定积分及微积分基本定理练习题及答案
17定积分与微积分基本定理(含答案)
17定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上 述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝lim n →∞ ∑ni ＝1b －an f (ξi )．其中f (x )称为□02被积函数，a 称为积分□03下限，b 称为积分□04上限． 2.定积分的几何意义性质1：⎠⎛a b kf (x )d x ＝□01k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． 性质2：⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a b g (x )d x . 性质3：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋□03⎠⎛c b f (x )d x . 4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝□01F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛abf (x )d x ＝F (x )b a ＝□02F (b )－F (a )． 5．定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S . (1)S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；(2)S ＝□01－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)S ＝□02⎠⎛ac f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ； (4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . 6．定积分与函数奇偶性的关系函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0.练习1.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( ) A.8ln 3 B ．8 C.9ln 3D ．9答案 A解析 设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2,9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023x d x ＝＝8ln 3. 2.已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0 到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 答案 B 解析3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在答案 C 解析＝＝13x 310＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2－12×22－⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝13＋4－2－2＋12＝56. 4. ＝( )A ．7 B.223 C.113 D ．4答案 C 解析＝＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －x 3310＝4－13＝113.5. 的值为________．答案 2(e －1) 解析＝2⎠⎛01e x d x ＝2·e x 10＝2(e －1)．6．若f (x )＝3＋2x －x 2，则＝________.答案 π解析 令y ＝3＋2x －x 2，则(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，所以函数f (x )的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x 轴上方(包括x 轴)的部分，所以＝14×π×22＝π7．如图，已知点A (0,1)，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上移动，过P 点作PB垂直x 轴于点B ，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP 面积的13，则P 点的坐标为________．答案 (1,1)解析 由题意，点P (x 0，y 0)，则梯形AOBP 的面积为12(1＋y 0)x 0＝12(1＋x 20)x 0，且阴影部分的面积为又阴影部分的面积是梯形AOBP 面积的13，∴13x 30＝13×12(1＋x 20)x 0，解得x 0＝0或x 0＝±1； 取x 0＝1，则y 0＝1，∴P 点的坐标为(1,1)．8.如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x .A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.43－1πB.42－1πC ．4(3－1)πD ．4(2－1)π答案 B解析 由题可知图中阴影部分的面积故选C.9．如图，点M 在曲线y ＝x 上，若由曲线y ＝x 与直线OM 所围成的阴影部分的面积为16，则实数a 等于( )A.12B.13C ．1D ．2答案 C解析 由题意，M (a ，a )，直线OM 的方程为y ＝xa，故所求图形的面积为得a ＝1，故选C.10．若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(A >0，ω>0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．答案2－32解析 由图可知，A ＝1，T 2＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，T ＝2π，∴ω＝1， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴图中的阴影部分的面积为＝1－32＝2－32. 11．一物体做变速直线运动，其 v t 曲线如图所示，则该物体在12～6 s 间的运动路程为________ m.答案 494解析由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t <1，21≤t ≤3，13t ＋13<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得所以物体在12～6 s 间的运动路程是494m.12．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g答案 C解析 由题意知电视塔高为＝2g －12g ＝32g .13.若则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1 答案 B 解析 因为所以，S 2<S 1<S 3.14．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．5 3 C.323D.353答案 C解析 联立⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝3－x 2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－6，由图可知，阴影部分的面积可表示为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×－3－13×－33－－32＝323. 15．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5000B ．6667C ．7500D ．7854答案 B解析 图中阴影部分的面积为⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 310＝23，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10000×23≈6667，故选B.16．若＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵(x 2)′＝2x ，(ln x )′＝1x ，∴⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝＝(a 2－1)＋ln a ，由＝3＋ln 2(a>1)，所以(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2，所以a ＝2.17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．－2答案 C解析 由f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ，得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝0是原函数的一个极值点，∴f ′(0)＝b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，⎠⎛a 0(x 3－ax 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－13ax 30a＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112，∴a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点横坐标一个为0，另一个为a ，根据图形可知a <0，得a ＝－1.18．如图，由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积为________．答案4 3解析令y＝－1得到A(－2，－1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(2，－1)．设围成的图形的面积为S，因为y轴两边的阴影部分关于y轴对称，所以。
定积分与微积分基本定理含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎜⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎜⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎜⎛1(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎜⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎜⎛2(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎜⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎜⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎜⎛12(3－x )d x ＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.9．已知a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎜⎛34x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎜⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎜⎛1eln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎜⎛1eln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎜⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎜⎛0t(e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎜⎛0t(e t －e x )d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎜⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1. (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎜⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2.(3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．∴S 阴影＝⎠⎜⎛a[0－(－x 3＋ax 2)]d x ＝(14x 4－13ax 3)|0a＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x － 1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎛1f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎜⎛01f (x )d x ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c＝ax 2＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a＝22x2sinxdx，则 a、 b、 c 的大小关系是 ()xdx， b＝ e dx， c＝000A ．a<c<b B． a<b<c C． c<b<a D ．c<a<b2．由曲线 y＝ x2， y＝ x3围成的封闭图形面积为 ()练习、设点 P 在曲线 y＝ x2上从原点到A(2,4)挪动，假如把由直线OP，直线 y＝x2及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2.以下列图，当 S1＝ S2时，点 P 的坐标是 () 4， 164， 164， 154， 13A. 3 9B. 59C. 37D. 573．由三条直线 x＝ 0、 x＝ 2、 y＝ 0和曲线 y＝ x3所围成的图形的面积为()418A ．4 B.3 C. 5D． 64．1－1(sin x＋1)dx的值为()A ．0B ．2C． 2＋ 2cos1D． 2－ 2cos15．曲线 y＝ cosx(0≤ x≤2π)与直线 y＝ 1 所围成的图形面积是()3πA ．2πB． 3π C. 2D．π6．函数 F(x)＝x t(t－ 4)dt 在[ － 1,5] 上()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－32 3C．有最小值－32，无最大值 D ．既无最大值也无最小值3n n2n 2＋ n，函数 f(x)＝x13，则 x 的取值范围是 ()7．已知等差数列 { a } 的前 n项和 S＝t dt，若 f(x)< a1A.3，＋∞B ．(0， e21)－ D ．(0， e11)C． (e 11， e)68．以下列图，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y＝ sinx(0≤ x≤ π)与 x 轴围成以下列图的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在暗影部分的概率是 ()123πA. πB.πC.πx＋2 －2≤ x<09．函数 f(x)＝π的图象与 x 轴所围成的图形面积S 为()2cosx 0≤x≤231A. 2B． 1C． 4 D.210．设函数 f( x)＝ x－[ x] ，此中 [x] 表示不超出 x的最大整数，如 [ － 1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝ 1， [1] ＝ 1.又函数xg(x)＝－3，f(x)在区间 (0,2)上零点的个数记为 m，f(x)与 g(x)的图象交点的个数记为n，则n g(x)dx 的值是 ()m5457A．－2B．－3C．－4D．－611．甲、乙两人进行一项游戏竞赛，竞赛规则以下：甲从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c 可以相等 )，若关于 x 的方程 x2＋ 2bx＋ c＝ 0 有实根，则甲获胜，不然乙获胜，则在一场竞赛中甲获胜的概率为()1213A. 3B.3C.2D.412．已知正方形四个极点分别为O(0,0)， A(1,0)， B(1,1) ，C(0,1)，曲线 y＝ x2(x≥ 0)与 x 轴，直线 x＝ 1构成地域 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在地域M 内的概率是 () 1112A. 2B.4C.3D.5二、填空题13．已知函数 f(x)＝ 3x2＋ 2x＋ 1，若 1 －1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.14．已知 a＝∫π)6的睁开式中含x2项的系数是 ________．20(sinx＋cosx)dx，则二项式(a x－1x15．抛物线 y2＝ 2x 与直线 y＝ 4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝ 1围成的封闭图形的面积为4，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线32x－ y＋ 6＝ 0，则 l 的方程为 ______ ．17．已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2＋ bx(a， b∈ R)的图象以下列图，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成地域 (图中暗影部分 )的面积为1，则 a 的值为 ________．12三、解答题18．以下列图，在区间[0,1] 上给定曲线y＝ x2，试在此区间内确立t 的值，使图中暗影部分的面积S1＋S2最小．