人教版九年级数学上册解题技巧专题：抛物线中与
初三数学如何求抛物线的解析式
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 c是一次项系数。
根据抛物线的图像或已知条件来确定 顶点的坐标。
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02
抛物线解析式的求解方法
已知顶点形式的解析式求解
总结词
利用顶点坐标确定抛物线的标准方程，进而求解解析式。
详细描述
已知抛物线的顶点坐标为$(h, k)$，则抛物线的标准方程为$y = a(x - h)^2 + k$， 其中$a$为待定系数。根据其他已知条件（如与坐标轴的交点或与直线的交点）， 可以求解出$a$的值，从而得到抛物线的解析式。
初三数学如何求抛物线的解 析式
目录
• 抛物线的定义与性质 • 抛物线解析式的求解方法 • 抛物线解析式的应用 • 抛物线解析式求解的注意事项
01
抛物线的定义与性质
抛物线的定义
01
抛物线是一种二次曲线，它是由 一个点（称为焦点）和一条直线 （称为准线）确定的。
02
抛物线上的任意一点到焦点的距 离等于该点到准线的距离。
03
抛物线解析式的应用
在几何图形中的应用
确定抛物线的位置关系
通过抛物线的解析式，可以确定抛物 线在平面上的位置关系，如开口方向 、顶点位置等。
求解几何量
利用抛物线的解析式，可以求解与抛 物线相关的几何量，如弦长、面积等 。
在实际问题中的应用
建立数学模型
通过抛物线的解析式，可以将实 际问题抽象为数学模型，从而利 用数学方法求解。
解决实际问题
利用抛物线的解析式，可以解决 一些实际问题，如最优化问题、 经济问题等。
在二次函数中的应用
确定二次函数的性质
通过抛物线的解析式，可以确定二次函数的开口方向、对称 轴、顶点坐标等性质。
人教版九年级数学上册解题技巧专题：抛物线中与
初中数学试卷解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是【方法10】（ ）A ．b ≥54B ．b ≥1或b ≤－1C ．b ≥2D ．1≤b ≤2 7．(2016·孝感中考)如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，则下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac4a ＞0；③ac －b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：。
专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册提优专题及
专题8 二次函数的图象抛物线与三大几何变换（原卷版）类型一抛物线与平移1．（2023•牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．2．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC ＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．（1）求抛物线的表达式；（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．4．（2023•常州）如图，二次函数y=12x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．4．（2023•绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+12PD有最大值，最大值是多少？5．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．类型二抛物线与翻折6．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A 的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023•德阳）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y＝kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；8．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．类型三二次函数与旋转9．（2023•平昌县校级模拟）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，…，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（）A．y＝﹣x2+38x﹣360B．y＝﹣x2+34x﹣288C．y＝x2﹣36x+288D．y＝﹣x2+38x+36010．（2023•青秀区校级模拟）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕原点旋转180°，旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+3B．y＝2（x+1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝2（x﹣1）2﹣311．（2023•岳阳县二模）在平面直角坐标系中，将抛物线∁l：y＝2x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C2，在抛物线C2上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m≤5C．m≥﹣5D．m≤﹣512．（2023•高青县二模）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．13．（2023•高新区模拟）如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为（点C'不与点A重合）．14．（2023•静安区校级一模）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+32bx﹣2与y＝﹣x2−14cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．15．（2022秋•连云港期末）已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），(−2，52 )．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．16．