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《大学文科数学》PPT课件
第一章 微积分
1.3 导数与微分
1
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1.3 导数与微分
主要教学内容： ➢ 导数与微分的概念，计算 ➢ 高阶导数 ➢ 隐函数的导数与微分 ➢ 分段函数的导数 ➢ 经济学函数的弹性 ➢ 用微分作近似计算 ➢ 二元函数的导数与微分
2
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1.3 导数与微分
导数的概念
1.曲线的切线斜率
导数是局部（点）概念，导函数是整体（定义域内）概念（本质上是点 的概念） 。但是“导函数”往往又简称为“导数”。
13
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1.3 导数与微分
例1.3.4 y = sinx的导数是(sinx)′= cosx， y =cosx 的导数是(cosx)′= − sinx ．
证
同理可证， (cosx)′= − sinx ．
(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x
的导数(或微商)．记作
．因Δx =x−x0， x=
x0+Δx，故还有
“函数的平均变化率”是整体（区间）概念；“函数的变化率”是局部（点）概念。
7
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1.3 导数与微分
此时，曲线y =f(x) 在点(x0，f (x0) )的切线方程是
例1.3.2 设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的 导数．
解．因
特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数均
为1．
11
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1.3 导数与微分
例1.3.3 求曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方
程．
解．在上例中取n =3 可知函数y＝ x3 在点 x 处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切 线斜率是：y′(2)=3⋅22 =12，故曲线y＝x3
1.3 导数与微分
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1.3 导数与微分
主要教学内容： ➢ 导数与微分的概念，计算 ➢ 高阶导数 ➢ 隐函数的导数与微分 ➢ 分段函数的导数 ➢ 经济学函数的弹性 ➢ 用微分作近似计算 ➢ 二元函数的导数与微分
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1.3 导数与微分
导数的概念
1.曲线的切线斜率
导数是局部（点）概念，导函数是整体（定义域内）概念（本质上是点 的概念） 。但是“导函数”往往又简称为“导数”。
13
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1.3 导数与微分
例1.3.4 y = sinx的导数是(sinx)′= cosx， y =cosx 的导数是(cosx)′= − sinx ．
证
同理可证， (cosx)′= − sinx ．
(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x
的导数(或微商)．记作
．因Δx =x−x0， x=
x0+Δx，故还有
“函数的平均变化率”是整体（区间）概念；“函数的变化率”是局部（点）概念。
7
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1.3 导数与微分
此时，曲线y =f(x) 在点(x0，f (x0) )的切线方程是
例1.3.2 设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的 导数．
解．因
特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数均
为1．
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1.3 导数与微分
例1.3.3 求曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方
程．
解．在上例中取n =3 可知函数y＝ x3 在点 x 处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切 线斜率是：y′(2)=3⋅22 =12，故曲线y＝x3
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注 （1） 周期函数在每个周期上有相同的图形
（2） 通常周期函数的周期是指最小正周期
（3） 并非每个周期函数都有最小正周期
例：常量函数 f ( x) C
y
狄利克雷函数
1 f (x) 0
xQ x QC
1
概念
概念
集映
函
合射
逆映射
反函数
数
区邻 间域
构造 复合映射
构造
➢概念
设函数 f : D f (D) 是单射， 则它存在逆映射 f 1 : f (D) D 称映射 f 1 为函数f 的反函数. 一般地， y f ( x), x D的反函数记成 y f 1( x), x f (D)
1, x 0
y
sgn
x
0,
x0
1, x 0
y
1
o
x
1
y
注 分段函数不一定就是非初等函数！
2 1o 1 2 3 4 x
x x0
2
例5 设f(x)的定义域D=[0,1]，求下述函数的定义域
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o
类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的
x1 x2 x
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
➢ 如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1) f ( x2 )
设f是从集合X到集合Y的映射
若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射
若对X中任意两个不同的元素 则称f为X到Y的单射
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在(2,8)处的切线方程是:
y − 8 = 12⋅(x − 2) ，即
12x − y − 16 = 0 ．
12
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y′(x)， x∈X．于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数，它 称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为 “f(x)的导数”．
表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：
t 时刻的瞬时速度：
在t=2 时刻的瞬时速度是：
v(2)=2g≈2×9.8=19.6(m/s)
19
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1.3 导数与微分
2. 经济学函数的边际（不作为基本要求）
边际：导数在经济理论中的别名．
设y=f(x)是某个经济学函数．经济学把自变量在 x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x) 在x0 处的边际变化．自变量单位的大小可能引起 大小不同的误差．比如成本函数C=C(x)，自变量 x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成
量Δx 的微分，记作
d y = f′(x0) Δx .
