静定刚架内力计算

⑴M图与荷载情况不符。如图a所示刚架上DE段，有向左的均布荷 载，该段弯矩图应向左凸；C点有向下的集中力作用，弯矩图应向 下尖；AB段上A处只产生竖向反力，所以AB段只受轴力，该段弯矩 图等于零。正确的弯矩图如图b所示。 又如图c所示刚架上C截面上有集中力偶作用，弯矩图应发生突变 ， 突变前后两条线平行。因为XB=0，YB通过C截面。所以由C截面以右 可得MC右=0。正确的弯矩图如图d所示。 ⑵M图与结点性质、约束情况不符。如图2-4e所示刚架上，铰结点C 、铰支座A和B处无集中力偶作用，该处截面弯矩等于零。正确的弯 矩图如图f所示。
qa2/2
qa2 q
B
B Xqa/2
YB
注:三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！！
画三铰刚架弯矩图
M
O
C
M
M/2 M/2
a A a B
A
C
B
XB
a
RA
YB
Mo=m－2a×XB=0, 得 XB=M/2a
注: 1：三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两
铰连线，对o点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始作弯矩图。 2：集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后两条线平行。 3：三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！！
D
0
返回
3、主从刚架求反力：
• 需要分析其几何组成顺序，确定基本部 分和附属部分。先计算附属部分，在计 算基本部分。
例题 3
反力计算3
由附属部分ACD 由整体
M
D
4 X A 2×2 4×2×1 0
X A 3kN
4kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M 0 Y 0 Y
K
YG 30kN
2kN
K
A
XA 2m 2m
G
K XK
校核：
4m
YG
YK
M
E
2 2 + 2 2 4 X A 4 X K +YK 4 0
返回
2m
2kN
B
2kN
F
2m
X 0
X K 1kN
C
D
E
H
§4.3 刚架内力计算
• 计算步骤：
①求支座反力。简单刚架可由三个整体平衡方程求出支座反力，三 铰刚架及主从刚架等，一般要利用整体平衡和局部平衡求支座反力。 ②求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、集中荷 载作用点、分布荷载不连续点。控制截面把刚架划分成受力简单的 区段。运用截面法或直接由截面一边的外力求出控制截面的内力值 。 ③根据每区段内的荷载情况，利用“零平斜弯”及叠加法作出弯 矩图。作刚架Q、N图有两种方法，一是通过求控制截面的内力作 出；另一种方法是首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平 衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影 平衡由杆端剪力求杆端轴力。当刚架构造较复杂（如有斜杆），计 算内力较麻烦事，采用第二种方法。 ④结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字母作 为下标来表示，并把该端字母列在前面。 ⑤注意结点的平衡条件。
↑↑↑↑↑↑↑↑ ↑↑↑↑↑↑↑↑ A
M图 a qa/2
QCA
q
NCB
QAC
0 NCA ∑X＝0，NCB ＝ 0 ∑Y＝0，NCA＝qa/2
∑MC＝qa2/2+ qa2/2 －QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qa ∑MA＝0 Q CA=（qa2/2 － qa2/2 ）/a =0
8kN 6kN －6kN 8kN 16kN.m
B 24kN.m
NDC=0 C MDC=24kN.m（下拉）
6kN
0
4m ∑X = 8－8 = 0 ∑Y = －6－（－6） = 0
校核：
6kN
∑M = 24－8 － 16 = 0
2m
1m
A 8kN =－6kN QDC
作内力图
8kN
1m
8 6
－ ＋
16 8 24
例题 9 主从刚架
四、主从结构
qa
绘制弯矩图时，可以利用弯矩图 与荷载、支承及连结之间的对应关系， 不求或只求部分约束力。 q qa
• ①分别取左、右半边建立仅含有中间铰 约束力的矩平衡方程，由这两个方程求 出中间铰约束力； • ②再由支座反力。