（2023•郸城县二模）如图1，抛物线y1＝ax2+bx+c分别交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标．（2）如图2，将该抛物线绕点（4，0）旋转180°．①求旋转后的抛物线的表达式；②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的面积．17．（2023•鞍山二模）如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c与y轴交于点D（0，﹣3），与x轴交于A（﹣3，0），B两点，顶点为H．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线C1：y＝x2+bx+c平移后得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点P（m，n）始终在抛物线C1上，①当点P在第一象限时，抛物线C2与y轴交于点E，若△PED的面积为6m时，直接写出P点坐标；②将平移后的抛物线C2绕点P旋转180°得到抛物线C3，抛物线C3与直线BH交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接MN，NH，若∠MNH＝15°，求直线NH的解析式．18．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥y轴，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．。
初三抛物线必背知识点总结
初三抛物线必背知识点总结抛物线y = ax^2 + bx + c (a≠0)就是y等同于a除以x 的平方加之 b除以x再加之 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a < 0时开口向下(a=0时为一元一次函数)c>0时函数图像与y轴正方向相交c< 0时函数图像与y轴正数方向平行c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)除了顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h就是顶点座标的`xk是顶点坐标的y通常用作谋最大值与最小值和对称轴抛物线标准方程：y^2=2px (p>0)它则表示抛物线的焦点在x的也已半轴上，焦点座标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py1、抛物线就是轴对称图形。
对称轴为直线x=—b/2a。
对称轴与抛物线唯一的.交点为抛物线的顶点p。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2、抛物线存有一个顶点p，座标为：p（—b/2a，（4ac—b^2）/4a）当—b/2a=0时，p在y轴上；当=b^2—4ac=0时，p在x轴上。
3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向上开口。
|a|越大，则抛物线的开口越大。
4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。
5、常数项c同意抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6、抛物线与x轴交点个数=b^2—4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
=b^2—4ac=0时，抛物线与x轴存有1个交点。
=b^2—4ac0时，抛物线与x轴没有交点。
抛物线九年级知识点
抛物线九年级知识点抛物线是数学中非常重要的一个概念，也是九年级数学课程中的一个重点知识点。
它不仅有广泛的应用，而且在数学的学习中也具有很高的研究价值。
在接下来的文章中，我将对抛物线的定义、性质以及应用进行一些介绍和探讨。
抛物线最常见的定义是通过一个定点（焦点 F），和一个定直线（准线 L）的所有点的轨迹。
所以一个抛物线可以被定义为离焦点和准线的距离相等的点的集合。
另一种常见的定义是将抛物线看作是一个平面上所有离定点和定直线的距离相等的点的集合。
这两种定义是等价的，可以互相转化。
抛物线具有许多有趣的性质。
其中最基本的性质是，抛物线在焦点 F 处与准线 L 垂直相交。
而且，抛物线的对称轴与焦点和准线垂直相交，并且对称轴将抛物线分成两个完全对称的部分。
抛物线还有一个关键的性质，就是它是向右或向左开口的，这取决于焦点和准线的位置关系。
如果焦点在准线的右侧，抛物线向右开口；如果焦点在准线的左侧，抛物线向左开口。
抛物线除了这些基本的性质外，还有一些重要的性质。
例如，抛物线的顶点是抛物线上离焦点和准线最近的点，也是抛物线上的最高点或最低点。
而且，抛物线的离心率是一个常数，用来度量抛物线的扁平程度。
当离心率等于1时，抛物线是一个特殊的抛物线，称为单位抛物线。
单位抛物线的焦点与准线相交于原点。
抛物线在现实生活中有许多应用。
例如，在物理学中，抛物线可以描述自由落体运动或者其他带有初速度的运动。
在工程学中，抛物线常用于设计桥梁、建筑物和其他物体的弧形部分。
在摄影学中，抛物线可以用来描述光线在透镜中的传播路径。
在天文学中，抛物线可以用来描述彗星的轨道。
这些实际应用给我们的生活带来了便利，也增加了人类对抛物线的研究兴趣。
最后，我想强调一下，学习抛物线的知识并不仅仅是为了应对考试或者满足课程要求，更重要的是要理解和掌握其实际应用和数学原理。
只有真正理解了抛物线的定义、性质和应用，才能在实践中巧妙运用。
数学是一门极富创造力和探索性的学科，通过学习抛物线，我们可以锻炼自己的思维能力和解决问题的实力。
数学复习破解抛物线问题“五法”
破解抛物线问题“五法”安徽 李昭平1、定义法抛物线是一种重要的圆锥曲线,解题中活用它的定义,常常能收到事半功倍之效.例1动点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求动点P 的轨迹方程.解析：此问题的条件可转化为“动点P 到定点F(4,0)和它到定直线x=—4的距离相等"。
由抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以F(4，0）为焦点、定直线x=-4为准线的抛物线。
显然，8,42==p p , 动点P 的轨迹方程是.162x y=2、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是抛物线问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题.例2设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA 与OB 的数量积为（ ）A 。