1、 [答案 ]D[分析 ]a ＝2 1 22＝ 2， b ＝2 xx 02＝ e 2－ 1>2， c ＝22＝ 1－xdx ＝ 2x |0 e dx ＝ e |sinxdx ＝－ cosx|cos2∈(1,2)，∴ c<a<b.1 1 1 7 A. 12B.4C.3D.122、[答案 ]A[分析] y ＝ x2得交点为 (0,0) ， (1,1)．由y ＝ x 31 1 1∴ S ＝1(x 2－x 3)dx ＝3x 3－ 4x 401＝ 12.练习； [答案 ]A[ 分析 ] 设 P(t ， t 2)(01＝ t2t 3 ； S 22 2≤ t ≤ 2)，则直线 OP ： y ＝ tx ，∴ S(tx － x )dx ＝ 6＝ (xt34，∴ P 4，16－tx)dx ＝ 8－ 2t ＋t，若 S 361＝ S 2，则 t ＝33 9.x402＝4.3、[答案 ]A[分析]S ＝ 2x 3dx ＝ 44、[答案 ] B[分析 ]1(sinx ＋ 1)dx ＝ (－ cosx ＋ x)|－ 11＝ (－ cos1＋ 1)－ (－ cos(－ 1)－1)＝ 2.5、[ 答案 ] A[分析]2π2π如右图， S ＝ ∫ 0 (1－ cosx)dx ＝ (x － sinx)|0 ＝ 2π.6、[答案 ]B[分析 ]F ′(x) ＝ x(x － 4)，令 F ′ (x)＝ 0，得 x 1＝ 0， x 2 ＝ 4，∵ F(－ 1)＝－ 7， F(0)＝ 0，F(4)＝－ 32， F(5)＝－250，最小值为333 .∴最大值为－ 323.7、[答案 ]1D ； [分析 ] f(x)＝ xdt ＝ lnt|1x ＝ lnx ， a 3＝ S 3－ S 2＝ 21－ 10＝ 11，由 ln x<11 得， 0<x<e 11.t18、[ 答案 ] A[分析]由图可知暗影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得πS ＝ sinxdx＝－ cosx|0π＝－ (cos π－ cos0)＝ 2，再依据几何概型的算法易知所求概率P ＝ S ＝ 2 1＝ .S 矩形OABC 2π π9、[答案 ]C[分析 ]面积 S ＝∫ππ－ 2f(x)dx ＝－ 2(x ＋ 2)dx ＋ ∫ 02cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4.2210、 [答案 ] A[分析] 由题意可得，当 0<x<1 时， [x] ＝ 0，f(x)＝ x ，当 1≤x<2 时， [x] ＝1，f(x)＝ x － 1，因此当 x ∈ (0,2)时，函数 f(x)有一个零点，由函数 f( x)与 g( x)的图象可知两个函数有4 个交点，因此 m ＝1，n＝4，则 n g(x)dx ＝ 4－x dx ＝ －x 253 614＝－ .m1211、[答案 ]A ； [分析 ] 方程 x 2＋ 2bx ＋ c ＝0 有实根的充要条件为＝ 4b 2－ 4c ≥ 0，即 b 2≥c ，1 2b db1由题意知，每场竞赛中甲获胜的概率为p ＝1× 1＝ .312、 [答案 ] C ；[分析 ]1 21301＝1，故所求如图，正方形面积 1，地域 M 的面积为 S ＝ x dx ＝ 3x |31概率 p ＝ .31－ 1f(x)dx ＝－ 1(3x 2 3213、 [答案]－1 或3；[分析]∵＋2x ＋ 1)dx ＝ (x ＋ x111－ 1f(x)dx ＝ 2f(a)，∴21 ＋x)|－＝ 4，6a ＋ 4a ＋ 2＝ 4，∴ a ＝－ 1 或 .1314、 [答案 ]－ 192；[分析 ] 由已知得 a ＝ ∫π π π π20(sinx ＋ cosx)dx ＝(－ cosx ＋ sinx)| 0＝ (sin － cos )－ (sin0222－cos0)＝2，(2x －16的睁开式中第 r ＋ 1 项是 T ＋ 1＝(－1)r×C r × 26－ r ×x 3－ r ，令 3－ r ＝ 2 得， r ＝1，故其 )r6x系数为 (－ 1)1× C 61× 25＝－ 192.y 2＝ 2x215、 [答案 ]18[分析 ] 由方程组y ＝ 4－ x解得两交点 A(2,2)、 B(8，－ 4)，选 y 作为积分变量x ＝ y、 x ＝ 42－ y2－ 4[(4 － y)－y223∴ S ＝]dy ＝ (4y － y － y )|－4 2＝ 18.2 2 616、 [答案 ]16x－ 8y＋1＝ 0[分析 ]由题意知12，∴ a＝ 1，0axdx＝3设 l： y＝ 2x＋b 代入y2＝ x 中，消去y 得， 4x2＋ (4b－1)x＋ b2＝0，由＝0 得， b＝ 1，8∴ l 方程为 16x－ 8y＋ 1＝ 0.17、 [答案 ]－1[分析 ] f ′ (x)＝－ 3x2＋ 2ax＋ b，∵ f ′ (0) ＝ 0，∴ b＝ 0，∴ f(x) ＝－ x3＋ ax2，令 f(x) ＝0，得 x＝0 或 x＝a(a<0) ．S 暗影＝－0(－ x3＋ ax2)dx＝1a4＝1，∴ a＝－ 1.a121218、 [分析 ]由题意得2t 2 2 3S1＝ t·t－x dx＝ t ，3S2＝1x2dx－t23－ t2＋1，因此41≤ t≤ 1)．2(1－ t) ＝ t3S＝ S1＋ S2＝ t3－ t2＋ (0333t又 S′ (t)＝ 4t2－ 2t＝4t t－1，令 S′(t)＝ 0，得 t＝1或 t＝0. 2211由于当 0< t< 时， S′( t)<0；当<t≤ 1 时， S′ (t)>0.22因此 S(t)在区间0，1上单调递减，在区间1， 1 上单调递加．因此，当t＝1时， S min＝1.2224。
2023年高考数学微专题练习专练15定积分与微积分基本定理含解析理
专练15 定积分与微积分基本定理命题范围：积分的概念与运算、微积分基本定理．[基础强化]一、选择题1.⎠⎛12(x －2)d x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－122．若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( )A .－1B ．－13C ．13D ．13．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．44．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b5.⎠⎛－11(1－x 2＋sin x)d x ＝( )A ．π4B ．π2C ．πD ．π2＋26．设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x)d x ，若(1－kx)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝( )A .－1B ．0C ．1D ．2567．设f(x)＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1），x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛－12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43B ．π2＋3C ．π4＋43D ．π4＋38．如图是函数y ＝cos (2x －5π6)在一个周期内的图像，则阴影部分的面积是( )A ．34B ．54C ．32D ．32－349．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ，则a 4＋2a 6＋a 8的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题10．[2022·安徽滁州二模]设f(x)＝e x，则⎠⎛01[f′(x)＋2x]d x________．11．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________.12．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________.13．[2022·西藏拉萨中学月考]由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的平面图形的面积为________．14．[2022·甘肃张掖期末]如图，在矩形ABDC 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为AC 中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点B ，D 在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为________．15．[2022·宁夏石嘴山一模]⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝________．16．[2022·黑龙江一模]在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是________．专练15 定积分与微积分基本定理1．D ⎠⎛12(x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x |21 ＝12×22－2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－12.2．B 令⎠⎛01f(x)d x ＝m ，则f(x)＝x 2＋2m ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛012m d x ＝(13x 2＋2mx)|10＝m ，得m ＝－13.3．D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)， ∴S＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20 ＝4.4．D a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20 ＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20 ＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20 ＝1－cos2，∵1－cos2<83<4，∴c <a <b .5．B ⎠⎛－11(1－x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ，∵y ＝sin x 为奇函数，∴⎠⎛－11sin x d x ＝0，又⎠⎛－111－x 2d x 表示以坐标原点为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，∴⎠⎛－111－x 2d x＝π2， ∴⎠⎛－11( 1－x 2＋sin x )d x ＝π2.6．B 因为k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x |π0 －sin x |π0 ＝2，所以(1－kx )8＝(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1－2)8＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8)－a 0＝1－1＝0.故选B.7．A ⎠⎛－12f(x)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋(13x 3－x)|21 ＝π2＋43.故选A .8．B S ＝－∫π60cos (2x －5π6)d x ＋∫2π3π6cos (2x －5π6)d x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin （2x －5π6）|π60＋[12sin (2x －5π6)]|2π3π6＝－[12sin (－π2)－12sin (－5π6)]＋[12sin π2－12sin (－π2)]＝14＋1＝54.故选B .9．C ∵a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0 ＝－(cosπ－cos 0)＝2，又{a n }为等差数列， ∴a 5＋a 7＝2a 6＝2，∴a 6＝1， ∴a 4＋2a 6＋a 8＝4a 6＝4. 10．e解析：因为f(x)＝e x， 所以错误!错误!0＝e ＋1－1＝e . 11.16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A(1，1). 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(12x 2－13x 3)|10 ＝16.12．－3解析：由已知得f′(0)＝0，因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以b ＝0，则f(x)＝x 3＋ax 2，令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－a.由切线y ＝0与函数图像所围区域(题图中阴影部分)的面积为274，得 －⎠⎛0－a f(x)d x ＝274，即－⎠⎛0－a (x 3＋ax 2)d x ＝274，即－(14x 4＋a 3x 3)－a 0 ＝274，所以－⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 44＋a3×（－a ）3＝274，即a 412＝274，解得a ＝±3，由题图可知a<0，∴a＝－3. 13.163解析：由定积分知 S ＝⎠⎛4x －(x －2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x)|1＝(23×8－8＋8)－0＝163. 14.13解析：由题可知矩形面积为2，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程为y 2＝2x(0≤x≤1)， 抛物线及BD 围成的面积为2(1－⎠⎛01x d x)＝23，点落在阴影部分的概率为232＝13.15．e －1e＋1解析：⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝⎠⎛－1(e x－x)d x ＋⎠⎛01(e x＋x)d x ＝(e x－x 22)|0－1 ＋(e x ＋x 22)|10 ＝(e－0)[e －1－（－1）22]＋(e 1＋122)－[e 0＋0]＝1－1e ＋12＋e ＋12－1＝e －1e ＋1.16.43解析：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设点P(x ，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P 到直线A 1B 1的距离为2－z ， 因为BC⊥平面AA 1B 1B ，BP ⊂平面AA 1B 1B ， 所以，BC⊥BP，所以，点P 到直线BC 的距离为|BP →|＝（x －2）2＋z 2， 由已知可得（z －2）2＋z 2＝2－z ，化简可得z ＝x －x24，当x ＝2时，z ＝1，即点P 的轨迹交棱BB 1于点(2，0，1)，因此，在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是⎠⎛02(x －x 24)d x ＝(12x 2－x 312)|20 ＝43.。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(定积分与微积分基本定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（定积分与微积分基本定理）练习一、 基础小题练透篇1．若a ＝⎠⎛02 x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A ．329 B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 33．[2023ꞏ甘肃省兰州市第一次月考]求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB ．⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C ．⎣⎡t （i －1）n ，ti n D ．⎣⎡t （i －2）n ，t （i －1）n4．若数列{a n }是公比不为1的等比数列，且a 2 018＋a 2 020＝⎠⎛024－x 2 d x ，则a 2 017(a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023)＝( )A ．4π2B ．2π2C ．π2D ．3π25．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 26．已知分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，e －x，x>0，则⎠⎛13 f(x －2)d x ＝( ) A ．3＋1e B ．2－e C ．73 －1e D ．2－1e7．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛03 f(x)d x ＝3f(x 0)，x 0>0，则x 0＝________．8．[2023ꞏ河南省信阳考试]⎠⎛12 (1x ＋1－（x －2）2 )d x ＝________．二、能力小题提升篇1．[2023ꞏ兰州检测]曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14 所围成的图形(如图中阴影部分所示)的面积为( )A ．23B ．13C ．12D ．142．[2023ꞏ河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 23．[2023ꞏ河南商丘检测]已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1，2)，则⎠⎛0a (2e 2x ＋x)d x＝( )A ．e ＋12B ．e －12 C ．e 2＋12 D ．e 2－124．[2023ꞏ河南省洛阳市考试]由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为( )A ．94B ．92C ．74 D ．25．