浙江省2019年丽水、衢州、湖州三地市教学质量检测高三数学试题
2019届浙江省丽水、湖州、衢州市高三上学期期末数学试题(解析版)
2019届浙江省丽水、湖州、衢州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合A B I 是( ) A ．(],1∞ B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[1,)-+∞【答案】C【解析】分别求出集合A ，集合B ，由此能求出集合A B I ． 【详解】Q 全集U =R ，集合{|||1,}{|11}A x x x R x x =∈=-剟?，集合{|21,}{|0}xB x x R x x =∈=剟， ∴集合{|10}[1,0]x x A B =-=-I 剟．故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．复数1211z i i=+-+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面上对应的点的坐标得答案． 【详解】1212(1)1131111(1)(1)(1)(1)2222i i z i i i i i i i i i +-=+=+=++-=--+-++-在复平面上对应的点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若实数,x y 满足不等式组41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是( )A ．3B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值． 【详解】作出实数,x y 满足不等式组41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）.由2z x y =+得2y x z =-+ 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最大， 此时z 最大.由4x y x y +=⎧⎨=⎩，解得()2,2A ，代入目标函数2z x y =+得2226z =⨯+=. 即目标函数2z x y =+的最大值为6. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数的几何意义.4．已知1,1a b >>，则“a b >”是“log log b a a b >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】根据对数的运算法则结合不等式的关系进行判断即可． 【详解】若1a b >>，则log log 1b b a b >=， 而log log 1a a b a <=，则log log b a a b >成立，即充分性成立. 若log log b a a b >，则1log log b a ba >， ∵1,1ab >>，∴0b log a >，即()2log 1b a >，得log 1b a >或log 1b a <-（舍）， 则log 1log b b a b >=，则a b >， 即必要性成立，则“a b >”是“log log b a a b >”充要条件， 故选：C. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为A ．1B 2C ．2D ．2【答案】B【解析】几何体为S-ABCD, 面积的最小为SDC V ,值为12222⨯=选B.6．已知()0,x π∈，3cos 6x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-，则cos 3x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．36-+B 36--C 36-D 36+ 【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系求得sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后利用两角差的余弦公式可求出cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】Q 已知()0,x π∈，3cos 6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5666x πππ∴-<-<，5266x πππ∴<-<， 26sin 1cos 66x x ππ⎛⎫⎛⎫∴-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，cos cos cos cos sin sin3666666x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦33616332326=-⨯+=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式的应用，解题时要弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题．7．如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立 D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 【答案】C【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误； 在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确； 在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．8．条件:p 将1，2，3，4四个数字随机填入如图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用.记方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；命题1若p ，则()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+( )A ．命题1是真命题，命题2是假命题B ．命题1和命题2都是假命题C ．命题1是假命题，命题2是真命题D ．命题1和命题2都是真命题【答案】D【解析】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立．再利用数学期望的性质及其方差的性质即可得出． 【详解】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立.命题1若p ，则由数学期望的性质可得：()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则由方差的性质可得：()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+.因此命题1，2都正确. 故选：D. 【点睛】本题考查数学期望的性质及其方差的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 9．如图，已知点,A B 分别是双曲线222:C x y a -=和它的渐近线上的点，12,F F 分别是双曲线C 的左，右焦点，且1OA OB OF ==，则( )A ．2112AF OF BF OF ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u rB ．1122AF OF BF OF ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u u rC ．12AF AB BF BA ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u rD ．12AF AB BF BA⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 【答案】D【解析】不妨设1a =，则方程为221x y -=，根据题意分别求点A ，B ，1F ，2F 的坐标，根据向量的数量积运算即可比较. 【详解】不妨设1a =，则方程为221x y -=， ∴2112c =+=， 即2c =∴21,0,(),02()2F F -，双曲线的一条渐近线为y x =， ∵12OA OB OF ===B 在渐近线y x =上，∴()1,1B ， 设(),A x y ，则2222x y OA +==， ∵221x y -=，解得62x =-，22y =， ∴622A ⎛ ⎝⎭，∴6212AB ⎛=+- ⎝⎭u u u r ，16222AF ⎛=- ⎝⎭u u u r ，2(21,1)BF =-u u u r，1(2,0)OF =-u u u r ，2(2,0)OF =u u u u r∴1123AF OF ⋅=u u u r u u u r 2222022BF OF ⋅==u u u r u u u u r，∴1122AF OF BF OF ⋅<⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r ，故A ，B 错误，∴11222222AF AB ⎛⎫⎛⎛⋅=+-⨯-=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r211)1(1)22BF BA ⎛⎛⎫⋅=---+-⨯-=+⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ∴12AF AB BF BA⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，向量的坐标运算，向量的数量积，属于中档题． 10．已知函数()()sin ,cos f x x g x x ==，设()1(),()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，2(),()()()(),()()f x f x g x h x g x g x f x ≤⎧=⎨<⎩，()()()h x f x g x =+，则( )A ．()1h x 的极小值点是()h x 的极小值点B ．()2h x 极小值点是()h x 的极小值点C ．()h x 的极大值点是()2h x 的极大值点D ．()h x 的极大值点是()2h x 的极大值点【答案】D【解析】分别求出1()h x ，2()h x ，()h x 的解析式，求出函数的单调区间，判断即可． 【详解】∵()15sin ,22(),()()44(),()()3cos ,2244x k x k f x f x g x h x g x f x g x x k x k ππππππππ⎧+≤+⎪⎧⎪==⎨⎨<⎩⎪-<<+⎪⎩……， ()23sin ,22(),()()44(),()()5cos ,2244x k x k f x f x g x h x g x g x f x x k x k ππππππππ⎧-≤≤+⎪≤⎧⎪==⎨⎨<⎩⎪+<<+⎪⎩， ∴()1h x 在2,4)32(k k πππ-递增，在24(),2k k πππ+递减， 在2,2()42k k ππππ++递增，在52,2()24k k ππππ++递减， ()1h x 在24x k ππ=+处取极小值，()2h x 在32,22()4k k ππππ--递减，在2,2()24k k ππππ-+递增， 在2,24()k k ππππ++递减，在52,2()4k k ππππ++递增， 故()2h x 在24x k ππ=+处取极大值，而()()()sin cos (n 4)i h x f x g x x x x π=+=+=+，故()h x 在2,2()44k k ππππ-+递增，在2,24()k k ππππ++递减， 故()h x 在24x k ππ=+处取极大值，故()h x 的极大值点是()2h x 的极大值点， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性、极值问题、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题11．椭圆2214x y +=的离心率是___________，焦距长是________.【解析】利用椭圆的标准方程，转化求解离心率以及焦距长即可． 【详解】椭圆2214x y +=得：2,1,a b c ===2214x y +=，椭圆的焦距长为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题.12．已知数列{}n a 满足*112,21N ()n n a a a n +==-∈，则数列{}n a 是_________数列（填“递增”或“递减”），其通项公式n a =________. 【答案】递增 121n --【解析】根据题意，将121n n a a +=-变形可得112(1)n n a a +-=-，据此分析可得列{1}n a -是以111a -=为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得111122n n n a ---=⨯=，变形可得121n n a -=+，据此分析可得答案．【详解】根据题意，数列{}n a 满足121n n a a +=-，即()1121n n a a +-=-， 又由12a =，则111a -=，则数列{}1n a -是以111a -=为首项，2为公比的等比数列，则111122n n n a ---=⨯=，则121n n a -=+，则数列{}n a 是递增数列； 故答案为：递增，121n --. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{}n a 的通项公式，属于基础题．13．在二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的二项式系数之和是______，含2x 项的系数是_________. 【答案】64 240【解析】先利用二项式系数的性质求得6n =，再利用二项展开式的通项公式求得含2x 项的系数． 【详解】在二项式61(2)x x-的展开式中，所有项的二项式系数之和是62264n ==，而通项公式为()6621612rrr r r T C x --+=⋅-⋅，令622r -=，求得2r =，可得含2x 项的系数是2462240C ⋅=，故答案为：64；240. 【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．14．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米______斛． 【答案】2700【解析】2πr=54,r 9≈,圆柱形容器体积为22π3918r h ≈⨯⨯ ,所以此容器能装2391827001.62⨯⨯=斛米．15．已知函数()cos ,cos 0,cos 2x x f x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则()3π=f _________，当02x π≤≤时，()sin f x x ≤的解集是__________.【答案】0 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由特殊角的余弦函数值，结合分段函数的解析式可得所求值；由于余弦函数的图象求得在02x π剟，()f x 的各段解析式满足的自变量的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围． 