九年级第一学期数学上册《圆周角》同步练习题及答案--同步练习+专项练习
圆周角+同步练习++2024—2025学年人教版数学九年级上册
24.1.4 圆周角学习目标1. 理解圆周角的概念.2. 掌握圆周角定理及其推论.3. 理解圆内接四边形的性质，探究四点共圆时的性质.课堂学习检测一、填空题1. 在圆上，并且角的两边都的角叫做圆周角.2. 一条弧所对的圆周角等于圆心角的 .3. 所对的圆周角 .4. 所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 .5. 圆内接四边形的对角 .̂的中点，则图中与∠BAC相等的角有6. 如图, 在⊙O中, 若点 C 是BD.二、选择题7. 如图, OA是⊙O的半径, 弦BC⊥OA, D 是⊙O上一点, 且点 D 在优弧BC 上. 若∠ADB =28°, 则∠AOC的度数为 ( ).(A) 14° (B) 28° (C) 56° (D) 84°综合·运用·诊断一、填空题8. 如图, AB是⊙O的直径, CD是弦. 若∠ACD =65°, 则∠BAD的度数为9. 如图, 点 B, C, D 在⊙O 上. 若∠BCD =130°, 则∠BOD 的度数为 .10. 如图, A, B, C是⊙O上的三点, 且四边形OABC是菱形. 若点 D 是圆上异于A, B, C 的另一点, 则∠ADC的度数是 .二、选择题11. 如图, 点A, B, C, D, E均在⊙O上, 且AC为⊙O的直径, 则∠A+∠B+∠C的度数为( ).(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°̂分成相等的三段弧，点P 在AĈ上. 若点Q在12. 如图, AB是⊙O的直径, 点C, D将ABAB̂上且∠APQ=115°,则点 Q所在的弧是 ( ).̂(B)PĈ(C)CD̂(D)DB̂(A)AP三、解答题.13. 如图, A, B, C, D四个点都在⊙O上, AD是⊙O的直径且AD=6cm,∠ABC=∠CAD.(1) 求弦AC的长;(2) 求∠CAD的度数.14. 如图, ⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点 D.求证：∠ACD=∠BCE.拓展·探究·思考15. 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,求AD的长.16. 如图, AB是⊙O的直径, 弦(CD⊥AB,E是⌢AC上一点, AE, DC的延长线交于点 F.求证：∠AED=∠CEF.。
人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题带答案
人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题带答案一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，若70A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．70︒B ．90︒C ．110︒D ．140︒2．以原点O 为圆心的圆交x 轴于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若⊙DAB ＝25°，则⊙OCD ＝（ ）．A ．50°B ．40°C ．70°D ．30°3．已知有一个长为8，宽为6的矩形，能够把这个矩形完全盖住的最小圆形纸片的半径是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，⊙O 的半径为4，点A 、B 、C 在⊙O 上，且⊙ACB ＝45°，则弦AB 的长是（ ）A ．43B ．4C ．43D ．35．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连结AC 、AD 、BD ，若35CAB ∠=，则ADC ∠的度数为( )A ．35B ．55C ．65D ．70二、填空题7．如图，在O 中，点D 为弧BC 的中点 40COD ∠=︒，则BAD ∠= ．8．如图，⊙ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，若⊙CAB=55°，则⊙ADC 的大小为 （度）．9．如图，AB 为⊙O 直径，CD 为⊙O 的弦，⊙ACD=25°，⊙BAD 的度数为 ．10．如图，CD 是O 的弦，O 是圆心，把O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，若100CAD ∠=︒，那么BCA BDA ∠+∠= ．11．如图，等边ABC 中，AB=4，P 为AB 上一动点 ,PD BC PE AC ⊥⊥，则线段DE 的最小值为 ．12．如图，点A 的坐标为（－2，0），点B 的坐标为（8，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为 ，若二次函数2y ax bx c =++的图像经过点A ，C ，B ．已知点P 是该抛物线上的动点，当⊙APB 是锐角时，点P 的横坐标x 的取值范围是 ．三、解答题13．如图所示，AB是O的一条弦OD AB⊥，垂足为C，交O于点D，点E在O上．(1)若64∠=︒，求DEBAOD∠的度数；OC=，OA=10，求AB的长．(2)若6⊥，OD与AC交于14．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD AC点E．(1)若20∠的度数；CAB∠=︒，求CADAB=，AC=6，求DE的长．(2)若815．如图，ABC内接于O，60∠=︒点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CFBAC相交于点H．试证明：∠=∠；（1）FAH CAO（2）四边形AHDO是菱形．16．如图，ABD △内接于半圆,O AB 是直径，点C 是BD 的中点，连接OC ，AC ，分别交BD 于点,F E ．(1)求证：OC AD ∥；(2)若10,8AB AC ==，求AD 的长．17．如图，在ABCD 中，过点C 的O 与AB ，AD 分别相切于点E ，F ，交BC ，CD 交于点G ，H ．连接FH ，FH=FD ．(1)求证：四边形ABGF 是平行四边形； (2)若4AE =，BE=6，求O 的半径．18．已知：如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，⊙CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE⊙AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ． （1）求证：⊙DAC=⊙DBA ；（2）连接CD ，若CD ﹦3，BD ﹦4，求⊙O 的半径和DE 的长．题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C C C B B7．20︒8．359．65°10．20°11．312．（0，-4）0＜x＜613．(1)32︒(2)1614．(1)35︒(2)4716．(2)2.817．415318．（2）⊙O的半径为2.5；DE=2.4．。
浙教新版九年级上册《3.5 圆周角》2024年同步练习卷(7)+答案解析
浙教新版九年级上册《3.5圆周角》2024年同步练习卷（7）一、选择题：本题共1小题，每小题3分，共3分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，AB、CD是的两条平行弦，交CD于E，过A点的切线交DC延长线于P，若，则的值是()A.18B.6C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
2.一圆周上有三点A，B，C，的平分线交边BC于D，交圆于E，已知，，，则______.3.如图，菱形OABC的顶点A、B、C在上，过点B作的切线交OA的延长线于点D，若的半径为5，则线段BD的长为______.4.如图，是的外接圆，AB为的直径，CD平分交AB于点D，CE切于点C，交AB的延长线于点E，若的半径为5，则DE的长为______.5.如图，AB是的直径，AC是弦，的平分线交于点D，于E，过点B作的切线交AD的延长线于F，若，则______.6.如图，中，弦AB、CD相交于点P，若，，，则DP为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
7.本小题8分如图，是的外接圆，AB为的直径，的平分线交于点D，点E在CA的延长线上，且DE为切线.求证：；连接AD，若，，求DE的长.8.本小题8分如图，设是直角三角形，点D在斜边BC上，已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点求证：9.本小题8分如图，是等边的外接圆，点E在边AB上，过E作交于点D、G交AC于点F，若，AE、DE的长都是整数，求DE的长.10.本小题8分如图，已知：AB是的直径，AC是切线，A为切点，BC交于点D，切线DE交AC于点求证：答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图，连接AD、、CD是的两条平行弦，弧弧BD，过A点的切线交DC延长线于P，，交CD于E，，∽，，又，故选：连接AD、根据圆内两条平行弦所夹的弧相等，得弧弧BD，再根据等弧所对的圆周角相等，得，根据弦切角定理，得，则，根据平行线的性质，得，再根据相似三角形的判定得∽，再根据相似三角形的性质即可求解．此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、平行线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定及性质等，综合性较强，是一道好题．2.【答案】【解析】解：的平分线交边BC于D，交圆于E，，，，，，解得：，，故答案为：根据角平分线的性质得出，求出BD与CD的长，再利用相交弦定理求出即可．此题主要考查了相交弦定理以及角平分线的性质，根据角平分线性质得出，是解决问题的关键．3.【答案】【解析】解：连接OB，四边形OABC是菱形，，，，为等边三角形，，是的切线，，，，故答案为：连接OB，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，进而求出，根据切线的性质得到，根据正切的定义计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4.【答案】【解析】解：连接OC，切于点C，，，是直径，，，，，，平分，，，，，，，∽，，设，，，即，解得或舍，，，，故答案为：连接OC，根据切线的性质可证，再根据CD平分，可得，得，由∽，得，设，，可求出x的值，从而解决问题．本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．5.【答案】【解析】解：连接BD，是的直径，，，与相切于点B，，，，，于E，，，的平分线交于点D，，，，，≌，，，设，，则，解关于x的方程得，不符合题意，舍去，，故答案为：连接BD，由AB是的直径，得，则，由BF与相切于点B，证明，则，所以，再证明≌，得，则，设，，则，求得符合题意的x值为，即可求得，于是得到问题的答案．此题重点考查同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形、切线的性质定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识，正确地作出所需要的辅助线并且推导出是解题的关键．6.【答案】【解析】解：由相交弦定理得，，，解得，，故答案为：根据相交弦定理列式计算即可．本题考查的是相交弦定理的应用，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．7.【答案】证明：连接OD，如图，的平分线交于点D，，，，为切线，，；解：作于H，如图，为的直径，，，，，在中，，，，，，，，，四边形AHDO为正方形，，，，∽，，即，，【解析】连接OD，如图，由于，根据圆周角定理得，则利用垂径定理有，再利用切线的性质得，于是可判断；作于H，如图，根据圆周角定理得，，在中，利用的正切可计算出，接着利用勾股定理可计算出，然后证明四边形AHDO为正方形得到，再证明∽，利用相似比可计算出，最后计算即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．8.【答案】证明：作于E，则，，又是AB的中点，，，，，∽，，而，，即【解析】作于E，由切割线定理：，可证明∽，则，从而得出本题考查的是切割线定理，相似三角形的判定和性质．9.【答案】解：连接AD、BG，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，由圆和等边三角形的对称性得：，设，，，，∽，，，即，由得：，，、y都是正整数，的值必须是一个完全平方数，，，2，3，4，代入计算可知：只有时，是完全平方数，此时或9；，即【解析】根据等边三角形的性质、平行线的性质得到，得到是等边三角形，得到，根据相交弦定理得到，根据一元二次方程的求根公式、完全平方数求出y，得到答案．本题考查的是三角形的外接圆、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握等边三角形的判定与性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．10.【答案】解：如图，连接AD，是圆的直径．，则，DE是圆的切线．又【解析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，即可证得是直角三角形，再根据切线长定理即可证得，只要再证得即可．本题主要考查了切线长定理以及等腰三角形的判定定理，正确求证是解决本题的关键．。
苏科版九年级数学上册《2.4 圆周角》同步练习题(带答案)
苏科版九年级数学上册《2.4 圆周角》同步练习题(带答案)一、选择题1.四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是( )A. 1：3：2：4B. 7：5：10：8C. 13：1：5：17D. 1：2：3：42.如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，AC⏜=AE⏜，∠D=128°则∠B的度数为( )A. 128°B. 126°C. 118°D. 116°3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为( )A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°4.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⏜所对的圆心角为50∘，则∠C+∠E等于( )A. 155∘B. 150∘C. 160∘D. 162∘5.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC=140°，则∠D的度数是( )A. 20°B. 30°C. 40°D. 70°6.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点∠ADC=115°，则∠BAC的度数是( )A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=BC，∠BAC=30°，AD是直径AD=8，则AC的长为( )A. 4B. 4√ 3√ 3C. 83D. 2√ 38.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC⏜=CB⏜若∠C=110°，则∠ABC的度数等于( )A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°9.如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD=68°，AO//DC则∠B的度数为( )A. 40°B. 60°C. 56°D. 68°10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形AB=AC，∠BCA=65°作CD//AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )A. 15°B. 35°C. 25°D. 45°二、填空题11.圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径OD//BC，∠ABC=40∘，则∠BCD的度数为．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM=70∘，则∠AOC的度数为．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F.若∠F= 36°，∠E=50°则∠A的度数为______ ．15.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB= 12cm，BC=5cm则圆形镜面的半径为．16.如图，要在圆柱形钢材上截取边长为a的正方形螺母，需要的圆柱形钢材的直径是．17.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD若∠BAC=28∘，则∠D=．三、解答题18.如图，△ABC为锐角三角形．(1)实践与操作：以BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母)．(2)猜想与证明：在(1)的条件下，若∠A=60°，试猜想AE与AB之间的数量关系，并说明理由．19.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．(1)若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC．(2)若∠E=∠F=42∘时，求∠A的度数．(3)若∠E=α，∠F=β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．20.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中AB=AD，∠C=110∘，若点E在AD⏜上，求∠E的度数．21.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF.判断EF和BC的位置关系，并证明．22.如图所示，小明制作一个模具AD=4cm，CD=3cm，∠ADC=90∘，AB=13cm，BC=12cm，求这个模具的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、1+2≠3+4所以A选项不正确；B、7+10≠5+8所以B选项不正确；C、13+5=1+17所以C选项正确；D、1+3≠2+4所以D选项不正确．故选：C．根据圆内接四边形的对角互补得到∠A和∠C的份数和等于∠B和∠D的份数的和，由此分别进行判断即可．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．2.