圆大题和二次函数大题解题思路.docx
二次函数与圆结合的压轴题Word版
图6xy FE H N MPD C B AO二次函数和圆【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数ky x=(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点． 且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;(2) 若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。
设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【例题6】(山西省临汾市)26. 如图所示，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于(60)(08)A B --，，，两点．（1）请求出直线AB 的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D E ，两点，在抛物线上是否存在点P ，使得115PDE ABC S S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例题7】在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB ∥BC交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形x（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？【例题8】如图，点P 在y 轴上，半径为3的⊙P 分别交x 轴于A 、B 两点，AB=4，交y 轴负半轴于点C ，连接AP 并延长交⊙P 于点D ，过D 作⊙P 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ； （1）求直线FG 的解析式；（2）连接CD 交AB 于点E ，求PCD tan 的值；（3）设M 是劣弧BC 上的一个动点，连接DM 交x 轴于点N ，问：是否存在这样的一个常数k ，始终满足AN ·AB+DN ·DM=K ，如果存在，请求出K 的值，如果不存在，请说明理由；A B M N D OA B C M N P 图 1O AB M N 图 3O。
二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)
【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。
（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。
【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式．（2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值．（3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标．【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x轴交于M N，，三点的圆的，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F M N面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1,⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为()，，顶点D在⊙O上运动．50⑴当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．【巩固】如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限，且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： ⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．【例4】已知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M ⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．【巩固】如图，已知点A的坐标是()，，以AB为直径作O'，90-，，点B的坐标是()10交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．⑴求抛物线的解析式；⑵点E是AC延长线上一点，BCE∠的平分线CD交O'于点D，连结BD，求直线BD的解析式；⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB CBD∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．DCEA yxBO O'课后作业：1.如图，直角坐标系中，已知两点()A，，点B在第一象限且OAB2000O，，()∆为正三角形，OAB∆的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．⑴求B C，两点的坐标；⑵求直线CD的函数解析式；⑶设E F，分别是线段AB AD，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：AEF∆的最大面积？参考答案例1【巩固】例2分析：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．【巩固】例3【巩固】例4【巩固】作业。
(圆、二次函数)综合题、压轴题的解法
圆：提示：圆作为初中数学中重要的知识点，在历年中考题中都出现在重要的得分点高的部分，尤其是压轴题中，有些同学往往认为压轴题一定是很难很难得到分数的部分，其实在题目中往往前一到两个小题都是考察大家的基础知识，只要正确列出公式就能得到相应的分数。
要学好圆的部分，不仅要靠平时的练习，最重要的还是回归课本，把基础知识参透，只有基础牢固了，才能进一步对圆的认识进行延伸和扩展。
函数：提示：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中压轴题：提示：新课程下中考压轴试题的新走势;以直角坐标系和函数为载体,融代数､几何为一体,在几何图形的操作变换过程中感悟数学知识,体验数学规律,突出对考生的发散思维能力､探究能力､创新能力､综合运用能力等方面的考查,由此也给我们的教学带来一些新的启示｡1､认真学习并贯彻新课程标准,进一步厘清新教材中重点知识之间的内在联系｡纵观这两年的中考试题,新增添的“图形与变换”､“统计与概率”､“视图与投影”等教学内容,都已成为中考的新贵,命题的热点｡所以,我们在教学过程中一定要加强对新课程标准的学习,对删减､增添的内容及教学要求做到胸有成竹,构建一套科学实用的新课程下的知识结构体系,这样,我们的教学就能做到有的放矢,减轻学生负担,提高教学效益｡2､深化对基础知识的理解,重视知识间的内在联系,加强对学生知识整合能力的培养,提高综合应用知识解决问题能力｡我们要立足课本,以基本知识､基本方法､基本技能为主,多层次､多角度､立体化地处理教材,应用教材,对支撑学科知识的重点问题,要多引导学生学会融会贯通､举一反三｡同时,我们要培养学生及时反思和总结的良好习惯,学完每一节课,每一章内容后都要及时反思:问题的解决是否存在漏洞,是否还有其他路径,能否进行变式､类比,能否推广等,并及时进行归纳总结,把知识穿成线,织成网,横向联系,纵向发展,在理性思维中培养学生综合运用知识的能力｡3､教学过程中注意对学生动手实践能力和空间想象能力的培养｡新课标下的中考加强了对学生动手实践能力､空间想象能力的考查,图形的运动变换思想是近年中考的热点｡因此,我们平时教学中要多为学生创设动手实验,操作演练的机会,让学生多做几何模型,进行展开､折叠､平移､旋转等教学实践活动,从中培养学生的图形识别能力､动手操作能力､空间想象能力,加强对图形性质､内涵的深入认识,掌握图形变换､动静结合､变与不变的规律,培养学生“透过现象看本质”的洞察能力,提高对中考综合性试题的解题信心和解题能力｡这种“动点与坐标几何相结合”的综合性试题,将几何图形置于一个美丽的轴对称图形中,让动点带动图形的运动,从中探究图形的位置和性质特征,运用函数与几何知识进行探究数学问题,具有开放性､探索性､实践性､创造性,是一道平中见奇､奇而不偏､独具匠心的压轴佳题｡。
二次函数与圆的问题 初中数学二次函数重难点专题 含答案(原卷+解析版)
9．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若以点 A 为圆心的圆与直线 BC 相切于点 M，求切点 M 的坐标； （3）若点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，是否存在以点 B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
当a
3 ，∠CAE＝∠OBE 时，求 1 1 的值
3
OD OE
－４－
3．已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 分别交 x 轴和 y 轴于点 A3, 0, B 0,3 .
(1)如图 1，已知 P 经过点 O ，且与直线 l1 相切于点 B ，求 P 的直径长； (2)如图 2，已知直线 l2 : y 3x 3 分别交 x 轴和 y 轴于点 C 和点 D ，点 Q 是直线 l2 上的一个动点，以 Q 为 圆心， 2 2 为半径画圆. ①当点 Q 与点 C 重合时，求证: 直线 l1 与 Q 相切； ②设 Q 与直线 l1 相交于 M , N 两点， 连结 QM ,QN . 问:是否存在这样的点 Q ，使得 QMN 是等腰直角 三角形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）求过 A，B，E 三点的抛物线的解析式； （2）求证：四边形 AMCD 是菱形； （3）请问在抛物线上是否存在一点 P，使得△ABP 的面积等于定值 5？若存在，请求出所有的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．
－２－
【针对练习】
1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有
专题62 二次函数与圆综合性问题(解析版)
例题精讲【例1】．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，∵抛物线经过点B（2，0），∴4a+2＝0，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），∴OA＝OB＝2，∴AB＝2，∵OC⊥AB，∴•OA•OB＝•AB•OC，∴×2×2＝×2•OC，解得：OC＝，∵⊙O的半径r＝，∴OC是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，∴可设P（x，﹣x2+2），以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，∵点C是AB的中点，∴C（1，1），M（1，﹣1），设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，得：k＝﹣1，∴直线OM的解析式为y＝﹣x，∵点P在OM上，∴﹣x2+2＝﹣x，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），如图，当点P位于P1位置时，OP1＝＝＝（1+）＝+，∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；综上所述，PM的长是或﹣2．变式训练【变1-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+2．（2）存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．当y＝0时，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四边形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+DB＝DA+LD＝AL最小．∵CL＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值为．【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．变式训练【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D．交OM于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：由y＝x2﹣x﹣4可得C（0，﹣4），设P（x，x2﹣x﹣4），∴AC2＝（﹣2﹣0）2+（0+4）2＝20，CP2＝x2+（x2﹣x）2，AP2＝（x+2）2+（x2﹣x ﹣4）2，∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AC2+CP2＝AP2，即20+x2+（x2﹣x）2＝（x+2）2+（x2﹣x﹣4）2，∴20+x2+（x2﹣x）2＝x2+4x+4+（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+16，解得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，∴P（3，﹣）；（3）点P在运动过程中线段DE的长不变，理由如下：连接AP、BE，如图：∵＝，＝，∴∠APD＝∠DBE，∠DAP＝∠DEB，∴△ADP∽△EDB，∴＝，∴DE＝，设P（m，m2﹣m﹣4），则D（m，0），∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4），∴AD＝m+2，BD＝4﹣m，PD＝﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+m+4，∴DE＝＝＝2，∴DE是定值2，∴点P在运动过程中线段DE的长不变，是定值2．1．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐标可以是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．解：分两种情况：（1）当⊙P与x轴相切时，依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）．①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y＝x2﹣1，得2＝x2﹣1，解得x＝±，此时P（，2）或（﹣，2）；②当P的坐标是（x，﹣2）时，将其代入y＝x2﹣1，得﹣2＝x2﹣1，无解．（2）当⊙P与y轴相切时，∵⊙P的半径为2，∴当⊙P与y轴相切时，点P到y轴的距离为2，∴P点的横坐标为2或﹣2，当x＝2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，当x＝﹣2时，代入y＝x2﹣1可得y＝1，∴点P的坐标为（2，1）或（﹣2，1），综上所述，符合条件的点P的坐标是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）；故答案为：（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．2．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．（1）求∠AOB的度数；（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．解：（1）令y＝0，则﹣2x＝0，解得：x＝0或8．∴A（8，0）．∴OA＝8．∵y＝﹣2x＝﹣4，∴B（4，﹣4）．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD＝4，BD＝4，∴OD＝BD，∴∠AOB＝∠OBD＝45°；（2）①设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，如图，∵B（4，﹣4），∴BC⊥OA．∵CO＝CB＝4，∴△CBO是以OB为底的等腰三角形．∴点M与点C重合时，△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（4，0）；过点A作AM⊥x轴，交⊙A于点M，延长MA交⊙A于点E，连接BE，过点M作MF⊥y轴于点F，如图，则M（8，4），E（8，﹣4），F（，4）．∴MF＝ME＝8．∵B（4，﹣4），∴BE∥x轴．∴BE⊥ME，BE＝4．∴∠BEM＝∠MFO＝90°，BE＝OF＝4．在△MOF和△MBE中，，∴△MOF≌△MBE（SAS）．∴MO＝MB．∴△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（8，4）；综上，当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，点M的坐标为（4，0）或（8，4）；②设⊙A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，CN，AM，如图，∵A（8，0），∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN＝AM＝2．当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC﹣CN≤BN≤BC+CN．∵BC＝4，∴4﹣2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝3，∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），∴﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），∵PM⊥x轴，∴P（m，m﹣3），∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴CB＝OB，∴CP＝m，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴m＝﹣m2+3m，整理得：m2+（﹣3）m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，∴P（3﹣，﹣）．（3）如图2，连接BI，OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过M作MH⊥y轴于H，∵EF⊥x轴，∴∠BFE＝90°，∴∠FBE+∠FEB＝90°，∵△BEF的内心为I，∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，∴∠BIE＝135°，在△BIO和△BIE中，，∴△BIO≌△BIE（SAS），∴∠BIO＝∠BIE＝135°，∵⊙M是△OBI的外接圆，∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，∴OM＝BM＝OB＝，∴MI＝OM＝，∴∠MOB＝∠MOH＝45°，∵MH⊥y轴，∴∠HOM＝∠HMO＝45°，∴OH＝HM＝OM＝，∴CH＝OH+OC＝+3＝，∴CM＝＝，∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，∴CI的最小值为﹣．4．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分别在原点的两侧，且A、B两点间的距离小于6，求m的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与是等弧？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知：y＝（x﹣2）（x﹣2m+3），因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：（2，0）（2m﹣3，0），因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；（2）令y＝0，有：x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6＝0，则：x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝4m﹣6；∵AB＜6∴x2﹣x1＜6，即（x2﹣x1）2＜36，（x1+x2）2﹣4x1x2＜36，即（2m﹣1）2﹣4（4m﹣6）＜36，解得﹣＜x＜．①根据A、B分别在原点两侧可知：x1x2＜0，即4m﹣6＜0，m＜．②综合①②可得﹣＜m＜；（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．①当C点在x轴正半轴时，x＝＞0，因此＜m＜，∵弧BC＝弧CD，因此BC＝CD．OC＝，CD＝BC＝OB﹣OC＝2﹣＝，EC＝BC＝，OE＝MD＝OC+CE＝+＝．易知：OD＝ME，即OD2＝ME2∴CD2﹣OC2＝CM2﹣CE2，（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2；解得m＝，符合m的取值范围．②当C点在x轴负半轴时，x＝＜0，因此﹣＜m＜，同①可求得OC＝，CD＝AC＝，CE＝，MD＝OE＝．同理有：CD2﹣OC2＝MC2﹣CE2（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2化简得：m2＝，∴m＝±，均不符合m的取值范围，因此这种情况不成立．综上所述，存在符合条件的m，且m＝．5．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x＝﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．解：（1）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴Δ＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，∴y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝，在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1），∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∵⊙P是△ABC的外接圆，∴点P在抛物线的对称轴上，∴点E在⊙P上，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED＝∠OCB，∴tan∠BED＝，设BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED＝＝＝，∴BE＝2n，根据勾股定理得，DE＝＝n，∴l＝BD+BE+DE＝（3+）n，r＝DE＝n，∴＝＝．6．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M （4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；＝8S△QAB，（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN 且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图，连接OC，∵M（4，0），N（0，3），∴OM＝4，ON＝3，∴MN＝5，∴OC＝MN＝，∵CD为抛物线对称轴，∴OD＝MD＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD＝＝＝，∴PD＝PC﹣CD＝﹣＝1，∴P（2，﹣1）；（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线过N（0，3），∴3＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（3）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得0＝x2﹣4x+3，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∵ON＝3，OM＝4，PD＝1，＝S△OMP+S△OMN＝OM•PD+OM•ON＝×4×1+×4×3＝8＝8S△QAB，∴S四边形OPMN＝1，∴S△QAB设Q点纵坐标为y，则×2×|y|＝1，解得y＝1或y＝﹣1，当y＝1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，当y＝﹣1时，可知P点即为所求的Q点，∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝QD，∴△QAB为等腰直角三角形，∵ON＝OB＝3，∴△OBN为等腰直角三角形，∴△QAB∽△OBN，综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．