【详解】函数cos ,cos ,2()0,cos 2x x f x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，由1cos322π=<， 则03f π⎛⎫=⎪⎝⎭；由cos 2)x x π<<剟，可得344x ππ<<或5744x ππ<<， 可得()0f x =，由sin 0x ≥，可得344x ππ<≤；由2cosx ≤-或022)cosx x π≥≤≤，可得04x π≤≤或3544x ππ≤≤或724x ππ≤≤， 可得()cos f x x =，由cos sin x x ≤，解得4x π=或3544x ππ≤≤， 综上可得()sin f x x ≤的解集为5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：0，5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查分段函数的运用、求函数值和解不等式，、正弦函数、余弦函数的图象和性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 16．已知(),,xa b R f x e ax b ∈=-+，若()1f x ≥恒成立，则b aa-的取值范围是_________. 【答案】[1,)-+∞【解析】先根据导数和函数的最值的关系，以及()1f x …恒成立，可得当0a >时，1b alna a -+…，代入2112b a alna a lna a a a--+=+-…，构造函数()1ln 2,0g a a a a=+->，利用导数求出函数的最值即可. 【详解】∵()xf x e ax b =-+，∴()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x >′恒成立，则()f x 单调递增，()1f x ≥不恒成立， 当0a >时，令()0xf x e a '=-=，解得ln x a =，当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x <′，函数()f x 单调递减， 当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x >′，函数()f x 单调递增， ∴()()min ln ln f x f a a a a b ==-+，∵()1f x ≥恒成立， ∵ln 1a a a b -+≥ ∴ln 1b a a a ≥-+， ∴ln 211ln 2b a a a a a a a a--+=+-…， 设()1ln 2,0g a a a a=+-> ∴()22111a g a a a a-'=-=， 令()0g a '=，解得1a =，当()0,1a ∈时，()0g a '<，函数()g a 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g a '>，函数()g a 单调递增， ∴()min 0121g a =+-=-， ∴1b aa-≥-， 故答案为：[1,)-+∞ 【点睛】本题考查导数和函数最值之间的关系、函数恒成立的问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．17．已知a r ，b r是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r r r r r最小值为__________.【答案】52【解析】建立坐标系，设(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)D ，设OA a =uu u r r ，OB b =uuu r r，则||2||2a b c c b CD BC+-+-=+r rr r r ，构造相似三角形，设1(1,)4E ，可得AEC ACD ∆∆∽，所以5||2||22()22a b c c b CD BC BC CE BE +-+-=+=+=r r r r r …． 【详解】如图，()()()1,0,0,1,1,1A B D ，设,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则向量c r满足1||2c a -=r r ，设OC c=u u u r r ，所以点C 为以A 为圆心，以12为半径的圆上的一点， 所以||||||a b c OD OC CD +-=-=r r r u u u r u u u r ，同理2||2||c b BC -=r r， 取点11,4E ⎛⎫⎪⎝⎭，则AE AC AC AD =，又因CAE DAC ∠=∠，所以AEC ACD ∆∆∽，所以12CE CD =，即2CD CE =， 所以()||2||2222a b c c b CD BC CE BC BC CE +-+-=+=+=+r r r r r，由三角形的三边关系知()2235522212442BC CE BE ⎛⎫+≥=+=⨯= ⎪⎝⎭. 故填：52.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题．三、解答题18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，D 为边BC 的中点，2AD =，且32cos cos 2()2C A B -+=． (1)求角C 的大小；(2)求ABC ∆面积的最大值. 【答案】(1)3π；(2)23【解析】（1）由倍角公式化简已知整理可得1cos 2C =，由0C π<<，可得C 的值； （2）在ADC ∆中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD C =+-g ，即有：22224()222422a ab a b ab abb =+--=…，可得8ab …，由面积公式求解即可得答案． 【详解】(1)由()32cos cos22C A B -+=. 可得：32cos cos22C C -=. ∴()232cos 2cos 12C C --=. 即24cos 4cos 10C C -+=，解得1cos 2C =. 由0C π<<，可得3C π=；(2)在ADC ∆中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅，即有：22224222422a ab a b ab ab b ⎛⎫=+--=⎪⎝⎭…， ∴8ab ≤，当且仅当4,2a b ==时取等号.此时13sin 24ABC S ab C ab ∆==，其最大值为23. 【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,1ABCD PA AB ==，2BC CD ==，//AB CD 2ADC π∠=.(1)求证：PD AB ⊥；(2)求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；【解析】（1）由PA ⊥平面ABCD ，得PA AB ⊥，由2ADC π∠=，得AD CD ⊥，由//AB CD ，得AD AB ⊥，从而AB ⊥平面PAD ，由此能证明PD AB ⊥．（2）在平面ABCD 作AE BC ⊥于E ，连结PE ，作AG PE ⊥于G ，连结CG ，由PA ⊥平面ABCD ，得PA BC ⊥，由AE BC ⊥，得BC ⊥平面PAE ，从而平面PBC ⊥平面PAE ，进而AG ⊥平面PBC ，ACG ∠是直线与平面PBC 所成角，由此能求出直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】(1)由PA ⊥平面ABCD ，得PA AB ⊥， 由2ADC π∠=，得AD CD ⊥，∵//AB CD ，∴AD AB ⊥，∵AD PA A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ， ∵PD ⊂平面PAD ，∴PD AB ⊥.(2)在平面ABCD 作AE BC ⊥于E ，连结PE ，作AG PE ⊥于G ，连结CG ， 由PA ⊥平面ABCD ，得PA BC ⊥，又,AE BC AE PA A ⊥⋂=，∴BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面PBC ，得平面PBC ⊥平面PAE ， 结合AG PE ⊥，得AG ⊥平面PBC ， ∴ACG ∠是直线与平面PBC 所成角，在四边形ABCD 中，可得AC =在ABE ∆中，可得AE =，在PAE ∆中，可得AG =，在Rt AGC ∆中，7AG sin ACG AC ∠===，∴直线AC 与平面PBC所成角的正弦值为3.【点睛】本题考查线线垂直的证明、线面角的正弦值的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力． 20．已知数列{}n a 满足*1111,21N 2()n n n a a a a n ++==+∈. (1)求23,a a 的值，并证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)设数列{}n b 满足*2(N )nn a b n n=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)2323,34a a ==，证明见解析；(2)1n nS n =+. 【解析】（1）由题意可得112n na a +=-，代值计算即可求出2a ，3a 的值，则111111n na a +=+-+，即可证明，（2）利用裂项相消法求和即可得答案． 【详解】 (1)∵1111,212n n n a a a a ++==+， ∴112n na a +=-， ∴231213,12342223a a ====--，∴111211111112n n n n na a a a a +--==+--+--， ∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列， (2)由(1)可知()121111nn n a =+-=+-， ∴1n n a n =+， ∴2111(1)1n n a b n n n n n ===-++， ∴1111111223111n nS n n n n 1=-+-++-=-=+++L . 【点睛】本题考查数列的通项公式、递推公式、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．21．已知点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线2:4C x y =上，点F 是抛物线C 的焦点，线段AB 的中点为N .(1)若点M 的坐标为()1,1-，且F 是ABM ∆的垂心，求直线AB 的方程； (2)若点M 是直线1y =-上的动点，且AB 4=，求MN 的最小值. 【答案】(1)1262y x =++(2)2. 【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得MF 的斜率，可得AB 的斜率，设AB 的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0和韦达定理，运用两直线垂直的条件，可得m 的方程，求得m 的值，即可得到所求直线方程；（2）显然||MN 最小，必须MN 垂直于直线1y =-，分别过A ，B 作1AA ，1BB 垂直直线1y =-，垂足为1A ，1B ，运用梯形的中位线定理，以及三点共线取得最小值，即可得到所求最小值． 【详解】(1)24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，2MF k =-，F 为ABM ∆的垂心，可得AB MF ⊥，即有12AB k =， 设AB 的方程为12y x m =+，代入抛物线方程可得： 2240x x m --=，可得12124160,2,4m x x x x m ∆=+>+==-，由AF MB ⊥，可得222112141114x x x x -⋅=--+，()()()2221212121110164x x x x x x +--+-=， 化简可得()21211212102m x x x x x +--+-=， 即为2420m m --=，解得2m =±， 由14m >-，可得2m =+ 则AB的方程为122y x =++ (2)显然MN 最小，必须MN 垂直于直线1y =-， 分别过,A B 作11,AA BB 垂直直线1y =-，垂足为11,A B ，11||||||2222AA BB AF BF AB MN ++===…，等号成立当且仅当,,A B F 三点共线，且//AB x 轴， 所以MN 的最小值为2.【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质、三点共线取得最小值和三角形的垂心的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理求解. 22．已知函数()21ln 2f x x x ax x =--恰有两个极值点()1212,x x x x <. (1)求实数a 的取值范围； (2)求证：22121a x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭； (3)求证：12112ln ln ae x x +>（其中e 为自然对数的底数）. 【答案】(1)1(0,)e；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）求出函数的导数，得到lnx a x =，设()(0)lnxg x x x=>，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a 的范围即可； （2）求出22lnx a x =，问题转化为只要证明22212()x lnx x ->，设2()2h x x lnx x=--，()x e >，根据函数的单调性证明即可；（3）求出1212lnx lnx a x x -=-，问题转化为只需证明12112a x x +>，根据12112122121112[2]x x x a ln x x x x x x x +-=---，设1()2(01)G x x lnx x x=--<<，根据函数的单调性证明即可． 【详解】(1)由题意得()ln f x x ax '=-，故ln xa x=， 设()()ln 0xg x x x =>，()21ln x g x x-'=，故0x e <<时，()0,g x x e '>>时，()0g x '<，故()g x 在()0,e 递增，在(,)e +∞递减，又()()110,g g e e==， 当x e >时，()0g x > ，故实数a 的范围是1(0,)e ；(2)由(1)得22ln 0x ax -=，且2x e >，故22ln x a x =， 要证明22()121a x -≥，只要证明22221ln 21x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 只要证明222()12ln x x x ->， 设()()22ln ,h x x x x e x=-->， 则2(21)2()0x x h x x-+'=>， 故()h x 在(,)e +∞递增，故()()2210h x h e e e>=-->， 故22()121a x -≥成立； (3)由(1)得1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=，且121x e x <<<，故1212ln ln x x a x x -=-， 由(1)得01ae <<，要证明12112ln ln ae x x +>， 只需证明12112ax ax +>， 只需证明12112a x x +>，故12112a x x +- 12121212ln ln 2x x x x x x x x +-=-⋅- 1211221212ln x x x x x x x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦， 设()()12ln 01G x x x x x=--<<， 则22(1)()0x G x x-'=>， 故()G x 在()0,1递增， 结合1200x x <<，故120x x -<， 1212122ln 0x x x x x x --<，有121120a x x +->， 故12112ax ax +>， 故12112ln ln ae x x +>. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等价转化思想证明不等式的运用．。
浙江省衢州、湖州、丽水三地市高三数学4月教学质量检测试题.doc