[2023ꞏ江西省新余市第一中学考试]函数的图象f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x<0，4cos x ，0≤x ≤π2 与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．6．[2023ꞏ吉林省东北师范大学模拟]设y ＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01 f(x)d x ，先产生两组(每组n 个)区间[0，1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n ，由此得到n 个点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)，再数出其中满足y i >f(x i )(i ＝1，2，…，n)的点有m 个，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f(x)d x 的近似值为________．7．[2023ꞏ吉林省实验中学检测]若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －4），x>0，2x＋∫π60cos 3x d x ，x ≤0， 则f(2 018)＝________．三、高考小题重现篇1.[湖南卷]由直线x ＝－π3 ，x ＝π3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1C ．32 D ．32．[湖北卷]若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f （x ）g （x ）d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12 x ，g(x)＝cos 12 x ②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1 ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．[江西卷]若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01 f(x)d x ，则⎠⎛01 f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13 D ．14．[湖北卷]已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π2 5．[湖南卷]⎠⎛02 (x －1)d x ＝________．6．[福建卷]如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ四川绵阳模拟]A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．2．[2023ꞏ江西省赣州市赣县月考]已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求导函数曲线y ＝f ′(x )与直线x ＝1，x ＝e 及x 轴所围成的面积； (2)求f (x )的单调区间．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3 ⎪⎪ 2 0＝83 ，b＝⎠⎛02 x 3d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4 ⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝（－cos x ）⎪⎪20＝1－cos 2.∵cos 2∈[－1，1]，∴1－cos 2∈[0，2]，∴1－cos 2<83<4，故c<a<b.2．答案：D答案解析：S ＝＝4－ln 3. 3．答案：D答案解析：在[0，t]上等间隔插入（n －1）个分点，把区间[0，t]等分成n 个小区间，每个小区间长度均为t n ，故第i －1个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ()i －2n ，t ()i －1n .本题选择D 选项． 4．答案：C答案解析：根据定积分的几何意义，⎠⎛02 4－x 2d x 表示以原点为圆心，以2为半径的四分之一圆的面积，所以⎠⎛02 4－x 2d x ＝π.所以a 2 018＋a 2 020＝π，设a 2 018＝a ，公比为q ，则a ＋aq 2＝π，所以a 2 017（a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023）＝a q（aq ＋2aq 3＋aq 5）＝a 2（1＋2q 2＋q 4）＝a 2（1＋q 2）2＝[a （1＋q 2）]2＝π2.5．答案：C答案解析：令v （t ）＝7－3t ＋251＋t ＝0，又t>0，则t ＝4，汽车刹车的距离是⎠⎛04 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝4＋25ln 5.6．答案：C答案解析：⎠⎛13 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 f （x －2）d x ＋⎠⎛23 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 （x 2－4x ＋5）d x＋⎠⎛23 e－x ＋2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋5x ⎪⎪21＋（－e －x ＋2）⎪⎪ 32＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2×22＋5×2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13－2×12＋5×1 ]＋[（－e －3＋2）－（－e －2＋2）]＝73 －1e.7．答案： 3答案解析：依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx ⎪⎪⎪3＝3（ax 20 ＋b ），即3ax 20 ＝9a （a≠0），x 20 ＝3（x 0>0），由此解得x 0＝ 3 .8．答案：ln 2＋π4答案解析：由题意得，⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝⎠⎛12 1x d x ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x＝ln x|21 ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2d x .根据定积分的几何意义可知，⎠⎛121－（x －2）2 d x 表示圆（x －2）2＋y 2＝1满足1≤x≤2，y≥0的这一部分面积，即圆面积的14 ，故⎠⎛12 1－（x －2）2d x ＝π4 .因此⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋π4 .二 能力小题提升篇1．答案：D答案解析：令x 2＝14 ，得x ＝12 或x ＝－12 （舍去），所以所求的阴影部分的面积为∫120⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2 d x ＋∫112⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14 d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －x 33 ⎪⎪⎪120 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－14x ⎪⎪⎪112 ＝14 .2．答案：C答案解析：因为y ＝x －1x ＋1 ，所以y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1 ′＝2（x ＋1）2 ，则曲线y ＝x －1x ＋1 在（0，－1）处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，则曲线y ＝x －1x ＋1 与其在点（0，－1）处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛01 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1 d x ＝⎠⎛01 （2x －1－1＋2x ＋1 ）d x ＝[x 2－2x ＋2ln （x ＋1）]⎪⎪⎪1＝2ln 2－1. 3．答案：D答案解析：∵不等式1－3x ＋a <0，∴x ＋a －3x ＋a<0，∴（x ＋a ）（x ＋a －3）<0，∴－a<x<－a ＋3，由于1－3x ＋a <0的解集为（－1，2），∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1－a ＋3＝2，解得a ＝1，∴⎠⎛0a（2e 2x＋x ）d x ＝⎠⎛01（2e 2x＋x ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋x 22 ⎪⎪⎪10 ＝e 2－12 .4．答案：A答案解析：∵y ＝－x 2＋4x －3，则y′＝－2x ＋4，在点M （0，－3）的切线斜率k 1＝y′|x ＝0＝4，切线方程y ＝4x －3，在点N （3，0）的切线斜率k 2＝y′|x ＝3＝－2，切线方程y ＝－2()x －3 ，联立方程⎩⎨⎧y ＝4x －3y ＝－2()x －3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝3， 即两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 ， 所围成的图形的面积为S ＝∫32[]()4x －3－()－x 2＋4x －3 d x ＋∫332[]－2()x －3－()－x 2＋4x －3 d x＝∫320x 2d x ＋∫332 ()x 2－6x ＋9 d x ＝13 x 3|32 0＋（13 x 3－3x 2＋9x ）|332＝94 .故选A .5．答案：12答案解析：由题意可得：围成的封闭图形的面积为：S ＝⎠⎛－4（x ＋4）d x ＋∫π2 04cos x d x ＝（12 x 2＋4x ）|0－4 ＋4sin x|π2 0＝0－()8－16 ＋4sin π2－0＝12.6．答案：1－mn答案解析：由题意得满足y i ≤f （x i ）（i ＝1，2，…，n ）的点有n －m 个，故n －m n ≈⎠⎛01f （x ）d x 1 ，即⎠⎛01 f （x ）d x≈1－mn ，故积分⎠⎛01 f （x ）d x 的近似值为1－mn .7．答案：712答案解析：当x≤0时，f （x ）＝2x＋∫π60cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪π6＝2x＋13，所以f （2 018）＝f （2）＝f （－2）＝14 ＋13 ＝712.三 高考小题重现篇1．答案：D答案解析：如图可得，∫π3－π3 cos x d x ＝sin x|π3 －π3＝2sin π3 ＝ 3 .2．答案：C答案解析：由题意，要满足f （x ），g （x ）是区间[－1，1]上的一组正交函数，即需满足⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝0.①⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 sin 12 x cos 12 x d x ＝12 ⎠⎛－11 sin x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x |1－1 ＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②⎠⎛－11 f （x ）·g （x ）d x ＝⎠⎛－11（x ＋1）（x －1）d x ＝ ⎠⎛－11（x 2－1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |1－1 ＝－43 ≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 x·x 2d x ＝⎠⎛－11 x 3d x ＝x 44 |1－1 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.3．答案：B答案解析：不妨设⎠⎛01 f （x ）d x ＝k ，则f （x ）＝x 2＋2⎠⎛01 f （x ）d x ＝x 2＋2k ，所以⎠⎛01 f（x ）d x ＝⎠⎛01 （x 2＋2k ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2kx |10 ＝13 ＋2k ＝k ，得k ＝－13 ，即⎠⎛01 f （x ）d x ＝－13. 4．答案：B答案解析：容易求得二次函数的答案解析式为f （x ）＝1－x 2，所以S ＝⎠⎛－11 （1－x 2）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33 |1－1 ＝43 .5．答案：0答案解析：⎠⎛02 （x －1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20 ＝12 ×22－2＝0.6．答案：2e2答案解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e ， 解得x ＝1，因为y ＝e x与y ＝ln x 互为反函数，故所求阴影部分面积S ＝2⎠⎛01 （e －e x）d x ＝2，故所求概率P ＝2e2 .四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得：t 1＝20，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|200 ＝240（m ）.即A 、C 间的距离为240 m ． （2）设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎛020 （24－1.2t ）d t ＝（24t －0.6t 2）|200 ＝240（m ），即B 、D 间的距离为240 m ． 2．答案解析：（1）由已知，当a ＝2时，f （x ）＝2x ＋ln x ， ∴导函数曲线y ＝f′（x ）与直线x ＝1，x ＝e 及坐标轴所围成的面积为：S ＝⎠⎛1e f′（x ）d x ＝()2x ＋ln x |e1 ＝2e －1.（2）由题得f′（x ）＝a ＋1x＝ax ＋1x （x>0）， ①当a≥0时，由于x>0，则ax ＋1>0恒成立， 即f′（x ）>0当x>0时恒成立，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，＋∞）；②当a<0时，令f′（x ）＝0可得x ＝－1a>0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f′（x ）>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ 时，f′（x ）<0， ∴函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ . 综上，当a≥0时，函数f （x ）的单调递增区间为()0，＋∞ ；当a<0时，函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ .。
定积分与微积分含答案
定积分与微积分基本定理基础热身1．已知f (x )为偶函数，且⎠⎜⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．162． 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e ](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎜⎛ef(x)d x 的值为( )B ．2C ．13．若a ＝⎠⎜⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎜⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎜⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b4．如图K 15－1，阴影部分的面积是( )图15－1A ．2 3B ．2－ 3能力提升5．设函数f(x)＝ax 2＋1，若⎠⎜⎛1f(x)d x ＝2，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．46．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )B ．17．一物体以v ＝＋(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是( )A ．260 mB ．258 mC ．259 mD ． m8．若⎠⎜⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．以上均不对9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( )A ． JB ． JC ． JD ． J10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧K ，f x ≤K ，f x ，f x >K ，则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分⎠⎛214f K (x)d x 的值为________．(x －x 2)d x ＝________.12． ∫π20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________.13．由抛物线y 2＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________．14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f(x)的解析式．图K 15－215．