初等几何研究试卷5
初等几何研究试题答案(5)
求证：
AO1┴O2 O3
I F
O3 H
A O2 M B G
C
O
E
D
证明：如上图所示
取 AC 中点 M，连结 MO2、CE、AE、HC ∵ BH=AB BC=CE
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongD 1
E
· O 2 B C
证明：
连接 CD EA=EC ∠2=∠EAC 又 CD=BD ∠B=∠DCB 又 ∠2=∠B (外角=内对角） △ACE∽△BCD ∠BCD=∠AEC 又∠BDC+∠CDA=180° ∠AEC+∠CDA=180° A、D、C、E 四点共圆 ∠1=∠2 （同弦所对的圆周角） ∠1=∠B
+ = + + +
∴SQ⊥PR 3、凸四边形 ABCD 的每条对角线皆平分它的面积， 求证:ABCD 是平行四边形。
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongB
F O E D C
证明：设 AC 和 BD 相交于点 O，作 AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F， 连接 AF，CE ∵对角线 BD 平分四边形 ABCD 的面积 ∴S△ABD＝S△CBD ∴AE=CF 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴AE∥CF ∴四边形 AECF 为平行四边形 ∴AO=CO 同理可得 BO=DO ∴四边形 ABCD 是平行四边形
12. 给定正方形 ABCD ， P,Q 分别为 AB,BC 上的点，满足 BP=BQ,自 B 作 BH⊥PC 于 H， 求证：∠DHC=90°。 证明：如图 BH 交 AD 于 F ∵BH⊥PC ∴∠PBH=∠BCP
初等几何研究试题答案(李长明版)
初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。
精品《初等几何研究》练习题
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是：。
3、第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是。
4、欧氏平行公理是：。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是。
10、解作图问题的常用方法有：、、、等。
11、数学公理系统的三个基本问题是性、性和性.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的，否则称A、B在a的 .13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了原理.15、罗氏平行公理是： .16、在罗氏几何中，共面的两条直线有种关系，它们分别是17、几何证明的通用方法一般有法、法、法、法、法、法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有的关系.19、尺规可作图的充要条件是 .20．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.23．绝对几何包括有组公理，它们分别是 .24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 .26、．常用的几何变换有等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .28．请写出两条作图公法： .29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。
初等几何研究答案
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。
3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。
4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。
11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。
初等几何试题(李长明版)
初等几何研究试题（李长明版）课程名称 初等几何研究 拟题人 审题人 评分 系（校区）自然科学系 班级 姓名 学号题号 一 二 三 四 得分一、选择题 （5分⨯4=20分）1.如图，在□ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O ，在BC 上取点E ，使3CE=BC ，DE 交AC 于F ，则AO ：OF ：FC=__________.A 3:2:1B 4:3:1C 5:3:2D 2:1:1第1题图 第2题图2.矩形ABCD 中，E ，F 分别是AB 、BC 的中点，DE 、DF 分别交AC 于P 、Q ，则， S PQFBE ：S ABCD =___________.A 1：2B 1：3C 1：4D 1：53. 如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，∠A=450，那么， S BCEF ：S ABC =______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图,已知正方形ABCD 的边长为2,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则S BDF =_______.A.21 B.41 C.81 D.161二、填空题 （5分⨯4=20分）1. 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，△PBC 是正三角形，则△PBD 的面积为_____.第1题图第2题图2．如图,正方形ABCD的边长为2,E，F分别是CD，BC的中点，AE，DF相交于点P,则BP的长度为_____.3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，S ADE:S CDE=1:3，且S CDE=1则S BCD=_________.第3题图第4题图4. 如图，AB是⊙O的直径，AB=4，BC=3，BD平分∠ABC,AD、BC的延长线交于E，是S BDE：S ABCD=________.三、证明题(10分 5=50分)(画图并证明)1. 在△ABC中，∠C=900，BE是∠B的平分线，CD是斜边上的高，过BE、CD的交点O，且平行AB的直线分别交AC、BC于F、G。
