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广州市高一数学上学期期末试卷含答案

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广东省广州市高一上学期期末数学试题(解析版)

广东省广州市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．设集合，，（ ） {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =A B = A ． B ． C ． D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,4【答案】D【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】因为集合，， {}15A x x =-<<{}2,3,4,5B =所以. {}2,3,4A B = 故选：D2．下列函数为增函数的是（ ） A ．B ．()f x x =()2xf x =C ．D ．()2f x x =()0.5log f x x =【答案】B【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A ；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD 作答.【详解】对于A ，函数，函数在上单调递减，在定义域R 上不单,0(),0x x f x x x x -≤⎧==⎨>⎩()f x (,0]-∞调，A 不是；对于B ，函数在R 上单调递增，B 是；()2x f x =对于C ，函数在上单调递减，在定义域R 上不单调，C 不是； 2()f x x =(,0]-∞对于D ，函数在上单调递减，D 不是. 0.5()log f x x =(0,)+∞故选：B3．设a ，，则“”是的（ ） R b ∈0a b <<11a b>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为， 11b a a b ab--=所以当时，，0a b <<0,0ab b a >->所以即， 110b a a b ab --=>11a b >当时，取，得不到， 11a b>1,1a b ==-0a b <<所以是充分不必要条件， 0a b <<11a b>故选:A.4．已知，，，则（ ） 3log 0.3a =0.33b =0.50.3c =A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．c a b <<b c a <<【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】，，， 33log 0.3log 10a =<=0.30331b =>=0.5000.30.31c <=<=所以. a c b <<故选：B5．已知是第四象限角，且，则（ ）θ()3sin π5θ+=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．7177-17-【答案】A【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. tan θ【详解】由得：，即，而是第四象限角，()3sin π5θ+=3sin5θ-=3sin 5θ=-θ则有，， 4cos 5θ===sin 3tan cos 4θθθ==-所以. π3tan tan1π144tan(π3471tan tan 1()144θθθ+-++===---⨯故选：A 6．已知，则的最小值为（ ）0x <21x x--A ．B ．4C ．D ．11【答案】D【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.【详解】因为，则，， 0x <11x ->22(1)11111x x x x -=+--≥-=--当且仅当，即 211x x=--1x =所以的最小值为. 21x x--1-故选：D7．已知，，则的值为（ ） 1cos cos 2αβ+=1sin sin 3-=αβ()cos αβ+A ． B ．C ．D ．1372-13725972-5972【答案】C【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】， ()2221cos cos cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=，()2221sin sin sin 2sin sin sin 9αβααββ-=-+=两式相加得， ()()62221113cos cos sin sin 2cos 493αβαβαβ-=+=+=++. ()59cos 72αβ∴+=-故选：C.8．已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x 范围为（ ）A ．B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a 的取值范围，进而求出()y f x =范围作答.1234x x x x 【详解】函数，当时，单调递增，，2ln(),0(),0x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩1x ≤-()ln()f x x =--()0f x ≤当时，单调递减，，10x -<<()ln()f x x =-()0f x <当时，在上递减，在上递增，，0x ≥2()f x x x =-1[0,]21[,)2+∞1()4f x ≥-作出函数的部分图象，如图，()y f x =方程有四个不同的根，不妨令，即直线与函数的()f x a =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<y a =()y f x =图象有4个公共点， 观察图象知，，，104a -<<123411012x x x x <-<<<<<<显然有，且，由得，12|ln()||ln()|x x --=--341x x +=12|ln()||ln()|x x --=--12ln()ln()0x x -+-=即，则有，因此，12ln()0x x =121=x x 21234333111(1)()(0,)244x x x x x x x =-=--+∈所以的取值范围为.1234x x x x 1(0,4故选：B【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.二、多选题9．下列函数为奇函数的是（ ） A ． B ．()21f x x =()3f x x =C ．D ． ()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭()1f x x x=+【答案】BCD【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答. 【详解】对于A ，函数的定义域为，，是偶函()21f x x =(,0)(0,)-∞+∞ 21()()()f x f x x -==-()f x 数，A 不是；对于B ，函数的定义域为R ，是奇函数，B 是；()3f x x =()f x 对于C ，函数中，，解得，即的定义域为， 1()ln(1x f x x+=-101xx +>-11x -<<()f x (1,1)-，是奇函数，C 是；11()ln(ln()()11x xf x f x x x-+-==-=-+-()f x 对于D ，函数的定义域为，，是奇函数，1()f x x x =+(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x x f x x-=-+=--()f x D 是. 故选：BCD10．下列命题为真命题的是（ ） A ．任意两个等边三角形都相似 B ．所有的素数都是奇数 C ．， D ．，R x ∀∈0x x +≥R x ∃∈210x x -+=【答案】AC【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.【详解】对于A ，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，60 A 正确；对于B ，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B 错误； 对于C ，因为，，即，C 正确；R x ∀∈||x x ≥-||0x x +≥对于D ，因为，，D 错误.R x ∀∈221331(0244x x x -+=-+≥>故选：AC11．记函数，，其中．若，则（ ） ()()sin 2f x x ϕ=+x ∈R π2ϕ≤π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．为奇函数D ．为奇函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解π2x =π12f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭π2ϕ=-π2析式或，分两种情况计算出，及判断和()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的奇偶性，推断出四个选项的正误.π24f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，因为，所以为的对称轴， π5π1662f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ5662πx =+=()f x 故，A 错误；ππsin 2122f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 选项，，解得：，πππ,Z 2k k ϕ+=+∈ππ,Z 2k k ϕ=-+∈因为，所以，解得：， π2ϕ≤ππππ222k -≤-+≤01k ≤≤因为，所以或1，Z k ∈0k =当时，，当时，，0k =π2ϕ=-1k =π2ϕ=故或，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，B 正确； ()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3ππsin 0422f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭i 1ππ32s n 2f x x ⎛⎫- ⎪⎭⎝⎫+= ⎪⎝⎭⎛此时不满足，不是奇函数，1212ππf x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭s 12π2πin 23f x x ⎪⎛⎫+= ⎪⎛⎫+ ⎝⎝⎭⎭不满足，不是奇函数，C 错误； 1212ππf x fx ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 选项，当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，为奇函数，()f x ()sin 4sin 4x x -=-当时，，()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 4si 22n 44f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时的定义域为R ，且，即，()f x ()sin 4sin 4x x --=()()f x f x -=-为奇函数，D 正确. ()f x 故选：BD12．已知正实数x ，y ，z 满足，则（ ） 3515x y z ==A ． B ． x y z +=xz yz xy +=C ．D ．3515x y z>>24xy z >【答案】BCD【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 13515x y z t ==>=,,x y z 【详解】是正实数，令，则，,,x y z 13515x y z t ==>=3515log ,log ,log x t y t z t ===， 111log 3,log 5,log 15t t t x y z ===对于A ，，A 错误； ln ln ln ln15ln15ln 5ln 3()(2(24ln 3ln 5ln15ln 3ln 5ln 3ln 5t t t x y z z z +=+=+=++>+>对于B ，因为，则，B 正确；111log 3log 5log 15t t t x y z+=+==xz yz xy +=对于C ，因为，则，即，35153515<<3515log 3log 5log 15t t t <<3log 35log 515log 15t t t <<因此，即有，C 正确； 3515x y z <<3515x y z>>对于D ，， 2221515151515log 3log 5log 3log 511log 3log 5()(log 15)log 15log 15244t t t t z z z xy x y +=⋅=⋅=⋅<==因此，D 正确. 24xy z >故选：BCD【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.三、填空题13．若函数只有一个零点，则实数a 的值为_____________．()22f x x x a =-+【答案】1【分析】利用判别式等于零求解.【详解】因为函数只有一个零点，()22f x x x a =-+所以解得. 440a ∆=-=1a =故答案为:1. 14．计算_____________． 01331log log 120.60.24-+-+=【答案】5【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案. 【详解】. 0133311log log 120.60.2log 1215544-⎛⎫+-+=⨯-+= ⎪⎝⎭故答案为：.5四、双空题15．已知函数，分别由下表给出， ()f x ()g x x0 1 2()f x 1 2 1x 0 1 2 ()g x 2 1 0则_____________；满足的x 的值是_____________． ()1f g ⎡⎤⎣⎦=()()()f g x g f x ⎦>⎡⎤⎣【答案】 2 1【分析】根据列表法给定的函数，x 分别取0，1，2依次计算、即可作答. [()]f g x [()]g f x 【详解】依题意，；()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦，，，，[(0)](2)1f g f ==[(0)](1)1g f g ==()()112f g f ⎡⎤==⎣⎦[(1)](2)0g f g ==，，因此当且仅当时，成立，[(2)](0)1f g f ==[(2)](1)1g f g ==1x =()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦所以满足的x 的值是1. [()][()]f g x g f x >故答案为：2；1五、填空题16．已知，（且），若对任意的，都存在()221f x x x =--()log a g x x =0a >1a ≠[]11,2x ∈-，使得成立，则实数a 的取值范围是_____________． []22,4x ∈()()12f x g x <【答案】(1,2)【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. ()f x []1,2-【详解】当时，，则， []1,2x ∈-2()(1)2f x x =--max ()(1)2f x f =-=因为对任意的，都存在，使得成立， []11,2x ∈-[]22,4x ∈()()12f x g x <因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， ()f x []1,2-()g x []2,4而当时，，，不符合题意，01a <<[]2,4x ∈log 0a x <于是，函数在上单调递增，则，即，解得，1a >()log a g x x =[]2,4log 42a >214a <<12a <<所以实数a 的取值范围是. (1,2)故答案为：(1,2)【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， ()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，故.[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min min f x g x <六、解答题17．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点． ()3,4P -(1)求的值；tan α(2)求的值．2sin(π)cos(2π)ππcos()sin()22αααα+++-++【答案】(1)；43-(2). 11-【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答. （2）利用诱导公式化简，结合（1）的结论，用齐次式法计算作答. 【详解】（1）角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点， α()3,4P -所以.4tan 3α=-（2）由（1）知，，4tan 3α=-所以. 42()12sin(π)cos(2π)2sin cos 2tan 1311ππ4sin cos tan 1cos()sin()1223αααααααααα-⨯-++++-+-+====-++-++-+18．已知函数，且，．()x b f x x a -=-()124f =()235f =(1)求函数的解析式；()f x (2)根据定义证明函数在上单调递增．