复合材料细观力学答案

一、知识部分1、计算面心立方、体心立方结构的（100）、（110）、（111）等晶面的面密度，计算密排六方结构的（0001）、（1010）晶面的面密度（面密度定义为原子数/单位面积）。

解：设立方结构的晶胞棱长为a 、密排六方结构晶胞轴长为a 和c 。

（1）体心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为21a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为223a。

（2）面心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有1.5个原子，所以其面密度为23a。

（3）密排六方：在一个晶胞中的（0001）面的面积是223a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为2332a；在一个晶胞中的（1010）面的面积是c a 2，在这个面积上有次个原子，所以其面密度为c a 21；2、纯铁在912℃由bcc 结构转变为fcc 结构，体积减少1.06%，根据fcc 结构的原子半径计算bcc 结构的原子半径。

它们的相对变化为多少？如果假定转变前后原子半径不变，计算转变后的体积变化。

这些结果说明了什么？解：设bcc 结构的点阵常数为a b ，fcc 结构的点阵常数为a f ，由bcc 结构转变为fcc 结构时体积减少1.06％，因bcc 单胞含2个原子，fcc 单胞含4个原子，所以2个bcc 单胞转变为1个fcc 单胞。

则10006.122333=-b bf a a a 即 b b f a a a 264.110006.10121=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= bcc 结构的原子半径b b a r 43=，fcc 结构的原子半径f f a r 42=，把上面计算的a f 和a b 的关系代入，并以r f 表示r b ，则f f f b b r r a a r 9689.02264.1443264.14343=⨯⨯⨯=⨯==它们的相对变化为0311.019689.0-=-=-bfb r r r 如果假定转变前后原子半径不变，转变后的体积变化为()()()1.83423422422333333-=-=-b b f b bf r r r a a a ％从上面的计算结果可以看出，如果转变前后的原子半径不变，则转变后的体积变化很大，和实际测得的结果不符，也和金属键的性质不符。

所以，同一种金属，不同结构的原子半径改变，尽量使其体积变化最小。

3、根据Fe-C 相图①计算)(C w 为0.1%以及1.2%的铁碳合金在室温时平衡状态下相的相对量，计算共析体（珠光体）的相对量。

②计算)(C w 为 3.4%的铁碳合金在室温时平衡状态下相的相对量，计算刚凝固完毕时初生γ相（奥氏体）和共晶体的相对量。

计算在共析温度下由全部γ相析出的渗碳体占总体（整个体系）量的百分数。

计算在共晶体中最后转变生成的共析体占总体（整个体系）量的百分数。

解：（1）在室温下铁-碳合金的平衡相是ɑ-Fe （碳的质量分数是0.008％）和Fe 3C （碳的质量分数为6.77％），则)(C w 为0.1％的合金在室温时平衡状态下ɑ相的相对质量（质量分数）αA 及Fe 3C 相的相对量C Fe A 3为62.98008.067.61.067.6=--=αA ％ 62.9813-=C Fe A ％38.1=％ )(C w 为1.2％的合金在室温时平衡状态下ɑ相的相对量（质量分数）αA 及Fe 3C 相的相对量C Fe A 3为11.82008.067.62.167.6=--=αA ％ 11.8213-=C Fe A ％89.17=％ )(C w 为0.1％的合金在室温下平衡状态下的组织是ɑ-Fe 和共析体，其组织金可近似看作和共析转变时一样，在共析温度ɑ-Fe 中碳的成分是0.02％，共析的碳的成分是0.77％，则)(C w 为0.1％的合金在室温时组织中共析体的相对量P A 为 67.1002.077.002.01.0=--=P A ％ )(C w 为1.2％的合金在室温下平衡状态下的组织是Fe 3C 和共析体，在室温时组织中共析体的相对量P A 为71.9277.067.62.167.6=--=P A ％ （2）)(C w 为3.4％的铁碳合金在室温平衡相是ɑ-Fe （碳的成分是0.008％）和Fe 3C （碳的成分是6.67％），则)(C w 为3.4％的合金在室温时平衡状态下ɑ相的相对量（质量分数）αA 及Fe 3C 相的相对量C Fe A 3为08.49008.067.64.367.6=--=αA ％ 08.4913-=C Fe A ％92.50=％ 因为刚凝固完毕时，初生γ相和共晶碳的成分分别为2.11％和4.26％，所以刚凝固完毕时初生γ相的相对量γI A 及共晶的相对量G A 为4011.226.44.326.4=--=I γA ％ 401-=G A ％60=％ 在刚凝固完毕时，全部γ相（包括初生γ相和共晶中的γ相）的相对量γA 是 7.7111.267.64.367.6=--=γA ％ 碳的成分为2.11％的γ相从共晶温度冷却到共析温度后，它的成分变为0.77％，在冷却过程它析出Fe 3C 相，每份γ相析出Fe 3C 的量C Fe A 3*为 71.2277.077.677.011.23=--=*C Fe A ％ 现在γ相的量是71.7％，所以到共析温度析出的Fe 3C 相对于整体的相对量C Fe A 3*为71.227.713⨯=*C Fe A ％28.16=％因为合金中的γ相到共析温度析出Fe 3C ，总体的γ相的相对量减少16.28％，余下的γ相在共析温度都转变为共析体，所以共析体的相对量为7.71=P A ％28.16-％42.55=％4、说明面心立方结构的潜在滑移系有12个，体心立方结构的潜在滑移系有48个。