初等几何研究第二版朱德祥朱维宗答案
初等几何研究第二版朱德祥朱维宗答案期中考试题1. P18 T5四边形有一双对角互补，则必为圆内接四边形2. P26 T3 两圆O与O’相交于点P，M是OO’的中点，过P任做直线交两圆与A及A’，Q是AA’的中点。
证明MP=MQ。
3. P27 T10 在中，证明BC边的中垂线和角A的平分线相交在外接圆周上;他们的,ABC交点距B、C两点，距内切圆心，距角A的旁切圆心都等远 4. P30 例4 蝴蝶定理5. 证明勾股定理(毕达哥拉斯)6. P39 T11 证明欧拉线7. P41 例3 三角形中，大边上的平分角线较小P18 T5四边形有一双对角互补，则必为圆内接四边形首先证?A+?C=180如图所示，连接DO, BO. 设优角BOD为θ?圆周角等于所对的圆心角的一半??C=1/2?BOD,同理，?A=1/2θ??A+?C=1/2*360=180，即两角互补。
同理可证?ABC+?ADC=180.所以对角互补。
T6 证明:等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。
S,S,S ,ABP,ACP,ABC111AB*PF--AC*PE=AC*CH AB=AC 222PF--PE=CH圆内接偶数边凸多边形相间诸角之和等于其余各角之和 Tp5226、从圆上一点到其内接四边形一双对边的距离之积，等于从该点到两条对角线的距离之积设圆内接四边形ABCD，P是其外接圆上任一点，过P分别作对角线AC,BD;边,BC,,DA的垂线，垂足依次为E,F;G,H,。
根据简单几何定理:三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积R中 PA*PC=R*PE (1) ,PAC,PDB,PD*PB=R*PF (2),PAD PA*PD=R*PG (3)PB*PC=R*PH (4) ,PBC(1)*(2)=(3)*(4)=所以得证P27 T9 在三角形ABC中，分别以AB和AC为一边向外做等边三角形ABD和ACE，求证CD=BEAE=AC,AB=AD, ？，DAB,，EAC ？，DAC,，EAB ？,AEB,,ACD ？CD,BEP31 4.四边形ABCD中，设AD=BC。
初等数学模拟试卷5(题后含答案及解析)
初等数学模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1.D．α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1．正确答案：A解析：(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，所以向量组α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关，故应选(A)．至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C的方法来处理．知识模块：初等数学8．设有向量组α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α2，α5．D．α1，α2，α4，α5．正确答案：B 涉及知识点：初等数学9．设向量β可由向量组α1，α2，...,αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...,αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，...,αm-1，β，则A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B．αm不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D．αm可由(I)线性表示，但小可由(Ⅱ)线性表示．正确答案：B解析：因为β可由α1，α2，...,αm线性表示，故可设β=k1α1+k2α2+...+km αm．由于β小能由α1，α2，...,αm-1线性表示，故上述表达式巾必有km≠0．因此αm=1/km(β-k1α1-k2α2-...-km-1αm-1)．即αm可由(Ⅱ)线性表示，可排除(A)、(D)．若αm可由(I)线性表示，设αm=l1α1+l2α2+...+lm-1αm-1则β=(k1+kml1)α1+(k2+kml2)α2+…+(km-1+km-1lm-1)αm-1．与题设矛盾，故应选(B)．知识模块：初等数学10．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量口是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值A的特征向量是A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：因为A是实对称矩阵，故(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1．那么，由Aα=λα知(P-1AP)T(PTα)=[PTA(PT)-1](PTα)=PTAα=A(PTα)．