43 B 。
43- C 。
3 D.－3解析：对动直线AB ，取其垂直于x 轴的特殊位置，即线段AB为抛物线的通径(如图1)。
由于焦点A )1,21(-、 B )1,21(，于是OA 。
OB=)1,21(- 。
)1,21(=41- 可知,答案B 正确。
(图1)3、巧设方程确定抛物线的方程是一类重要的题型，在许多情况下,若恪守常规,不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境．若能根据题目的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简的目的．例3 抛物线的顶点为原点,焦点在x 轴上，且被直线1y x =+所截的解：设抛物线的方程为2y ax =(0a ≠，则有21y axy x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2(2)10xa x +-+=，设弦AB 的端点为11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122x x a +=-，121x x ===解得1,a =-或5a =所以所求抛物线方程为2y x =-或25y x =．.4、整体相减法涉及到抛物线上若干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足抛物线的方程而得到若干个方程，将这若干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题.例4求抛物线y x22-=中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。
初三抛物线知识点
初三抛物线知识点初三抛物线知识点大揭秘，嘿，有趣着呢！初三学到抛物线知识点的时候，那可真是让我又爱又恨呐！抛物线这家伙，就像个调皮的精灵，总是和我玩捉迷藏。
刚开始学的时候，我就觉得它像一道神秘的弧线，弯弯曲曲的，好像有很多秘密等我去揭开。
老师在黑板上画出那漂亮的抛物线，我就想：嘿，这家伙还挺好玩的。
然后就开始研究它的顶点、对称轴，哎呀，这个顶点就像是抛物线的小脑袋，对称轴就是它的脊梁骨。
找到它们，就好像抓住了抛物线的要害。
说起来，抛物线的图像真的挺神奇的。
它可以高高在上，也可以低低在下，一会儿向左，一会儿向右。
就像个任性的孩子，想怎么跑就怎么跑。
不过咱可不能被它给带跑喽，得稳稳地抓住它的规律。
解题的时候就更有趣啦！每次看到抛物线的题目，我都感觉像是在和它斗志斗勇。
要找到它的关键点，计算出各种数值，就像是在解锁一个神秘的大宝藏。
有时候算着算着就糊涂了，哎呀，这抛物线咋还绕晕我了呢！但当我终于算出正确答案的时候，那种成就感，简直爆棚！我还记得有一次做一道抛物线的难题，我苦思冥想了好久，感觉头发都要被我薅掉了。
但是最后终于想通了，那一刻，我真的想欢呼雀跃，感觉自己就像个打败了大怪兽的超级英雄。
当然啦，也有被抛物线难住的时候，感觉它就像是故意在和我作对。
但我可不会轻易认输，我会和它继续战斗下去！总的来说，初三的抛物线知识点虽然有时候会让我头疼，但更多的是给我带来了挑战和乐趣。
它就像我学习路上的一个小伙伴，虽然有点调皮，但也让我的学习生活变得多姿多彩。
每一次征服一道抛物线的难题，我都觉得自己又进步了一点点。
所以啊，别看抛物线曲曲折折的，这里面可藏着大乐趣呢！和抛物线的故事，还在继续，我可得好好和它过过招！。
中考数学抛物线动点题秒杀技巧
中考数学抛物线动点题秒杀技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线是数学中一个非常重要的概念，也是中考数学考试中常常会出现的题型之一。
抛物线的性质不仅仅是个别的知识点，更是一个整体的系统性知识。
在解题过程中，我们需要灵活运用抛物线的相关知识，抓住关键点，掌握一些技巧，才能在考试中取得更好的成绩。
本文将为大家介绍一些中考数学抛物线动点题的秒杀技巧，希望能够帮助大家顺利解答相关题目。
我们需要了解抛物线的基本性质。
抛物线是一种特殊的二次曲线，其一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线开口的方向取决于a的正负性：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
在抛物线上，我们常常遇到顶点、焦点、准线等概念，这些都是解题过程中需要重点关注的内容。
在解决抛物线动点题时，我们首先要确定动点的位置。
动点通常是抛物线上的一个点，在运动过程中其坐标会发生变化。
设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，动点的坐标为(x,y)，我们需要根据题目中的条件，确定动点的位置。
我们需要利用抛物线的性质，建立动点坐标变化的关系式。
在解题过程中，我们常常需要根据已知条件列方程，利用抛物线的性质建立动点坐标变化的关系式，从而求解动点的轨迹、移动方向等。
如果动点在抛物线上以匀速运动，我们可以利用速度的定义建立关于动点坐标的变化式。
我们需要灵活运用数学知识，解题过程中要注意化繁为简。
在解决抛物线动点题时，我们可能会遇到复杂的条件和问题，这时我们需要善于化繁为简，抓住关键点，简化问题。
可以通过几何、代数等不同的方法，灵活运用数学知识，解题过程中要注意逻辑性，不要陷入死胡同。
中考数学抛物线动点题并不是难题，关键在于掌握抛物线的基本性质，灵活运用数学知识，化繁为简，善于建立关系式，抓住关键点。
通过不断练习，积累经验，相信大家能够在考试中轻松应对抛物线动点题，取得好成绩。
希望以上的技巧能够帮助大家更好地掌握抛物线动点题的解题方法，祝大家在中考数学考试中取得优异成绩！第二篇示例：中考数学中，抛物线动点题是考生普遍认为比较难的题型之一。
初三数学抛物线知识点
初三数学抛物线知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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抛物线角度问题解题方法
抛物线角度问题解题方法抛物线角度问题解题方法抛物线是一种常见的曲线形状，在数学、物理、工程等领域广泛应用。
抛物线角度问题是指在给定初速度和高度的情况下，如何确定发射角度，使得物体能够落在目标位置。
本文将详细介绍抛物线角度问题的解题方法，包括理论推导和实际应用。
一、理论推导1.基本公式在平面直角坐标系中，抛物线的一般式为：y=ax^2+bx+c其中a、b、c为常数，x、y为变量。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
