴（x﹣1）2+（﹣34x+154﹣3）2＝，整理得2x2+5x﹣25＝0，解得x1＝52，x2＝﹣5（舍去）故点E的纵坐标为y＝351515 4248 -⨯+=∴点E的坐标为515 (,) 28（3）存在点G，当点G在x轴的上方时，设点G的坐标为（m，n），∵点B的坐标为（5，0），对称轴x＝1∴点A的坐标为（﹣3，0），∴设AD所在的直线解析式为y＝kx+b，代入得033k bk b=-+⎧⎨=+⎩，解得3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AD的解析式为y＝39 44 x+∴AD的距离为5，过点G作直线AD：3x﹣4y+9＝0的垂线，交点垂足为Q（x，y），得，化简得由上式整理得，（32+42）[（x﹣m）2+（y﹣n）2]＝（3m﹣4n+9）2∴|GQ|＝＝∴点G到AD的距离为：d1＝||，由（2）知直线BD的解析式为：y＝34-x+154，∴BD 的距离为5，∴同理得点G 至BD 的距离为：d 2＝|34155m n +-|，∴S ADG S BDG ＝121212ADd BDd ＝3493415m n m n -++-＝35，整理得6m ﹣32n +90＝0 ∵点G 在二次函数上， ∴n ＝代入得6m ﹣32[﹣316（m ﹣1）2+3]+90＝0， 整理得2660m m -=， 解得m 1＝0，m 2＝1（舍去） 此时点G 的坐标为（0，4516） 当点G 在x 轴下方时，如图2所示，∵AO ：OB ＝3：5∴当△ADG 与△BDG 的高相等时， 存在点G 使得S △ADG ：S △BDG ＝3：5，此时，DG 的直线经过原点，设直线DG 的解析式为y ＝kx ， 将点D 代入得，k ＝3， 故y ＝3x ，则有整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，得x1＝1（舍去），x2＝﹣15当x＝﹣15时，y＝﹣45，故点G为（﹣15，﹣45），综上所述，点G的坐标为（0，4516）或（﹣15，﹣45）．4．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A 的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝2；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB ＝2S△QRB，求点P的坐标．【解】：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）∴﹣1﹣b+3＝0解得：b＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3当x＝0时y＝3，∴C（0，3）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0），B（3，0）∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3∵点D为OC的中点，∴D（0，32）∴直线BD的解析式为y＝﹣+32，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣12t+32），H（t，0）∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣12x+32）＝﹣12t+32，NH＝﹣12t+32∴MN＝NH ∵PM＝MN∴﹣t2+3t＝﹣12t+32解得：t1＝12，t2＝3（舍去）∴P（12，154）∴P的坐标为（12，154），使得PM＝MN＝NH．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E∵OB＝3，OD＝32，∠BOD＝90°∴BD＝＝∴cos∠OBD＝∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝∴PQ＝PE在Rt△PFR中，cos∠RPF＝∴PR＝PF∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝12BQ•PQ，S△QRB＝12BQ•QR∴PQ＝2QR设直线BD与抛物线交于点G∵﹣+32＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣12∴点G横坐标为﹣1 2设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣12t+32）∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣12t+32）|＝|﹣t2+52t+32|①若﹣12＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，②∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+52t+32∵PQ＝2QR∴PQ＝23 PR∴PE＝23•PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2+52t+32）＝5（﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去）∴P（2，3）②若﹣1＜t＜﹣12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣12t+32﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣52t﹣32∵PQ＝2QR∴PQ＝2PR＝2，即2PE＝5PF∴2（t2﹣52t﹣32）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t1＝﹣43，t2＝3（舍去）∴P（﹣43，﹣139）综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣43，﹣139）．5．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝25x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是（2，9）；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝275时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围9 5＜n＜215．【解】：（1）顶点为D（2，9）；故答案为（2，9）；（2）对称轴x＝2，∴C（2，95），由已知可求A（﹣52，0），点A关于x＝2对称点为（132，0），则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，∴B（5，3），①当n＝275时，N（2，275），∴DA＝，DN＝185，CD＝365当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，∵△DAC∽△DPN，∴DP DN DA DC=，∴DP＝；当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，∴△DNQ∽△DCA，∴，∴DP＝；综上所述，DP＝；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝∴DP DN DA DC=，∴DN＝245，∴N（2，215），∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，95＜n＜215；故答案为95＜n＜215；6．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣2x+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B 的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A 是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．【解】：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴1(1)()6 2a a--=解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣32，32）∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC，∴线段AC的垂直平分线过原点，∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，∵由A（﹣3，0），B（1，0），∴线段AB的垂直平分线为x＝﹣1将x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP＝12AB•PM＝12×4d∵S△PQB＝S△P AB∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）7．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．【解】：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即∵a＞0，∴b＜0；（2）①过点D作DM⊥Oy，则，∴，设A （﹣2m ，0）m ＞0，则AO ＝2m ，DM ＝m ∵OC ＝4，∴CM ＝2， ∴D （m ，﹣6），B （4m ，0）， 则，∴OE ＝8， S △BEF ＝12×4×4m ＝8， ∴m ＝1，∴A （﹣2，0），B （4，0）， 设y ＝a （x +2）（x ﹣4）， 即y ＝ax 2﹣2ax ﹣8a ， 令x ＝0，则y ＝﹣8a ， ∴C （0，﹣8a ）， ∴﹣8a ＝﹣4，a ＝12， ∴；②由①知B （4m ，0）C （0，﹣4）D （m ，﹣6），则∠CBD 一定为锐角， CB 2＝16m 2+16，CD 2＝m 2+4，DB 2＝9m 2+36， 当∠CDB 为锐角时， CD 2+DB 2＞CB 2， m 2+4+9m 2+36＞16m 2+16， 解得﹣2＜m ＜2； 当∠BCD 为锐角时， CD 2+CB 2＞DB 2， m 2+4+16m 2+16＞9m 2+36， 解得，综上：，24m <；故：4OA <<．8．（2019•宿迁）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【解】：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）∴解得：∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3（2）①若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI 于点F，过点H作HI⊥BI于点I∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1∴B（﹣3，0）∵A（1，0），C（0，﹣3）∴OA＝1，OC＝3，AC＝，AB＝4∴Rt △AOC 中，sin ∠ACO ＝，cos ∠ACO ＝∵AB ＝AH ，G 为BH 中点 ∴AG ⊥BH ，BG ＝GH∴∠BAG ＝∠HAG ，即∠P AB ＝2∠BAG ∵∠P AB ＝2∠ACO ∴∠BAG ＝∠ACO∴Rt △ABG 中，∠AGB ＝90°，sin ∠BAG ＝∴BG ＝AB ＝5∴BH ＝2BG ＝5∵∠HBI +∠ABG ＝∠ABG +∠BAG ＝90° ∴∠HBI ＝∠BAG ＝∠ACO∴Rt △BHI 中，∠BIH ＝90°，sin ∠HBI ＝，cos ∠HBI ＝BI BH∴HI ＝BH ＝45，BI BH ＝125∴x H ＝﹣3+45＝﹣115，y H ＝﹣125，即H （﹣115，﹣125） 设直线AH 解析式为y ＝kx +a∴ 解得：∴直线AH ：y ＝34x ﹣34∵解得：（即点A ），∴P （﹣94，﹣3916） 若点P 在x 轴上方，如图2，在AP 上截取AH '＝AH ，则H '与H 关于x 轴对称 ∴H '（﹣115，125） 设直线AH '解析式为y ＝k 'x +a '∴解得：3434k a ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩∴直线AH '：y ＝34x ﹣34∵2334423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩解得：（即点A ），∴P （﹣154，5716） 综上所述，点P 的坐标为（﹣94，﹣3916）或（﹣154，5716）． （3）DM +DN 为定值∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的对称轴为：直线x ＝﹣1 ∴D （﹣1，0），x M ＝x N ＝﹣1 设Q （t ，t 2+2t ﹣3）（﹣3＜t ＜1） 设直线AQ 解析式为y ＝dx +e ∴解得：∴直线AQ ：y ＝（t +3）x ﹣t ﹣3当x ＝﹣1时，y M ＝﹣t ﹣3﹣t ﹣3＝﹣2t ﹣6 ∴DM ＝0﹣（﹣2t ﹣6）＝2t +6设直线BQ 解析式为y ＝mx +n∴23023m n mt n t t -+=⎧⎨+=+-⎩解得：133m t n t =-⎧⎨=-⎩ ∴直线BQ ：y ＝（t ﹣1）x +3t ﹣3 当x ＝﹣1时，y N ＝﹣t +1+3t ﹣3＝2t ﹣2 ∴DN ＝0﹣（2t ﹣2）＝﹣2t +2∴DM +DN ＝2t +6+（﹣2t +2）＝8，为定值．9．（2019•深圳）如图抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），点C （0，3），且OB ＝OC ． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线x ＝1上的两个动点，且DE ＝1，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分，求点P 的坐标．【解】：（1）∵OB ＝OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3）＝ax 2﹣2ax ﹣3a ， 故﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣2x +2x +3…①， 函数的对称轴为：x ＝1；（2）ACDE 的周长＝AC +DE +CD +AE ，其中AC DE ＝1是常数， 故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C ′（2，3），则CD ＝C ′D ， 取点A ′（﹣1，1），则A ′D ＝AE ，故：CD +AE ＝A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE ＝A ′D +DC ′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE1+A′D+DC′＝1+A′C′＝1（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝12EB×（y C﹣y P）：12AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE，＝3：5或5：3，则AE＝52或32，即：点E的坐标为（32，0）或（12，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．10．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．【解】：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m （x 2﹣2x ）＝1﹣x∵x ＞1，且x ＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x ≠2，即x 2﹣2x ＝x （x ﹣2）≠0∴m ＝＞0 ∵x ＞1∴1﹣x ＜0∴x （x ﹣2）＜0∴x ﹣2＜0∴x ＜2即1＜x ＜2∵y P ＝﹣x ﹣2∴﹣4＜y P ＜﹣311．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y 2与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，使得△P AM 与△DD 1A 相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？【解】：（1）令8x 2+4x ﹣8＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣7．∴A （1，0），B （﹣7，0）．由y=8x 2+4x ﹣8＝8（x +3）2﹣D （﹣3，﹣；（2）证明：∵DD 1⊥x 轴于点D 1，∴∠COF ＝∠DD 1F ＝90°，∵∠D 1FD ＝∠CFO ，∴△DD 1F ∽△COF ， ∴＝，∵D （﹣3，﹣，∴D 1D ＝OD 1＝3，∵AC ＝CF ，CO ⊥AF∴OF ＝OA ＝1∴D 1F ＝D 1O ﹣OF ＝3﹣1＝2， ∴＝，∴OC ，∴CA ＝CF ＝F A ＝2，∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC ＝∠ACF ，∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，∴∠ECF ＝∠AFC ＝60°，∴EC ∥BF ，∵EC ＝DC 6 ，∵BF ＝6，∴EC ＝BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形；（3）∵点P 是抛物线上一动点，∴设P点（x x2+4x），①当点P在B点的左侧时，∵△P AM与△DD1A相似，∴或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣373；当点P在A点的右侧时，∵△P AM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣53（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△P AM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣53；综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣373或﹣53；②由①得，这样的点P共有3个．。