()f x ()2,-+∞【答案】(1) ()12x f x x -=+(2)证明见解析【分析】（1）直接根据条件列方程组求解即可；（2）任取，计算判断的符号即可证明单调性.122x x >>-()()12f x f x -【详解】（1）由已知，解得，()()2122432335b f a b f a -⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩21a b =-⎧⎨=⎩； ()12x f x x -∴=+（2）任取， 122x x >>-则，()()()()()()()()()()()12211212121122121212112222223x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+--+---=-==++++++-，122x x >>-Q ，121220,20,0x x x x ∴+>+>->，即， ()()120f x f x ∴->()()12f x f x>函数在上单调递增.∴()f x ()2,-+∞19．已知函数．ππ())sin()sin cos 44f x x x x x =+-+(1)求函数的最小正周期； ()f x (2)在中，若，求的最大值． ABC A π()1212A f -=sin sinBC +【答案】(1)； π【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.()f x （2）由（1）中函数式求出A ，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答. 【详解】（1）依题意，πππ1ππ1()sin()sin[()]sin 2)cos()sin 24242442fx x x x x x x =+-++=+++， π11π2)sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x =++==+所以函数的周期为. ()f x 2ππ2T ==（2）由（1）知，， ππππ()sin[2()]sin()121221236A A f A -=-+=+=在中，，有，于是，解得，则， ABC A 0πA <<ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =2π3BC +=， 2π13πsin sin sin sin()sin sin sin )3226B C B B B B B B B B +=+-=+=+显然，，因此当，即时，， 2π03B <<ππ5π666B <+<ππ62B +=π3B =max (sin sin )BC +=所以sin sin B C +20．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ 中，半径，()100m OP =圆心角，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记，矩形ABCD 的π4POQ ∠=POC α∠=面积为． ()2m S(1)将面积S 表示为角的函数；α(2)当角取何值时，S 最大？并求出这个最大值．α【答案】(1)； ππ5000,044S αα=+-<<(2)，. π8α=2max 5000(m )S =- 【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答. α（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，在中，，则， Rt OBC △π2OBC ∠=sin 100sin AD BC OC POC α==∠=，在中，，则， cos 100cos OB OC POC α=∠=Rt OAD △ππ,24OAD POQ ∠=∠=OA AD =因此， 100(cos sin )AB OB OA αα=-=-100sin 100(cos sin )S AB BC ααα=⋅=⋅-， 2π10000(sin cos sin )5000(sin 2cos 21)50004αααααα=-=+-=+-所以面积S 表示为角的函数是. αππ)5000,044S αα=+-<<（2）由（1）知，当时，，则当，即时，π04α<<ππ3π2444α<+<ππ242α+=π8α=， max π[sin(2)]14α+=所以当时，. π8α=2max 5000(m )S =21．已知函数的最大值为． ()cos 22sin 2f x x a x a =++12-(1)求a 的值：(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x 的集合．x ∈R ()f x 【答案】(1)1a =-(2)最小值为-5，的取值构成的集合为 x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x 的集合．【详解】（1）()2cos 22sin 212sin 2sin 2f x x a x a x a x a =++=-++，22sin 2sin 21x a x a =-+++令，则，对称轴， []sin 1,1t x =∈-2()2221f t t at a =-+++02a t =当即时， 012a t =≤-2a ≤-在单调递减，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以不满足题意； max ()(1)22211f t f a a =-=--++=-当即时， 112a-<<22a -<<在单调递增，单调递减， 2()2221f t t at a =-+++1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦所以， 22max 1()()21222a a f t f a a ==-+++=-即解得或（舍）；2430a a ++=1a =-3a =-当即时， 012a t =≥2a ≥在单调递增，2()2221f t t at a =-+++[]1,1t ∈-所以， max 1()(1)22212f t f a a ==-+++=-解得不满足题意， 18a =综上.1a =-（2）由(1)可得在单调递增，单调递减， 2()221f t t t =---11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦所以当时函数有最小值为，1t =(1)2215f =---=-此时，则的取值构成的集合为. sin 1t x ==x π|2π,Z 2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭22．已知函数，其中e 为自然对数的底数，记．()()e R x f x x =∈()()()g x f x f x =+-(1)解不等式；()()26f x f x +≤(2)若存在，使得成立，求实数k 的取值范围．(0x ∈()()20021g x k g x =⋅-【答案】(1)；(,ln 2]-∞(2) 37(,49【分析】（1）根据给定条件，解指数不等式作答.（2）求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.0e x 【详解】（1）函数，则不等式化为：，即，()()e R x f x x =∈()()26f x f x +≤2e e 6x x +≤2e e 60x x +-≤，而，因此，解得，(e 3)(e 2)0x x +-≤e 0x >0e 2x <≤ln 2x ≤所以原不等式的解集是(,ln 2]-∞（2）依题意，，当时，，()e e x x g x -=+0x∈0e x ∈，则， 0000002202202))e e )e e 1e e)1(2(1((x x x x x x g x k g x k ---+=++=+⋅-⇔=-0021)(1e e x x k -=-+令，，， 0e x t =∈001e e ()x x h t t t-+==+(1212,,t t t t ∀∈<，因为，则， 1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--121t t <<121210,10t t t t-<->因此，即，则有函数在上单调递增，12()()0h t h t -<12()()h t h t <()h t (于是当时，，， t ∈12t t <+≤002e e x x -<+00294(e e )2x x -<+≤，从而， 0022119e e )4(x x -≤<+3749k <≤所以实数k 的取值范围是． 37(,49【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.。

广东高一上学期期末数学试题(解析版)

广东高一上学期期末数学试题(解析版)

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{}1,2,3,4,5,6U ={}1,2,3A ={}3,4,5B =()UA B ⋂=ðA. B. C.D.{}4,5,6{}4,6{}6{}4,5【答案】D 【解析】【分析】直接根据补集和交集的概念可得答案.【详解】由已知，又，{}4,5,6=U A ð{}3,4,5B =.(){}U 4,5B A ∴= ð故选：D.2. 命题“，”的否定是（ ）ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-A. ，B. ，2ππ,2x ⎛⎫∀∉- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x -≤C. ，D. ，ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x <-【答案】C 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，”的否定是“，”. ππ,22x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭2cos 12x x >-ππ,22x ⎛⎫- ⎪⎝∈⎭∃2cos 12x x -≤故选：C.3. 已知函数的最小正周期为2π，则下列说法错误的是（ ） ()()2sin 0f x x ωω=>A.1ω=B. 函数是奇函数()f x C. 当时，函数在上是减函数，在上是增函数 []0,2x π∈()f x []0,π[],2ππD. 当时，在上是增函数，在，上是减函数[],x ππ∈-()f x ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】CD 【解析】【分析】由周期公式判断A ；根据定义判断B ；根据正弦函数的单调性判断CD. 【详解】因为函数的最小正周期为2π，所以，故A 正确；()()2sin 0f x x ωω=>2π2π,1ωω==，定义域为，，即函数是奇函数，故B()2sin f x x =R ()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-()f x 正确；当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递增，在[]0,2x π∈()2sin f x x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误； 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦当时，由正弦函数的单调性可知，函数在和上单调递减，在[],x ππ∈-()2sin f x x =,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误； ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：CD4. 已知a ，b 是实数，且，则“”是“”的（ ） 0a b +≠0a b +>a b +≥A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】因为满足，但不满足，故充分性不满足； 2,1a b ==-0a b +>a b +≥因为等价于，所以，a b +≥20≥0,0a b ≥≥因为，所以不同时为0， 0a b +≠,a b 所以能得到，故必要性满足，0a b +>所以“”是“”的必要不充分条件 0a b +>a b +≥故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） 12a=2log b =5log 3c =,,a b c A. B. c<a<b a c b <<C. D.c b a <<a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可. 【详解】函数在上单调递增，log (1)a y x a =>()0,∞+，221log log 2b a =>==，55log 31log 2a c ==>=，2453311log log 3log 3log 4log 5b c ===>==.a cb ∴<<故选：B.6. 已知是第二象限的角，，则的值是（ ） α23sin sin cos 2ααα-=cos αA. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于sin ,cos αα2cos α的方程，求出，进而可得，则可求.tan αtan ααcos α【详解】是第二象限的角，αQtan 0,cos 0αα∴<≠， 2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 2sin cos tan 1ααααααααααα--∴-===++解得，tan 1α=-， 3π2π,Z 4k k α∴=+∈. cos α∴=故选：A.7. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. ()1f x x x=+B. ()()2212sin π,Z 2sin f x x x k k x=+≠∈C.()e e xxf x -=+D. ()()111f x x x x =+>-【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可. 【详解】对于A ：当时，，A 错误； =1x -()12f -=-对于B ：， ()2212sin 22sin f x x x =+≥=当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B 错误； 2212sin 2sin x x=2sin 2x =()2f x ∴>对于C ：，当且仅当，即时等号成立，C 正确； ()2e e x x f x -+=≥=e e =x x -0x =对于D ：当时，，当且仅当1x >()11111311f x x x x x =+=-++≥+=--111x x -=-，即时等号成立，D 错误； 2x =故选：C.8. 已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（ ）A. B.()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C. D.()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f xg x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +()10-,，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()12211212121212f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾； 0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） ()0,∞+A. B. cos y x =2y x =-C .D. y x =21y x =【答案】BD 【解析】【分析】直接根据函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ：是偶函数，但在上不是单调函数，A 不符； cos y x =()0,∞+对于B ：是偶函数，且在上单调递减，B 符合； 2y x =-()0,∞+对于C ：是偶函数，且在上单调递增，C 不符； y x =()0,∞+对于D ：是偶函数，且在上单调递减，D 符合. 221y x x-==()0,∞+故选：BD.10. 设实数a ，b 满足，则下列不等式中正确的是（ ）01b a <<<A.B.11a b a b+>+1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D.ln ln a b >b b a b <【答案】BC 【解析】【分析】选项A ：做差判断；选项BCD ：构造函数，利用函数单调性判断.【详解】对于A ：，，，()()111b a ab a b a b ab --⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭01b a <<< 0,10,0b a ab ab ∴-<->>，即，A 错误； 110a b a b ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭11a b a b +<+对于B ：函数在上的单调递减，又，，B 正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R b a <1122a b⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ：函数在上的单调递增，又，，C 正确； ln y x =()0,∞+b a <ln ln a b \>对于D ：函数在上的单调递增，又，，D 错误； ,0b y x b =>()0,∞+b a <b b a b ∴>故选：BC.11. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 cos 0θ>B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 cos 0θ>C. 