高等代数教学大纲

中国海洋大学本科生课程大纲

课程属性：学科基础

课程性质：必修

一、课程介绍

1.课程描述：

高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课，是学习其它数学课程的主要先修课之一。高等代数的内容主要包含两个模块：第一模块，方程和方程组的求解问题，主要内容有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型；第二模块，线性空间相关理论，主要内容有：线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。高等代数内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。

2.设计思路：

开设高等代数课程的目的是：一方面，使数学院本科生在中学所学初等代数的基础上继续学习更加高深的代数学知识，使其掌握系统的经典代数内容，为学习其它数学课程（如数值代数、近世代数、计算方法等等）提供坚实的代数基础知识；另一方面，通过本课程的学习，逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。

19世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论，称为经典代数；19世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构，如群、环、域、模等，称为抽象代数或近世代数。高等代数课程的内容主要是经典代数内容，涵盖学习其它数学课程所要求的基本的代数基础知识。

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高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的，主要有两条主线：第一，方程和方程组求解问题，第二，线性空间相关理论。第一条主线的主要内容有：多项式理论——对应高次方程，其求解需要降次，需研究多项式的因式分解；行列式理论——求解线性方程组的主要工具之一；线性方程组理论——解的判定与求法；矩阵理论——解线性方程组时用到的矩阵运算与性质；二次型理论——二次齐次方程的化简与对称矩阵。第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广，主要有：线性空间——几何空间的推广与抽象；线性变换——线性空间中点的运动的描述；λ-矩阵——证明线性变换的矩阵与其标准形相似；欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质的线性空间，是几何空间的推广。

3.课程与其他课程的关系：

先修课程：无；

并行课程：数学分析、空间解析几何；

后置课程：近世代数。高等代数与近世代数内容恰好实现对接，完整体现了代数学的基本内容，联系密切。

二、课程目标

本课程目标是：一方面使学生系统地掌握经典代数的内容，包括多项式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等，为学习其它数学课程打下坚实的代数知识基础；另一方面，通过本课程的学习，培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的能力。

到课程结束时，学生应达到以下几方面要求：

（1）知识掌握良好。会判断多项式的可约性，能计算两多项式的最大公因式；会计算行列式；会判定线性方程组是否可解，掌握线性方程组解的结构；熟练掌握矩阵的各种运算；可将二次型化为标准形；掌握线性空间基底理论以及子空间的运算；会写线性变换的矩阵，会判定矩阵是否对角化、准对角化，并能求出其相应对角形与准

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对角形（若当标准形与有理标准形）；掌握欧式空间上的正交变换与对称变换。

（2）能力得到提高。通过课程中大量计算题目的练习使得数值计算能力得到提高；通过课程中大量证明题目的练习，使得问题分析能力和逻辑思维能力得到提高；通过线性空间与欧氏空间都是几何空间的抽象，来锻炼抽象思维能力。

（3）数学素质得到提升。通过多项式理论学习，知道解高次方程时应降次，就需因式分解；研究线性方程组时只需研究其系数，从而引出矩阵与行列式；通过学习线性空间时先学子空间，再学同构，知道研究一个代数系统的方法——由内到外，即先研究其子代数系统，再通过映射研究这个代数系统与其它代数系统的关系；通过线性变换在不同基底下的矩阵相似引出矩阵的对角化与准对角化；几何空间中有长度、夹角、距离等，将其推广到一般线性空间便得到欧氏空间。想明白这些“自然想法”，则学生的数学思想与数学素养便会得到有效提升。

三、学习要求

为达到教学目标和良好的学习效果，希望学生：

（1）课前要预习。通过预习，了解本堂课主要学习哪些知识，从而做到心中有数。对自己不能看懂的知识，上课时特别注意听讲；能看懂的知识，注意教师讲解时有何补充。

（2）课上有效听讲。一是不缺课，因为后面内容的学习要用到前面内容作为基础，各节知识环环相扣，漏掉一次会严重影响后续内容的学习；二是做好笔记，记下教师举过的例题与补充的知识，过后仔细体会；三是要理解，在理解的基础上加以记忆，不理解的要赶紧问。

（3）课后主动学习。一是按时完成常规练习作业，才能有助于掌握课堂所学内容，提高自己分析问题、解决问题的能力。二是善于与同学交流，相互讨论有助于对知识的理解；三是主动寻求一些参考书进行阅读，只有见多才能识广。四是学会利用网络资源，比如主动看一些国内高等代数精品课视频、微课视频等，提高自己对课程的兴趣和某个知识点的理解；也可看一些外文线性代数课程视频，学习一些数学专业术语的英文表达，为以后参与国际交流打下基础。

四、参考教材与主要参考书

1、选用教材：

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《高等代数》（第4版），王萼芳、石生明修订，高等教育出版社，2013年8月出版。

2、主要参考书：

[1] 高等代数（上、下册），丘维声著，清华大学出版社，2010年6月出版。

[2] 高等代数，张贤科许甫华编著，清华大学出版社，2004年7月出版。

[3] 高等代数习题解（上、下册）, 杨子胥编，山东科学技术出版社，2008年10月第二版。

[4] 高等代数导教∙导学∙导考, 徐仲等编，西北工业大学出版社，2014年8月第四版。

五、进度安排

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