高三数学第一轮总复习培优版讲义(理)

高三数学第一轮总复习讲义（培优版）

供理科生使用

第一讲等差数列及其性质与前n项和

第二讲等比数列及其性质与前n项和

第三讲数列的通项公式与前n项和的求法

第四讲数列的综合问题

第一讲 等差数列及其性质与前n 项和

【教学目标】

1、 掌握等差数列的概念及通项公式；

2、 理解并能应用等差数列的性质；

3、 熟练掌握各种方法求等差数列的通项公式及前n 项和以及应用等差数列解决实际问题。

【重点难点】

1、应用等差数列的性质解题；

2、等差数列前n 项和公式理解、推导及应用;

3、理解等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，会利用等差数列求和公式来研究n S 最值;

【命题趋势】

1、题型以选择题和解答题为主;

2、选择题重点考察等差、等比数列的性质的应用;

3、解答题重点考察等差、等比数列的证明及通项公式的求解，以及数列的前n 项和与函数、不等式的综合问题。

【教学过程】 一、知识要点

1. 等差数列的判定方法：

（1）d a a n n =-+1（常数）{}n a ⇔是等差数列； （2）)(2

2

1*++∈+=

N n a a a n n n {}n a ⇔是等差数列； （3）b k b kn a n ,(+=是常数）{}n a ⇔是等差数列；

（4）B A Bn An s n ,(2+=是常数，)1≥n {}n a ⇔是等差数列. 2. 等差数列的性质.

由等差数列{}n a 的通项公式d n a a n )1(1-+=可以推出许多性质,如: ①{}n a d ,0时>递增; {}n a d ,0时<递减; {}n a d ,0时=为常数列.

②),()(*

∈-+=N n m d m n a a m n .

③

),(*∈=--N n m d n

m a a n

m ;

④若,s r q p +=+则,s r q p a a a a +=+特别地,k n k n n a a a +-+=2,

若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的和相等,且等于首末两项的和;

⑤若n n t t t r r r +++=+++ 2121,则n n t t t r r r a a a a a a +++=+++ 2121; ⑥项数成等差数列的项是等差数列,

{}n ka ,{}r ka n +也都是等差数列,公差是.kd

⑦等差数列中依次k 项的和成等差数列，即 k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列,其公差为d k 2

⑧若{}n a ,{}n b 都是等差数列,公差分别为21,d d ,则{}n n pb ka +也是等差数列,其公差为21pd kd +.

二、典例精析

题型一、等差数列的证明

例1. 已知数列{}n a 满足),2(44,41

1≥-

==-n a a a n n 若,2

1

-=

n n a b （1）求证: {}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式

题型二、等差数列的性质

例2. 在等差数列{}n a 中,若,36121132=+++a a a a 求876a a a ++的值.

例3. （2010广东惠州调研，改）已知{}n a 为等差数列，,87,105864531=++=++a a a a a a n S 是数列

{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）

A.21

B.20

C.19

D.18

变式：设公差为-2的等差数列{}n a 中,,5097741=++++a a a a 求99963a a a a ++++ 及99S 的

值.

例4. （07年辽宁，改）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，求151413a a a ++的值。

变式：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若18,293==S S ，求24S 的值。

题型三、等差数列的前n 项和n S

例5. 在等差数列{}n a 中,若,4,84111073=-=-+a a a a a 求前13项的和13S .

例6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,,,2410171S S a ==问数列{}n a 的前多少项和最大?并求此最大

值.

题型四、综合问题

例7. （2009年湖南四市，改）数列{}n a 中，0,262==a a ，且数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+11n a 是等差数列。

求：(1)84,a a ; (2)求数列n a 的通项公式;

(3)若))(1)(1(1*

+∈++=N n a a b n n n ，求n b 的前n 项和n S 。

例8.

（2010年广东惠州调研，14分）在xoy 平面上有一系列的点 ),(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，

对于*

∈N n ，点),(n n n y x P 在函数)0(2≥=x x y 图象上，以点n P 为圆心的⊙n P 与X 轴相切，且⊙n P 与

⊙1+n P 又相外切，若11=x ，且n n x x <+1。 (1)求证：数列⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧n x 1是等差数列; (2)设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +++= 21，求证：2

3π

<

n T 。

三、优化训练

选择题

1. 设等差数列{}n a 单调递增，且前三项和为12,前三项积为48,则它的首项为( ) (A)1 (B)2 (C) 4 (D)6

2. 在各项均为正数的等差数列{}n a 中,公差,0≠d 则( )

(A) 5481a a a a > (B) 5481a a a a < (C) 5481a a a a +>+ (D) 5481a a a a = 3. 首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 只有有限个负项的条件是( ) (A)0,01>>d a (B) 0,01<>d a (C) 0,01>

5. 公差d 为正数的等差数列{}n a 中,若,15321=++a a a ,80321=⋅⋅a a a 则131211a a a ++=( ) (A)120 (B)105 (C)90 (D)75