清华大学高等数值分析作业李津1——矩阵基础

20130917题目

求证：在矩阵的LU 分解中，1

11n n T

n ij i j j i j L I e e α-==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭

∑∑

证明：

在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。

对矩阵A 进行LU 分解，()()

()

()()1

11

1111L M n M M M n ---=-=••-………… ，

其中()1n T

n ij i j i j M j I e e α=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。

()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到，

通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n T n ij i j i j I e e α=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑。故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+⎛⎫

⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∏∑

上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次

向下乘法叠加的初等变换。由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故

11n

n T

n ij i j j i j L I e e α==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭

∑∑。

数学证明：1n T

ij i j i j e e α=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑具有

,0

00n j j A -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和1,1000n j n j B -+-+⎛⎫

⎪⎝

⎭ 的形式，且有

+1,-11,10000=000n j j n j n j A B --+-+⎛⎫⎛⎫

⎪⎪⎝⎭⎝

⎭

而1

1n n T ij i j j k i j e e α-==+⎛⎫ ⎪⎝⎭

∑∑具有1,1000n k n k B -+-+⎛⎫

⎪⎝⎭的形式，因此： 1

311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T T

k n ik i k

k k i k e I e e α--===+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑∑#

20130924题目一

问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上三角矩阵，为什么？

解：

不能用逐次householder 相似变换变A 为上三角矩阵，原因如下：

A 记作：()

12=,,n A a a a ……， ，存在householder 阵1H s.t. 1111H a e α= ，则

()()()

111111111111111111111,,,0T T

h H AH H a A H e H A H e H A H h H A H ααα⎛⎫'''=== ⎪

⎪'⎝⎭

⎛⎫

''=+ ⎪ ⎪⎝

⎭

11H A H ''第一列的元素不能保证为1e 的倍数，故无法通过householder 变换实现上三

角化。

20130924题目二

问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上Hessenberg 矩阵，怎么做？

解：

可以用逐次householder 相似变换变A 为上Hessenberg 矩阵，方式如下： 记

0011

12

00021

22A A A a A ⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭

，其中0

21a 为n-1维向量。 设()1110=0H H ω⎛⎫

⎪

⎝⎭

，其中()0

12111=H a e ωα ，则()()()

()()0

000

111211

1211101

001111122121221111

12

1121

221

010=00T T T T A A A A H A H A H H H e H A H a A A

A a A ωωωαωω⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭

⎝⎭⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭

其中1

21a 为n-2×2阶阵，除最右一列以外都为0。

若11

12

21

22k k k k k A A A a A ⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭

中，21k

a 为(n-k-1)×(k+1)矩阵，且除最右一列外都为0，设1()k H ω+ 是对21k

a 做householder 变换对应的householder 阵，则

()()1

1

11121112

1

1111111121

2221

220

=0

k

k

k k k k k k k k k

k k k k k A A A A I I A H A H H H a A a A ωω+++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

如此，A n-2就是上Hessenberg 矩阵，即

()()22310231=n n n n n H A H H H A H H H QAQ -----==………… ，整个过程是通过

householder 变换得来，Q 是householder 阵的乘积，故是单位正交矩阵。#