离散数学习题解答(祝清顺版)

祝清顺

习题一(第1章集合)

1.

(1)A＝{0, 1, 2, 3};

(2)A＝{(-2, 3), (-1, 0), (0, -1), (1, 0), (2, 3)};

(3)A＝{-1, -2, -3};

(4)A＝{1, 2, 3, 4, 5};

(5) A＝{-6, 1}.

2.

(1) {x | x＝2k, k∈N+, k≤50};

(2) {x | x＝6k, k∈Z};

(3) {(x, y) | (x-x0)2+(y-y0)2＝r2};

(4) {x | 15＜x＜40, x为素数}.

3.

(1)c＝a或c＝b;

(2)a, b为任意值;

(3)a＝c＝∅, b＝{∅};

(4)b＝c＝d.

4.

当a=0时, 解得x=2/3满足题意; 当a≠0时, 由∆=9-8a≤0, 得a≥9/8.

综上, 满足条件的a的范围是: {a | a≥9/8或a=0}.

5.

(1)∅, {a}, {{b}}, {c}, {a, {b}}, {a, c}, {{b}, c}, {a, {b}, c};

(2)∅, {∅};

(3)∅.

6.

(1) 2n;

(2) 2n-1, n≥1, 当n＝0时不存在;

(3) 没有. 因为集合只有n个元素, 其子集所含元素个数不可能比整个集合的元素个数多.

7.

(1) 成立; (2) 不成立; (3) 成立; (4) 成立.

8.

(1) 不正确, 例如A={a}, B={a, b}, C={{a}, {b}}, 从而A∈B且B∈C, 但A∈C.

(2) 不正确, 例子同(1);

(3) 不正确, 例如, A＝{1}, B＝{{1}, 2}, C＝{{1}, 3};

(4) 不正确, 例如, A＝{1}, B＝{1, 2}, C＝{{1}, {1, 2}}.

9.

(1) 错误; (2) 正确; (3) 正确; (4) 错误; (5) 错误; (6) 错误; (7) 正确; (8) 正确; (9) 错误; (10) 错误.

10.

(1) {d }; (2) {a , c , e }; (3) {a , b , c , e }; (4) {b , d , e }. 11.

各集合的文氏图如图所示(阴影部分).

12.

(a) B ∩(C -A );

(b) (A -(B ∪C )∪(B ∩(C -A )); (c) C B A ∪(B ∩(C -A )). 13.

A ∩

B ＝{2, 3}; A ∪B ＝{1, 2, 3, 4, 5}; A -B ＝{1, 4}; B -A ＝{5}; A ⊕B ＝{1, 4, 5}. 14.

(1) 不一定. 例如, A ={1, 2, 3}, B ={2, 3}, C ={1, 3}, 则A ∪B ＝A ∪C , 但是B ≠C . (2) 不一定; 例如, A ={1, 2, 3}, B ={2, 3}, C ={2, 3, 4}, 则A ∩B ＝A ∩C , 但是B ≠C . (3) 一定. 由条件有A ⊕(A ⊕B )＝A ⊕(A ⊕C ), 利用对称差的结合律, 有

(A ⊕A )⊕B = (A ⊕A )⊕C ,

因为A ⊕A = ∅, 有∅⊕B = ∅⊕C , 故有B =C .

15.

(1) 正确, 证明: 因为A ∩C ⊆ A ⊆ B , A ∩C ⊆ C ⊆ D , 故A ∩C ⊆ B ∩D . (2) 错误, 如A ＝C ＝{1}, B ＝{1, 2}, D ＝{1, 3}. 16.

(1) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; (2) {1, 2}; (3) {4, 5}; (4) N . 17.

由于A ∪B ＝B , 故有A ⊆B , 而B ＝{x | x ＞3}, 故a ≥3. 18.

由题意可得 x =3是x 2＋cx ＋15＝0的根, 故有9+3c +15=0, 解之得c = -8, x 2＋cx ＋15＝0即x 2-8x ＋15＝0, 解之得 x =3或x =5, 故B ={3, 5}.

由已知条件可得A ={3}, 故有9+3a+b =0, 且 a 2-4b =0. 解之得a = -6, b = 9. 综上可得 a ＝-6, b ＝9, c ＝-8. 19.

(1) 因为集合B ＝{x | x 2-5x ＋6＝0}={2, 3}. 又A ∩B ＝A ∪B , 故集合A ＝{x | x 2-ax ＋

(A ∩B )∪C B E

A B

A B E A C C B A -⊕)( B A C B E A C )()(B C B A -

a2-19＝0} ={2, 3}, 由根与系数的关系, 有2+3=a, 即a=5.

(2) 因为集合C＝{x | x2＋2x-8＝0}={2, -4}, 而∅⊊A∩B, A∩C=∅, 所以3∈A, 2∉A. 故9-3a+a2-19=0, 4-2a+a2-19≠0; 解之得, a = -2.

20.

因为A∩B＝{-3}, 所以-3∈B, 而x2+1>-3, 所以只可能x-3= -3或2x-1= -3.

若x-3 = -3, 则x=0, 此时A={-3, 0, 1}, B={-3, -1, 1}, 故A∩B={-3, 1}, 不合题意.

若2x-1= -3, 则x = -1, 此时A={-3, 1, 0}, B={-4, -3, 2}, 故A∩B={-3}, 满足题意.

综上所述, x = -1, 且A∪B={-4, -3, 0, 1, 2}.

21.

由于B=(A∩B)∪(A∩B), 故B={1}∪{3}={1, 3}, B={2, 4}. 由此知A∩B＝{3}, 3∈A, 1∉A; 由A∩B＝{2}知, 2∈A, 4∉A, 从而2∉A, 4∈A, 故A={3, 4}.

22.

A- (B-C)＝)

A

=)

B

(C

A

B

(C

=)

A

=(A-B)∪(A∩C).

B

(

)

(C

A

23.

(1) ((A∪(B-C))∩A)∪(B- (B-A)) = ((A∪(B∩C))∩A)∪(B∩)

B )

(A

= A∪(B∩(B∪A))

= A∪(∅∪(B∩A))=A.

(2) ((A∪B)∩B)-(A∪B) = ((A∪B)∩B)∩)

A

(B

= ((A∪B)∩B)∩(A∩B)

= (A∪B)∩B∩A∩B=∅

(3) ((A∪B∪C)-( B∪C))∪A = ((A∪B∪C) ∩)

(C

B )∪A

= ((A∪B∪C) ∪A) ∩(C

B ∪A)

= (A∪B∪C) ∩()

B )∪A)

(C

= A∪((B∪C) ∩)

(C

B )

= A∪∅=A.

24.

将不超过100的正整数排列如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60