【答案】D【解析】解：连接AC、CE∵点A、C、D、E都是⊙O上的点∴∠CAE+∠D=180°∴∠CAE=180°−128°=52°∵AC⏜=AE⏜∴∠ACE=∠AEC=12×(180°−52°)=64°∵点A、B、C、E都是⊙O上的点∴∠AEC+∠B=180°∴∠B=180°−64°=116°故选：D．连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握．解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)．首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD 的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=100°∴∠BAD=100°÷2=50°∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−50°=130°故选：D．4.【答案】A【解析】连接AE，如图．∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠AED=180∘∵AB⏜所对的圆心角为50∘∴∠AEB=12×50∘= 25∘∴∠C+∠BED=180∘−∠AEB=155∘故选A．5.【答案】A【解析】解：∵∠AOC=140°∴∠BOC=40°∵∠BOC与∠BDC都对BC⏜∴∠D=12∠BOC=20°故选：A．利用圆周角定理判断即可求出所求．此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：如图，连接OC∵∠ADC=115°∴优弧ABC⏜所对的圆心角为2×115°=230°∴∠BOC=230°−180°=50°∴∠BAC=12∠BOC=25°故选：A．连接OC，利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC的度数，进而求得∠BAC的度数．本题考查圆周角定理，结合已知条件求得∠BOC的度数是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠BAC=30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°−∠B=60°求得∠CAD=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD∵AB=BC，∠BAC=30°∴∠ACB=∠BAC=30°∴∠B=180°−30°−30°=120°∴∠D=180°−∠B=60°∵AD是直径∴∠ACD=90°∴∠CAD=30°∵AD=8∴CD=12AD=4∴AC=√ AD2−CD2=√ 82−42=4√ 3故选：B．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠CAB，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而计算即可．【解答】解：如图，连接AC∵四边形ABCD是半圆的内接四边形∴∠DAB=180°−∠DCB=70°∵DC⏜=CB⏜∴∠CAB=∠DAC=12∠DAB=35°∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ABC=90°−∠CAB=55°故选：A．9.【答案】C【解析】【分析】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．连接OC，由AO//DC，得出∠ODC=∠AOD=68°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=68°，求得∠COD= 44°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．【解答】解：连接OC，如图∵AO//DC∴∠ODC=∠AOD=68°∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD=68°∴∠COD=44°∴∠AOC=68°+44°=112°∠AOC=56°．∴∠B=12故选C．10.【答案】A【解析】解：∵AB=AC、∠BCA=65°∴∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°∵CD//AB∴∠ACD=∠A=50°又∵∠ABD=∠ACD=50°∴∠DBC=∠CBA−∠ABD=15°故选：A．根据等腰三角形性质知∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°由平行线的性质及圆周角定理得∠ABD=∠ACD=∠A=50°，从而得出答案．本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．11.【答案】30∘或150∘【解析】根据题意，易得弦所对的圆心角是60∘． ①当圆周角的顶点在弦所对的优弧上时，则圆周角为1×60∘=30∘; ②当圆周角的顶点在弦所对的劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，此时圆周角为150∘.故2答案为30∘或150∘．12.【答案】110°【解析】∵OD//BC∴∠AOD=∠ABC=40∘∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA=70∘∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180∘−∠OAD=110∘．13.【答案】140∘【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠B+∠ADC=180∘又∵∠ADC+∠CDM=180∘∴∠B=∠CDM=70∘∴∠AOC=2∠B=140∘．14.【答案】47°【解析】解：∵∠ECF是△CDE的外角∴∠ECF=∠E+∠EDC∵∠EDC是△ADF的外角∴∠EDC=∠A+∠F∴∠ECF=∠E+∠A+∠F=∠A+86°∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠ECF=∠BCD=180°−∠A∴∠A+86°=180°−∠A∴∠A=47°．故答案为：47°．先两次根据三角形的外角定理，得∠ECF=∠E+∠A+∠F=∠A+86°，再根据圆内接四边形的性质，得∠ECF=∠BCD=180°−∠A，即可得出结果．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形的外角定理．综合运用圆内接四边形的性质与三角形的外角定理是本题的关键．15.【答案】13cm2【解析】解：连接AC∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角∴AC是圆形镜面的直径由勾股定理得：AC=√ AB2+BC2=√ 122+52=13(cm)cm所以圆形镜面的半径为132cm．故答案为：132连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．16.【答案】√ 2a【解析】连接BD∵∠A=90∘∴BD为直径．∵AD=AB∴BD=√ 2AB=√ 2a即需要的圆柱形钢材的直径是√ 2a.17.【答案】62∘【解析】如图，连接BC．∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90∘∴∠ABC=90∘−∠CAB=62∘∴∠D=∠ABC=62∘．18.【答案】解：(1)如图，⊙O为所作；(2)AE=1AB．2理由如下：连接BE，如图∵BC为⊙O的直径∴∠BEC=90°∵∠A=60°∴∠ABE=30°AB．∴AE=12【解析】(1)作BC的垂直平分线得到BC的中点O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆，⊙O分别交AB，AC于点D，E；(2)连接BE，如图，先根据圆周角定理得到∠BEC=90°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系得到AE=1AB．2本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．19.【答案】【小题1】证明∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC．【小题2】由(1)知∠ADC=∠ABC．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC∴∠ADC=90∘，∴∠A=90∘−42∘=48∘．【小题3】连接EF，如图．∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形∴易得∠ECD=∠A.∵∠ECD=∠1+∠2∴∠A=∠1+∠2.∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180∘∴2∠A+α+β=180∘，∴∠A=90∘−α+β．2【解析】1.见答案2.见答案3.见答案20.【答案】如图，连接BD．∵∠C+∠BAD=180∘∴∠BAD=180∘−110∘=70∘．∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=1(180∘−70∘)=55∘．∵四边形ABDE为圆内接四边形2∴∠E+∠ABD=180∘，∴∠E=180∘−55∘=125∘．【解析】见答案21.【答案】解：EF//BC．理由如下：∵AB=AC，AD⊥BC∴AD平分∠BAC即∠EAD=∠FAD∴DE⏜=DF⏜∵AD为直径∴AD⊥EF而AD⊥BC∴EF//BC．【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠EAD=∠FAD，则根据圆周角定理得到DE⏜=DF⏜，再利用垂径定理的推理得到AD⊥EF，于是可判断EF//BC．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和等腰三角形的性质．22.【答案】24cm2【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，在ΔABC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．【详解】解：连接AC在ΔADC中∵AD=4cm CD=3cm∠ADC=90∘∴AC2=AD2+CD2∴AC=√ AD2+CD2=√ 32+42=5(cm)∴SΔACD=12CD×AD=12×3×4=6(cm2)在ΔABC中∵AC=5cm BC=12cm AB=13cm52+122=132即：AC2+BC2=AB2根据勾股定理的逆定理可得，ΔABC是直角三角形，且∠ACB=90∘∴SΔABC=12AC×BC=12×5×12=30(cm2)∴S四边形ABCD=SΔABC−SΔACD=30−6=24(cm2)答：这个模具的面积是24cm2．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明ΔABC是直角三角形．。
人教版九年级数学上册同步练习 24.1.4 圆周角(包含答案)
九年级上册同步练习24.1.4 圆周角一．选择题（共12小题）1．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．125°D．130°2．如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°，则∠ACD的度数为（）A．46°B．23°C．44°D．67°3．如图，AB是圆O的弦，AB=20，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是（）A．10B．5C．10D．204．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=36°，则∠C的度数为（）A．44°B．54°C．62°D．72°5．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC=30°，弧BC等于弧CD，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°6．如图，⊙O中，若∠BOD=140°，∠CDA=30°，则∠AEC的度数是（）A．80°B．100°C．110°D．125°7．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（）A．B．C．D．8．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC=130°，则∠D的度数是（）A．20°B．25°C．40°D．50°9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（）A．8B．12C．16D．2010．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°11．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（）A．100°B．112.5°C．120°D．135°12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°二．填空题（共6小题）13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为．14．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，（1）若CD=16，BE=4，则⊙O 的半径为；（2）点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB，若∠M=∠D，则∠D的度数为．16．如图，A、B、C、D均在⊙O上，E为BC延长线上的一点，若∠A=102°，则∠DCE=．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC=40°，则∠BCD的度数为18．利用圆周角定理，我们可以得到圆内接四边形的一个性质，请规范写出我们所学的这个性质的内容，并利用这个性质完成下题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=60°，则∠DCE的度数是．三．解答题（共6小题）19．如图，在圆的内接四边形ABCD中，AB=AD，BA、CD的延长线相交于点E，且AB=AE，求证：BC是该圆的直径．20．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，△COD为等边三角形．（1）求∠CDB的大小．（2）若OE=3，直接写出BE的长．21．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°．（Ⅰ）求证：△ABC是等边三角形；（Ⅱ）求∠AOC的大小．22．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1=112°，求∠CDE．23．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD=3，求⊙O的半径．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O 分别交AC，BM于点D，E．连结DE，使四边形DEBA为⊙O的内接四边形．（1）求证：∠A=∠ABM=∠MDE；（2）若AB=6，当AD=2DM时，求DE的长度；（3）连接OD，OE，当∠A的度数为60°时，求证：四边形ODME是菱形．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．在△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠ABO+∠OAB=2×25°=50°，同理可得：∠COD=∠ACO+∠OAC=2×30°=60°，故∠BOC=∠BOD+∠COD=110°．故选：B．2．【解答】解：连接OD，∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，C，D共圆，∵点D对应的刻度是46°，∴∠BOD=46°，∴∠BCD=∠BOD=23°，∴∠ACD=90°﹣∠BCD=67°．故选：D．3．【解答】解：连接OA、OB，如图，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA=AB=×20=20，∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MN=AC，当AC为直径时，AC的值最大，∴MN的最大值为20．故选：D．4．【解答】解：∵⊙O中，，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，故选：D．5．【解答】解：∵∠BAC=30°∴弧BC的度数是30°，∵弧BC等于弧CD∴∠DAC=30°．故选：A．6．【解答】解：由圆周角定理得，∠C=∠BOD=70°，∴∠AEC=∠C+∠CDA=100°，故选：B．7．【解答】解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∵∠AOC=2∠ABC=120°，∵OA=OC，OH⊥AC，∴∠COH=∠AOH=60°，CH=AH，∴CH=AH=OC•sin60°=，∴AC=2，∵CN=DN，DM=AM，∴MN=AC=，∵CP=PB，AN=DN，∴PN=BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．8．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O直径，∠AOC=130°，∴∠BDA=90°，∠CDA=65°，∴∠BDC=25°，故选：B．9．【解答】解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，∴∠EFC=∠ABC=180°﹣∠EDC=45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，又∵EF是⊙O的直径，∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≌△BFC（ASA），∴AE=BF，∵Rt△ECF中，CF=2、∠EFC=45°，∴EF2=16，则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16，故选：C．10．【解答】解：∵∠AOD=130°，∴∠C=90°﹣，故选：C．11．【解答】解：∵AB经过圆心O，∴∠ACB=90°，∵∠B=3∠BAC，∴∠B=67.5°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=180°﹣∠B=112.5°，故选：B．12．【解答】解：连接OD、OB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠DCB=80°，∴40°≤∠BPD≤80°，∴∠BPD不可能为90°，故选：D．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOD=2∠ACD=50°，∴∠BOD=180°﹣50°=130°，故答案为：130°．