例题 2
反力计算2
先求中间铰的约束力 a O1
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C YA XD a a YD Y1 a
E
YB
a
O2
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ YA C
X1 Y1
X1
E YB
M O1 2aY1 aX1 2qa2 0
第四章 静定刚架内力计算
• 学习内容
• 静定结构反力计算和截面内力计算； 绘制内力图的基本方法；利用微分关系 及结点平衡条件简化内力图的绘制；叠 加法绘制弯矩图；静定刚架的组成特点 和受力特点；刚架的内力计算和内力图； 斜杆刚架和复杂刚架的计算；利用对称 性简化刚架的计算。
学习目的和要求
不少静定结构直接用于工程实际。另外静定结构还是解算超静定 结构的基础。所以，静定结构的内力计算是十分重要的，是结构力 学的重点内容之一。通过本章学习要求达到： 1.重视和熟练掌握结构的支座反力的计算。它的计算错误将导致 内力计算的错误。 2.能熟练的绘制静定刚架的弯矩图和剪力图，尤其是弯矩图的绘 制要十分的熟练。 3.绘制弯矩图有许多技巧，都要掌握。但最重要的是掌握截面内 力计算、内力图的形状特征和绘制内力图的叠加法。 4.会恰当选取分离体和平衡方程计算静定结构的内力。如何选取 视具体情况（结构情况、荷载情况）而定。当不知如何下手时 ，宜考察结构的几何组成。
一、悬臂刚架绘制弯矩图，可以不求 反力，由自由端开始作内力图。
例题 6 悬臂刚架
如静定刚架仅绘制其弯矩图，往往并不需要求出全部反 力，只需求出与杆轴线垂直的反力。 一、悬臂刚架绘制弯矩图可以不求反力，由自由端开始作 内力图。 q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql² ½ql² 2q 2q
↓↓↓↓↓
l
q
2m

5
5
返回
§4.4 刚架弯矩图对误判别
• 利用前述内力图与荷载、支承和联结之 间的对应关系，可在绘制内力图时减少 错误，提高效率。另外，根据这些关系， 常可不经计算直观检查M图的轮廓是否 正确。鉴于静定平面刚架M图的重要性， 而初学者又常易搞错，故掌握M图正误 判别是很有益的。下面结合例子说明画 M图时容易出现的错误：
O
qL2/4 q
C
qL2/4 整体对O点建立平衡方 程得 ∑MO=ql×1.5l－ 2lXA=0 得 XA=3ql/4 RB
l
A
=3/4ql XA
l l 三铰刚架弯矩图
B
YA
返回
四、主从结构绘制弯矩图时，可以利 用弯矩图与荷载、支承及连结之间的 对应关系，不求或只求部分约束力。 以铰支座、铰结点、自由端作为切入 点，先作附属部分，后作基本部分。
§4.1 刚架的组成特征
一、刚架的特点 ①刚架的内部空间大，便于使用。 ②刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度， 变形小。 ③刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。
§4.2 刚架的反力计算
• 1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的 三个平衡条件便可求出。
2、三铰刚架的反力计算：
一般方法 ①整体对左底铰建立矩平衡方程，右半边对中间 铰建立矩平衡方程，这两个方程求出右底铰的支座 反力； ②再由整体的两个投影平衡方程求出左支座的两 个支座反力。 ③校核。
例题 1
反力计算1
三铰刚架的反力计算
整体对右底铰建立矩方程 qa 2 0 Y qa =3kN M B 0 2aYA 2 A 4 左半边平衡 qa qa M C a X A ×1.5a 0 X A 2(kN ) 4 6 整体平衡 Y YA +YB qa 0 YB 3qa 4 9kN
⑶作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。 如图g所示刚架，若取结点C为分离体，将发现它不满足结点的力矩 平衡条件。另外AC段上A处只产生竖向反力，所以AC段只受轴力， 该段弯矩图等于零。正确的弯矩图如图2-4h所示。
§4.5刚架弯矩图绘制
• 如静定刚架仅绘制其弯矩图，往往并不 需要求出全 部反力，只需求出与杆轴线 垂直的反力。
M
O2
2aY1 + aX1 0
左半边 M C 0 YA Y1
右半边 M E 0 YB Y1
解得 X 1 qa Y qa 1 2