所以应选(B)．知识模块：初等数学11．设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则A．λE-A=λE-B．B．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A与B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似．正确答案：D 涉及知识点：初等数学12．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(xo，yo)处连续；②f(x，y)在点(xo，yo)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(xo，yo)处可微；④f(x，y)在点(xo，yo)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：初等数学13．设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=z(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D 涉及知识点：初等数学14．设f(x，y)与f(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D 涉及知识点：初等数学15．设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)>1，f”(0)>0．B．f(0)>1，f”(0)<0．C．f(0)<1，f”(0)>0．D．f(0)<1，f”(0)<0．正确答案：A 涉及知识点：初等数学填空题16．设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是___________.正确答案：λn-nλn-1 涉及知识点：初等数学17．设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量．Aα1=0，A α2=2α1+α2，则A的非零特征值为_________.正确答案：1解析：用定义．由Aα1=0=0α1，A(2α1+α2)=Aα2=2α1+α2，知A的特征值为1和0．因此A的非0特征值为1．或者，利用相似，有A(α1，α2)=(0，2α1+α2)=(α1，α2) 知识模块：初等数学18．若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α为转置，则矩阵βαT的非零特征值为正确答案：2解析：矩阵A=βαT的秩为1. 知识模块：初等数学19．设A，B为同阶方阵，如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；正确答案：若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故丨λE-B 丨=丨λE-P-1AP丨=丨P-1AEP-P-1AP丨=丨P-1(λE-A)P丨=丨P-1丨丨λE-A 丨丨P 丨=丨λE-A丨．涉及知识点：初等数学20．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=___________.正确答案：2解析：二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值，所以6，0，0是A的特征值．知识模块：初等数学21．如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是正确答案：B 涉及知识点：初等数学22．曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，-2，2)的法线方程为____________.正确答案：（x-1）/1=（y+2）/（-4）=（z-2）/6. 涉及知识点：初等数学23．设生产函数为Q=ALαKβ，其巾Q是产出量，L是劳动投入量，K 是资本投入量，而A、α、β均为大于零的参数，则Q=1时K关于L的弹性为________.正确答案：-α/β涉及知识点：初等数学24．曲面z=x2+y2与平面2z+4y-z=0平行的切平面方程是___________.正确答案：2x+4y-z=5．涉及知识点：初等数学25．设(a×b).c=2，[(a+b)×(b+c)].(c+a)=____________.正确答案：4. 涉及知识点：初等数学26．设一平面经过原点及(6，-3，2)，且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为___________.正确答案：2x+2y-3z=0. 涉及知识点：初等数学27．设z=z(x，y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，z=z(x，y)的极值点_____________和极值___________．正确答案：（9,3），-3 涉及知识点：初等数学28．二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值__________．正确答案：-e-1 涉及知识点：初等数学29．函数f(x，Y)=xe-(x2+y2)/2的极值___________.正确答案：-e-1/2 涉及知识点：初等数学解答题30．设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．正确答案：证法一：(定义法) 若有一组数k，k1，k2，…，kt，使得kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…kt(β+αt)=0，则因α1，α2，...,αt是Ax=0的解，知Aαi=0(i=1，2，…，t)，涉及知识点：初等数学。