注1. 微分依赖于两个因素：
(1)函数的导数f′(x0)；
(2)自变量的改变量Δx．
一旦x0 取定，导数f′(x0)也就取定，此时微分 仅与Δx 成正比，比例系数即 f′(x0)．
( x n ) ' nx n 1 ,
(log
a
x)'
1 x ln
a
, (ln
x)
1。 x
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1.3 导数与微分
y − 8 = 12⋅(x − 2) ，即
12x − y − 16 = 0 ．
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y′(x)， x∈X．于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数，它 称为给定函数y = f(x)的导函数，且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称为 “f(x)的导数”．
表列出t = 2 开始的各个时间段内的平均速度：
t 时刻的瞬时速度：
在t=2 时刻的瞬时速度是：
v(2)=2g≈2×9.8=19.6(m/s)
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1.3 导数与微分
2. 经济学函数的边际（不作为基本要求）
边际：导数在经济理论中的别名．
设y=f(x)是某个经济学函数．经济学把自变量在 x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f(x) 在x0 处的边际变化．自变量单位的大小可能引起 大小不同的误差．比如成本函数C=C(x)，自变量 x 是产量，用吨作单位与千克作单位，引起的成
量Δx 的微分，记作
d y = f′(x0) Δx .
注1. 微分依赖于两个因素：
(1)函数的导数f′(x0)；
(2)自变量的改变量Δx．
一旦x0 取定，导数f′(x0)也就取定，此时微分 仅与Δx 成正比，比例系数即 f′(x0)．
( x n ) ' nx n 1 ,
(log
a
x)'
1 x ln
a
, (ln
x)
1。 x
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1.3 导数与微分
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2.6 定积分
1.几个典型的定积分问题
y f (x)
（1）曲边梯形的面积
曲边梯形是由连续曲线
Oa
bx
y f (x) ( f (x) 0)
及 x 轴，以及两直线 x a , x b
所围成，求其面积 A .
h
l 矩形面积
Alh
h
l 三角形面积
A 1lh 2
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2.6 定积分
（3）数学上可以证明，定积分定义与不定积分定义中的 “可积函数”是同一回事 。
（4） 数学上已经证明，闭区间上的连续函数都是可积的。 （5）用上述定义很难求定积分的值，为了找出计算定积分的
有效方法，牛顿—莱布尼兹（Newton—Leibniz)发现 了微积分基本定理。
2.6 定积分
O a x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x88 b
x
曲边梯形的面积 ≈ 所有窄条矩形面积之和
矩形估计方法
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2.6 定积分
设 f (x) 在 [a,b] 上连续, 且 f (x) 0 . y a.分割: 在区间 [a,b] 中任意插入 n 1个
（2）该公式对 a b的情形同样成立 .
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2.6 定积分
（3） 定积分计算
微积分基本公式 求原函数
牛顿-莱布尼兹公式
（4）使用Newton—Leibniz公式时要注意验证定理的条件, 否则有可能导致错误的结果。
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2.6 定积分
关于微积分基本定理: 1.等号两边的概念不同(左边是定积分是乘积之和的极限， 而右边是不定积分是原函数，是导数和微分运算的逆运算; 2.问题的转化:把定积分的计算问题转化为不定积分的计算; 3.该定理的伟大之处:把微分与积分联系起来了; 4.为什么称之为微积分基本定理?