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t(0<t≤1)与曲线C 1、C 2分别相交于点D 、B ，连接OD 、DA 、AB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f(t)；(2)求函数S ＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．图K 15－3难点突破16．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)．(1)求切线PQ 的方程；(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关．参考答案：【基础热身】1．D [解析] ⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎜⎛6f(x)d x ＝2×8＝16.2．A [解析] 根据积分的运算法则，可知∫e0f(x)d x 可以分为两段，即∫e 0f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋∫e 11x d x ＝13x 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪10＋ln x e 1＝13＋1＝43，所以选A .3．D [解析] a ＝⎠⎜⎛2x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎜⎛02x 3d x ＝14x 4⎪⎪⎪ 20＝4，c ＝⎠⎜⎛2sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪ 20＝1－cos 2<2，∴c<a<b.4．C [解析] ⎠⎛1－3(3－x 2－2x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1－3＝323. 【能力提升】5．C [解析] ⎠⎜⎛1f(x)d x ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋1)d x ＝ax 33＋x ⎪⎪⎪10＝a3＋1＝2，解得a ＝3.6．D [解析] 根据定积分的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：⎪⎪⎪S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x π3－π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3，故选D .7．D [解析] ⎠⎜⎛48＋d t ＝＋⎪⎪⎪ 84＝×64＋×8－×16－×4＝＋52－－26＝.8．C [解析] ⎠⎜⎛0k (2x －3x 2)d x ＝⎠⎜⎛0k2x d x －⎠⎜⎛0k3x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 0－x 3k＝k 2－k 3＝0，∴k＝0或k ＝1.9．D [解析] 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，错误!100x d x ＝(J )．10．2ln 2＋1 [解析] 由题设f 1(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1x≤1，1x ，1x >1，于是定积分⎠⎛214f 1(x )d x ＝⎠⎛1141x d x ＋⎠⎜⎛121d x ＝ln x⎪⎪⎪114＋x⎪⎪⎪ 21＝2ln 2＋1.[解析] ⎠⎜⎛1(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 310＝13. 12．1 [解析] ∫π20(sin x ＋a cos x)d x ＝(a sin x －cos x)错误!＝⎝⎛⎭⎪⎫a sin π2－cos π2－a sin 0＋cos 0＝a ＋1＝2，∴a＝1.[解析] 如图所示，因为y 2＝2x ，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，⎪⎪⎪所以V ＝π∫1202x d x ＝πx 2120＝π4.14．[解答] y ＝0在原点处相切知b ＝0，则有f (x )＝x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x 3＋ax 2＝0，可得x ＝0或x ＝－a (－a >0，即a <0)．可以得到图象与x 轴交点为(0,0)，(－a,0)，故∫－a 0－f (x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 44－ax 33－a 0＝－a 44＋a 43＝a 412＝274，a＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2.15．[解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝－x 2＋2ax ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a 2.∴O (0,0)，A (a ，a 2)．又由已知得B (t ，－t 2＋2at )，D (t ，t 2)，∴S ＝⎠⎜⎛0t(－x 2＋2ax )d x －12t ×t 2＋12(－t 2＋2at －t 2)×(a －t ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋ax 2⎪⎪⎪t－12t 3＋(－t 2＋at )×(a －t ) ＝－13t 3＋at 2－12t 3＋t 3－2at 2＋a 2t ＝16t 3－at 2＋a 2t .故S ＝f (t )＝16t 3－at 2＋a 2t (0<t ≤1)．(2)f ′(t )＝12t 2－2at ＋a 2，令f ′(t )＝0，即12t 2－2at ＋a 2＝0，解得t ＝(2－2)a 或t ＝(2＋2)a .∵0<t ≤1，a >1，∴t ＝(2＋2)a 应舍去．①若(2－2)a ≥1，即a ≥12－2＝2＋22，∵0<t ≤1，∴f ′(t )≥0.∴f (t )在区间(0,1]上单调递增，S 的最大值是f (1)＝a 2－a ＋16.②若(2－2)a <1，即1<a <2＋22，(i)当0<t <(2－2)a 时，f ′(t )>0， (ii)当(2－2)a <t ≤1时，f ′(t )<0.∴f (t )在区间(0，(2－2)a )上单调递增，在区间[(2－2)a ，1]上单调递减．∴f (t )的最大值是f ((2－2)a )＝16[(2－2)a ]3－a [(2－2)a ]2＋a 2(2－2)a ＝22－23a 3.综上所述f (t )max＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ≥2＋22，22－23a 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1<a <2＋22.【难点突破】16．[解答] (1)设点P 的坐标为(a ，a 2－1)，又设切点Q 的坐标为(x ，x 2)．则k PQ ＝a 2－1－x 2a －x ，由y ′＝2x 知a 2－1－x 2a －x＝2x ，解得：x ＝a ＋1或x ＝a －1.所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2＝0.(2)证明：S ＝⎠⎛a a －1[x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋∫a ＋1a[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2]d x ＝23.故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数．。
第4讲定积分的概念与微积分基本定理
第4讲定积分的概念与微积分基本定理一、选择题1．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为()．A.1603m B.803 m C.403m D.203 m 解析v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，02(40－10t 2)d t ＝40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)．答案 A2．已知f(x)＝2－|x|，则2－1f(x)dx 等于()．A ．3 B ．4 C.72D.92解析f(x)＝2－|x|＝2－x x ≥0，2＋x x<0，∴2－1f(x)dx ＝0－1(2＋x)dx ＋02(2－x)dx ＝2x ＋x 220－1＋2x －x 2220＝32＋2＝72. 答案 C3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为()．A.13B.43C ．2D.83解析由导函数f ′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c ＝0.f ′(x)＝2ax ＋b ，因过点(－1,0)与(0,2)，则有2a ×－1＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴a ＝1，b ＝2.∴f(x)＝x 2＋2x ，则f(x)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为S ＝0－2(－x 2－2x)dx ＝－13x 3－x 20－2＝13×(－2)3＋(－2)2＝43. 答案 B4．已知a ＝i ＝1n 1n i n 2，n ∈N *，b ＝01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是()．A ．a >b B ．a ＝bC ．a <bD ．不确定答案 A5．下列积分中①1e1x d x ；②2－2x d x ；③024－x 2πd x ；④∫π20cos 2x x －sin x d x ，积分值等于1的个数是( )．A ．1 B．2 C ．3 D ．4 解析①1e1xd x ＝ln xe 1＝1，②2－2x d x ＝12x 22－2＝0，③024－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1，④∫π20cos 2x2cos x －sin x d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x ＝12(sin x －cos)|π20＝1. 答案 C6．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()．A.12B.16C.14D.13解析依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于01(x －x 2)dx ＝23x 32－13x 310＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D.答案 D 二、填空题7．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．解析由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060100x d x ＝0.18(J )．答案 0.18 J8．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________．答案32－ln 2 9．已知f(x)＝2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈[2，4]若k 3f(x)dx ＝403(k<2)．则k ＝________. 解析k 3f(x)dx ＝k 2(2x ＋1)dx ＋23(1＋x 2)dx ＝403，所以得到k 2＋k ＝0，即k ＝0或k ＝－1.答案0或－110．设f(x)＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x)＝2x ＋1且12f(－x)dx ＝m ，则mx ＋1612展开式中各项的系数和为________．解析因为f(x)＝x n ＋ax 的导函数为f ′(x)＝2x ＋1.故n ＝2，a ＝1.所以12f(－x)dx ＝12(x 2－x)dx ＝13x 3－12x221＝56＝m 所以mx ＋1612展开式中各项的系数和为56＋1612＝1.答案 1 三、解答题11．已知f(x)是一次函数，且01f(x)dx ＝5，01xf(x)dx ＝176，求12f x x dx 的值．解∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)．∴01f(x)dx ＝01(ax ＋b)dx ＝12ax 2＋bx 10＝12a ＋b. ∴12a ＋b ＝5.①又01xf(x)dx ＝01x(ax ＋b)dx＝13ax 3＋12bx 210＝13a ＋12b. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②得a ＝4，b ＝3，∴f(x)＝4x ＋3，∴12fx x dx ＝124x ＋3x dx ＝124＋3xdx ＝(4x ＋3ln x)21＝4＋3ln 2.12．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝01(x －x 2)dx ＝x 22－13x 310＝16. 又抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx)dx ＝1－k 2x 2－13x 31－k 0＝16(1－k)3. 又知S ＝16，所以(1－k)3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.13．在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－0t x 2dx ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝t 1x 2dx －t 2(1－t)＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t)＝4t 2－2t ＝4t t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.14. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0<t<1)，直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．(1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．解析 (1)由y＝3x2－3x，y＝3tx得x2－(t＋1)x＝0，所以x1＝0，x2＝t＋1.所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.因为0<t<1，所以1<t＋1<2.所以S(t)＝∫t＋10[3tx－(3x2－3x)]d x＋2t＋1[(3x2－3x)－3tx]d x＝＋2x2－x3t＋10＋x3－＋2x22t＋1＝(t＋1)3－6t＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，则h′（x)＝3(x＋1)2－6.因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，则3(x0＋1)2－6＝x0＋3－6x0＋2－mx0－1，化简整理得2x30－6x0＋m＝0，其有三个不等实根．设g(x0)＝2x30－6x0＋m，则g′（x0)＝6x20－6.由g′（x0)>0，得x0>1或x0<－1；由g′（x0)<0，得－1<x0<1，所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值；当x0＝1时，函数g(x0)取极小值．因此，关于x0的方程2x30－6x0＋m＝0有三个不等实根的充要条件是g－，g，即m＋4>0，m－4<0，即－4<m<4.故实数m的取值范围是(－4,4)．。
定积分微积分基本定理
定积分与微积分基本定理一、选择题1、已知和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为（） A． B． C． D．2、下列定积分为1是（）A．B．C．D．3、求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）A．［0，］ B．［0，2］ C．［1，2］ D．［0，1］4、下列定积分值为1的是（）A．B。
C。
D。
5、= （）A．0 B。
C．D。
6、设连续函数f(x)＞0，则当a＜b时，定积分的符号（）A．一定是正的 B．当0<a<b时为正，当a<b<0时为负C．一定是负的 D．当0<a<b时为负，当a<b<0时为正提示：被积函数为奇函数,且积分区间又关于原点对称,利用定积分的几何意义知,面积的代数和为0。
7、由直线，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（）A．B。
C．D。
8、若是上的连续偶函数，则（）A． B．0 C． D．9、变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在的位置为（）A．B．C．D．10、由直线，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（）A． B． C．D．11、如果1kg力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，则力所作的功为（）A．0.18kg·m B．0.26kg·m C．0.12kg·m D．0.28kg·m12、已知b＞a，下列值：，，||的大小关系为（）A．||≥≥B．≥||≥C．= ||=D．=||≥13、若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b所围图形的面积（）A．B．C．D．14、由抛物线和直线x=1所围成的图形的面积等于（）A．1 B． C． D．15、如图，阴影部分的面积是（）A． B． C．D．16、=（） A．5B。
4 C。
3 D。
217、= （）A． B． C．D．18、=（）A．B。