14．【解答】解：在优弧BD上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故答案为100°．15．【解答】解：（1）设⊙O的半径为r，则OE=r﹣4，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DE=EC=CD=8，在Rt△OED中，OD2=OE2+DE2，即r2=（r﹣4）2+82，解得，r=10，故答案为：10；（2）由圆周角定理得，∠DOE=2∠M，∵∠M=∠D，∴∠DOE=2∠D，∴∠D=30°，故答案为：30°．16．【解答】解：连接OB，OD，∵∠DOB与∠A都对，∠DOB（大于平角的角）与∠BCD都对，∴∠DOB=2∠A，∠DOB（大于平角的角）=2∠BCD，∵∠DOB+∠DOB（大于平角的角）=360°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=102°，故答案为：102°17．【解答】解：∵OD∥BC，∴∠AOD=∠ABC=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°﹣∠OAD=110°，故答案为：110°．18．【解答】解：∵圆内接四边形的对角互补，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠A=60°，∴∠BCD=120°，∴∠DCE=180°﹣∠BCD=60°，故答案为；圆内接四边形的对角互补，60°．三．解答题（共6小题）19．【解答】解：连接BD．∵AE=AD=AB，∴∠E=∠ADE，∠ADB=∠ABD，∵∠E+∠EDB+∠ABD=180°，∴2∠EDA+2∠ADB=180°，∴∠EDA+∠ADB=90°，∴∠BDC=∠EDB=90°，∴BC是该圆的直径．20．【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形∴OC=OD=CD，∠OCD=∠ODC=∠COD=60°∵OB⊥CD∴∠COB=30°∵∠COB=2∠CDB∴∠CDB=15°（2）∵sin∠OCD==∴∴OC=2∴BE=OB﹣BE=2﹣3故答案为2﹣3．21．【解答】（Ⅰ）证明：∵=，∴AB=BC，又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形；（Ⅱ）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．22．【解答】解：由圆周角定理得，∠A=∠1=56°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CDE=∠A=56°．23．【解答】解：（1）∵∠BCD=120°，CA平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACB=60°，由圆周角定理得，∠ADB=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=60°，∴△ABD是等边三角形；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则DH=BD=，∠BOD=2∠BAD=120°，∴∠DOH=60°，在Rt△ODH中，OD==，∴⊙O的半径为．24．【解答】解：（1）证明：∵∠ABC=90°，点M是AC的中点，∴AM=CM=BM．∴∠A=∠ABM．∵四边形DEBA为⊙O的内接四边形，∴∠ADE+∠ABM=180°，又∵∠ADE+∠MDE=180°，∴∠ABM=∠MDE∴∠A=∠ABM=∠MDE．（2）解：由（1）知∠A=∠ABM=∠MDE，∴DE∥AB∴△MDE∽△MAB∴=∵AD=2DM，∴AM=3DM∴=∴DE=2．（3）证明：由（1）知∠A=∠ABM=∠MDE，∵∠A=60°，∴∠A=∠ABM=∠MDE=60°∴∠AMB=60°又∵OA=OD=OE=OB∴△AOD、△OBE都是等边三角形∴∠ADO=∠AMB=∠OEB=60°，∴OD∥BM，AM∥OE∴四边形ODME是平行四边形，又∵OD=OE∴四边形ODME是菱形。
九年级数学上册3.5圆周角同步练习(新版)浙教版【含解析】
3.5 圆周角一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，点A、B、M在⊙O上的动点，要是△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有 ( )．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB= ( )．A. 150∘B. 135∘C. 115∘D. 120∘3. 如图，⊙O中，∠CBO=45∘，∠CAO=15∘，则∠AOB的度数是 ( )A. 75∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连接AC，BC，CD，OD，若∠DOB=140∘，则∠ACD= ( )A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45∘，则∠B的度数为 ( )A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为 ( )A. 45∘B. 50∘C. 60∘D. 75∘7. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72∘，则∠BCO的度数为 ( )A. 15∘B. 18∘C. 20∘D. 28∘8. 如图所示，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为 ( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 20∘9. 如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC= 54∘，连接AE，则∠AEB的度数为 ( )A. 36∘B. 46∘C. 27∘D. 63∘10. 如图，正方形ABCD的对角线相交于O，点F在AD上，AD=3AF，△AOF的外接圆交AB于E，则AEAF的值为 ( )A. 32B. 3 C. 53D. 2二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，已知AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，∠BOC=100∘，则∠B的度数为．12. 如图，⊙O的半径是2，直线与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上两个动点，且在直线的异侧，若∠AMB=45∘，则四边形MANB面积的最大值是．13. 如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45∘，若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是14. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30∘，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．15. 直径为10 cm的⊙O中，弦AB=5 cm，则弦AB所对的圆周角是．16. 如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55∘，则∠BOC的度数是．17. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35∘，则∠B+∠E=．18. 如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50∘，∠B=30∘则∠ADC的度数为．⏜的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的19. 如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN半径为1，则AP+BP的最小值是．20. 如图，△ABC中，BC=4，∠BAC=45∘，以4√2为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为．三、解答题（共3小题；共39分）21. 已知：△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D．Ⅰ如图1，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，连接BE，则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC=∠CBE；Ⅱ如图2，若AB不动，AC绕点A逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，CA的延长线与⊙O交于点E，连接BE，（1）中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCB的外接圆与y轴交于点A(0,√2)，∠OCB=60∘，∠COB=45∘，求OC的长．23. 如图，△ABC外接圆⊙O半径为r，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D，BE、AD交于点K，AK=r．求∠BAC的度数．答案第一部分1. D2. D3. B4. A5. D6. C7. B8. C9. A 10. D第二部分11. 25∘12. 4√13. 3√14. 10.515. 30∘或150∘16. 70∘17. 215∘18. 110∘19. √20. 2+2√2+2√7第三部分21. （1）2（2）（1）中∠BAC与∠CBE的数量关系成立．证明：连接AD．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90∘．∴∠AEB+∠ADB=180∘．∵∠AEB+∠ADB+∠CBE+∠EAD=360∘，∴∠CBE+∠EAD=180∘．∵∠DAC+∠EAD=180∘，∴∠CBE=∠DAC．∵AB=AC，∴∠BAC=2∠DAC．∴∠BAC=2∠CBE．22. 连接AB、AC，作AD⊥OC于D．∵∠AOB=90∘∴AB为直径．⏜=BO⏜，∠AOB=90∘，∵BO∴∠OAB=∠OCB=60∘，∴∠ABO=∠ACO=30∘．∵∠COB=45∘，∴∠CAB=45∘．∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，∴∠ABC=45∘，∴∠AOC=45∘．∵OA=√2，∴AD=OD=1，∴CD=√=√，∴OC=1+√23. 连接AO并延长与⊙O交于点H，延长BE与⊙O交于点F，连接AF，OF，CH，如图．∵∠AKF+∠KAE=90∘，∠KAE+∠ACD=90∘，∴∠AKF=∠ACD．∵∠ACD=∠AFK，∴∠AKF=∠AFK．∴AF=AK=r．∴△AOF是等边三角形．∴∠OAF=60∘．∵AH是⊙O的直径，∴∠ACH=90∘．∴CH∥BF．∴∠CBF=∠BCH．∵∠BCH=∠BAH，∠CBF=∠CAF，∴∠BAH=∠CAF．∵∠OAF=60∘．∴∠BAC=60∘．。
九年级第一学期数学上册《圆周角》同步练习题及答案--同步练习+专项练习
九年级第⼀学期数学上册《圆周⾓》同步练习题及答案--同步练习+专项练习九年级数学上册《圆周⾓》同步练习题及答案同步练习 + 专项练习1 + 专项练习2同步练习⼀、选择题1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）．A ．140°B ．110°C ．120°D ．130°2143OB AC(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的⼤⼩关系是（） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（）．A ．3B ．3+3C ．5-123 D ．5⼆、填空题1．半径为2a 的⊙O 中，弦AB 的长为23a ，则弦AB 所对的圆周⾓的度数是________．2．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．?O BAC2ED(4) (5)3．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三⾓形，BC=?1，?∠A=?60?°，?则⊙O?半径为_______．三、综合提⾼题1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三⾓形．（2）若BC=4cm，求⊙O的⾯积．3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上⼀点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆⼼C的坐标．参考答案⼀、1．D 2．B 3．D⼆、1．120°或60° 2．90° 3．3三、1．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，⼜AB AC，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三⾓形．（2）解：连接OC，过点O作OD⊥BC，垂⾜为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，设OD=x ，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=433．（1）略（2）4，（-23，2）专项练习1◆随堂检测1．如图，图中圆周⾓的个数是( )A．9 B．12 C．8 D． 142．如图，圆∠BOC=100 o，则圆周⾓∠BAC为( )A．100 o B．130 o C．50 o D．80o3．如图，AB为⊙O的直径，点C在QO上，∠B=50 o，则∠A等于( )A．80 o B．60 o C．50 o D．40 o4．如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25o，则∠ACB的⼤⼩为___________．5．如图，等腰三⾓形ABC的底边BC的长为a，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D．则BD的长为___________．◆典例分析如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．第1题第2题第3题第4题第5题分析：所要求的三线段BC，AD和BD的长，能否把这三条线段转化为是直⾓三⾓形的直⾓边问题，由于已知AB为⊙O的直径，可以得到△ABC和△ADB都是直⾓三⾓形，⼜因为CD平分∠ACB，所以可得= ，可以得到弦AD=DB，这时由勾股定理可得到三条线段BC、AD、DB的长．解：∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴= ．在等腰直⾓三⾓形ADB中，点评：利⽤“直径所对的圆周⾓是直⾓”构造直⾓三⾓形解题．◆课下作业●拓展提⾼1．如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．2．如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50 o．则∠ADC=_______．3．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30 o，D是AC上任意⼀点，那么∠D的度数是 ( )A．150 o B．120 o C．100 o D．90 o4．如图,?ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30o，则∠CAD等于( )A．30 o B．40 oC．50 o D． 60 o5．如图，∠APC=∠CPB=60 o，请推测△ABC是什么三⾓形，并证明猜想的正确性．第1题第2题第3题6．如图，AD 是?ABC 的⾼，AE 是?ABC 的外接圆的直径．试说明AB ·AC=AE ·AD ．7．如图，点A 、B 、C 为圆O 上的三个点，∠AOB=13∠BOC, ∠BAC=45 o，求∠ACB 的度数．8．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上⼀点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂⾜为点D(AD(1)试说明AC 2=AG ·AF ；(2)若点E 是AD(点A 、D 除外)上任意⼀点，上述结论是否仍然成⽴?若成⽴．请画出图形，并给予证明；若不成⽴，请说明理由．●体验中考1．(温州)如图，∠AOB 是⊙0的圆⼼⾓，∠AOB=80°，则弧AB 所对圆周⾓∠ACB 的度数是( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．80°2．(凉⼭州)如图，O ⊙是ABC △的外接圆，已知50ABO ∠=°，则ACB ∠的⼤⼩为( ) A ．40° B ．30° C ．45° D ．50° 3．(⼭西省)如图所⽰，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，则D ∠= 度．4． (宁夏)已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°． (1)求EBC ∠的度数； (2)求证：BD CD =．参考答案◆随堂检测1．B 提⽰：利⽤弧来找圆周⾓ 2．C 提⽰01502BAC BOC ∠=∠= 3．D 提⽰：000AB C 90B 5040A ∴∠=∠=∴∠=直径，，⼜， 4．650提⽰：000BAO OBA 251AOB 130C AOB 652OA OB =∴∠=∠=∴∠=∴∠=∠=，，， 5．011a AD AB ADB=90AD BC BD a 22∴∠∴⊥（提⽰：连接，直径，，，由“三线合⼀”得：=）◆课下作业●拓展提⾼ 1． 500提⽰：0,AC=AB,AOB=2ADC=50AO BC ⊥∴∠∠由垂径定理知：2． 400 提⽰：连接BC ，000AB ACB=90,50,40,BAC ADC ∴∠∠=∴∠=直径，⼜3． B 提⽰：连接BC ，0000AB ACB 90BAC 30ABC 60D ABC 180D=120∴∠=∠=∴∠=∠+∠=∴∠直径，，⼜，由圆的内接四边形性质可知：，4．D5．ABC 解：是正三⾓形，00ABC APC 60BAC=60,ABC ∴∠=∠=∠∴同弧所对的圆周⾓相等，，同理是正三⾓形6．BE 证明：连接，00AB AB C E AE ABE 90AD BC ADC 90ABE ADC ABE ADC AD =AB AC AEAB AC AD AE∴∠=∠∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠∴∴∴?=?=，，是直径，，，，，7．解：同弧所对的圆周⾓等于圆⼼⾓的⼀半000BOC 2BAC 901AOB BOC 3031ACB AOB 152∴∠=∠=∠=∠=∴∠=∠=，8．