二次函数三角形面积定值问题
二次函数三角形面积定值问题二次函数三角形面积定值问题是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常考的难点之一。
本文将从三个方面进行探讨，分别是二次函数的定义和性质、三角形面积公式以及如何利用二次函数求解三角形面积定值问题。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一种以 x 的平方为自变量的函数，通常的表达式为y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c 分别是常数，a 不等于零。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其中顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二次函数具有以下性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，方程为 x=-b/2a。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，方程为 ax²+bx+c=0。
3. 单调性：当 a 大于零时，二次函数开口朝上，图像在顶点处取得最小值；当 a 小于零时，二次函数开口朝下，图像在顶点处取得最大值。
4. 范围：当 a 大于零时，二次函数的值域为 [c-b²/4a, +∞)；当a 小于零时，二次函数的值域为 (-∞, c-b²/4a]。
二、三角形面积公式三角形面积公式是计算三角形面积的基本公式，其表达式为S=1/2bh，其中S 表示三角形面积，b 和h 分别表示底边和高。
此外，还有两个重要的推论：1. 海伦公式：当已知三角形的三边长 a、b、c 时，可以利用海伦公式求出三角形面积 S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。
2. 正弦定理：当已知三角形的一个角度和两边长时，可以利用正弦定理求出第三边长，从而进一步计算出三角形面积。
正弦定理的表达式为 a/sinA=b/sinB=c/sinC。
三、利用二次函数求解三角形面积定值问题在高中数学中，经常会遇到给定三角形底边和两条高的长度，求解三角形面积的问题。
此类问题通常可以通过构建二次函数来解决。
以一个例子来说明：已知三角形底边长为 8，两条高分别为 6 和 10，求解该三角形的面积。
中考复习压轴题之二次函数压轴之定值问题与定点问题-含详细参考答案
二次函数压轴之定值、定点问题1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，11AF AE为定值，请直接写出该定值．2．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．（1）求抛物线解析式；（2）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．3.如图1，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴的负半轴交于点C ．（1）求这个函数的解析式；（2）如图2，点T 是抛物线上一点，且点T 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点T 的直线TS 与抛物线有唯一的公共点，直线MN ∥TS 交抛物线于M ，N 两点，连AM 交y 轴正半轴于G ，连AN 交y 轴负半轴于H ，求OH ﹣OG4．如图1，已知抛物线的解析式为21362y x =--，直线y ＝kx ﹣4k 与x 轴交于M ，与抛物线相交于点A ，B （A 在B 的左侧）．（1）当k ＝1时，直接写出A ，B ，M 三点的横坐标：x A ＝，x B ＝，x M ＝；（2）作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥x 轴于Q ，当k 变化时，MP •MQ 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；5．如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE 的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（2）如图2，AC与BE交于点F．请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；6.已知顶点为A的抛物线y＝a（x﹣2）2（a≠0）交y轴于点B（0，2），且与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠MAN＝90°，试说明：直线l必过定点；7.如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q（1，3）的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．8.已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问CECF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．9.已知点P（0，﹣4）为平面直角坐标系内一点，直线l绕原点O旋转，交经过点（0，﹣2）的抛物线y＝14x2+c于M、N两点．（1）请求出该抛物线的解析式；（2）在直线l绕原点O旋转的过程中，请你研究一下（PM+MO）（PN﹣NO）是否定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣12，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C,A（﹣2，0），B（0，2）；(1)求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，设对称轴直线x＝﹣12与x轴交于M，点P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴对称点H，直线HQ交抛物线对称轴于G点，在点P运动过程中GM长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D为（1，﹣1），且经过点B（3，3）．（1）求这个抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，过点D且平行于x轴的直线l，与直线OB相交于点A，过点B作直线l 的垂线，垂足为C．若点Q是抛物线上BD之间的动点（不与B、D重合），连接DQ并延长交BC于点E．如图2，连接BQ并延长交CD于点F，在点Q运动的过程中，FC（AC+EC）的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与坐标轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0）和点C．（1）求出a与c的数量关系式；（2）如图，若抛物线y=-x2-2x+3与直线y＝（2k1﹣2）x交于E，F两点，与直线y＝（2k2﹣2）x交于M，N两点，且k1k2＝﹣1，点P，Q分别是EF、MN的中点，求证：直线PQ必定经过一个定点，并求出该定点坐标．13.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过点（4，5）．（1）若a+b＝﹣3，求抛物线y＝ax2+bx+5的解析式；（2）在（1）的条件下，经过点A(2,54)的任意直线y＝mx+n（m≠0）与（1）中的抛物线交于B，C两点，那么11AB AC的值是定值吗？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由．14.如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．参考答案1.解：(1)OB=OC,C(0,c)则B(-c,0)，代入抛物线解析式得c 2-bc+c=0，c-b+1=0，即当x=-1时，y =1-b+c=0，故抛物线过点(-1，0)，故A(-1，0)，B(3，0)，C(0,-3)抛物线的解析式为y =x 2-2x -3(2)过点M 作MG||x 轴交AC 于点G ，作FP||x 轴交AM 于点P ，作CQ||x 轴，易知∆COA~∆CMG ，∆ACQ~∆AGM ，GM CG OA AC =GM AG CQ AC =，GM GM CG AG 1OA CQ AC AC+=+=即得111OA CQ GM+=，而AM 平分∠BAC ，故AC=CQ ，故111OA AC GM +=；同时CG AC GM AE =，AF GM AC CQ=即可得111AE AF GM +=，OA=1，AC=10，故11101AE AF 10+=+2.解：(1)y =-x 2-3x +4(2)存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值,t=-4设E(m ,-m 2-3m+4)，F(n,-n 2-3n+4)，设BE 的解析式为y =k (x -1)，将E 点坐标代入得k =-m -4，同理k =-n -4,则OP=m+4，OQ=-n-4，故OP ∙OQ=(m+4)(-n-4)=-mn-4(m+n)-16，直线CE 的解析式为y =k 1(x-t )-1，与抛物线y =-x 2-3x +4联立得x 2+(k 1+3)x-k 1t -5=0，m+n=-k 1-3,mn =-k 1t -5,OP ∙OQ=k 1t+4k 1+1=4k 1(t+4)+1，当t=-4时，OP ∙OQ 为定值，故当t=-4时,OP ∙OQ=13.解：(1)y =x 2-2x-3(3)易知T(2，-3),设直线TS 的解析式为y=m(x-2)-3，与抛物线y =x 2-2x-3联立得x 2-(m +2)x +2m =0，有两个相等实根，m 2+4m+4-8m=0，故m=2，即TS 解析式为y =2x -7,设MN 的解析式为y =2x+h ,与抛物线联立得x 17+h ，x 27+h 故7+h ，7+h )，N(2-7+h 7+h )，直线AM 解析式为y 1=k 1x+b 1，得b 1737hh +++737hh +++，同理可得773hh ++-，OH-OG=24.解：6，6,4；(2)MP ∙MQ 的值不变.y =21362x -与y =kx -4k 联立得x 2+6kx +9-24k =0,x A +x B =6k ，x A ∙x B =9-24k ,M(4，0)，MP ∙MQ=(4-x P )(4-x Q )=16-4(x A +x B )+x A x B =16+24k+9-24k=255.解：(1)易得抛物线的解析式为y =12x 2-x ，圆的直径为BE ，故∠BDE=90°，且∠BED=∠BAD=45°，作MN ⟂OA 交BC 、OA 于点M 、N ，易知∆BDM ≅∆DEN ，设DM=NE=m ，则CM=ON=m ，而OE=2，故m=1，此时D(1，3)(2)不变，CF ∙AD=16，∠DBF=∠BAD=45°，故∆ADB~∆CBF ，故CF ∙AD=AB ∙CB=166.解：(1)y =12(x -2)2(2)设直线MN 的解析式为y=kx+b ，与抛物线联立得x 2-(4+2k )x +4-2b=0，x M +x N =4+2k,x M ∙x N =4-2b ，作ME 、NF 垂直于x 轴，易知∆AME~∆NAF ，AE ME NF AF =，即有AE ∙AF=ME ∙NF ，ME=kx 1+b ，NF=kx 2+b ，AE=2-x 1,AF=x 2-2，(2-x 1)(x 2-2)=(kx 1+b)(kx 2+b)，即有4+2(x 1+x 2)-x 1x 2=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2，整理得2k+b =0或2k +b -2=0,即当x =2时，y =2,所以直线l 必过定点(2,2)7.解：(1)y =-x 2+2x +3，P(1,4)(2)联立y=kx-k +3和抛物线y =-x 2+2x +3得x 2+(k-2)x-k=0,x 1+x 2=k-2,x 1x 2=-k,过点M 、N 作对称轴的垂线ME 、NF ，tan ∠PME=PE ME =221111114(23)(1)111x x x x x x --++-==---，同理tan ∠PFN=211x -，(1-x)(x2-1)=1，故tan ∠PME=tan ∠FPN,∠PME=∠FPN ，故∠MPN=90°，所以无论k 为何值，∆PMN 恒为直角三角形.8.解:(1)y =-x 2+2x +3(2)CE CF 的值为定值13，设P(t,-t 2+2t+3)，直线AP 的解析式为y =(3-t)x +3-t ，直线BP 的解析式为y =(-t-1)x +3t+3,故CE=-t ，CF=-3t ，故CE CF =139.(1)y =2124x -(2)(PM+MO)(PN-ON)为定值，设直线l 的解析式为y=kx ，与抛物线联立得x 2-4kx -8=0，设M(x 1，y 1)，N(x 2,y 2)则有x 1x 2=-8，，y 1=kx 1，故PM=|x 1OM=|x 1，同理PN=|x 2,ON=|x 2，故+|x 1)(|x 2-|x 2)=16，故(PM+MO)(PN-ON)为定值16.10.解：(1)y=-x 2-x +2(2)连接MH ，易知AMP=CMH ，设PQ 的解析式为y=kx+b 1，MH 的解析式为y=-kx+b 2,分别代入(-12，0)得b 1=12k ，b 2=12-k ，故PM 的解析式为y=kx+12k ，MH 的解析式为y=-kx-12k 与抛物线联立得x=(1)92k -+±,所以Q((1)92k -++,292k -±),同理可得H(192k -,292k --)，易知QH 的解析式为y=-x +992-当x=-12时，y=92，所以G(-12,92)，所以点P 运动过程中GM 长为定值9211.解：(1)y =x 2-2x(2)FC(AC+EC)为定值，设Q(m ,m 2-2m )，易得BF 的解析式为y=(m -1)x -3m ，故点F(311m m -+，-1)，D(1，-1)，DE 的解析式为y=(m-1)x-m ，E(3，2m-3)，FC=3-311m m -+=41m +，AC+EC=4+2m-3+1=2m+2，所以FC(AC+EC)=41m +(2m+2)=812.解：(1)c =-3a (2)联立y =-x 2-2x +3与y ＝(2k 1﹣2)x 得x 2+2k 1x -3=0所以x 1+x 2=-2k 1，y 1+y 2=-4k 12+4k 1，故P(-k 1，-2k 12+2k 1)，同理可得Q(-k 2，-2k 22+2k 2)，设直线PQ 的解析式为y=kx+b,将P 、Q 两点代入得y =(2k 1+2k 2-2)x -2,所以直线PQ 过定点(0,-2)13.解：(1)y=x 2-4x +5(3)将坐标系向右平移2个单位，向上平移1个单位，此时抛物线的解析式为y=x2，点A(0，14),设B(m,m 2),C(n,n 2)，则AB=m 2+14,AC=n 2+14，故11AB AC +=AB AC AB AC +⋅=22221211()()416m n mn m n +++++，同时BC 的解析式y=kx +14，与抛物线联立得x 2-kx -14=0，m+n=k,mn =-14，故11AB AC +=414.解：(1)y =x 2-2x -3(2)平移后的抛物线的解析式为y =x 2,设M(m,m 2),N(n,n 2)，直线PM 的解析式设为y=k 1(x-m)+m 2，PN 的解析式为y=k 2(x-n)+n 2，与抛物线联立得x2-k1x+k1m-m2=0，此时∆=0，即有k 1=2m ，PM 的解析式为y=2m(x-m)+m 2=2mx-m 2同理可得PN 的解析式为y=2n(x-n)+n 2=2nx-n 2，可得P(2m n +，mn ),mn =-1,MN 的解析式为y=(m+n)x +1,故MN 过定点(0，1)。