终边在x 轴上的角的集合为{}2,Z k k ααπ=∈D. 已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，利用三角函数的定义即可判断；对于B ，举反例即可；对于C ，直接写出对应角的集合；对于D ，利用扇形的面积和弧长公式即可【详解】对于A ，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； cos 0θ>对于B ，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 0θ=cos 10θ=>对于C ，终边在x 轴上的角的集合为，故错误； {},Z k k ααπ=∈对于D ，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，βr 则，解得，故正确 224112r r r ββ+=⎧⎪⎨=⎪⎩21r β=⎧⎨=⎩故选：AD12. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩A.1a =B.1a =-C. 函数是偶函数 ()1y f x =+D. 关于x 的不等式的解集为 ()12f x >()0,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数图象可得函数图象的对称轴，进而求得参数a 的值，判断A ，B ；根据图象的平移结合偶函数的性质可判断C ；分段解不等式可得不等式的解集，判断D. ()12f x >【详解】由函数图像可知为函数的对称轴，即函数满足， 1x =()f x ()2()f x f x -=则当时，则，故，则， 1x >21x -<2,222x a a x x a a x ---∴--=-=1a =同理当时，则，故，则， 1x <21x ->2,222a x x a a x x a -+--+=∴=-1a =综合可知，A 正确；B 错误.1a =将的图象向左平移1个单位，即得函数的图象，()2,12,1a x x a x f x x --⎧≥=⎨<⎩()1,R y f x x =+∈则的图象关于y 轴对称，故为偶函数，C 正确；()1y f x =+()1y f x =+当时，，令，解得，故； 1x ≥1()2x f x -=1212x->2x <12x ≤<当时，，令，解得，故，1x <1()2x f x -=1122x ->0x >01x <<综合可得，即不等式的解集为，D 正确，02x <<()12f x >()0,2故选：ACD【点睛】方法点睛：解答本题，要注意数形结合的思想方法，同时要结合函数图像的特征，利用相应的定义去判断解答，即可求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数_____________． ()()2log 2f x x =-+【答案】 [)3,2-【解析】【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解. 【详解】由已知得，解得， 22090x x ->⎧⎨-≥⎩32x -≤<即函数. ()()2log 2f x x =-+[)3,2-故答案为：. [)3,2-14. 已知，，则_____________． 12sin cos 25αα=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos αα-=【答案】## 751.4【解析】【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案. sin cos αα-()2sin cos αα-【详解】， π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，即，sin 0,cos 0αα∴><sin cos 0αα->又， ()21249sin cos 12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⨯-=⎪⎝⎭. 7sin cos 5αα∴-=故答案为：. 7515. 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是()y f x =R 0x ≥()f x =0x <()f x _____________．【答案】()f x =【解析】【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案.【详解】函数在上为奇函数，且当时，()y f x =R 0x ≥()f x =当时，，0x <0x ->，()()f x f x ∴=--=故答案为：.()f x =16. 对于函数和，设，，若存在使得，则()f x ()g x (){}0x f x α∈=(){}0x g x β∈=,,αβ1αβ-≤称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与()f x ()g x ()()ln 23f x x x =-+-互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为_____________．()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +【答案】1,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知()f x 3α=31β-≤24β≤≤方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得()()22log 1x a -+⋅2log 3x +[]2,4，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.2231log log a x x+=+a 【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知， ()()ln 23f x x x =-+-()2,+∞()30f =3α=结合“零点相邻函数”的定义可得，则，31β-≤24β≤≤据此可知函数在区间上存在零点，()()()22log 1g x x a =-+⋅2log 3x +[]2,4即方程在区间上存在实数根，()()22log 1x a -+⋅2log 30x +=[]2,4整理可得：， ()22222log 331log log log x a x xx++==+令，则， 2log ,12t x x =≤≤31a t t +=+根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又()3h t t t=+⎡⎣2⎤⎦()14,h h ==(2)h =则314a t t ⎡⎤+=+∈⎣⎦据此可知实数的取值范围是. a 1,3⎡⎤-⎣⎦故答案为：1,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算： （1）；()110520.01321π---++（2）．3log 22log 8lg 2lg 53++-【答案】（1）5（2）2【解析】 【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；()110520.01321102125π---+=---=【小问2详解】 ．()3log 22log 8lg 2lg 53lg 25223=+++-⨯-=18. 已知集合，． {}20log 3A xx =≤≤∣{}08B x x =<<（1）求：A B ⋃（2）若集合，且，求实数a 的取值范围{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆【答案】（1）{}08x x <≤（2）11a -≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A 中元素范围，然后直接求即可；A B ⋃（2.【小问1详解】 ，又，{}{}20log 318A x x x x =≤≤=≤≤ ∣∣{}08B x x =<<；{}08A B x x ∴⋃=<≤【小问2详解】，，，{}18A x x =≤≤ ∣{}9C x a x a =≤≤+A C ⊆， 198a a ≤⎧∴⎨+≥⎩解得.11a -≤≤19. 如图，在平面直角坐标系中，角和角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点αβαA ，将射线OA 绕坐标原点沿顺时针方向旋转后，所得射线与单位圆交于点B ，且射线OB 是角的终π2β边．（1）求的值； ()()sin cos 23πco πs πsin 2αββα⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）若点A ，求的值． ()tan πβ-【答案】（1）1（2） 12【解析】【分析】（1）利用的关系及诱导公式计算即可；,αβ（2）先通过三角函数的定义得，然后利用的关系及诱导公式计算即可.sin ,cos αα,αβ【小问1详解】由已知， π2π,Z 2k k αβ=++∈； ()()()sin cos sin sin sin sin cos sin 213πcos cos cos sin cos πsi π2ππ2n cos c 22os π2πk k αββαβββαββαβββββ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∴⎛⎫++==⎭-=-=--+ ⎪⎝⎛-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎪⎫+ ⎝⎭【小问2详解】若点A ，则sin αα===. ()2sin t π2πcos 12πsin cos 2πan πt 2an k k βαβααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝-=-=-⎭20. 某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q （单位：元/10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表：时间t7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19为了描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，()Q t a t b =⋅+②，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+③， ()tQ t a b =⋅④．()log b Q t a t =⋅（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；（2）在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m 的最()Q t []0,m 大值．【答案】（1）选择，理由见解析，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+()220110Q t t t =-+（2）20【解析】【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待()Q t 定系数法即可求解；（2）通过二次函数的性质即可求出实数m 的最大值【小问1详解】由表中数据可知，先单调递减后单调递增，()Q t 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， ()Q t a t b =⋅+()tQ t a b =⋅()log b Q t a t =⋅因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，()2Q t a t b t c =⋅+⋅+由表格数据可得，解得，2221977101010111111a b c a b c a b c ⎧=⨯+⨯+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⨯+⨯+⎩120110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，经检验其他几组数据也满足表达式 ()220110Q t t t =-+【小问2详解】由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ()()21010Q t t =-+10t =，所以()()()()22001010110,20201010110,Q Q =-+==-+=()()21010101010Q =-+=，1020m ≤≤所以实数m 的最大值为2021. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<时，列表并填入了部分数据，如下表： x π6- π3x ωϕ+0 π2 π 3π2 2π()f x 1 －1（1）求函数的解析式；()f x （2）当时，求函数的最大值及相应的x 值； ,4π11π12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x （3）求关于x 的不等式的解集．()2f x >【答案】（1） ()2sin 21f x x ⎛=++ ⎝（2）最大值3，或 11π12x =-π12x =（3） πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据表中数据列方程组求解即可；（2）通过的范围求出的范围，然后利用正弦函数的性质求最值； x π23x +（3）利用正弦函数的图像和性质来解不等式即可.【小问1详解】由表可得，解得，π06ππ3sin 013πsin 12A B A B ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎪+=-⎪⎩2π321A B ωϕ=⎧⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪=⎪⎩； ()π2sin 213f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】当时，， 11π124πx -≤≤5ππ2π2336x -≤+≤ π1sin 213x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭当或，即或时，函数取最大值3； ∴π3π232x +=-ππ232x +=11π12x =-π12x =()f x 【小问3详解】关于x 的不等式，即， ()2f x >π2sin 2123x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， π1sin 232x ⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭， ππ5π2π22π,Z 636k x k k ∴+≤+≤+∈， ππππ,Z 124k x k k ∴-+≤≤+∈关于x 的不等式的解集为. ∴()2f x >πππ,π,Z 124k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦22. 已知函数（a 为常数，）．()22x x f x a -=⋅-R a ∈（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；()f x （2）当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m ()f x [)2,0x ∈-()()220f x mf x --≥的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2） 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；()()=f x f x -()()f x f x -=-a （2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设()22x x f x -=--22x x m -≥+[2,0)x ∈-12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解 ()1t t t ϕ=+()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【小问1详解】函数的定义域为，，()22x x f x a -=⋅-R ()22x x f x a --=⋅-当时，即，解得，()()=f x f x -2222x x x x a a --⋅-=⋅-()(1)220x x a -+-=1a =-所以时，函数是偶函数，1a =-()f x 当时，即，解得，()()f x f x -=-()2222x x x x a a --⋅-=-⋅-()(1)220x x a --+=1a =所以时，函数是奇函数，1a =()f x 综上所述，当时，函数是奇函数；1a =()f x 当时，函数是偶函数；1a =-()f x 当时，函数是非奇非偶函数1a ≠±()f x 【小问2详解】为偶函数，根据（1）可知()f x 1,()22.x x a f x -=-=--对于任意的，都有成立，故即[2,0)x ∈-(2)()20f x mf x --≥()22222220x x x x m --------≥， ()()22222x x x x m --+≤+因为，所以对恒成立，220x x -+>22x x m -≥+[2,0)x ∈-设，， 12,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭()1t t t ϕ=+任取，且，即， 121,,14t t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭12t t <12114t t ≤<<则 ， ()()()12121212121111t t t t t t t t t t ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121t t t t t t t t t t t t ---=-+=因为，所以，可得，即 12114t t ≤<<12120,1t t t t -<<()()120t t ϕϕ->()()12t t ϕϕ>所以在上为减函数，，故 ()t ϕ1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭max 117()44t ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭174m ≥所以实数m 的取值范围是 17,.4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立；()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立；()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立；()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。