解：面心立方晶体的滑移系是{111}<011>，{111}有四个，每个{111}面上有三个<011>方向，所以共有12个潜在滑移系。

体心立方晶体的滑移系是{110}<111>,{211}<111>以及{312}<111>。

{110}面共有6个，每个{110}面上有两个<111>方向，这种滑移系12个潜在滑移系；{211}面共有12个，每个{211}面上有1个<111>方向，这种滑移系共有12个潜在滑移系；{312}面共有24个，每个{312}面上有1个<111>方向，这种滑移系共有24个潜在滑移系，因此，体心立方晶体的潜在滑移系共有48个。

5、单晶体铜受拉伸形变，拉伸轴是[001]，应力为104Pa 。

求作用在（111）面[101]方向的分切应力。

解：根据ϕλστcos cos =，τ是所求的分切应力，σ是拉伸应力，λ是[001]与[011]的夹角，ϕ是[001]与[111]的夹角。

根据立方系的晶向夹角公式211111c o s =+=λ 3111111c o s =++=ϕ 则 a 1008.410312134P Pa ⨯=⨯⨯=τ 6、面心立方系单晶体受拉伸形变，拉伸轴是[001]，求对b=a[101]/2及t 平行于[121]的位错在滑移和攀移方向所受的力。

已知点阵常数a=0.36mm.解：单位长度位错线在滑移面上所受的力F 是外加应力场在滑移面滑移方向的分切应力τ与柏氏矢量b 的乘积：b F g τ=。

在单向拉伸（应力为σ）的情况，ϕλστcos cos =。

因b=a[101]/2及t 平行于[121]，所以滑移面是{111}，因此，λ是[001]与[011]的夹角，ϕ是[001]与[111]的夹角。

由第5题的计算可知，;31cos ,21cos ==ϕλ则σστ408.06==。

而b 的模为m a 01-9-1055.2221036.022⨯=⨯⨯=，最后得m N b F g /1055.2408.010-στ⨯⨯==式中，σ的单位为Pa 。

单位长度位错线在攀移方向上所受的力c F 是外加应力场在刃型位错半原子面的正应力c σ与柏氏矢量b 的乘积：b F c c σ-=。

因为b 垂直于位错线，所以讨论的位错是刃型位错。

其半原子面的法线矢量是b ，即为[011]，则2'c o s 2σϕσσ==c 。

作用在单位长度位错线上的攀移力为m N m N F c /10275.1/1055.2210-10-σσσ⨯=⨯⨯=式中，σ的单位为Pa 。

7、在面心立方晶体中，把2个平行的同号螺位错从100nm 推近到8nm 作功多少？已知a=0.3nm ，G=7×1010Pa 。

解：两个同号的螺型位错（单位长度）间的作用力F 与它们之间的距离d的关系为 dGb F π22= 位错的柏氏矢量m a b 101012.222-⨯==，两螺型位错从100nm 推近到8nm 作功为m J d d Gb d d Gb W d d /10125.08100ln 210211.0107ln 2d 210-210-10122221⨯=⨯⨯⨯===⎰πππ）（8、若空位形成能为73kJ/mol ，晶体从1000K 淬火至室温（约300K ），b 约为0.3nm ，问刃位错能否攀移？解：存在不平衡空位浓度使单位长度刃型位错受的化学力为02ln c c b kT F s =，因为b F c c σ=，即刃型位错受到的攀移正应力为03ln c c b kT s =σ，这个应力达到足够大时位错会发生攀移。

在不同温度下空位的平衡浓度为kT G f ec -=，所以，在1000K 和在300K 下的空位浓度分别是k G f e 1000-和k G f e 300-。

这样，晶体从1000K 淬火和在300K 刃型位错受到的正应力s σ为Pa k G b k f s 921014.3)100013001(300⨯=-=σ9、轧制板材时，设弹性变形量从表面到中心是线性的。

①压下量不大时，表面仍处在弹性范围，画出加载后和卸载后从表面到中心的应力分布；②表面发生了塑性形变，但中心仍处于弹性范围，画出加载后和卸载后从表面到中心的应力分布。

解：（1）当压下量不大表面仍处在弹性范围时，因表面变形量最大，所以整个板处于弹性范围，加载时，应力与应变成正比，所以应力从表面到中心呈线性分布，如下图（a）所示。