第三章 环与域

第三章环与域

与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。

§1 加群、环得定义

一、加群

在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。

因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。

由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。如:

(1)加群得单位元用0表示,叫做零元。即,有。

(2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。即有。

利用负元可定义加群得减法运算:。

(3)。

(4)。

(5)

(6),且有

请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。

加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。

加群得子群得陪集表示为:。

二、环得定义

设就是一个非空集合,“+”与“。”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若

1、对于“+”作成一个加群。

2、对于“。”就是封闭得。

3、 ,有,即乘法适合结合律。

4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。

则称关于“+”与“。”作成一个环。

由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。

例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。

例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。

例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。

问:奇数集合关于普通数得加法与乘法就是否作成环？

答:否。因为关于加法不构成加群。

由于一个环也就是一个加群,所以上面关于加群得性质与运算规则(1)到(6)在环里也都成立。此外,环还有下列基本性质:

(7)

证明:由两个分配律以及负元得定义,有

-+=-+=+-+=+-+=+=

a b c ac a b c c a b c c a b c c a b ab

()[()][(()))][((()](0)

b c a ca b c c a b c c a b c c a b a ba

-+=-+=+-+=+-+=+=

()[()][(()))][((()](0)

再由(4)得,。

(8)

证明:

(9)

证明:因为

所以。

(10)

证明:

(11)

证明略

(12)

即

。

证明略

(13)

证明略

(14)定义:(就是正整数),并称为得次乘方(简称次方或次幂)。

对任意正整数有

证明略

由以上(1)-(14)各条可瞧出,中学代数得计算法则在一个环里差不多都可适用,但还就是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立,这一点我们将在下一节讨论。

§2 交换律、单位元、零因子、整环

前面说过,普通得运算法则大多数在环里也就是成立得,但还就是有些法则不一定成立,例如,数域上所有阶方阵集合关于矩阵得加法与乘法可验证作成一个环,但我们知道矩阵得乘法就是不满交换律与消去律得。由于环得定义中对乘法得要求只有适合结合律一条,所以在环中对乘法得运算往往需要附加一定得条件,由此产生各种类型得环。

1、交换律

因为在环得定义里没有要求乘法适合交换律,所以在环里对,未必有。如矩阵环就不适合交换律,当然也有适合交换律得环,如整数环。

若环得乘法适合交换律(即,有),则称环为交换环。

当环就是交换环时,,,有

例若环得每一个元素都适合,则称就是布尔环。证明,布尔环就是交换环。

证明:,有,于就是有,即,即,所以,故布尔环就是交换环。

2、单位元

在群论里。我们已经瞧到了单位元得重要性。在环得定义里,没有要求一个环要有一个对于乘法来说得单位元,但一个环如果有这样一个元,我们可以想象这个元也会占有一个很重要得地位。事实上,有些环确实有单位元,如:整数环就有乘法单位元1;数域上阶方阵环也有乘法单位元,即单位矩阵。但并不就是所有环都有单位元,如偶数环就没有乘法单位元。

若环存在元素,使得,有,则称就是得单位元。此时环也叫做有单位元环。

一般地,一个环未必有单位元。但如果有得话,一定就是唯一得。因为,若都就是环得单位元,则。

例1()

在一个有单位元得环里,这个唯一得单位元习惯上常用1来表示。注意,这里得1不就是普通得整数1、

在有单位元得环里,与群一样,规定。

设就是有单位元1得环,,若,则称就是可逆元,就是得一个逆元。

在有单位元得环里,未必每个元素都有逆元,如整数环就是一个

有单位元得环,但除了外,其它得整数都没有逆元。又如在矩阵环中非可逆矩阵就没有逆元。

但就是如果有逆元,则其逆元就是唯一得。因为,若有两个逆元与,则。

当就是可逆元时,其唯一得逆元记作。并规定

(就是正整数)

这样规定以后,当就是可逆元时

公式

对任何整数都成立。

3、零因子

前面在讨论环得运算性质时,曾有结论,即当环中得两个元素中

有一个就是零元时,。那么,反过来当时,就是否也有或呢？结论就是在一般得环里就是不成立得。

例2() 在模剩余类集合中,我们在第一章定义了加法与乘法: 并在第二章证明了关于加法构成加群。又因为

所以关于剩余类得加法与乘法构成一个环。这个环叫做模剩余类环,