7．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a＝，故二次函数表达式为：y＝x2；（2）将y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），则MN＝4，∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴PF＝2；∵点F（0，1），∴点P的坐标为（0，1+2）或（0，1﹣2）；（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），故点E在FN的中垂线上．∴点E是FN的中垂线与y＝x2图象的交点，∴y＝×12＝，则点E（1，），EN＝＝，同理EF＝＝，点E到直线y＝﹣1的距离为|﹣（﹣1）|＝，故存在点E，使得以点E为圆心半径为的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c+1，①当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c＝﹣b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，求二次函数的表达式．解：①二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的对称轴为x＝，当b＝1时，＝，∴当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x＝．②二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（，），∵二次函数的图象与x轴相切且c＝﹣b2﹣2b，∴，解得：b＝，∴b为，二次函数的图象与x轴相切．③∵AB是半圆的直径，∴∠AMB＝90°，∴∠OAM+∠OBM＝90°，∵∠AOM＝∠MOB＝90°，∴∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OMA＝∠OBM，∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2＝OA•OB，∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），∴OA＝﹣x1，OB＝x2，x1+x2，＝b，x1•x2＝﹣（c+1），∵OM＝c+1，∴（c+1）2＝c+1，解得：c＝0或c＝﹣1（舍去），∴c＝0，OM＝1，∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足＝，∴AD＝BD，DF＝4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴，，∴DE＝，DF＝，∴×4，∴OB＝4OA，即x2＝﹣4x1，∵x1•x2＝﹣（c+1）＝﹣1，∴，解得：，∴b＝﹣+2＝，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+1．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足；当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC 有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．解：①当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当0＜x1＜x2时，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴y1﹣y2＞0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．∴抛物线关于y轴对称，∴b＝0，∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），∴c＝2，如图，连接OB、OC，设BC y轴于点D．由对称性可知，△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC是等边三角形，∴OD＝OA＝1，CD＝OD＝，∴B（﹣，﹣1），C（，﹣1），将C点坐标代入y＝ax2+2可求得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②设直线OM的解析式为y＝k1x，∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且＝，化为x1﹣x2＝，∵x1≠x2，∴x1x2＝﹣2，∴，∴，设点N关于y轴的对称点为N'，则N'的坐标为，∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP﹣2OA＝4，即点P的坐标为（0，4），设直线PM的解析式为y＝k2x+4，∵点M的坐标为，∴，∴，∴直线PM的解析式为x+4．∵，即N'在直线PM上，∴PA平分∠MPN．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO 的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF ＝4时，求点P的坐标．解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）应该是圆M与直线AD相切，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC＝，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2，则点P（，）或（2，1）．11．如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDM＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，∴∠CBO＝∠EBO，由角平分线成比例定理可得：，即：，∴，∴，∴，＝，＝．12．抛物线y＝﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点B，D的坐标分别为（3，0），（，）；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处，当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t＝0时，点Q是“M”形新图象上一动点．①直接写出“M”形图象AB段的函数关系式；②是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，则﹣x2+x﹣1＝0，解得x＝3或x＝，∴B（3，0），A（，0），令x＝0，则y＝﹣1，∴C（0，﹣1），∵y＝﹣x2+x﹣1＝﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，），故答案为：（3，0），（，）；（2）∵E与D关于直线y＝t对称，∴E（，2t﹣），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣1）代入，得，∴，∴y＝x﹣1，当x＝时，y＝﹣，∵E点在△ABC内（含边界），∴2t﹣≥﹣，∴t≥，∵2t﹣≤0，∴t≤，∵t＜，∴t的取值范围是≤t≤；（3）①当t＝0时，y＝﹣x2+x﹣1关于x轴对称的函数为y＝x2﹣x+1，∴“M”形图象AB段的函数关系式为y＝x2﹣x+1（≤x≤3）；②存在点P，理由如下：设Q点的横坐标为m，∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴P点的横坐标为m，当m＞3或m＜时，Q（m，﹣m2+m﹣1），∵△CPQ为直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2＝m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，解得m＝或m＝，∴P（，0）或P（，0）；当≤m≤3时，Q（m，m2﹣m+1），∵△CPQ为直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2＝m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，解得m＝2或m＝，∴P（，0）或P（1，0）；综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，P点坐标为（，0）或（，0）或（，0）或P（1，0）．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），∴c＝2．又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大；同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，∴b＝0．∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，又∵OB＝OC＝OA＝2，∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，∴3a+2＝﹣1，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且＝，∴﹣x1+＝﹣x2+，∴x1﹣x2＝﹣，∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP＝2OA＝4，∴点P的坐标为（0，4）．设直线PM的解析式为y＝k2x+4，∵点M的坐标为（x1，﹣+2），∴﹣+2＝k2x1+4，∴k2＝﹣，∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．∵﹣•+4＝＝﹣+2，∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y 轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y＝ax2+bx+3中，，解得：，所以所求函数关系式为：y＝x2﹣x+3；（2）△ABC是直角三角形，过点B作BD⊥x轴于点D，易知点C坐标为：（0，3），所以OA＝OC，所以∠OAC＝45°，又∵点B坐标为：（4，1），∴AD＝BD，∴∠DAB＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△ABC是直角三角形，圆心M的坐标为：（2，2）；（3）存在取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，∵M的坐标为：（2，2），∴MC＝＝，OM＝2，∴∠MOA＝45°，又∵∠BAD＝45°，∴OM∥AB，∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，则平移的长度为：2﹣或2+；∵∠BAD＝45°，∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移＝个单位长度或＝个单位长度，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣）2﹣，∴平移后抛物线的关系式为：y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣，或y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣．综上所述，存在一个位置，使⊙M1经过原点，此时抛物线的关系式为：y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣）2﹣．15．已知抛物线C1：y＝ax2过点（2，2）（1）直接写出抛物线的解析式y＝x2；（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC所在的直线解析式为y＝x+b，若AC边上的中线BD平行于y轴，求的值；（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C1上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线y＝t与⊙M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）把点（2，2）坐标代入y＝ax2，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2；（2）把y＝x+b和y＝x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，设A、C两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b，点D坐标为（，），即；D（1，1+b），B坐标为（1，），AC2＝[（x2﹣x1）]2＝16b+8BD＝+b，∴＝16；（3）设点Q坐标为（a，a2），点P的坐标为（0，2），由P、Q坐标得点M的坐标为（，a2+1），设圆的半径为r，由P（0，2）、M两点坐标可以求出r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，设点M到直线y＝t的距离为d，则d2＝（a2+1﹣t）2＝a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t，则HK＝2＝2，当t﹣＝0时，HK为常数，t＝，HK＝．16．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）如图1，已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，求△POA 周长的最小值；（3）如图2，已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴PA＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），如图，连接BD，作BN⊥AD于N，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AD＝3，BD＝，AB＝5，＝＝，∵S△ABD∴BN＝，∴sin∠BDN＝＝＝，∴∠BDN＝45°，∴∠ADB＝∠BDN＝45°；（3）不变．如图，连接MQ，MB，∵过点B作⊙M的切线交1于点P，∴∠MBP＝90°，∵∠MBO＝45°，∴∠PBH＝45°，∴PH＝HB＝2.5，∵＝＝，＝＝，∵∠HMQ＝∠QMP，∴△HMQ∽△QMP，∴＝＝，∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；（2）①点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2（舍去4﹣2）；故m＝2或4+2；②存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝＝，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即﹣0.5≤ND≤+0.5，故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣0.5和+0.5．19．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +3；（2）1°设直线BC 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则，解得，，∴直线BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，设M （t ，﹣t +3）（0＜t ＜3），则N （t ，t 2﹣4t +3），∴MN ＝﹣t 2+3t ＝﹣，∴当t ＝时，MN 的值最大，其最大值为；2°∵△PMN 的外接圆圆心Q 在△PMN 的边上，∴△PMN 为直角三角形，由1°知，当MN 取最大值时，M （），N （），①当∠PMN ＝90°时，PM ∥x 轴，则P 点与M 点的纵坐标相等，∴P 点的纵坐标为，当y ＝时，y ＝x 2﹣4x +3＝，解得，x ＝，或x ＝（舍去），∴P （）；②当∠PNM ＝90°时，PN ∥x 轴，则P 点与N 点的纵坐标相等，∴P 点的纵坐标为﹣，当y ＝﹣时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣，解得，x ＝，或x ＝（舍去），∴P （，）；③当∠MPN ＝90°时，则MN 为△PMN 的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q（），半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）．20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式；（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求k的值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），令y＝kx+1＝﹣x2+2x+3，整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣2①，∵△QMT的面积是△PMT面积的两倍，∴MT•（x2﹣1）＝2×MT•（1﹣x1），∴2x1+x2＝3，即x2＝3﹣2x1②，将②代入①得：2x12﹣3x1﹣2＝0，解得：x1＝2或，∴或，∴k＝1或，∵k＜0，∴k＝﹣；（3）线段EF的长为定值1，如图，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴，∴，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）现有一个以原点O为圆心，长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，问几秒后⊙O与直线AC相切？解：（1）设0＝﹣x2+2x+3，解得：x＝﹣1或3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线与y轴相交于点C，∴C（0，3），∴抛物线的对称轴是：直线x＝1．（2）①设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，得，解得：k＝﹣1，b＝3∴直线BC的函数关系式为y＝﹣x+3．当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1.2）．当x＝m时，y＝﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝1时，y＝4，∴D（1，4）．当x＝m时，y＝﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3），∴线段DE＝4﹣2＝2，线段PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵PF∥DE∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m＝2，解得m＝2或m＝1（不合题意，舍去）．因此，当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB＝OM+MB＝3．+S△CPF，∵S＝S△EPF即S＝PF•BM+PF•OM＝PF（BM+OM）＝PF•OB，∴S＝×3（﹣m2+3m）＝﹣m2+m（0≤m≤3）∴当m＝﹣＝时S最大值＝；。
二次函数与圆的综合压轴题
二次函数与圆的综合压轴题
一、题目描述
本题是一道综合性的数学题，涉及到二次函数和圆的相关知识。
具体要求如下：
给定一个二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 和一个圆 $x^2+y^2=r^2$，其中 $a,b,c,r$ 均为已知常数，且 $a\neq0$。
请编写一个函数，判断该二次函数与圆是否有交点，并输出交点的坐标。
二、解题思路
1. 二次函数与圆的关系
首先，我们需要了解二次函数和圆之间的关系。
对于一个二次函数$y=ax^2+bx+c$ 和一个圆 $x^2+y^2=r^2$，它们之间可能存在以下三种情况：
（1）没有交点：当二次函数和圆分离时，它们没有交点。
（2）相切：当二次函数和圆相切时，它们只有一个交点。
（3）相交：当二次函数和圆相交时，它们有两个交点。
接下来，我们需要确定如何求出这些交点的坐标。
2. 求解交点坐标
对于一条直线和一个圆之间的交点坐标可以通过联立直线方程和圆方程求解。
但是对于一个二次函数而言，并不存在明确的直线方程。
因此，在本题中，我们可以通过以下步骤求解交点坐标：
（1）将二次函数和圆的方程联立，得到一个关于 $x$ 的二次方程。
（2）解出该二次方程的根，即为交点的横坐标。
（3）将横坐标代入二次函数或圆的方程中，求出相应的纵坐标。
最后，我们需要根据交点个数输出不同的结果。
如果没有交点，则输出“无交点”；如果有一个交点，则输出该交点坐标；如果有两个交点，则输出两个交点坐标。
三、代码实现
下面是本题的完整代码实现：。
专题15 巧用相似解二次函数与圆相关题型(解析版)