浙江省衢州、湖州、丽水三地市高三数学4月教学质量检测试题本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效. 参考公式：若事件,A B 互斥，则 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件,A B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24S R π=()112213V h S S S S =++ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R π=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()RA B =A ．[)1,0- B.[]1,0- C ．[]0,1 D. (]1,42.椭圆的离心率是C.3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323 B．163C ． 4D ．8 4.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题
一、单选题二、多选题1.已知数列满足，（，），则的整数部分是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32. 已知全集，，，.则（ ）A．B．C．D．3.已知集合，集合，集合，则（ ）A．B．C．D．4. 函数的单调递增区间是（ ）A．B．C．D ．和5. 我国已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图.据统计图中的信息，下列说法不正确的是（）A ．1964年至1982年间人口增长数最多B ．1982年后，全国总人口增长率逐步放缓C ．具有大学文化的人数逐步增大D ．男性人数与女性人数的差值逐步减小6.已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．7. 已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为（ ）A．B．C．D．8.已知二次函数，满足，且在区间上的最大值为，若函数有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 如图，在多面体中，，，两两垂直，四面体是正四面体，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题三、填空题四、解答题A．B．C ．平面D．10.已知曲线，则下面结论正确的是（ ）A ．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线D．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线11. 在平面直角坐标系中，，点是圆上的动点，则（ ）A．当的面积最大时，点的坐标为B．C ．若点不在轴上，则平分D ．当直线与圆相切时，12. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则（ ）A．函数是周期函数B ．函数为上的偶函数C ．函数为上的单调函数D ．函数的图像关于点对称13. 已知，，从点处射出的光线经x 轴反射后，反射光线与平行，且点B到该反射光线的距离为，则实数______．14.的展开式中的系数为______．15.写出一个对称中心为的函数___________.16. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线与曲线交于两点.(1)求的长；(2)在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.17.已知正项数列的前n项和为，给出以下三个条件：①，；②；③，.从这三个条件中任选一个解答下面的问题.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n 项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18. 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，的最大值为，且点到右焦点距离的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．19. 已知函数．(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值．(2)，使得成立，求实数的取值范围．20. 某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据：日期10月8日10月18日10月28日11月8日11月18日昼夜温差x（℃）8116155就诊人数y131712199(1)通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y与昼夜温差x之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程（结果精确到0.01）；(2)若由（1）中所求的线性回归方程得到的估计数据与所选出的数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的试用11月8和11月18日两组数据检验（1）中所求的线性回归方程是否理想？参考数据：，．参考公式：，．21. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）对给定的，函数有零点，求的取值范围；（3）当，时，，记在区间上的最大值为m，且，求n的值．。
浙江省衢州湖州丽水三地市高三4月教学质量检测试题 数学【含答案】
浙江省衢州湖州丽水三地市高三4月教学质量检测试题数学第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()RA B =A ．[)1,0- B.[]1,0- C ．[]0,1 D. (]1,4 2.椭圆的离心率是C.3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323B ． 163 C ．4 D ．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值。
《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。
”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件. A. 21 B. 22 C. 23 D. 245.函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为6. 若实数满足约束条件，则的取值范围是A.[－1, 15]B. [1, 15]C. [－1, 16]D.[1, 16]7. 若0,0a b >> ,则“”是“1aba b≤+”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 已知，若存在实数b 使不等式对任意的恒成立，则A. b 的最小值为4B. b 的最小值为6C. b 的最小值为8D. b 的最小值为109.如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述 不正确．．．的是A. PD PB PC PA ⋅+⋅是定值.B. PA PD PD PC PC PB PB PA ⋅+⋅+⋅+⋅是定值.C. PD PC PB PA +++是定值.D. 2222PD PC PB PA +++是定值.10.对任意>0,不等式恒成立，则实数a 的最小值为A ．B ． C. D ．第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11.若复数，则|.12.在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知，，且数列{}n a n +是等比数列,则n a =n S = .13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ，4x 的系数为 ．14.已知直线:1,l mx y -=若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ，动直线l 被圆截得的弦长最短为 _.15.已知随机变量X 的分布列如下表：X 0 2 aPb其中.且E(X)=2,则b= ,D(2x-1)= .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k ⋅=，则双曲线离心率e 等于 .17. 已知函数a ax x x f ++=2)(，{}x x f x A ≤∈=)(R ，{}R [()]()B x f f x f x =∈≤, B A A ⊆∅≠,，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3)4tan(=+A π.（Ⅰ）求A A 2cos 2sin + 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积1=S ，2=c ，求a 的值.19.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥A BCDE -，正三角形所在平面互相垂直，//BC 平面ADE ,且BC=2,DE=1.（Ι）求证：//BC DE ；（Π）若2AF FD =，求CF 与平面ABE 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）aa 已知数列{}n a 的前n 项和，且)N (0*∈>n a n .（Ⅰ）写出123,,a a a 的值,并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设，n T 为数列{}n b 的前n 项和；求证：22222nn T n n n +<<+.21. （本小题满分15分） 如图，设抛物线方程为 (p ＞0),M 为直线 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA,MB 分别交于点C,D,记λ=,问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22. （本小题满分15分）已知()()2x f x x a e -=-，()()1x g x a e -=+ （Ι）当1a =时,判断函数()f x 的单调性；（Π）当1a >-时,记()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，若不等式()()()2121'x f x f x g x λ≤-⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数λ 的值.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBCDAABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 12. ， 13.136416-， 14. -1,15. , 2416.17. 2230-≤≤a 或6223≤≤+a解析：方法一：设[]x x f x f f x f n n ==-)(,)()(01，由题意方程x x f =)(的存在实根，且都在函数)(x f y =的对称轴右侧（含对称轴）.因此有⎪⎩⎪⎨⎧≥+⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥--02).1(204)1(22a a a a a a ； 解得2230-≤≤a 或6223≤≤+a方法二：设21,x x （21x x ≤）是方程x x f =)(的两个实根，则))(()(21x x x x x x f --=-))()()(()())((21x x f x x f x f x f f --=-=[][]11)()(x x x x f x x x x f -+--+-=)1)(1)()((2121+-+---x x x x x x x x .由题意，对任意21x x x ≤≤时，0)())((≤-x f x f f 即0121≥+-x x ，即可解得. 三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）解：（Ⅰ） 214tan ).4tan(14tan)4tan()4(tan tan =++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=πππππA A A A A ..........3分 581tan 1tan 2cos sin cos cos sin 2cos 2sin 22222=++=++=+A A A A A A A A A .......7分 （Ⅱ）由（1）21tan =A 可得：552cos ,55sin ==A A ；............9分又1sin 21==A bc S ,2=c 可得5=b ；......................11分 1cos 2222=-+=A bc c b a ;所以1=a ...................................................14分19.（本题满分15分）解：（Ι）因为//BC 平面ADE ，BC BCED ⊂，且BCED ADE DE =平面平面，..........3分所以//BC DE ...................5分a（Π）解法1如图所示建立空间直角坐标系，设2AB =各点的坐标分别为()1,0,0A -，()1,0,0B ，()0,3,0C ，()0,0,3E ，..........7分所以()1,3,0BC =-，113,,0222ED BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以13,,322D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， 13,,322AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.........9分所以21323,,3333AF AD ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以2323,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭F .........11分 所以22323,,333⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭CF ，因为面ABE 的一个法向量是()03,0OC =，.....13分 设CF 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,OC CF OC CF OC CFθ⋅==⋅ a所以21sin 7=θ.........15分 解法2如图所示，延长,CD BE 交于P ，连接PA ,延长CF 交AP 于G ，显然G 为PA 的中点，OC ABE ⊥面,,.......7分所以CGO ∠即为设CF 与平面ABE 所成的角.......11分 因为32OC OG ==，,所以7=CG ,.........13分所以21sin 7∠=CGO .........15分20.（本题满分15分） 解：（I ）当1=n 时，，又因为0>n a ，所以，，6------------------------------------------------------------------------3分当2≥n 时，因为0>n a ，所以；-------------------------------------5分 所以数列{}n a 是等差数列，.----------------------7分（Ⅱ）由（1）题可得)1(+=n n b n ； -----10分所以 n b n >，22nn T n +>；--------------------------------12分又 212)1()1(+=++<+=n n n n n b n ； 所以2222)1(2nn n n n T n +=++<； ---------------------14分 综上可得22222nn T n n n +<<+. ---------------------15分 21.