二次函数综合题的解法探究与启示——以2023_年南充市中考数学二次函数题型为例
二次函数综合题的解法探究与启示以２０２３年南充市中考数学二次函数题型为例相晨晨(合肥师范学院数学与统计学院ꎬ安徽合肥２３００７１)摘㊀要:二次函数综合题一直是各地中考的热点ꎬ也是教学的难点.文章以南充市２０２３年中考数学试题中的一道二次函数压轴题为例ꎬ通过探求多种解法ꎬ立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ培养学生利用数学知识解决问题的能力及提高学生的思维能力.关键词:二次函数ꎻ综合题ꎻ解法探究ꎻ启示中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－０００２－０４收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:相晨晨(１９９４ )ꎬ女ꎬ安徽省亳州人ꎬ硕士ꎬ从事数学教学论研究.基金项目:合肥师范学院研究生创新基金项目 基于网络画板培养初中生几何直观能力的教学实验研究 (项目编号:２０２３ｙｊｓ０３９).㊀㊀二次函数是初中数学的重要内容ꎬ也是中考数学的重要考点.由于其涉及的知识面广ꎬ思维难度大ꎬ通常以中考压轴题的形式呈现ꎬ对学生而言具有一定的难度.解决这类问题需要学生具备较高的数学素养和思维能力.２０２３年南充市中考数学第２５题是一道以二次函数为背景的压轴题ꎬ具有一定的选拔功能.本文立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ探究多种解法ꎬ培养学生利用数学知识分析问题和解决问题的能力ꎬ提升学生的数学核心素养.１试题呈现如图１ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ与ｙ轴交于点Ｃ.(１)求抛物线的解析式.(２)点Ｐ在抛物线上ꎬ点Ｑ在ｘ轴上ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ求点Ｐ的坐标.(３)如图２ꎬ抛物线的顶点Ｄꎬ对称轴与ｘ轴交于点Ｅꎬ过点Ｋ(１ꎬ３)的直线(直线ＫＤ除外)与抛物线交于ＧꎬＨ两点ꎬ直线ＤＧꎬＤＨ分别交ｘ轴于点ＭꎬＮꎬ试探究ＥＭ ＥＮ是否为定值ꎬ若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ说明理由.图１㊀抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)㊀㊀图２㊀问题(３)示意图２试题分析不论是从知识的综合性还是思维的层次性来看ꎬ二次函数都当之无愧地占据着初中数学代数领域的 制高点 ꎬ是中考压轴题的命题热点[１].本题是一道二次函数的综合题ꎬ以二次函数为背景并结合图形与几何进行命题ꎬ不仅能考查学生对二次函数和图形与几何相关知识的掌握情况ꎬ还能考查学生综合应用知识的能力及灵活处理问题的心态.问题的难度层层递进ꎬ符合学生的心理特征及由易到难的解题模式.本题以核心素养为导向ꎬ集中体现了数学课程的育人价值ꎬ符合«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»所提出的命题原则ꎬ即实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查[２].本题主要考查的核心概念有二次函数㊁平行四边形的性质㊁一次函数㊁线段定值等ꎬ蕴含丰富的数学思想和方法ꎬ主要有方程思想㊁函数思想㊁数形结合思想㊁分类讨论思想和模型思想等.综合考查了学生的运算能力㊁几何直观㊁空间观念㊁推理能力和创新意识等核心素养.问题(１)难度较小ꎬ考查二次函数的解析式ꎬ学生只要熟知二次函数相关知识及求解方法ꎬ就能很容易解出正确答案.此问题主要考查学生的运算能力ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界.问题(２)难度上升ꎬ从学生的认知规律来看ꎬ只要学生认真审清题目ꎬ提取有关信息ꎬ采用 爬山法 ꎬ一步一步分析题目ꎬ也能很快解决问题.而本题是从平行四边形的性质出发ꎬ最终落脚到点的坐标ꎬ解题最关键的一点是学生能够考虑到分类讨论的思想ꎬ想到固定点ＢꎬＣ组成的线段ꎬ而点Ｐ在抛物线上ꎬ通过抛物线的图象来看ꎬ点Ｐ有可能在ｘ轴的上方ꎬ也有可能在ｘ轴的下方ꎬ然后采用数形结合的方法解决问题.此问题主要考查学生的运算能力㊁几何直观㊁推理能力等ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界和用数学的思维思考现实世界.问题(３)难度要比前两个问题高ꎬ学生要根据题目的信息先提出猜想ꎬ再进行证明ꎬ最后得出结论ꎬ并借助尺规将数学语言转化为实际图形ꎬ促进学生理解和思维的转变.此问题需要学生解出三个一次函数的解析式ꎬ并通过方程思想ꎬ解出两根之间的关系ꎬ再通过射影定理模型得出结论ꎬ对学生运算能力和逻辑思维能力的要求相对较高ꎬ知识的综合性更强ꎬ这不仅考查学生的 四基 和 四能 ꎬ更考查学生是否具有稳定的心态ꎬ培养学生会用数学的语言表达现实世界.３试题解答３.１问题(１)的解法解法１㊀(代入法)将Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点代入抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)当中ꎬ得出ａ－ｂ＋３＝０ꎬ９ａ＋３ｂ＋３＝０ꎬ{解得ａ＝－１ꎬｂ＝２.{所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法２㊀(对称法)因为抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ从而得出抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)的对称轴为ｘ＝１ꎬ所以ｂ＝２ａ.将Ａ(－１ꎬ０)代入抛物线中ａ－ｂ＋３＝０ꎬ从而得出ａ＝－１ꎬｂ＝２ꎬ所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法３㊀(两点式)根据题意ꎬ可设抛物线的解析式为ｙ＝ａ(ｘ＋１)(ｘ－３)＝ａｘ２－２ａｘ－３ａꎬ从而得出－３ａ＝３ꎬ解得ａ＝－１ꎬ进而得出抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３(ａʂ０).３.２问题(２)的解法根据已知条件ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ但并没有明确说明Ｐ的位置ꎬ所以要对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ分为两种情况ꎬ第一种是Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ第二种是Ｐ在ｘ轴的下方.第一种情况:Ｐ在ｘ轴的上方.解法１㊀(平行四边形的性质)如图３ꎬ过点Ｃ作ＣＰʊＢＱꎬ过点Ｐ作ＰＮʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ因为四边形ＢＣＰＱ为平行四边形ꎬ所以ＢＣ＝ＰＱꎬＣＰ＝ＢＱ进而得出Ｑ(ｔꎬ０)ꎬＯＱ＝３＋ｔꎬＯＮ＝ｔꎬＮＱ＝３ꎬ所以ＰＱ２＝ＰＮ２＋ＮＱ２ꎬ即(－ｔ２＋２ｔ＋３)２＋９＝１８ꎬ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎻ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ因为Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ所以－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３舍去ꎬ从而只有ｔ＝２符合题意ꎬ进而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).图３㊀Ｐ在ｘ轴的上方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎬ只有ｔ＝２是符合题意ꎬ从而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).第二种情况:Ｐ在ｘ轴的下方.解法１如图４ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ所以四边形ＢＣＱＰ为平行四边形ꎬ即ＢＣ＝ＱＰꎬＢＣʊＱＰꎬøＣＢＯ＝øＢＱＰ＝４５ʎꎬ过点Ｐ作ＰＦʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬøＣＯＢ＝øＰＦＱ＝９０ʎꎬøＱＰＦ＝øＯＣＢ＝４５ʎꎬ所以ꎬ因此ＣＯ＝ＰＦꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ２＝１－７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).图４㊀Ｐ在ｘ轴的下方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ点Ｑ的坐标为(ｔ－３ꎬ０)ꎬｋＰＱ＝－ｔ２＋２ｔ＋３３＝－１ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ１＝１＋７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).评析㊀分类讨论是二次函数综合题常用的方法之一ꎬ是学生在学习过程中必须掌握的解题思想.解决本题的关键是对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ从已知条件出发ꎬ可以把点Ｐ分为在ｘ轴的上方和在ｘ轴的下方.３.３问题(３)的解法解法１㊀如图５所示ꎬ因为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３＝－(ｘ－１)２＋４ꎬ所以Ｄ(１ꎬ４).设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋ.因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)ꎬＨ(ｘ２ꎬ－ｘ２２＋２ｘ２＋３)ꎬ所以ｋ(ｘ－１)＋３＝－ｘ２＋２ｘ＋３ꎬ整理得出ｘ２＋(ｋ－２)ｘ－ｋ＝０ꎬ所以ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋ.设ＤＧ的解析式为ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１ꎬ将Ｄ(１ꎬ４)ꎬＧ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)代入解析中ꎬ进而求出解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３.当ｙ＝０时ꎬ解得ｘ＝ｘ１＋３ｘ１－１ꎬ所以点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷.同理可得Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ所以ＥＭ＝１－ｘ１＋３ｘ１－１＝－４ｘ１－１ꎬ同理可求得ＥＮ＝４ｘ２－１ꎬ所以ＥＭ ＥＮ＝－１６ｘ１－１()ｘ２－１()＝－１６ｘ１ｘ２－ｘ１＋ｘ１()＋１＝－１６－ｋ－２＋ｋ＋１＝１６.从而可知ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图５㊀问题(３)解法１示意图评析㊀这类解法思路很明确ꎬ求出点的坐标ꎬ然后根据点的坐标求相关线段的长度ꎬ进而计算ＥＭ ＭＮ的值.虽然运算量较大ꎬ需要明确三条直线的解析式ꎬ但是解题的思路比较清晰.解法２㊀根据解法１ꎬ得出点Ｄ(１ꎬ４)ꎬ点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ点Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ由此可知ＭＮ＝ｘ２＋３ｘ２－１－ｘ１＋３ｘ１－１＝４ｘ１－ｘ２()ｘ２－１()ｘ１－１()ꎬ由此可知ＭＮ２＝１６ｘ１＋ｘ２()２－６４ｘ１ｘ２ｘ２－１()２ｘ１－１()２＝１６ｋ２＋６４ｘ２－１()２ｘ１－１()２.由两点间的距离公式可得ＤＭ２＋ＤＮ２＝１６ｘ１－１()２＋１６ｘ２－１()２＋３２＝１６ｋ２＋６４ｘ１－１()２ｘ２－１()２ꎬ所以ＭＮ２＝ＤＭ２＋ＤＮ２ꎬ从而得出øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ又因为ＤＥʅＭＮꎬ所以øＤＥＮ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＥＮꎬ又øＤＥＭ＝øＤＥＮ＝９０ʎꎬ所以әＥＭＤʐәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.评析㊀根据点的坐标ꎬ利用两点间的距离公式可求得相关线段的长度ꎬ然后利用勾股定理的逆定理即可判定әＭＤＮ是直角三角形ꎬ最终利用直角三角形和相似三角形的性质解决问题.解法３㊀如图６所示ꎬ设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋꎬ因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬｋｘ１＋３－ｋ)ꎬＨ(ｘ２ꎬｋｘ２＋３－ｋ)ꎬ从上面可知ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ过点Ｇ作ＧＦʅＤＥ于点Ｆꎬ过点Ｈ作ＨＪʅＤＥ于点Ｊꎬ则ＤＦ＝－ｋｘ１＋ｋ＋１ꎬＧＦ＝－ｘ１＋１ꎬＤＪ＝－ｋｘ２＋ｋ＋１ꎬＨＪ＝－ｘ２＋１ꎬ从而得出ＤＦ ＤＪ＝(－ｋｘ１＋ｋ＋１)(－ｋｘ１＋ｋ＋１)＝１ꎬＧＦ ＨＪ＝(－ｘ１＋１)(－ｘ２＋１)＝１ꎬ所以ＤＦ ＤＪ＝ＧＦ ＨＪꎬＤＦＧＦ＝ＨＪＤＪꎬ又因为øＤＦＧ＝øＨＪＤ＝９０ʎꎬ所以әＧＦＤәＤＪＨꎬ所以øＧＤＦ＝øＤＨＪꎬ所以øＧＤＨ＝øＧＤＦ＋øＪＤＨ＝øＤＨＪ＋øＪＤＨ＝９０ʎꎬＤＥʅｘ轴ꎬ所以øＤＥＭ＝øＮＥＤ＝９０ʎꎬ所以øＥＤＮ＋øＥＮＤ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图６㊀问题(３)解法３示意图评析㊀根据图形特征ꎬ一条线段上有垂直线ꎬ并求ＥＭ ＥＮꎬ要能够想到射影定理ꎬ利用三角形相似ꎬ证明两个三角形相似要从角或者线段成比例角度考虑ꎬ同时解题的关键是要证明出øＭＤＮ＝９０ʎ.解法４㊀在上面的解法中已经求出了直线ＤＧ解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３ꎬ同理可求出直线ＤＮ的解析式为ｙ＝－(ｘ２－１)ｘ＋ｘ２＋３ꎬ从而可以得出ｋＤＧ＝－(ｘ１－１)ꎬｋＤＮ＝－(ｘ２－１)ꎬ又因为ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ所以ｋＤＧ ｋＤＮ＝(ｘ１－１)ˑ(ｘ２－１)＝－１ꎬ则直线ＤＧ与直线ＤＮ互相垂直ꎬ进而øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值.