高等数学课件教学PPT模板
按照教学进度表，合理安排每个章节的授课时间和内 容，确保教学计划的顺利完成。
01
03
适时地引入实际应用案例，让学生了解数学知识的实 际应用价值。
04
针对重点和难点内容，增加课堂讲解和练习的时间， 帮助学生更好地理解和掌握。
教学方法与手段
采用启发式、互动式的教学方法，激发学生的学习兴趣 和主动性。
定期组织课堂讨论和小组活动，培养学生的合作精神和 交流能力。
微分概念及几何意义
微分定义
函数增量的线性部分，即函数在某一点附近的微小变化量。
几何意义
切线的纵坐标增量，表示函数图像在某一点处的切线纵坐标变化量。
微分与导数关系
微分是导数与自变量增量的乘积，即dy=f'(x)dx。
微分在近似计算中的应用
利用微分进行函数值的近似计算。
04 积分学基础
不定积分概念及性质
讲解平面的一般式方程及其与点 法式方程之间的转换关系，进一 步拓展平面的表示方法。
引入直线的点向式方程，详细讲 解其求解方法和应用场景。
平面的点法式方程
介绍平面的点法式方程及其求解 方法，通过实例演示方程的应用。
直线的一般式方程
介绍直线的一般式方程及其与点 向式方程之间的转换关系，加深 对直线方程的理解。
f(x)dx。
定积分性质
包括线性性质、可加性、保号 性等，用于简化复杂函数的定
积分计算。
积分中值定理
定积分的一个重要性质，表明 在闭区间上连续的函数必定存 在一点使得该点的函数值等于
其平均值。
广义积分与定积分应用
广义积分
将定积分的概念推广到无穷区间 和无界函数上，包括无穷限广义 积分和无界函数广义积分。
高等数学(文科用)
I f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称此函数在 I 上单调减少，
时，有
叫做单调减区间.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例如，函数
[0, 、 )
y x 2在区间
[0, )
(,0] 内单调减少，在区间 (,0]
内单调增加，
是它的单调区间.
高等数学（文科用） 高职高专 ppt 课件
（2）列表法 若将函数关系用一系列自变量 x 的值与对应的因变量
y
的值以表格表示时，这种表示函数的方法称为列表法.如三角函数表、对数表等. （3）图象法 若函数关系是通过坐标系中的图形变化给出的，则这种表示函数的方法称为图象法.
高等数学（文科用） 高职高专 ppt 课件
1.1 函数的概念
4. 分段函数 有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数.
f ( x) =
sin x是奇函数，因为 f ( x) sin( x) sin x =
f ( x)
.
高等数学（文科用） 高职高专 ppt 课件
1.1 函数的概念
函数的周期性 若存在不为零的数 T ，使得对于任意 x D ，都有 ，则称 例如
y sin x 与 y cos x 的周期为 2 ；y tan x 与 y cot x 的周期为 ；函数 f ( x) x [ x], x R的周期为 1 f ( x) f ( x T ) f ( x)
基本初等函数
我们研究的各种函数，特别是一些常见的函数都是有几种最简单的函数构成的，这些最 简单的函数就是初等数学中学过的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和 反三角函数这六类函数统称为基本初等函数.
时，有
叫做单调减区间.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例如，函数
[0, 、 )
y x 2在区间
[0, )
(,0] 内单调减少，在区间 (,0]
内单调增加，
是它的单调区间.
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（2）列表法 若将函数关系用一系列自变量 x 的值与对应的因变量
y
的值以表格表示时，这种表示函数的方法称为列表法.如三角函数表、对数表等. （3）图象法 若函数关系是通过坐标系中的图形变化给出的，则这种表示函数的方法称为图象法.