(1)证明：BC 连接，()0002AB ACB B+CAB 90CD AB ACD CAB 90B ACD AC B F F ACD CAG AC AGCAG FAC AC AF AGAF AC2∴∠∴∠∠=⊥∴∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠∴∴=∴=?直径，=90，，，，，，，⼜是公共⾓，，，仍然成⽴●体验中考1． A 提⽰：1B AOB 2AC ∠=∠ 2．A 3．300提⽰：00B 1A 30D B 30∠=∠-∠=∴∠=∠=，4．000000ABC AB=AC ABC C A ABC 67.5AB AEB 90ABE 45EBC 22.5AD AB ,AD DB BD=DC∴∠∠∠∴∠=∠=∴∠=∴∠=∴∠∴⊥∴解：（1）在等腰三⾓形中，，=，=45，直径，，，（2）连接，直径，ADB=90，专项练习2⼀、填空题:1.如图1,等边三⾓形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是AC 上任⼀点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对⾓线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三⾓形;________对相似⽐不等于1的相似三⾓形.3.已知,如图3,∠BAC的对⾓∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB是⊙O的直径, BC BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.⼆、选择题:7.如图7,已知圆⼼⾓∠BOC=100°, 则圆周⾓∠BAC的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°D DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同⼀个圆上,四边形ABCD 的对⾓线把四个内⾓分成的⼋个⾓中,相等的⾓有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D是AC的中点,则图中与∠ABD相等的⾓的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°11.在半径为R 的圆中有⼀条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周⾓的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上⼀点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°三、解答题:13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.BA14.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.15.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.16.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.(1)P 是CAD 上⼀点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的⼤⼩关系, 并说明理由. (2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.17.在⾜球⽐赛场上,甲、⼄两名队员互相配合向对⽅球门MN进攻.当甲带球部到A点时,⼄随后冲到B点,)如图所⽰,此时甲是⾃⼰直接射门好,还是迅速将球回传给⼄,让⼄射门好呢?为什么?(不考虑其他因素参考答案1.120°2.3 13.160°4.44°5.50°7.A8.C9.B10.C11.B12.C13.连接OC 、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°, 故△COD 是等边三⾓形,从⽽CD= 4cm.14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD 是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC 2+CD 2=AD 2,即2AC 2=36,AC 2.15.连接BD,则∴AB 是直径,∴∠ADB=90°. ∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴PD CDPB AB=. 在Rt △PBD 中,cos ∠BPD=PD CD PB AB ==34, 设PD=3x,PB=4x,则=,∴tan ∠BPD=BD PD ==. 16.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB ⊥CD,AB 是直径,∴BC BD =,∴∠COB= ∠DOB.∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD. (2)∠CP ′D+∠COB=180°. 理由如下:连接P ′P,则∠P ′CD=∠P ′PD,∠P ′PC=∠P ′DC.∴∠P ′CD+∠P ′DC=∠P ′PD+∠P ′PC=∠CPD.∴∠CP ′D=180°-(∠P ′CD+∠P ′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB, 从⽽∠CP ′D+∠COB=180°.17.迅速回传⼄,让⼄射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不⼤,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各⾃对球门MN 的张⾓的⼤⼩,当张⾓越⼤时,射中的机会就越⼤,如图所⽰,则∠A∠A, 从⽽B 处对MN 的张⾓较⼤,在B 处射门射中的机会⼤些.a.。
2022-2023学年苏科版九年级数学上册 《圆周角》同步练习题(含答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+3．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A．3B．4C．5D．66．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（）A．B．1C．D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．二．填空题8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为．9．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点H是CD边上的一个动点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，连接DE，则线段DE的最小值为．10．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．11．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为．三．解答题12．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．15．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．16．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O 于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．19．已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．20．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）若AC为⊙O的直径，填空：①当∠E＝时，四边形OCFD为菱形；②当∠E＝时，四边形ABCD为正方形．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．23．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON：AN ＝2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．参考答案一．选择题1．解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．2．解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥P A，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．3．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，故①符合题意；∵C是中点，∴AC＝BC，故②符合题意；∵AB2＝OB2+OA2＝22+42，∴AB＝2，∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB＝，∴△ACB的面积为＝5，故③符合题意；作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵AC＝BC，∴△ACD≈△BCE，∴CD＝CE，AD＝BE，∴OECD是正方形，设正方形的边长为a，∴OA﹣a＝OB+a，∴2a＝OA﹣OB＝4，∴a＝2，∴点C坐标为：（2，﹣2），故④符合题意，故选：A．4．解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：＝＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴CM＝EM，∵E是BC的中点，∴CM＝BC，∵AB是半圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DM⊥BC，∴DM∥AC，∴AD＝AB，设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，∵AC＝CD，∴AD＝2AF，∴＝，∴AB＝2AC，BC＝＝AC，∴＝＝，∴BC：AB＝；故选：B．5．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∴AH＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴＝，∴AP＝5，故选：C．6．解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA 交CA的延长线于G．∴AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACD，∴＝，∴AD＝BD，∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，∴EM＝EN，DH＝DH，∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，∴EM＝EN＝，∵∠ECN＝∠CEN＝45°，∴CN＝EN＝，∴EC＝，∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），∴AG＝BH，同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），∴CG＝CH，∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，∴CG＝DG＝7，∴CD＝7，∴DE＝7﹣＝，∴＝＝．7．解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF＝∠BAD，∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC，∴＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6∴＝＝＝，＝2，∴OD＝4，CE＝DE，又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共角，∴DE•DE＝4×12，∴DE＝4，∴CD＝2，则AD＝2，∴＝，∴CF＝．故选：A．二．填空题8．解：如图，连接AC交BD于点O，以AD为边向上作等边△ADJ，连接JF，JA，JD，JM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝6，AC＝4，∴sin∠ACD＝＝，∴∠ACD＝60°，∴∠FED＝∠ACD＝60°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EFD＝30°，∵△JAD是等边三角形，∴∠AJD＝60°，∴∠AFD＝∠AJD，∴点F的运动轨迹是以J为圆心JA为半径的圆，∴当点F在MJ的延长线上时，FM的值最大，此时FJ＝6，JM＝＝，∴FM的最大值为6+，故答案为：6+．9．解：连接CE，∵CH是⊙O的直径，∴∠CEH＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴点E在以CF为直径的⊙M上，连接EM、DM，∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，CF＝BC＝2，∴FM＝MC＝EM＝1，在Rt△DMC中，DM＝＝＝，∵DE≥DM﹣EM，∴当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值，∴线段DE的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB＝AB＝＝4，∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为CD2＝16，故答案为：16．11．解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．三．解答题12．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PC上截取PH＝P A，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝P A+PB．13．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．14．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵点A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．15．解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．16．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．17．解：作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42，解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+．19．（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE．（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵＝，∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3．20．证明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如图，①连接AF，∵AC是直径，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四边形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵DF∥AC，∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠E＝60°；故答案为：60°；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案为：45°．21．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；22．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．23．解：（1）如图1，∠P即为所求：（2）如图2，∠CBQ即为所求．24．解：∵AB＝10，∴OA＝5，∵ON：AN＝2：3，∴ON＝2，∵∠ANC＝30°，∴∠ONM＝30°，∴OM＝ON＝1；（2）如图，连接OC，由勾股定理得：CM2＝CO2﹣OM2＝25﹣1＝24，∴CM＝2，∴CD＝2CM＝4．25．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．。
人教版九年级上册数学 24.1.4 圆周角 同步练习(含答案)