初等几何研究
1. 证明等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为常数.已知：△ABC ， AB=AC ，D 是BC 上一点，DE ⊥AB, DF ⊥AC ，E,F 分别为垂足，BH ⊥AC ，求证：DE+DF=BH.证明：作DG ⊥BH, G 为垂足，则四边形GDFH 是矩形，则DF=GH .∵ AB=AC∴ ∠ABC = ∠ACB∵DG ⊥BH ， BH ⊥AC∴DG ∥CH∴ ∠GDB=∠ACB∴ ∠ABC=∠GDB又 ∵ ∠BED=∠BGD=90°，BD 是公共边∴ Rt △BED ≌ Rt △DGB∴ DE=BG∴ DE+DF = BG+GH即 DE+DF = BH ，证毕.2.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。
已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。
证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。
∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°∵∠1=∠2, ∠3=∠4,∴∠2+∠3=90°∴∠A E ′B=90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则FE ′=21AB=AF=BF ∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F∴∠1=∠2=∠A E ′F ,∴E ′F ∥AD ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD∥BC∴E ′F 与EF 共线∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC) ∴E ′F = E F∴E ′与E 重合，证毕.3.AB 是圆的直径，引弦AC 使∠BAC=30°，过点C 引切线交AB 的延长线于D ，求证：AC=CD证明：如图，连结CB∵AB 是⊙的直径∴∠ACB=90°∵CD为⊙O的切线，∠BAC=30°∴∠BCD=∠BAC=30°又∵∠CBD=∠BAC+∠ACB=30°+90°=120°∴在△BCD中∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD）=30°∴∠BAC=∠BDC即AC=CD4.设△ABC中BC边上的高为AD,直线AD交外接圆于E,H是垂心,证明HD=DE证明∴BM⊥AC，BD⊥AE∵∠AHM=∠BHD∴∠3=∠2又∵∠1=∠2∴∠1=∠3=∠2又∵∠BEH=∠BHE∴△BEH=△BHD∴HD=ED5. .两圆相交于两点A和B，在每一个圆中各作弦AC和AD，使切于另一圆。
初等几何研究
1.（证明线段相等）例1：在ABC ∆的两边AB 、AC 上向外做正方形ABEF 和ACGH ，则BC 边上的高线AD 平分FH 。
证明：过点F 作PQ FQ ⊥,过点H 作DP HP ⊥在ΔADB 和ΔFQA 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠AB AF DBA QAF ADB FQA90AD FQ ΔADB ΔFQA =⇒≅∴在中ΔCAD 和ΔAFP⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠AC AH DAC PHA 90CDA APHAD PH ΔCAD ΔAHP =⇒≅∴HP FQ =∴在中和HPM FQM ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠HP FQ HMP FMQ PHM QFM ΔH P M ΔF Q M ≅∴ HM FM =∴即M 为FH 的中点。
2：C 是弦AB 的中点，通过C 引弦PQ ，并在此弦两端作圆的切线PX 和QY 。
它们交直线AB 于X 、Y 。
证PX=QY 、AX=BY 。
3：AB 是圆的直径，从圆上一点C 作AB CD ⊥于D 。
且在A 、C 两点的切线相交于E ，证明：BE 平分CD 。
证明:过点B 作AB BF ⊥交EC 于FEA//CD//BF ∴ECDM AE DM AB BD EF CF EF BF EC CM ===== DM CM =∴即BE 平分CD 。
4：设AD 、BE 、CF 是ABC ∆的高线，则DEF ∆称为ABC ∆垂足三角形。
证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角。
证明： FCDM 共圆FDM FCM ∠=∠∴DBEM 共圆EDM EBM ∠=∠∴90BAC EBM BAC FCM =∠+∠=∠+∠EBM FCM ∠=∠∴EDM FDM ∠=∠∴即AD 平分FDE ∠同理可得BF 平分DFE ∠,CE 平分FED ∠即这三条高线平分DEF ∆的内角或外角。
5：二圆外切于P ，一圆在其上一点C 的切线交另一圆于A 、B 。
求证：PC 是APB ∠的外角平分线。
6：等边三角形外接圆周上任意一点到顶点连线中最长的等于其余两线之和。
初等几何研究期末试卷
试卷
秋季学期 考试时间： 120 分钟
课程名称 初等几何研究 A 卷□ B
一、证明题（每题10 分，共50分）
1 证明：有七条棱的多面体不存在。
2．rh
R
r
h R r 211,2
2
=
-
，证明：
高为底半径为的球作一外切圆锥，其
半径为
3．已知空间四边形OABC ，OA=OB ，CA=CB ，E ，F ，H ，G 分别为线段OA ，OB ，CA ，CB 的中点，证明：四边形EFHG 为矩形。
4．证明：除四面体外，不存在任何一个凸多面体它每个顶点和其余各顶点都有边相连.