评析㊀通过对图形的观察ꎬ发现解题的关键是要证明øＭＤＮ＝９０ʎꎬ两直线的夹角为直角ꎬ说明两直线互相垂直ꎬ则可以通过斜率关系进行证明ꎬ最后能求出ＥＭ ＥＮ的值.４解题反思４.１重视变式训练ꎬ发展思维能力题目不在于多ꎬ而在于精.一道题目不仅是一个知识点ꎬ它还可以是多个知识点的结合.在教学中教师可以围绕着一个问题向多个方向发散ꎬ把一道题变成一类题.就如本题中的二次函数ꎬ在方法上ꎬ对于点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ通过变式的形式可以从ＢꎬＣ所组成的线段是边还是对角线进行分类讨论ꎬ打破学生的常规思维.在内容上ꎬ除了可以考查线段乘积的定值和点的存在性ꎬ还可以与中点问题㊁线段的最值问题㊁面积定值㊁一次函数特殊角等问题进行结合.基于此ꎬ在教学中要不仅要培养学生能够灵活选择数学方法解决问题的习惯ꎬ还要通过 一题多解 培养学生思考问题和灵活变通的意识ꎬ而 一题多解 不仅有利于学生发散思维的培养ꎬ更有利于学生问题解决策略的形成㊁关键问题解决能力的培养[３].所以ꎬ在教学中教师可以通过变式进行教学ꎬ发展学生的思维能力ꎬ培养学生的发散思维ꎬ打破学生的思维定式ꎬ培养学生创新意识和实践能力.４.２构建知识网络ꎬ提高运算能力综合题往往不是一个数学知识点ꎬ而是多个数学知识的结合ꎬ所以在复习的过程中ꎬ要提高学生搭建知识网络的能力ꎬ形成知识框架ꎬ在教学中可以通过主题式学习ꎬ将知识进行整合.知识是解决问题的前提ꎬ而解决问题的成败关键在于学生的运算能力ꎬ它不仅是一种数学的操作能力ꎬ更是一种数学的思维能力[４]ꎬ教师在教学中可以通过日常的运算训练来发展学生的运算能力ꎬ有利于培养学生的思考问题的品质和养成科学的学习态度.参考文献:[１]石树伟.中考二次函数模型试题的源与流[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０２２(５):６０－６３.[２]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[３]高岩.二次函数背景下三角形面积最值问题的解法探究:由一道九年级期末压轴题引发的思考[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２２(９):２０－２２.[４]金小亚.借助几何直观培养运算能力[Ｊ].教育实践与研究(Ａ)ꎬ２０１９(１):２５－２８.[责任编辑:李㊀璟]。
二次函数与定点定值问题(教师版)
二次函数与定点、定值问题【方法归纳】已知抛物线和满足一定条件的直线在平面直角坐标系中，直线上的线段满足一定几何条件，图中可能产生一些定点，定量关系．通常要运用几何量的关系转换成线段关系和坐标关系求解． 思路：结合二次函数，将几何向代数转化，构建方程或方程组，并归纳解题一致性．例1．已知抛物线：y ＝ax 2＋bx ＋c ，顶点坐标为原点，且过（4，8），如图，若A 、B 两点在抛物线上，且OA ⊥OB ，AB 交y 轴于H 点，求H 点的坐标．易求a ＝21，b ＝0，c ＝0，∴y ＝12x 2，设A (m ，21m 2)，B (n ，12n 2)，设AB 的解析式y ＝kx ＋b ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==b kx y xy 221得x 2－2kx －2b ＝0，m ＋n ＝2k ，mn ＝－2b ，又∵OA ⊥OB ，过A 点作AC 丄x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为C 、D 两点，易证△AOC ∽△OBD ，∴OC AC ＝BD OD ，∴A A x y ＝B B y x -，∴m m221＝221n n -，41mn ＝－1，∴mn＝－4，∴b ＝2，∴H (0，2)．（2013年武汉中考压轴题的关键一步）方法总结：_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________【练1】抛物线y ＝21(x －1)2，顶点为M ，直线AB 交抛物线于A 、B 两点，且MA ⊥MB ，求证：直线AB 过定点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易求M (1，0)，作AE ⊥x 轴，BF ⊥x 轴，△AEM ∽△BFM ，易得EM AE ＝FBMF，即111x y -＝221y x -，1211)1(21x x --＝222)1(211--x x ，∴－21(x 1－1)2＝)1(2112-x ，∴－41[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝1，联立⎪⎩⎪⎨⎧+=-=b kx y x y 2)1(21得，21(x －1)2＝kx ＋b ，x 2－2x ＋1＝2kx ＋2b ，x 2－(2＋2k )x ＋1－2b ＝0，x 1·x 2＝1－2b ，x 1＋x 2＝2k ＋2，∴(1－2b )－(2k ＋2)＋1＝－4，k ＋b ＝2，∴y ＝kx ＋b ＝kx ＋2－k ＝k (x －1)＋2，∴AB 过定点(1，2)．例2．已知抛物线y ＝41x 2，以M (－2，1)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB （即M ，A ，B 均在抛物线上），求证：直线AB 过定点，并求出该定点坐标．过M 作PQ ∥x 轴，AP ⊥PQ 于P ，BQ ⊥PQ 于Q ，设AB ：y ＝kx ＋b ， 由⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y xy 241得41x 2－kx －b ＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4b ， 由△APM ∽△MQB 得AP ·BQ ＝PM ·MQ ，即(y A －1)(41x B 2－1)＝－(x A ＋2)(x B ＋2)， ∴161(x A －2)(x B －2)＝－1，x A ·x B －2(x A ＋x B )＋4＝－16， ∴－4b －8k ＋4＝－16，b ＝5－2k ，∴AB ：y ＝kx ＋5－2k ＝k (x －2)＋5，过定点(2，5)．【练2】（2014武汉中考）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4于抛物线y ＝21x 2交于A 、B 两点． （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标； （2）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离．（1）C (－2，4)（2）设A (x 1，21x 12)，B (x 2，21x 22)，D (m ，21m 2)，由⎪⎩⎪⎨⎧++==42212k kx y xy 得x 2－2kx －4k －8＝0，x 1＋x 2＝2k ，x 1·x 2＝－4k －8，过D 作EF ∥x 轴，AE ⊥EF 于E ，BF ⊥EF 于F ，由△AED ∽△DFB 得AE ·BF ＝DE ·DF ，即(21x 12－21m 2)(21x 22－21m 2)＝(m －x 1)(x 2－m )，化简x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝4，∴2k (m －2)＋m 2－4＝0，当m －2＝0，即m ＝2时，点D 的坐标与k 无关，∴D (2，2)，又∵C (－2，4)，∴CD ＝25，作DM ⊥AB 于M ，则DM ≤CD ＝25，∴当CD ⊥AB 时，点D 到直线AB 的距离最大，最大距离为25．例3．如图，抛物线y ＝x 2＋3顶点为P ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，交y 轴于C 点，∠AOC ＝∠BOC ，求证：直线AB 过定点．设A (m ，m 2＋3)，B (n ，n 2＋3)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，⎩⎨⎧+=+=32x y bkx y ，∴kx ＋b ＝x 2＋3，x 2－kx ＋3－b ＝0，∴mn ＝3－b ，∵∠AOC ＝∠BOC ，∴tan ∠AOC ＝tan ∠BOC ，∴32+m m ＝32+-n n，∴mn 2＋3m ＝－m 2n －3n ，∴mn ＝－3，∴b ＝6，∴C (0，6)．【练3】抛物线y ＝x 2－4x ＋5，对称轴交x 轴于P 点，直线EF 交抛物线于E 、F ，交对称轴于H ，且∠EPH ＝∠FPH ，求证：EF 恒过定点．E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，⎩⎨⎧+-=+=542x x y bkx y ，∴x 2－(4＋k )x ＋5－b ＝0，x 1＋x 2＝4＋k ，x 1x 2＝5－b ，tan ∠EPH ＝tan ∠FPH ，∴112y x -＝222y x -，∴(kx 1＋b)(x 2－2)＝(kx 2＋b )(2－x 1)，∴b ＋2k ＝2，y ＝kx ＋b ，∴直线过(2，2)．例4．如图，抛物线y ＝x 2－1交x 轴于A 、B 两点，直线y ＝a （a ＞0）交抛物线于M 、N ，点C 在抛物线上，且∠MCN ＝90°，点C 到MN 的距离是否为定值？若是，求出这个定值．作CH ⊥MN 于H ．则∠MCH ＝∠CNH ，Rt △MCH ∽Rt △CNH ，CH 2＝MH ·HN ，令C (x C ，t )，M (m ，m 2－1)，则N (－m ，m 2－1)，CH ＝m 2－1－t ，MH ·HN ＝(x C －x M )(x N －x C )＝－x C 2＋m 2，y C ＝x C 2－1＝t ，故x C 2＝t ＋1，－x C 2＝－t －1，即MH ·HN ＝m 2－1－t ，又CH 2＝MH ·HN ，∴(m 2－1－t )2＝m 2－1－t ，∴m 2－1－t ＝0（舍去）或m 2－1－t ＝1，即CH ＝m 2－1－t ＝1，点C 到MN 的距离是定值，这个值为1．【练4】（2015永州改）如图，抛物线：y ＝41(x －1)2，R (1，1)是对称轴l 上一点，点P 为抛物线上一个动点，PM 垂直于直线y ＝－1于M ，求PRPM的值．设P (t ，41(t －1)2)，连PR ，作PM ⊥直线y ＝－1于点M ，PM ＝41(t －1)2＋1， PR ＝222]1)1(41[)1(--+-t t ＝41(t －1)2＋1，∴PM ＝PR ，∴PRPM＝1．【课后反馈】1．如图，抛物线y ＝x 2－1交x 轴正半轴于A (1，0)，M 、N 在抛物线上，且MA ⊥NA ，试说明MN 恒过一定点，求此定点的坐标．作MP ⊥x 轴于P ，NQ ⊥x 轴于Q ，设MN ：y ＝mx ＋n ，由21y mx ny x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得x 2－mx －n －1＝0，x M ＋x N ＝m ，x M ·x N ＝－1－n ，tan ∠MAP ＝PA MP ＝211M M x x --＝－x M －1，tan ∠ANQ ＝AQ NQ ＝211N N x x --＝11Nx +．由∠MAP ＝∠ANQ 得－x M －1＝11Nx +，即－x M ·x N －(x M ＋x N )－1＝1，1＋n －m －1＝1，n ＝m ＋1，MN ：y ＝mx ＋m＋1＝m (x ＋1)＋1，故MN 过定点(－1，1)．2．如图，抛物线y ＝41(x －4)2－4的顶点为P ，M ，N 均在对称轴上，且PM ＝PN ，延长OM 交抛物线于点A ．求证：∠ANM ＝∠ONM ．易求P (4，－4)，设A (m ，41m 2－2m )，可求OA ：y ＝(41m －2)x ，点M 在OA 上，x ＝4时，y ＝m －8，∴M (4，m －8)，故N (4，－m )，tan ∠ONM ＝N N x y -＝4m ，tan ∠ANM ＝4A A N x y y --＝2412()4m m m m ----＝41(4)4m m m --＝4m ，故∠ANM ＝∠ONM ．3．（2016六初九下2月考T24）已知抛物线y ＝41x 2＋m 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OA ＝2OC ，直线y ＝kx －2k ＋4（k ≠0）与抛物线交于D 、E 两点． （1）求m 值及A 点坐标；（2）当k 取何值时，△ADE 的面积最小，并求面积的最小值；（3）若M 、N 为抛物线上两点，其以MN 为直径的圆始终经过A 点，求直线MN 经过的定点P 的坐标．（1）令x ＝0时，y ＝m ，∴OC ＝－m ，令y ＝0时，x ＝m -±2，∴OA ＝m -2， ∵OA ＝2OC ，∴m -2＝2(－m )，m ＝－1，∴A (2，0)；（2）直线y ＝kx －2k ＋4过定点(2，4)，过点A 作AF ∥y 轴交DE 于F ，∴F (2，4)， 设D (x 1，y 1)、E (x 2，y 2)，∴S △ADE ＝21×4×(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)， 联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=141422x y k kx y ，整理得41x 2－kx ＋2k －5＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k －15 ∴S △ADE ＝2212142)(x x x x -+＝84)1(2+-k ，当k ＝1时，S △ADE 有最小值，最小值为16； （3）设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)， ∵∠MAN ＝90°，过点M 作ME ⊥x 轴于E ，过点N 作NF ⊥x 轴于F ，∴△MEA ∽△AFN ，∴212122y x x y -=-，y 1y 2＝(x 2－2)(2－x 1)， 即)141)(141(2121--x x )＝(x 2－2)(2－x 1)，x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋20＝0，设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋b ，联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1412x y bkx y ，整理得x 2－4kx －4－4b ＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4－4b ，∴－4－4b ＋2×4k ＋20＝0，2k －b ＝－4， 当x ＝－2时，－2k ＋b ＝4，∴直线MN 必过顶点(－2，4)．。
2025年中考数学总复习+题型7 二次函数的综合应用++++课件+
将点B的坐标代入上式得2 =3 (2-m),
解得m= ,
则点F'( ,3
),点D( ,0),则BD+BF最小值为DF'=
+ ( ) =2 .
30
6.(2024·德阳中考)如图,抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.
15
【针对训练】
3.(2024·广元中考)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线F:y=-x2+bx+c经过点
A(-3,-1),与y轴交于点B(0,2).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C,连接OC交
AB于点D,求 的最大值及此时点C的坐标;
(3)作抛物线F关于直线y=-1上一点的对称图象F',抛物线F与F'只有一个公共点E(点
(2)如图2,在BC上方的抛物线上有一动点P(不与B,C重合),过点P作PD∥AC,交BC
于点D,过点P作PE∥y轴,交BC于点E.在点P运动的过程中,请求出△PDE周长的最
大值及此时点P的坐标.
10
【解析】(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3,
= −
−+=
2
(3)如图②,M是点B关于抛物线的对称轴的对称点,Q是抛物线上的动点,它的横坐
标为m(0<m<5),连接MQ,BQ,MQ与直线OB交于点E,设△BEQ和△BEM的面积分别为
1
S1和S2,求 的最大值.