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1.1 函数的概念
4. 分段函数 有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数.
f ( x) =
sin x是奇函数，因为 f ( x) sin( x) sin x =
f ( x)
.
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1.1 函数的概念
函数的周期性 若存在不为零的数 T ，使得对于任意 x D ，都有 ，则称 例如
y sin x 与 y cos x 的周期为 2 ；y tan x 与 y cot x 的周期为 ；函数 f ( x) x [ x], x R的周期为 1 f ( x) f ( x T ) f ( x)
基本初等函数
我们研究的各种函数，特别是一些常见的函数都是有几种最简单的函数构成的，这些最 简单的函数就是初等数学中学过的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和 反三角函数这六类函数统称为基本初等函数.
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
《高等数学课件》课件
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率 。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数 函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具， 通过链式法则可以将复合函数的导数转化为 简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键 ，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在 数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰 勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物 理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以 用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
感谢您的观看
THANKS
重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程 的分类，如线性微分方程、非线性微 分方程、一阶微分方程、高阶微分方 程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并 举例说明每种解法的应用。
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点的斜率或切线斜率。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率 。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、指数 函数、三角函数等，它们的导数已经给出。
链式法则
乘积法则用于计算两个函数的导数，公式为 (uv)'=u'v+uv'。
乘积法则
链式法则是计算复合函数导数的重要工具， 通过链式法则可以将复合函数的导数转化为 简单函数的导数。
商的导数法则
商的导数法则是计算分式函数的导数的关键 ，公式为(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
详细描述
无穷级数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。在 数学领域，无穷级数可以用来证明一些数学定理，如泰 勒定理等；在物理领域，无穷级数可以用来描述一些物 理现象，如振动和波动等；在工程领域，无穷级数可以 用来解决一些工程问题，如信号处理和图像处理等。
感谢您的观看
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重积分、方向导数等概念的基础。
06
微分方程
微分方程的基本概念
总结词
理解微分方程的基本定义和分类
详细描述
介绍微分方程的定义，以及微分方程 的分类，如线性微分方程、非线性微 分方程、一阶微分方程、高阶微分方 程等。
一阶微分方程的解法
总结词
掌握一阶微分方程的常见解法
详细描述
介绍一阶微分方程的常见解法，如变量分离法、积分因子法、常数变易法等，并 举例说明每种解法的应用。
《高等数学》 简介 ppt课件
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集(empty set),(记作 )
例如, { x x R, x 1 0} .
2
规定 空集为任何集合的子集 (subset ).
ppt课件 6
2.区间(interval): 是指介于某两个实数之间的 全体实数.这两个实数叫做区间的端点(end point).
通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, z, s, t , u ,v, w等表示变量. 常量可看作变量的一个特殊情况，认为在某一过 程中该变量始终取一个数值。
ppt课件 10
运算性质(character):
5.绝对值(absolute value): a , a 0, a ( a 0) a , a 0.
例 圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
O
( n 3,4,5,)
ppt课件
n
r
12
D 是一个给定的数集， 定义: 设x 和y 是两个变量,
如果对于每个数 x D ,
变量y 按照一定法则总有
x 的函数，记作 确定的数值和它对应，则称y 是
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x 0, x 0.