人教版九年级上册数学24.1.4 圆周角同步练习一．填空题1．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC＝°．2．如图，⊙O中，∠AOB＝80°，点C、D是上任两点，则∠C+∠D的度数是°．3．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD＝25°，则∠AOD＝．4．如图，点A，D，B为⊙O上的三点，∠AOB＝120°，且过A的直线交BD延长线于点C，连接AD，且AD ＝CD，则∠C的度数为．5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为．6．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝．7．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，（1）若CD＝16，BE＝4，则⊙O的半径为；（2）点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB，若∠M＝∠D，则∠D的度数为．9．如图，△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC边于E、D，连接BD、CE交于点F．以下四个结论：①ED＝BC；②∠ACE＝30°；③BD平分∠ABC；④若连接AF，则AF⊥BC．其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BOC＝2∠BAD，则⊙O的直径为．二．解答题11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC并延长至点D，使DC＝CB．连接DA并延长，交⊙O 于另一点E，连接AC，CE．（1）求证：∠E＝∠D（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．12．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝62°，∠APD＝86°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．13．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠BAC＝20°，∠DAC＝35°．求证：AD＝CD．14．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE＝2OE．15．如图，在△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．（1）求∠CED的度数．（2）若DE＝BE，求∠C的度数．16．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．参考答案一．填空题1．36．2．80．3．130°．4．30°．5．40°．6． 25°．7．6．8．30°．9．①②④．10． 10．二．解答题11．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB．∴∠B＝∠D，∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠D；（2）解：∵∠E＝∠D，∴DC＝CE，∵DC＝CB，∴CB＝CE，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（BC﹣2）2+BC2＝42解得，BC1＝1+，BC1＝1﹣（舍去），∴CE＝1+，即CE的长为1+．12．（1）∵∠APD＝∠CAB+∠C，∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝86°﹣62°＝24°，∴∠B＝∠C＝24°；（2）作OE⊥BD于E，如图所示：则DE＝BE，∵OA＝OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AD＝×6＝3，即圆心O到BD的距离为3．13．证明：∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，在△ABC中，∵∠DAC＝35°，∴∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝180°﹣35°﹣110°＝35°，∴∠DCA＝∠DAC，∵AD＝CD．14．（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA＝90°∴AO＝OB＝3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB＝2OM＝∴P点坐标为（3，）（2分）在直角三角形ABP中，AB＝6，PB＝2，根据勾股定理得：AP＝4，所以圆的半径MC＝2，又OM＝，所以OC＝MC﹣OM＝，则C（0，）（1分）（2）证明：连接AC．∵AM＝MC＝2，AO＝3，OC＝，∴AM＝MC＝AC＝2，∴△AMC为等边三角形（2分）又∵AP为圆M的直径得∠ACP＝90°得∠OCE＝30°（1分）∴OE＝1，BE＝2∴BE＝2OE．（2分）15．（1）∵四边形ABED 圆内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠A，∵∠A＝68°，∴∠CED＝68°；（2）连接AE．∵DE＝BE，∴＝，∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°．16．作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．。
人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题附答案
人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题附答案一、单选题1．如图，点A，B，C在⊙O上∠BAC=52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（）A．26°B．70°C．104°D．128°2．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，在下面四种情形中，可判断工件是半圆环形的（）A．B．C．D．3．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，⊙ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（）A．7√2B．247√2C．257√2D．2454．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）．A．33°B．37°C．43°D．47°5．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=√3，则弦AB所对圆周角的度数为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且⊙BOD＝110°，则⊙BCD为（）A．110°B．115°C．120°D．125°7．如图，在半圆O中，若⊙ABC＝70°，则⊙ADC的度数为（）A．70°B．140°C．110°D．130°8．如图，⊙O中OC⊥AB，∠BOC=50°，则∠ADC的度数是（）A．20°B．24°C．25°D．30°9．如图，△ABC是等边三角形AB=2，点P是△ABC内一点，且∠BAP−∠CBP=30°，连接CP，则CP的最小值为（）A．12B．√32C．2−√3D．√3−1二、填空题10．如图，点A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AB、BC、CD、AE，且∠A+∠C=155°，则弧DE所对圆心角的度数为．11．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，已知∠OBA=20°，则∠ACB=．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AD的延长线上∠ABC=135°，AC=4．（1）∠CDE的度数为；（2）⊙O的半径为．13．如图，点C、D在以AB为直径的半圆上∠BCD=120°，若AB=2，则弦BD的长为 .14．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ．若AB =8，OC =3则EC 的长为 ．15．如图，△ABC 内接于⊙O ．若⊙O 的半径为3，∠C =45°则弦AB 的长为 ．16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ⏜上的三等分点∠AOE =60°，则∠COE 的度数是 ．17．如图，四边形ABCD 的对角线AC 是⊙O 的直径AB =AD ，∠AOD =110°，则∠BCD = °．三、解答题18．如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD．求证：DE=BE．19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦∠ACD=36°，求∠BOD的度数．20．如图所示，BC是⊙O的直径AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于E，求证：BE=AE．21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，⊙APB=⊙CPB=60°．(1)判断⊙ABC的形状，并证明你的结论．(2)证明：P A+PC=PB．22．（1）【问题情境】A是⊙O外一点，P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA=5，则点P到点A的最短距离为．（2）【直接运用】如图1，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）【构造运用】如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边BC，CD向终点C，D运动，连接AM和BN交于点P，求点P到点C的距离最小值．（4）【灵活运用】如图3，⊙O的半径为4，弦AB=4，C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM面积的最大值是．参考答案：1．C2．B3．C4．B5．D6．D7．C8．C9．D10．50°11．70°12．135°2√213．√3．14．2√1315．3√216．80°17．11018．证明：⊙AB=CD⌢=CD⌢⊙AB⌢−BD⌢=CD⌢−BD⌢⊙AB⌢=CB⌢⊙AD⊙AD=BC又⊙∠A=∠C，∠D=∠B⊙△ADE≌△CBE⊙DE=BE．19．⊙AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=36°⊙∠AOD=2∠ACD=72°⊙∠BOD=180°−∠AOD=108°．20．证明：延长AD交⊙O于H，如图∵AB=AF∴AB⌢=AF⌢∵AD⊥BC∴AB⌢=BH⌢∴BH⌢=AF⌢∴∠BAH=∠ABF ∴AE=BE．21．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，⊙BCA=⊙APB=60°，⊙BAC=⊙CPB=60°⊙⊙ABC=60°⊙⊙ABC=⊙ACB=⊙BAC=60°⊙⊙ABC是等边三角形；（2）证明：在PB上截取PH=P A⊙⊙APB=60°⊙⊙APH为等边三角形⊙AP=AH，⊙P AH=60°⊙⊙BAH+⊙CAH=⊙P AC+⊙CAH即⊙BAH=⊙P AC在△AHB和△APC中{AB=AC∠BAH=∠PACAH=AP⊙⊙AHB⊙⊙APC（AAS）,⊙BH=PC⊙PB=PH+BH=P A+PC．22．解：（1）当点P是OA与⊙O的交点时，PA为最短AP=AO−OP=5−2=3（2）如图，连接AO，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的最短∵AC=BC=2∴r=12BC=1∴AO=√22+12=√5∴AP的最小值为AO−r=√5−1故答案为：√5−1；（3）∵AB=BC,∠ABM=∠BCN∴△ABM≌△BCN∴∠BAM=∠CBN∴∠CBN+∠ABP=90°∴∠BAM+∠ABP=90°∴AM⊥BN故点P点在以AB为直径的圆上运动，连接OC，与⊙O的交点，此交点P即为PC最小时的位置；∵AB=6∴OC=√32+62=3√5∴PC的最小值为3√5−3；（4）连接OA,OB∵OA=OB=4=AB∴△AOB是等边三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=1∠AOB=30°2∵AM⊥AC∴∠M=60°∵AB=4，要使△ABM面积最大，则点M到AB的距离最大如图，∵∠M=60°∴点M在以∠ADB=120°的⊙D上当AM=BM时，点M到AB的距离最大∴△ABM是等边三角形∴△ABM的最大面积为12AB×√32AB=√34AB2=√34×16=4√3．第11页共11页。
九年级数学上册《圆周角》练习题含答案
九年级数学上册《圆周角》练习题复习巩固1．如图，O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，若OB＝BC，则∠BAC等于()A．60°B．45°C．30°D．20°2．如图，已知CD是O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D＝50°，则∠C＝()A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，四边形ABCD内接于O，若∠C＝36°，则∠A的度数为()A．36°B．56°C．72°D．144°4．如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，当测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为()A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位5．如图，已知点E是圆O上的点，B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为__________．6．如图，量角器外沿上有A，B两点，它们的读数分别是70°，40°，则∠1的度数为__________．7．如图，点C在O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A′OB′，旋转角为α(0°＜α＜180°)．若∠AOB=30°，∠BCA′=40°，则∠α=_________°8．如图，O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是__________．9．如图，已知AB为O的直径，AB=AC，BC交O于点D，AC交O于点E，∠BAC=45°.(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD=CD.能力提升10．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内O上的一点，若∠DA B＝20°，则∠OCD＝__________.11．如图，正方形ABCD内接于O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP＋∠DCP＝__________.12．如图，点A，D，B，C都在O上，OC⊥AB，∠ADC=30°(1)求∠BOC的度数；(2)求证：四边形AOBC是菱形．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的O交△ABC的边于G，F，E点．求证：(1)F是BC的中点；(2)∠A=∠GEF.参考答案复习巩固1．C 2.D 3.D4．B连接EF，∵∠EOF＝90°，∴EF是圆的直径．由勾股定理，得EF＝2222OE OF+=+＝10.故选B.865．69°∵B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，∴∠AOD＝3×46°＝138°.∠AOD＝69°.∴∠AED＝126．15°由题意知，∠AOB＝70°－40°＝30°.∠AOB＝15°.因此∠1＝127．110°∵∠BCA′＝40°，∴∠BOA′＝2∠BCA′＝80°.∴∠α＝∠AOB＋∠BOA′＝30°＋80°＝110°.8．30°如图，延长AO交O于点D，连接CD，则∠D＝∠B＝60°.∵AD是O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠CAO＝90°－∠D＝30°.9．(1)解：如图，连接AD.∵AB为O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴∠BAD ＝∠CAD ＝22.5°. ∴∠EBC ＝∠CAD ＝22.5°. (2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD .能力提升10．65° 设O 交y 轴的负半轴于点E ，连接AE ，则∠OCD＝∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAE .∵∠EOB ＝90°， ∴∠BAE ＝12∠EOB ＝12×90°＝45°. ∴∠OCD ＝20°＋45°＝65°.11．45° 连接AO ，DO ，则∠AOD ＝90°，所以AD 的度数为90°， 即AP 与DP 的度数之和为90°. 故∠ABP ＋∠DCP ＝45°.12．(1)解：∵点A ，D ，B ，C 都在O 上，OC ⊥AB ，∴AC BC =. ∵∠ADC ＝30°，∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°. (2)证明：由(1)得AC BC =， ∴AC ＝BC .又∵CO ＝BO ，∠BOC ＝60°，∴△BOC 为等边三角形．∴BC ＝BO ＝CO .∴AO ＝BO ＝AC ＝BC . ∴四边形AOBC 是菱形．13．证法一：(1)如图①，连接DF .图①∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点， ∴BD ＝DC ＝12AB . ∵DC 是O 的直径，∴DF ⊥BC .∴BF ＝FC ，即F 是BC 的中点． (2)∵D ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴DF ∥AC ，∠A ＝∠BDF . ∵∠BDF ＝∠GEF ， ∴∠A ＝∠GEF .图②证法二：(1)如图②，连接DF ，DE . ∵DC 是O 的直径，∴∠DEC ＝∠DFC ＝90°. ∵∠ECF ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．∴EF ＝C D ，DF ＝EC .∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴EF＝CD＝BD＝12 AB.∴Rt△DBF≌Rt△EFC(HL)．故BF＝FC，即F是BC的中点．(2)∵△DBF≌△EFC，∴∠BDF＝∠FEC，∠B＝∠EFC.∵∠ACB＝90°，(也可证AB∥EF，得∠A＝∠FEC)∴∠A＝∠FEC.∵∠FEG＝∠BDF，由(1)可知DF∥AC，∴∠A＝∠BDF.∴∠A＝∠GEF.。
人教版数学九年级上册：24.1.4 圆周角 同步练习(附答案)