（本题满分15分）过A 点的切线方程为，过B 点的切线方程为，联立这两个方程可得,化简得(=0, 令x=0,y2, ∴y ∴直线AB 过(0,2p)点.（Ⅱ）记,,,,=设=t ,记,则,同理，,,,于是, ----------12分∴=---S,S,∴λ== 2 -------------------------------15分22.（本题满分15分）解：（Ι）当1a =时,()()21x f x x e -=-, ----------1分 所以()()2'21x f x x x e -=-++ ----------3分 令()()2'21=0x f x x x e -=-++，得221=0x x -++所以1212,12x x ==----------4分x(),12-∞-12-()12,12-+12+()12++∞， ()'f x -0 +0 -()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以()f x 单调递减区间为(,12-∞，()12+∞，单调递增区间为(12,12+ ----------7分 （Π）因为()()2'2x f x x x a e -=-++，1a >- ----------8分 所以12,x x 为方程()22=0x x x a e --++化简后即22=0x x a --的两相异根，此时，12122+=2=20i i x x x x a x x a ⎧⎪-⎨⎪-++=⎩， ----------9分所以()()()121'0+1x f x g x a e --=-()11x a e -=-+ ()()()1111221212112=2=22x x x x x f x x x a e x x e x x e ae ----=-=- ----------10分 所以()()()()2111'x f x f x g x λ≤-可以转化为 ()1121x x ae a e λ---≤-+，因为()2120,1i i x x a x -++=∈-∞，所以上式可化为()()()112112120x x x x e e λ---+-≤ 化简得：()12112201x x x e λ⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-11分 ①当()1,0a ∈-时()10,1x ∈，21120x x -<， 所以1201x e λ-≥+恒成立，因为此时12211x e e ⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭,1 所以1λ≥；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-12分②当=0a 时10x =，21120x x -=，所以※显然恒成立，即R λ∈；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-13分③当()0,a ∈+∞时()1,0x ∈-∞，21120x x -> 所以1201x e λ-≤+恒成立，因为此时()1211x e∈+,2,所以1λ≤；┄┄┄┄┄┄14分 综上①②③可知：1λ= ----------15分。
湖州市2019届高三第三次教学质量调测文科数学试卷及答案
2019年湖州市高三第三次教学质量调测数学 文科注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式 V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{12345}U =，，，，，{123}A =，，，{24}B =，，则()UAB =ðA ．{1235}，，，B ．{24}，C ．{13}，D ．{25}， 2．已知m ，n 都是非零实数，则“m n =”是“22m n =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．为得到函数sin(3)4y x π=+的图象，只要把函数sin()4y x π=+图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的31倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的31倍，横坐标不变4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84=a ，且11n n S pS +=+，则实数p 的值为A ．1B ．2 CD ．45．已知实数x ，y 满足10220220.x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，则3x y -的最小值为A ．4-B ．3-C ．0D ．16．已知双曲线2222C :1(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P ．若12PF PF ⊥，则C 的离心率为ABC ．2 D7．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111A B C D ，底 面1111A B C D 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 的长为b ，E 为侧棱1BB 上的动点（包括端点），则A ．对任意的a ，b ，存在点E ，使得11B D EC ⊥ B ．当且仅当a b =时，存在点E ，使得11BD EC ⊥ C ．当且仅当a b ≥时，存在点E ，使得11B D EC ⊥ D ．当且仅当a b ≤时，存在点E ，使得11B D EC ⊥8．已知向量b a ⊥，2=-b a ，定义：b a c )1(λλλ-+=，其中10≤≤λ．若1212λ⋅=c c ，则λc 的最大值为A ．12B．2 C ．1 D第Ⅱ卷（共110分）二、填空题 (本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分)9．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，()()2l o g 23f x x =+-，则(6)f = ▲ ，()(0)f f =126正视图 侧视图E1D1C 1BDCB 1AA（第7题图）▲ .10．已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的体积为 ▲ ，表面积为 ▲ ． 11．直线l ：210x y --=与圆()221x y m +-=相切．则直线l 的斜率为 ▲ ，实数m的值为 ▲ ．12.已知α，β为锐角，3sin 5α=，tan 2β=，则sin 2απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭▲ ，()tan αβ+= ▲ ．13．已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 ▲ .14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为正整数．．．d .若22331S a +=，则d 的值为▲ ． 15．设关于x 的方程210x ax --=和220x x a --=的实根分别为12x x ，和34x x ，．若1324x x x x <<<，则实数a 的取值范围为 ▲ ．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. （本题满分15分）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．已知()2cos cos c a B b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若21a c -=，且△ABC 的面积为2，求边a 的长. 17．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足：12a =，21n n n a a ka k +=-+，（k ∈R ），1a ，2a ，3a 分别是公差不为零的等差数列{}n b 的前三项． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求证：对任意的N n *∈，n b ，2n b ，4n b 不可能．．．成等比数列.18．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，△ABC 是边长为2的正三角形，90PCA ︒∠=， E ，H 分别为AP ，AC 的中点，4AP =，BE = （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEH ；（Ⅱ）求直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值． 19．（本题满分15分） 已知a ∈R ，函数()21f x x a x =--． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）当0a <时，讨论()y f x =的图象与y x a =-的图象的公共点个数． 20．（本题满分14分）抛物线C ：24x y =，直线1l ：y kx =交C 于点A ，交准线于点M ．过点M 的直线2l 与抛物线C 有唯一的公共点B （A ，B 在对称轴的两侧），且与x 轴交于点N ． （Ⅰ）求抛物线C 的准线方程； （Ⅱ）求:AOB MON S S ∆∆的取值范围．（第20题图）HECBAP（第18题图）数学（文）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．D 7．D 8．C二、填空题 (本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分)9．0，1- 10．288，336 11．12，12-± 12．45，112-13．12- 14．1 15．30,2⎛ ⎝⎭ 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)16. （本题满分15分）解：（Ⅰ）因为()2cos cos c a B b A -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos C A B B A -=．………………………………………… 2分即()2sin cos sin cos cos sin sin sin C B A B A B A B C =+=+=． ………… 5分 所以1cos 2B =，即3B π=． …………………………………………………… 7分（Ⅱ）因为△ABC 的面积为2， 所以1sin 22ABC S ac B ∆== ． ………… 9分 所以10ac =． ……………………………………………………………… 11分又因为21a c -=， 所以5a =．……………………………………………… 15分 17．（本题满分15分）解：（Ⅰ）因为12a =，所以24a k =-，2321116a k k =-+．……………… ２分又因为2132a a a =+，所以229100k k -+=，解得2k =或52． ………… 5分 又因为{}n b 的公差不为零，所以52k =．…………………………………… 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，52n nb -=．…………………………………………………… 10分 假如n b ，2n b ，4n b 成等比数列，则242n n n b b b =．………………………… 12分代入化简得： ()()()255452n n n --=-，解得0n =．……………………14分 与N n *∈矛盾， 故n b ，2n b ，4n b 不可能．．．成等比数列．…………………… 15分 18．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）因为△ABC 是边长为2的正三角形, 所以AC BH ⊥．………………２分又因为E ，H 分别为AP ，AC 的中点， 得//EH PC ，因为︒=∠90PCA ， 所以EH AC ⊥．……………………………… 5分 故⊥AC 平面BEH ．…………………………………………………… 7分 （Ⅱ）取BH 得中点G ，连接AG ．……………………………………………9分因为EH BH BE ===BH EG ⊥．又因为⊥AC 平面BEH ， 所以AC EG ⊥，所以⊥EG 平面ABC ．所以EAG ∠为PA 与平面ABC 所成的角．… 12分 在直角三角形EAG 中，2AE =，23=EG , 所以3sin 4EG EAG EA ∠==．………… 15分所以PA 与平面ABC 所成的角的正弦值为34．19．（本题满分15分）（Ⅰ）解：()221,1,1, 1.x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨+-<⎪⎩……………………………………………… ２分当1x ≥时，()()11f x f ≥=； 当1x <时，()1524f x f ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭．……………………………………… 4分 所以，()min 1524f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．………………………………………… 5分 （Ⅱ）解：设()()2()1h x f x g x x a x x a =-=----0a <时，()()()()22212,1,1,1,12..x a x a x h x x a x a x x a x a x a ⎧-++≥⎪⎪=+-≤<⎨⎪++-<⎪⎩ ………………………………………… 7分1x ≥时， (1)0h a =<．所以1x ≥时，一个零点．……………………………………………………………9分1a x ≤<时，10x =，211x a =->，（舍去） 所以，1a x ≤<时，一个零点．………………………………………………… 11分G BHECAPx a <时，2101a a ∆=++，对称轴12a x +=-，()()210h a a a =-> 所以（ⅰ）13a ≤-时，0∆>，对称轴12a x a +=-≥，无零点；（ⅱ）153a -<<-+21010a a ∆=++<，无零点；（ⅲ）5a =-+25x a ==-+，一个零点；（ⅳ）50a -+<<时，21010a a ∆=++>，对称轴12a x a +=-<，两个零点．………… 13分 综上，（ⅰ）5a <-+时， ()y f x =与()y g x =的图像的公共点有2个；（ⅱ）5a =-+()y f x =与()y g x =的图像的公共点有3个；（ⅲ）50a -+<<时，()y f x =与()y g x =的图像的公共点有4个．………… 15分20．（本题满分15分）（Ⅰ）解：1y =-．………… 4分 （Ⅱ）解：不妨设点A 在y 轴的左侧．则1(,1)M k--，设2l 的斜率为m ，2l ：211()4y m x k x y⎧+=+⎪⎨⎪=⎩， 24440m x mx k -+-=，…… 6分 24164(4)0mm k∆=--=，得 2110m k m -=<．………8分 得2(2,)B m m ，所以有1m >．2(4,)A k k ，11(,0)N m k -，11||ON m m k =-=,12MON S m ∆=．…………………………………… 10分 B 到1l的距离2d =4||OA k =所以，212|||2|2AOBS OA d k km m ∆==-=2422|2|||(1)m m m m +-．……………………… 12分第20题图故:AOBMON S S ∆∆=24224()(1)m m m +-． 令21,(0)m t t -=<，则2131:8()442AOB MON S S t ∆∆=-->．………………………… 14分。
衢州、湖州、丽水三地市高三教学质量检测数学试卷数学答案