专题15 巧用相似解二次函数与圆相关题型解题方法：与圆相关的题型中借助相似三角形的性质将面积最值转化为线段最值求解，要灵活运用平行线切割线段成比例的性质.下面具体看几个例子，帮助同学们加以理解.1. （2019·江苏苏州中考）如图①，抛物线y =－x 2+（a +1）x －a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知△ABC 的面积是6．（1）求a 的值；（2）求△ABC 外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P 是抛物线上一点，Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，△QPB 的面积为2d ，且∠PAQ =∠AQB ，求点Q 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵y =－x 2+（a +1）x －a令y =0，即－x 2+（a +1）x －a =0，解得x 1=a ，x 2=1，由图象知：a ＜0，∴A （a ，0），B （1，0）∵S △ABC =6 ∴()()112a a --=6，解得：a =－3， a =4（舍去）， 即a=－3.（2）设直线AC 的解析式为：y =kx +b ，由A （－3，0），C （0，3），可得－3k +b =0，且b =3，解得：k=1，b=3 即直线AC：y=x+3，∴A、C的中点D坐标为3322⎛⎫-⎪⎝⎭，，∴线段AC的垂直平分线解析式为：y=－x，线段AB的垂直平分线为x=－1 联立解得：y=1，即△ABC外接圆圆心的坐标（－1，1）（3）过P作作PM⊥x轴于M，则S△BAP=122AB PM d⨯⨯=，∴S△BAP=S△BQP，∴A、Q到PB的距离相等，即AQ∥PB设直线PB解析式为：y=x+b，∵直线经过点B（1，0），∴直线PB的解析式为y=x－1，联立y=x－1，y=－x2－2x+3，解得：x=－4，y=－5或x=1，y=0（舍），∴点P坐标为（－4，－5）又∵∠PAQ=∠AQB可得：△PBQ≌△ABP，∴PQ=AB=4设Q（x，x+3），由PQ=4，得：（x+4）2+（x+8）2=42，解得：m=－4，m=－8（舍去）∴Q 坐标为（－4，－1）.2. （2019·山东潍坊中考）如图，在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，点A （4，0），点B （0，4），△ABO 的中线AC 与y 轴交于点C ，且⊙M 经过O ，A ，C 三点．（1）求圆心M 的坐标；（2）若直线AD 与⊙M 相切于点A ，交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式；（3）在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ∥y 轴，交直线AD 于点E ．若以PE 为半径的⊙P 与直线AD 相交于另一点F ．当EF ＝P 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）点B （0，4），则点C （0，2），∵点A （4，0），则点M （2，1）；（2）∵⊙P 与直线AD ，则∠CAD ＝90°，设∠CAO ＝α，则∠CAO ＝∠ODA ＝∠PEH ＝α，tan ∠CAO ＝12OC OA =，即tanα=12，则sinα，cosα由勾股定理得：AC则CD＝10sin AC CDA ==∠， ∴点D （0，﹣8），设直线AD 的解析式为：y ＝mx +n ，得：408m n n +=⎧⎨=-⎩，解得：m =2，n =－8， ∴直线AD 的表达式为：y ＝2x ﹣8；（3）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣2）2+1， 将点B 坐标代入上式并解得：a ＝34， 即抛物线的表达式为：y ＝34x 2﹣3x +4，过点P 作PH ⊥EF ，则EH ＝12EF ＝∴在Rt △PEH 中，cos ∠PEH ＝EH PE = 解得：PE ＝5， 设点P （x ，34x 2﹣3x +4），则点E （x ，2x ﹣8）， 则PE ＝34x 2﹣3x +4﹣2x +8＝5， 解得x ＝143，x =2（舍去）， 则点P （143，193）．3. （2019·湖南岳阳中考）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2．（点A 在点B 的左侧）（1）求点A 、B 的坐标；（2）将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；（3）如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在抛物线上，当x=－4时，y=－4，即A(4,－4)，当y=－2时，x=－1,或x=－6，∵点A 在点B 的左侧，∴B(－1，－2).（2）过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过B’作B’G⊥x 轴于G ，∴OE=1，BE=2，∠BEO=∠B’GO=90°，由旋转性质知，OB=OB’，∠BOB’=90°，∴∠B’OG=∠OBE ，∴△B’OG≌△OBE ，∴OG=BE=2，B’G=OE=1，∴B’(2，－1)，A’(4，－4)，，将A’，B’坐标代入抛物线F 2：24y ax bx =++，得： 164444241a b a b ++=-⎧⎨++=-⎩，解得：143a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 即抛物线F 2：21344y x x =-+，对称轴为：x=6， 设M(6，m)，则OM 2=m 2+36，A’M 2=m 2+8m+20，∵点A’在以OM 为直径的圆上，∴∠OA’M=90°，OA’2+A’M 2=OM 2，(222+m +8m+20=36+m ，解得：m=－2，∴S △OA’M=11''22OA A M ⋅=⨯(3)由A(－4,4)，得OA 与x 轴的夹角为45°，①当点D 在x 轴负半轴或y 轴负半轴时，∠AOD=45°，由B’(2,－1)得直线OB’的解析式为：y=12-x ， 联立：2121344y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得：C(8，－4)， ∴A’C∥x 轴，∴∠OA’C=135°，∠A’OC≠45°，∠OCA’ ≠45°，即此时△ADO 和△OA’C 不会相似；②当点D 在x 轴正半轴或y 轴正半轴时，若△AOD ∽△OA’C，则1''OD OA A C OA ==， 则OD=A’C=4，∴D(4,0)或（0,4）；若△DOA ∽△OA’C，则''4OD OA A O CA ===∴OA’=8，∴D(8,0)或（0,8），综上所述，点D 的坐标为：(4,0)，（0,4），(8,0)，（0,8）.4. （2019·湖北鄂州中考）如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x =1.（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC ，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x =1的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q .设运动时间为t (t >0)秒.①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点A 、B 关于直线x=1对称，AB ＝4，∴A （－1，0），B （3，0），代入y=-x 2+bx+c 中，得：b=2，c=3∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3，∴C 点坐标为（0，3）.（2）设直线BC 的解析式为y=mx+n ，则有：m=－1，n=3∴直线BC 的解析式为y=-x+3∵点E 、F 关于直线x=1对称，E 到对称轴的距离为1，∴ EF=2∴F 点的横坐标为2，将x=2代入y=-x+3中，得：y=-2+3=1∴F （2，1）.（3）①t=1②∵M （2t,0），MN ⊥x 轴∴Q （2t,3-2t ）∵△BOQ 为等腰三角形,∴分三种情况讨论第一种，当OQ ＝BQ 时，∵QM ⊥OB∴OM ＝MB∴2t=3-2t ∴t=34， 第二种，当BO ＝BQ 时，在Rt △BMQ 中∵∠OBQ ＝45°∴BQ ＝，即3＝√2(3−2t)，∴t 第三种，当OQ ＝OB 时，则点Q 、C 重合，此时t=0，而t>0，故不符合题意，综上，当t=34BOQ 为等腰三角形.5.（2019·台州模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝10．sinA＝35，点D为线段AC上一动点（不运动至端点A、C），作DF⊥AB于F，连结BD，井延长BD交⊙O于点H，连结CF．（1）当DF经过圆心O时，求AD的长；（2）求证：△ACF∽△ABD；（3）求CF・DH的最大值．【答案】见解析.【解析】（1）解：当DF经过圆心O时，AF＝OA＝5，∵AB为直径，AB＝10，∴∠ACB＝90°，∴sinA＝35 BCAB=，∴BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，∵AB⊥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADF∽△ABC，∴AD AF AB AC=，∴AD＝254 AF ABAC⋅=；（2）证明：由（1）得：AD AF AB AC=，即: AD AB AF AC=，又∵∠A为△ACF和△ABD的公共角，∴△ACF∽△ABD；（3）解：连接CH，如图所示,由（2）知△ACF∽△ABD，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠ABD＝∠ACH，∴∠ACH＝∠ACF，又∵∠CAF＝∠H，∴△ACH∽△HCD，∴CF AFCD DH，即CF•DH＝CD•AF，设AD＝x，则CD＝8﹣x，AF＝45x，∴CF•DH＝45x（8﹣x）＝﹣45x2+325x＝﹣45（x﹣4）2+645，∴当x＝4时，CF•DH的最大值为645．6. （2019·湖南怀化中考）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，OB ＝1，tan ∠ABO ＝3， ∴OA ＝3，OC ＝3，即点A 、B 、C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 将点（0，3）、（﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bx +c得二次函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3，顶点坐标为：P （1，4）；（2）联立y ＝﹣x 2+2x +3，y =kx －k +3得： x 2﹣（2﹣k ）x ﹣k ＝0，设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则x 1+x 2＝2﹣k ，x 1x 2＝﹣k ，y 1+y 2＝k （x 1+x 2）﹣2k +6＝6﹣k 2，同理：y 1y 2＝9﹣4k 2，①y ＝kx ﹣k +3，当x ＝1时，y ＝3，即点Q （1，3）， ∵S △PMN ＝2∴2＝12PQ ×（x 2﹣x 1），即x 2﹣x 1＝4， ∴（x 2﹣x 1）2＝16，即（x 1+x 2）2－2x 1x 2=16，可得：k ＝±②点M 、N 的坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、点P （1，4）， 由勾股定理得：()()2221114PM x y =-+-，()()2222214PN x y =-+-, ()()2221212MN x x y y =-+-,∴()()222222121212122834PM PN x x y y x x y y +=+++-+-++=()()222221212228634x x y y k k +++----+ =2222212128218x x y y k k +++++- ()()2221212MN x x y y =-+-=()()2222212122294x x y y k k +++---- =2222212128218x x y y k k +++++- ∴222PM PN MN +=,故无论k 为何值，△PMN 恒为直角三角形；③取MN 的中点H ，则点H 是△PMN 外接圆圆心，设点H 坐标为（x ，y ），则x ＝12222x x k +-=， y ＝212622y y k +-=， 整理得：y ＝﹣2x 2+4x +1，即：该抛物线的表达式为：y ＝﹣2x 2+4x +1．。
圆与二次函数结合型压轴题专题(解析版)--2024年中考数学重难点
圆与二次函数结合型压轴题专题通用的解题思路：一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。
二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r ，第二步，表示出圆心到直线的距离d ，第三步，比较半径r 和距离d 的大小：若半径r >距离d ，则直线与圆相交，若半径r =距离d ，则直线与圆相切，若半径r <距离d ，则直线与圆相离。
三、记直线l 被圆C 截得的弦长为|AB |的常用方法弦长公式：AB =2r 2-d 21(长沙中考)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0，2)．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设⊙P 与x 轴相交于M (x 1，0)，N (x 2，0)(x 1<x 2)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，∴抛物线的一般式为：y =ax 2，∴116=a (a )2，解得：a =±14，∵图象开口向上，∴a =14，∴抛物线解析式为：y =14x 2，故a =14，b =c =0；(2)设P (x ，y )，⊙P 的半径r =x 2+y -2 2，又∵y =14x 2，则r =x 2+14x 2-2 2，化简得：r =116x 4+4>14x 2，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设P (t ，14t 2)，∵r 2-y 2=4，∴MH =NH =2，∴M (t -2，0)，N (t +2，0)，A (0，2)，∵△AMN 为等腰三角形，∴AM =AN ，AM =MN ，AN =MN ，(t -2)2+(2-0)2=(t +2)2+(2-0)2，∴t =0，(t -2)2+(2-0)2=42，∴t =2±23，(t +2)2+(2-0)2=42，∴t =-2±23，①当t =0时，P 的纵坐标为0，②当t =2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，③当t =-2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，综上所述，P 的纵坐标为：0或4+23或4-23．2(岳麓区校级月考)如图，已知直线l ：y =-1和抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a ≠0)，抛物线L 的顶点为原点，且经过点A 2a ,14，直线y =kx +1与y 轴交于点F ，与抛物线L 交于点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且x 1<x 2．(1)求抛物线L 的解析式；(2)点P 是抛物线L 上一动点．①以点P 为圆心，PF 为半径作⊙P ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由；②若点Q (2，3)，当|PQ -PF |的值最大时，求点P 的坐标；(3)求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y =ax 2，将点A 坐标代入上式得：14=a (2a )2，解得：a =14，故抛物线的表达式为：y =14x 2⋯①；(2)①点F (0，1)，设：点P (m ，14m 2)，则PF =m 2+14m 2-1 2=14m 2+1，而点P 到直线l 的距离为：14m 2+1，则⊙P 与直线l 的位置关系为相切；②当点P 、Q 、F 三点共线时，|PQ -PF |最大，将点FQ 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：直线FQ 的函数表达式为：y =x +1⋯②，联立①②并解得：x =2±22，故点P 的坐标为：(2+22，3+22)或(2-22，3-22)；(3)将抛物线的表达式与直线y =kx +1联立并整理得：x 2-4kx -4=0，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4，则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2，则x 2-x 1=x 1+x 2 2-4x 1x 2=4，设直线BC 的倾斜角为α，则tan α=k ，则cosα=1k 2+1，则BC =x 2-x 1k 2+1=4(k 2+1)，则12BC =2k 2+2，设BC 的中点为M (2k ，2k 2+1)，则点M 到直线l 的距离为：2k 2+2，故直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．3在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =14x 2+mx +n 的图象经过点A (2，0)和点B (1，-34)，直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．(1)求该二次函数的表达式；(2)设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t (t ≥0)的变化规律为y 1=-34+2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=-1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．【解答】解：(1)将点A (2，0)和点B (1，-34)分别代入y =14x 2+mx +n 中，得：14×4+2m +n =014+m +n =-34 ，解得：m =0n =-1 ，∴抛物线的解析式：y =14x 2-1；(2)①将P 点纵坐标代入(1)的解析式，得：14x 2-1=-34+2t ，x =8t +1，∴P (8t +1，-34+2t )，∴圆心C (8t +12，-38+t )，∴点C 到直线l 的距离：-38+t -(-1)=t +58；而OP 2=8t +1+(-34+2t )2，得OP =2t +54，半径OC =t +58；∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t -58=t +58，t =54；∴当0<t <54时，直线l 与⊙C 相交；Ⅱ、∵0<t <54时，圆心C 到直线l 的距离为d =|2t -58|，又半径为r =t +58，∴a 2=4(r 2-d 2)=4[(t +58)2-|2t -58|2]=-12t 2+15t ，∴t =58时，a 的平方取得最大值为7516．4(长沙中考)如图半径分别为m ，n (0<m <n )的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P ，Q 两点，且点P (4，1)，两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．(1)求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式；(2)求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ；(3)令四边形PO 1QO 2的面积为S 1，四边形RMO 1O 2的面积为S 2．试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为s 1-s 2 2d 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)由题意可知O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，设过点O 1，O 2的直线解析式为y =kx +b ，则有：mk +b =m nk +b =n (0<m <n )，解得k =1b =0 ，∴所求直线的解析式为：y =x ．(2)由相交两圆的性质，可知P 、Q 点关于O 1O 2对称．∵P (4，1)，直线O 1O 2解析式为y =x ，∴Q (1，4)．如解答图1，连接O 1Q ．∵Q (1，4)，O 1(m ，m )，根据两点间距离公式得到：O 1Q =m -1 2+m -4 2=2m 2-10m +17，又O 1Q 为小圆半径，即QO 1=m ，∴2m 2-10m +17=m ，化简得：m 2-10m +17=0①如解答图1，连接O 2Q ，同理可得：n 2-10n +17=0②由①，②式可知，m 、n 是一元二次方程x 2-10x +17=0③的两个根，解③得：x =5±22，∵0<m <n ，∴m =5-22，n =5+22．∵O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，∴d =O 1O 2=m -n 2+m -n 2=8．(3)假设存在这样的抛物线，其解析式为y =ax 2+bx +c ，因为开口向下，所以a <0．如解答图2，连接PQ ．由相交两圆性质可知，PQ ⊥O 1O 2．∵P (4，1)，Q (1，4)，∴PQ =4-1 2+1-4 2=32，又O 1O 2=8，∴S 1=12PQ •O 1O 2=12×32×8=122；又S 2=12(O 2R +O 1M )•MR =12(n +m )(n -m )=202；∴s 1-s 2 2d =122-202 2×8=1，即抛物线在x 轴上截得的线段长为1．∵抛物线过点P (4，1)，Q (1，4)，∴16a +4b +c =1a +b +c =4 ，解得b =-5a +1 c =5+4a，∴抛物线解析式为：y =ax 2-(5a +1)x +5+4a ，令y =0，则有：ax 2-(5a +1)x +5+4a =0，设两根为x 1，x 2，则有：x 1+x 2=5a +1a ，x 1x 2=5+4a a，∵在x 轴上截得的线段长为1，即|x 1-x 2|=1，∴(x 1-x 2)2=1，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，即(5a +1a )2-4(5+4a a )=1，化简得：8a 2-10a +1=0，解得a =5±178，可见a 的两个根均大于0，这与抛物线开口向下(即a <0)矛盾，∴不存在这样的抛物线．5(广益)如图1，已知一次函数y =-x +4与反比例函数y =3x相交于P ，Q 两点(P 在Q 的右侧)．(1)求P ，Q 的坐标并写出△OPQ 的面积；(2)如图2，已知M (m ，m )，N (n ，n )，其中(0<m <n )，若分别以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，并且点P 既在⊙M 上又在⊙N 上．①求直线MN 的解析式；②求出线段MN 的长度d ；(3)在(2)的前提上，记四边形PMQN 的面积为S 1，四边形AMNB 的面积为S 2，已知抛物线y =ax 2+bx +c 满足两个条件：①经过点P 和点Q ，②该抛物线截x 轴得到的线段长度为s 1-s 2 d，请求出抛物线二次项系数a 的值．【解答】解：(1)由题意得：y =-x +4y =3x．解这个方程组得：x 1=1y 1=3 ，x 2=3y 2=1 ．∵P 在Q的右侧，∴P (3，1)，Q (1，3)．设直线PQ 交x 轴于点C ，如图，则C (4，0)．∴OC =4．过点Q 作QE ⊥OC 于E ，过点P 作PF ⊥OC 于F ，则QE =3，PF =1．∴S △OPQ =S △OQC -S △OPC =12×OC ×QE -12OC ×PF =6-2=4．(2)①∵M (m ，m )，N (n ，n )，∴直线MN 的解析式为：y =x ．②∵以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，∴MA ⊥AB ，NB ⊥AB ．过点P 作PE ⊥MA 于E ，PF ⊥NB 与，过点M 作MG ⊥NB 于G ，如图，则∠NMG =45°．∴MN =2MG ．∵M (m ，m )，N (n ，n )，P (3，1)，∴MA =m ，NB =n ，PE =3-m ，PM =3-m 2+m -1 2，ME =m -1，PF =n -3，NF =n -1．∵点P 既在⊙M 上又在⊙N 上，∴PM =MA ，PN =NB ．∴PM 2=MA 2，PN 2=NB 2．∴(3-m )2+(m -1)2=m 2，(n -3)2+(n -1)2=n 2．整理得：m 2-8m +10=0，n 2-8n +10=0．∴m ，n (0<m <n )是方程x 2-8x +10=0的两个根．∴m +n =8，mn =10．∴(n -m )2=(m +n )2-4mn =24．∴n -m =26．∵MG =AB =n -m ，∴MG =26．∴MN =2MG =43，∴d =43．(3)抛物线y =ax 2+bx +c 满足经过点P 和点Q ，∴a +b +c =39a +3b +c =1．∴b =-1-4a c =3a +4 ．∵S 1=12PQ ×MN =12×22×43=46，S 2=12MA +MB ⋅AB =12m +n ×n -m =12×8×26=86，∴s 1-s 2 d =4643=2．设抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，∴|x 1-x 2|=2．∴x 1-x 2 2=2．∴x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2．∵x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，∴x 1+x 2=-b a ，x 1⋅x 2=c a ．∴-b a 2-4×c a =2．∴-1-4a a 2-4×3a +4a=2．整理得：2a 2-8a +1=0．解得：a =4±14．∴抛物线二次项系数a 的值为：4+14或4-14．6已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠O )经过X 轴上的两点A (x 1，0)、B (x 2，0)和y 轴上的点C (0，-32)，⊙P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若b =3a ，AB =23，(1)求抛物线的解析式；(2)设D 在抛物线上，且C ，D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ，并说明理由；(3)设直线BD 交⊙P 于另一点E ，求经过E 点的⊙P 的切线的解析式．【解答】解：(1)∵轴上的点C (0，-32)，∴c =-32，又∵b =3a ，AB =23，令ax 2+3ax -32=0，|x 1-x 2|=23，解得：a =23，b =233；∴抛物线的解析式是：y =23x 2+233x -32．(4分)(2)D (-3，-32)，直线B D 为：y =33x -12，连接BP ，设⊙P 的半径为R ，R 2=32 2+32-R 2，R =1，P (0，-12)，点P 的坐标满足直线BD 的解析式y =33x -12．∴直线B D 经过圆心P ．(3)过点E 作EF ⊥y 轴于F ，得△OPB ≌△FPE ，E (-32,-1)，设经过E 点⊙P 的切线L 交y 轴于点Q ．则∠P EQ =90°，EF ⊥PQ ，∴P E 2=P F •PQ ，∴PQ =2，Q (0，-2.5)，∴切线L 为：y =-3x -2.5．7(青竹湖)定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．