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2023-2024学年广东省广州市九区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷+答案解析

2023-2024学年广东省广州市九区联考高一上学期期末教学质量监测数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知集合只有一个元素，则实数a的值为()A.1或0B.0C.1D.1或23.方程的根所在的区间是()A. B. C. D.4.设，，，则()A. B. C. D.5.函数的图象大致为()A. B.C. D.6.函数在一个周期内的图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.函数若，，则a的值为()A.4B.4或C.2或D.28.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：放置时间01234茶水温度为了描述茶水温度y与放置时间x min的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为参考数据：，()A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题为真命题的是()A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则10.设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如令函数，则()A.B.的最大值为0，最小值为C.D.与的图象没有交点11.已知函数，则()A.若，则B.不等式的解集是C.函数，的最小值为D.若，且，则12.已知函数，则()A.当时，的最小值为0B.若存在最小值，则a的取值范围为C.若是减函数，则a的取值范围为D.若存在零点，则a的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东高一上学期期末数学试题(解析版)

广东高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．关于命题“，”，下列判断正确的是（ ） x ∃∈N 220x x +=A ．该命题是全称量词命题，且是真命题 B ．该命题是存在量词命题，且是真命题 C ．该命题是全称量词命题，且是假命题 D ．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.0x =【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 0x =220x x +=故选:B.2．设集合，，则（ ） {}2,1,0,1,2A =--(){}230B x x x =+≤A B = A ． B ．C ．D ．{}1,0-{}1,2{}2,1,0--{}0,1,2【答案】A【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.B A B ⋂【详解】因为，，则.(){}323002B x x x x x ⎧⎫=+≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭{}2,1,0,1,2A =--{}1,0A B ⋂=-故选：A.3．已知幂函数的图象过点，则（ ） ()f x (2,16)()f x =A ． B ．C ．D ．4x 3x 6x 5x 【答案】A【分析】设，代入点，即可得，即可得答案. ()f x x α=(2,16)4α=【详解】解：设，则， ()f x x α=41(2)262f α===得， 4α=所以． 4()f x x =故选：A.4．已知，则（ ） 0.1,cos 2,2a ln b c π-===A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>【答案】B【分析】根据对数函数，指数函数，余弦函数的性质，求出的范围，即可比较出大小. ,,a b c 【详解】因为，所以． 0.1ln π120cos2->>>>a c b >>故选：B5．若定义在上的函数满足则“为无理数”是“2023”的R ()f x ()2023,,0,,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数x ()()f f x =（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合已知条件分析判断即可. 【详解】当为无理数时，为有理数，则. x ()0f x =()()2023f f x =当为有理数时，为有理数，则. x ()2023f x =()()2023f f x =所以当时，，()()2023f f x =x ∈R 故“为无理数”是“”的充分不必要条件. x ()()2023f f x =故选：A 6．函数的部分图像大致为（ ）()22111x f x x +=-+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数的定义域为，，因此()22111x f x x +=-+R ()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C ，D 不满足； ()f x R y 又，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. ()1102f =>故选：A7．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）（参考数据：） lg 20.3,lg 30.48≈≈A ．第5代种子 B ．第6代种子 C ．第7代种子 D ．第8代种子【答案】C【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.x 115x -【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得．因为x 115x -171510x -≥715log 101x ≥+，故种子数量首次超过1000万粒的是第7715lg1077log 101111 6.9lg15lg 3lg 5lg 31lg 2+=+=+=+≈++-7代种子． 故选：C. 8．函数的零点所在区间为（ ） ()21log 12x f x x =-+A ． B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C【分析】根据函数的单调性和零点存在定理，即可求得函数的零点所在的区间. ()f x 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 12xy =()0,∞+2log y x =-()0,∞+所以在上单调递减.()f x ()0,∞+， ()2131log 11022f =-+=>当时，， ()0,1x ∈()()10f x f >>， ()22112log 21024f =-+=>， ()223193log 31log 328f =-+=-因为，所以，3222293log 2log log 382<==<()293log 308f =-<，()241154log 410216f =-+=-<所以，所以的零点所在区间为. ()()230f f <()21log 12xf x x =-+()2,3故选：C ．二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，则 0a b >>0m >a b m m>1a b <<33a b >C ．若且，则 D ．若正数a ，b 满足，则0x >1x ≠1ln 2ln x x +≥2a b +=112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误； 当时，，C 错误； ()0,1x ∈1ln 0ln x x+<正数a ，b 满足，则， 2a b +=()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，D 正确. 1a b ==故选：AD.10．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） αPA ．B ．C ．D ．tan α=sin()α-=cos(π)α-=πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AB【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A ；求得sin αα==tan α的值判断选项B ；求得的值判断选项C ；求得的值判断选项D.sin()α-cos(π)α-2πcos α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】角的终边与单位圆的交点为 αP则A 判断正确； sin tan ααα===所以B 判断正确； ()sin sin αα-=-=C 判断错误； ()cos πcos αα-=-=D 判断错误.πcos sin 2αα⎛⎫-== ⎪⎝⎭故选：AB11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()221f x ax bx =--A ．若是偶函数，则()f x 0b =B ．若的解集是，则 ()0f x <()1,1-1b a =C ．若，则恒成立1a =()0f x >D ．，，在上单调递增 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性的定义求出的值，可判断A 选项；利用二次不等式的解集与系数的关系b 可判断B 选项；当时，计算可判断C 选项；利用一次函数与二次函数的单调性可判断D 选1a =∆项.【详解】对于A 选项，函数的定义域为，若函数为偶函数，则， ()f x R ()f x ()()f x f x -=即，即对任意的恒成立，则，A 对； 222121ax bx ax bx +-=--40bx =x ∈R 0b =对于B 选项，若不等式的解集为，()0f x <()1,1-则且、为方程的两根，则，解得，故，B 对；0a >1-1()0f x =111211aba ⎧-⨯=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩10a b =⎧⎨=⎩1b a =对于C 选项，若，则，，1a =()221f x x bx =--2Δ440b =+>故不恒成立，C 错；()0f x >对于D 选项，当时，因为，则在上单调递增， 0a =0b <()f x (),0∞-当时，函数的对称轴为直线且， a<0()f x b x a =0ba>由二次函数的单调性可知，函数在上单调递增， ()f x (),0∞-因此，，，在上单调递增，D 对. 0a ∀≤0b <()f x (),0∞-故选：ABD.12．函数满足，，，则（ ）()f x ()()22f x f x x -+=()()118f x f x x +--=x ∈R A ．B ． ()24f =()()3118f f +=C ．为奇函数D ．()2y f x x =-()()20f x f x ++≥【答案】BCD【分析】利用赋值法可判断AB 选项；令，利用函数奇偶性的定义可判断C 选()()2g x f x x =-项；根据已知条件推导出，再结合以及等式的可加性可()()288f x f x x +--=+()()22f x f x x +-=判断D 选项.【详解】在等式中，令，可得，()()22f x f x x +-=0x =()00f =在等式中，令，可得，A 错；()()118f x f x x +--=1x =()()2088f f =+=在等式中，令，可得，①()()22f x f x x +-=1x =()()112f f +-=在等式中，令，可得，② ()()118f x f x x +--=2x =()()3116f f --=①②可得，B 对；+()()3118f f +=令，其中，则，()()2g x f x x =-x ∈R ()()()()220g x g x f x f x x +-=+--=即，故函数为奇函数，C 对；()()g x g x -=-()2y f x x =-因为，则，()()118f x f x x +--=()()()()()21128188f x f x f x f x x x +--+=+--=+=+⎡⎤⎣⎦又因为，()()22f x f x x +-=上述两个等式相加可得，D 对. ()()()222288220f x f x x x x ++=++=+≥故选：BCD.三、填空题13．______.325661log 5log 2log 2log 182-⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭【答案】9【分析】利用指数、对数的运算性质以及换底公式计算可得所求代数式的值.【详解】原式. ()36ln 5ln 22log 2188129ln 2ln 5=-⨯+⨯=-+=故答案为：.914．写出一个同时具有下列性质①②的函数：______．()f x ①对、，；②在其定义域内单调递增． 1x ∀20x >()()()1212f x x f x f x =+()f x 【答案】（答案不唯一，均满足） ()2log f x x =()()log 1a f x x a =>【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果. 【详解】取，、，则()2log f x x =1x ∀()20,x ∈+∞，满足①，()()()()12212212212log log log f x x x x x x f x f x ==+=+在定义域内单调递增满足②，()2log f x x =()0,∞+故答案为：（答案不唯一，均满足）．()2log f x x =()()log 1a f x x a =>15．《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台.诗里的叠扇，就是折扇.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆1S 心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与时，扇面为“美观扇面”.若扇面为θ2S 1S 2S“美观扇面”，扇形的半径10，则此时的扇形面积为__________.R =【答案】(503π【分析】根据扇形的面积公式结合题意列方程求出，从而可求出. θ1S 【详解】因为与所在扇形的圆心角分别为，1S 2S ,2θπθ-所以. ()2122121222R S S R θθπθπθ⋅⋅==--⋅由，得，2θπθ=-(3θπ=所以.((2111310050322S Rθππ=⋅⋅=⨯⨯=故答案为：(503π16．若存在实数、，使得函数在区间上单调递增，且a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b ()f x 在区间上的取值范围为，则的取值范围为______. [],a b [],ma mb m 【答案】416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】当时，可得出，分析函数在区间上的单调性，可得19x ≤≤()910f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()f x []1,9出，根据单调性可得，则关于的方程在上至少有两个不等[][],1,3a b ⊆()()f a maf b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩x ()f x mx =[]1,3的实根，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，m m 解之即可.【详解】当时，， 19x ≤≤()()2199109100x x x x x x x x---++-==≤所以，当时， ，19x ≤≤()991010f x x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x []1,3[]3,9因为存在实数、，使得函数在区间上单调递增， a []1,9b ∈()()9100f x x x x=+->[],a b 则，即，[][],1,3a b ⊆13a b ≤<≤因为在区间上的取值范围为，则，()f x [],a b [],ma mb ()()f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以，方程在上至少有两个不等的实根，()f x mx =[]1,3由可得，()f x mx =()211090m x x +-+=令，则函数在上有两个不等的零点，()()21109g x m x x =+-+()g x []1,3①当时，即当时，在上单调递减， 10m +≤1m ≤-()g x []1,3此时，函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；()g x []1,3②当时，即当时，因为函数在上有两个零点，10m +>1m >-()g x []1,3所以，，解得.