第三章 环与域

第三章环与域与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。

但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。

在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。

§1 加群、环得定义一、加群在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。

因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。

由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。

如:(1)加群得单位元用0表示,叫做零元。

即,有。

(2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。

即有。

利用负元可定义加群得减法运算:。

(3)。

(4)。

(5)(6),且有请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。

加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。

加群得子群得陪集表示为:。

二、环得定义设就是一个非空集合,“+”与“。

”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若1、对于“+”作成一个加群。

2、对于“。

”就是封闭得。

3、 ,有,即乘法适合结合律。

4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。

则称关于“+”与“。

”作成一个环。

由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。

例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。

分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。

例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。

例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。

问:奇数集合关于普通数得加法与乘法就是否作成环？答:否。

因为关于加法不构成加群。

由于一个环也就是一个加群,所以上面关于加群得性质与运算规则(1)到(6)在环里也都成立。

此外,环还有下列基本性质:(7)证明:由两个分配律以及负元得定义,有-+=-+=+-+=+-+=+=a b c ac a b c c a b c c a b c c a b ab()[()][(()))][((()](0)b c a ca b c c a b c c a b c c a b a ba-+=-+=+-+=+-+=+=()[()][(()))][((()](0)再由(4)得,。

(8)证明:(9)证明:因为所以。

(10)证明:(11)证明略(12)即。

证明略(13)证明略(14)定义:(就是正整数),并称为得次乘方(简称次方或次幂)。

对任意正整数有证明略由以上(1)-(14)各条可瞧出,中学代数得计算法则在一个环里差不多都可适用,但还就是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立,这一点我们将在下一节讨论。

§2 交换律、单位元、零因子、整环前面说过,普通得运算法则大多数在环里也就是成立得,但还就是有些法则不一定成立,例如,数域上所有阶方阵集合关于矩阵得加法与乘法可验证作成一个环,但我们知道矩阵得乘法就是不满交换律与消去律得。

由于环得定义中对乘法得要求只有适合结合律一条,所以在环中对乘法得运算往往需要附加一定得条件,由此产生各种类型得环。

1、交换律因为在环得定义里没有要求乘法适合交换律,所以在环里对,未必有。

如矩阵环就不适合交换律,当然也有适合交换律得环,如整数环。

若环得乘法适合交换律(即,有),则称环为交换环。

当环就是交换环时,,,有例若环得每一个元素都适合,则称就是布尔环。

证明,布尔环就是交换环。

证明:,有,于就是有,即,即,所以,故布尔环就是交换环。

2、单位元在群论里。

我们已经瞧到了单位元得重要性。

在环得定义里,没有要求一个环要有一个对于乘法来说得单位元,但一个环如果有这样一个元,我们可以想象这个元也会占有一个很重要得地位。

事实上,有些环确实有单位元,如:整数环就有乘法单位元1;数域上阶方阵环也有乘法单位元,即单位矩阵。

但并不就是所有环都有单位元,如偶数环就没有乘法单位元。

若环存在元素,使得,有,则称就是得单位元。

此时环也叫做有单位元环。

一般地,一个环未必有单位元。

但如果有得话,一定就是唯一得。

因为,若都就是环得单位元,则。

例1()在一个有单位元得环里,这个唯一得单位元习惯上常用1来表示。

注意,这里得1不就是普通得整数1、在有单位元得环里,与群一样,规定。

设就是有单位元1得环,,若,则称就是可逆元,就是得一个逆元。

在有单位元得环里,未必每个元素都有逆元,如整数环就是一个有单位元得环,但除了外,其它得整数都没有逆元。

又如在矩阵环中非可逆矩阵就没有逆元。

但就是如果有逆元,则其逆元就是唯一得。

因为,若有两个逆元与,则。

当就是可逆元时,其唯一得逆元记作。

并规定(就是正整数)这样规定以后,当就是可逆元时公式对任何整数都成立。

3、零因子前面在讨论环得运算性质时,曾有结论,即当环中得两个元素中有一个就是零元时,。

那么,反过来当时,就是否也有或呢？结论就是在一般得环里就是不成立得。

例2() 在模剩余类集合中,我们在第一章定义了加法与乘法: 并在第二章证明了关于加法构成加群。

又因为所以关于剩余类得加法与乘法构成一个环。

这个环叫做模剩余类环,它有单位元。

当不就是素数时,,则,于就是在中,而,这里就是得零元素。

定义若环中两个非零元,使得,则称就是环得左零因子,就是环得右零因子。

注:左,右零因子统称零因子。

若就是交换环,则它得一个左零因子也就是右零因子,反之也一样。

但在非交换环中,一个左零因子未必就是右零因子,同样一个右零因子也未必就是左零因子。

另外,未必每一个环都有零因子,例如整数环就没有零因子。

显然,,由可推出或当且仅当环没有零因子。

例3 设,则不就是零因子⇔。

证明:(⇐)因为,所以存在,使得。

,若,则由,有=+=+=+=,所以不就是零因[][][][][][][][][][0][][0][][0]b pab qnb p a b q n b p q b子。