衢州、湖州、丽水2018年9月三地市高三教学质量检测数学答案及评分标准一、选择题：二、填空题：11.14，21，16 14. 2，715. 18 16. 4 17. 83- 三、解答题：18.已知函数()2cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx 且()21330-=x f ，求02cos x 的值.解（Ⅰ）()21cos 2cos cos 22xf x x x x x ωωωωω+=-=-1sin(2)62x πω--.......................................4分 因为T π=，所以1ω=.............................................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()sin(2)62f x x π=--01()2f x =，所以0sin(2)6x π-=因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx ，所以02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦..............................................8分因为0sin(2)6x π-=<所以022,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，0cos(2)63x π-=-..................................10分00003cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 6666666x x x x ππππππ=-+=---=-.........14分19．在四棱锥P ABCD -中，E 是侧棱PC 的中点，PAB ∆是正三角形，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，BC CD ⊥,60ABC ∠= ，22BC AD ==，3PC =．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线BD 与平面PAB 所成角的正弦值．解；（Ⅰ）取PB 的中点F ，连,EF AF ，---------------2分 因为EF 是PBC 的中位线，所以//EF BC ，且12EF BC =因为//AD BC ，12AD BC =，所以四边形EFAD 是平行四边形，所以//DE AF ，----------------------4分又因为DE ⊄平面PAB ，AF ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB -----------------6分（Ⅱ）取AB 中点Q ，连,PQ CQ ，因为PAB ∆是正三角形，所以PQ AB ⊥，------------8分在直角梯形ABCD 中，因为60ABC ∠=，22BC AD ==，计算得2AB AC ==，所以CQ =CQ AB ⊥，------------10分 所以AB ⊥平面PCQ ，即平面PCQ ⊥平面PAB ，过点E 作EG PQ ⊥，垂足是G ，连BG ，则EBG ∠即是直线BD 与平面PAB 所成角，------12分则PQC ∆中，3PQ QC PC ===，所以3sin 304EG PE ==，又BE =，--------14分所以sin EG EBG BE ∠==-----------------------15分 所以直线BE 与平面PAB． 解法2：如图，以D 为原点，,DA DC 为x 轴，y由已知条件得，2AB =，DC =，所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()C ，()B ，----8分 设(),,P x y z ，由()()((22222222214249x y z x y z x y z ⎧-++=⎪⎪-+-+=⎨⎪⎪+-+=⎩得9342P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B PACDEFQG所以5342AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，由560x z x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩得平面PAB的法向量是()3,2n =- ，----------------12分又73,,884BE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，-----------------------14分 sin BE n BE nθ⋅==----------------------------15分 所以直线BD 与平面PAB20.设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，12a =，且2211,3,1n n S S ++-成等差数列()n *∈N .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；12111112n S S S <+++≤ ()n *∈N . 解：（Ⅰ）由题2214n n S S +-=，214S =---------------2分所以数列{}2n S 是以为4首项，4为公差的等差数列，所以 24n S n =，又0n a >，所以0n S >，所以n S =--------------4分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-=当1n =时，12a =也满足上式，所以N n *∀∈都有n a =分（Ⅱ）由（Ⅰ）知n S =，所以1n S ==>=分 所以121111nS S S +++> ---------------------------------------------------10分又因为1(2)n n S =<=≥------------------12分 当2n ≥时1211111112n S S S S +++≤= ------------------14分 当1n =时上式也成立12111112n S S S <+++≤ ()N n *∈ ---------------------15分 21．已知F 是抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点，点()1,P m 是抛物线上一点，且2PF =,直线l 过定点()4,0，与抛物线T 交于,A B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q . （Ⅰ）求,m p 的值； （Ⅱ）若0m >，且2PQQA QB =⋅，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）由2PF =得，122p+=，所以2p =，-------------------------2分 将1,x y m ==代入22y px =得，2m =±，--------------------------4分 （Ⅱ）因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =， 设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，-----------------------6分因为2PQ QA QB =⋅，所以PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=,且124n ≠+，----------8分所以()()()()121211220x x y y --+--=，且32n ≠-，------------------------------10分 由()()()()121233220ny ny y y +++--=，得，()()()21212132130n y y n y y ++-++=，()()()2161324130n n n -++-+=，24830n n ++=，--------------------13分解得，32n =-（舍去）或12n =-， 所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．---------------------15分（Ⅱ）解法二：因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =， 设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，------------------6分由()421x ny y n x =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩解得Q 点的纵坐标是02231n y n -=+，------------------8分PQ =， -------------------------------------------10分()()()210201QA QB n y y y y ⋅=-+--()()22001164n ny y =-+--+，-------------------------------12分因为2PQQA QB =⋅，所以()()()()()22222222342323116111n n n n PQ n n n n ⎛⎫+-- ⎪==++- ⎪+++⎝⎭化简得24830n n ++=，解得，32n =-（舍去）或12n =-， ---------------------------14分 所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．--------------------15分22．已知函数()()21ln ()2R f x x x a x x a =+-+∈（Ⅰ） 若函数()f x 无极值点，求a 的取值范围；（Ⅱ） 若3122a a x ≤≤≤， 记(),M a b 为()()g x f x b =-的最大值， 证明：()1,ln 24M a b ≥-.解：（Ⅰ）由题意()()()xx a x x x a a x x f 111'+-+=--+= ()()xx a x 1+-=-----------------------------------3分由()'0,0x fx >=得a x =，又()x f 无极值点，所以0a ≤ ---------------------5分（Ⅱ）因为2a ≥，由（Ⅰ）可知()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ,2上单调递减，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,aa 上单调递增， 又()3ln 2234492122322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a a f a f ()03ln 1<-=a 所以 322a a f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ -----------------------------------7分 所以当322a ax ≤≤时，()()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤2a f x f a f 又因为 ()()(),,,2a M a b f b M a b f a b ⎛⎫≥-≥-⎪⎝⎭-----------------------------------9分所以 ()()()2,22-a a M a b f b f a b f f a ⎛⎫⎛⎫≥-+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------11分 即 ()()221112,ln 2ln 22ln 2282822a a a M a b f f a a a a ⎛⎫⎛⎫≥-=-+=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1,ln 24M a b ≥-，当且仅当()()412ln 212,2--=+==f f b a 时取等号-------15分。
2019年11月浙江省学考选考浙江省湖丽衢三地高三联考教学质量检测试卷数学试题高清版湖丽衢联考
湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷高三数学（2019．11）注意事项：2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1, 0, 1P =-，{}11Q x x =-≤<，则P Q = A ．{}0B ．[1,0]-C ．{}1, 0-D ．[1,1)-2．已知复数1iiz +=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i-3．已知实数,x y 满足2360,20,0,x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩++则22x y +的最小值是AB ．2C ．4D ．84．若,R a b ∈，则“1≤+b a ”是“221a b +≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()sin xf x x=，()(),00,x ππ∈- 的图象大致是A B C D1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．6．已知随机变量,X Y 的分布列如下：若c b a ,,成等差数列，则下列结论一定成立的是A ．()()Y D X D >B ．()()Y E X E =C ．()()Y E X E <D ．()()Y D X D =7．已知(A，(B ，作直线l ，使得点,A B 到直线l 的距离均为d ，且这样的直线l 恰有4条，则d 的取值范围是A.1d ≥ B.01d << C.01d <≤ D.02d <<8．若函数222,0(),0x x x m x f x e mx e x ⎧---<⎪=⎨-+≥⎪⎩恰有两个零点，则实数m 的取值范围是A.(0,1)(,)e +∞ B.(,)e +∞C.2(0,1)(,)e +∞ D.2(,)e +∞9．如图，矩形ABCD 中心为O ，BC AB >，现将DAC ∆沿着对角线AC 翻折成EAC ∆，记BOE α∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则A.,2βαβγ>>B.,2βαβγ><C.,2βαβγ<>D.,2βαβγ<<10．设数列{}n a 满足11a =,+1=e 1n a m n a -+，*n ∈N ，若对一切*n ∈N ，2n a ≤，则实数m 的取值范围是A ．2m ≥B ．12m ≤≤C ．3m ≥D ．23m ≤≤X 321PabcY 123Pabc第9题图ABCDEO第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．双曲线22145x y -=的焦距为▲，离心率为▲．12．已知二项式()()*2 nx n -∈N的展开式中，第二项的系数是14-，则n =▲，含x 的奇次项的二项式系数和的值是▲．13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为▲cm 3,最长的棱长为▲cm.14．在锐角ABC ∆中，D 是线段BC 的中点，若2AD =，BD =30BAD ∠= ，则角B =▲，AC =▲．15．已知1F ，2F 是椭圆:C 22143x y +=的左右焦点，P 是直线:l y x m =+()R m ∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则实数m =▲．16．已知平面向量,,a b c 满足60a b ⋅= ，||4a b -= ，||1c a -=，则c 的取值范围为▲．17．已知函数()212f x x x a b =+-+(),a b ∈R ，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是▲．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．(本小题满分14分)已知平面向量,cos )a x x = ，(cos ,0)b x = ，函数()|2|f x a b =+ ()R ∈x ．（Ⅰ）求函数()x f 图象的对称轴；（Ⅱ）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域．4224正视图侧视图俯视图第13题图19．(本小题满分15分)如图，已知三棱台111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，30BAC ∠= ，11114AA CC BC A C ====，,E F 分别是11A C ，BC 的中点．（Ⅰ）证明：BC EF ⊥；（Ⅱ）求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．20．(本小题满分15分)已知数列{}n a 满足11a =，()111n n a n a +=+*()n ∈N．（Ⅰ）求2a ，3a ，并猜想{}n a 的通项公式（不需证明）；)1- *()n ∈N ．21．(本小题满分15分)如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,,A B M 是抛物线上三点（M 在第一象限），直线AB 交x 轴于点N （N 在F 的右边），四边形FMNA 是平行四边形，记MFN ∆，FAB ∆的面积分别为12,S S ．（Ⅰ）若1MF =，求点M 的坐标（用含有p 的代数式表示）；（Ⅱ）若1225S S =，求直线OM 的斜率（O 为坐标原点）．22．(本小题满分15分)已知函数())ln f x x x a =+-∈R 有两个极值点12,x x ，且12<x x ．（Ⅰ）若5=a ，求曲线()=y f x 在点()()4,4f 处的切线方程；（Ⅱ）记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()1504ln 24g a <≤-．AC 1A 1B 1C EB第19题图F 第21题图N FMABxyO。