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题(含答案)
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P 抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题（答案）一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．【答案】（1）（m，﹣m2﹣3）；（2）抛物线顶点到x轴的最小距离为4；（3）直线AB过定点（0，﹣）．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）①k1k2＝﹣4；②证明见解答过程．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．【答案】（1）m＝1；（2）点G的坐标为；（3）见解析．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．【答案】（1）解析式为：y＝x2﹣2x；（2）E1（0，0），E2（6，6）；（3）证明见解答过程．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣1；（2）；（3）定值1．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）D（4，5）；（3）m、n之间的数量关系为n+3m＝2．理由间接性．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）①F′G＝为定值；②PH•QH的最大值为：．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3或；（3）见解析．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．【答案】（1）3a+c＝1；（2）①4；②见解答．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为：（，）；（3）m＝．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）（﹣1，0），，；（3）P（6，0）．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为（﹣1，4）；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 ．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．【答案】（1）①（﹣1，4）；②﹣2≤m≤﹣1；（2）①证明见解析过程；②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化，理由见解析过程．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．【答案】（1）E（m，﹣m2﹣m﹣1）；（2）①m＝3﹣1；②6﹣6．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x；点B在抛物线上，理由见解答过程；（2）2；（3）≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①△BCD面积的最大值为；②D（，﹣）．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）；（3）存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是或．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）．。
中考数学知识点方法必备07二次函数中定值、定点问题(8类题型)解析版
方法必备07二次函数中定值、定点问题（8类题型）1．（2023•花都区二模）已知，抛物线22(22)2y x m x m m =-+++与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧）．（1）当0m =时，求点A ，B 坐标；（2）若直线y x b =-+经过点A ，且与抛物线交于另一点C ，连接AC ，BC ，试判断ABC D 的面积是否发生变化？若不变，请求出ABC D 的面积；若发生变化，请说明理由；（3）当5221m x m --……时，若抛物线在该范围内的最高点为M ，最低点为N ，直线MN 与x 轴交于点D ，且3MDND=，求此时抛物线的解析式．【分析】（1）将0m =代入可得22y x x =-，令0y =，解方程即可求解．（2）令0y =，有22(22)20x m x m m -+++=，解方程得出A 点，B 点坐标，则2AB =，由直线y x b =-+经过点(,0)A m ，可得y x m =-+，联立求解方程组得到C 点坐标，即可求解．（3）求出32m >，由题可知对称轴为1x m =+，则对称轴512x m =+…，求得5122x m =+>…，即抛物线的对称轴在直线2x =的右侧，分情况讨论：①若211m m -+…，2m …，即322m <…时，证明MDH NDG D D ∽，利用相似三角形的性质即可求解；②若2121m m <+<-，即2m >，由||3||M N y y =，得2924153m m -+=，求解即可．【解答】解：（1）当0m =时，22y x x =-，当0y =时，有220x x -=，解得10x =，22x =，A Q 在B 的左侧，\点A 坐标为(0,0)，点B 坐标为(2,0)．（2）ABC D 的面积不变．对于抛物线22(22)2y x m x m m =-+++，当0y =时，有22(22)20x m x m m -+++=，解得：1x m =，22x m =+．A Q 在B 的左侧，\点A 坐标为(,0)m ，点B 坐标为(2,0)m +，2AB \=，Q 直线y x b =-+经过点(,0)A m ，0m b \=-+，b m \=，y x m \=-+，联立22(22)2y x m y x m x m m =-+ìí=-+++î解得1x m =，21x m =+，Q 点C 在y x m =-+上，当21x m =+时，1C y =-，C \点坐标为(1,1)m +-．11||21122ABC C S AB y D \=´´=´´=，ABC \D 的面积不发生变化，1ABC S D =．（3）5221m x m --Q ……，5221m m \-<-，32m \>．由题可知对称轴为1x m =+，则对称轴512x m =+…，Q522122m m -+-=，即范围5221m x m --……的中点为2x =，\5122x m =+>…，即抛物线的对称轴在直线2x =的右侧．①若211m m -+…，2m …，即322m <…时，Q 抛物线开口向上，当5221m x m --……时，y 随x 的增大而减小，如图，当52x m =-时，取最高点2(52,92415)M m m m --+，当21x m =-时，取最低点2(21,43)N m m m --+，分别过点M ，N 作x 轴的垂线交于点H ，G ，则MDH NDG D D ∽，\3MH MDNG ND ==，即||3||M N y y =，\22|92415|3|43|m m m m -+=-+，解得1m =（舍)或2m =，\当2m =时，抛物线的解析式为268y x x =-+．②若2121m m <+<-，即2m >，\最低点在顶点处取得，(1,1)N m \+-，当52x m =-时，取最高点2(52,92415)M m m m --+，由||3||M N y y =，得2924153m m -+=，解得1222,3m m ==，2m >Q ，1m \与2m 不符合题意，舍去，综上所述，抛物线的解析式为268y x x =-+．【点评】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．（2023•兴化市一模）已知抛物线2(0)y ax a =>经过第二象限的点A ，过点A 作//AB x 轴交抛物线于点B ，第一象限的点C 为直线AB 上方抛物线上的一个动点．过点C 作CE AB ^于E ，连接AC 、BC ．（1）如图1，若点(1,1)A -，1CE =．①求a 的值；②求证：ACE CBE D D ∽．（2）如图2，点D 在线段AB 下方的抛物线上运动（不与A 、B 重合），过点D 作AB 的垂线，分别交AB 、AC 于点F 、G ，连接AD 、BD ．若90ADB Ð=°，求DF 的值（用含有a 的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接BG 、DE ，试判断BGF DBE S S D D 的值是否随点D 的变化而变化？如果不变，求出S BGFS DBED D 的值，如果变化，请说明理由．【分析】（1）①待定系数法求a 值，②用两边对应成比例夹角相等判定相似．（2）（3）先设点坐标，依题意代数运算，分别用所设值表示DF 长，BGF D 与DBE D 面积，即可．【解答】（1）①(1,1)A -Q 在抛物线上，2(1)1a \-=，解得：1a =．②B Q 在抛物线上，且//AB x 轴，B \与A 关于2y x =的对称轴y 轴对称．(1,1)B \．1CE =Q ，C \的纵坐标2．令2y =，即：22x =，解得：x =)，x =．C \，2)，又CE AB ^Q ，E \，1)，1AE \=+，1BE =-，\AE CECE BE=，又90AEC CEB Ð=Ð=°Q ，ACE CBE \D D ∽．（2）设：2(,)A n an -，2(,)B n an ，2(,)D m am ，则22DF an am =-．若90ADB Ð=°，则ABD D 为Rt △，根据勾股定理可得：222AD DB AB +=．即：222222222()()()()(2)m n an am an am n m n ++-+-+-=．整理得：221an am a -=，即：1DF a=．（3）依题意设：2(,)A n an -，2(,)B n an ，2(,)C p ap ，2(,)D m am ，2(,)E p an ．DG AB ^Q ，CE AB ^，//FG EC \，AFG AEC \D D ∽，\FG AF m n CE AE p n+==+，\22()()()m nFG ap an a m n p n p n+=-=+-+．\22111()()()()()222BGF S BF FG n m a m n p n a p n n m D =××=-×+-=--．2211()()22DBE S BE DF a p n n m D =××=--．\1BGFDBES S D D =．即：BGFDBES S D D 的值不随D 的变化而变化，其值为1．【点评】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定等知识，先设后求再验证的思路体系，在本题中有充分体现；同时对运算能力要求较高．3．（2023•绵阳）如图，抛物线经过AOD D 的三个顶点，其中O 为原点，(2,4)A ，(6,0)D ，点F 在线段AD 上运动，点G 在直线AD 上方的抛物线上，//GF AO ，GE DO ^于点E ，交AD 于点I ，AH 平分OAD Ð，(2,4)C --，AH CH ^于点H ，连接FH ．（1）求抛物线的解析式及AOD D 的面积；（2）当点F 运动至抛物线的对称轴上时，求AFH D 的面积；（3）试探究FGGI的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法可得2132y x x =-+．设点O 到AD 的距离为d ，点A 的纵坐标为A y ，根据三角形面积公式即可求得12AOD S D =；（2）当点F 运动至对称轴上时，点F 的横坐标为3，可得14AF AD =．连接OC 、OH ，由点A 与点C 关于原点O 对称，可得点A 、O 、C 三点共线，且O 为AC 的中点．推出//HO AD ，可得点H 到AD 的距离为d ．再根据三角形面积公式即可求得答案；（3）过点A 作AL OD ^于点L ，过点F作FK GE ^于点K．运用勾股定理可得OA ==FIK D 为等腰直角三角形．设FK m =，则KI m=，再运用解直角三角形可求得2GK m =，FG =，即可求得答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx a =+¹．将(2,4)A ，(6,0)D 代入，得4243660a b a b +=ìí+=î，解得：123a b ì=-ïíï=î，2132y x x \=-+．设点O 到AD 的距离为d ，点A 的纵坐标为A y ，1116412222AOD A S AD d OD y D \=×=×=´´=．（2）221193(3)222y x x x =-+=--+Q ，\抛物线的对称轴为直线3x =．当点F 运动至对称轴上时，点F 的横坐标为3，则321624AF AD -==-，即14AF AD =．如图，连接OC 、OH ，由点(2,4)C -，得点A 与点C 关于原点O 对称，\点A 、O 、C 三点共线，且O 为AC 的中点．AH CH ^Q ，12OH AC OA \==，OAH AHO \Ð=Ð．AH Q 平分CAD Ð，OAH DAH \Ð=Ð，AHO DAH \Ð=Ð，//HO AD \，HO \与AD 间的距离为d ，\点H 到AD 的距离为d ．12AFH S AF d D =´´Q ，1122AOD S AD d D =´´=，111111()123224424AFH S AF d AD d AD d D \=´´=´´=´´´=´=．\当点F 运动至抛物线的对称轴上时，AFH D 的面积为3；（3）如图，过点A 作AL OD ^于点L ，过点F 作FK GE ^于点K ．由题意得4AL =，2OL =，OA \===．624DL OD OL \=-=-=，在Rt ADL D 中，AL DL =，45ADL \Ð=°，GE DO ^Q ，45FIK \Ð=°，即FIK D 为等腰直角三角形．设FK m =，则KI m =，在Rt AOL D 和Rt GFK D 中，//GF AO Q ，AOL GFK \Ð=Ð，tan tan AOL GFK \Ð=Ð，\AL GKOL FK =，即42GKm=，2GK m \=，23GI GK KI m m m \=+=+=．又sin sin AOL GFK Ð=ÐQ ，\AL GKAO FG =，2m FG =，FG \=，\FG GI ==．\FGGI【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，相似三角形判定和性质，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．4．（2023•金东区三模）如图，一次函数(0,0)by x b a b a=-+>>与坐标轴交于A ，B 两点，以A 为顶点的抛物线过点B ，过点B 作y 轴的垂线交该抛物线于另一点D ，以AB ，AD 为边构造ABCD Y ，延长BC 交抛物线于点E ．（1）若2a b ==，如图1．①求该抛物线的表达式．②求点E 的坐标．（2）如图2，请问BEAB是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）①将a ，b 的值代入一次函数解析式，可求出点A ，B 的坐标，利用待定系数法可得出结论；②由抛物线的对称性可得点D 的坐标，根据平行四边形的性质可求出点C 的坐标，进而求出直线BE 的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论；（2）根据待定系数法可求出A ，B 的坐标，进而可表达AB 的根据对称性可得出点D 的坐标，根据菱形的性质可得出点C 的坐标，进而求出直线BE 的解析式，联立可求出点E 的坐标，进而求出BE 的长度，求比值即可得出结论．【解答】解：（1）当2a b ==时，一次函数为2y x =-+，令0x =，则2y =；令0y =，则2x =，(2,0)A \，(0,2)B ，\设抛物线的表达式为：2(2)y m x =-，将(0,2)B 代入可得，42m =，解得12m =；\抛物线的解析式为：21(2)2y x =-；②由抛物线的对称性可得，(4,2)D ，由平行四边形的性质可知，(2,4)C ，\直线BE 的解析式为：2y x =+，令21(2)22y x x =-=+，解得0x =（舍)或6x =，(6,8)E \；（2）是定值，理由如下：对于(0,0)by x b a b a=-+>>，令0x =，则y b =；令0y =，则x a =，(,0)A a \，(0,)B b ，\设抛物线的表达式为：2()y m x a =-，AB =将(0,)B b 代入可得，2a m b =，解得2b m a =；\抛物线的解析式为：22()by x a a=-；由抛物线的对称性可得，(2,)D a b ，由平行四边形的性质可知，(,2)C a b ，\直线BE 的解析式为：by x b a=+，令22()b b y x a x b a a=-=+，解得0x =（舍)或3x a =，(3,4)E a b \；BE \==，\3BE AB ==．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，抛物线的对称性，二次函数图象与一次函数图象交点问题等相关知识，表达出点C 的坐标是解题关键．5．（2023•黑龙江一模）已知，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，点P 是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若PCB ACO Ð=Ð，求直线PC 的解析式；（3）如图2，当点P 位于第二象限时，过P 点作直线AP ，BP 分别交y 轴于E ，F 两点，请问CECF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）将(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）过点B 作MB CB ^交于点M ，过点M 作MN x ^轴交于点N ，由题意可得1tan 3BMBCM BCÐ==，求出BM =，再由45NBM Ð=°，求出点(2,1)M -，求直线CM 的解析式即为所求；（3）设2(,23)P t t t -++，分别由待定系数法求出直线AP 的解析式，直线BP 的解析式，就能求出CE 和CF 的长，即可求解．