24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠BOC＝50°，则∠A的度数是() A．25° B．20°C．80° D．100°2．如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝()A．55° B．110°C．120° D．125°3．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是() A．24° B．28°C．33° D．48°4．如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为 m.5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是() A．35° B．45° C．55° D．65°6．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°7．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为( )A ．65°B ．75°C ．50°D ．55°8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为 .9．已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦AB 所对的圆周角的度数为 ． 10．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BAD11．如图，AB ︵是半圆，连接AB ，点O 为AB 的中点，点C ，D 在AB ︵上，连接AD ，CO ，BC ，BD ，OD.若∠COD ＝62°，且AD ∥OC ，则∠ABD 的大小是( )A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°12．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°13．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BOD ＝130°，AC ∥OD 交⊙O 于点C ，连接BC ，则∠B ＝ 度．14．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为 ．15．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AP ⊥BC 于点P ，AM 为⊙O 的直径．若∠BAM ＝15°，则∠CAP ＝ .16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点． (1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．17．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为 .第2课时圆内接四边形1．如图，图中∠A＋∠C＝()A．90° B．180°C．270° D．360°2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是()A．115° B．105° C．100° D．95°3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．1∶2∶3∶4 B．1∶3∶2∶4C．4∶2∶3∶1 D．4∶2∶1∶34．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是．5．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，D 是AC ︵的中点，则∠DAC 的度数是 度．6．圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝50°，∠ACD ＝25°，∠BAD ＝65°.求证： (1)AD ＝CD ；(2)AB 是⊙O 的直径．8．如图，在⊙O 中，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝ ．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA ＝DC ，∠CBE ＝50°，则∠DAC 的大小为( )A ．130°B ．100°C ．65°D ．50°10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A ．48°B ．96°C ．114°D ．132°11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为 ．12．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO ＝120°.求⊙C 的半径．13．如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 为⊙O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使得CD ＝BD.连接AC 交⊙O 于点F ，连接AE ，DE ，DF. (1)求证：∠E ＝∠C ；(2)若∠E ＝55°，求∠BDF 的度数．14．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．参考答案：24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1．A2．D3．A4．200 .5．C6．D7．A8．50°.9．30°或150°．10．D11．B12．D13．40．1415．15°.16．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．又∵D 是BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ＝12AB ＝12×2＝1.17．8__cm .第2课时 圆内接四边形1．B 2．B 3．D 4．AB ∥CD ． 5．30．6．解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.设这四个内角的度数分别为2x °，x °，7x °，8x °，则 2x ＋x ＋7x ＋8x ＝360.解得x ＝20. 2x ＝40，7x ＝140，8x ＝160.答：这个四边形各内角的度数分别为40°，20°，140°，160°. 7．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠ACD －∠D ＝180°－25°－130°＝25°.∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB是⊙O的直径．8．140°．9．C10．B11．50°．12．解：∵四边形ABMO内接于⊙C，∴∠BAO＋∠BMO＝180°.∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．∴⊙C的半径为4.13．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C ＋∠CFD＝110°.14．解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，又∵∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF ， ∴∠ADC ＝∠ABC.(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°.∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADF 中，∠A ＝90°－∠F ＝90°－42°＝48°.(3)连接EF.∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠BCD ＋∠A ＝180°.又∵∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∴∠ECD ＝∠A.∵∠ECD ＝∠CEF ＋∠CFE ，∴∠A ＝∠CEF ＋∠CFE.∵∠A ＋∠CEF ＋∠CFE ＋∠DEC ＋∠BFC ＝180°， ∴2∠A ＋α＋β＝180°.∴∠A ＝90°－α＋β2.。
苏科版数学九年级上2.4圆周角(1)同步练习含答案
2.4 圆周角（1）【基础提优】1．如图，已知点A ，B ，C 都在⊙O 上，如果∠AOB +∠ACB=84°，那么∠ACB 的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．28°D ．40°第1题 第3题2．已知△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，∠A=50°，则∠OCD 的度数是（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD ，则⊙O 的半径为（ ）A ．B ．5C ．4D ．34．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC 的度数是 ．第4题 第5题5．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠C=20°，∠B=30°，则∠BOC= ．6．如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知AB ⌒和CD ⌒所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P= ．第6题 第7题7．如图，已知点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，OB ⊥AC ，如果∠BOC=56°，那么∠ADB= ．8．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O 的半径为2，求弦BC 的长．【拓展提优】1．如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数是（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°第1题第2题2．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A．68°B．88°C．90°D．112°3．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC 的度数是（）A．26°B．52°C．38°D．76°第3题第4题⌒的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°，则∠ABD的度数4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC是（）A．95°B．98°C．109°D．101°5．如图，P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，一定不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP= 30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形第5题第6题6．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= ．7．如图，AB是⊙O的直径，P为半圆上任意一点（不与点A，B 重合），Q为另一半圆上一定点，若∠POA 的度数为x°，∠PQB的度数为y°，则y与x之间的关系式是．第7题第8题⌒所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D的度数8．如图，点O为ACB为．9．在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，交⊙O于点B．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度数．参考答案【基础提优】1-3 CAB4．50°5．100°6．20°7．28°8．【拓展提优】1-5 DBBDC6．65°7．190(0180) 2y x x=-+<<8．27°9．（1）233（2）40°。
浙教新版九年级上册《3.5 圆周角》2024年同步练习卷(3)+答案解析
浙教新版九年级上册《3.5圆周角》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，是的外接圆，，则的度数等于()A.B.C.D.2.如从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()A. B.C. D.3.如图，AB为的直径，C，D为上两点，若，则的大小为()A. B. C. D.4.如图，▱ABCD的顶点A、B、D在上，顶点C在的直径BE上，，连接AE，则的度数为()A.B.C.D.5.已知：如图，在中，，，则的度数为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
6.如图，一块含角的直角三角板，将它的角顶点A落在上，边AB、AC分别与交于点D、E，则的度数为______.7.直径为12cm的中，弦，则弦AB所对的圆周角是______.8.如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是、，则的度数为______.9.如图，内接于，AD是的直径，，则的度数是______.10.如图，AB为的直径，AC交于点E，BC交于点D，若，，给出下列结论：①，②，③，④，⑤其中正确的是______.三、解答题：本题共4小题，共32分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题8分如图，OA是的半径，以OA为直径的与的弦AB相交于点D，连结OD并延长交于点E，求证：12.本小题8分如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为，D为上在第一象限内的一点且求线段AB的长及的半径；求B点坐标．13.本小题8分如图，在中，，，，AD是的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接求证：；求外接圆的半径．14.本小题8分如图，在中，AB是直径，CD是弦，是上一点不与C、D重合，求证：；点在劣弧CD上不与C、D重合时，与有什么数量关系？请证明你的结论．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，是的外接圆，，故选：直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．2.【答案】C【解析】解：直径所对的圆周角等于直角，从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是故选：根据圆周角定理直径所对的圆周角是直角求解，即可求得答案．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．连接AD，先根据圆周角定理得出及的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接AD，如图，为的直径，，，故选：4.【答案】A【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，，，为的直径，，故选：根据BE是直径可得，然后在▱ABCD中，可得，继而可求得的度数．本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行四边形的性质得出5.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，连接，，，故选6.【答案】【解析】解：，，故答案为：根据圆周角定理解决问题即可．本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7.【答案】或【解析】解：连接OA、OB，如图，，为等边三角形，，，，即弦AB所对的圆周角为或故答案为或连接OA、OB，如图，先证明为等边三角形得到，则利用圆周角定理得到，再利用圆内接四边形的性质得到，从而得到弦AB所对的圆周角．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．注意分类讨论的运用．8.【答案】【解析】解：由图可知，，根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，故答案为根据圆周角和圆心角的关系解答即可．本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9.【答案】【解析】解：是的直径，，，故答案为由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据直角三角形两锐角互余得到与互余，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数，继而求得的度数．此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10.【答案】①②④【解析】解：连接AD，AB是的直径，则，，，，，AD平分，，，，故①②正确，，，又AD平分，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确．，，，，故③错误．，，，即，故⑤错误．故答案为：①②④．①AB是直径，易知，而，，从而易求和，进而可求；②连接AD，由于，，利用等腰三角形三线合一定理可知；③在中，易求和，利用，可知，利用，，易证是等腰直角三角形，从而可知；④由于，，易得劣弧劣弧BD，而劣弧劣弧DE，从而易证劣弧劣弧DE；⑤由，，可得结论．本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是求出相应角的度数．11.【答案】证明：为的直径，，即，【解析】根据圆周角定理得到，根据垂径定理证明结论．本题考查的是圆周角定理、垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧是解题的关键．12.【答案】解：连接AB；，，，是直角，是的直径，；，的半径；在中，由勾股定理得：，，的坐标为：【解析】连接AB；由圆周角定理可知，AB必为的直径；中，易知OA的长，而，通过解直角三角形，即可求得斜边AB的长，也就求得了的半径；在中，由勾股定理即可求得OB的长，进而可得到B点的坐标．此题主要考查了圆周角定理、点的坐标意义、勾股定理等知识的综合应用能力，综合性较强，难度适中．13.【答案】证明：，且为圆O的圆周角已知，为圆O的直径的圆周角所对的弦为圆的直径，直径所对的圆周角为直角，又是的的平分线已知，角平分线定义，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，在和中，，，全等三角形的对应边相等；解：在中，，，，，外接圆的半径【解析】由圆O的圆周角，根据的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；先根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边的中点即是其外接圆的圆心即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，涉及到勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，能灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．14.【答案】证明：连接OD，是直径，，又，解：第11页，共11页理由如下：连接OD ，，，又，，【解析】根据垂径定理知，弧弧BC ，由圆周角定理知，弧BC 的度数等于的度数，弧AD的度数等于的2倍，可得：；根据圆内接四边形的对角互补知，，而：，本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．。
24.1.4 圆周角 人教版数学九年级上册同步练习(含答案)