浙江省湖州市2019学年第一学期高三期末教学质量检测试数学试卷
2019学年第一学期期末调研测试卷高三数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150 分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合A x1x 2，集合|224B x ，则A BxA.1，2B.1，2C.0，2D.0，22.已知复数42iz （i为虚数单位），则复数z的模z 12iA．1B．2C．2D．43.已知等差数列a n的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2A.4B.6C.8D.10y 1 4.实数x、y满足约束条件y xy x 0，则目标函数zy 1x 0的取值范围是xA.(2,2)B.(,2)(2,)C.(,2][2,)D.[2,2]5.若x R，则“x31”是“x 1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知双曲线22yx 的左、右焦点分别为F，F，过1 2F的直线l交双曲线于P、Q两2116 4点.若PQ长为5，则PQF的周长是1A.13B.18C.21D.26高三数学试题卷（共四页）——第1页7.已知离散型随机变量满足二项分布且~B(3,p)，则当p 在0,1内增大时，A．D()减小B．D()增大C．D()先减小后增大D．D()先增大后减小8.已知函数2x x2,x 0f x，若函数g(x)f(x)x m恰有三个零点，则实数m () 1,x 0x的取值范围是A.C.1(,2)(,0]B.41(2,][0,)D.41(2,)[0,)41(,2)[0,)49.已知实数a，b，c满足a2b22c21，则2ab c的最小值是A.3B.9C.1D. 448 310.在三棱锥S ABC 中，ABC为正三角形，设二面角S AB C，S BC A，S CA B 的平面角的大小分别为,,(,,)，则下面结论正确的是2A.11 1的值可能是负数B.tan tan tan32C.D.11 1的值恒为正数tan tan tan第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为▲cm3，表面积为▲cm2.高三数学试题卷（共四页）——第2页12．二项式 61x 的展开式中常数项等于 ▲ ，有理项共有▲项.x2 2xy 13. 已知直线 xmy 2m R与椭圆1相交于 A, B 两点，则 AB 的最小95值为 ▲ ；若30AB，则实数 m 的值是 ▲ . 714．设 ABC 的三边 a ，b ，c 所对的角分别为 A ，B ，C . 若 b 23a 2c 2 ，则 tanC tan B▲ ， tan A 的最大值是 ▲ .15．现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个.若将其随机排 成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是 ▲ . 16．对任意 x[1,e] ，关于 x 的不等式 x ln x a 2ax a ln x a R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ▲ .17．正方形 ABCD 的边长为 2 ，E,M 分别为 BC, AB 的中点，点 P 是以C 为圆心，CE 为 半径的圆上的动点，点 N 在正方形 ABCD 的边上运动，则 PMPN 的最小值是 ▲ .三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．(本小题满分 14 分)1已知函数 fx R.xsin xsinx34(Ⅰ)求f 的值和 fx的最小正周期；3(Ⅱ)设锐角 ABC 的三边 a ，b ，c 所对的角分别为 A ，B ，C ，且A1f ， a2 ，2 4 求b c的取值范围.高三数学试题卷（共四页）——第3页19．(本小题满分15分)如图，三棱锥D ABC中，AD CD，AB BC 42，AB BC.D (Ⅰ)求证：AC BD；且BD 47时，(Ⅱ)若二面角D AC B的大小为150M 求三角形DBC中线BM与面ABC所成角的正弦值.A C20．(本小题满分15分)已知S 是数列a n的前n项和，已知a11且nS n1n 2S n，n N .n(Ⅰ)求数列a n的通项公式；4an(Ⅱ)设b 1n N n，数列b nP.n n的前项和为n41 2n若1 1P n.，求正整数的最小值n2020B21．(本小题满分15分)已知点F是抛物线C :y24x的焦点，直线l 与抛物线C相切于点0,0P x y （y），00连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线C于另一点B. (Ⅰ)若y01，求直线l的方程；(Ⅱ)求三角形PAB面积S的最小值.22．(本小题满分15分)已知函数f x x2x x a1.log a ln（Ⅰ）求证：f x在1，+上单调递增；（Ⅱ）若关于x的方程f x t1在区间0,上有三个零点，求实数t的值；（Ⅲ）若对任意的x,x a,a1，e 1f x恒成立（e为自然对数的底1f x21 2数），求实数a的取值范围.高三数学试题卷（共四页）——第4页。
2019年1月浙江省学考选考丽水衢州湖州三地市2019届高三上学期期末教学质量检测数学试题及参考答案
SABC
1 2
AC CD sin
3
3 AC CD --------------------------------------------13 分 4
34 3 43 3
因此 ABC 面积的最大值为
3
．------------------------------------------------14 分
5
17.
2
三、解答题：
18．（本小题满分 14 分）
在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足
2 cos C cos 2 A B 3 ， BC 边上的中线 AD 的长度为 2 ．
2
（Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅱ）求 ABC 面积的最大值．
由题意知各点坐标如下：
A0, 0, 0 ， B 1, 0, 0 ， D 0, 3, 0 ， P 0, 0,1 ．
则 AB 1, 0, 0 , PD 0, 3,1 ．-------------------------------4 分
故 AB PD 0 ，
设平面 则由
于是
PBC的 法向量为 n
n
PB
0,
即
n PC 0,
cos AC, n
2x AC
x, y, z ，
x z 0,
3y z 0, 可取 n 1,
3 3
2
又 AB // CD 得 AD AB ，----------------------------------------------6 分
2019届浙江省丽水、湖州、衢州市高三上学期期末数学试题
绝密★启用前2019届浙江省丽水、湖州、衢州市高三上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合A B I 是( ) A ．(],1∞ B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[1,)-+∞2．复数1211z i i=+-+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若实数,x y 满足不等式组41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是( )A ．3B ．5C ．6D ．74．已知1,1a b >>，则“a b >”是“log log b a a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为…装…………○……………线…………○……不※※要※※在※※装※※订※※线※※…装…………○……………线…………○……A ．1BC ．2D ．6．已知()0,x π∈，cos 6x π⎛⎫⎪⎝=⎭-，则cos 3x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A B C D 7．如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立 D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立8．条件:p 将1，2，3，4四个数字随机填入如图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用.记方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；命题1若p ，则()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+( )…订…………○…………○……_____考号：___________…订…………○…………○……A ．命题1是真命题，命题2是假命题B ．命题1和命题2都是假命题C ．命题1是假命题，命题2是真命题D ．命题1和命题2都是真命题9．如图，已知点,A B 分别是双曲线222:C x y a -=和它的渐近线上的点，12,F F 分别是双曲线C 的左，右焦点，且1OA OB OF ==，则( )A ．2112AF OF BF OF ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r B ．1122AF OF BF OF ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u u rC ．12AF AB BF BA ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u rD ．12AF AB BF BA⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r10．已知函数()()sin ,cos f x x g x x ==，设()1(),()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，2(),()()()(),()()f x f xg xh x g x g x f x ≤⎧=⎨<⎩，()()()h x f x g x =+，则( )A ．()1h x 的极小值点是()h x 的极小值点B ．()2h x 极小值点是()h x 的极小值点C ．()h x 的极大值点是()2h x 的极大值点D ．()h x 的极大值点是()2h x 的极大值点第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．椭圆2214x y +=的离心率是___________，焦距长是________.12．已知数列{}n a 满足*112,21N ()n n a a a n +==-∈，则数列{}n a 是_________数列13．在二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的二项式系数之和是______，含2x 项的系数是_________.14．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米______斛．15．已知函数()cos ,cos 0,cos 2x x f x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则()3π=f _________，当02x π≤≤时，()sin f x x ≤的解集是__________.16．已知(),,xa b R f x e ax b ∈=-+，若()1f x ≥恒成立，则b aa-的取值范围是_________.17．已知a r ，b r是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r r r r r最小值为__________.三、解答题18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，D 为边BC 的中点，2AD =，且32cos cos 2()2C A B -+=． (1)求角C 的大小；(2)求ABC ∆面积的最大值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,1ABCD PA AB ==，2BC CD ==，//AB CD 2ADC π∠=.○…………装…………○…线…………○……学校:___________姓名：___________班级○…………装…………○…线…………○……(1)求证：PD AB ⊥；(2)求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值. 20．已知数列{}n a 满足*1111,21N 2()n n n a a a a n ++==+∈. (1)求23,a a 的值，并证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列； (2)设数列{}n b 满足*2(N )nn a b n n=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S . 21．已知点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线2:4C x y =上，点F 是抛物线C 的焦点，线段AB 的中点为N .(1)若点M 的坐标为()1,1-，且F 是ABM ∆的垂心，求直线AB 的方程； (2)若点M 是直线1y =-上的动点，且AB 4=，求MN 的最小值. 22．已知函数()21ln 2f x x x ax x =--恰有两个极值点()1212,x x x x <. (1)求实数a 的取值范围； (2)求证：22121a x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭；(3)求证：12112ln ln ae x x +>（其中e 为自然对数的底数）.