(1)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A (0，-3)为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴的负半轴于点B ，求过点B 的圆A 的切线的解析式；(2)若抛物线y =ax 2(a ≠0)与直线y =kx +b (k ≠0)相切于点(2，2)，求直线的解析式；(3)若函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，且当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：(1)如图1，连接AB ，记过点B 的⊙A 切线交y 轴于点E ，∴AB =5，∠ABE =90°，∵A (0，-3)，∠AOB =90°，∴OA =3，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴B (-4，0)，∵∠OAB =∠BAE ，∠AOB =∠ABE =90°，∴△OAB ∽△BAE ，∴AB AE =OA BA ，∴AE =AB ⋅BA OA =253，∴OE =AE -OA =253-3=163，∴E (0，163)，设直线BE 解析式为：y =kx +163，∴-4k +163=0，解得：k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163，方法二：设直线BE 的解析式为y =k (x +4)，∴E (0，4k )，∴AB =5，AE =4k +3，BE =42+4k 2，由勾股定理可得，AB 2+BE 2=AE 2，∴25+16+16k 2=16k 2+9+24k ，∴k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163；(2)∵抛物线y =ax 2经过点(2，2)，∴4a =2，解得：a =12，∴抛物线解析式：y =12x 2，∵直线y =kx +b 经过点(2，2)，∴2k +b =2，可得：b =2-2k ，∴直线解析式为：y =kx +2-2k ，∵直线与抛物线相切，∴关于x 的方程12x 2=kx +2-2k 有两个相等的实数根，方程整理得：x 2-2kx +4k -4=0，∴△=(-2k )2-4(4k -4)=0，解得：k 1=k 2=2，∴直线解析式为y =2x -2，(3)∵函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，∴关于x 的方程14x 2+(n -k -1)x +m +k -2=-x 有两个相等的实数根，方程整理得：14x 2+(n -k )x +m +k -2=0，∴△=(n -k )2-4×14(m +k -2)=0，整理得：m =(n -k )2-k +2，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x =k ，∵当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，①如图2，当k <-1时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而增大，∴n =-1时，m 取得最小值k ，∴(-1-k )2-k +2=k ，方程无解，②如图3，当-1≤k ≤2时，n =k 时，m 取得最小值k ，∴-k +2=k ，解得：k =1，③如图4，当k >2时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而减小，∴n =2时，m 取得最小值k ，∴(2-k )2-k +2=k ，解得：k 1=3+3，k 2=3-3(舍去)，综上所述，k 的值为1或3+3．8(麓山国际)如图，经过定点A 的直线y =k (x -2)+1(k <0)交抛物线y =-x 2+4x 于B ，C 两点(点C 在点B 的右侧)，D 为抛物线的顶点．(1)直接写出点A 的坐标；(2)如图(1)，若△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，求k 的值；(3)如图(2)，以AC 为直径作⊙E ，若⊙E 与直线y =t 所截的弦长恒为定值，求t 的值．【解答】解：(1)∵A 为直线y =k (x -2)+1上的定点，∴A 的坐标与k 无关，∴x -2=0，∴x =2，此时y =1，∴点A 的坐标为(2，1)；(2)∵y =-x 2+4x =-(x -2)2+4，∴顶点D 的坐标为(2，4)，∵点A 的坐标为(2，1)，∴AD ⊥x 轴．如图(1)，分别过点B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为M ，N ，设B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，∵△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，∴CN =2BM ，∴x 2-2=2(2-x 1)，∴2x 1+x 2=6．联立y =x 2+4x y =kx -2k +1 ，得x 2+(k -4)x -2k +1=0，①解得x 1=4-k -k 2+122，x 2=4-k +k 2+122，∴2×4-k -k 2+122+4-k +k 2+122=6，化简得：k 2+12=-3k ，解得k =-62．另解：接上解，由①得x 1+x 2=4-k ，又由2x 1+x 2=6，得x 1=2+k ．∴(2+k )2+(k -4)(2+k )-2k +1=0，解得k =±62．∵k <0，∴k =-62；(3)如图(2)，设⊙E 与直线y =t 交于点G ，H ，点C 的坐标为(a ，-a 2+4a )．∵E 是AC 的中点，∴将线段AE 沿AC 方向平移与EC 重合，∴x E -x A =x C -x E ，y E -y A =y C -y E ，∴x E =12(x A +x C )，y E =12(y A +y C )．∴E (1+a 2，-a 2+4a +12)．分别过点E ，A 作x 轴，y 轴的平行线交于点F ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：EA 2=1+a 2-2 2+-a 2+4a +12-1 2=a 2-1 2+-a 2+4a +12-1 2，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，∴GH=2PH，EP2=-a2+4a+12-t 2，又∵AE=EH，∴GH2=4PH2=4(EH2-EP2)=4(EA2-EP2)=4[a2-12+-a2+4a+12-12--a2+4a+12-t2]=4[a24-a+1+-a2+4a+12-12-(-a2+4a+1)+1--a2+4a+122+t(-a2+4a+1)-t2]=4[(54-t)a2+(4t-5)a+1+t-t2]．∵GH的长为定值，∴5 4-t=0，且4t-5=0，∴t=54．9(长郡)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5，4)，⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．(1)分别求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为y=14x-52+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；(3)如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点(不与B、F重合)，连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问AP-BPPN是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．【解答】解：(1)如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是(5，4)，∴CM⊥y轴，即C(0，4)，⊙M的半径为5，∴AM=5，DM=4，∴AD=DB=AM2-DM2=52-42=3，∴OA=5-3=2，∴A(2，0)，B(8，0)；(2)证明：将A(2，0)代入y=14x-52+k中，可得k=-94，∴E(5，-94)，∴DE=94，∴ME=DE+MD=94+4=254，则AE2=32+942=22516，MA2+AE2=52+22516=62516，ME2=254 2=62516，∴MA2+AE2=ME2，∴MA⊥AE，又∵MA为半径，∴直线EA与⊙M相切；(3)AP-BPPN为定值，理由如下：连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，∴∠FPN=∠FAB，又∵MF⊥AB，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，∴∠FPN=∠FPA，∵FQ⊥AP，FN⊥PN，∴FQ=FN，又∵FP=FP，∴Rt△FPQ≌Rt△FPN(HL)，∴PQ=PN，又∵AF=BF，FQ=FN，∴Rt△AFQ≌Rt△BFN(HL)，∴AQ=BN，∴AP-BPPN =AQ+PQ-BPPN=BP+PN+PQ-BPPN=2PNPN=2．10(长郡)如图1，抛物线y=14x2-2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．【解答】解：(1)令y=0，则14x2-2x=0，解得：x=0或8．∴A(8，0)．∴OA=8．∵y=14x2-2x=14x-42-4，∴B(4，-4)．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD =4，BD =4，∴OD =BD ，∴∠AOB =∠OBD =45°；(2)①设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，如图，∵B (4，-4)，∴BC ⊥OA ．∵CO =CB =4，∴△CBO 是以OB 为底的等腰三角形．∴点M 与点C 重合时，△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (4，0)；过点A 作AM ⊥x 轴，交⊙A 于点M ，延长MA 交⊙A 于点E ，连接BE ，过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，如图，则M (8，4)，E (8，-4)，F (0，4)．∴MF =ME =8．∵B (4，-4)，∴BE ∥x 轴．∴BE ⊥ME ，BE =4．∴∠BEM =∠MFO =90°，BE =OF =4．在△MOF 和△MBE 中，MF =ME∠MFO =∠BEM =90°OF =BE，∴△MOF ≌△MBE (SAS )．∴MO =MB ．∴△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (8，4)；综上，当△OBM 是以OB 为底的等腰三角形时，点M 的坐标为(4，0)或(8，4)；②设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，CN ，AM ，如图，AM=2．∵A(8，0)，∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN=12当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC-CN≤BN≤BC+CN．∵BC=4，∴4-2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．。
九年级数学 二次函数 第十三讲 二次函数与圆命题点分析和解题技巧传播
2
2
∵xB＜xC，∴EB=xB= (4 k) k2 8k ， 2
FC=xC= (4 k) k2 8k ， 2
y
AB E
∴4• (4 k)
k2 8k (4 k) =
k2 8k ，
2
2
解得 k=9（交点不在 y 轴右边，不符题意，
舍去）或 k=﹣1．∴k=﹣1．
两点，点 P 在抛物线上运动，以 P 为圆心的⊙P 经过
定点 A(0，2)，
（1）求 a，b，c 的值；
（2）求证：点 P 在运动过程中，⊙P 始终与 x 轴相交；
（3）设⊙P 与 x 轴相交于 M (x1，0)，
N (x2，0)（x1<x2）两点，
y
当△AMN 为等腰三角形
时【，点求评圆心】P本的纵题坐考标查． 了二次函A 数的综合，
当 AM=AN 时，解得 a=0，
当 AM=MN 时， (2 a)2 4 =4，
y
解得： a 2 2 3 ，则 1 a2 4 2 3 ； 4
A
当 AN=MN 时， (a+2)2 4 =4， 解得： a -2 2 3 ，则 1 a2 4 2 3 ；
4 综上所述，P 的纵坐标为 0 或 4 2 3 或 4 2 3 ；
O F 图1
Cx
【点评】本题考查了函数图象交点的
y
性程质及、圆相的似基三本A 角知B形识性．质题、目一特元殊二，次貌方似
思路不难，但若思路不对，计算异常
复杂，题目所O 折射出来C的思x想，考生 应好好理解掌握．
（3）∵∠BOC=90°，∴∠EOB+∠FOC=90°， ∵∠EOB+∠EBO=90°，∴∠EBO=∠FOC， ∵∠BEO=∠OFC=90°，∴△EBO∽△FOC，
二次函数压轴题解题思路[含答案解析]
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二次函数压轴题解题思路一．基础知识1会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。
图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。
一些方法：如相似、三角函数、解方程。
一些转换：如轴对称、平移、旋转二．典型例题（一）面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M 到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．（二）周长类3．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P 点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c 即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．（三）平行四边形类4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.专题：压轴题；存在型．分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．5．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．（四）等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．（五）综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．三．对应练习13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A 点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．15．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；。
专题30 圆与二次函数结合(解析版)
专题30 圆与二次函数结合1．一动点P 在二次函数2111424y x x =-+的图像上自由滑动，若以点P 为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点P 的坐标为______．【答案】(1,1)-或(3,1)或(1,0)【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则可得点P 的坐标，综上即可求解． 【详解】解：如图所示：则可分两种情况：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，令21111424x x -+=，解得11x =-，23x =，此时点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)，②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则此时点P 的坐标为：(1,1)-或(1,0)， 综上所述：点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)， 故答案为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．2．如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为 ____________．【答案】y=x 2-4x +3【分析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式． 【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ，∵C （2，3）， ∴CH=3， ∵半径为2， ∴AH=BH=()2223-＝1，∵A （1，0），B （3，0），∴二次函数的解析式为y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x +3， 故答案为：y=x 2-4x +3．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用垂径定理求出点A 和点B 的坐标． 3．如图，抛物线2143115y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．【答案】26【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可. 【详解】令214311515y x x =--中y=0，得x 1=-3，x 2=53， ∴直线AC 的解析式为313y x =--， 设P （x ，313x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1 ∴PQ 2=PB 2-BQ 2， =(x-53)2+（313x ）2-1， =242837533x x ， ∵43a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，∴PQ 的最小值是26， 故答案为：26，【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.二、解答题4．如图，在平面直角坐标系中，以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点，且6AB =．(1)求经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为F ，证明直线FA 与D 相切；(3)在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使CBN 面积最大，最大值是多少，并求出N 点坐标． 【答案】(1)215442y x x =-+ (2)证明见解析 (3)存在．当4n =时，BCNS 最大，最大值为16，此时()4,2N -．【分析】（1）连接CD ，由y 轴是D 的切线，可得DC y ⊥轴，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据垂径定理可得3AE BE ==，连接AD ，在Rt ADE △中可求出AD ，即圆的半径，然后利用矩形的判定证明四边形OCDE 是矩形，得到4CO =，2OA =，8OB =，从而得到C 、A 、B 三点的坐标，再利用待定系数法即可确定经过点C 、A 、B 三点的抛物线的解析式；（2）因为点D 为圆心，点A 在圆周上，5r AD ==，利用勾股定理的逆定理证明90DAF ∠=︒即可； （3）设存在点N ，过点N 作NPy 轴，交BC 于点P ，求出直线BC 的解析式，设点N 的坐标215,442n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则可得点P 的坐标为1,42n n ⎛⎫-+⎪⎝⎭，从而根据BCN PNC PNB S S S =+△△△，表示出BCN △的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N 的坐标． (1)解：如图，连接CD ，AD ，过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∴90DEO ∠=︒，∵以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，且6AB =，90COB ∠=︒，∴DC y ⊥轴，1AE BE AB 32===，4DE =，∴90DCO ∠=︒，2222435DA DE AE A =+=+=， ∴四边形OCDE 是矩形， ∴4CO DE ==，5==OE CD ，∴2OA OE AE =-=，8OB OA AB =+=， ∴()0,4C ，()2,0A ，()8,0B ，设经过点C 、A 、B 三点的抛物线解析式为：2y ax bx c =++， 将点C 、A 、B 三点的坐标代入可得：42064804a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：14524a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式为：215442y x x =-+．(2)证明：∵点D 为圆心，点A 在圆周上， 由（1）知，5r DA ==， 抛物线解析式为：215442y x x =-+，且顶点F 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又∵()5,4D ，与D 相切．N ，使CBN 面积最大，N 作NP y 轴，交()8,0B ，的解析式为：y kx =NPy 轴，交的坐标为142n =-+BCN PNC S =△当4n =时，BCNS最大，最大值为16，此时()4,2N -．【点睛】本题考查了二次函数及圆的综合应用，涉及垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定与性质，勾股定理及勾股定理逆定理，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识．由BCN PNC PNB S S S =+△△△得到BCNS与n 的函数关系是解题的关键．5．定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P （2，2），以P 5P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图像的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值； (3)已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图像交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连接PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值． 【答案】(1)⊙P 是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，理由见解析 (2)△POA 周长的最小值为6 (3)43312a +=【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，5为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+P A+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得P A=PC=2m，CE=3m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝5，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD ，P A ，设二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 与CD 交于点E ，与x 轴交于点F ，由对称性知，对称轴l 经过点P ，且l ⊥CD ， ∵AB ＝161641a aa a--=， ∴AF ＝BF ＝21aa-， ∵∠CPD ＝120°，PC ＝PD ，C （0，4）， ∴∠PCD ＝∠PDC ＝30°，设PE ＝m ，则P A ＝PC ＝2m ，CE ＝3m ，PF ＝4﹣m ， ∵二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 为2x a=， ∴23m a=，即23a m =，在Rt △P AF 中，P A 2＝PF 2+AF 2， ∴222214(4)()a m m a-=-+， 即22224(1)34(4)43mm m m -=-+，化简，得(823)16m +=，解得843m =+， ∴2433123a m+==．