5．证明四面体中，一个二面角的平分面将对棱所分成两线段的比等于夹这二面角的两个面的面积之比。
青岛大学师范学院_______课试卷
………………………………………………装………………订………………线………………………………………………
系：班级_____ 姓名______ 学号_______
密 封 线 ———————————————————————————————————————————————————
二、计算题（每题10 分，共50分）
1 设一线段在互垂三平面上的射影分别为r1,r2,r3，求这线段的长。
2．利用“分割，近似，求和，取极限”的方法求球的表面积公式。
3．一平面截球面所得二部分的面积之差等于截面面积，求平面与球心的距离。
4．设四面体的三侧面积相等为S，求从底面上任意一点到三侧面的距离之和。
5．在定三角形ABC的边BC上求一点，从这点引其余二边的平行线，使与余二边交成的平行四边形的周长为定长。
初等几何研究试题
初等几何研究试题一、选择题 （5分⨯4=20分）1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么，EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图 第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，o A 45=∠，那么，FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图，ABCD 是面积为1的正方形，PCB ∆是正三角形，PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题 （5分⨯4=20分）1．如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD S =_____.第1题图 第2题图 2．如图,AB 是圆O 直径，4=AB ，弦3=BC ，ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3．已知圆O 是ABC ∆的外接圆，半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则：CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4．ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,，则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中，过点A 作直线BC l ||，B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2．M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点，C是直径AB上的定点，过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证：A、的切线于E（1）ED,成等比数列；BM,EC（2）BEAD⋅是定值.3．三条中线把ABC∆分成6个三角形，若这6个三角开的内切圆中有4个相等，求ABC∆是正三角形.4．从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 为线段MH 的中点，求证：BP AH ⊥.5．已知： ABC ∆内接于圆O ，N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点，连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,；I 是ABC ∆的内心，求证： (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。
初等几何研究综合测试题(三)
初等几何研究综合测试题(三)《初等几何研究》综合测试题（三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。
A.一定全等；B.一定不全等；C.可能全等，可能不全等；D.以上都不是。
2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图__________。
第3题图A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD 相交于点O，则图中面积相等的三角形共有___________。
A.1对；B.2对；C.3对；D.4对。
4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
5.如图，在V ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。
A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。
6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。
A.15cm；B.20cm；C.25cm；D.30cm。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.角的大小与边的长短有关。
（）2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。
（）3.两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。
(整理)初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。
2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。
3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。
4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。
7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。
14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。
24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC). 3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
初等几何研究期末试题及答案
初等几何研究期末试题及答案第一题：已知四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，∠ABC = 90°，角ADC的度数为60°。
求四边形ABCD的面积。
解析：由题意可知，四边形ABCD为一个平行四边形，且∠ABC = 90°，∠ADC = 60°。
首先，我们可以使用正弦定理求得∠BAC的度数。
根据正弦定理可以得到：sin∠BAC/AB = sin∠ABC/ACsin∠BAC/6 = sin90°/ACsin∠BAC/6 = 1/ACAC = 6/sin∠BAC接下来，我们可以使用余弦定理求得AC的长度。
根据余弦定理可以得到：AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cos∠ABCAC² = 6² + 8² - 2·6·8·cos90°AC² = 100AC = √100AC = 10再次，我们可以使用正弦定理求得AD的长度。
根据正弦定理可以得到：sin∠ADC/AC = sin∠CAD/ADsin60°/10 = sin∠CAD/AD√3/10 = sin∠CAD/ADAD = 10sin∠CAD/√3最后，我们可以计算四边形ABCD的面积。
四边形ABCD可以分成两个三角形，即△ABC和△ACD。
面积公式为：四边形ABCD的面积 = △ABC的面积 + △ACD的面积= (1/2)·AB·AC + (1/2)·AC·AD= (1/2)·6·10 + (1/2)·10·10sin∠CAD/√3= 30 + 50sin∠CAD/√3综上所述，四边形ABCD的面积为30 + 50sin∠CAD/√3。
第二题：已知直角三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5cm，AC = 12cm。
初等几何研究综合测试题(三)
（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好一些？ 说说你的看法和理由。
10cm
30cm
40cm
30cm (a)
(c) (b)
附：参考答案
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
1.一个角比它的余角大 20°，则这个角的余角的
补角的度数是__________.
2.如图，若⊿ABE、⊿BDE、⊿ACD 的面积分
别为 6、9、10，
则⊿ACE 的面积是_________.
