勾股定理培优题

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勾股定理

一、知识要点

1、勾股定理

勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” . 222，它的变形式为ca=+b勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即222222.

=--ab=ba或cc勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.

2、勾股定理的逆定理

222，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形=满足、cac+b.

如果三角形的三边长a、b勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.

二、基本知识过关测试

1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是 .

2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影S= .

A3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是 .

23，∠BCD=30°AB，=5，CD，则=AC= .

ABC4.如图.在△中，CD⊥AB于D532的线段5. 作长为.

，，22222-1，2a(a＞；⑤a+1，a1)；⑥5；③，135.6在下列各组数中①，12，；②724，2534，，，5；④3a4a，a2222(m＞n＞0)可作直角三角形三边长的有组mn-mn，2，m+n.

7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB⊥BC，则四边形ABCD的面积

是 .

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AC A B13A aABD B D12C

题图4题图第7第2题图第3题图第1. ，试判断△AEF=中点，E为BC上一点，且EC的形状BCDC8.如图，在正方形ABCD中，F为

4DAFCBE

创新.提高.三、综合、B重合，折痕与ABAC=3，折叠该纸片，使点A与点=】（1）在三角形纸片ABC中，∠C90°，∠A=30°，1【例DE的长是多少？D和点E（如图），折痕AC 分别相交于点BDAEC

的长E处，求折痕AF落在AD=10，按如图所示折叠，使点DBC上的点=）如图，在矩形（2ABCD 中，AB8，ADFCBE

（3）如图，正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值22的值T，求和分别记作STS-.

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CPABM

，求DC=3E，若AD=4，交于沿【练】如图，四边形ABCD是长方形，把△ACDAC折叠到△ACD′，AD′与BC.

BE ADCBE'D

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的长30AC=，求BC60）如图，△ABC中，∠C=°，AB=70，】【例2（1ABC

.

ABCD的面积D∠=90°，求四边形∠===AB2，CD1，∠A60°，B=中，）如图，在四边形

（2ABCD ADCB

13，求ACBC2AB150AABC【练】如图，△中，=°，=，=的长.

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ABC

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CD上一点，BCAD⊥AB，求=AC=20，BC=32，D为）如图，△【例3】（1ABC中，AB ACBD

102.

AB=中点，、ACAD=5，BE，求°，Rt（2）如图，在△ABC中，∠C=90D、E分别是BC BDACE ，求证：CD=h，AB=c，=于90°，CD⊥ABD，设AC=b，BCa中，∠【例4】如图，△ABCACB=111=+ 1）；（222hba；h＜c+2（）a+b.

为边的三角形是直角三角形+hb+，h和c3（）以a CABD

222 2.

PDA所在平面上一点，求证：为矩形为矩形，）如图，（5【例】1ABCDPABCDP-PB=-PC4 / 12 .

DAPCB

22.

BC=AB +AB2⊥BC于D，若∠B=∠C，求证：AC ·AD2（）锐角△ABC中，ACBD

2222).

+AB BM +AC =2(AM 的变式：如图，AM是△ABCBC边上的中线，求证：ABCM

22.

有何关系，并加以证明PC AB 上一动点，试猜想，，AP，PBBCPACABABC3（）如图，△中，=，为线段ABPC

变式：若点P在BC的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.

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ABPC

222的大小2与+BPCP，试探求P点位置变化时，sAB（4）在等腰Rt△ABC的斜边所在的直线上取点P并设s =AP.

关系，并证明CBAP

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（4）中结论是否仍然成立？并证明的延长线上，如图中，变式：若点P在BA CAPB

、于E分别交DFAB、AC为顶点作∠BC边上的中点，以DEDF=90°，DE、为）如图，△6【例】（1ABC中，D222.

°BAC=+FC90=EF，求证：∠，且FBE AFEBCD

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE，CF，EF之间的关系，并证明.

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ABCFE

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2）中△AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明变式一:将（AFCBE

，求S.

2，GE=3=°，变式二：如图，△AEF中∠EAF=45AG⊥EF于G，且GF AEF△AFEG

.的度数，求∠BPC=PB=1，PC2=ABCBC90ABC（1）在△中，∠ACB=°，AC=，P为△内一点，且PA3，】【例7

CPAB

222.

AB，求证=°，=°，∠=中，∠）如图，在四边形（2ABCDABC30ADC60ADCDBD=+BC7 / 12 .

BADC

. m，得到线段ADAB=AC，边绕点A逆时针旋转角度【例8】在等腰△ABC中，AB;

m的式子表示∠DBC＜80°，连接BD，请用含°，（1）如图1，若∠BAC=3030°＜m ADCB

AE=2，使m，°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，（2）如图2若∠BAC=90°，0°＜＜360BE.

的值；若不存在，请说明理由若存在，求出所有符合条件的m ABECD

【例9】（1）已知点P在一、三象限的角平分线上，且点P到点A（3，6）的距离为PA=15，求点P的坐标；

（2）已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断△ABC的形状；

22+4-x)x+1+(3的最小值；）求代数式（3222222b+4aa+b+4ba

为三边长的三角形的面积b0＞a4（）已知，，0＞，求以，.

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自我归纳：四、课后练习小1在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M的距离是多少？°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔MM