圆锥曲线练习试题与详细答案

圆锥曲线归纳总结

——for Yuri

第22sin cos θθ+部分：知识储备

1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

②点到直线的距离d =

③夹角公式：2121

tan 1k k k k α-=+

（3）弦长公式

直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：

12AB x =-=或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质

(1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：22

1(0,0)x y m n m n m n

+

=>>≠且

距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2) 双曲线的方程的形式有两种

标准方程：22

1(0)x y m n m n

+

=⋅< 距离式方程

：2a = (3) 三种圆锥曲线的通径

椭圆：22b a ；双曲线：2

2b a

；抛物线：2p

(4) 圆锥曲线的定义

黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式：

P 在椭圆上时，122tan 2F PF b θ∆=S

P 在双曲线上时，122cot 2

F PF b θ

∆=S

（其中222

1212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠===⋅）

(6) 记住焦半径公式：

①椭圆焦点在时为0a ex ±，焦点在y 轴上时为0a ey ± ②双曲线焦点在x 轴上时为0||e x a ± ③抛物线焦点在x 轴上时为0||2p x +

，焦点在y 轴上时0||2

p y + 3333333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333333333333333333

第0sin xdx π

⎰部分：三道核心例题

例1．椭圆长轴端点为,A B ,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ⋅=，

1OF =。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的上顶点为M ，直线交椭圆于,P Q 两点，问：是否存在直线

l

l ，使点F 恰为的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。

分析：第一问比较容易，第二问关键是垂心（小黄同学，你还记得三角形的“四心”吗？）的处理。由待定系数法建立方程求解。

解（1）建立坐标系，设椭圆方程为,由1OF =得

又∵即 ，∴

易得1b =，故椭圆方程为 （2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，

设，∵，故， 于是设直线为

，由得，

∵ 又 得 即

由韦达定理得

解得或（舍） 经检验符合条件。

例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点

(2,1)M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l 交椭圆于A 、B 两

个不同点。

（1）求椭圆的方程；

PQM ∆22

221(0)x y a b a b

+=>>1c =1=⋅FB AF 22

()()1a c a c a c +⋅-==-22a =2

212

x y +=l Q P ,F PQM ∆1122(,),(,)P x y Q x y (0,1),(1,0)M F 1=PQ k l y x m =+22

22y x m

x y =+⎧⎨+=⎩

2234220x mx m ++-=12210(1)(1)MP FQ x x y y ⋅==-+-(1,2)i i y x m i =+=1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-=212122()(1)0x x x x m m m ++-+-=222242(1)033

m m

m m m -⋅--+-=43m =-1m =43

m =-

（2）求m 的取值范围；

（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

分析：小黄同学，直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形这个怎么理解，怎么处理？关键是把它转化成021=+k k 。

解：（1）设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=28

11

4222

2

2b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m

又12OM K =

m x y l +=∴2

1

的方程为： 由0422128

212

22

2

=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，

,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m 且解得

（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可 设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且

则2

1

,21222111--=--=

x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)

2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=

+x x x y x y x y x y k k