24.1.4圆周角知识点1 圆周角定理例1．如图，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，«Skip Record If...»为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的弦B．«Skip Record If...»是圆心角C．«Skip Record If...»是圆周角D．«Skip Record If...»变式2．如图，在«Skip Record If...»中，点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上一点，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．130°3．AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°，则∠AOC的度数为（）A．32°B．64°C．116°D．128°知识点2 同弧或等弧所对的圆周角相等例4．如图，«Skip Record If...»、«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»交«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°变式5．如图，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的直径，点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在圆上，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»等于（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»6．如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为«Skip Record If...»的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．5«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．5D．«Skip Record If...»知识点3 直径所对的圆周角例7．如图，半径为5的«Skip Record If...»经过点C和点O，点B是y轴右侧«Skip Record If...»的优弧上一点，«Skip Record If...»，则点C的坐标为（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»变式8．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA ＝_____度．9．如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧«Skip Record If...»上一点，则∠ACB＝_______．课堂练习10．如图，在⊙O 中，AC =«Skip Record If...»AB ， 直径BC =2«Skip Record If...»， «Skip Record If...»， 则AD =___．11．如下是小华设计的“作«Skip Record If...»的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在«Skip Record If...»上任取一点C ，以点C 为圆心，«Skip Record If...»为半径作半圆，分别交射线«Skip Record If...»于点P ，点Q ，连接«Skip Record If...»«Skip Record If...» ①«Skip Record If...»，理由是② 第二步过点C 作«Skip Record If...»的垂线，交«SkipRecord If...»于点D ，交«Skip Record If...»于点E«Skip Record If...»，«Skip Record If...» ③ 第三步作射线«Skip Record If...»射线«Skip Record If...»平分«Skip Record If...»射线«Skip Record If...»为所求作．12．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），设∠OAB ＝α，∠C ＝β，（1）当α＝35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给以证明．13．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC.OC.BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．14．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC 分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．参考答案1．B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A.点C不在«Skip Record If...»上，所以AC不是«Skip Record If...»的弦，故错误，不符合题意；B.因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；C.点C不在«Skip Record If...»上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；D.当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若«Skip Record If...»成立，则AC+OC＜OA+OB，∴AC＜OA，与题干矛盾，∴D选项错误，不符合题意；故选B．【点拨】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．2．D【分析】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，由∠AOC= 100° 求出∠ADC= «Skip Record If...»∠AOC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC= 180° ，即可求出∠ABC的度数．【详解】在优弧AC上取点D，连接AD.CD，∵∠AOC= 100° ，∴∠ADC= «Skip Record If...»∠AOC=50° ，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC= 180° ，∴∠ABC= 180° -50° =130° ，故选：D．【点拨】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3．C【分析】根据圆周角定理可求∠AOC，根据邻补角定义可求∠AOC的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，C.D是圆上两点，∠BDC＝32°∴∠BOC=2∠D=2×32°=64°∴∠AOC=180°-∠BOC=116°故选：C【点拨】考核知识点：圆周角定理．理解圆周角定理是关键．4．C【分析】先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠A＝40°，再根据平行线的性质可得∠ADB＝∠A ＝20°，由三角形外角定理即可得出答案．【详解】解：∵∠A＝20°，∴∠EOD＝2∠A＝40°，又∵«Skip Record If...»，∴∠ADB＝∠A＝20°，∴∠AFC＝∠EOD＋∠ADB＝40°＋20°＝60°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．5．B【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝55°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠B＝90°﹣35°＝55°，∴∠ADC＝∠B＝55°．故选：B．【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6．A【分析】首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答．本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．【详解】解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵B为«Skip Record If...»的中点，∴∠BOD=∠ACD=30°，∴∠QOD=2∠QCD=2×30°=60°，∴∠BOQ=30°+60°=90°．∵直径CD=10，∴OB=«Skip Record If...»CD=«Skip Record If...»×10=5，∴BQ=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=5«Skip Record If...»，即PA+PB的最小值为5«Skip Record If...» ．故选A．【点拨】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理、圆的对称性质应用．7．A【分析】先根据«Skip Record If...»可得CD是«Skip Record If...»的直径，进而求得«Skip Record If...»，再利用圆周角定理得出∠CDO的度数，进而利用含30°的直角三角形的性质得出答案．【详解】解：如图，设«Skip Record If...»与x轴的交点为D，连接CD．«Skip Record If...»∴CD是«Skip Record If...»的直径，∵«Skip Record If...»的半径为5，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴点C的坐标为«Skip Record If...»，故选：A．【点拨】此题主要考查了圆周角定理及其推论以及含30°的直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．8．70【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，∴∠B=540°-430°=110°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠CDA=180°，∴∠CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点拨】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．9．118°【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．【详解】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝124°，∴∠ADB＝«Skip Record If...»∠AOB＝«Skip Record If...»×124°＝62°．∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣62°＝118°．故答案为：118°．【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与它的圆周角的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．«Skip Record If...»【分析】过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，DC，根据«Skip Record If...»和BC是直径可以得到，∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB，即可得到AE=DE，利用勾股定理先求出AB，BD再求出AE，即可求出AD.【详解】解：如图所示，过D点作DE⊥AB交AB于E，连接BD，CD∵BC是圆的直径∴∠BAC=90°=∠BDC∵«Skip Record If...»∴∠DAB=∠DAC=45°=∠DBC=∠DCB∴BD=DC∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠EDA=∠DAB=45°∴AE=DE在Rt△ABC中，AC=«Skip Record If...»AB，BC=2«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»同理«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»设AE=DE=x，则BE=4-x在Rt△DEB中，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴AE=DE=3∴«Skip Record If...»故答案为：«Skip Record If...».【点拨】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90°，勾股定理，等腰三角形的判定等等，大角对大边，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11．见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③«Skip Record If...»【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．①∵OQ是直径∴∠OPQ=90°故答案为：90；②故答案为：直径所对的圆周角是直角；③∵CE⊥PQ∴由垂径定理得：«Skip Record If...»«Skip Record If...»．故答案为：«Skip Record If...»【点拨】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握圆周角定理及推论是关键12．（1）55°；（2）α+β=90°，证明见解析．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=35°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．【详解】解：（1）连接OB，∵∠OAB=α=35°，∴∠OBA=35°，∴∠AOB=110°，∴β=«Skip Record If...»∠AOB=55°；（2）结论：α+β=90°．证明：∵∠AOB=180°-2α，β=«Skip Record If...»∠AOB∴β=90°-α，∴α+β=90°．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．13．（1）翙解析；（2）圆O的直径为10cm．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，AB⊥CD，根据垂径定理即可得«Skip Record If...»，然后由圆周角定理可得∠BCD=∠BAC，又由OA=OC，根据等边对等角，可得∠BAC=∠ACO，继而证得结论；（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴«Skip Record If...»，∴∠BCD=∠BAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACO=∠BCD；（2）设⊙O的半径为R cm，则OE=OB-EB=（R-2）cm，CE=«Skip Record If...»CD=«Skip Record If...»×8=4（cm）．在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R-2）2+42，解得R=5，∴OB=5 cm．故圆O的直径为10 cm．【点拨】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．14．（1）见解析；（2）BD＝2.8【分析】（1）利用弧的中点，等腰三角形的性质计算即可．（2）利用勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理的推论计算即可．【详解】（1）证明：∵C是«Skip Record If...»的中点，∴«Skip Record If...»，∴∠ABC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝«Skip Record If...»＝6，∵C是«Skip Record If...»的中点，∴OC⊥AD，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，F是AD的中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF＝2.8．【点拨】本题考查了垂径定理及其推论，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和三角形中位线定理是解题的关键．。
九年级数学上册《圆周角》同步测试 附加答案