【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．6．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）经过A （3，0）、B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积是△BDA 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求面积的最小值及E 点坐标．【答案】（1）215322y x x =-+；（2）存在，点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）；（3）面积的最小值为94，E 点坐标（32，32） 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式求出点D 的坐标，取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，得到直线EP 为y ＝x ﹣1，联立方程组求解即可；（3）作BD ⊥OA 于D ，得到OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1，证明EF 是△AEO 的外接圆的直径，得到△EOF 是等腰直角三角形，当OE 最小时，△EOF 的面积最小，计算即可； 【详解】（1）将点A （3，0），B （4，1）代入可得： 933014431a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得：1252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故函数解析式为215322y x x =-+； （2）∵抛物线与x 轴的交点的纵坐标为0， ∴2153022x x -+=，解得：x 1＝3，x 2＝2， ∴点D 的坐标为（2，0），取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，∵ED ＝AD ＝1，∴此时△P AB 的面积是△DAB 的面积的两倍， ∵直线AB 解析式为y ＝x ﹣3， ∴直线EP 为y ＝x ﹣1，由2115322y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得71725172x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或71725172x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）． （3）如图2中，作BD ⊥OA 于D ．∵A （3，0），C （0，3），B （4，1）， ∴OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1， ∴∠OAC ＝∠BAD ＝45°， ∵∠OAF ＝∠BAD ＝45°， ∴∠EAF ＝90°，∴EF 是△AEO 的外接圆的直径， ∴∠EOF ＝90°，∴∠EFO ＝∠EAO ＝45°， ∴△EOF 是等腰直角三角形， ∴当OE 最小时，△EOF 的面积最小， ∵OE ⊥AC 时，OE 最小，OC ＝OA ，∴CE ＝AE ，OE ＝12AC ＝322， ∴E （32，32），S △EOF ＝1323292224⨯⨯=．∴当△OEF 的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E 点坐标（32，32）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键． 7．如图，在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A (－3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D ，使得△ABD 的面积等于△ABC 的面积的53倍？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点，点F 是AE 的中点，请直接写出线段OF 的最大值和最小值．【答案】（1）224x 233y x =+-；（2）存在，理由见解析；D (－4, 103)或（2，103）；（3）最大值13122+；最小值13122- 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入函数解析式计算即可得到；（2）点D 应在x 轴的上方或下方，在下方时通过计算得∴△ABD 的面积是△ABC 面积的43倍，判断点D 应在x 轴的上方，设设D (m ,n )，根据面积关系求出m 、n 的值即可得到点D 的坐标；（3）设E(x,y)，由点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E 的坐标为E 2(,12)x x,再根据点F 是AE 中点表示出点F 的坐标2312(,)22x x ，再设设F(m,n),再利用m 、n 、与x 的关系得到n=21(23)22m ，通过计算整理得出22231(1)()()22n m ，由此得出F 点的轨）时，02C （，-）4533<，所以设D (m ,n ), △∴n ＝103∴223m +y=212x ,2,12)x x ,是AE 的中点, 的坐标2312(,)22x x ,,n=2122x ,n=21(23)22m ,∴2n+2=21(23)m ,∴(2n+2)2=1-(2m+3)2, ∴4(n+1)2+4(32m)2=1, ∴22231(1)()()22n m, ∴F 点的轨迹是以3(,1)2--为圆心，以12为半径的圆，∴最大值：2231131(0)12222， 最小值：2231131(0)12222最大值13122+；最小值13122- 【点睛】此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的坐标，注意应分x 轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.8．如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线y ＝16x 2+bx+c 过点A 和B ，与y 轴交于点C ．(1)求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A 、B 、C ，开口方向、顶点和对称轴相对准确）(2)点Q （8，m ）在抛物线y ＝16x 2+bx+c 上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB 的最小值；(3)CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【答案】（1）C （0，2），图象见解析；（2）PQ+PB 的最小值210；（3）OE 的解析式为y=12x -． 【详解】试题分析：（1）根据题意可知点A ，B 的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C 的坐标；（2）根据图象可得PQ+PB 的最小值即是AQ 的长，所以抛物线对称轴l 是x=4．所以Q （8，m ）抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6，求的AQ 的值即可；（3）此题首先要证得OE ∥CM ，利用待定系数法求得CM 的解析式，即可求得OE 的解析式． 试题解析：（1）由已知，得A （2，0），B （6，0），∵抛物线y=16x 2+bx+c 过点A 和B ，则2212206{16606b c b c ⨯++⨯++＝＝ 解得4{32b c -＝＝ 则抛物线的解析式为y=16x 2-43x+2．故C （0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确） （2）如图①，抛物线对称轴l 是x=4． ∵Q （8，m ）在抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6， ∴AQ=22=210AK QK +．又∵B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴PQ+PB 的最小值=AQ=210． （3）如图②，连接EM 和CM ．由已知，得EM=OC=2．∵CE是⊙M的切线，∴∠DEM=90°，则∠DEM=∠DOC．又∵∠ODC=∠EDM．故△DEM≌△DOC．∴OD=DE，CD=MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．则OE∥CM．设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴40 {2k bb+＝＝解得1 {22 kb-＝＝直线CM的解析式为y＝−12x+2．又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，∴OE的解析式为y=−12x或y=0.5x．9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为．（直接写出答案）【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3；（2）当x=32时，CD 最大=94；（3）x=±12或x=±2；（4）1．【详解】分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）先确定出直线AB 解析式，进而得出点D ，C 的坐标，即可得出CD 的函数关系式，即可得出结论；（3）先确定出CD=|-x2+3x|，DP=|-x+3|，再分两种情况解绝对值方程即可；（4）利用四个点在同一个圆上，得出过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上，建立方程即可． 本题解析：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴正半轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，3），∴﹣9+3b+c=0，c=3，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）∵A （3，0），B （0，3），∴直线AB 解析式为y=﹣x+3， ∵P （x ，0）．∴D （x ，﹣x+3），C （x ，﹣x 2+2x+3）， ∵0＜x ＜3，∴CD=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x=﹣（x ﹣32）2+94，当x=32时，CD 最大=94； （3）由（2）知，CD=|﹣x 2+3x|，DP=|﹣x+3|①当S △PDB =2S △CDB 时，∴PD=2CD ，即：2|﹣x 2+3x|=|﹣x+3|，∴x=±12或x=3（舍），②当2S △PDB =S △CDB 时，∴2PD=CD ，即：|﹣x 2+3x|=2|﹣x+3|，∴x=±2或x=3（舍）， 即：综上所述，x=±12或x=±2； （4）直线AB 解析式为y=﹣x+3，∴线段AB 的垂直平分线l 的解析式为y=x ， ∵过点B ，C ，P 的外接圆恰好经过点A ，∴过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上， ∴2232x x x -++=，∴x=±3，故答案为3± 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线l ：4,x =且与x 轴交于点(2,0),A 与y 轴交于点C (0,2).（1）求抛物线的解析式；（2）试探究在此抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP CP +的值最小？若存在，求AP CP +的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB 为直径作⊙M ,过点C 作直线CE 与⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式． 【答案】解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：2y a x 4a 0k =-+≠（）（）∵抛物线经过(2,0)A 、C (0,2).∴24)204)2(0{(2a k a k --+=∴+= 解得：a=16，23k =-.∴212(4)63y x =--，即：214263y x x =-+. （2）存在.令0y =，得28120,x x -+=即(2)(6)0x x --=，122, 6.x x ∴== ∴抛物线与x 轴的另－交点(6,0)B .如本题图2，连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点.因为A B 、关于l 对称，则AP BP =,AP CP CB ∴+=,即AP CP +的最小值为BC . ∵6,2OB OC ==,226240210.BC ∴=+==AP CP ∴+的最小值为210；（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线,∴90ME CE CEM ，⊥∠=︒,由题意，得2.OC ME ODC MDE ==∠=∠， ∵在COD MED ∆∆与中,{COD MED ODC EDM OC EM∠=∠∠=∠=， ∴AAS COD MED ∆∆≌（）， OD DE DC DM ∴==，,设OD x =，则4CD DM OM OD x ==-=-, 则在Rt △COD 中，又222OD OC CD +=，∴2224(4)x x +=-,解得32x =，∴D （32，0） 设直线CE 的解析式为y mx b =+，∵直线CE 过C （0，2）、D （32，0）两点， ∴3{22m b b +==，解方程组得：4{32m b =-=. ∴直线CE 的解析式为y 423x =-+.【详解】试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为2y a x 4a 0k =-+≠（）（），将(2,0)A 、C (0,2)代入解析式，即可求出a ，k 的值，得出抛物线的解析式，令0y =，即可求出抛物线与x 轴另－交点(6,0)B ；（2）连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点. 则AP CP +的最小值为BC ，在Rt △OBC 中，根据勾股定理即可求出BC 的值；（3）连接ME ，根据已知条件可得COD MED ∆∆≌，根据全等三角形的对应边相等可得OD DE DC DM ==，，在Rt △COD 中，根据勾股定理求出OD ，即可得出D 点坐标，设直线CE 的解析式为y mx b =+，代入C ，D 两点坐标，即可解得直线CE 的解析式. 考点：二次函数的综合题.点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，也考查了二次函数与圆的综合，本题综合性强，有一定难度.11．如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3-，0），与y 轴的正半轴交于点C ．(1)求二次函数23y ax bx =++的表达式；(2)点D 是线段OB 上一动点，过点D 作y 轴的平行线，与BC 交于点E ，与抛物线交于点F ，连接CF ，探究是否存在点D 使得△CEF 为直角三角形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．y x．3∥OB关于抛物线对称轴直线x=）②当∠ECF =90°时，作FG ⊥y 轴于G ， 由OB =OC ，∠BOC =90°，可知∠BCO =45° ∵CF ⊥CB ， ∴∠FCG =45°，∴△CFG 是等腰直角三角形， 设CG =a ，则点F 坐标为(-a ,a +3)，代入223y x x =--+得：23()2()3a a a +=----+ 解得11a =，20a =（舍去） 点F （-1，4），此时点D 坐标为（-1，0）．综上所述：存在这样的点D ，点D 坐标为（-2，0）或（-1，0） （3）解：①当点P 在BC 上方时，过点P 作PG ⊥BC 于点G ，作PM ⊥x 轴，交BC 于点N ，过点P 作直线PH ∥BC ．则PNG 是等腰直角三角形，∵PG =2， ∴PN =2， ∵PM ⊥x 轴，∴直线PH 由直线BC 向上平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为5y x =+． 联立直线PH 和抛物线的解析式，得：2235y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩， 解得：14x y =-⎧⎨=⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．∴点P 坐标为(-1，4)或(-2，3) ．②当点P 在BC 下方时，同理可得直线PH 由直线BC 向下平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为1y x =+．2231y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩， 解得：31721172x y ⎧-+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩或31721172x y ⎧--=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩．∴点P 坐标为(31711722，-+-+)或(31711722----，)． 综上所述：点P 坐标为(-1，4)或(-2，3)或(31711722，-+-+)或(31711722----，)． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中．12．已知二次函数的图象交x 轴于点A （3，0），B （－1，0），交y 轴于点C （0，－3），P 这抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式：(2)当△P AC 是以AC 为直角边的直角三角形时，求点P 的坐标：(3)抛物线上是否存在点P ，使得以点P 为圆心，2为半径的圆既与x 轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P 的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程） 【答案】(1)223y x x =--(2)点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分当∠P AC =90°时，当∠PCA =90°时，两种情况讨论求解即可；（3）由圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切，可得点P 的纵坐标为-2，由此求出点P 的坐标即可；过点P 作PE ⊥MN 于E ，由垂径定理可得MN =2ME ，利用勾股定理求出ME 即可得到答案．(1)解：设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，把点C （0，-3）代入得，()()01033a +-=-，∴1a =，∴抛物线解析式为()()21323y x x x x =+-=--；(2)解：如图所示，当∠P AC =90°时，设P A 与y 轴交点为D ， ∵点A 坐标为（3，0），点C 坐标为（0，-3）， ∴OA =OC =3， ∵∠AOC =90°， ∴∠CAO =45°， ∴∠DAO =45°， ∴OA =OD =3，∴点D 的坐标为（0，3）， 设直线AD 的解析式为y kx b =+，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AD 的解析式为3y x =-+，联立2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得25x y =-⎧⎨=⎩或30x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴点P 的坐标为（-2，5）；当∠PCA =90°，设直线PC 与x 轴的交点为E ， 同理可证∠ECO =45°，即OE =OC ， ∴点E 的坐标为（-3，0），同理可以求出直线PC 的解析式为3y x =--，联立2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得14x y =⎧⎨=-⎩或03x y =⎧⎨=-⎩（舍去），∴点P 的坐标为（1，-4），综上所述，点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)解：∵抛物线解析式为()222314y x x x =--=--， ∴抛物线对称轴为直线1x =，∴点A 和点B 到抛物线的对称轴的距离都为2，∵圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切， ∴点P 的纵坐标为-2， 当2y =-时，2232x x --=-， 解得121212x x =-=+，，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，， 过点P 作PE ⊥ME 交抛物线对称轴于E ，∴1212PE =+-=或()112=2--，2MN ME =， ∴222ME MP PE =-=， ∴22MN =，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，圆与函数综合，待定系数法求函数解析式等等，正确理解题意，利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键．13．如图，二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA=OC(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O 为圆心的圆与直线AC 相切于点D ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P 使得以P 、A 、D 、O 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2144y x =-+(2)点D 的坐标为()2,2-(3)存在，点1P 的坐标为()8,12-，点2P 的坐标为()225,225----【分析】（1）由题意可知C 坐标，根据题意得到三角形AOC 为等腰直角三角形，确定出A 坐标，代入二次函数解析式求出a 的值，即可确定出解析式；（2）由题意连接OD ，作DE ∥y 轴，交x 轴于点E ，DF ∥x 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，由圆O 与直线AC 相切于点D ，得到OD 垂直于AC ，由OA =OC ，利用三线合一得到D 为AC 中点，进而求出DE 与DF 的长，确定出D 坐标即可；（3）根据题意分两种情况考虑：经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y =-x -4，与抛物线解析式联立求出P 坐标；经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y =x ，与抛物线解析式联立求出P 坐标即可． (1)解：∵二次函数24y ax =+的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为()0,4，∵二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A ，tan ∠OAC ＝1， ∴∠CAO ＝45°， ∴OA ＝OC ＝4， ∴点A 的坐标为()4,0-， ∴()2044a =-+，∴14a =-，∴二次函数的解析式为2144y x =-+；(2)连接OD ，作DE 轴，交x 轴于点E ，DF 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，∵⊙O 与直线AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ， ∵OA ＝OC ＝4， ∴点D 是AC 的中点，∴122DE OC ==，122DF OA ==，∴点D 的坐标为()2,2-； (3)直线OD 的解析式为y ＝－x ，如图2所示，则经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y ＝－x －4，解方程组24144y x y x =--⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得24320x x --=，即()()840x x -+=， ∴18x =，24x =-（舍去）， ∴y ＝－12，∴点1P 的坐标为()8,12-；直线AC 的解析式为y ＝x ＋4， 则经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y ＝x ，解方程组2144y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 消去y ，得24160x x +-=，即225x =-+， ∴1225x =--，2225x =-+（舍去）， ∴225y =--，∴点2P 的坐标为()225,225----．