第三讲线性规划灵敏度分析与最优解解释

成型
1 S1D135 10 4
检查与包装
S，D≥0
图解法灵敏度分析
目标函数系数变化——多系数同时改变 右端项改变
目标函数系数
问题——目标函数系数变化会对Par公司的最优 产量产生什么样的影响。
目标函数的最优范围——目标函数系数在什么范 围内变化时，模型的最优解保持不变。
目标函数系数
目标函数系数
1.50美元。占总允许增加量的 （0.75/2.333 30）
（1.50/3.499 93）
×100%=32.14%。
×100%=42.86%。
可行增加（42.86%）和可行减少（32.14%）百分率变化的 和是75.00%。
约束条件右端值的100%法则
对所有变化的右端值，计算其占允许增加量和允许减少 量的百分比之和。如果没有达到100%，对偶价格就不会 改变。
允许增加量——对于目标函数的系数，在不超过最优范 围的情况下，系数可能增加的最大量；
允许减少量——在不低于最优范围下限的情况下，系数 可能减少的最大量。
目标函数系数的100%法则
对所有变化的目标函数系数，计算其占允许增加量和允许减少量 的百分比之和。如果和没有达到100%，最优解就不会改变。
会增加，反而会减少。在最小化问题中，目标函数结果变得 更坏意味着总成本的增加。 影子价格——每增加一个单位的约束条件右端值最优解的变 化量。一般来说，对于最大化问题，影子价格和对偶价格相 同；对于最小化问题，影子价格是对偶价格的相反数。
主要内容
灵敏度分析简介 图解法灵敏度分析 灵敏度分析：计算机求解 多于两个决策变量的情况
总产量约束 时间约束
关于对偶价格的解释
小于等于型约束条件的对偶价格总是大于或等于0的，因为 增加其右端值不会使目标函数变得更坏。
大于等于型约束条件的对偶价格总是小于或等于0的，因为 增加其右端值不会对最优解有所改进。
当约束条件的右端值表示某种资源的可利用量时（沉没成 本），对偶价格通常可以解释为公司对额外支付一单位这种 资源所愿意提供的金额。
物流管理系
Par问题的数学描述
max 10S+9D
S.t.
7 S1D630 切割与印染 10
1S5D600 缝合 26
1S 2D708 成型 3
1 S1D135 检查与包装 10 4
S，D≥0
灵敏度分析
研究当一个线性规划问题中的系数发生变化时， 其对目标函数最优解的影响程度。
1．如果目标函数的系数发生变化，对最优解会 产生什么影响？
假设标准袋的利润增加到13美元，高档袋的利润减少到8美元。
6.3CS1.35
新的目标函数的斜率：
6.6 7CD1.2 49
CS 131.625 CD 8
右端项
假设Par公司的切割印染部门又多出了10个小时的可 工作时间。
新的约束条件： 7 S1D640 10
运用图解法
新的最优解
S=527.5， D=270.75。
新的目标函数值 10×527.5+9×270.7 5=7711.75美元，
利润增量7711.757668.00=43.75美元。
利润增加率 43.75/10=4.375美 元。
对偶价格
约束条件右端值每增加一个单位引起的最优解的增加量。 对偶价格可以用来求出当某个约束条件右端值变化一个单位
时目标函数值将会有什么变化。 对偶价格只适用于约束条件的右侧值变化比较小的情况。 任何非束缚性约束条件的对偶价格都是0。 负的对偶价格告诉我们，如果使右端值增加，目标函数值不
灵敏度分析：计算机求解
使用管理科学家软件求解Par公司的线性规划问 题。
最优解 松弛/剩余变量
目标函数最优解
对偶价格
减少的成本—目 标函数的每个系数 应提高多少，目标 函数的变量值才能
是正数
目标系数范围
右端值范围——对偶价格适用范围的限制条件
多系数同时变化——100%法则
假设，Par公司的会计部门发现原来高档袋和标准袋的利 润计算——分别为10美元和9美元有误，正确的利润分 别应该是11.50美元和8.25美元。
第一步：目标函数直线斜率的范围 直线B斜率≤目标函数的斜率≤直线A的斜率
3目标函数的斜 7率
2
10
第二步：目标函数系数的范围
P=CSS+CDD
3CS 7
2
CD
10
6.3CS1.35
6.6 7CD1.2 49
另一例——目标函数继续旋转
CS 3
CD
2
多系数同时改变
3CS 7 2 CD 10
7 S1D630 10
切割与印染
1S5D600
2
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缝合
1S 2 D708 3
成型
1 S1D135 10 4
检查与包装
S，D≥0
灵敏度分析简介（3）
问题——右端值变化对最优解有什么影响？
max S.t.
10S+9D
利润
7 S1D630 10
切割与印染
1S5D600
2
6
缝合
1S 2 D708 3
例：假设切割与印染部门能够获得额外的20小时时间， 同时成型部门能够获得额外的100小时时间。对偶价格 是否适用？
计算机输出的解释——
M&D公司的最小化问题
min 2A+3B s.t.
1A ≥125 产品A的需求量 1A + 1B ≥350 总产量 2A + 1B ≤600 生产时间 A，B ≥0
max S.t.
10S+9D
8.5 7 S1D630
10
切割与印染
1S5D600
2
6
缝合
1S 2 D708 3
成型
1 S1D135 10 4
检查与包装
S，D≥0
灵敏度分析简介（2）
问题——模型中的系数哪个更能左右最优解？
max 10S+9D
(6.67-14.29) (8.9-9.25)
S.t.
2．如果改变约束条件右边的值，对最优解会产 生什么影响？
主要内容
灵敏度分析简介 图解法灵敏度分析 灵敏度分析：计算机求解 多于两个决策变量的情况
灵敏度分析简介（1）
问题——如果我们要用LP模型去解决实际问题，模型中 的系数就不可能是一成不变的。这些系数的变化会对模 型的最优解产生什么样的影响呢？
目标函数系数S的上限是13.499 D的下限是6.6667，允许减少量：
93，允许增加量：上限-目前值 目前值-下限=9-6.6667
=13.49993-10=3.49993。标 =2.33330。高档袋的利润减少
准袋的利润增加到11.50美元， 了0.75（从9美元到8.25美元）
增加了（从10美元到11.50美元） 美元，占允许减少量的