C。
D。
19、若，且a＞1，则a的值为（） A．6 B。
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1.4 定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考) 求曲线y＝ x2与y＝ x所围成图形的面积，其中正确的是()A． S＝1(x2 － x)dx0B． S＝1(x －x2)dxC． S＝1(y2 － y)dy D0． S＝1(y －y)dy[0,1][ 答案 ]B[ 分析 ]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[ 解读 ]两函数图象的交点坐标是(0,0) ， (1,1) ，故积分上限是上， x≥ x2，故函数y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积S＝1(x1，下限是－x2)dx.0，由于在2．(2010 ·山东日照模考)a ＝2xdx，b＝2exdx ，c＝2sinxdx，则a、 b、c的大小关系是 ()A． a<c<bB． a<b<cC． c<b<aD． c<a<b[ 答案 ]D1[ 解读] a ＝2xdx ＝2x2|02 0＝ 2 ， b ＝2exdx ＝ex|02 0＝ e2－ 1>2， c＝2sinxdx＝－cosx|02 ＝ 1－ cos2 ∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010 ·山东理， 7) 由曲线 y＝ x2， y＝ x3 围成的封闭图形面积为() 1117A. 12B. 4C. 3D. 12[ 答案 ]Ay＝ x2[ 解读 ]由得交点为 (0,0)， (1,1) ．y＝ x3111∴ S＝1(x2 － x3)dx ＝3x3 －4x401＝12.[ 点评 ]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010 ·湖南师大附中 ) 设点 P 在曲线 y＝ x2 上从原点到A(2,4) 移动，如果把由直线OP，直线 y＝ x2及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2. 如图所示，当S1＝S2 时，点 P 的坐标是 ()A.416B.416 3，95，9C.415D.413 3，75，7[ 答案 ]At3 [ 解读 ]设 P(t ， t2)(0≤t ≤ 2) ，则直线 OP：y＝ tx ，∴ S1＝ t(tx－ x2)dx ＝6；S2＝8t344162(x2 － tx)dx＝3－ 2t ＋6，若 S1＝ S2，则 t ＝3，∴ P 3，9 .t4．由三条直线 x＝ 0、 x＝2、 y＝ 0 和曲线 y＝ x3所围成的图形的面积为 () 418A． 4 B.3C. 5 D．6[ 答案 ]Ax4[ 解读 ]S＝2x3dx ＝4 02＝ 4.5．(2010 ·湖南省考试院调研)1－1(sinx＋1)dx的值为()A． 0 B ． 2C． 2＋2cos1 D ． 2－ 2cos1[ 答案 ]B[ 解读 ]1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线 y＝ cosx(0 ≤ x≤2π) 与直线y＝ 1 所围成的图形面积是()A．2π B ．3π3πC. 2 D．π[ 答案 ]A[ 解读 ]如右图，S＝∫ 02π(1 － cosx)dx＝(x －sinx)|02 π＝ 2π.[ 点评 ]此题可利用余弦函数的对称性①②③④ 面积相等解决，但若把积分区间改为π6 ，π ，则对称性就无能为力了．7．函数 F(x) ＝xt(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值32B．有最大值0 和最小值－332C．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值[ 答案 ]B[ 解读 ] F′(x) ＝ x(x － 4) ，令 F′(x) ＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝ 4，73225∵F( －1) ＝－3， F(0) ＝ 0， F(4) ＝－3， F(5) ＝－3 .32∴最大值为 0，最小值为－3 .[ 点评 ] 一般地， F(x) ＝ xφ(t)dt的导数 F′(x) ＝φ (x) ．18．已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn＝ 2n2＋ n，函数 f(x) ＝x t dt ，若 f(x)<a3，则 x1的取值范围是 ()3A.6，＋∞ B． (0 ， e21)C． (e － 11， e) D ． (0 ，e11)[ 答案 ] D1[ 解读 ]f(x)＝x dt ＝ lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，t10<x<e11.9．(2010 ·福建厦门一中 ) 如图所示，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC内，曲线y＝sinx(0 ≤ x≤ π) 与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点( 该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的) ，则所投的点落在阴影部分的概率是()123πA. πB. πC. πD. 4[ 答案 ]A—[ 解读 ]由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝ πsinxdx ＝－ cosx|0 π＝－ (cos π－ cos0) ＝ 2 ，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S 2＝1 .＝πS 矩形 OABC 2πx ＋ 2 －2≤ x<010．(2010 ·吉林质检 ) 函数 f(x) ＝ π的图象与 x 轴所围成的图形2cosx 0≤ x ≤ 2面积 S 为 ()31A. 2B ． 1 C ． 4 D. 2 [ 答案 ] C[ 解读 ]面积 S ＝∫ π－ 2f(x)dx ＝－2(x ＋ 2)dx ＋∫π02cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4.2 211．(2010 ·沈阳二十中 ) 设函数 f(x) ＝ x －[x] ，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数， 如 [ －x1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝1， [1]＝1. 又函数 g(x) ＝－ 3， f(x) 在区间 (0,2) 上零点的个数记为 m ，f(x) 与 g(x) 的图象交点的个数记为n ，则 ng(x)dx 的值是 ()m54A ．－ 2B ．－ 357C ．－ 4D ．－ 6[ 答案 ]A[ 解读 ]由题意可得，当 0<x<1 时， [x] ＝ 0， f(x) ＝ x ，当 1≤ x<2 时， [x] ＝ 1，f(x)＝x － 1，所以当 x ∈ (0,2) 时，函数 f(x) 有一个零点， 由函数 f(x)与 g(x) 的图象可知两个函xx25数有 4 个交点，所以 m ＝ 1， n ＝ 4，则 ng(x)dx ＝4 － 3 dx ＝ － 614＝－ 2.m111．(2010 ·江苏盐城调研 ) 甲、乙两人进行一项游戏比赛， 比赛规则如下： 甲从区间 [0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等 ) ，若关于 x 的方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )1 2 13A. 3B. 3C. 2D. 4[ 答案 ]A[ 解读 ] 方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根的充要条件为＝ 4b2－ 4c ≥ 0，即 b2≥ c ，1b2db01由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.12．(2010 ·吉林省调研 ) 已知正方形四个顶点分别为O(0,0) ，A(1,0) ，B(1,1) ，C(0,1) ，曲线 y＝ x2(x ≥ 0) 与 x 轴，直线 x＝1 构成区域 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M内的概率是 ()11A. 2B. 412C. 3D.5[ 答案 ]C[ 解读 ]如图，正方形面积1，区域 M的面积为 S＝ 1x2dx111＝3x3|01 ＝3，故所求概率 p＝3.2．如图，阴影部分面积等于()A． 2 3B． 2－33235C. 3D. 3[ 答案 ]C[ 解读 ]图中阴影部分面积为132.S＝ 1(3 － x2－ 2x)dx ＝ (3x －3x3－ x2)|1－ 3＝ 3-33. 24－ x2dx ＝ ()A．4π B ．2ππC．π D.2[ 答案 ]C[ 解读 ]令 y＝4－ x2，则 x2＋y2＝ 4(y ≥0) ，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，1∴ S＝4×π× 22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线( 假定为直线 ) 行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和 v 乙 ( 如图所示 ) ．那么对于图中给定的t0 和 t1 ，下列判断中一定正确的是 ()A．在 t1 时刻，甲车在乙车前面B．在 t1 时刻，甲车在乙车后面C．在 t0 时刻，两车的位置相同D． t0 时刻后，乙车在甲车前面[ 答案 ]A[ 解读 ]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0 ， t1 时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数 v(t)的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在 t0时刻， v 甲的图象与 t轴和 t ＝ 0，t ＝ t0围成区域的面积大于 v 乙的图象与 t 轴和 t ＝ 0， t ＝ t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D 错误；同样，在t1 时刻， v 甲的图象与 t 轴和t ＝ t1 围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与 t 轴和 t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在 t1 时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选 A.ππ5．(2012 ·山东日照模拟 ) 向平面区域Ω＝ {(x ，y)| －4≤ x≤4，0≤ y≤1} 内随机投掷一点，该点落在曲线y＝ cos2x 下方的概率是 ()π 1A. 4B. 2π2C. 2－ 1D. π[ 答案 ]D[ 解读 ]π平面区域Ω 是矩形区域，其面积是2，在这个区6．(sinx－ cosx)dx的值是 ()πA． 0 B. 4C． 2D．－ 2[ 答案 ]D[ 解读 ](sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝－2.7．(2010 ·惠州模拟 )2(2 － |1 － x|)dx ＝ ________.[ 答案 ]3[ 解读 ]1＋ x 0≤ x≤ 1∵ y＝，3－ x 1<x ≤ 2∴ 2(2 － |1 － x|)dx ＝1(1 ＋ x)dx ＋ 2(3 － x)dx0011133＝(x ＋2x2)|10＋ (3x －2x2)|21＝2＋2＝ 3.8．(2010·芜湖十二中 ) 已知函数 f(x) ＝3x2 ＋ 2x＋ 1，若1－1f(x)dx ＝2f(a) 成立，则a＝ ________.1[ 答案 ]－ 1 或3[ 解读 ]∵1－ 1f(x)dx ＝1－ 1(3x2 ＋ 2x ＋ 1)dx ＝ (x3 ＋ x2 ＋ x)|1 － 1 ＝ 4 ，1－1f(x)dx＝2f(a)，∴ 6a2＋4a＋2＝4，1∴ a＝－ 1 或3.π19．已知a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx，则二项式(a x－x)6 的展开式中含x2项的系数是________．[ 答案 ]－192ππππ[ 解读 ]由已知得a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| 2 0＝(sin2－cos2)－(sin0 － cos0) ＝ 2，1(2 x－ )6 的展开式中第 r ＋ 1 项是 Tr ＋ 1＝ ( －1)r ×C6r×26－r ×x3－r，令 3－ r ＝ 2 得，xr ＝ 1，故其系数为( －1)1 ×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝ x2 相交于 A、B 两点，线段 AB 与抛物线所围成图形的面积4恒等于3，求线段AB的中点 P 的轨迹方程．[ 解读 ]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a， a2) ， B(b ， b2) ，不妨设a<b，b2－ a2则直线 AB 的方程为y－ a2＝b－a (x － a) ，即y＝(a ＋ b)x － ab.a＋ b 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S＝b[(a ＋b)x － ab－x2]dx ＝(2x2－abx －ax313 )|ba＝6(b －a)3 ，14∴6(b － a)3 ＝3，解得 b－ a＝ 2. 设线段 AB的中点坐标为 P(x ，y) ，a＋ b其中x＝2，将 b－a＝ 2 代入得x＝a＋ 1，y＝ a2＋ b2.y＝ a2＋ 2a＋ 2.2消去 a 得 y＝ x2＋ 1.∴线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 y＝ x2＋ 1.能力拓展提升11.(2012 ·郑州二测 ) 等比数列 {an} 中，a3＝ 6，前三项和 S3＝34xdx ，则公比 q 的值为()1A． 1 B ．－211C． 1 或－2D．－ 1 或－2[ 答案 ]C66[ 解读 ]因为 S3＝34xdx ＝ 2x2|30＝ 18，所以q＋q2＋ 6＝ 18，化简得 2q2－ q－1＝ 0，1解得 q＝ 1 或 q＝－2，故选 C.12． (20 12·太原模拟 ) 已知 (xlnx) ′＝ lnx ＋1，则elnxdx＝ ()1A． 1 B ． e C ． e－ 1 D ． e＋ 1[ 答案 ]A[ 解读 ]由(xlnx)′＝ lnx ＋ 1，联想到 (xlnx－x) ′＝ (lnx＋ 1) －1＝ lnx ，于是 elnxdx1＝(xlnx － x)|e1＝ (elne－ e) －(1 ×ln1 －1) ＝ 1.13．抛物线 y2＝ 2x与直线 y＝ 4－ x 围成的平面图形的面积为 ________．[ 答案 ]18[ 解读 ]y2＝ 2x，A(2,2) 、B(8 ，－4) ，选 y 作为积分变量 x 由方程组解得两交点y＝ 4－ x，y2＝2、 x＝ 4－y，2 [(4 － y) －y2y2y3∴ S＝2 ]dy ＝ (4y －2－6 )|2－ 4＝ 18.-414.已知函数 f(x)＝ ex－ 1，直线 l1 ： x＝ 1， l2 ： y＝et － 1(t 为常数，且 0≤ t ≤ 1) ．直线l1 ， l2 与函数 f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2 表示．直线 l2 ，y 轴与函数 f(x) 的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1 表示．当 t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[ 答案 ]( e－ 1)2[ 解读 ]由题意得S1＋ S2＝ t(et － 1－ ex ＋ 1)dx ＋1(ex － 1－ et ＋ 1)dx ＝ t(et－0t0ex)dx ＋ 1(ex － et)dx ＝ (xet － ex)|t 0 ＋ (ex － xet)|1 t ＝ (2t－ 3)et＋ e＋ 1，令 g(t) ＝ (2t－t3)et ＋ e＋ 1(0 ≤ t ≤ 1) ，则 g′(t) ＝ 2et ＋ (2t －3)et ＝ (2t－ 1)et，令 g′(t) ＝ 0，得 t ＝1 2，11∴当 t ∈ [0 ，2) 时， g ′(t)<0 ， g(t) 是减函数，当 t ∈ ( 2，1] 时， g ′(t)>0 ， g(t)是增函数，1 1因此 g(t) 的最小值为g( 2) ＝ e ＋ 1－ 2e 2＝ ( e － 1)2. 故阴影部分的面积的最小值为( e －1)2.15．求下列定积分．(1)－ 1|x|dx 。
第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理
②一般情况下，定积分∫b af(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲 线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如 图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积 分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质
b k∫a f(x)dx . b b b ∫ ∫ f ( x )d x ± a f2(x)dx . ②∫a[f1(x)± f2(x)]dx＝ a 1
设一个物体从初速度为 1 时开始做直线运动， 已知在任意 时刻 t 时的加速度为 2 t＋1，试将位移 s 表示为时间 t 的 函数式．
解：取物体运动的起点为原点，在t时刻的位移为s＝s(t)，速度 为v＝v(t)，加速度为a＝a(t)，则有 s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)＝2 t＋1，s(0)＝0，v(0)＝1. 在区间[0，t]上有v(t)－v(0)
b
a
f(x)dx|＝－
b
a
f(x)dx.