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．14．如图，已知二次函数213442y x x =-++的图像与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ；(1)求顶点D 的坐标； (2)求直线BC 的解析式；(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE ，CE ，求△BCE 面积的最大值； (4)以AB 为直径，M 为圆心作圆M ，试判断直线CD 与圆M 的位置关系，并说明理由 【答案】(1)25(3,)4(2)142y x =-+(3)16(4)直线与圆M 相交，理由见解析【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；（2）先解得(2,0),(8,0)A B -，(0,4)C ，再利用待定系数法，代入点B 、C 的坐标即可解答； （3）根据中点公式解得点M 的坐标，再利用两点间的距离公式解得CM ，MD 的长，比较MD <CM ，得到直线与圆M 有两个交点，据此解答． (1)解：222213114612264=()4()445949(3)44y x x x x x x x --=-++-+=-+--+=+-即顶点D 的坐标25(3,)4； (2)由（1）知(0,4)C 令0y =得201(3)254=4x -+- 解得128,2x x ==-(2,0),(8,0)A B ∴-设直线BC 的解析式：y kx b =+，代入点B 、C480b k b =⎧⎨+=⎩124k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ 142y x ∴=-+ (3)如图，设21(,)3442E x x x ++-（0<x <8），过点E 作EH x ⊥于H ， BCE BOC COBE S S S=-四边形 BHE BOC COHE SS S =+-梯形 1()1222EH CO OH BH EH BO CO +⋅=⋅+-⋅223432421(4)1114(8)()842422x x x x x x -+⋅=-⋅-+-++⨯+⨯+ 2=8x x -+2(4)16=x --+即当x =4时，△BCE 面积的最大值为16；(4)直线与圆M 的位置是相交，理由如下，如图，M 为BC 的中点，0804(,)22M ++∴ 即(4,2)M222225305(04)(42)25,(34)(2)44CM MD ∴=-+-==-+-= 32030532025,444=< MD MC ∴<∴直线CD 与圆M 有两个交点，即直线与圆M 的位置是相交．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ． （1）二次函数的表达式为 ；（2）点M 在直线BC 上，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）若点E 在二次函数的图象上，以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65，请直接写出点E 的坐标． 【答案】（1）239344y x x =-++；（2）点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）；（3）点E 的坐标为3626,4⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3626,4⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据A 、B 两点的坐标，应用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）首先通过BC 两点坐标，求出直线BC 的解析式，再根据三角形△ABM 是等腰三角形，分3种情况考虑，得到关于M 点横坐标x 的方程，解之即可得到x 的值，进而得到M 点坐标；（3）利用面积法求出O 到直线BC 的距离，结合EF 的长度可知P 1为线段OC 中点，可得P 1的坐标，进而可得P 2坐标，结合直线BC 的表达式，可求出直线EP 的表达式，联立直线EP 和抛物线的函数表达式，组成方程组，即可解得点E 的坐标．【详解】解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋3得：3016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴a ＝34-，b ＝94， ∴239344y x x =-++， 故二次函数表达式为：239344y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），设直线BC 的表达式为：y ＝kx ＋c （k ≠0），将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx ＋c 得：4303k c +=⎧⎨=⎩， ∴343k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为：334y x =-+，使得△ABM 为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M 1作M 1D ⊥AB ，∵A （﹣1，0），B （4，0），∴AD ＝12AB ＝52， ∴OD ＝32， 设M 1（x ，﹣34x ＋3）， ∴M 1（32，158）， ∵△ABM 为等腰三角形，∴AB ＝BM 2＝5或AB ＝BM 3＝5，设M 2（x 1，﹣34x 1＋3）， ∴BM 2＝()22113434x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝5， 解得x 1＝8或0，当x 1＝0时，y ＝3，当x 1＝8时，y ＝﹣3，∴点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）； （3）过点E 作EP ∥BC ，交y 轴于点P ，这样的点有两个，分别记为P 1，P 2，如图所示：∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝22OB OC +＝5，∴点O 到直线BC 的距离为：125OB OC BC ⋅=， ∵以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65， ∴点E 到直线BC 的距离是65， ∴点P 1为线段OC 的中点，∴CP 1＝CP 2，∴P 2（0，92）， ∵直线BC 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋3， ∴直线EP 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋32或y ＝﹣34x ＋92， 联立直线EP 和抛物线的表达式方程组，得：2334239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩或2394239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩， 得1126364x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或2226364x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或33223234x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或44223234x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， ∴点E 的坐标为36264⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，或36264⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合应用．解题的关键要熟练掌握代入法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、两点间的距离公式及勾股定理等．。
-圆与二次函数综合题精练(带答案).docx
1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y 轴交于点c,且与x 轴的正半轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)。
若A 、B 两点的横坐标为整数。
(1)确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；(2)若点D 的坐标是(0,6),点P (t,0)是线段 AB 上的一个动点，它可与点A 重合，但不与点B 重合。
设四边形PBCD 的面积为S,求S 与t 的 函数关系式;(3)若点P 与点A 重合，得到四边形ABCD,以四边形ABCD 的一边为边，画一个三角形，使 它的面积等于四边形ABCD 的面积，并注明三角形高线的长。
再利用“等底等高的三角形面积相 等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD 的面积(画示意图，不写计算和证明 过程)。
2、( 1)已知：关于x 、y 的方程组 实数解，求m 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若抛物线y=-(m-l)x2+(m-5)x+6与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点 C,且AABC 的面积等于12,确定此抛物线及直线y=(m+l)x-2的解析式；(3)你能将(2)中所得的抛物线平移，使其顶点在(2)中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。
3、已知：二次函数y=x2-2(m-l)x+m2-2m-3,其中m 为实数。
(1)求证：不论m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点；(2)设这个二次函数的 图像与x 轴交于点A(xl,0)> B(x2,0),且xl 、x2的倒数和为Z ，求这个二次函数的解析式。
4、已知二次函数yl=x2-2x-3.3(1、芦合函数yl 的图像，确定当x 取什么值时，yl>0,yl=0,yl<0; (2) 根据(1)的结论，确定函数y2=》(lyll ・yl)关于x 的解析式； (3) 若一次函数y=kx+b(k^ 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k 与b 应 满足的条件。
010——二次函数——压轴(与圆有关篇).docx
二次函数(与圆有关)如图，在平面直角坐标系屮，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为2a, 2b,点A, D, G 在y 轴上，坐 标原点0为AD 的中点，抛物线y=mx 2ac, F 两点，连接FD 并延长交抛物线于点M.(3)判断以FM 为直径的圆与AB 所在直线的位置关系，并说明理由.a如图，二次函数y二ax'+bx+c的图象交x轴于A(・l, 0), B (2, 0),交y轴于C (0, -2),过A, C画直线.(1)求二次函数的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，且PA二PC,求OP的长；(3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H.①若M在y轴右狈IJ,且厶CHMs/XAOC (点C与点A对应)，求点M的坐标；(备用图)如图，抛物线y二■一x2+mx+n的图象经过点A (2, 3),对称轴为直线x=l, —次函数y二kx+b的图象经过 4 点A,交x轴于点P,交抛物线于另一点B,点A、B位于点P的同侧.(1)求抛物线的解析式；(2)若PA： PB=3： 1,求一次函数的解析式；(3)在(2)的条件下，当k>0时，抛物线的对称轴上是否存在点C,使得OC同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由.(1) 求该二次函数的关系式；(2) 过y 轴上的一点M (0, m)作y 轴的垂线，若该垂线与AABC 的外接圆有公共点，求in 的取值范围；(3) 在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
1 7 如图，已知抛物线m： y二ax? - 6ax+c (a>0)的顶点A在x轴上，并过点B (0, 1),直线n： y二-2x+2与x 轴交于点D,与抛物线m的对称轴1交于点F,过B点的直线BE与直线n相交于点E (・7, 7).(1)求抛物线m的解析式；(2)P是1上的一个动点，若以B, E, P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；(3)抛物线m上是否存在一动点Q,使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D?若存在，求点Q的坐标; 若不存在，请说明理由.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线/与抛物线y=n^nx相交于A (1, 3 ), 〃(4, 0) 两点.(1)求出抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点〃，使得△/!少是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点〃的坐标; 若不存在，说明理由；(3)点P是线段川〃上一动点，(点戶不与点彳、g重合)，过点P作PM// OA,交第一象限内的抛物线于点MN 臥过点〃作MCLx轴于点Q,交AB于点N,若'BCN、側的面积S/^o、5\恥满足二2弘妙，求出——NC24. (2015荆州12分)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，UABCD的边BC在兀轴上，D点在y 轴上，C 点坐标为(2, 0), BC=6, ZBCD=60。
二次函数背景下的与圆有关的问题(解析版)
备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。
而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。
以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。
解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。
【典例示范】类型一 圆的基本性质应用例1：如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m 的图象经过点P （4，5），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，且S △P AB ＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q 使得△P AQ 和△PBQ 的面积相等？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过A 、P 、C 三点的圆与抛物线交于另一点D ，求出D 点坐标及四边形P ACD 的周长．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）． 【思路引导】（1）因为抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m ，函数的对称轴为：x ＝1，S △P AB ＝10＝12×AB ×y P ＝12AB ×5，解得AB=4，即可求解；（2）分A 、B 在点Q （Q′）的同侧；点A 、B 在点Q 的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P 作PO′⊥x 轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A 、P 、C 三点的圆，即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2﹣2ax+m，函数的对称轴为：x＝1，S△P AB＝10＝12×AB×y P＝12AB×5，解得：AB＝4，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点P的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）①当A、B在点Q（Q′）的同侧时，如图1，△P AQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称，故点Q′（﹣2，5）；②当A、B在点Q的两侧时，如图1，设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，△P AQ和△PBQ的面积相等，则AM＝BN，而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°，∴△AME≌△BNE（AAS），∴AE＝BE，即点E是AB的中点，则点E（1，0），将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PQ的表达式为：y＝53x﹣53…②，联立①②并解得：x＝﹣13或4（舍去4），故点Q（﹣13，﹣209），综上，点Q的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）过点P作PO′⊥x轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A、P、C三点的圆，设点D（m，m2﹣2m﹣3），点O′（4，0），则DO′＝5，即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25，化简得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0，解得：m＝0或﹣1或1或4（舍去0，﹣1，4），故：m＝1，故点D（1，﹣4）；四边形P ACD的周长＝P A+AC+CD+PD＝【方法总结】本题考查了二次函数与三角形面积、三点共圆、四边形的周长、长度公式，综合性较强，灵活运用二次函数的知识是解题的关键.针对训练1．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若k的值；（2）若OQ长的最大值为32，求k的值；（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．【答案】（1）2；（2）3225；（3）a的值为-3或2或-4或1．【解析】（1）设A(m，n)，∵∴m2+n2=5，∵一次函数y=2x的图象经过A点，∴n=2m，∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，∵A在第一象限，∴m=1，∴A(1，2)，∵点A在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=1×2=2；（2）如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=12 BP，∵OQ长的最大值为32，∴BP长的最大值为32×2=3，如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=(t+2)2+(-2t)2，t=0(舍)或-45，∴B(-45，-85)，∵点B在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=-45×(-85)=3225；（3）∵抛物线经过点C(-2，0)，∴4a-2b+c=0，又∵a+b+c=0，∴b=a，c=-2a，∴y=ax2+ax-2a=a(x+12)2-94a，∵-12＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-12，当x=a时，取得最大值4a，则a•a2+a•a-2a=4a，解得a=-3或2，当x=a+1时，取得最大值4a，则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，解得a=-4或1，综上所述所求a的值为-3或2或-4或1．2．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝6的图象上的一对关联点的坐标：；x（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c 的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3√2．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴点（2，3），（3，2）是反比例函数y＝6的图象上的一对关联点．x故答案为：（2，3），（3，2）．（2）∵抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，＝1，∴﹣b2解得：b＝﹣2．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．由关联点定义，可知：点A，B关于直线y＝x对称．又∵直线AB与x轴交于点D（1，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x ＋1．联立直线AB 及抛物线解析式成方程组，得：{y ＝﹣x ＋1y ＝x 2﹣2x ﹣1， 解得：{x 1=−1y 1=2 ，{x 2=−1y 2=2， ∴A ，B 两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由关联点定义，可知：点M ，N 关于直线y ＝x 对称，∴⊙T 的圆心在直线y ＝x 上．∵⊙T 的半径为3，∴M 1M 2＝√22×2×3＝3√2，∴m 的取值范围为1＜m≤1＋3√2． .3．已知：直线y=-x -4分别交x 、y 轴于A 、C 两点，点B 为线段AC 的中点，抛物线y=ax 2+bx 经过A 、B 两点，（1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以OD 为半径作⊙D ，连结AD 、CD ，问在抛物线上是否存在点P ，使S △ACP =2S △ACD ？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E 为⊙D 上一动点(不与A 、O 重合)，连结AE 、OE ，问在x 轴上是否存在点Q ，使∠ACQ ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+2x；（2）P坐标为(-3)或(-3+，7)；（3）Q坐标为8，0)、(--8，0)、(4，0)．【解析】解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，∴A(-4，0)，C(0，-4)，∵点B为AC中点，∴B(-2，-2)，∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，∴1640 422a ba b-=⎧⎨-=-⎩，解得：122ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=12x2+2x．（2）在抛物线上存在点P使S△ACP=2S△ACD．如图1，连接AD并延长交y轴于点F，∵y=12x2+2x=12(x-2)2-2，∴点B为抛物线的顶点，∵点D为点B关于x轴的对称点，∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，∴DA=DO，∠DAO=∠DOA=45°，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，∴S △ACD =12AC•AD ， ∵∠AOF=90°，∴AF 为⊙D 直径，即点F 在⊙D 上，∴AF=2AD ，OF=OA=4即F(0，4)，∵S △ACP =2S △ACD =2•12AC•AD=12AC•2AD=12AC•AF ， ∴点P 在过点F 且平行于直线y=-x -4的直线上，∴直线PF 解析式为y=-x+4， ∵24122y x y x x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1137x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩；2237x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P 坐标为(-3)或(-7；（3）在x 轴上存在点Q 使∠ACQ ：∠AEO=2：3． ∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ADO=90°，∵点E 在⊙D 上且不与A 、O 重合，∠ACQ ：∠AEO=2：3． ①如图2，当点E 在优弧AO 上时，∠AEO=12∠ADO=45°， ∴∠ACQ=23∠AEO=30°，过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，．