【解答】解：（1）将(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 代入2y ax bx c =++，\09303a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，\123a b c =-ìï=íï=î，223y x x \=-++；（2）过点B 作MB CB ^交于点M ，过点M 作MN x ^轴交于点N ，(1,0)A -Q 、(0,3)C ，(3,0)B ，1OA \=，3OC =，BC =，1tan 3ACO \Ð=，PCB ACO Ð=ÐQ ，1tan 3BMBCM BC\Ð==，BM \=OB OC =Q ，45CBO \Ð=°，45NBM \Ð=°，1MN NB \==，(2,1)M \-，设直线CM 的解析式为y kx b =+，\321b k b =ìí+=-î，\23k b =-ìí=î，\直线PC 的解析式为23y x =-+；（3）CE CF 的值是为定值13．，理由如下：设2(,23)P t t t -++，设直线AP 的解析式为11y k x b =+，\2111123tk b t t k b ì+=-++ïí-+=ïî，\1133k tb t =-ìí=-î，(3)(3)y t x t \=-+-，(0,3)E t \-，CE t \=-，设直线BP 的解析式为22y k x b =+，\222222330k t b t t k b ì+=-++ïí+=ïî，\22133k t b t =--ìí=+î，(1)33y t x t \=--++，(0,33)F t \+，3CF t \=-，\13CE CF =，\CE CF 的值是为定值13．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．6．（2023•红桥区三模）已知抛物线22(y ax bx a =++，b 为常数，0)a ¹经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴相交于点C ，其对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC ，在该抛物线上是否存在点P ，使PCB ABC Ð=Ð？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）Q 为x 轴上方抛物线上的动点，过点Q 作直线AQ ，BQ ，分别交抛物线的对称轴于点M ，N ，点Q 在运动过程中，EM EN +的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入22y ax bx =++，求出a ，b 的值即可．（2）点P 的位置要分类讨论，P 在BC 上方时，P 和C 是对称点，已知C 的坐标，可求P ．P 在BC 下方时，利用等边对等角，勾股定理求出D 的坐标，求出CD 的表达式，再求直线CD 和抛物线的交点坐标，可得P 的坐标．（3）添加辅助线QF x ^轴，得平行线，找出成比例线段，用坐标表示线段，求出EM EN +的值．【解答】解：（1）抛物线22(y ax bx a =++，b 为常数，0)a ¹经过点(1,0)A -，(3,0)B ，209320a b a b -+=ìí++=î，解得2343a b ì=-ïïíï=ïî．224233y x x \=-++．，（2）224233y x x =-++．\点C 坐标(0,2)，①P 点在BC 的上方，PCB ABC Ð=Ð，//PC x \轴，\点C 、P 是一对对称点，对称轴是直线12bx a=-=．P \点坐标为(2,2)．②P 在BC 下方，PCB ABC Ð=Ð，DC DB \=，设D 的坐标为(,0)d ，3BD CD d \==-，根据勾股定理得，224(3)d d +=-，56d \=，D \的坐标5(6，0)．设直线CD 的表达式为y kx b =+，5062k bb ì=+ïíï=î，解得：1252k b ì=-ïíï=î，1225y x \=-+．当2241222335x x x -++=-+时，解得10x =（不合题意，舍去），2285x =．285x \=，122828625525y =-´+=-．P \的坐标28(5，286)25-．，（3）作QM x ^轴于F ．MN x ^Q 轴于E ，//MN QF \，\,AE EM EN EBAF FQ FQ FB ==，\EM EN AE EBFQ AF FB+=+，设Q 点坐标为(,)x y，2AE \=，1AF x =+，2BE =，3BF x =-，224233FQ y x x ==-++．22224((2)1333EM EN x x x x \+=+´-+++-2222()()(23)133x x x x =+´-´--+-222()((3)(1)313x x x x =-+´-++-4(31)3x x =-´--+163=．EM EN \+的值为定值，163EM EN +=．【点评】此题考查了待定系数法，二次函数的性质，等角对等边，勾股定理，比例线段等知识点，以及数形结合的数学思想，难度较大，得分率较低．7．（2023•呼和浩特）探究函数22||4||y x x =-+的图象和性质，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x¼52-2-32-1-12-012132252¼y¼52-32m323223252-¼其中，m =2.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；（2）点F 是函数22||4||y x x =-+图象上的一动点，点(2,0)A ，点(2,0)B -，当3FAB S D =时，请直接写出所有满足条件的点F 的坐标；（3）在图2中，当x 在一切实数范围内时，抛物线224y x x =-+交x 轴于O ，A 两点（点O 在点A 的左边），点P 是点(1,0)Q 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段OP ，AP （不含端点）于M ，N 两点．当直线l 与抛物线只有一个公共点时，PM 与PN 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把1x =-代入22||4||y x x =-+即可求得2m =，运用描点法画出22||4||(0)y x x x =-+<部分的图象，观察图象描述性质即可；（2）当0x <时，224y x x =--，当0x …时，224y x x =-+，根据3FAB S D =，可求得点F 的纵坐标，代入解析式解方程即可；（3）利用待定系数法可得：直线OP 的表达式为4y x =①，直线AP 的表达式为48y x =-+②，由直线l 与抛物线只有一个公共点，可得直线l 的表达式为21(4)8y tx t =+-③，联立方程组可求得：1(4)8M x t =--，1(12)8N x t =--，再运用解直角三角形即可求得答案．【解答】解：（1）当1x =-时，22(1)4|1|2y =-´-+´-=，2m \=，函数图象如图所示：由图象可得该函数的性质：该函数关于y 轴对称；当1x <-或01x <…时，y 随x 的增大而增大；当10x -<…或1x …时，y 随x 的增大而减小；故答案为：2；（2）当0x <时，224y x x =--，当0x …时，224y x x =-+，(2,0)A Q ，(2,0)B -，4AB \=，3FAB S D =Q ，\14||32F y ´=，32F y \=±，当32F y =时，若0x <，则23242x x --=，解得：32x =-或12-，若0x …，则23242x x -+=，解得：32x =或12，3(2F \-，32或1(2-，3)2或3(2，3)2或1(2，3)2；当32F y =-时，若0x <，则23242x x --=-，解得：1x =-或1x =-+（舍去），若0x …，则23242x x -+=-，解得：12x =-（舍去）或12x =+，(1F \-+，32-或(1--32-或(1-3)2-或(1+3)2-；综上所述，所有满足条件的点F 的坐标为3(2-，32或1(2-，3)2或3(2，32或1(2，3)2或(1--32-或(1+3)2-；（3）PM 与PN 的和是定值；如图2，连接直线PQ ，Q 抛物线224y x x =-+交x 轴于O ，A 两点，(0,0)O \，(2,0)A ，22242(1)2y x x x =-+=--+Q ，\抛物线224y x x =-+的顶点为(1,2)，Q 点P 是点(1,0)Q 关于抛物线顶点(1,2)的对称点，故点P 的坐标为(1,4)，由点P 、O 的坐标得，直线OP 的表达式为4y x =①，同理可得，直线AP 的表达式为48y x =-+②，设直线l 的表达式为y tx n =+，联立y tx n =+和224y x x =-+并整理得：22(4)0x t x n +-+=，Q 直线l 与抛物线只有一个公共点，故△2(4)80t n =--=，解得21(4)8n t =-，故直线l 的表达式为21(4)8y tx t =+-③，联立①③并解得1(4)8M x t =--，同理可得，1(12)8N x t =--，Q 射线PO 、PA 关于直线:1PQ x =对称，则APQ OPQ Ð=Ð，设APQ OPQ a Ð=Ð=，则sin sin sin OQ APQ OPQ OP a Ð=Ð====，11)sin sin N M N M x x PM PN x x a a--\+=+=-=【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．8．（2023•平遥县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；（2）点P 是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P 使PCB ABC Ð=Ð？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l ，交x 轴于点D ．若点M 是二次函数图象上一动点，且点M 始终位于x 轴上方，作直线AM ，BM ，分别交l 于点E ，F ，在点M 的运动过程中，DE DF +的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）先根据二次函数的性质求出A ，B ，C 的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；（2）分两种情况讨论，当点P 在BC 上方时，当点P 在BC 下方时，再利用勾股定理和待定系数法进行求解即可；（3）由（2）得抛物线的对称轴为直线1x =，求出点D 的坐标，设224(,2)33M t t t -++且13t -<<，分别求出直线AM 的解析式和直线BM 的解析式，进而表示出4444,333DE t DF t =-+=+，即可求解．【解答】解：（1）当0y =时，即2242033x x -++=，解得：11x =-，23x =．\图象与x 轴交于点(1,0)A -，(3,0)B ，当0x =时，2y =，\图象与y 轴交于点(0,2)C ，\直线BC 的函数表达式为223BC y x =-+；（2）存在，理由如下：当点P 在BC 上方时，PCB ABC Ð=ÐQ ，//CP AB \，即//CP x 轴，\点P 与点C 关于抛物线的对称轴对称，Q 224233y x x =-++，\抛物线的对称轴为直线43122()3x =-=´-；(0,2)C Q ，(2,2)P \；当点P 在BC 下方时，设CP 交x 轴于点(,0)K m ，则OK m =，3KB m =-．PCB ABC Ð=ÐQ ，3CK BK m \==-．在Rt COK D 中，222OC OK CK +=，2222(3)m m \+=-，解得：56m =，\5(,0)6K ，设直线CK 的解析式为y kx d =+，562k d d ì+=ïíï=î，解得：1252k d ì=-ïíï=î，\直线CK 的解析式为1225y x =-+，联立，得2122524233y x y x x ì=-+ïïíï=-++ïî，解得：1102x y =ìí=î（舍去），2228528625x y ì=ïïíï=-ïî，\28286(,525P -．综上所述，点P 的坐标为(2,2)或28286(,)525-；（3）存在，DE DF +的值为定值163，理由如下：由（2）得抛物线的对称轴为直线1x =，(1,0)D \，设224(,2)33M t t t -++且13t -<<，设直线AM 的解析式为11y k x b =+，将(1,0)A -和点M 的坐标代入得：11211024233k b tk b t t -+ìïí+=-++ïî，解得：11223223k t b t ì=-+ïïíï=-+ïî，\直线AM 的解析式为22(2)233y t x t =-+-+，当1x =时，443y t =-+，\4(1,4)3E t -+，同理，直线BM 的解析式为：22(2233y t x t =--++，当1x =时，4433y t =+，\44(1,33F t +，\4444,333DE t DF t =-+=+，\44416(4)3333DE DF t t +=++-+=，DE DF \+的值是定值，163DE DF +=．【点评】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE Ð=°，求出点F 的坐标；（3）如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）求出抛物线的对称轴为直线1x =，设对称轴l 与x 轴交于点G ，过点E 作ED l ^于点D ，证明DFG GBF D @D ，设(1,)F m ，进而得出E 点的坐标，代入抛物线解析式，求得m 的值，当E 点与A 点重合时，可得(1,3)F -或(1,3)F ；（3）设(,)P s t ，直线AP 的解析式为y dx f =+，BP 的解析式为y gx h =+，求得解析式，可得OM ，ON ，即可求解．【解答】解：（1）将点(2,0)A -，(4,0)B ，代入24y ax bx =++得：424016440a b a b -+=ìí++=î，解得：121a b ì=-ïíï=î，\抛物线解析式为2142y x x =-++；（2）Q 点(2,0)A -，(4,0)B ，\抛物线的对称轴为直线2412l x -+==，设直线l 与x 轴交于点G ，过点E 作ED l ^于点D ，当F 在x 轴上方时，如图：Q 以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE Ð=°，EF BF \=，90DFE BFG GBF Ð=°-Ð=ÐQ ，90EDF BGF Ð=Ð=°，()DFE GBF AAS \D @D ，GF DE \=，GB FD =，设(1,)F m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m =+=+=+，(1,3)E m m \++，E Q 点在抛物线2142y x x =-++上，\213(1)(1)42m m m +=-++++，解得：3m =-（舍去）或1m =，(1,1)F \；当F 在x 轴下方时，如图：同理可得()DFE GBF AAS D @D ，GF DE =，GB FD =，设(1,)F n ，则(1,3)E n n --，把(1,3)E n n --代入2142y x x =-++得：213(1)(1)42n n n -=--+-+，解得3n =（舍去）或5n =-，(1,5)F \-；当E 点与A 点重合时，如图所示，6AB =Q ，ABF D 是等腰直角三角形，且90BFE Ð=°，\132GF AB ==，此时(1,3)F -，由对称性可得，点(1,3)F ¢也满足条件，综上所述，(1,1)F 或(1,5)-或(1,3)-或(1,3)；（3）12OM ON +为定值6，理由如下：设(,)P s t ，直线AP 的解析式为y dx f =+，BP 的解析式为y gx h =+，Q 点(2,0)A -，(4,0)B ，(,)P s t ，\20d f s d f t -+=ìí+=î，40g h s g h t +=ìí+=î，解得：222t d s t f s ì=ïï+íï=ï+î，444t g s t h s ì=ïï-íï=ï-î，\直线AP 的解析式为222t t y x s s =+++，BP 的解析式为444t ty x s s =+--，在222t t y x s s =+++中，令0x =得22ty s =+，\2(0,)2tM s +，在444t t y x s s =+--中，令0x =得44ty s =-，4(0,)4tN s\-，(,)P s t Q 在抛物线上，2114(4)(2)22t s s s s \=-++=--+，21214126(4)(2)6222428(4)(2)t t t s s OM ON s s s s s s --+\+=+´===+--++--+，12OM ON \+为定值6．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．10.（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．（1）如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)-中恰有三个点在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上．①a = ；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ^轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a >的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．【分析】（1）①在2y ax =中，令0x =得0y =，即知(0,2)不在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上，用待定系数法可得1a =；②设BC 交y 轴于E ，设菱形的边长为2t ，可得2(,)B t t -，故AE ==，2(2,)C t t +，代入2y x =得224t t +=，可解得t =③过B 作BF y ^轴于F ，过D 作DE y ^轴于E ，由点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，可得BF m =，2OF m =，DE n =，2OE n =，证明()ABF DAE AAS D @D ，有BF AE =，AF DE =，故22m n AF m =--，AF n =，即可得1n m -=；（2）过B 作BF y ^轴于F ，过D 作DE y ^轴于E ，由点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，知2(,)B m am ，2(,)D n an ，分三种情况：①当B ，D 在y 轴左侧时，由()ABF DAE AAS D @D ，可得22m am AF an -=--，AF n =-，故1n m a-=；②当B 在y 轴左侧，D 在y 轴右侧时，由()ABF DAE AAS D @D ，有22m am AF an -=+-，AF n =，知0m n +=或1n m a -=；③当B ，D 在y 轴右侧时，22m an AF am =--，AF n =，可得1n m a-=．