根据牛顿第二定律和运动学公式，可以得到以下基本公式：x=v0cosθty=v0sinθt-1/2gt^2其中v0为初速度大小，θ为发射角度（与水平面夹角），g为重力加速度（约等于9.8m/s^2），t为时间。
利用以上两个公式可以求出任意时刻物体的位置坐标。
2.最优解法对于给定的初速度v0和目标位置(x,y)，求出最优发射角度θ，使得物体能够落在目标位置。
根据以上公式，可以列出关于θ的方程组：x=v0cosθty=v0sinθt-1/2gt^2由于t=2ysinθ/g，将t代入上式得：x=v0cosθ*2ysinθ/gy=v0sinθ*2ysinθ/g-1/2g(2ysinθ/g)^2化简可得：x=2v0^2sinθcosθ/g*yy=(v0sinθ)^2/2g将y代入第一个式子中，得到：x=2v0^2sin^2θ/g*(v0sinθ)^2/2g化简可得：tan(2θ)=4yx/v0^2因此，最优发射角度为：θ=1/2tan^-1(4yx/v0^2)二、实际应用以上理论推导是基于理想情况的假设，实际应用中还需要考虑一些因素。
1.空气阻力和风速在空气中运动的物体会受到空气阻力的影响，这会使其轨迹偏离预期。
此外，风速和方向也会对轨迹产生影响。
因此，在实际应用中需要考虑这些因素，并进行修正。
一种常见的修正方法是使用数值模拟软件进行计算。
这些软件可以模拟物体在不同条件下的运动轨迹，并提供准确的发射角度。
人教版初中数学九年级上册 实际问题与二次函数(第3课时拱桥和运动中的抛物线问题)课件PPT
故抛物线的解析式是 = − ( − ) +、
当 = 时， = −
−
所以他不能把球投中、
+=
≠ ，
O
20
米
9
4米
4米
3米
x
随堂训练
1、如图所示,阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，
其解析式为 = − + + ，则水柱的最大高度是（ C ）
由、
解：如图，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，
建立平面直角坐标系、
∵ = , ∴ −, ，(, )、
∵ = 、 ， ∴
(，、)
设抛物线的解析式为
= +、、、
∵抛物线过点(−, ), ∴ + 、 = ，∴ =
− 1、1、、
识表示它们吗？
3
温故知新
下面是同一个二次函数的图象，请你根据它不同的坐标系中
的位置，说出它的二次函数的解析式形式、
y
O
x
x
x
O
（1） =
y
y
（2） = +
O
（3） = ( − ) +
（4） = + +
4
知识讲解
1、利用二次函数解决实物中的抛物线形问题
（2）设 = − − + 2，将（0，0）代入，得 = − ，∴ = − −
+ 、
知识讲解
★解决抛物线形实际问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套
人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
抛物线的基本知识点
抛物线的基本知识点抛物线的基本知识点整理抛物线：y=ax^2+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上ca0时开口向上a0时开口向下c=0时抛物线经过原点b=0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y=a(x+h)^2+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py初中数学知识点归纳数与代数1.数与式(1)实数实数的性质：①实数a的相反数是—a，实数a的倒数是(a≠0);②实数a的____值：③正数大于0，负数小于0，两个负实数，____值大的反而小。
二次根式：①积与商的方根的运算性质：(a≥0，b≥0);(a≥0，b0);②二次根式的性质：(2)整式与分式①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即(m、n为正整数);②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(a≠0，m、n为正整数，mn);③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(n为正整数);④零指数：(a≠0);⑤负整数指数：(a≠0，n为正整数);⑥平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即;⑦完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，即;分式①分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即;，其中m是不等于零的代数式;②分式的乘法法则：;③分式的除法法则：;④分式的乘方法则：(n为正整数);⑤同分母分式加减法则：;⑥异分母分式加减法则：;2.方程与不等式①一元二次方程(a≠0)的求根公式：②一元二次方程根的判别式：叫做一元二次方程(a≠0)的根的判别式：方程有两个不相等的实数根;方程有两个相等的实数根;方程没有实数根;③一元二次方程根与系数的关系：设、是方程(a≠0)的两个根，那么+=，=;不等式的基本性质：①不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变;②不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;③不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变;3.函数一次函数的图象：函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线;一次函数的性质：设y=kx+b(k≠0)，则当k0时，y随x的增大而增大;当k0，y随x的增大而减小;正比例函数的图象：函数的图象是过原点及点(1，k)的一条直线。
解题技巧专题解决抛物线中与系数a,b,c有关的问题