(3)由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3)：
图3 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
a
b
4 1 ∫ 1．(2010· 湖南高考) 2 xdx等于
[自主解答] a＝－0.4 m/s2，v0＝72 km/h＝20 m/s. 设t s后的速度为v，则v＝20－0.4t. 令v＝0，即20－0.4t＝0得t＝50(s)．
50 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝ ∫ 50 0 vdt＝ ∫ 0
(20－0.4t)dt ＝(20t－0.2t2)|50 0 ＝20×50－0.2×502＝500 (m)， 即列车应在进站前50 s和进站前500 m处制动．
定积分与微积分基本定理
A．－1B．－
C. D．1
答案：B
解析：设t＝ f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2t，∴ f(x)dx＝ ＝ ＋2t＝t，∴t＝－ ，即 f(x)dx＝－ .故选B.
二、非选择题
9．已知物体以速度v(t)＝2t2(单位：m/s)做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s内所走过的路程为________．
C．c<b<aD．c<a<b
答案：D
解析：a＝ x2dx＝ ＝ ，
b＝ x3dx＝ ＝4，
c＝ sinxdx＝(－cosx) ＝1－cos2.
∵cos2∈[－1,1]，∴1－cos2∈[0,2]，
∴1－cos2< <4，故c<a<b.故选D.
4．[优质试题·湖北鄂南高中月考]已知数列{an}为等差数列，且a2 013＋a2 015＝ dx，则a2 014(a2 012＋2a2 014＋a2 016)的值为()
4．设函数f(x)＝ ，则 f(x)dx的值为()
A. ＋ B. ＋3
C. ＋ D. ＋3
答案：A
解析：根据定积分的性质可得 f(x)dx＝ dx＋ (x2－1)dx，根据定积分的几何意义可知， dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的 ，即 dx＝ ，∴ f(x)dx＝ ＋ ＝ ＋ ，故选A.
A．1－ln2B．2－2ln2
C．2ln2－1D．ln2
答案：C
解析：因为y＝ ，所以y′＝ ′＝ ，则曲线y＝ 在(0，－1)处的切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2x－1，则曲线y＝ 与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围成的封闭图形的面积S＝ dx＝∫ dx＝[x2－2x＋2ln(x＋1)] ＝2ln2－1.故选C.
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3.4 定积分与微积分基本定理一、选择题1．与定积分∫3π1－cos x d x 相等的是( )． A.2∫3π0sin x2d xB.2∫3π⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x 2d xD ．以上结论都不对解析 ∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π1－cos x d x ＝ ∫3π02|sin x2|d x ＝2∫3π|sin x2|d x .答案 B2. 已知f (x )为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－6f(x)d x ＝( )[来源:学.科.网Z.X.X.K]A ．0B ．4C ．8D ．16 解析 ⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛06f(x)d x ＝2×8＝16.答案 D3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )． A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)． 答案 A4．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个 4 s 内经过的路程是( )A ．260 mB ．258 mC ．259 mD ．261.2 m[来源:]解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪ 84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 答案 D5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )．A.103 B ．4 C.163D ．6解析 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 40＝163.答案 C6．已知a ＝∑i ＝1n1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎛01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )．A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．不确定答案 A 7．下列积分中①⎠⎛1e 1x d x ；②⎠⎛2－2x d x ；③⎠⎛024－x 2πd x ； ④∫π20cos 2x 2cos x －sin xd x ，积分值等于1的个数是( )．[来源:Z§xx§]A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①⎪⎪⎪⎠⎛1e1x d x ＝ln x e1＝1，[来源:学|科|网] ②⎪⎪⎪⎠⎛2－2x d x ＝12x 22－2＝0，③⎠⎛024－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1，④∫π20cos 2x 2cos x －sin x d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x＝12(sin x －cos)|π20＝1. 答案 C 二、填空题8．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．[来源:]解析 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060100x d x ＝0.18(J )． 答案 0.18 J9．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________．答案32－ln 2 10．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于_________．解析 ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝⎠⎛0k 2x d x －⎠⎛0k 3x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪k－x 3k0＝k 2－k 3＝0， ∴k＝0或k ＝1. 答案 0或111． ⎠⎛12|3－2x |d x ＝________.解析∵|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤32，2x －3，x ＞32，∴⎠⎛12|3－2x |d x ＝∫321(3－2x )d x ＋⎠⎛232(2x －3)d x＝|3x －x 2321＋(x 2－3x )|232＝12. 答案 1212．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析 如图所示，因为y ′＝－2x ＋4，y ′|x ＝1＝2，y ′|x ＝3＝－2，两切线方程为y ＝2(x －1)和y ＝－2(x －3)． 由⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝－2x －3得x ＝2.所以S ＝⎠⎛12[2(x －1)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎛23[－2(x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x＝⎠⎛12(x 2－2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(x 2－6x ＋9)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋x 21＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x 32＝23. 答案23三、解答题13．如图在区域Ω＝{(x ，y )|－2≤x ≤2,0≤y ≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解析 区域Ω的面积为S 1＝16. 图中阴影部分的面积S 2＝S 1－⎪⎪⎪⎠⎛2－2x 2d x ＝16－13x 32－2＝323. 设落在阴影部分的豆子数为m ， 由已知条件m 900＝S 2S 1， 即m ＝900S 2S 1＝600.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．14．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝∫1－k(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k0 ＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.15．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解析 设切点坐标为(x 0，y 0)y′＝6x2－6x－2，则y′|x＝x0＝6x20－6x0－2，切线方程为y ＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则y 0＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12， 即2x 30－3x 20－2x 0＋1＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12. 整理得x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0，解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋1，y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2.由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知S ＝∫320[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x[来源:学*科*网]＝∫320(－2x 3＋3x 2)d x ＝2732.16. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0<t<1)，直线l 2与函数f(x)的图象以及直线l 1、l 2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K 15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．[来源:.Com] (1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x ∈R .若过点A (1，m )(m ≠4)可作曲线y ＝h (x )(x ∈R )的三条切线，求实数m 的取值范围．解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝3x 2－3x ，y ＝3tx得x 2－(t ＋1)x ＝0，所以x 1＝0，x 2＝t ＋1.所以直线l 2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t ＋1. 因为0<t<1，所以1<t ＋1<2.所以S(t)＝∫t ＋1[3tx －(3x 2－3x)]d x ＋⎠⎛2t ＋1[(3x 2－3x)－3tx]d x ＝ ⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3t ＋12x 2－x 3t ＋10＋⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3－3t ＋12x 22t ＋1＝(t＋1)3－6t＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，[来源:]则h′(x)＝3(x＋1)2－6.因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，[来源:Z&xx&]则3(x 0＋1)2－6＝x 0＋13－6x 0＋2－m x 0－1， 化简整理得2x 30－6x 0＋m ＝0，其有三个不等实根．设g (x 0)＝2x 30－6x 0＋m ，则g ′(x 0)＝6x 20－6.由g ′(x 0)>0，得x 0>1或x 0<－1；由g ′(x 0)<0，得－1<x 0<1，所以g (x 0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以当x 0＝－1时，函数g (x 0)取极大值；当x 0＝1时，函数g (x 0)取极小值．因此，关于x 0的方程2x 30－6x 0＋m ＝0有三个不等实根的充要条件是⎩⎨⎧ g －1>0，g 1<0，[来源:学_科_网Z_X_X_K] 即⎩⎨⎧ m ＋4>0，m －4<0，即－4<m <4.故实数m 的取值范围是(－4,4)．（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
2-定积分与微积分基本定理(理)含答案
(理)定积分与微积分基本定理一、选择题1．S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 本题考查微积分基本定理． S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73.S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)．令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B . 答案 BA ．3B ．4C ．3.5D ．4.5解析答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d xC.⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.答案 C4．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2解析答案 B5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.答案 C6．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22解析答案 C 二、填空题7．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案 38．计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.答案 13＋π49．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x . 代入B ，C 两点，则⎩⎪⎨⎪⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.答案 54 三、解答题10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.① 由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3. 于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4 ＝4＋3ln2.11．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1， 所以抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16. 又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S 2＝∫1－k0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12. 于是k ＝1－ 312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2. (1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x . 作出曲线y ＝x 3－3x 的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。