3.如图，⊿OCA≌⊿OBD，C 和 B、AC和 D 是 B
对应点，
O
这 两 个 三 角 形 中 相 A 等 的A 边 D 是
E
第3题图
________________________。
相等的角是______________B___D__。C
第2题图
4.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，
那么这个等腰三角形的顶角等于__________.
四、计算题（本题 8 分）
二、 判断题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
1.角的大小与边的长短有关。（ ） 2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。 （） 3.两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错 角不相等。（ ） 4.两直线被第三条直线所截，内错角相等，则同
旁内角一定互补。（ ） 5.平面上 4 条直线必定有 6 个交点。（ ）
初等几何研究综合测试题(三)
《初等几何研究》综合测试题（三）
初等几何研究综合测试题(一)
《初等几何研究》综合测试题（一）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.在 ABC 中，AB=AC ，高BF 、CE 交于高AD 上一点O ，图中全等三角形的对数是_____。
A.4；B.5；C.6；D.7.2.已知：如图， ABC 中，∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D, 若AB=2，BC=3，则DC 的长度是________。
A.83； B.23； C.43； D.53。
3.下面4个图形中，不是轴对称图形的是_________。
A.有两个内角相等的三角形；B.有一个内角是45°的直角三角形；C.有一个内角是30°的直角三角形；D.有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形。
4.下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是_________。
A.一组对边平行，另一组对边相等；B.两组对边分别平行；C.对角线互相平分；D.一组对边平行且相等。
5.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是_________。
A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。
6.下列语句正确的是________。
A.圆可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。
B.圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。
C.圆的一部分叫做弧。
D.能够互相重合的弧叫做等弧。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
二、 判断题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.如图1，直线a ，b ，c 在同一平面内，a//b ，a 与c 相交于P ，则b 与c 也一定相交。
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一、填空题（本大题共 9题，每空 2 分，共 20分）
1、当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，可以先作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形跟所给的图形就是同一个，这种证法叫做 ；
2、在ABC ∆中，,BE AC CF AB ⊥⊥,若AB AC >，则BE 与CF 的大小关系是 ；
3、已知ABC ∆的三边分别为5cm,8cm,11cm ，则ABC ∆的面积S= ；
4、从圆O 外一点P 引这个圆的两条切线，其夹角为60º，如果PO=6，那么圆的半径等于 ；
5、圆内接四边形ABCD 中，已知AB=6cm,BC=CD=4cm,AD=8cm ，则对角线AC ·BD= ；
6、在一些作图题中，解题的关键在于一些线段的算出，这种利用代数解作图题的方法称为 ；
7、设点C 在线段AB 上且满足关系式2
AC AB CB =⋅，则点C 称为线段AB 的 ； 8、设一线段在互垂三平面上的射影为123,,r r r ，则此线段的长为 ； 9、到两定点A 、B 的距离的平方差为定值k 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，称为 ，点A 到垂足H 的距离AH= . 二、计算题（本大题共 2 题，第1小题8 分,第2小题10分，共 18 分） 1、在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，连接BE 与AC
交于点P,求:BE EP 的值。
2、已知Rt ABC ∆所在平面外一点P 到直顶角C 的距离为24，
到两直角边的距离为求PC 与平面ABC 所成的角。
三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分）
1、 圆的两弦AB 与CD 相交于一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，过F 作圆的
切线FG ，G 为切点，证明EF=FG.
2、设梯形ABCD 的两底之和AD+BC=CD ，求证D ∠与C ∠的平分线交于AB 的中点处。
C
E
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3、AD 、BE 、CF 是ABC ∆的高线，从垂足D 引DM BE ⊥于M ，引DN CF ⊥于N ，求证MN
FE
4、证明三角形的中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差。
四、轨迹（本大题共 1 题， 10分）
1、ABCD 的底边BC 固定，且一边AB 为定长a ，则其对角线交点的轨迹是一圆，圆心是BC 的中点，半径是2
a .
五、作图（本大题共 1 题，每题分，共12分）
1、已知ABC ∆的底边BC a =，顶角A α∠=及余两边的平方和222
AB AC k +=，求
作此三角形。