y 2x 1
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21
例 Example 1
解solution 当 t [0, ] 时, 2 2E E t; U t 当 t ( , ] 时, 2 E0 U 0 ( t ), 2
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2
数学在社会科学，经济领域的成就
如今，在社会科学、语言学、历史学和考古学 科中，都可发现数学的非凡的应用，社会科学 的数量化进程，还在加速进行。据统计自 1900～1965年，在世界范围内社会科学方面的 62项重大成就中，数学化的定量研究占2/3之多， 而自1969年诺贝尔奖中设立经济学奖以来，至 1997年有16位获奖者的研究与数学直接有关， 这种成功地将数学方法运用于 经济学研究领 域而获奖的工作也占2/3之多。数学，正是数学 在经济学从艺术转为科学的过程中起了主要作 用。
13
文科高等数学教程
／张国楚, 徐本顺主编； 姚孟臣等副主编, 1993.12
14
南开大学出版社1995
10
清华大学出版社（1993） 姚孟臣
11
大学文科高等数学题解(上) 作 者:姚孟 臣,... /xdcatshow.jsp?y e2002获奖教材：
4
阿罗定理
1950年，阿罗在《福利概念的一个困难》的论文中，研 究了这个问题。他用了一些定义、公理和条件把整个问 题化为一个数学问题，然后运用数理逻辑方法进行严格 推导论证，得出结论：民主方式没有合理性的困难并非 是偶然的或个别的，它具有普遍性。事实上阿罗证明了 一个以他名字命名的著名定理：满足一定条件的一个社 会选择函数，如果它是合理的，那么这个社会中就有 “独裁者”，也就是必定有一个人，他的选择就是社会 的选择。阿罗的结果深刻而出人意外，在西方学术界引 起强烈反响。一些学者感叹阿罗定理又一次显示了常识 多么容易出错。确实，数学往往导出与常识相违背的结 果，而人们却宁愿相信数学而不相信常识，这就是数学 的威力！
教育科学出版社（1993.12） 文科高等数学(上、下) 张国楚等
1993.12山西师范大学、曲阜师范大学 教育科学出版社 ... 《文科高等数学教程》 教育科学出版社 张国楚等 .. （张国楚 1939年出生,教授,现任山西师大课程与教学研 究所副所长。） 面向21世纪 课程教材:文科高等数学(上下册) 张国楚、徐本顺主编 2002年全国普通高等学校优秀教材二等奖
9
大学文科高等数学第一册(姚孟臣)
适用专业：本科文科各专业 估 定 价：11.00元 内容介绍：
全书以微积分、线性代数、概率论和数理统计为主要内 容，以“模块式”结构分两册出版。两册间既相互独立，又 互相衔接，逐层递进，以便不同专业根据需要，学时数灵活 选取或组合，本册内容为初等微积分、线性代数简介、概率 统计初步；第二册包括一元微积分、线性代数、初等概率论 和一元统计分析初步；此外每章的最后一节是“历史注记”， 介绍一些与这章内容有关的数学史知识；章末是习题。
5
国内文科高等数学教材简介
大部份材料取自各网站，错误难免， 敬请原谅！
6
姚孟臣：北京大学数学科学学副教授
主要论著，
ห้องสมุดไป่ตู้
《大学文科高等数学》（共二册），高等教育 出版社 1998 《大学文科基础数学》（共三册），北京大学 出版社 1990 《概率论与数理统计》，北京大学出版社 2000 《经济数学》，北京大学出版社 1992 《经济数学基础习题集》（共四册），中央电 视大学出版社 1999
选课对象：出版系、外语系各专业本科生 先修课 程：初等数学
教材：《大学文科高等数学》（第一册、第二
册），姚孟臣，高等教育出版社
8
课程名称：文科高等数学（2） 英文名称： Advanced Mathematics for Liberal Arts（2） 学分：3 总学时：48 讲课学时：48 实验学时：0 开课学期：二 课程内容：该课程主要讲述概率论的基本内容和数 理统计的初步知识。概率论与数理统计是研究广泛存在 的随机现象的统计规律性的数学学科，它在现代科学技 术以及众多领域有着广泛的应用。它主要内容包括：随 机变量及其分布，数字特征，大数定律，随机样本，参 数估计，假设检验等。 选课对象：出版系各专业本科生 先修课程：文科 高等数学（1） 文科高等数学教程(上下册) 姚孟臣 国家教育部科技 进步奖 三等奖 （1998年）
文科高等数学教材简介
西南交大 峨眉校区 童季贤教授
2004.5.20.