()()()Δ100361051311039120m m g m g m ⎧=-+>⎪⎪<<⎪+⎨⎪=≥⎪=-≥⎪⎩41639m ≤<综上所述，实数的取值范围是.m 416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：.416,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.四、解答题17．已知非空集合．{}{}232,280A x a x a B x x x =-<<=-->(1)若，求．0a =()R A B ð(2)若“”是“”的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围． x A ∈x B ∈【答案】(1) (){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð(2) (1,7)-【分析】（1）先分别化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解；,A B （2）根据题意可知不是的子集，也不是的子集，由此列出相应的不等式组，解得答案. A B B A 【详解】（1）因为，所以，0a ={}{}3230A x a x a x x =-<<=-<<因为或，{}{}{2280(4)(2)02B x x x x x x x x =-->=-+>=<-}4x >所以， {}R 24B x x =-≤≤ð故．(){}R 34A B x x ⋃=-<≤ð（2）因为“”是“”的既不充分也不必要条件， x A ∈x B ∈所以，同时不是的子集，也不是的子集， A ≠∅A B B A 因为，，所以，则， A ≠∅{}32A x a x a =-<<32a a -<3a >-又或，所以必不是的子集，{2B x x =<-}4x >B A 因为不是的子集，所以，解得，A B 2234a a >-⎧⎨-<⎩17a -<<又，故， 3a >-17a -<<所以a 的取值范围为． (1,7)-18．已知角满足.αcos 7sin 0αα+=(1)若，求的值； π02α-<<sin ,cos αα(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.βαx sin 3cos 2sin cos ββββ-+【答案】(1)， sin α=cos α(2). 209-【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解； （2）求出，由弦化切将变形为求解.1tan 7β=sin 3cos 2sin cos ββββ-+tan 32tan 1ββ-+【详解】（1）因为，所以. π02α-<<sin 0,cos 0αα<>由，得， cos 7sin 0αα+=cos 7sin αα=-又因为，所以，22sin cos 1αα+=250sin 1α=sin α=cos α=（2）因为角的终边与角的终边关于轴对称， βαx 所以，2π,Z k k βα=-+∈由，得，cos 7sin 0αα+=1tan 7α=-则， 1tan tan 7βα=-=所以. 13sin 3cos tan 320712sin cos 2tan 19217ββββββ---===-++⨯+19．已知函数，.()2f x ax bx =+()0,1a ∈(1)若，且，求的最小值； ()11f =0b >11a b+(2)若，求关于的不等式的解集. ()11f =-x ()10f x +>【答案】(1)4(2)11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或【分析】（1）由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得1a b +=11a b+a b +的最小值； 11a b+（2）由已知可得，可得出，由题意可得，利用二次不等1b a =--()()()1110f x ax x +=-->11a>式的解法解原不等式即可.【详解】（1）解：因为，，，()0,1a ∈0b >()11f a b =+=所以，，当且仅当时，等号成立，()1111224a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭12a b ==因此，的最小值为. 11a b+4（2）解：，可得，则，()11f a b =+=-1b a =--()()()()2111110f x ax a x ax x +=-++=-->，则，解不等式可得或.()0,1a ∈ 11a>()()110ax x -->1x <1x a >因此，不等式的解集为.()10f x +>11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或20．已知函数.()()22ln 12nf x x x =+-+(1)证明：当时，在上至少有两个零点；1n =()f x ()0,∞+(2)当时，关于的方程在上没有实数解，求的取值范围. 2n =x ()f x m =[]1,2m 【答案】(1)证明见解析； (2). ()(),362ln 2,-∞⋃++∞【分析】（1）通过零点存在性定理即可判断零点个数；（2）易判断函数的单调性，求出的值域，结合题设条件，即可求得的取值范围.()f x ()f x m 【详解】（1）当时，，1n =()22ln 2f x x x =-+因为，，，2110e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()2e 4e 0f =-<所以，，()110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()1e 0f f <因此，，，，即在上至少有两个零点.11,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()21,e x ∈()10f x =()20f x =()f x ()0,∞+（2）当时，，易知在上单调递增.2n =()22ln 2f x x x =++()f x []1,2又，，即的值域为, ()13f =()262ln 2f =+()f x []3,62ln 2+且关于的方程在上没有实数解， x ()f x m =[]1,2所以的取值范围为.m ()(),362ln 2,-∞⋃++∞21．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x ，满足，则称为“类指数()f x ()2xf x =()f x 函数”．(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由； ()123xg x =-()g x (2)若为“类指数函数”，求a 的取值范围．()21x ah x a =--【答案】(1)不是 “类指数函数” ()g x (2) ()3-+【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数()g x ()()0f x g x -=根；（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步()h x ()()0f x h x -=化简、换元转化为一元二次方程求解. 【详解】（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x 满足方程()123xg x =-，. ()()0f x g x -=()()1223x xf xg x -=-+由于函数与在R 上均单调递增，所以在R 上均单调递增，至多有一个零2x y =13xy =-()()f x g x -点，所以不是 “类指数函数”. ()g x （2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程()21xah x a =--()()0f x h x -=有两个不同的实数根，2021x x aa -=--整理得，()()22120x x a a -+-=设，则方程有两个不等的正根，20x t =>()210t a t a -+-=，由，解得或()21212Δ140100a a t t a t t a ⎧=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩()2Δ140a a =++>3a <--3a >-+由，解得；由，解得. 1210t t a +=+>1a >-120t t a =->a<0所以.30a -+<故a 的取值范围． ()3-+22．已知是定义在上的奇函数，其中、，且. ()24x af x x b-=+R a b ∈R ()21f =(1)求、的值；a b(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；()f x [)2,+∞(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求()222g x mx x m =-+-[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =的取值范围.m 【答案】(1)，0a =4b =(2)在上为减函数，证明见解析 ()f x [)2,+∞(3) []0,1【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，再结合可求得、的值，然后验证出()00f =()21f =a b 函数为奇函数即可；()f x （2）判断出函数在上为减函数，然后任取、且，作差()f x [)2,+∞1x [)22,x ∈+∞12x x >，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； ()()12f x f x -()()12f x f x -（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时()f x []2,4A ()g x []0,1B A B ⊆求实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分、、和四种情况m ()f x 0m =01m <≤12m <≤m>2讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． ()g x 【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， ()24x a f x x b-=+R ()00af b =-=0a =则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇()24x f x x b =+()28212f b ==+4b =()244x f x x =+()f x 函数.对任意的，，故函数的定义域为， x ∈R 244x +≥()244xf x x =+R 则，故函数为奇函数，合乎题意， ()()()224444xxf x f x x x --==-=-+-+()244x f x x =+因此，，.0a =4b =（2）解：函数在上单调递减，证明如下：()f x [)2,+∞任取、且，即，则，，1x [)22,x ∈+∞12x x >122x x >≥210x x -<124x x >则， ()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444440444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==<++++++所以，，故函数在上单调递减.()()12f x f x <()f x [)2,+∞（3）解：若对任意的，总存在，使得成立， []12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， ()f x []2,4()g x []0,1因为函数在上单调递减，()f x []2,4则当时，，， []2,4x ∈()()max 21f x f ==()()min 445f x f ==所以，记在区间内的值域为.()f x []2,44,15A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦①当时，在上单调递减，0m =()22g x x =-+[]0,1则，，得在区间内的值域为. ()()max 02g x g ==()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,1B =因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =②当时，，在上单调递减，且， 01m <≤11m≥()g x []0,1[)21,2m -∈则，，得在区间内的值域为， ()()max 02g x g m ==-()()min 10g x g ==()g x []0,1[]0,2B m =-因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 12m <≤1112m ≤<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max02g x g m ==-()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，所以，该不等式组无解；12,2B m m m ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦142521m m m ⎧-+-≤⎪⎨⎪-≥⎩④当时，，在上单调递减，在上单调递增，2m >1102m <<()g x 10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()()max 10g x g ==()min 112g x g m m m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，不符合题意.12,0B m m ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦综上，实数的取值范围为.m []0,1【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，.()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()max min f x g x <（2）若，，有成立，则； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()max max f x g x <（3）若，，有成立，则；[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()min max f x g x <（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。