参考答案1．C 【解析】 【分析】分别求出集合A ，集合B ，由此能求出集合A B I ． 【详解】Q 全集U =R ，集合{|||1,}{|11}A x x x R x x =∈=-剟?，集合{|21,}{|0}xB x x R x x =∈=剟， ∴集合{|10}[1,0]x x A B =-=-I 剟．故选：C ． 【点睛】本题考查交集的求法、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面上对应的点的坐标得答案． 【详解】1212(1)1131111(1)(1)(1)(1)2222i i z i i i i i i i i i +-=+=+=++-=--+-++-在复平面上对应的点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．C 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值． 【详解】作出实数,x y 满足不等式组41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）.由2z x y =+得2y x z =-+ 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最大， 此时z 最大. 由4x y x y+=⎧⎨=⎩，解得()2,2A ，代入目标函数2z x y =+得2226z =⨯+=. 即目标函数2z x y =+的最大值为6. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意目标函数的几何意义. 4．C 【解析】 【分析】根据对数的运算法则结合不等式的关系进行判断即可． 【详解】若1a b >>，则log log 1b b a b >=，而log log 1a a b a <=，则log log b a a b >成立，即充分性成立. 若log log b a a b >，则1log log b a ba >， ∵1,1a b >>，∴0b log a >，即()2log 1b a >，得log 1b a >或log 1b a <-（舍）， 则log 1log b b a b >=，则a b >， 即必要性成立，则“a b >”是“log log b a a b >”充要条件， 故选：C. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 5．B 【解析】几何体为S-ABCD, 面积的最小为SDC V ,值为122⨯=选B.6．A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值，然后利用两角差的余弦公式可求出cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】Q 已知()0,x π∈，cos 63x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，5666x πππ∴-<-<，5266x πππ∴<-<，sin 63x π⎛⎫∴-==⎪⎝⎭， 因此，cos cos cos cos sin sin 3666666x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12==故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式的应用，解题时要弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题． 7．C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误； 在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确； 在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力． 8．D 【解析】 【分析】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立．再利用数学期望的性质及其方差的性质即可得出． 【详解】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立.命题1若p ，则由数学期望的性质可得：()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则由方差的性质可得：()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+. 因此命题1，2都正确. 故选：D. 【点睛】本题考查数学期望的性质及其方差的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 9．D 【解析】 【分析】不妨设1a =，则方程为221x y -=，根据题意分别求点A ，B ，1F ，2F 的坐标，根据向量的数量积运算即可比较.不妨设1a =，则方程为221x y -=， ∴2112c =+=，即c =∴21,)()F F ，双曲线的一条渐近线为y x =，∵1OA OB OF ===B 在渐近线y x =上，∴()1,1B ， 设(),A x y ，则2222x y OA +==， ∵221x y -=，解得2x =-，2y =，∴2A ⎛ ⎝⎭，∴1AB ⎛=+- ⎝⎭u u u r，1AF ⎛= ⎝⎭u u u r，21,1)BF =--u u u r，1(OF =u u u r，2OF =u u u u r∴112AF OF ⋅=u u u r u u u r22202BF OF ⋅=+=u u u r u u u u r， ∴1122AF OF BF OF ⋅<⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r，故A ，B 错误，∴11222222AF AB ⎛⎛⋅=+-⨯-=+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r211)1(1)22BF BA ⎛⎛⎫⋅=-+-⨯-=+ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ∴12AF AB BF BA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r故选：D.本题考查双曲线的简单性质，向量的坐标运算，向量的数量积，属于中档题． 10．D 【解析】 【分析】分别求出1()h x ，2()h x ，()h x 的解析式，求出函数的单调区间，判断即可． 【详解】∵()15sin ,22(),()()44(),()()3cos ,2244x k x k f x f x g x h x g x f x g x x k x k ππππππππ⎧+≤+⎪⎧⎪==⎨⎨<⎩⎪-<<+⎪⎩……，()23sin ,22(),()()44(),()()5cos ,2244x k x k f x f x g x h x g x g x f x x k x k ππππππππ⎧-≤≤+⎪≤⎧⎪==⎨⎨<⎩⎪+<<+⎪⎩， ∴()1h x 在2,4)32(k k πππ-递增，在24(),2k k πππ+递减， 在2,2()42k k ππππ++递增，在52,2()24k k ππππ++递减， ()1h x 在24x k ππ=+处取极小值，()2h x 在32,22()4k k ππππ--递减，在2,2()24k k ππππ-+递增， 在2,24()k k ππππ++递减，在52,2()4k k ππππ++递增， 故()2h x 在24x k ππ=+处取极大值，而()()()sin cos (n 4)i h x f x g x x x x π=+=+=+，故()h x 在2,2()44k k ππππ-+递增，在2,24()k k ππππ++递减，故()h x 在24x k ππ=+处取极大值，故()h x 的极大值点是()2h x 的极大值点， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性、极值问题、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程，转化求解离心率以及焦距长即可． 【详解】椭圆2214x y +=得：2,1,a b c ===2214x y +=椭圆的焦距长为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 12．递增 121n -- 【解析】 【分析】根据题意，将121n n a a +=-变形可得112(1)n n a a +-=-，据此分析可得列{1}na -是以111a -=为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得111122n n n a ---=⨯=，变形可得121n n a -=+，据此分析可得答案．【详解】根据题意，数列{}n a 满足121n n a a +=-，即()1121n n a a +-=-，又由12a =，则111a -=，则数列{}1n a -是以111a -=为首项，2为公比的等比数列，则111122n n n a ---=⨯=，则121n n a -=+，则数列{}n a 是递增数列； 故答案为：递增，121n --. 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{}n a 的通项公式，属于基础题． 13．64 240 【解析】 【分析】先利用二项式系数的性质求得6n =，再利用二项展开式的通项公式求得含2x 项的系数． 【详解】在二项式61(2)x x-的展开式中，所有项的二项式系数之和是62264n ==，而通项公式为()6621612rrr r r T C x --+=⋅-⋅，令622r -=，求得2r =，可得含2x 项的系数是2462240C ⋅=，故答案为：64；240. 【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 14．2700 【解析】2πr=54,r 9≈,圆柱形容器体积为22π3918r h ≈⨯⨯ ,所以此容器能装2391827001.62⨯⨯=斛米．15．0 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由特殊角的余弦函数值，结合分段函数的解析式可得所求值；由于余弦函数的图象求得在02x π剟，()f x 的各段解析式满足的自变量的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围． 【详解】函数cos ,cos 2()0,cos x x f x x ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，由1cos322π=<， 则03f π⎛⎫=⎪⎝⎭；由cos 2)x x π<<剟，可得344x ππ<<或5744x ππ<<， 可得()0f x =，由sin 0x ≥，可得344x ππ<≤；由cosx ≤或02)cosx x π≥≤≤，可得04x π≤≤或3544x ππ≤≤或724x ππ≤≤， 可得()cos f x x =，由cos sin x x ≤，解得4x π=或3544x ππ≤≤， 综上可得()sin f x x ≤的解集为5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：0，5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查分段函数的运用、求函数值和解不等式，、正弦函数、余弦函数的图象和性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 16．[1,)-+∞【分析】先根据导数和函数的最值的关系，以及()1f x …恒成立，可得当0a >时，1b alna a -+…，代入2112b a alna a lna a a a --+=+-…，构造函数()1ln 2,0g a a a a=+->，利用导数求出函数的最值即可. 【详解】∵()xf x e ax b =-+，∴()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x >′恒成立，则()f x 单调递增，()1f x ≥不恒成立， 当0a >时，令()0xf x e a '=-=，解得ln x a =，当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x <′，函数()f x 单调递减， 当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x >′，函数()f x 单调递增， ∴()()min ln ln f x f a a a a b ==-+， ∵()1f x ≥恒成立， ∵ln 1a a a b -+≥ ∴ln 1b a a a ≥-+， ∴ln 211ln 2b a a a a a a a a--+=+-…， 设()1ln 2,0g a a a a=+-> ∴()22111a g a a a a-'=-=， 令()0g a '=，解得1a =，当()0,1a ∈时，()0g a '<，函数()g a 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g a '>，函数()g a 单调递增，∴()min 0121g a =+-=-， ∴1b aa-≥-， 故答案为：[1,)-+∞ 【点睛】本题考查导数和函数最值之间的关系、函数恒成立的问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 17．52【解析】 【分析】建立坐标系，设(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)D ，设OA a =uu u rr，OB b =uuu r r，则||2||2a b c c b CD BC +-+-=+r rr r r ，构造相似三角形，设1(1,)4E ，可得AEC ACD ∆∆∽，所以5||2||22()22a b c c b CD BC BC CE BE +-+-=+=+=r r r r r …． 【详解】如图，()()()1,0,0,1,1,1A B D ，设,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则向量c r 满足1||2c a -=r r ，设OC c =u u u r r，所以点C 为以A 为圆心，以12为半径的圆上的一点， 所以||||||a b c OD OC CD +-=-=r r r u u u r u u u r ，同理2||2||c b BC -=r r，取点11,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AE ACAC AD=，又因CAE DAC ∠=∠， 所以AEC ACD ∆∆∽，所以12CE CD =，即2CD CE =， 所以()||2||2222a b c c b CD BC CE BC BC CE +-+-=+=+=+r r r r r，由三角形的三边关系知()5522242BC CE BE +≥==⨯=.故填：52.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题．18．(1)3π；(2)【解析】 【分析】（1）由倍角公式化简已知整理可得1cos 2C =，由0C π<<，可得C 的值； （2）在ADC ∆中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD C =+-g ，即有：224()2222a ab ab abb =+-=…，可得8ab …，由面积公式求解即可得答案． 【详解】(1)由()32cos cos22C A B -+=. 可得：32cos cos22C C -=. ∴()232cos 2cos 12C C --=. 