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数学在社会科学中的成就及数学课的必要性
八十年代以来，各高等院校的文科专业都陆续地开 设了“文科高等数学”或“数学概论”课程，至今 又有二十多年了，通过教学实践，已证明这个方向 是正确的。因为在人类社会进步，科学现代化的过 程中，数学及数学方法显得越来越重要，在许多学 科中，它不单是一种辅助的工具了，而是解决许多 重大问题的关键性的思想与方法。不仅在自然科学 和工程技术领域中起着重要的作用，而且正以越来 越快的速度渗透到社会科学的各个领域，显示出巨 大的推动作用和启发作用。数学向人文科学研究领 域广泛渗透，乃是20世纪数学应用的显著特点之一
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课程名称：文科高等数学（1） 英文名称：
Advanced Mathematics for Liberal Arts（1） 学分：3 总学时：48 讲课学时：48 实验学时：0
开课学期：一 课程内容：该课程主要讲述一元微积分和级数理论，
而一元微积分是数学最重要的基础学科。它主要内容包 括：初等函数，极限运算，导数及应用，一元积分学和 级数简介。
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数学在社会科学应用实例
福利经济学中有个基本问题：个人之间常常发生利害冲 突，因此个人所作的选择彼此可能大不相同，但为了协 调行动，以保障和增进整个社会的福利，社会往往必须 作出统一选择。然而，应该用怎样的选择方式呢？独裁， 民主，还是其他？当然我们应该要求这个选择方式是合 理的，具体地说要有传递性。即若有a、b、c三个选择 对象，如果在a和b之间选择a，b和c之间选择b，那么在 a和c之间必然选择a。人们发现民主的方式，也就是实 行少数服从多数的原则，有时不满足传递性，这与我们 的直觉相矛盾。为什么会如此？经济学家和其他社会学 家感到困惑。
数学在社会科学，经济领域的成就
如今，在社会科学、语言学、历史学和考古学 科中，都可发现数学的非凡的应用，社会科学 的数量化进程，还在加速进行。据统计自 1900～1965年，在世界范围内社会科学方面的 62项重大成就中，数学化的定量研究占2/3之多， 而自1969年诺贝尔奖中设立经济学奖以来，至 1997年有16位获奖者的研究与数学直接有关， 这种成功地将数学方法运用于 经济学研究领 域而获奖的工作也占2/3之多。数学，正是数学 在经济学从艺术转为科学的过程中起了主要作 用。
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文科高等数学教程
／张国楚, 徐本顺主编； 姚孟臣等副主编, 1993.12
14
南开大学出版社1995
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清华大学出版社（1993） 姚孟臣
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大学文科高等数学题解(上) 作 者:姚孟 臣,... /xdcatshow.jsp?y e2002获奖教材：
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阿罗定理
1950年，阿罗在《福利概念的一个困难》的论文中，研 究了这个问题。他用了一些定义、公理和条件把整个问 题化为一个数学问题，然后运用数理逻辑方法进行严格 推导论证，得出结论：民主方式没有合理性的困难并非 是偶然的或个别的，它具有普遍性。事实上阿罗证明了 一个以他名字命名的著名定理：满足一定条件的一个社 会选择函数，如果它是合理的，那么这个社会中就有 “独裁者”，也就是必定有一个人，他的选择就是社会 的选择。阿罗的结果深刻而出人意外，在西方学术界引 起强烈反响。一些学者感叹阿罗定理又一次显示了常识 多么容易出错。确实，数学往往导出与常识相违背的结 果，而人们却宁愿相信数学而不相信常识，这就是数学 的威力！
教育科学出版社（1993.12） 文科高等数学(上、下) 张国楚等
1993.12山西师范大学、曲阜师范大学 教育科学出版社 ... 《文科高等数学教程》 教育科学出版社 张国楚等 .. （张国楚 1939年出生,教授,现任山西师大课程与教学研 究所副所长。） 面向21世纪 课程教材:文科高等数学(上下册) 张国楚、徐本顺主编 2002年全国普通高等学校优秀教材二等奖