∴∠GAQ=∠OAC=45°，∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，t．i)若点Q在线段AO上时，如图2：则，解得：-，∴(4=，∴x Q=-8；ii)若点Q在线段OA延长上时，如图3：则AC=CG-t-t=4，解得：t=，∴(4=，∴x Q=-4--8，②当点E在劣弧AO上时，∠AEO=12(360°-∠ADO)=135°，∴∠ACQ=23∠AEO=90°．∵∠CAO=45°，△ACO是等腰直角三角形，∴Q点与A点对称，A (-4，0)∴x Q=4．综上所述：满足条件的点Q有三个，坐标分别为8，0)、(--8，0)、(4，0)4．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x=−m的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P2的值．的半径记为r，求lr【答案】（1）证明见解析；（2）①定点F的坐标为（0，1）；②10+6√5．5【解析】（1）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴△＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，则y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB=OBOC =m+22（m+2）=12，在Rt△AOF中，tan∠OAF=OFOA =OF2=12，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1）．∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED ＝∠OCB ，∴tan ∠BED =12， 设BD ＝n ，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD BE =n BE =12， ∴BE ＝2n ，根据勾股定理得：DE =√BD 2+BE 2=√5n ，∴l ＝BD+BE+DE ＝（3+√5）n ，r =12DE =√52n ， ∴l r =√5）√52n =10+6√55． 5．．如图①，已知抛物线2139424y x x =-+的顶点为点P ，与y 轴交于点B ．点A 坐标为（3，2）．点M 为抛物线上一动点，以点M 为圆心，MA 为半径的圆交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．（1）如图②，当点M 与点B 重合时，求CD 的长；（2）当点M 在抛物线上运动时，CD 的长度是否发生变化？若变化，求出CD 关于点M 横坐标x 的函数关系式；若不发生变化，求出CD 的长；（3）当△ACP 与△ADP 相似时，求出点C 的坐标．【答案】（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点C 坐标为：（1,0），()1-，()1+ 【解析】（1）如图：连结BC ，BD ，由题意得：904B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（3，2），∴AB =∴2OC ==，∴CD=2OC=4；（2）如图：作MH ⊥x 轴，连结MA ，MC ，设()M x y ，，则半径AM =∴CH ====2=， ∵MH ⊥CD ，∴CD=2CH=4，（3）①当△APC ∽△APD ，即全等时，∴PC=PD ，P 与M 重合，∵P （3，0），CD=4，∴C （1，0）②如图，点M 在点P 的左侧，△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x -4）=4，解得2x =±，∴()1C -， ③如图，点M 在点P 的右侧△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x+4）=4，解得2x =-±，∴()C ，综上所述，点C 坐标为：C （1，0）；()1C -；()C ； 6．已知抛物线 C 1：y ＝ax 2 过点（2，2）(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C 1 上，且边 AC 所在的直线解析式为y ＝x +b ，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求AC 2BD 的值；(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上C 1 上一动点，以 PQ 为直径作⊙M ，直线 y ＝t 与⊙M 相交于 H 、K 两点是否存在实数 t ，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=12x 2 ;(2)16;(3)见解析.【解析】（1）把点（2，2）坐标代入y ＝ax2，解得：a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝x2；（2）把y ＝x+b 和y ＝12x2得：x2﹣2x ﹣2b ＝0，设A 、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b ，点D 坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22），即D （1，﹣b ），B 坐标为（1，12）， AC2＝[√2（x2﹣x1）]2＝16b+8，BD ＝12+b ， ∴AC 2BD ＝16；(3)设点Q 坐标为（a ，12a2），点P 的坐标为（0，2），由 P 、Q 坐标得点M 的坐标为（a 2，14a2+1）， 设圆的半径为 r ，由P （0，2）、M 两点坐标可得r2＝a 24+（14a2﹣1）2＝116a4﹣14a2+1，设点M 到直线y ＝t 的距离为d ，则d2＝（a2+1﹣t ）＝116a4+12a2+1+t2﹣2t ﹣12a2t ，则 HK ＝2√r 2−d 2＝2√(12t −34)a 2+2t −t 2，当12t −34＝0 时，HK 为常数，t ＝32， HK ＝√3．7．（浙江省湖州市南浔区2017-2018学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，如图1，直角三角板△MON 中，OM=ON=√3，OQ=1，直线l 过点N 和点N ，抛物线y=ax 2+2√33x+c 过点Q 和点N ．（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P 是抛物线y=ax 2+2√33x+c 上的一个动点．①初步尝试若点P 在y 轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，问：是否存在点P ，使得以N 、P 、A 为顶点的三角形与△ONQ 相似．若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；②深入探究若点P 在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ ，与直线MN 交于点G ，以QG 为直径的圆交QN 于点H ，交x 轴于点R ，连结HR ，求线段HR 的最小值．【答案】（1）y=﹣√33x2+2√33x+√3（2）①（1，4√33）、（3，0）、（5，﹣4√3）②3√2+64【解析】 （1）由题意可知，Q （﹣1，0），N （0，√3），∴c=√3，即y=ax2+2√33x+√3， 将Q （﹣1，0）代入解析式得0=a ﹣2√33+√3，解得a=﹣√33， ∴抛物线解析式是y=﹣√33x2+2√33x+√3； （2）①分三种情况，如图2，情况一：点P 在第一象限时，△APN ∽△ONQ ，设AN=m ，则AP=√3m ，则P 的坐标（√3m ，m+√3），而点P 在抛物线上，代入可得m+√3=﹣√33（√3m ）2++2√33（√3m ）+√3， 解得m=√33，∴P1（1，4√33）； 情况二：点P 恰好在x 轴上，P2（3，0），情况三：P 在第四象限内，同情况一方法可解得P3（5，﹣4√3），②连结CH 和CR ，如图3，∵∠NQ0=60°，∴∠HCR=120°，∵CH=CR ，∴HR=√3CH ，∴HR 最小时，只需要半径最小，即直径最小即可，∴过Q作NM的垂线，垂直时，QG最小，∴用面积法求出，QG=√6+√22，HR最小值=3√2+64．8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(−8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C．（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由．【答案】（1）14x2+32x−4；（2）直线MC与⊙P相切，理由见解析【解析】解：（1）连接AC、BC；∵AB是⊙P的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∵∠BCO+∠CBO=90°，∴∠CBO=∠ACO，∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴AOOC =OC OB，∴OC2=OA·OB=16，∴OC=4，故C(0，﹣4)，设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x ﹣2)，代入C 点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=14，故抛物线的解析式为：y=14(x+8)(x ﹣2)=14x 2+32x ﹣4；(2)由(1)知：y=14x 2+32x ﹣4=14(x +3)2﹣254；则M(﹣3，﹣254)， 又∵C(0， ﹣4)，P(﹣3， 0)，∴MP=254，PC=5，MC=154，∴MP 2=MC 2+PC 2，即△MPC 是直角三角形，且∠PCM=90°，故直线MC 与⊙P 相切．9．已知抛物线y=ax 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，在x 轴上有一点D （4，0），连接CD ．（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q ，使得CD 平分∠ACQ ，请求出点Q 的坐标；（3）在直线CD 的下方的抛物线上取一点N ，过点N 作NG ∥y 轴交CD 于点G ，以NG 为直径画圆在直线CD 上截得弦GH ，问弦GH 的最大值是多少？（4）一动点P 从C 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C ﹣A ﹣D 运动，在线段CD 上还有一动点M ，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43；（2）点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）；（3）弦GH 的最大值81√580；（4）存在，t 的值为3或7【解析】解：（1）∵抛物线y=a x 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），∴{a +b ＝49a −3b ＝0，解得：a=1,b=3, ∴抛物线的表达式为y=x 2+3x ．（2）当y=4时，有x 2+3x=4，解得：x 1=﹣4，x 2=1，∴点C 的坐标为（﹣4，4），∴AC=1﹣（﹣4）=5．∵A （1，4），D （4，0），∴AD=5．取点E （﹣1，0），连接CE 交抛物线于点Q ，如图1所示．∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC ∥DE ，∴四边形ACED 为平行四边形，∵AC=AD ，∴四边形ACED 为菱形，∴CD 平分∠ACQ ．设直线CE 的表达式为y=mx+n （m≠0），将C （﹣4，4）、E （﹣1，0）代入y=mx+n ，得：{−4m +n ＝4−m +n ＝0 ，解得：{m =−43n =−43， ∴直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43．联立直线CE 与抛物线表达式成方程组，得：{y =−43x −43y =x 2+3x， 解得：{x 1=−4y 1=4 ,{x 2=−13y 2=−89 ， ∴点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）．（3）设直线CD 的表达式为y=kx+c （k≠0），将C （﹣4，4）、D （4，0）代入y=kx+c ，得：{−4k +c ＝44k +c ＝0 ，解得：{k =−12c =2 ， ∴直线CD 的表达式为y=﹣12x+2．设点N 的坐标为（x ，x2+3x ），则点G 的坐标为（x ，﹣12x+2），∴NG=﹣12x+2﹣（x2+3x ）=﹣x2﹣72x+2=﹣（x+74）2+8116，∵﹣1＜0，∴当x=﹣74时，NG 取最大值，最大值为8116． 以NG 为直径画⊙O′，取GH 的中点F ，连接O′F ，则O′F ⊥BC ，如图2所示．∵直线CD 的表达式为y=﹣12x+2，NG ∥y 轴，O′F ⊥BC ， ∴tan ∠GO′F=GF O′F =12， ∴GF O′G =√12+22=√55， ∴GH=2GF=2√55 O′G=√55NG ，∴弦GH 的最大值为√55×8116=81√580．（4）取点E（﹣1，0），连接CE、AE，过点E作EP1⊥AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2⊥AD 于点P2，交CD于点M2，如图3所示．∵四边形ACED为菱形，∴点A、E关于CD对称，∴AM=EM．∵AC∥x轴，点A的坐标为（1，4），∴EP1=4．由菱形的对称性可知EP2=4．∵点E的坐标为（﹣1，0），∴点P1的坐标为（﹣1，4），∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，又∵AC=AD=5，∴t的值为3或7．10．如图，在平面直角坐标系中，点A(10, 0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB 并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．(1)∠OBA=________°．(2)求抛物线的函数表达式．(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】(1)90;(2)y=−18x2+54x;(3) 以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．【解析】解：(1)90；(2)连接OC，如图1所示，∵由(1)知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C(6, 8)，B(8, 4)∴OB所在直线的函数关系为y=12x，又∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E(6, 3)，抛物线过O(0, 0)，E(6, 3)，A(10, 0)，∴设此抛物线的函数关系式为y=ax(x−10)，把E点坐标代入得：3=6a(6−10)，解得a=−18．∴此抛物线的函数关系式为y=−18x(x−10)，即y=−18x2+54x；(3)设点P(p, −18p2+54p)，①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，OP 所在直线函数关系式为：y =(−18p +54)x∴当x =6时，y =−34p +152，即Q 点纵坐标为−34p +152， ∴QE =−34p +152−3=−34p +92，S 四边形POAE =S △OAE +S △OPE =S △OAE +S △OQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12QE ⋅OD −12⋅QE ⋅P x •=12×10×3+12×(−34p +92)×6−12•(−34p +92)⋅(6−p )， =−38p 2+94p +15， ②若点P 在CD 的右侧，延长AP 交CD 于Q ，如右图3，P(p, −18p 2+54p)，A(10, 0) ∴设AP 所在直线方程为：y =kx +b ，把P 和A 坐标代入得，{10k +b =0pk +b =−18p 2+54p， 解得{k =−18p b =54p． ∴AP 所在直线方程为：y =−18px +54p ，∴当x =6时，y =−18p ⋅6+54p =12P ，即Q 点纵坐标为12P ，∴QE =12P −3，∴S 四边形POAE=S △OAE +S △APE =S △OAE +S △AQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12⋅QE ⋅DA −12⋅QE •(P x −6)=12×10×3+12⋅QE •(DA −P x +6)=15+12•(12p −3)⋅(10−p) =−14p 2+4p =−14(p −8)2+16，∴当P 在CD 右侧时，四边形POAE 的面积最大值为16，此时点P 的位置就一个，令−38p 2+94p +15=16，解得，p =3±√573， ∴当P 在CD 左侧时，四边形POAE 的面积等于16的对应P 的位置有两个，综上所知，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积S 等于16时，相应的点P 有且只有3个．类型二 与圆有关的位置关系例2．如图1，二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．（1）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E 是y 轴负半轴上一点，连接BE ，将△OBE 绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN （点P 、M 、N 分别和点O 、B 、E 对应），并且点M 、N 都在抛物线上，作MF ⊥x 轴于点F ，若线段MF ：BF ＝1：2，求点M 、N 的坐标；③点Q 在抛物线的对称轴上，以Q 为圆心的圆过A 、B 两点，并且和直线CD 相切，如图3，求点Q 的坐标．【答案】（1）（1，﹣4a ）；（2）①y=﹣x 2+2x+3；②M （52，74）、N （32，154）；③点Q 的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣）．【思路引导】 （1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D 的坐标．（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD 是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD 的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．【解析】（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，②∵a=﹣1，∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵BF=2MF，∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1（舍去）、x2=5 2 .∴M（52，74）、N（32，154）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：∵C （0，3）、D （1，4），∴CH =DH =1，即△CHD 是等腰直角三角形，∴△QGD 也是等腰直角三角形，即：QD 2=2QG 2；设Q （1，b ），则QD =4﹣b ，QG 2=QB 2=b 2+4；得：（4﹣b ）2=2（b 2+4），化简，得：b 2+8b ﹣8=0，解得：b =﹣；即点Q 的坐标为（1，4-+）或（1，4--．【方法总结】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD 和⊙Q 半径间的数量关系是解题题目的关键．针对训练1．抛物线y ＝﹣23x 2+73x ﹣1与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y ＝t (t ＜2524)上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象．(1)点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ；(2)如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内(含边界)时，求t 的取值范围；(3)如图②，当t ＝0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （12，0）；B （3，0）；D （74，2524）；（2）1548≤t≤2548；（3）存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P的坐标为（75-0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 【解析】解：（1）当y=0时，﹣23x 2+73x ﹣1=0， 解得x 1=12,x 2=3, ∴点A 的坐标为（12，0），点B 的坐标为（3,0）， ∵y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣23（x -74）2+2524, ∴点D 的坐标为（74，2524）； （2）∵点E 、点D 关于直线y=t 对称，∴点E 的坐标为（74，2t ﹣2524）． 当x=0时，y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣1， ∴点C 的坐标为（0，﹣1）．设线段BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，将B （3，0）、C （0，﹣1）代入y=kx+b ，301k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴线段BC 所在直线的解析式为y=13x ﹣1． ∵点E 在△ABC 内（含边界），∴2520242517212434tt⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⨯-⎪⎩，解得：1548≤t≤2548．（3）当x＜12或x＞3时，y=﹣23x2+73x﹣1；当12≤x≤3时，y=﹣23x2+73x﹣1．假设存在，设点P的坐标为（12m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜12或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣23x2+73x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣23m2+73m）2=14m2+1+14m2+（﹣23m2+73m﹣1）2，整理，得：m1，m2，∴点P 0，0）； ②当12≤m≤3时，点Q 的坐标为（m,23x 2-73x +1）（如图2）， ∵以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ， ∴CP ⊥PQ ，∴CQ 2=CP 2+PQ 2，即m 2+（23m 2﹣73m+2）2=14m 2+1+14m 2+（23m 2﹣73m+1）2， 整理，得：11m 2﹣28m+12=0，解得：m 3=611，m 4=2， ∴点P 的坐标为（311，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P 0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 2．