定积分与微积分基本定理最有效训练题
定积分与微积分基本定理最有效训练题（限时45分钟）1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（ ） A. -2 B.163-C.-4D. 1632.定积分)10x dx =⎰（ ） A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π- 3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（ ） A.34 B.45 C.56 D.不存在 4.222000,,sin x a xdx b e dx c xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ） A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b <<5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（ ）A,１ B. ２ 1 D. )21 6.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（ ）A,12B.１ D. 7.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为 ． 8.已知()f x 是偶函数，且()506f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ． 9.()202|1x |dx --=⎰ ．10.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为 ．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰； （２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （３）11dx +⎰； （４）20cos 2x dx π⎰； （５）20cos 2cos sin x dx x x π-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。
定积分与微积分基本定理随堂练习(含答案).doc
定积分与微积分基本定理基础巩固强化1.(2011 •宁夏银川一中月考)求曲线与y=x所围成图形的面积，其中正确的是()［答案］B［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.［解析］两函数图象的交点坐标是(0,0), (1,1),故积分上限是1, 下限是0，由于在［0,1］上，,故函数y =疽与y = x所围成图形的面积S = C\x ~ x2)dx.［答案］C［解析］图中阴影部分面积为S =「(3 - x2 - 2x)dx = (3x %2)l-3 = ~3~- J-33.J2A/4—x2dx=( )A.4TT B. 2TIC.71 D.T［答案］c［解析］令y = .4 _ x2,则x2 + y2 = 4(y^0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，.*.S=^X K X22= 7t.Cz ，乙 Rt4.00"1已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为”甲和”乙（如图所示）.那么对于图中给定的姑和S下列判断中一定正确的是（）A.在h时刻，甲车在乙车前面B.在4 口寸刻，甲车在乙车后面C.在而时刻，两车的位置相同D.t.时刻后，乙车在甲车前面［答案］A［解析］判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在如4时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数NO的图象与，轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在「0时刻，"甲的图象与♦轴和t = 0, t=t Q围成区域的面积大于华的图象与♦轴和f = 0, 围成区域的面积，因此，在£。
时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C, D错误；同样，在》时刻，"甲的图象与£轴和t=t｛围成区域的面积，仍然大于"乙的图象与F轴和t=t x围成区域的面积，所以，可以断定：在4时刻，甲车还是在乙车的前面.所以选A.__ _IT 7T5.（2012-山东日照模拟）向平面区域Q=｛（x, y）|—云, OW）W1｝内随机投掷一点，该点落在曲线y = cos2x下方的概率是B.?A-A 714D.271［答案］D［解析］平面区域。
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解(含答案)
定积分、微积分基本定理（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6 小题）1)101．（2018 春•海淀区期中）dx (1xA．1 B．ln 10 1 C．ln10 D．101 1a 1 a ( )a2．（2018 春•海淀区校级期中）若(x )dx 1ln3 ，且，则的值为1 x2A． 3 B．1n3 C． 3 D．31)33．（2017•丰台区一模）定积分(2x ) dx (1xA．B．C．D．10 ln3 8 ln3 223 649f (x) g(x) [ 1 1]14．（2017 春•丰台区期末）若函数f x ，g(x) 满足 f (x)g(x)dx 0 ，则称，在区间，上是“互为( )1正交函数”．现给出三组函数：①f (x ) 2 ，g(x ) e x ．②f (x ) x 1，g(x ) x 1；③f (x ) x ，g(x ) x2 其中“互为正交函数”的组数是 ( )A．0 B．1 C．2 D．31( )45．（2017 春•西城区校级期中）dx 等于2xA．21n 2 B． 21n 2 C．ln 2 D．ln 21a b( ) 6．（2017 春•朝阳区期末）若a xdx ，b sin xdx ，则的值是1 0A． 2 B．0 C．2 D．3二．填空题（共7 小题）1 37．（2017 秋•海淀区期中）定积分x dx 的值等于．12 28．（2017 秋•海淀区校级月考）计算：3x dx ．2139．（2017 秋•东城区校级期中）定积分(2x )dx ．1x3 210．（2017 秋•崇文区校级期中）x dx 的值等于．311．（2017 秋•西城区校级月考）如图中的曲线为( ) 2 ，则阴影部分面积为．f x x2 x第1页（共7页）3 212．（2017 春•西城区校级期中）x dx ．213．（2017 春•海淀区校级期末）sin xdx ．3三．解答题（共2 小题）14．（2013•宣武区校级模拟）计算下列定积分的值3 2（1）(4x x )dx ；12 5（2）(x 1) dx ；1（3）(x sin x)dx ；2（4）．2 cos xdx2215．（2013•北京校级模拟）计算下列定积分（1）；2 (3x sin x)dx2（2）．323 9 x dx第2页（共7页）定积分、微积分基本定理（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6 小题）1)101．（2018 春•海淀区期中）dx (1xA．1 B．ln10 1 C．ln10 D．10【分析】根据定积分的计算法则计算即可．110 10【解答】解：dx lnx | ln10 ln1ln10 ，11x故选：C ．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．1 1a 1 a ( )a2．（2018 春•海淀区校级期中）若(x )dx 1ln3 ，且，则的值为1 x2A． 3 B．1n3 C． 3 D．3【分析】根据微积分基本定理，计算即可．1 1 1 1 1 1 1a x dx x lnx a a lna a lna ln【解答】解：( ) ( ) | ( ) ( 0) 13，2 2 211x 2 2 2 2 2 21 a 1 13 2 1 lnaln且，2 2 2解得a 3 ，故选：C ．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．1)33．（2017•丰台区一模）定积分(2x ) dx (1xA．B．C．D．10 ln3 8 ln3 223 64 9【分析】求出原函数，即可求出定积分．13 2 3【解答】解：(2x ) dx (x lnx ) | 8 ln3 ，11x故选：B ．【点评】本题考查定积分，考查学生的计算能力，确定原函数是关键．f (x) g(x) [ 1 1]14．（2017 春•丰台区期末）若函数f x ，g(x) 满足 f (x)g(x)dx 0 ，则称，在区间，上是“互为( )1正交函数”．现给出三组函数：①f (x ) 2 ，g(x ) e x ．②f (x ) x 1，g(x ) x 1；③f (x ) x ，g(x ) x2 其中“互为正交函数”的组数是 ( )第3页（共7页）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用题意将原问题转化为考查函数奇偶性的问题，据此整理计算即可求得最终结果．y f (x)g(x)1【解答】解：函数，满足( ) ( ) 0 ，则为奇函数，f (x) g(x) f xg x dx1对于①：( ) 2 ，，不是奇函数，，不是区间，上的一组正交函数；f x g(x) e x y 2e x f (x) g(x) [ 1 1]对于②：，，则为偶函数，，不是区间，上的一组f (x) x 1 g(x) x 1 y (x 1)(x 1) x2 1 f (x) g(x) [ 1 1]正交函数；对于③：，，，为奇函数，，为区间，上的一组正交函数，f (x) x g(x) x2 y x3 f (x) g(x) [ 1 1]正交函数有 1 组，故选：B ．【点评】本题考查定积分的性质，函数的奇偶性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．1( )45．（2017 春•西城区校级期中）dx 等于2xA．21n 2 B． 2 C． 2 D． 221n ln ln【分析】根据定积分的计算法则计算即可14 4【解答】解：dx lnx | ln4 ln2 2ln2 ln2 ln2 ，22x故选：D ．【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题1a b( ) 6．（2017 春•朝阳区期末）若a xdx ，b sin xdx ，则的值是1 0A． 2 B．0 C．2 D．3【分析】根据定积分的定义计算即可．1 11 2 1 2 2【解答】解：a xdx x |[1 ( 1) ] 0 ，112 2，b sin xdx cos x | cos cos 0 2则0 2 2 ．a b故选：C ．【点评】本题考查了定积分的定义与计算问题，是基础题．二．填空题（共7 小题）1 37．（2017 秋•海淀区期中）定积分x dx 的值等于0．111 3 4 1【分析】由已知可得x dx x ，进而得到答案．|114第4页（共7页）1 1 1【解答】解：Q1 3 4 1x dx x |114 4 4故答案为：0【点评】本题考查的知识是定积分，求出原函数是解答的关键．2 28．（2017 秋•海淀区校级月考）计算：3x dx 16．2【分析】结合积分公式进行计算即可．2 23 2 3 3【解答】解：3x dx x | 2 ( 2) 8 8 16 ，22故答案为：16．【点评】本题主要考查积分的计算，结合积分公式是解决本题的关键．18 ln339．（2017 秋•东城区校级期中）定积分(2x )dx ．1x1 33 2 3【分析】，由此能求出结果．(2x )dx (x lnx)x |x 1111 33 2 3【解答】解：(2x )dx (x lnx)x |x 111(3 ln3) (1 ln1)2 28 ln3．故答案为：8 ln3．【点评】本题考查函数的定积分的求法，考查导数、不定积分、定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3 210．（2017 秋•崇文区校级期中）x dx 的值等于18．3【分析】利用微积分基本定理即可得出．x 27 2733 2 3【解答】解：．x dx | () 18333 3 3故答案为：18．【点评】本题考查了微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（2017 秋•西城区校级月考）如图中的曲线为( ) 2 ，则阴影部分面积为．f x x x 823第5页（共7页）【分析】根据积分的几何意义求对应阴影部分的面积，即可得到结论．S f x dx fx dx 【解答】解：由积分的意义得阴影部分的面积 1 ( ) 0( )0 20 2 2 21(x 2x)dx 0 (x 2x)dx1 1( x x ) |( x x ) |3 2 0 3 2 21 03 31 1，4 48(1)( 8 4)()3 33 338故答案为：．3【点评】本题主要考查阴影部分面积是计算，利用积分的应用，建立积分关系是解决本题的关键．193 212．（2017 春•西城区校级期中）x dx ．23【分析】根据定积分的运算法则，求解即可．1 1 193 2 3 3【解答】解：x dx x | (27 8) ．223 3 319故答案为：．3【点评】本题考查了定积分的计算问题，是基础题．313．（2017 春•海淀区校级期末）sin xdx ．23【分析】找出被积函数y sin x 的原函数，然后利用牛顿莱布尼兹公式计算即可得出答案．3 3【解答】解：sin xdx cos x ，故答案为：．2 233【点评】本题考查定积分的计算，找出被积函数的原函数，是解本题的关键，属于基础题．三．解答题（共2 小题）14．（2013•宣武区校级模拟）计算下列定积分的值3 2（1）(4x x )dx ；12 5（2）(x 1) dx ；1第6页（共7页）（3）(x sin x)dx ；2（4）cos xdx ．222【分析】利用微积分基本定理和导数的运算法则即可得出．x 2033 2 2 3【解答】解：（1）x x dx x ；(4 ) (2 ) |113 3( 1) (x 1)6 1x 62 5 2（2）Q ( ) ( 1) ，(x 1) dx | ；5x16 16 62 2x（3）( sin ) ( cos ) | 1；2 x x dx x 22 81 cos 2x x sin 2x（4）cos xdx dx ( ) | ．2 2 222 2 4 22 2 2【点评】熟练掌握微积分基本定理和导数的运算法则是解题的关键．15．（2013•北京校级模拟）计算下列定积分（1）；2 (3x sin x)dx2（2） 3 9 x dx ．32【分析】利用微积分基本定理和定积分的几何意义即可求出．3【解答】解：（1），原式；Q (x 3 cos x) |2 1(x 3 cos x ) 3x 2 sin x8（2）令，则，9 x 2 y… 0 x 2 y 2 9(y…0)3 29 xdx3 表示的是上半圆的面积，x 2 y 2 9(y…0)3 29 x dx392．【点评】熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．第7页（共7页）。