2023-2024学年广东省广州高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省广州高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省广州高一上册期末数学试题一、单选题1．“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当α是第四象限角时，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈，即2α是第二或第四象限角.当324απ=为第二象限角，但32πα=不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A2．已知集合{}12A x x =->，集合{}10B x mx =+<，若A B A ⋃=，则m 的取值范围是（）A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．1,0(0,1]3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】将集合A 化简，根据条件可得B A ⊆，然后分0m =，0m <，0m >讨论，化简集合B ，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因为1212x x ->⇒->或12x -<-，解得3x >或1x <-即{}31A x x x =><-或，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆当0m =时，B =∅，满足要求.当0m >时，则110mx x m+<⇒<-，由B A ⊆，可得111m m-≤-⇒≤，即01m <≤当0m <时，则110mx x m+<⇒>-，由B A ⊆，可得1133m m -≥⇒≥-，即13m -≤<综上所述，1,13m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:B.3．周期为π的函数cos()y x ωϕ=+0ω>0ϕπ<<的部分图像如图所示，则ϕ=（）A ．3π-B ．23πC ．6πD ．56π【正确答案】C【分析】根据函数周期求得2ω=，结合图像知()cos()063f ππϕ=+=，从而求得ϕ.【详解】函数周期为π，则2ω=，()cos()063f ππϕ=+=，则6k πϕπ=+，Z k ∈，又0ϕπ<<，则6πϕ=故选：C4．设函数()2log f x x x m =+-，若函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，则m 的取值范围是（）A ．7,54⎫⎛- ⎪⎝⎭B ．7,114⎫⎛- ⎪⎝⎭C ．9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭D ．9,114⎫⎛ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上单调递增，结合零点存在性定理，函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，需1()04(8)0f f ⎧<⎪⎨⎪>⎩，求解即可.【详解】函数()2log f x x x m =+-在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上递增，则函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，需22111(log 0444(8)8log 80f m f m ⎧=+-<⎪⎨⎪=+->⎩，解得7114m -<<.故选：B.5．设函数2()1f x mx mx =--，若对于[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】将恒成立问题转化为函数在区间上的最值问题，故只需研究()f x 在[1,3]x ∈的单调性并求出其最小值，再解不等式即可.【详解】当0m =时，()1f x =-，由1m ->-，得1m >，不符合题意；当0m ≠时，函数()f x 的对称轴为12x =，当0m >时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递增，此时函数min ()(1)1f x f ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需1m ->-，解得1m >，所以1m >；当0m <时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递减，此时函数min ()(3)61f x f m ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需61m m ->-，解得17m >，不符合题意；综上：实数m 的取值范围是(1,)+∞.故选：B6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为0T ，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T 满足()01e a ha tT T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，h 为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.50≈，lg 50.70≈，lg11 1.04≈.）（）A ．4分钟B ．5分钟C ．6分钟D ．7分钟【正确答案】C【分析】根据已知条件求出参数h 的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.【详解】根据题意可知25C a T =︒，080C T =︒，()01e a ha t T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即1t =，75C T =︒，所以()1175258025e h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得11e e 15010log log 5511h ==，则1e110log 11h =，所以要使得该茶降至55C ︒，即55C T =︒，则有()155258025e th⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得11e e306log log 5511t h ==，故1e1e 1e66log lg 116lg 6lg11lg 2lg 3lg1111log 101011lg10lg111lg11log lg 1111t h -+-=⨯====--0.30.5 1.04611.04+-==-，所以大约需要等待6分钟.故选：C.7．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()112,2f x f x f x ++-=+为偶函数，若()02f =，则1151()k f k ==∑（）A ．116B ．115C ．114D ．113【正确答案】C【分析】由()()112f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4，再结合()2f x +为偶函数，可得()f x 也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.【详解】由()()112f x f x ++-=，得()()22f x f x ++=，即()()22f x f x +=-，所以()()()()42222f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，又()2f x +为偶函数，则()()22f x f x -+=+，所以()()()4f x f x f x =-=-，所以函数()f x 也为偶函数，又()()112f x f x ++-=，所以()()1+3=2f f ，()()242f f +=，所以()()()()12344f f f f +++=，又()()112f f +-=，即()212f =，所以()11f =，又()()022f f +=，()02f =，()20f ∴=，所以()()()()()()()()115112342812342820114k f k f f f f f f f =⎡⎤=+++⨯+++=⨯++=⎣⎦∑故选.C8．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（）A ．125B ．85C ．165D ．185【正确答案】A由一条对称轴和一个对称中心可以得到131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ，由() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可以得到191312122T ππ-≤，算出ω的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Zω=+∈∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤∴12222ππωω≤⋅⇒≤①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω=此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k ≥时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.故选：A.本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.二、多选题9．若01a <<，则（）A ．()()log 1log 1a a a a -<+B ．()log 10a a +<C ．()()113211a a -<-D ．11a a -<【正确答案】BD【分析】利用指数函数的图象及性质，对数函数的图象性质分析即可.【详解】当01a <<时，则0111a a <-<<+，又函数()log 01a y x a =<<在()0,∞+上是减函数，所以()log 10a a ->，()log 10a a +<，A 错误，B 正确；()1xy a =-是减函数，所以()()113211a a >--，C 错误，x y a =也是减函数，所以101a a a -<=，D 正确.故选：BD.本题考查指数式、对数式比大小问题，考查指数函数、对数函数的图象及性质的运用，难度一般.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（）A ．点P 再次进入水中时用时30秒B ．当水轮转动50秒时，点P 处于最低点C ．当水轮转动150秒时，点P 距离水面2米D ．点P 第二次到达距水面(1米时用时25秒【正确答案】BCD【分析】以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点P 距离水面的高度2sin 1306H ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，逐一分析各选项即可求解.【详解】解：由题意，角速度26030ππω==弧度/秒，又由水轮的半径为2米，且圆心O 距离水面1米，可知半径0OP 与水面所成角为6π，点P再次进入水中用时为264030πππ+⨯=秒，故A 错误；当水轮转动50秒时，半径0OP 转动了550303ππ⨯=弧度，而53362πππ-=，点P 正好处于最低点，故B 正确；以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点P 距离水面的高度()sin (0,0)H A t B A ωϕω=++>>，由max min 31H A B H A B =+=⎧⎨=-+=-⎩，所以21A B =⎧⎨=⎩，又角速度26030ππω==弧度/秒，0=t 时，06xOP π∠=，所以30πω=，6πϕ=-，所以点P 距离水面的高度2sin 1306H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当水轮转动150秒时，将150t =代入，得2H =，点P 距离水面2米，故C 正确；将1H =代入2sin 1306H ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，得23063t k ππππ-=+，或223063t k ππππ-=+，即6015t k =+，或6025t k =+()k N ∈．所以点P第二次到达距水面(1+米时用时25秒，故D 正确．故选：BCD ．11．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中, a b R ∈，且的0ab ≠，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R∈恒成立，则（）A ．56f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数D ．4f x π⎛⎫+ ⎝⎭是奇函数【正确答案】BC【分析】由()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可知4x π=为()sin cos f x a x b x =+的一条对称轴，结合辅助角公式，可得a b =，进而可得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再分别判断选项即可.【详解】由题意得，()()sin cos sin f x a x b x x ϕ=++，因()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，故4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b +=a b =，故()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于选项A ，9sin 520f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5sin612f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，虽然95sin sin 2012ππ>，但时a 正负不知，故5f π⎛⎫ ⎪⎝⎭与6f π⎛⎫⎪⎝⎭无法比较大小，故A 错；对于选项B ，因55sin cos sin 22444f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，因sin 4f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，故C 正确；对于选项D ，sin cos 42f x x x ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故D 错.故选：BC.本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数的图像性质.对于图像性质问题，一般情况下需先把解析式化成()()sin ωφf x A x B =++的形式，再结合sin y x =的图像性质即可解决.12．设函数()f x 是定义在R 上的函数，满足()()0f x f x --=，且对任意的x R ∈，恒有()()22f x f x +=-，已知当[]0,2x ∈时，()22x f x -=，则有（）A ．函数()f x 是周期函数，且周期为2B ．函数()f x 的最大值是4，最小值是1C ．当[]2,4x ∈时，()22xf x -=D ．函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减【正确答案】BD【分析】推导出函数()f x 的周期，可判断A 选项的正误；求出函数()f x 在区间[]0,2上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B 选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数()f x 在[]2,4上的解析式，可判断C 选项的正误；利用C 中的解析式结合周期性可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由已知可得()()()222f f f x x x -=+-=，则()()4f x f x +=，故函数()f x 是周期函数，且周期为4，A 选项错误；对于B 选项，当[]0,2x ∈时，()[]221,4xf x -=∈，由于函数()f x 为偶函数，则当[]2,0x ∈-时，()[]1,4f x ∈，所以，当[]2,2x ∈-时，()[]1,4f x ∈，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 的最大值是4，最小值是1，B 选项正确；对于C 选项，当[]2,0x ∈-时，()()22xf x f x +=-=，当[]2,4x ∈时，[]42,0x -∈-，则()()()242422x x f x f x +--=-==，C 选项错误；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在[]2,0-上单调单调递增，在[]0,2上单调递减，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减，D 选项正确.故选：BD.三、填空题13．已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【正确答案】()2f x x=【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.故()2f x x=14．如图所示，弧田是由圆弧 AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧 AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【正确答案】6π-【分析】根据题意得34AOB πα∠==，进而根据扇形面积公式计算即可得答案.【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，设AOB α∠=，因为弧田的弧 AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，所以34πα=，所以阴影部分的面积为113444sin 622παπ⨯⨯-⨯⨯⨯=-所以弧田的面积是6π-故6π-15．已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【正确答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x yx y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y yx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为.9416．已知函数()f x 满足()21,0lg ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()()22420f x mf x m -++=⎡⎤⎣⎦有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【正确答案】[]1,3【分析】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，原问题等价于22420t mt m -++=有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x 的图象如下图所示，由题意，方程22[()]4()20f x mf x m -++=有五个不相等的实数根，即22420t mt m -++=有一个根()11,t ∈+∞，一个根(]20,1t ∈或有一个根10t =，一个根(]20,1t ∈令22()42h t t mt m =-++，当有一个根()11,t ∈+∞，一个根(]20,1t ∈则()()2222Δ4420(1)1420m m h m m ⎧=--+>⎪⎨=-++≤⎪⎩解得：13m ≤≤，当有一个根10t =，一个根(]20,1t ∈则()()()22222Δ4420114204102220m m h m m m m ⎧=--+>⎪⎪=-++≥⎪⎨-<-≤⎪⎪+=⎪⎩解得：m ∈∅，综上，实数m 的取值范围为[]1,3故[]1,3方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解四、解答题17．已知函数())2cos cos 1f x xx x =+-．（Ⅰ）求()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间；（Ⅱ）若()0,απ∈，223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】（Ⅰ）0,6π⎡⎤⎢⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；（Ⅱ）6.【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得函数()y f x =在R 上的单调递增区间，与[]0,π取交集可得出结果；（Ⅱ）由223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭可得出1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系可求得cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用两角和的正弦公式可求得sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】（Ⅰ）())22cos sin cos 1sin cos 2cos 1f x xx x x x x =+-=+-2cos 22sin 26π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x ．令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，得36k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ．令0k =，得36x ππ-≤≤；令1k =，得2736x ππ≤≤.因此，函数()y f x =在区间[]0,π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎣⎦，2π,π3轾犏犏臌；（Ⅱ）由223f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．()0,απ∈ ，7,666πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又π11sin 632α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，,62ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭．因此，sin sin sin cos cos sin3666666πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1221332⎛=-⨯= ⎝⎭．本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.18．已知函数()log ()(01)a g x x a a a =->≠，.（1）当2a =时，解不等式()2g x ≤；（2）若不等式()log (5)2a g x a x +-≤在x ∈13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）{}26x x <≤；（2）.【分析】（1）根据对数函数的定义域及单调性求解即可；（2）由题意原问题转化为222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立，分1a >与01a <<两种情况分类讨论，求出最值解不等式即可.【详解】(1)2a =时，函数2()log (2)g x x =-定义域为(2,)+∞()2g x ≤∴22log (2)log 4x -≤∴224x x >⎧⎨-≤⎩解得26x <≤∴不等式()2g x ≤的解集为{}26x x <≤(2)设()()log (5)a f x g x a x =+-，(,5)x a a ∈由题意知13231501a a a a a a ⎧->⎪⎪+<⎨⎪>≠⎪⎩且，解得112a a >≠且()log ()log (5)a a f x x a a x =-+-221(65)a og x ax a =-+-，(,5)x a a ∈ ()()log (5)2a f x g x a x =+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立∴222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立令22()65h x x ax a =-+-，x ∈13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∴()h x 的图象是开口向下，对称轴方程为3x a =的抛物线.①1a >时，222log (65)log a a x ax a a -+-≤在1312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于22max ()(3)4h x h a a a==≤解得0a =，这与1a >矛盾.②当112a <<时，222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于22min ()(31)41h x h a a a=+=-≥解得3a ≥或3a ≤-又 112a <<1a <综上所述，实数a的取值范围是[3关键点点睛：由题意转化为222log (65)log a a x ax a a -+-≤在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立，分类讨论去掉对数符号，转化为二次函数在13,312a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上的最大值或最小值，是解题的关键所在，属于中档题.19．已知函数()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=++><<的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象先向右平移π3个单位长度，然后将图象上的每个点横坐标变为原来的2倍，再向上平移2个单位长度后，得到函数()g x 的图象，()g x 图象关于y 轴对称且经过坐标原点.(1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)若对任意π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()210f x af x a -++≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()πsin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()1cos g x x =-；(2)1a ≤-.【分析】（1）由题可得周期进而得2ω=，然后利用图象变换规律可得()2πsin 23x g b x ϕ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，然后根据三角函数的性质结合条件即得；（2）设()1,02t f x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，()210h t t at a =-++≤恒成立，可得()10200h h ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，即得.【详解】（1）由题可得函数的最小正周期为π，又()()()sin 0,0πf x x b ωϕωϕ=++><<，所以2ππT ω==，即2ω=，()()sin 2f x x b ϕ=++，由题可得()2πsin 23x g b x ϕ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，又()g x 图象关于y 轴对称且经过坐标原点，所以2πππ,Z 32k k ϕ-=+∈，即7ππ,Z 6k k ϕ=+∈，0πϕ<<，当1k =-时满足条件，即6πϕ=，又2πsin 203b ϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，故1b =-，故()πsin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()1cos g x x =-；（2）由π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设()1,02t f x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即210t at a -++≤恒成立，设()21h t t at a =-++，则()21h t t at a =-++的最大值小于等于零即可，故满足()10200h h ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，即11104210a a a ⎧+++≤⎪⎨⎪+≤⎩，解得1a ≤-，即实数a 的取值范围为1a ≤-.20．已知在定义域内单调的函数满足()12ln 213xf f x x ⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭恒成立.(1)设()1ln 21xf x x k +-=+，求实数k 的值；(2)解不等式()()272ln e 21xx f x x +>-+-+；(3)设()()ln g x f x x =-，若()()2g x mg x ≥对于任意的[]1,2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围，并指出取等时x 的值.【正确答案】(1)1k =(2)7(,0)3-(3)2m ≤-，当且仅当2log 1)x =时等号成立，【分析】（1）由题意列方程求解，（2）由函数的单调性转化后求解，（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解，【详解】（1）由题意得()1ln 21x f x x k =-++，12ln 213()k f k k k +=-+=，由于1ln 21ky k k =-++在(0,)k ∈+∞上单调递增，观察得12ln 213k k k -+=+的解为1k =，（2）由于()f x 在定义域内单调，所以()1ln 21x f x x +-+为常数，由（1）得()1ln 121x f x x =-++，()f x 在(0,)+∞上单调递增，()12ln()1ln e 1(212)xx x f x x x ---+=---=++，故原不等式可化为()72()f x f x +>-，由270027x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩得703x -<<，故原不等式的解集为7(,0)3-（3）121022)1(1xx x g x -=+=+>+()()2g x mg x ≥可化为241412112144242x x x x x x x x xxm ++-+≤⋅==++++对[]1,2x ∈恒成立，设21[3,1]x t =-+∈--，则22211242(1)1233x x x t t t t t t t t-+===+-+-+-+-，[3,1]t ∈--，由基本不等式得2t t+≤-，当且仅当t =故当t =min 1()323t t=+-，故2m ≤-，当且仅当2log 1)x =时等号成立，。

广东省广州市高一上学期期末(线上)数学试题(解析版)

广东省广州市高一上学期期末(线上)数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，则的真子集个数是（ ）{}21M x x ==M A ． B ． C ． D ．3456【答案】A【分析】首先求集合中的元素个数，再根据集合的真子集个数公式求解.【详解】因为，所以，即，集合中有两个元素，所以的真子集个数是21x =1x =±{}11M =-，M .2213-=故选：A2．命题“”的否定是（ ） 2[0,),0∀∈+∞+≥x x x A ．B ．2[0,),0∀∈+∞+<x x x 2(,0),0∀∈-∞+≥x x x C ．D ．2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 2000[0,),0∃∈+∞+≥x x x 【答案】C【分析】全称命题的否定形式，变，变即可.∀∃20+≥x x 2000x x +<【详解】命题“”为全称命题，则命题的否定为，2[0,),0∀∈+∞+≥x x x 2000[0,),0∃∈+∞+<x x x 故选：C ．【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定形式，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 3．在中，，则（ ）ABC A cos A =1tan 3B =()tan A B -=A ． B ． C ． D ．22-12-12【答案】A【解析】根据已知条件计算出的值，然后根据两角差的正切公式结合的值计算出tan A tan ,tan A B 的值. ()tan A B-【详解】因为，所以，所以，cos A =()0,A π∈34A π=tan 1A =-所以，()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.4．已知，，，则（ ） 0.62a =sin 2b =0.3log 1.3c =A ． B ． C ． D ．c<a<b a b c <<b a c <<c b a <<【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质把与0和1比较后可得． ,,a b c 【详解】因为，，，所以． 0.621>0sin 21<<0.3log 1.30<c b a <<故选：D ．5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当()f x 3x y =y x =()g x 0x >时，，则（ ） ()()g x f x x =-(9)g -=A ． B ．6 C ． D ．76-7-【答案】D【分析】先求出，再求出即得解.3()log f x x =(9)7g =-【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则． ()y f x =3x y =3()log f x x =由题设，当时，，则． 0x >3()log g x x x =-3(9)log 99297g =-=-=-因为为奇函数，所以. ()g x (9)(9)7g g -=-=故选：D ．6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第sin sin αβ=αβcos 0θ<θ二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误； sin sin αβ=αβy 对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误； cos 0θ<θx 综上，其中正确命题是②，只有个. 1故选：A 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.7．函数的零点个数为（ ）()23log 1xf x x =-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】所求零点个数等价于与图象的交点个数，作出函数图象，由数形结合2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可判断.【详解】函数的零点即的解，即与()23log 1xf x x =-2213log 10log 3xxx x ⎛⎫-=⇒= ⎪⎝⎭2log y x =图象的交点，如图所示， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭从函数图象可知，与有两个交点.2log y x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C8．若函数的图象与轴有交点，且值域，则()[]sin (0,,0)4f x x x πωπω⎛⎫=-∈> ⎪⎝⎭x [)M ⊆+∞ω的取值范围是（ ） A ．B ．14[,234[,2]3C ．D ．11[,]43119[,]412【答案】D【分析】由函数有零点，可求得，由函数的值域可求得，()f x 14ω≥()f x [)M ⊆+∞1912ω≤综合二者即可得到的取值范围.ω【详解】定义在上的函数，[]0,π()sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭则，由函数有零点，所以，解得； ,444x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x 04πωπ-≥14ω≥由函数的值域，所以，解得； ()f x M ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎪⎣⎭443ππωπ-≤1912ω≤综上，的取值范围是．ω119,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知x ，y ∈R ，且<0，则（ ）11x y <A ．