解题技巧专题：解决抛物线中与系数a ，b ，c 有关的问题◆类型一 由已知函数的图象确定其他函数图象的位置 1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1的大致位置如图所示，那么直线y ＝ax ＋b 的图象可能是( )第1题图 第2题图2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ax与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( )3．已知一次函数y ＝－kx ＋k 的图象如图所示，则二次函数y ＝－kx 2－2x ＋k 的图象大致是( )第3题图 第4题图◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值4．(2017·成都中考)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( ) A．abc＜0，b2－4ac＞0B．abc＞0，b2－4ac＞0C．abc＜0，b2－4ac＜0D．abc＞0，b2－4ac＜05．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第6题图6．(2017·烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )A．①④B．②④C．①②③D．①②③④7．(2017·营口一模)函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＜0.其中正确的是________(填序号)．8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，比较P，Q的大小关系．参考答案与解析1．A2．C 解析：由y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，得a＜0，－b2a ＞0，∴b＞0，∴反比例函数y＝ax的图象位于第二、四象限，正比例函数y＝bx的图象位于第一、三象限．故选C.3．B 解析：由一次函数的图象可知k＞1，∴－k＜0，－1<－1k<0，∴抛物线开口向下，对称轴在直线x＝－1与y轴之间，与y轴的交点在(0，1)的上方．故选B.4．B 5.C 6.C7．③④解析：∵二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴无交点，∴b2－4ac＜0，故①错误；当x＝1时，y＝1＋b＋c＝1，故②错误；∵当x＝3时，y＝9＋3b＋c＝3，∴3b＋c＋6＝0，故③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2＋bx＋c＜x，∴x2＋(b－1)x＋c＜0，故④正确．故正确的为③④.8．解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，－b2a ＞0，∴b＞0，∴2a－b＜0.∵－b2a＝1，∴2a＋b＝0，a＝－1 2b.当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴－12b－b＋c＜0，∴3b－2c＞0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b＋2c＞0，∴P ＝|2a＋b|＋|3b－2c|＝3b－2c，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|＝b－2a －3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0，∴P＞Q.构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。
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解题技巧专题：抛物线中与
系数a，b，c有关的问题
◆类型一由某一函数的图象确定其
他函数图象的位置
1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如
图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经
过（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
第1题图第2题图
2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如
图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图
象大致是（）
3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞
b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图
象可能正确的是（）
第3题图第4题图
4．如图，一次函数y1＝x与二次函数
y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，
则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是
（）
◆类型二由抛物线的位置确定代数
式的符号或未知数的值
5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝
ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列
结论中正确的是【方法10】（）
A．a＞0
B．c＜0
C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
第5题图第7题图
6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二
次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经
过第三象限，则实数b的取值范围是【方法
10】（）
A．b≥
5
4B．b≥1或b≤－1
C．b≥2 D．1≤b≤2
7．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝
ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标
为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)
和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；
②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次
方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实
数根．其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
8．(2016·天水中考)如图，二次函数y
＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B
两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下
列结论：①abc＜0；②
b2－4ac
4a＞0；③ac－b。