整体 Y YA + YD + YB 2qa 0, YD 2qa
X 0, X
Q kN
2m
6kN 8kN 6kN M kN.m
4m
＋
6 N kN
返回
例题 5
内力计算2
作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件 为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取 结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。 qa2/2 q qa2/2 C C B B 2/2 QCB QBC qa ∑MC＝qa2/2+ QBCa来自百度文库0 qa2/8 QBC=QCB=－qa/2 qa2/2 a
a
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
B
qa2/2
qa2/8
注意:BC杆CD杆的 A 剪力等于零,弯矩图 于轴线平行
a
a
qa
返回
三、三铰刚架弯矩图，往往只须求 一水平反力,然后由支座作起。
例题 8 三铰刚架
三、三铰刚架弯矩图
1 反力计算 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 0 1 整体 C 2+2qa2－2aY =0 (1) MA= qa B 2 右半边 qa 1/2qa2 MC=0.5qa2+2aXB －aYB=0 (2) 解方程(1).(2)可得 A XB=0.5qa YB=1.5qa qa/2 A X 3 再由整体平衡 a a YA X=0 解得 XA=－0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa 2 绘制弯矩图 a a
例题 4
内力计算1
QDA=8kN QDB=8kN QDC=－6kN NDC QDC NDA=0 NDB=6kN NDC=0 8kN MDC=8kN.m（左拉） MDB=16kN.m（右拉） MDC=24kN.m（下拉）
QDA MDA MDC 6kN
NDA
QDA=8kN NDB MDB D NDA=0 QDB QDB=8kN 6kN D 0 MDC=8kN.m（左拉） NDB=6kN 8kN.m B 8kN 8kN MDB=16kN.m（右拉）
q=4kN/m 6 D α C
↓↓↓↓↓↓
1.5m
1.79
＋
3.58
＋
6
4.5 E
3m
－
M图（kN.m） A
2kN
3kN
B
2kN
2
－
Q图（kN）7.16
＋
2
4kN/m ND 3m 3m C ↓↓↓↓↓↓↓ 9kN CNEC α 1.79 7.16 3.58 C α ααQCE Q CD 6D sin 1 cos 2 l DC l EC 3.35m E 5 5 1.79 Q EC NC 3.13Q 2 2 0.45 9 DC E － 3 3.13 ∑M N CE + 3 13 cos (3.58 +1.79) sin X (C=6+3 .×)4×1.5+3.35QEC＝0 0 QEC －7.16kN + 7.16 = + － NX 20NNkN 2 +1.79 sin +1 0 0 2 CE X .45 EC DC cos 5 ∑ME=6－ 3 × 4×3.35＝0 CE＝0 ×1.5+3.35Q 5 ∑MD Y (1313+ 5.82 校核 N = =6－Qk N 0.45) sin + (1.79 3.58) cos 3 3. CD QCEDC 5..82 kN N EC 3.58kN － QCD=1.79(kN)=QDC － 3 3.58 2 1.79× 0 9 N图（kN）
l
6q
返回
2m
ql²
二、简支型刚架弯矩图，往往 只须求出一个与杆件垂直的反 力,然后由支座作起。
例题 7 简支刚架
二、简支型刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯 矩图往往只须求出一个 于杆件垂直的反力,然后 由支座作起
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l/2
q
ql2/2 ql2/2
D
qa2/2
C
q l
l/2
q l
q
q=4kN/m a=3m
q ↓↓↓↓↓↓ 1.5a
B
XB
C
X 0
X A X B 2kN
A
2
M C YA a X A a +
反力校核
qa + X B a YB a 2 2 2×3 3×3 2×4.5 + + 2×4.5 9×3 2 0
XA
a
YA
a
YA
返回
双截面法