即24cos 4cos 10C C -+=，解得1cos 2C =. 由0C π<<，可得3C π=；(2)在ADC ∆中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅，即有：2242222a ab ab ab b ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭…， ∴8ab ≤，当且仅当4,2a b ==时取等号.此时1sin 2ABC S ab C ∆==，其最大值为【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．19．(1)证明见解析；(2【解析】 【分析】（1）由PA ⊥平面ABCD ，得PA AB ⊥，由2ADC π∠=，得AD CD ⊥，由//AB CD ，得AD AB ⊥，从而AB ⊥平面PAD ，由此能证明PD AB ⊥．（2）在平面ABCD 作AE BC ⊥于E ，连结PE ，作AG PE ⊥于G ，连结CG ，由PA ⊥平面ABCD ，得PA BC ⊥，由AE BC ⊥，得BC ⊥平面PAE ，从而平面PBC ⊥平面PAE ，进而AG ⊥平面PBC ，ACG ∠是直线与平面PBC 所成角，由此能求出直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．【详解】(1)由PA ⊥平面ABCD ，得PA AB ⊥， 由2ADC π∠=，得AD CD ⊥，∵//AB CD ，∴AD AB ⊥，∵AD PA A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ， ∵PD ⊂平面PAD ，∴PD AB ⊥.(2)在平面ABCD 作AE BC ⊥于E ，连结PE ，作AG PE ⊥于G ，连结CG ， 由PA ⊥平面ABCD ，得PA BC ⊥，又,AE BC AE PA A ⊥⋂=，∴BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面PBC ，得平面PBC ⊥平面PAE ， 结合AG PE ⊥，得AG ⊥平面PBC ，∴ACG ∠是直线与平面PBC 所成角，在四边形ABCD中，可得AC =在ABE ∆中，可得AE =， 在PAE ∆中，可得AG =， 在Rt AGC ∆中，7AG sin ACG AC ∠===， ∴直线AC 与平面PBC【点睛】本题考查线线垂直的证明、线面角的正弦值的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力．20．(1)2323,34a a ==，证明见解析；(2)1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）由题意可得112n n a a +=-，代值计算即可求出2a ，3a 的值，则111111n na a +=+-+，即可证明，（2）利用裂项相消法求和即可得答案．【详解】(1)∵1111,212n n n a a a a ++==+， ∴112n na a +=-， ∴231213,12342223a a ====--， ∴111211111112n n n n na a a a a +--==+--+--， ∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列， (2)由(1)可知()121111nn n a =+-=+-， ∴1n n a n =+， ∴2111(1)1n n a b n n n n n ===-++， ∴1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++L . 【点睛】本题考查数列的通项公式、递推公式、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．21．(1)122y x =++(2)2. 【解析】【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得MF 的斜率，可得AB 的斜率，设AB 的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0和韦达定理，运用两直线垂直的条件，可得m 的方程，求得m 的值，即可得到所求直线方程；（2）显然||MN 最小，必须MN 垂直于直线1y =-，分别过A ，B 作1AA ，1BB 垂直直线1y =-，垂足为1A ，1B ，运用梯形的中位线定理，以及三点共线取得最小值，即可得到所求最小值．【详解】(1)24x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-， 2MF k =-，F 为ABM ∆的垂心，可得AB MF ⊥，即有12AB k =， 设AB 的方程为12y x m =+，代入抛物线方程可得： 2240x x m --=，可得12124160,2,4m x x x x m ∆=+>+==-，由AF MB ⊥，可得222112141114x x x x -⋅=--+，()()()2221212121110164x x x x x x +--+-=， 化简可得()21211212102m x x x x x +--+-=， 即为2420m m --=，解得2m =±， 由14m >-，可得2m =+ 则AB的方程为122y x =++ (2)显然MN 最小，必须MN 垂直于直线1y =-，分别过,A B 作11,AA BB 垂直直线1y =-，垂足为11,A B ，11||||||2222AA BB AF BF AB MN ++===…， 等号成立当且仅当,,A B F 三点共线，且//AB x 轴， 所以MN 的最小值为2.【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质、三点共线取得最小值和三角形的垂心的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理求解.22．(1)1(0,)e ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，得到lnx a x =，设()(0)lnx g x x x =>，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a 的范围即可；（2）求出22lnx a x =，问题转化为只要证明22212()x lnx x ->，设2()2h x x lnx x =--，()x e >，根据函数的单调性证明即可；（3）求出1212lnx lnx a x x -=-，问题转化为只需证明12112a x x +>，根据12112122121112[2]x x x a ln x x x x x x x +-=---，设1()2(01)G x x lnx x x=--<<，根据函数的单调性证明即可．【详解】(1)由题意得()ln f x x ax '=-，故ln x a x =， 设()()ln 0x g x x x =>，()21ln x g x x-'=， 故0x e <<时，()0,g x x e '>>时，()0g x '<，故()g x 在()0,e 递增，在(,)e +∞递减，又()()110,g g e e==， 当x e >时，()0g x > ，故实数a 的范围是1(0,)e ；(2)由(1)得22ln 0x ax -=，且2x e >，故22ln x a x =， 要证明22()121a x -≥，只要证明22221ln 21x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 只要证明222()12ln x x x ->， 设()()22ln ,h x x x x e x=-->， 则2(21)2()0x x h x x -+'=>， 故()h x 在(,)e +∞递增，故()()2210h x h e e e>=-->， 故22()121a x -≥成立； (3)由(1)得1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=，且121x e x <<<，故1212ln ln x x a x x -=-， 由(1)得01ae <<，要证明12112ln ln ae x x +>， 只需证明12112ax ax +>， 只需证明12112a x x +>，故12112a x x +- 12121212ln ln 2x x x x x x x x +-=-⋅- 1211221212ln x x x x x x x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，设()()12ln 01G x x x x x=--<<， 则22(1)()0x G x x-'=>， 故()G x 在()0,1递增， 结合1200x x <<，故120x x -<， 1212122ln 0x x x x x x --<，有121120a x x +->， 故12112ax ax +>， 故12112ln ln ae x x +>. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等价转化思想证明不等式的运用．。
浙江省湖州、衢州、丽水等3地市2024-2025学年高三上学期11月教学质量检测数学试题
浙江省湖州、衢州、丽水等3地市2024-2025学年高三上学期11月教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2B xx A =∈∣，则A B = （）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,4D ．{}1,2,3,4,5,62．已知复数1i z =-（其中i 是虚数单位），则2z z +=（）A ．2B ．1CD 3．双曲线的另一种定义：动点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它与定直线l ：2a x c=的距离的比是常数()0ca c a<<，则点M 的轨迹是一个双曲线.动点M 与定点)F 的距离和它与定直线l ：x =M 的轨迹方程为（）A ．2212y x -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2212x y -=4．为研究光照时长x （小时）和种子发芽数量y （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x ，y 进行线性回归分析.若在此图中加上点P 后，再次对x ，y 进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A ．x ，y 不具有线性相关性B ．决定系数2R 变大C ．相关系数r 变小D ．残差平方和变小5．已知ABC V 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，AO AB = ，则向量BA在向量BC 上的投影向量为（）A ．14BCB ．4BCC ．14BC-D ． 6．古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为r 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点()2A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 点的坐标为(,)x y ，其纵坐标满足()πsin 0,0,2y r t t ωϕωϕ⎛⎫=+≥>< ⎪⎝⎭，当45t =秒时，PA =（）A ．B C ．D ．47．已知长方体1111ABCD A B C D -，E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（）A ．715B ．12C ．724D ．7178．已知函数()cos3cos2f x x x =-，(0,π)x ∈，若()f x 有两个零点1212,()x x x x <，则（）A ．12}π{,5x x ∈B ．213x x =C ．121cos cos 2x x +=D ．121cos cos 4x x =-二、多选题9．已知0a >，0b >，则下列说法正确的是（）A ．若1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．若1a b +=1<C ．若1a b -=，则1212ab->D ．若1a b -=，则221a b +>10．现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记()1,2,3i A i =表示第i 号箱子有奖品，()2,3j B j =表示主持人打开第j 号箱子.则下列说法正确的是（）A ．()3212PB A =∣B ．()1313P A B =∣C ．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大D ．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，AC BC ⊥，Q 是线段AB 的中点，P 是线段1BC 上的动点（含端点），则下列命题正确的是（）A ．三棱锥1P AQC -的体积为定值B ．在直三棱柱111ABC A B C -内部能够放入一个表面积为4π的球C ．直线PQ 与ACD ．1A P PQ +三、填空题12．在()(12)N n x n *-∈的展开式中，x 的系数为10-，则n =.13．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ，过左焦点F 作直线l 与圆M ：2224c x y +=相切于点E ，与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且3PE EF =，则椭圆离心率为.14．若()()()32222f x x x =-+-+，已知数列{}n a 中，首项1120a =，32123n n a a a a a n=++++ ，*n N ∈，则()791i i f a ==∑.四、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，PC ⊥平面ABC ，点E 是PB 的中点，点F 在线段CE 上且:2:1CF EF =，G 为三角形ABC 的重心.(1)求证：//GF 平面PAB ；(2)当PC 的长为何值时，二面角E AC B --的大小为60o .16．在ABC V 中，角,,A B C 对应的的三边分别是a，b ，c ，且bB c-=.(1)求角C 的值；(2)若1c =，2tan 3tan A B =，求ABC V 的面积.17．已知数列{}n a 的首项是1，其前n 项和是n S ，且121n n a a n +=++，*N n ∈.(1)求2a ，3a 的值及数列{}n a 的通项公式；(2)若存在实数λ，使得关于n 的不等式25n S n λ+≤，*N n ∈有解，求实数λ取到最大值时n 的值.18．已知函数()()21lnR 1x f x ax a x -=+∈-.(1)当1a =时，求曲线=在点()()2,2f 处的切线方程；(2)若103a <≤，3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，证明：()2f x <；(3)若1x >，恒有()32ln22f x ≥+，求实数a 的取值范围.19．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如()1R y kx k =+∈表示过点0,1的直线族（不包括直线y 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)圆M ：()2234x y +-=是直线族()1,R mx ny m n +=∈的包络曲线，求m ，n 满足的关系式；(2)若点()00,N x y 不在直线族()2Ω:R y tx t t =-∈的任意一条直线上，求0y 的取值范围及直线族Ω的包络曲线E 的方程；(3)在（1）（2）的条件下，过曲线E 上动点P 向圆M 做两条切线PA ，PB ，交曲线E 于点A ，B ，求PAB 面积S 的最小值.。