圆周角1．如图21－1－41，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于(D)图21－1－41A．50°B．80°C．90°D．100°2．如图21－1－42，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝100 °，则∠A的度数为(B)图21－1－42A．40°B．50°C．80°D．100°3．如图24－1－43，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD ＝100°，则∠DCE的度数为(C)A．40°B．60°C．50°D．80°【解析】根据圆周角定理，可求得∠A的度数；由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，可得∠DCE＝∠A＝50°.图24－1－434．如图21－4－44，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为(D)图21－4－44A．135° B. 122.5° C. 115.5°D．112.5°【解析】∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBC＝22.5°，∴∠AOB ＝180°－22.5°－22.5°＝135°.∴∠C ＝12(360°－135°)＝112.5°. 5．[2013·苏州]如图21－4－45，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( C )图21－4－45 第5题答图A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【解析】 连接BD ，如图，∵点D 是弧AC 的中点，即弧CD ＝弧AD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，而∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°， ∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－25°＝65°.6．[2012·湘潭]如图24－1－46，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC ＝40°，则∠BOD ＝( D )图24－1－46A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°【解析】 ∵弦AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠BCD ，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2∠ABC ＝2×40°＝80°.7．如图24－1－47，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__答案不唯一，如∠A ＝∠C 等__．图24－1－478．[2013·张家界]如图24－1－48，⊙O 的直径AB 与弦CD 垂直，且∠BAC ＝40°，则∠BOD ＝__80°__．24－1－489．如图24－1－49，若AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠CAB＝30°，则BC＝__5__cm.图24－1－4910．如图24－1－50，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__35__度．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝55°，∴∠B＝90°－∠CAB＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°.图24－1－5011．如图24－1－51，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC的度数为__30°__．【解析】因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.又因为△ABC是等边三角形，所以AD 是∠BAC的平分线，所以∠DAC＝30°.图24－1－5112．如图24－1－52，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．解：如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.又∵∠BDC＝12∠BOC，∴∠C＝12∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.图24－1－52第12题答图13．如图24－1－53，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝70°，则∠A ＝__20°__．图24－1－53【解析】 因为CD ⊥AB ，∠B ＝70°，所以∠C ＝20°，所以∠A ＝20°.14．如图24－1－54，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝__27°__．【解析】 ∠ABC ＝12∠AOC ＝12×108°＝54°.因为BD ＝BC ，所以∠D ＝12∠ABC ＝12×54°＝27°.图24－1－54图24－1－5515．如图24－1－55，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ∥AB 交⊙O 于点F ，BE ∥DC 交⊙O 于点E .(1)求证：BE ＝DF ；(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．【解析】 (1)首先由平行线性质得到∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，然后根据相等的圆周角所对的弧相等即可证明ECA ︵＝CAF ︵，进一步得到BE ︵＝DF ︵，再根据等弧对等弦即可得到BE ＝DF ；(2)根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧． 解：(1)证明：∵DF ∥AB ，BE ∥DC ，∴∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，∴ECA ︵＝CAF ︵，∴BE ︵＝DF ︵，∴BE ＝DF .(2)图中相等的劣弧有：DF ︵＝BE ︵，EC ︵＝F A ︵，AC ︵＝BD ︵，DA ︵＝BC ︵，BF ︵＝DE ︵等．图24－1－5616．已知：如图24－1－56，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点．证明：(1)∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA .∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA .(2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°，∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ，∴PD ＝P A .又∵∠DF A ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PD F ＝90°，∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ， ∴PD ＝PF ，∴P A ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．17．已知：如图24－1－57(1)，在⊙O 中，弦AB ＝2，CD ＝1，AD ⊥BD .直线AD ，BC 相交于点E .(1)求∠E 的度数；(2)如果点C ，D 在⊙O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线AD ，BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下两种情况进行探究，并说明理由(图形未画完整，请你根据需要补全)．①如图(2)，弦AB 与弦CD 交于点F ；②如图(3)，弦AB 与弦CD 不相交．图24－1－57【解析】(1)连接OC，OD，则∠COD＝60°，且∠DBE＝12∠DOC＝30°.解：(1)如图(1)，连接OC，OD.∵A D⊥BD，∴AB是⊙O的直径，∴OC＝OD＝CD＝1，∴△DOC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠DBE＝12∠COD＝30°，∴∠E＝90°－∠DBE＝60°.(2)①如图(2)，连接OD，OC，AC.∵DO＝CO＝CD＝1，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC＝12∠DOC＝30°，∴∠EBD＝∠DAC＝30°.∵∠ADB＝90°，∴∠E＝90°－∠EBD＝60°.②如图(3)，连接OD，OC，同理可得出∠CBD＝30°，∠BED＝90°－∠CBD＝60°.数学选择题解题技巧1、排除法。
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九年级数学上册《圆周角》同步练习题及答案同步练习 + 专项练习1 + 专项练习2同步练习一、选择题1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．A ．140°B ．110°C ．120°D ．130°2143OB AC(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3+3C ．5-123 D ．5二、填空题1．半径为2a 的⊙O 中，弦AB 的长为23a ，则弦AB 所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BAC21ED(4) (5)3．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．三、综合提高题1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．参考答案一、1．D 2．B 3．D二、1．120°或60° 2．90° 3．3三、1．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又AB AC，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连接OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，设OD=x ，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=4333．（1）略（2）4，（-23，2）专项练习1◆随堂检测1．如图，图中圆周角的个数是( )A．9 B．12 C．8 D． 142．如图，圆∠BOC=100 o，则圆周角∠BAC为( )A．100 o B．130 o C．50 o D．80o3．如图，AB为⊙O的直径，点C在QO上，∠B=50 o，则∠A等于( )A．80 o B．60 o C．50 o D．40 o4．如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25o，则∠ACB的大小为___________．5．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为a，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D．则BD的长为___________．◆典例分析如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．第1题第2题第3题第4题第5题分析：所要求的三线段BC，AD和BD的长，能否把这三条线段转化为是直角三角形的直角边问题，由于已知AB为⊙O的直径，可以得到△ABC和△ADB都是直角三角形，又因为CD平分∠ACB，所以可得= ，可以得到弦AD=DB，这时由勾股定理可得到三条线段BC、AD、DB的长．解：∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴= ．在等腰直角三角形ADB中，点评：利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形解题．◆课下作业●拓展提高1．如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．2．如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50 o．则∠ADC=_______．3．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30 o，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是 ( )A．150 o B．120 o C．100 o D．90 o4．如图,∆ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30o，则∠CAD等于( )A．30 o B．40 oC．50 o D． 60 o5．如图，∠APC=∠CPB=60 o，请推测△ABC是什么三角形，并证明猜想的正确性．第1题第2题第3题6．如图，AD 是∆ABC 的高，AE 是∆ABC 的外接圆的直径．试说明AB ·AC=AE ·AD ．7．如图，点A 、B 、C 为圆O 上的三个点，∠AOB=13∠BOC, ∠BAC=45 o，求∠ACB 的度数．8． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D(AD<DB)，点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F ，连结AF ，与直线CD 交于点G ．(1)试说明AC 2=AG ·AF ；(2)若点E 是AD(点A 、D 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形，并给予证明；若不成立，请说明理由．●体验中考1．(温州)如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB=80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．80°2．(凉山州)如图，O ⊙是ABC △的外接圆，已知50ABO ∠=°，则ACB ∠的大小为( ) A ．40° B ．30° C ．45° D ．50° 3．(山西省)如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，则D ∠= 度．4． (宁夏)已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°． (1)求EBC ∠的度数； (2)求证：BD CD =．参考答案◆随堂检测1．B 提示：利用弧来找圆周角 2．C 提示01502BAC BOC ∠=∠= 3．D 提示：000AB C 90B 5040A ∴∠=∠=∴∠=直径，，又， 4．650提示：000BAO OBA 251AOB 130C AOB 652OA OB =∴∠=∠=∴∠=∴∠=∠=，，， 5．011a AD AB ADB=90AD BC BD a 22∴∠∴⊥（提示：连接，直径，，，由“三线合一”得：=）◆课下作业●拓展提高 1． 500提示：0,AC=AB,AOB=2ADC=50AO BC ⊥∴∠∠由垂径定理知：2． 400 提示：连接BC ，000AB ACB=90,50,40,BAC ADC ∴∠∠=∴∠=直径，又3． B 提示：连接BC ，0000AB ACB 90BAC 30ABC 60D ABC 180D=120∴∠=∠=∴∠=∠+∠=∴∠直径，，又，由圆的内接四边形性质可知：，4．D5．ABC 解：是正三角形，00ABC APC 60BAC=60,ABC ∴∠=∠=∠∴同弧所对的圆周角相等，，同理是正三角形6．BE 证明：连接，00AB AB C E AE ABE 90AD BC ADC 90ABE ADC ABE ADC AD =AB AC AEAB AC AD AE∴∠=∠∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠∴∴∴•=•=，，是直径，，，，，7．解：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半000BOC 2BAC 901AOB BOC 3031ACB AOB 152∴∠=∠=∠=∠=∴∠=∠=，8．(1)证明：BC 连接，()0002AB ACB B+CAB 90CD AB ACD CAB 90B ACD AC B F F ACD CAG AC AGCAG FAC AC AF AGAF AC2∴∠∴∠∠=⊥∴∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠∴∴=∴=•直径，=90，，，，，，，又是公共角，，，仍然成立●体验中考1． A 提示：1B AOB 2AC ∠=∠ 2．A 3．300提示：00B 1A 30D B 30∠=∠-∠=∴∠=∠=，4．000000ABC AB=AC ABC C A ABC 67.5AB AEB 90ABE 45EBC 22.5AD AB ,AD DB BD=DC∴∠∠∠∴∠=∠=∴∠=∴∠=∴∠∴⊥∴解：（1）在等腰三角形中，，=，=45，直径，，，（2）连接，直径，ADB=90，专项练习2一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB是⊙O的直径, BC BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°, 则圆周角∠BAC的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°D DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D是AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°三、解答题:13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.BA14.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.15.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.16.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.(1)P 是CAD 上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.17.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,)如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素参考答案1.120°2.3 13.160°4.44°5.50°7.A8.C9.B10.C11.B12.C13.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°, 故△COD是等边三角形,从而CD= 4cm.14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD. ∵AD是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC2+CD2=AD2,即2AC2=36,AC2.15.连接BD,则∴AB是直径,∴∠ADB=90°.∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴PD CD PB AB=.在Rt△PBD中,cos∠BPD=PD CDPB AB==34,设PD=3x,PB=4x,则=,∴tan∠BPD=BDPD==.16.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径,∴BC BD=,∴∠COB= ∠DOB.∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)∠CP′D+∠COB=180°.理由如下:连接P′P,则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.17.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.a.。