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大学文科高等数学第一册(姚孟臣)
适用专业：本科文科各专业 估 定 价：11.00元 内容介绍：
全书以微积分、线性代数、概率论和数理统计为主要内 容，以“模块式”结构分两册出版。两册间既相互独立，又 互相衔接，逐层递进，以便不同专业根据需要，学时数灵活 选取或组合，本册内容为初等微积分、线性代数简介、概率 统计初步；第二册包括一元微积分、线性代数、初等概率论 和一元统计分析初步；此外每章的最后一节是“历史注记”， 介绍一些与这章内容有关的数学史知识；章末是习题。
5
国内文科高等数学教材简介
大部份材料取自各网站，错误难免， 敬请原谅！
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姚孟臣：北京大学数学科学学副教授
主要论著，
ห้องสมุดไป่ตู้
《大学文科高等数学》（共二册），高等教育 出版社 1998 《大学文科基础数学》（共三册），北京大学 出版社 1990 《概率论与数理统计》，北京大学出版社 2000 《经济数学》，北京大学出版社 1992 《经济数学基础习题集》（共四册），中央电 视大学出版社 1999
选课对象：出版系、外语系各专业本科生 先修课 程：初等数学
教材：《大学文科高等数学》（第一册、第二
册），姚孟臣，高等教育出版社
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课程名称：文科高等数学（2） 英文名称： Advanced Mathematics for Liberal Arts（2） 学分：3 总学时：48 讲课学时：48 实验学时：0 开课学期：二 课程内容：该课程主要讲述概率论的基本内容和数 理统计的初步知识。概率论与数理统计是研究广泛存在 的随机现象的统计规律性的数学学科，它在现代科学技 术以及众多领域有着广泛的应用。它主要内容包括：随 机变量及其分布，数字特征，大数定律，随机样本，参 数估计，假设检验等。 选课对象：出版系各专业本科生 先修课程：文科 高等数学（1） 文科高等数学教程(上下册) 姚孟臣 国家教育部科技 进步奖 三等奖 （1998年）
文科高等数学教材简介
西南交大 峨眉校区 童季贤教授
2004.5.20.
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数学在社会科学中的成就及数学课的必要性
八十年代以来，各高等院校的文科专业都陆续地开 设了“文科高等数学”或“数学概论”课程，至今 又有二十多年了，通过教学实践，已证明这个方向 是正确的。因为在人类社会进步，科学现代化的过 程中，数学及数学方法显得越来越重要，在许多学 科中，它不单是一种辅助的工具了，而是解决许多 重大问题的关键性的思想与方法。不仅在自然科学 和工程技术领域中起着重要的作用，而且正以越来 越快的速度渗透到社会科学的各个领域，显示出巨 大的推动作用和启发作用。数学向人文科学研究领 域广泛渗透，乃是20世纪数学应用的显著特点之一
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课程名称：文科高等数学（1） 英文名称：
Advanced Mathematics for Liberal Arts（1） 学分：3 总学时：48 讲课学时：48 实验学时：0
开课学期：一 课程内容：该课程主要讲述一元微积分和级数理论，
而一元微积分是数学最重要的基础学科。它主要内容包 括：初等函数，极限运算，导数及应用，一元积分学和 级数简介。
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数学在社会科学应用实例
福利经济学中有个基本问题：个人之间常常发生利害冲 突，因此个人所作的选择彼此可能大不相同，但为了协 调行动，以保障和增进整个社会的福利，社会往往必须 作出统一选择。然而，应该用怎样的选择方式呢？独裁， 民主，还是其他？当然我们应该要求这个选择方式是合 理的，具体地说要有传递性。即若有a、b、c三个选择 对象，如果在a和b之间选择a，b和c之间选择b，那么在 a和c之间必然选择a。人们发现民主的方式，也就是实 行少数服从多数的原则，有时不满足传递性，这与我们 的直觉相矛盾。为什么会如此？经济学家和其他社会学 家感到困惑。