【解答】解：（1）①在2y ax =中，令0x =得0y =，(0,0)\在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上，(0,2)不在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上，Q 四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)-中恰有三个点在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上，\二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上的三个点是(0,0)，(1,1)，(1,1)-，把(1,1)代入2y ax =得：1a =，故答案为：1；②设BC 交y 轴于E ，如图：设菱形的边长为2t ，则2AB BC CD AD t ====，B Q ，C 关于y 轴对称，BE CE t \==，2(,)B t t \-，2OE t \=，AE ==Q ，2OA OE AE t \=+=，2(2,)D t t \+，把2(2,)D t t +代入2y x =得：224t t =，解得t =或0t =（舍去），\③n m -是为定值，理由如下：过B 作BF y ^轴于F ，过D 作DE y ^轴于E ，如图：Q 点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，2(,)B m m \，2(,)D n n ，BF m \=，2OF m =，DE n =，2OE n =，Q 四边形ABCD 是正方形，90DAB \Ð=°，AD AB =，90FAB EAD EDA \Ð=°-Ð=Ð，90AFB DEA Ð=Ð=°Q ，()ABF DAE AAS \D @D ，BF AE \=，AF DE =，22m n AF m \=--，AF n =，22m n n m \=--，()()m n n m n m \+=-+，Q 点B 、D 在y 轴的同侧，0m n \+¹，1n m \-=；（2）过B 作BF y ^轴于F ，过D 作DE y ^轴于E ，Q 点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，2(,)B m am \，2(,)D n an ，①当B ，D 在y 轴左侧时，如图：BF m \=-，2OF am =，DE n =-，2OE an =，同理可得()ABF DAE AAS D @D ，BF AE \=，AF DE =，22m am AF an \-=--，AF n =-，22m am n an \-=+-，()()m n a n m n m \+=-+，n m a\-=；②当B 在y 轴左侧，D 在y 轴右侧时，如图：BF m \=-，2OF am =，DE n =，2OE an =，同理可得()ABF DAE AAS D @D ，BF AE \=，AF DE =，22m am AF an \-=+-，AF n =，22m am n an \-=+-，()()m n a n m n m \+=+-，0m n \+=或1n m a-=；③当B ，D 在y 轴右侧时，如图：BF m \=，2OF am =，DE n =，2OE an =，同理可得()ABF DAE AAS D @D ，BF AE \=，AF DE =，22m an AF am \=--，AF n =，22m an n am \=--，()()m n a n m n m \+=+-，n m a\-=；综上所述，m 、n 满足的等量关系式为0m n +=或1n m a-=．【点评】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．11．（2023•长汀县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A -，(0,2)B -两点．（1）用含a 的式子表示b ；（2）当2a =时，如图1，点C 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求点C 到直线AB 距离的最大值．（3）当1a =时，如图2，过点1(2P -，2)-的直线交抛物线2(0)y ax bx c a =++>于M ，N ．①若//MN x 轴，计算11PM PN+=4 ．②若MN 与x 轴不平行，请你探索11PM PN+是否定值？请说明理由．【分析】（1）将(2,0)A -，(0,2)B -代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）求出抛物线的解析式，进而求出点A ，B 的坐标，可得AOB D 是等腰直角三角形；过点C 作CF x ^轴于F ，交AB 于E ，则ECD D 是等腰直角三角形，设点C 的横坐标为m ，则2(,232)C m m m +-，则(,2)E m m --，可得22(1)2CE m =-++，所以21)CD m ==+，利用二次函数的性质可得结论；（3）①令2y =-，求出x 的值可得出M ，N 的坐标，分别表达PM ，PN 的长度，代入可得结论；②设直线MN 的解析式为22k y kx =+-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，令2222kkx x x +-=+-，整理得2(1)02kx k x +--=，所以121x x k +=-，122k x x =-，分别表达PM ，PN 和MN 的长度，代入可得结论．【解答】解：（1）将(2,0)A -，(0,2)B -代入抛物线2y ax bx c =++，得4202a b c c -+=ìí=-î，21b a \=-；（2）当2a =时，212213b a =-=´-=，2232y x x \=+-，(2,0)A -Q ，(0,2)B -，OA OB \=，AOB \D 是等腰直角三角形，45OAB \Ð=°，如图1，过点C 作CF x ^轴于F ，交AB 于E ，则ECD D 是等腰直角三角形，\直线AB 的解析式为2y x =--，设2(,232)C m m m +-，则(,2)E m m --，2(2)(232)CE m m m \=---+-224m m=--22(1)2m =-++，21)2CD m \==++，0<Q ，20m -<<，\当1m =-时，CD 当1m =-时，2323y =--=-，综上，点C 的坐标为(1,3)--时，CD\点C 到直线AB ；（3）①当1a =时，抛物线的解析式为22y x x =+-，令2y =-，即222x x +-=-，解得0x =或1x =-，(1,2)M \--，(0,2)N -，12PM PN \==，\111141122PM PN +=+=，故答案为：4；②11PM PN+是定值．理由如下：Q 过点1(2P -，2)-的直线交抛物线22y x x =+-于M ，N ，设直线MN 的解析式为22ky kx =+-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，令2222k kx x x +-=+-，整理得2(1)02kx k x +--=，121x x k \+=-，122kx x =-，1122ky kx =+-Q ，2222k y kx =+-，1212()y y k x x \-=-，2221212()()MN x x y y \=-+-2212(1)()k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-22(1)[(1)4()]2kk k =+--´-22(1)k =+，21MN k \=+，1(2P -Q ，2)-，======21(1)4k =+14MN =，\11414PM PN MN PM PN PM PN MN ++===×，\11PM PN+是定值．【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，掌握二次函数图象的性质，函数图象平移的性质，一次函数与二次函数交点的计算方法是解题的关键．12．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数15544y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线2x =的抛物线22(0)yax bx c a =++¹也经过点A 、点C ，并与x 轴正半轴交于点B ．（1）求抛物线22(0)y ax bx c a =++¹的函数表达式；（2）设点25(0,)12E ，点F 在抛物线22(0)y ax bx c a =++¹对称轴上，并使得AEF D 的周长最小，过点F 任意作一条与y 轴不平行的直线交此抛物线于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点，试探究11FP FQ+的值是否为定值？说明理由；（3）将抛物线22(0)y ax bx c a =++¹适当平移后，得到抛物线23()(1)y a x h h =->，若当1x m <…时，3y x -…恒成立，求m 的最大值．【分析】（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点分别解出点A ，C 的坐标，根据抛物线的对称轴解出点C 的坐标，根据待定系数法即可求解抛物线的解析式；（2）根据轴对称求线段的最小值，图形结合分析，计算出点BE 的解析式，再解出点F 的坐标，用点P ，Q 分别表示出直线PQ 的解析式，根据勾股定理分别PQ ，PF ，QF 的值，由此即可求解；（3）根据抛物线的平移确定平移为左右平移，由此确定3y 的二次项系数，画出图形，根据二次函数与直线4y x =-的交点的情况判断34y y >的取值，由此即可求解．【解答】解：（1）一次函数15544y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，令0x =，则154y =，令10y =，则1x =-，(1,0)A \-，5(0,4C ，Q 抛物线22(0)y ax bx c a =++¹的对称轴为直线2x =，且抛物线过点(1,0)A -，5(0,)4C ，且抛物线与x 轴正半轴交于点B ，(5,0)B \，设函数表达式为2(1)(5)y a x x =+-，将点5(0,4C 代入解析式得，5(01)(05)4a +-=，解得14a =-，\抛物线的解析式为22115(1)(5)444y x x x x =-+-=-++；（2）11FP FQ+的值是定值，理由如下：AEF D Q 的周长为AE AF EF ++，由AEF D 的周长最小，AE 的长是定值，AF EF \+最小，连接BE 交对称轴于点F ，设BE 所在直线的解析式为BE y mx n =+，且(5,0)B ，25(0,12E ，\502512m n n +=ìïí=ïî，解得，5122512m n ì=-ïïíï=ïî，\直线BE 的解析式为5251212BE y x =-+，Q 点F 在抛物线的对称轴2x =的直线上，\点5(2,)4F ；Q 过点5(2,)4F 任意作一条与y 轴不平行的直线交此抛物线于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点，如图所示，过点P 作y 的平行线，过点Q 作x 轴的平行线，交于点K ，\设PQ y px q =+，把点5(2,)4F 代入得，\524p q =+，524q p \=-，\直线PQ 的解析为524PQ y px p =+-，令25152444px p x x +-=-++，整理得：2(44)80x p x p ---=，\根据韦达定理得，1244x x p +=-，128x x p =-，Q 点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在直线PQ 上，在Rt PQK D 中，12PK y y =-，12QK x x =-，11524y px p \=+-，22524y px p =+-，1212()y y p x x \-=-，222PQ QK PK \=+221212()()x x y y =-+-2212(1)()p x x =+-221212(1)[()4]p x x x x =++-22(1)[(44)4(8)]p p p =+---2216(1)p =+，24(1)PQ p \=+，同理：PF =，QF =，\11FP FQ FP FQ FP FQ ++=×PQ FP FQ=×=224(1)4(1)p p +=+1=，\11FP FQ+的值是定值．（3）3y x -Q …，设4y x =-，34y y \…，设新的抛物线与直线3y x =-的相交的横坐标分别设为3x ，4x ，如图所示，Q 将抛物线221544y x x =-++适当平移后，得到抛物线23()(1)y a x h h =->，\抛物线是左右平移，则14a =-，231()4y x h \=--，由抛物线221544y x x =-++左右平移得到，观察图象，随着图象向右平移，3x ，4x 的值不断增大，若当1x m <…时，3y x -…恒成立，即231()4y x h x =---…，则m 的最大值在4x 处，\当31x =时，对应的4x 为最大值，21(1)14h \--=-，13h \=，21h =-（舍)，231(4)4y x \=--，令21(3)4x x --=-，解得，31x =，49x =，m \的最大值为9．【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，掌握二次函数图象的性质，函数图象平移的性质，一次函数与二次函数交点的计算方法，数形结合分析是解题的关键．13 ．（2023•武侯区校级模拟）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若(1,0)A -且3OC OA =．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P 是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接BC 、AP 相交于点G ，当12PBG ABG S S D D =时，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，AP 交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与线段AB ，AC 分别交于E ，F ，当直线l 绕点M 旋转时，m nAE AF+为定值3，请求出m 和n 的值．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过P 点作//PD y 轴交BC 于点D ，过点A 作//AK y 轴交BC 于点K ，则PD PG AK AG =，由12PBG ABG S S D D =，可得12PD AK =，设2(,23)P t t t --，(13)t <<，分别求出(,3)D t t -，(1,4)K --，根据12PD AK =，建立方程求出t 的值即可求P 点坐标；（3）过M 点作//MH x 轴交AC 于点H ，过点F 作//FT x 轴交AP 于点T ，连接CP ，则////HM FT CP ，根据平行线的性质可得HM CH AO AC =，HM AH CP AC =，HM HF AE AF =，HM AHFT AF=，化简得1HM HM AO CP +=，1HM HM AE FT +=，再由1HM HM AO CP +=，求出23HM =，再由1HM HM AE FT +=，得到1132AE FT +=，根据平行得到FT AFCP AC =，求出5FT AF =，则1132AE AF +=，因为3m n AE AF +=，则112()3AE AF=，即可求2m =，n =．【解答】解：（1）(1,0)A -Q ，1OA \=，3OC OA =Q ，3OC \=，(0,3)C \-，将(1,0)A -、(0,3)C -代入2y x bx c =++，\103b c c -+=ìí=-î，解得23b c =-ìí=-î，\抛物线的解析式为223y x x =--；（2）2223(1)4y x x x =--=--Q ，\抛物线的对称轴为直线1x =，设2(,23)P t t t --，(13)t <<，当0y =时，2230x x --=，解得3x =或1x =-，(3,0)B \，设直线BC 的解析式为3y kx =-，330k \-=，解得1k =，\直线BC 的解析式为3y x =-，过P 点作//PD y 轴交BC 于点D ，过点A 作//AK y 轴交BC 于点K ，//PD AK \，\PD PGAK AG =，Q 12PBG ABG S S D D =，\12PD AK =，(,3)D t t -Q ，(1,4)K --，223(23)3PD t t t t t \=----=-+，4AK =，232t t \-+=，解得1t =（舍)或2t =，(2,3)P \-；（3）过M 点作//MH x 轴交AC 于点H ，过点F 作//FT x 轴交AP 于点T ，连接CP ，(0,3)C -Q ，(2,3)P -，//CP x \轴，////HM FT CP \，\HM CH AO AC =，HM AH CP AC =，HM HF AE AF =，HM AHFT AF =，\1HM HM AO CP +=，1HM HMAE FT+=，设直线AP 的解析式为y k x b ¢¢=+，\023k b k b ¢¢-+=ìí¢¢+=-î，解得11k b ¢=-ìí¢=-î，\直线AP 的解析式为1y x =--，(0,1)M \-，1OA =Q ，3OC =，AC \=，Q1HM HM AO CP+=，112HM HM \+=，23HM \=，Q 1HM HMAE FT +=，\1132AE FT +=，QFT AFCP AC=，FT AF \=，\1132AE AF =，Q3m nAE AF +=，112()3AE AF \+=，\=，n=．m2【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，灵活的对分式进行变形处理是解题的关键．14．（2023•丹阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=++的图象与x轴相交于点A、B，与yy x bx c轴相交于点C，其中B点的坐标为(3,0)，点M为抛物线上的一个动点．（1）二次函数图象的对称轴为直线1x=．①求二次函数的表达式；②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是 ；③在②的条件下，连接OM，在OM上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图象交于点Q，求线段PQ的最大值．+（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问m n+的值．的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m n【分析】（1）①利用对称轴公式求出2b=-，再将点B代入函数解析式确定c的值即可；。
专题七 二次函数综合问题
质求解.确定函数最值时,函数自变量的取值范围应确定正确.
(2)已知两个定点和一条定直线,要求在定直线上确定一点,使得这个点到两定点距离和最小,其变形问题有三角
形周长最小或四边形周长最小等.这类问题的解决方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点
与另一个定点,所得直线与已知直线的交点即为所求的点,然后通过求直线的表达式及其与定直线的交点坐标,
顶点的Rt△PEQ,且满足tan∠EQP=tan∠OCA.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2
解:(3)存在.设点 P 的坐标为(m,- m +m+4),点 Q 的坐标为(t,-t+4),
由已知得 tan∠OCA=
= = .
①当点 Q 在点 P 的左侧时,如图②所示,分别过点 P,Q 作 x 轴的垂线,垂足分别为 N,M.
小值时,求点M的坐标及这个最小值.
思路分析:(3)可求MQ=OB=1,则求MC+MQ+BQ的最小值,只需确定MC+BQ的最小值,这可利
用
点
点O关于抛物线对称轴的对称点进行求解.
C
或
解:(3)如图②所示,过点 C 作 CF∥x 轴,交 y 轴于点 G,交抛物线于点 F,连接 OF,交抛物线的对称轴
x=-1 于点 M,过点 M 作 MQ⊥y 轴于点 Q,连接 MC,BQ,由对称性可知 MC=MF.
直线 BC 的表达式为 y=-x+4.
(2)点F是抛物线对称轴上一点,当FA+FC的值最小时,求出点F的坐标及FA+FC的最小值.
解:(2)如图①所示,∵点 A,B 关于抛物线的对称轴 x=1 对称,
2023年中考数学专题《二次函数综合问题》必刷真题考点分类专练含答案解析
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题13二次函数综合问题一．解答题（共40小题）1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．【分析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y＝x2﹣4x化作顶点式可得出点D的坐标；（2）过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，易证△ODE≌△ODG，△GDF∽△OGH，则DG＝DE＝2，OG ＝OE＝4，DG：OG＝DF：HG＝GF：OH，设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，又OH＝EF，则8﹣4t＝2+t，解得t的值可得出点G的坐标，进而可得直线DG的解析式，令y＝0即可得出点P的坐标；（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1＝QK（x B﹣x E），S2＝MN（x B﹣x E），由点Q的横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．【解析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，解得x＝0或x＝5，∴B（5，5）；∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点D（2，﹣4）．（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，∴DE＝2，OE＝4，∴tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，∴△ODE≌△ODG（AAS），∴DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，∵∠OHG＝∠F＝90°，∠OGH+∠DGF＝90°，∠OGH+∠GOH＝90°，∴∠DGF＝∠GOH，∴△GDF∽△OGH，∴DG：OG＝DF：HG＝GF：OH＝1：2，设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，∵∠DEO＝∠F＝∠OHG＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OH＝EF，∴8﹣4t＝2+t，解得t＝，∴GH＝，OH＝2+t＝，∴G（，﹣）．∴直线DG的解析式为y＝x﹣，令y＝0，解得x＝5，∴P（5，0）．（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，∴M（﹣1，5）．如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，∵点Q横坐标为m，∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．∵S1＝QK（x B﹣x E），S2＝MN（x B﹣x E），∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，的最大值为．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．【分析】（1）令y＝0，解方程可得结论；（2）分两种情形：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．构建方程组分别求解即可；（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，推出x A•x C＝x B•x E＝﹣3﹣b可得n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q推出q＝﹣mn﹣3，推出q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，推出OF＝b2+b，可得结论．【解析】（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵OP＝OA＝1，∴P（0，1），∴直线AC的解析式为y＝x+1．①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．∵B（3，0），BD1∥AC，∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，由，解得或，∴D1（0，﹣3），∴D1的横坐标为0．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．直线l的解析式为y＝x+5，由，可得x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝或，∴D2，D3的横坐标为，，综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，∴x A•x C＝x B•x E＝﹣3﹣b∵x A＝﹣1，∴x C＝3+b，∴m＝3+b，∵x B＝3，∴x E＝﹣1﹣，∴n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q∴q＝﹣mn﹣3，∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，∴OF＝b2+b，∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的格线等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；（2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），∴S△POC＝x P＝＝3m，S△BOP＝|y P|＝+2m+6），∵S△BOC＝＝18，∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S△PBC最大＝；方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S△PBC最大＝；（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，∴F1点的坐标：（4，﹣6），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，代入抛物线y ＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；（2）连接BC交直线x＝1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小，从而可以解答；（3）根据a＝1时，可得抛物线的解析式y＝x2+x﹣2，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），表示QE的长，配方后可解答．【解析】（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），当y＝0时，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，∴b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x＝1，由对称性可得C（4，0），要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，如图1，连接BC交直线x＝1于点P，因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，Rt△AOB中，AB＝＝＝2，Rt△BOC中，BC＝＝＝2，∴△ABP周长的最小值为2+2；（3）当a＝1时，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，当m＝﹣1时，QD有最大值是，当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣1＝﹣2，综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式；（2）①根据两角相等可证明两三角形相似；②根据△OCD∽△A′BD，得＝，则＝，即的最小值就是的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，有最小值是；（3）根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为2：1，可得A'B＝AB＝1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A'G和BG的长，最后再证明△A'GB ∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A'B的解析式，最后联立方程可得结论．【解析】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；（2）①证明：如图1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是的最小值，y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴OC＝2，∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，当CD＝2时，的最小值为＝；（3）解：∵S△OCD＝8S△A'BD，∴S△OCD：S△A'BD＝8，∵△OCD∽△A′BD，∴＝（）2＝8，∴＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，∴BD＝2﹣1＝1，如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，由翻折得：AA'⊥CH，∵∠AHB＝∠BDC＝90°，∠ABH＝∠CBD，∴∠BCD＝∠BAH，tan∠BCD＝tan∠GAA'，∴＝＝，设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，在RtA'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，∴a2+（2a﹣1）2＝12，∴a1＝0（舍），a2＝，∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，∵A'G∥OQ，∴△A'GB∽△QOB，∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q（0，4），设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，∴，解得：，∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB 交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．（Ⅱ）求出AB的解析式，设出点P坐标，表示出M点坐标，从而表示出PH和HM的长，分别列出PH＝3HM和PH＝时的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标；（2）分为b＞0和b＜0两种情形．当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，此时求得抛物线与y轴交点，只需交点在点C的上方，就满足抛物线与线段CE没有交点，进一步求得结果，当b＜0时，类似的方法求得这种情形b的范围．【解析】（1）解：（Ⅰ）由题意得，，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3；（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：∵B（0，﹣3），A（3，0），∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，当PH＝3HM时，﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），化简得，m2﹣5m+6＝0，∴m1＝2，m2＝3，当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴P（2，﹣3），当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，此时P（3，0）（舍去），当PH＝HM时，﹣m2+2m+3＝（3﹣m），化简得，2m2﹣7m+3＝0，∴m3＝3（舍去），m2＝，当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，∴P（，﹣），综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；（2）如图1，∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，∴c＝3b﹣9，∴y＝x2+bx+（3b﹣9），把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，0＝+n，∴n＝4，∴OC＝4，∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，∴CD＝5，∵四边形CDFE是菱形，∴CE＝CD＝5，∴E（5，4），当﹣＜0时，即b＞0时，当x＝0时，y＝3b﹣9，∴G（0，3b﹣9），∵该抛物线与线段CE没有交点，∴3b﹣9＞4，∴b＞，当b＜0时，当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，∴H（5，8b+16），∵抛物线与CE没有交点，∴8b+16＜4，∴b＜﹣，综上所述：b＞或b＜﹣．【点评】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合．7．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A 在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；（2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解；（3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值．【解析】在直线y＝2x+2中，当x＝2时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP＝OP＝AO＝1，此时点P的坐标为（1，0），②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP＝OP＝OB＝2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），∴CD′′的最小值为1．【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键．8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．【解析】（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+2，又∵抛物线过点（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a＝﹣，∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴喷出水的最大射程OC为6cm；②∵对称轴为直线x＝2，∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，∴点B的坐标为（2，0）；③∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，解得x＝2±2，∵x＞0，∴x＝2+2，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，∴d的最小值为2，综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，解得m＝2.5，∴点D的纵坐标为h﹣，∴h﹣＝0，∴h的最小值为．【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．（1）求点C的坐标；（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．【解析】（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，∴0＝﹣52﹣4×5+c∴c＝5，∴点C的坐标为（0，5）；（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：∵A（﹣5，0），C（0，5）∴OA＝OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO＝45°，∵PF⊥x轴，∴∠AHF＝45°＝∠PHE，∴△PHE是等腰直角三角形，∴，∴当PH最大时，PE最大，设直线AC解析式为y＝kx+5，将A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，∴k＝1，∴直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），∴，∵a＝﹣1＜0，∴当时，PH最大为，∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；（3）存在，理由如下：∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，，解得，∴点M的坐标为（﹣3，8）；②当AM为平行四边形对角线时，，解得，∴点M的坐标为（3，﹣16）；③当AN为平行四边形对角线时，，解得，∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y 轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P 的坐标为（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N 关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．可得点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y＝x﹣．即可得点E，F的坐标．【解析】（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BP的解析式为y＝kx+n，∴，解得，∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∴当m＝2时，MG取得最大值1，此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又3b＝2c，b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．∴y＝ax2﹣2a﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），∵直线x＝2与抛物线相交于点N，∴点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．∴P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．∴点E（，0），点F（0，﹣）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．。
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成都市中考压轴题（二次函数）精选【例一】．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴， ∴点M 的纵坐标为﹣2， ∴AM=m 2﹣1﹣（﹣2）=m 2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，点A 、B 在x 轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴+=+=1；②k 取任何值时，设点A （x 1，x 12﹣1），B （x 2，x 22﹣1）， 则+=+==， 联立，消掉y 得，x 2﹣4kx ﹣4=0，由根与系数的关系得，x 1+x 2=4k ，x 1•x 2=﹣4， 所以，x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=16k 2+8， x 12•x 22=16，∴+===1，∴无论k 取何值，+的值都等于同一个常数1．点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A 、B 的坐标，然后用含有k 的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例二】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB sin ∠（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，35AB =Q 5sin 5OAB ∠=， 5sin 3535BD AB OAB ∴=∠==g ． 又由勾股定理， 得2222(35)36AD AB BD =-=-=．1064OD OA AD ∴=-=-=．Q 点B 在第一象限内， ∴点B 的坐标为(43)，．∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为 2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ········· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形．①Q 点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-．y FP 3BEC D A P 2P 1O对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，．而点(43)C -，，1(63)P ∴-，． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =． 将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=．∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，；而点(100)A ，，2(612)P ∴-，． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △中，由勾股定理，得220AP ===．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点．······················· 1分 ③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，． 而点(00)O ，，3(147)P ∴，． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ······················· 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ·················· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭Q ，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=g g △．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++-g g g g g 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭． 3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················ 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ····················· 1分 综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．【例三】、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式； （2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。