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5），且过点（﹣3，114），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段AB ＝d （定值），将其弯折成互相垂直的两段AC 、CB 后，设A 、B 两点的距离为x ，由A 、B 、C 三点组成图形面积为S ，且S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上）：（1）填空：线段AB 的长度d ＝ ；弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是 ；若S ＝3，则是否存在点C ，将AB 分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB 分成两段的长分别是 ；（2）填空：在如图1中，以原点O 为圆心，A 、B 两点的距离x 为半径的⊙O ；画出点C 分AB 所得两段AC 与CB 的函数图象（线段）；设圆心O 到该函数图象的距离为h ，则h ＝ ，该函数图象与⊙O 的位置关系是 ．（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c （定值），设其面积为S ，周长为x ，证明S 是x 的二次函数，求该函数关系式，并求x 的取值范围和相应S 的取值范围．【答案】抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+5；（1）＜x ＜；（2，相离或相切或相交；（3）相应S 的取值范围为S ＞14c 2．【解析】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5）， ∴y ＝ax 2+5， 将点（﹣3，114）代入， 得114＝a×（﹣3）2+5， ∴a ＝14﹣ ， ∴抛物线的解析式为：y ＝2154x +﹣ ；（1）∵S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上），在y ＝2154x +﹣，当y ＝0时，x 1＝x 2＝﹣∴M （0），即当x ＝S ＝0，∴d 的值为∴弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是0＜x ＜当S ＝3 时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝3，整理，得a 2﹣＝0， ∵△＝b 2﹣4ac ＝﹣4＜0， ∴方程无实数根；当S ＝1.5时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝1.5，整理，得a 2﹣＝0，解得1a 2a∴当a +a当a a +∴若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB +故答案为：0＜x ＜+（2）设AC ＝y ，CB ＝x ，则y ＝﹣1所示的线段PM ，则P （0，，M （0）， ∴△OPM 为等腰直角三角形，∴PM OP ＝， 过点O 作OH ⊥PM 于点H ，则OH ＝12PM ，∴当0＜x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相离；当x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相切；＜x ＜AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相交；，相离或相切或相交； （3）设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ， 则222-a b c a b x c ++＝，＝ ， ∵（a+b ）2＝a 2+b 2+2ab ， ∴（x ﹣c ）2＝c 2+2ab ，∴2111242ab x cx =-， 即S ＝()22211114244x cx x c c -=-+，∴x 的取值范围为：x ＞c ， 则相应S 的取值范围为S ＞214c ．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值； （3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则直线BC 的表达式为：1y x 22=--， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴，QHN OCA ∠∠∴=，1tan QHN2∠∴=，则sin QHN ∠=，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--．4．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线L 1、L 2给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与L 1、L 2交于Q 1、Q 2，总有PQ 1PQ 2是定值，我们称曲线L 1与L 2“曲似”，定值PQ1PQ 2为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O ′为圆心，半径分别为r 1、r 2(都是常数)的两个同心圆C 1、C 2，从点O ′任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有O ′MO ′N =r 1r 是定值，所以同心圆C 1与C 2曲似，曲似比为r1r 2，“曲心”为O ′．(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O 与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使⊙O与直线BC相切，k=±√3；（3）m>1，k2=m2−1．【解析】(1)是，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，依题意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，因此D(k,0)、C(2k,0)，∵AD ⊥x 轴、BC ⊥x 轴， ∴AD//BC ， ∴OA OB=OD OC=k 2k=12，∴两抛物线曲似，曲似比为12；(2)假设存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切， 则OA =OC =2k ，又∵OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(2k)2， 解得：k =√3(负值舍去)， 由对称性可取k =−√3， 综上，k =±√3；(3)根据题意得A(k,k 2)、B(mk,mk 2)， 因此D(k,0)、C(mk,0)， ∵⊙O 与直线BC 相切， ∴OA =OC =mk ， 由OA >OD 可得mk >k ， 则m >1，由OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(mk)2， 整理，得：k 2=m 2−1．5．已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F ，M ，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）一次函数的解析式为314y x =-+；二次函数解析式为214y x =． （2）相切，证明见解析（3）当3t =时，过F M N ，，三点的圆面积最小，最小面积为4π． 【解析】()1把()4,4A -代入1y kx =+得34k =-∴一次函数的解析式为314y x =-+ ∴二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y 轴，∴二次函数的解析式为2y ax =,将()4,4A -代入解析式得14a =-∴二次函数的解析式为214y x =-()2由231414y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得44x y =-⎧⎨=⎩或114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，11,4B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，取,A B 的中点317,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 过P 作直线l 的垂线,垂足为N ,则3,12N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1725188PN ∴=+=，而直径254AB ∴==12PN AB ∴=，即圓心到直线l 的距离等于半径， 以AB 为直径的圆与直线l 相切.()3平移后二次函数的解析式为()2124y x t =--,令0,y =得()212120,224x t x x --==-=过,,F M N 三点的國的圆心C 一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点F 到直线2x =2的距离,点C 坐标为()2,1. 此时,半径为2,面积为4π设圆心为,C MN 的中点为E ,连接,CE CM ,则1CE =，在三角形CEM 中，ME =MN ∴=2134MN x x t =-=∴= ∴当3t 4=时，过,,F M N 三点的圓面积最小,最小面积为4π. 6．如图，在平面角坐标系中，抛物线C 1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C 2：y=2x 2+x+1，动直线x=t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ． （1）求抛物线C 1的表达式；（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C 1与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线C 2上，连接AM 交y 轴于点k ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和QN ，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）MN=t 2+2；（3）t 的值为1或0；（4）满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）【解析】（1）∵抛物线C1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），∴{1=4a −2b −1−1=a −b −1，解得：{a =1b =1 ， ∴抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）∵动直线x=t 与抛物线C1交于点N ，与抛物线C2交于点M ，∴点N 的纵坐标为t 2+t ﹣1，点M 的纵坐标为2t 2+t+1，∴MN=（2t 2+t+1）﹣（t 2+t ﹣1）=t 2+2；（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN 时，由已知N （t ，t 2+t ﹣1），A （﹣2，1），∴AN=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t1=0（舍去），t2=1，∴t=1；②当∠AMN=90°，AN=MN 时，由已知M （t ，2t 2+t+1），A （﹣2，1），∴AM=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t 1=0，t 2=1（舍去），∴t=0，故t 的值为1或0；（4）由（3）可知t=1时M 位于y 轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K （0，3），B 、O 、N 三点共线，∵A （﹣2，1），N （1，1），P （0，﹣1），∴点K 、P 关于直线AN 对称，设⊙K 与y 轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），∴Q2与点O 关于直线AN 对称，∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP ，则NQ2延长线与⊙K 交点Q1，Q1、Q2关于KN 的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP ，由图形易得Q1（﹣1，3），设点Q3坐标为（a ，b ），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2√2，由∵⊙K 半径为1，∴{(a −1)2+(b −1)2=(2√2)2a 2+(b −3)2=12，解得：{a 1=35b 1=195 ，{a 2=−1b 2=3 ， 同理，设点Q4坐标为（a ，b ），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=√2，∴{(a −1)2+(b −1)2=(√2)2a 2+(b −3)2=12 ，解得：{a 3=45b 3=125 ，{a 4=0b 4=2 ， ∴满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）.7．如图，直线2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标；（2）若点P 为直线OD 上一动点，求APB ∆的面积；（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作M ，点Q 是M上一动点，求2QB '+的最小值． 【答案】（1）；（2）3；（3【解析】(1) (,)D m m，OD =， 菱形CODM2OD OC ∴===m ∴= (2)①2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于,A B 两点，∴联立，222y x mx m m =-++，2y x =+解得1111x m y m =-⎧⎨=+⎩，2224x m y m =+⎧⎨=+⎩ ∵点A 在点B 的左侧(1,1)A m m ∴-+，(2,4)B m m ++AB ∴==∴直线OD 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+//AB OD ∴，两直线,AB OD 之间距离22h =⨯=11322APBS AB h ∴=⋅=⨯=(3) (1,1)A m m -+，(2,4)B m m ++1AM ∴==2BM ==由M 点坐标(,2)m m +，D 点坐标(,)m m 可知以MD 为半径的圆的半径为(2)2m m +-=取MB 的中点N ，连接,,QB QN QB '，则12MN BM ==⨯=MN QMMN QM QM BM ==QMN BMQ ∠=∠， ~MNQ MQB ∴，2QN MN OB OM ∴==，QN ∴=由三角形三边关系，当,,Q N B '三点共线时QB '+最小， ∵直线AB 的解析式为2y x =+，∴直线AB 与对称轴夹角为45°，∵点,B B '关于对称轴对称， 90BMB '︒∴∠=，由勾股定理得，2QB '+最小值===.8．如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过A ，B ，C 三点，顶点为F.(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上的一动点(不与C 点重合)，试探究：①若以A ，B ，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F ，试判断直线MF 与☉E 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）抛物线的解析式为y=14x 2-32x -4，F (3，−254)；(3)①所点M 的坐标为(6，-4)，(√41+3，4)，(-√41+3，4)；②若M 点位于第四象限，则M 点即为M1点，此时直线MF 和☉E 相切，理由见解析.【解析】(1)由题图可得点A 的横坐标为3-5=-2，点B 的横坐标为3+5=8，连接CE ，则CE=5，又OE=3，。
二次函数和圆结合的题
二次函数和圆结合的题二次函数和圆是数学中常见的几何概念，它们在解题过程中经常结合在一起。
本文将探讨二次函数和圆结合的一些题目，并分析解题思路和方法。
一、已知二次函数和圆的方程，求二者的交点坐标。
题目描述：已知二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，圆的方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，求二者的交点坐标。
解题思路：将二次函数和圆的方程联立，求解交点坐标。
首先，将二次函数的方程代入圆的方程，得到方程(ax^2+bx+c-h)^2+(x-k)^2=r^2，然后将该方程化简，整理成关于x的二次方程，即ax^2+(b-2ah)x+(c-h^2-k^2-r^2)=0。
根据二次方程的求根公式，可以求得x的两个解，然后将x的值代入二次函数的方程，求得对应的y值，即得到二者的交点坐标。
二、已知二次函数与圆的交点，求二次函数和圆的方程。
题目描述：已知二次函数与圆的交点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，求二次函数和圆的方程。
解题思路：根据已知的交点坐标，可以列出两个方程。
首先，将交点坐标代入二次函数的方程，得到方程ax1^2+bx1+c=y1和ax2^2+bx2+c=y2，然后将这两个方程联立，消去c，得到方程a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=y1-y2。
接着，将交点坐标代入圆的方程，得到方程(x1-h)^2+(y1-k)^2=r^2和(x2-h)^2+(y2-k)^2=r^2，将这两个方程联立，消去h和k，得到方程(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)=2hx1-2hx2+2ky1-2ky2。
将方程a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=y1-y2和方程(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)=2hx1-2hx2+2ky1-2ky2联立，即可得到二次函数和圆的方程。
三、已知二次函数和圆的交点，求交点到圆心的距离。
题目描述：已知二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，圆的方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，已知二次函数和圆的交点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，求交点到圆心的距离。
圆大题和二次函数大题解题思路
圆大题解题思路（1）问：前提：根据已知条件做辅助线：1、作与要证明的切线互相垂直的半径；2、作所有直径所对应的圆周角为90度的辅助线常见求证：(1)证切线：☆告诉有线段中点，考虑用中位线定理证明☆告诉有线段平分角或者有一组角相等，考虑用等量代换+间接法☆告诉有一组平行线，考虑相似或者先找出对应的内错角和同位角，观察同位角是否等于内错角，实现等量代换☆如果圆中已经有一条已知切线，证另一条切线，则把这两条切线放在两个三角形中证相似☆☆(2)证线段相等：☆证明两条线段所对应的三角形全等☆圆周角定理，同弧所对应的弦相等☆☆(3)角相等或平分一个角：☆证两个角所对应的三角形相似或全等☆圆周角定理+等量代换，同弧或等弧对应的圆周角相等☆☆2问：求线段长度观察：所求线段位于哪一个三角形中☆是直角三角形，用勾股定理作最后计算，首先要计算出另外两边的长度（相似+切割线定理）,也可用相似来证明，特别要注意有公共角和公共边（可以根据两个三角形有一条公共边，再根据已知条件求出线段长度）的两个相似三角形。
☆不是直角三角形，用相似作为最后计算，看题中给的已知条件处于另外的哪一个三角形中，特别有平行线的，一般都是证相似（勾股定理+切割线定理）☆三角函数（针对题中出现了三角函数，一般是在直角三角形中运用，如果没有直角，添辅助线构造）即可求线段长度，也可以用其值来设元，然后求两个三角形的相似比。
☆同一个三角形面积相等求长度☆两相邻RT△的临边构建等式☆运用三线合一倒推等腰三角形二次函数大题解题思路1问：求解析式(1)顶点在原点：y=ax2(2)图像过原点：y=ax2+bx(3)对称轴在y轴：y=ax2+c(4)对称轴在x轴：y=a（x-h)2(5)一般式：y=ax2+bx+c2问：(1)求两点间的距离表达式（即线段）及最值：1》先设点，观察两个点分别属于哪两个函数之中，求出两个点的横坐标和纵坐标的表达式；2》用两个点的横坐标或者纵坐标相减的方式求出线段长的表达式；3》转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标(2)求三角形的面积表达式及最值：1》先设点，用点的坐标把三角形的面积表示出来；（直接表示法：当所求三角形有一条边与x轴或者y轴重合；间接表示法：三角形的三边都不与x轴或者y轴重合，可采用几个图形的面积相加再相减求出表达式）2》转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标(3)求在某直线上找一点使线段之和最值1》首先将其中一点做关于该直线的对称点，连接对称点与另一点的连线与该直线的交点即为所求点2》通过对称性求出对称点的坐标，求出连线的一次函数表达式，与原直线的表达式解方程组即可求出改点4》求是否存在一点使图形为直角三角形，等腰三角形，或者为平行四边形，求该点坐标1》直角三角形：首先把可能的情况都要想到，利用两垂直直线的斜率之积为-1，分别求出两条直角边的一次函数表达式，解方程组求公共点即为所求2》等腰三角形：首先把可能的情况都要想到，利用等腰三角形两腰相等及点与点之间的距离公式求点的坐标3》平行四边形：一般情况下，都会告知平行或者相等，只需要利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求出坐标。
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圆大题解题思路
⑴问:
前提：根据已知条件做翩线：
趴作与要证明的切线互相垂直的半径;
2.作所有直径所对应的圆周角为90度的辅助线
常见求证: ⑴证切线：
☆告诉有线段中点，考虑用中位线定理证明
☆告诉有线段平分角或者有一组角相等，考虑用等量代换+间接法
☆告诉有一组平行线，考虑相似或者先找出对应的内错角和同位角,
观察同位角是否等于内错角, 实现等量代换
☆如果圆中已经有一条已知切线，证另一条切线，则把这两条切线放在两个三角形中证相似
⑵证线段相等：
☆证明两条线段所对应的三角形全等
同弧所对应的弦和等
⑶角相等或平分一个角：
☆证两个角所对应的三角形相似或全等
周角定理+等量代换, 同弧或等弧对应的圆周角相等
2问：求线段长度
观察：所求线段位于哪一个三角形中
☆是直角三角形，用勾股定理作最后计算，首先要计算出另外两边的长度（相似+切割线定理），也可用相似来证明，特别要注意有公共角和公共边（可以根据两个三角形有一条公共边，再根据已知条件求出线段长度）的两个相似三角形。
☆不是直角三角形，用相似作为最后计算，看题中给的已知条件处于另外的哪一个三角形屮，特别有平行线的，一般都是证相似（勾股定理+切割线定理）
☆三角函数（针对题中出现了三角函数，一般是在直角三角形中运用, 如杲没有直角，添辅助线构造）即町求线段长度，也可以用其值来设元，然后求两个三角形的相似比。
☆同一个三角形面积相等求长度
☆两相邻RT△的临边构建等式
☆运用三线合一倒推等腰三角形
二次函数大题解题思路
1问:求解析式
(1)顶点在原点：y二QX2
(2)图像过原点：y=ax2+bx
⑶对称轴在y轴:y=ax2+c
(4)对称轴在x轴：y=a (x-h)2
(5)一般式：y=ax2+bx+c
2 |« J:
(1)求两点间的距离表达式(即线段)及最值：
1》先设点，观察两个点分别属于哪两个函数之中，求出两个点的横坐标和纵坐标的表达式；
2》用两个点的横坐标或者纵坐标相减的方式求出线段长的表达式；3》转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标
(2)求三角形的面积表达式及最值：
1》先设点，用点的坐标把三角形的面积表示出来；(直接表示法：当所求三角形有一条边与x轴或者y轴重合；间接表示法：三角形的三
边都不与x轴或者y轴重合，可采用几个图形的面积相加再和减求出
表达式)
2》转化成二次函数求最值，可求出最值和此吋的横坐标
(3)求在某直线上找一点使线段Z和最值
1》首先将其中一点做关于该直线的对称点，连接对称点与另一点的连
线与该直线的交点即为所求点
2》通过对称性求出对称点的处标，求出连线的一次函数表达式，与原直线的表达式解方程组即可求岀改点
4》求是否存在一点使图形为直角三角形，等腰三角形，或者为平行四边形，求该点坐标
1》直角三角形：首先把可能的情况都要想到，利用两垂直直线的斜率之积为T,分别求出两条直角边的一次函数表达式，解方程组求公共点即为所求
2》等腰三角形：首先把可能的情况都要想到，利用等腰三角形两腰相等及点与点之间的距离公式求点的坐标
3》平行四边形：一般情况下，都会告知平行或者和等，只需要利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求出坐标。