(⇒)若,则且,所以就是中非零元,但与不就是零因子矛盾,所以,即。

例4()定理若环没有零因子,则(左消去律)(右消去律)成立。

反之,若环里有一个消去律成立,则环没有零因子。

证明:若环没有零因子,则由有于就是,从而。

同样可证右消去律成立。

若在环里左消去律成立,则当时,由及,有,故环没有零因子。

同理可证右消去律成立时,也没有零因子。

推论在环中,只要有一个消去律成立,那么两个消去律就都成立。

4、整环以上我们给出了一个环得乘法运算可能适合得三个附加条件:交换律,单位元,零因子。

一个环当然可以同时适合一个以上得附加条件,同时适合以上三个附加条件得环特别重要。

定义若环适合以下条件:1、乘法适合交换律(即);2、有单位元1(即);3、没有零因子(即)。

则称就是一个整环。

即,有单位元无零因子得交换环叫做整环。

例如,整数环就是整环。

P89、5、证明 ,显然就是非空集合。

,有①,即对加法封闭。

②即加法适合结合律。

③存在,使得所以0就是得零元。

④,所以得负元就是,即。

⑤,即加法适合交换律。

由①——⑤可知,关于加法构成群。

⑥,即对乘法封闭。

⑦即乘法适合结合律。

⑧即乘法对加法适合分配律。

由①——⑧可知,关于加法与乘法构成环。

⑨因为,所以就是交换环。

⑩就是得单位元。

⑾若,则。

故就是整环。

§3 除环、域在上一节,我们对环得乘法运算附加了一些条件后就产生了一些特殊得环,如:交换环,有单位元环,无零因子环,整环等。

在本节将进一步讨论特殊得环,介绍两类重要得特殊环:除环与域。

由上一节知识可知在一个有单位元1得环里,可以讨论元素得逆元问题,即当时,称就是可逆元,就是得逆元。

而且当可逆时其逆元就是唯一得,记作。

那么对于有单位元得环,其中得元素就是否都有逆元呢？,为此我们先瞧下面两个例子。

例1(P90)例2(P91)由例1知,当一个有单位元环至少有一个非零元时,零元一定没有逆元。

而由例2知,有得有单位元环其每个非零元都有逆元,但有得有单位元环则未必每个非零元都有逆元,例如,就是有单位元环,但中并非每个非零元都有逆元。

于就是有如下概念。

定义设就是一个环,若1、含有非零元;2、有单位元1;3、得每个非零元都有逆元(即,当时,存在,使得)。

则称就是除环。

由此定义及例2知,有理数环Q、实数环、复数环C都就是除环,但整数环Z不就是除环。

除环有如下性质:(1)除环没有零因子。

事实上,设就是除环,对,若有,则,从而,同理若有,则。

故得非零元a都不就是零因子,即无零因子。

由此可知,除环就是无零因子环,但就是无零因子环未必就是除环,如,整数环Z就是无零因子环,但不就是整环。

(2)除环中非零元集合,关于除环得乘法构成群。

事实上,设就是除环,,则Ⅰ、由(1)知*R对得乘法封闭;Ⅱ、由环得定义知,乘法适合结合律;Ⅳ、得单位元1就就是*R得单位元;Ⅴ、由除环得定义知,*R中每个元素都有逆元。

故*R关于得乘法构成群。

R叫做除环得乘群。

这样,一个除环就是由两个群:加群与乘群*凑合而成得,分配律就像就是一座桥,使得这两个群之间发生一种联系。

由(1)、(2)知,在一个除环里,方程与()各有一个唯一得解:1a b-与1ba-。

这两个解分别叫做用a从左边与右边去除b,这就就是除环这个名字得来源。

要注意得就是,一般地有(因为除环里得乘法不适合交换律)。

定义交换得除环叫做域。

由此可见,域就是特殊得环。

所以除环得性质对域也成立,但反之则未必。

由于在域里有,所以我们用b a来表示这两个相等得元素,即,这时我们就可以得到普通运算法则。

设就是一个域,则对,有(1)(2)(3)证明 (1)若b d a c =,则,从而,于就是。

反之,若,则,因而,即b d a c =。

(2)因为所以(3)因为所以例3(P92)到现在为止,我们已经把几种最常见得适合乘法附加条件得环,都稍微做了介绍,为了能够把它们得隶属关系瞧得更清楚些,我们做了一个表,详见P93。

例4 模剩余类环就是域⇔n 就是素数。

证明 (⇒)由第二节知,就是有单位元[1]得交换环,因此要证就是域,只需证中非零元都可逆即可。

,则,因为n就是素数,所以有,于就是存在,使得,从而有即[]p就是[]a得逆元,所以得每个非零元均可逆,故就是域。

( )若n不就是素数,则有,从而有,但,于就是就是得零因子,这与就是域无零因子矛盾。

故n就是素数。

§4 无零因子环得特征在前面各节,我们瞧到了在各种环里哪些普通计算规则就是可以适用得。

有一种普通计算规则不但在一般环里,就就是在适合条件比较强得环——域里面也不一定能够适用,这规则就就是:时,未必有(1)例1 在域(就是素数)里,有,但那么,(1)之所以不一定成立得原因在哪里呢？设就是一个环,我们知道得元素对于加法来说构成一个加群,在这个加群里每一个元素都有一个阶,由阶得定义可知,得元素在加群里得阶若就是无限得,那么不管就是哪一个整数,都有;若得阶就是一个有限数,就有。