定积分与微积分基本定理理含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2. 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)et＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝⎠⎛a0[0－(－x3＋ax2)]d x＝(14x4－13ax3)|0a＝112a4＝112，∵a<0，∴a＝－1.1．已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dxππ-⎰的值，结果是()＋π2B．πC．1 D．0[答案]B[解析]22()f x dxππ-⎰＝22ππ-⎰sin5x d x＋22ππ-⎰1d x，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin5x d x＝0，而22ππ-⎰1d x＝x|π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若ab 的运算原理如图所示，则2⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⎠⎛0πsin x d x ＝22＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.（2011 •宁夏银川一中月考）求曲线y = x2与y = x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A. S = 1(x2 — x)dxB . S = 1(x — x2)dxC. S = 1(y2 — y)dy D -S = 1(y — 'y)dy0 0［答案］B［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.［解读］两函数图象的交点坐标是（0,0） , （1,1），故积分上限是1，下限是0,由于在［0,1］上，x >x2，故函数y = x2与y = x 所围成图形的面积 S = 1（x — x2）dx. 02xdx , b = 2exdx , c = 2sinxdx ，贝U a 、b 、c 的大小关 0 0 0 玄阜 系是A. a<c<bB . a<b<c C. c<b<aD. c<a<b ［答案］D1［解读］ a = 2xdx = rx2|02 = 2 , b = 2exdx = ex|02 = e2 — 1>2, c = 2sinxdx =—0 0 0 cosx|02 = 1 — cos2 € (1,2),c<a<b.3. (2010 •山东理，7)由曲线y = x2, y = x3围成的封闭图形面积为( )［答案］Ay = x2［解读］由得交点为(0,0) , (1,1)y = x3（2010 •湖南师大附中）设点P 在曲线y = x2上从原点到A （2,4）移动，如果把由直线OR2. （2010 •山东日照模考）a = 1117A讲.产于壬S = 1(x2 — x3)dx =1 1 1 3x3 —4x4 01 =［点评］图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函 数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题:直线y = x2及直线x = 2所围成的面积分别记作 S1, S2.如图所示，当S1 = S2时，点P 的坐标是()4 164 16A. 3， 9B. 5， 94 154 13 C. 3， 7 D. 5， 7 ［答案］A4. 由三条直线x = 0、x = 2、y = 0和曲线y = x3所围成的图形的面积为( )4 18A. 4B.C. wD. 63 5 ［答案］Ax4［解读］ S = 2x3dx =— 02= 4.0 5.(2010 •湖南省考试院调研)1 — 1(sinx + 1)dx 的值为()A. 0 B . 2C. 2 + 2cos1 D . 2— 2cos1 ［答案］B［解读］ 1 — 1(sinx + 1)dx = ( — cosx + x)| — 11 = ( — cos1 + 1) — ( — cos( — 1) — 1)= 2.6.曲线y = cosx(0 wx < 2n )与直线y = 1所围成的图形面积是()A. 2 n B . 3 n7t［答案］A ［解读］如右图， S =/ 02 n (1 — cosx)dx=(x — sinx)|02 n= 2 n.［点评］ 此题可利用余弦函数的对称性［解读］ 设 P(t ,⑵(0 < t < 2)，则直线 OP y = tx ,••• S1 =t(tx 0t3—x2)dx =~6; S2 =8t3 卄 , 2(x2 — tx)dx t =3― 2t + 百，若 S1= S2,则 t4 16 …P 3， 9①②③④ 面积相等解决，但若把积分区间改为4 3，n—,n ，则对称性就无能为力了.7. 函数F(x) = xt(t —4)dt 在［—1,5］上( )A. 有最大值0,无最小值32B. 有最大值0和最小值-㊁c.有最小值- 3，无最大值D.既无最大值也无最小值［答案］B［解读］F' (x) = x(x —4)，令F' (x) = 0，得x1 = 0, x2 = 4,•- F( —1) =—3, F(0) = 0, F(4) = —32, F(5)=—学的取值范围是()C. (e —11, e) D . (0 , e11)［答案］D［解读］1f(x) = x-dt = Int|1x = Inx , a3 = S3—S2= 21 —10= 11,由Inx<11 得, 1t0<x<e11.9. (2010 •福建厦门一中)如图所示，在一个长为n,宽为2的矩形OABC内，曲线y =sinx(0 w x< n )与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OAB(内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()1 2 3 nA. B.—C. —D.二n n n 4［答案］A•••最大值为0,最小值为—32［点评］一般地，F(x) x $ (t)dt 的导数F' (x) (x).&已知等差数列{an}的前n项和Sn= 2n2 + n,函数f(x) *dt，若f(x)<a3 ，则xA. -pmB. (0 , e21)［解读］由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积•由题意得S = nsinxdx = — cosx|0 n=— (cos n — cosO) = 2，再根据几何概型的算法易知所求概率 P =S 2 1S 矩形 OAB CT 27=V .x + 2— 2 w x<010.(2010 •吉林质检)函数f(x) = n 的图象与x 轴所围成的图形2cosx 0w x w —面积S 为( )3 1 A. gB . 1 C .4 D. q ［答案］Cnn［解读］ 面积 S =/ — — 2f(x)dx =0 — 2(x + 2)dx + / —02cosxdx = 2 + 2= 4.11. (2010 •沈阳二十中)设函数f(x) = x — ［x ］，其中［x ］表示不超过x 的最大整数，女口［—x1.2］ =— 2, ［1.2］ = 1, ［1］ = 1.又函数g(x) = — 3, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m,f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ,贝U ng(x)dx 的值是()m5 4 A.—尹.—3C — 5D . — 74 6［答案］ A［解读］ 由题意可得，当 0<x<1 时，[x] = 0, f(x) = x ，当 1w x<2 时，[x] = 1, f(x)=x — 1,所以当x € (0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函11. (2010 •江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛， 比赛规则如下：甲从区间［0,1］ 上随机等可能地抽取一个实数记为b ,乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2 + 2bx + c = 0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在 一场比赛中甲获胜的概率为( )1213［答案］A数有4个交点，所以 m = 1, n = 4，贝U ng(x)dx =mx —3 dx =x2 6 14= — 52.［解读］方程x2+ 2bx + c= 0有实根的充要条件为△ = 4b2 —40 0,即卩b2> c,1b2db 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p = 0X1 =!12. (2010 •吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为0(0,0) , A(1,0) , B(1,1), 曲线y= x2(x > 0)与x轴，直线x = 1构成区域M现将一个质点随机地投入正方形中，点落在区域M内的概率是()A.2B.4C.3D.5［答案］C［解读］如图，正方形面积1，区域M的面积为S= 1x2dx2•如图，阴影部分面积等于()A. 2 '3B. 2 —：3［答案］C［解读］图中阴影部分面积为1 32S= 1 (3 —x2 —2x)dx = (3x —3x3 —x2)|1 —3=石.-3 3 33. 2 ;4 —x2dx =( )A. 4 n B . 2 nnC.nD. 2 C(0,1),则质= 3x3|01 = g,故所求概率p= 332 35C.yD.y［答案］C［解读］令y= .'4 —x2,则x2 + y2 = 4（y >0）,由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，1S=〒XnX 22=n.4—% •；0!2 xft电Jf XS*J F*4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶•甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）•那么对于图中给定的tO和t1，下列判断中一定正确的是（）A. 在t1时刻，甲车在乙车前面B. 在t1时刻，甲车在乙车后面C. 在tO时刻，两车的位置相同D. tO时刻后，乙车在甲车前面［答案］A［解读］判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在to, t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题. 根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t = 0, t = t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t = 0, t = t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C, D错误；同样，在域中曲线COS2T下方区域的面积長J* cos2xd.T ［答案］t1时刻，v甲的图象与t轴和t = t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t = t1 围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面•所以选 A.5. (2012 •山东日照模拟)向平面区域Q= {(x,y)l 7t—才w x w —, 0 w y w 1｝内随机投掷一点，该点落在曲线y= cos2x下方的概率是(D.［答案］平面区域Q 是矩形区域n 其面积是—,在这个区2,1 o4COS2^.T1T—2( 1.故所求的概率是丄7T6.A. 0 Ji 7T(sinx —cosx)dx 的值是(C. 2D.—2［解读］(si nx —cosx)dx = ( —cosx —sinx) =—2.7. (2010 •惠州模拟) 2(2 —|1 —x|)dx =••• 2(2 — |1 — x|)dx = 1(1 + x)dx +2(3 — x)dx0 0 1 1 1 3 3=(x + 2X2)|1O + (3x —严)|21 = + 2= 3.& (2010 •芜湖十二中)已知函数 f(x) = 3x2 + 2x + 1,若 1 — 1f(x)dx = 2f(a)成立，则［答案］—1则直线AB 的方程为y — a2=学—乎(x — a), 即 y = (a + b)x — ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为 S =a + bb[(a + b)x — ab — x2]dx = (—^ x2 — abx — a［答案］3［解读］3-x 1<xa =［解读］1 — 1f(x)dx1 — 1(3x2 + 2x + 1)dx = (x3 + x2 + x)|1 — 1 =4 ,1 —1f(x)dx = 2f(a),• 6a2 + 4a + 2= 4,• • a =— 1 1或3.9.已知 n —1a =/ y0(sinx + cosx)dx ，则二项式 (a x —)6 的展开式中含x2项的系数［答案］ —192［解读］ ,「.n n n n由已知得 a =/ —0(sinx + cosx)dx = ( — cosx + sinx)| —0= (sin — — cos-^) —(si n0 — cosO) = 2,(2 .x -的展开式中第 r + 1 项是 Tr + 1= ( — 1)r x (C x 26— r x x3 —，令 3— r = 2 得,r = 1，故其系数为(—1)1 XCX 25=—192.10. 有一条直线与抛物线 y = x2相交于A B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积 恒等于4,求线段AB 的中点P 的轨迹方程.［解读］设直线与抛物线的两个交点分别为A(a , a2), B(b , b2)，不妨设 a<b ,1 4 ••• 6(b - a)3 = 3，解得b - a = 2.设线段AB 的中点坐标为P(x , y),a + b消去a 得y = x2 + 1.•线段AB 的中点P 的轨迹方程为y = x2 + 1. 能力拓展提升11. (2012 •郑州二测)等比数列｛an ｝中,a3= 6,前三项和S3= 34xdx ,则公比q 的值为0 ( )1A. 1 B •-、1 、 1c. 1 或—•— 1 或—2 ［答案］C6 6［解读］ 因为 S3= 34xdx = 2x2|30= 18,所以-+ 迈 + 6= 18,化简得 2q2- q - 1 = 0, 1解得q = 1或q =— 2，故选C. 12.(2012 •太原模拟)已知(xlnx) ' = lnx + 1，贝U elnxdx =()1A. 1 B . e C . e — 1 D . e + 1 ［答案］A［解读］ 由(xlnx) ' = lnx + 1,联想到(xlnx — x) '= (lnx + 1) — 1 = lnx ，于是 elnxdx1=(xlnx — x)|e1 = (elne — e) — (1 x ln1 —1) = 1.13. _________________________________________________________ 抛物线y2= 2x 与直线y = 4— x 围成的平面图形的面积为 ___________________________________ .［答案］18y2= 2x ，［解读］由方程组解得两交点A(2,2)、B(8，— 4)，选y 作为积分变量xy = 4 — x ，x = 4 — y ，其中x =a2 + b2 2将b - a = 2代入得x =a + 1, y = a2+ 2a + 2.已知函数f(x) = ex — 1，直线11 : x = 1, 12 : y = et — 1(t 为常数，且 O w t < 1).直线11 ,12与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域H 所示，其面积用 S2表示•直线12 ,y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域I 所示， 其面积用S1表示.当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为 _________ .［答案］(,e — 1)2［解读］ 由题意得 S1 + S2= t(et — 1 — ex + 1)dx + 1(ex — 1 — et + 1)dx = t(et — 0 t0 ex)dx + 1(ex — et)dx = (xet — ex)|t 0 + (ex — xet)|1 t = (2t — 3)et + e + 1,令 g(t) = (2t — t13)et + e + 1(0 w t w 1)，则 g ' (t) = 2et + (2t — 3)et = (2t — 1)et ，令 g ' (t) = 0,得 t = ?,s = 2 [(4 -414.=(4y - y2罟)|2— 4= 18.—y)—(t)<0 , g(t)是减函数，当 t € (2, 1]时，g ' (t)>0 , g(t)是增函数,1 1g （2）= e + 1 — 2e^ = （ ：e — 1）2.故阴影部分的面积的最小值为（，:e[解读]f ' (x) =— 3x2+ 2ax + b , v f ' (0) = 0 b = 0, ••• f(x) =— x3 + ax2，令 f(x) = 0，得 x = 0 或 x = a(a<0).••• S 阴影= 0[0 — ( — x3 + ax2)]dxa1 1 1 1 =(4x4 — §ax3)|0a = ^a4=匸, -a<0,. • a = — 1.1. （2011 •龙岩质检）已知函数f （x ） = sin5x + 1,根据函数的性质、积分的性质和积分1 ••当 t € [0 , 2)时，g '因此g （t ）的最小值为 1)2.15.求下列定积分. (1)1 — 1|x|dx 。
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1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0xt(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F ′(x)＝x(x －4)，令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F ′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 [答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )A.32B ．1 C ．4 D.12 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34 [答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )A.12B.14C.13D.25 [答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解读] 令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r ×Cr 6×26－r ×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1elnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g ′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。