x -y >0 B ．sin x -sin y >0C ．>0D ．>2 22x y -y x x y+【答案】ACD【分析】由不等式的性质得出，再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本不等式0x y >>即可求解.【详解】因为x ，y ∈R ，且<0， 11x y<且，， 110y x x y xy -∴-=<0,0x y <<0y x ∴<<A ，由题意可得，故A 正确；0x y ->B ，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sin x -sin y >0，故B 错误； 0y x <<C ，由，则，即，故C 正确； 0y x <<22y x <220x y ->D ，因为，则，即， 0y x <<0,0y x x y >>2y x x y +≥=当且仅当，即取等号，又因为，x yy x =x y =0y x <<所以，故D 正确. 2y xx y+>故选：ACD10．下列函数中，最小正周期为的有（ ） πA ． B ．C ．D ．|cos |y x =sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos ||y x =【答案】AB【分析】逐项分析即得.【详解】对于A ，的最小正周期为，故A 正确；|cos |y x =π对于B ，的最小正周期为，故B 正确； sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22ππ=对于C ，的最小正周期为，故C 错误；tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π对于D ，的最小正周期为2，故D 错误. cos ||cos y x x ==π故选：AB.11．下列各式正确的是（ ） A ．设0a >16a =B ．已知，则31a b +=81333a ba⋅=C ．若，则log 2,log 5a a m n ==220m n a +=D ．114511lg 311log log 93+=【答案】ABC【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.【详解】对于A，故A 对；1656a a a===对于B ，，故B 对； 43813333333a b a ba b a a+⋅⋅===对于C ，，，，故C 对；2m a =5n a =()2220m n m n a a a +==对于D ，，故D 错．933334511451111log log log log log 11log log log log 4525109933=+=+=+=+故选：ABC ．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M 位于点，经过t 秒后运动到点，点P 的纵坐标满足0=t (03,P -(),P x y （，，），则下列叙述正确的是（ ） ()()sin y f t R t ωϕ==+0t ≥0ω>π2<ϕA ．筒车转动的角速度 π60ω=B ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为 2-C ．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为60P D ．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到x 轴的距离的最大值为6 (]0,60【答案】ACD【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得ω0(3,P -π3ϕ=-，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A 正确； 2ππ=12060ω=对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以， 0=t M 0(3,P -6R ==所以有， (0)6sin sin f ϕϕ==-=因为，所以，π||2ϕ<π3ϕ=-即， ππ()6sin 603f t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以B 错误； ππ4π(100)6sin 1006sin 66033f ⎛⎛⎫=⨯-==⨯=-⎪ ⎝⎭⎝对于C,由B 可知：盛水筒的纵坐标为， M -x，63x =⇒=±因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，M 故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C 正确； 3x =-M 0P 3(3)6--=对于D,因为，， πππ50(06032t x -=⇒=∈60]所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D 正确．(060]M x故选：ACD三、填空题13．已知，，且，则的最小值是________．0x >0y >41x y +=11x y+【答案】9【分析】，再根据基本不等式求解. ()4111114511y xx y x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】 ()1114145111y xx y x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 又因为 40,00,0y xx y x y>>∴>>由基本不等式得，当且仅当并且 44y x x y +≥=4y x x y =41x y +=所以，所以，即的最小值为. 110,063y x =>=>459y x x y ++≥11x y +9故答案为：914．函数的表达式为，若，则实数的取值集合是______．()y f x =()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩()1f x >x 【答案】{}|2x x >-【分析】分类讨论和不同条件下，即可得到实数的取值集合. 1x ≤1x >()1f x >x 【详解】解：由题意在中，()3,12,1x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩当时，， 1x ≤()3f x x =+当时，解得：()1f x >21x -<≤当时，，1x >()2xf x =当时，解得： ()1f x >1x >综上，2x >-∴满足的实数的取值集合是 ()1f x >x {}|2x x >-故答案为：.{}|2x x >-15．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：．已知新丸经过50天后，体积变为．若一个新丸体积变为e kt V a -=⋅49a 827a，则需经过的天数为______． 【答案】75【分析】由题意，先算出，由此可算出一个新丸体积变为需经过的天数. 1504e 9k -⎛⎫= ⎪⎝⎭827a 【详解】由已知，得，504e 9ka a -=⋅∴． 1504e 9k-⎛⎫= ⎪⎝⎭设经过天后，一个新丸体积变为， 1t 827a 则， 18e 27kt a a -=⋅∴， ()115084e 279t t k -⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，． 13502t =175t =故答案为：75.16．已知是定义在R 上的奇函数，满足，有下列说法： ()=y f x ()()12f x f x +=-①的图象关于直线对称； ()=y f x 3=2x ②的图象关于点对称；()=y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭③在区间上至少有5个零点；()=y f x []0,6④若上单调递增，则在区间上单调递增． []0,1[]2021,2022其中所有正确说法的序号为_______． 【答案】②③④【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭()=y f x []0,6判断③；求得在区间上的单调性判断④ ()=y f x []2021,2022【详解】因为，所以，(1)(2)f x f x +=-(3)()f x f x +=故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R 上的奇函数， ()f x =()y f x 则，所以，(3)()()f x f x f x +==--(3)()0f x f x ++-=故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；=()y f x 3,02⎛⎫⎪⎝⎭由题意可知，，因为，(6)(3)(0)0f f f ===()(3)()f x f x f x =+=--令，可得， 即， 32x =-3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，从而，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭93022f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故函数在区间上至少有5个零点，故③正确； =()y f x [0,6]因为，，202136741=⨯-20223674=⨯且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， ()f x [0,1]()f x [1,0]-故函数在区间上也单调递增，故④正确． ()f x [2021,2022]故答案为：②③④四、解答题17．设 {}{}22,430,0,1,4x U R A x x x B xC x a x a a R x ⎧⎫-==-+≤=<=≤≤+∈⎨⎬-⎩⎭(1)分别求(),U A B A B ⋂⋃ð(2)若，求实数的取值范围B C C = a 【答案】(1)；或 {}23A B x x =<≤ {|3U A B x x ⋃=≤ð}4x ≥(2) ()2,3a ∈【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.【详解】（1）解：解不等式可得，{}{}243013A x x x x x =-+≤=≤≤，{}20244x B x x x x ⎧⎫-=<=<<⎨⎬-⎩⎭所以，或，或； {}23A B x x =<≤ {2U B x x =≤ð}4x ≥{3U A B x x =≤ ð}4x ≥（2）解：由可得，且，B C C = C B ⊆C ≠∅所以，解得，即.214a a >⎧⎨+<⎩23a <<()2,3a ∈18．在平面直角坐标系xOy 中，角以Ox 为始边，点位于角的终边上．α)1P-α(1)求和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)若，求函数的定义域和单调递增区间．(),αππ∈-()()tan f x x α=-【答案】(1)，1sin 2α=-cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭(2)定义域，单调递增区间 |,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z【分析】（1）利用三角函数的定义，结合两角和与差的三角函数转化求解和的值；sin αcos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）求解角，然后利用正切函数的定义域以及单调区间求解即可． α【详解】（1）∵点位于角的终边上，，)1P-α1sin 2α∴=-cos α=1cos cos cos sin sin 4442πππααα⎛⎫∴-=+== ⎪⎝⎭（2），，(),αππ∈- 1sin 2α=-cos α=，所以6πα∴=-()tan 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,62x k k πππ+≠+∈Z ,3x k k ππ∴≠+∈Z 所以函数的定义域为|,3x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 令，解得 ,262k x k k πππππ-+<+<+∈Z 2,33k x k k ππππ-+<<+∈Z 所以函数的单调递增区间 2,,33k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．已知函数（为常数且）的图象经过点， ()x f x b a =⋅,a b 0,1a a >≠(1,8)A (3,32)B （1）试求的值；,a b （2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.11(()0x xm a b+-≥(,1]x ∈-∞m 【答案】（1）；（2）.2,4a b ==3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值. ,a b （2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.m m 【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以()f x (1,8)A (3,32)B 3832a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩2,4a b ==.()2422x x f x +=⋅=（2）原不等式为，即在时恒成立，11(()0x x m a b +-≥11024x x m ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1124x xm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞而在时单调递减，故在时有最小值为，故1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(,1]x ∈-∞1x =1124x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113244⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以实数的取值范围是. 34m ≤m 3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.20．已知函数. 21()sin()cos cos 64f x x x x π=-+-（1）求函数的最小正周期和单调区间；()f x （2）求函数在上的值域. ()f x [0,]2π【答案】⑴，递增区间为，递减区间 T π=[,36k k k Z ππππ-+∈2[,],63k k k Z ππππ++∈⑵ 11[,]42-【分析】整理函数的解析式可得：. ()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）由最小正周期公式和函数的解析式求解最小正周期和单调区间即可.⑵结合函数的定义域和三角函数的性质可得函数的值域为. 11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】 ()221111cos cos cos cos cos 2424f x x x x x x x x ⎫=-+-=⋅+-⎪⎪⎭11cos2111cos222422x x x x ⎫+=+⋅-=+⎪⎪⎭. 1sin 226x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1），T π=递增区间满足：， ()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递增区间为， ,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间满足：， ()3222262k x k k ππππ+≤+≤π+∈Z 据此可得，单调递减区间为. 2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2），，， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 111sin 2,2642x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为. ()f x ∴11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本万元. 21()150600p x x x =++（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单8(60),130()15480,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台；（2）90人.【解析】（1）每台机器人的平均成本为，化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）()p x y x=可知，引进300台机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.【详解】（1）由总成本， 21()150600p x x x =++可得每台机器人的平均成本. 21150()11506001600x x p x y x x x x++===++因为. 1150112600y x x =++≥=当且仅当，即时，等号成立. 150600x x =300x =∴若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为：当时，300台机器人的日平均分拣量为130m ≤≤2160(60)1609600m m m m -=-+∴当时，日平均分拣量有最大值144000.30m =当时，日平均分拣量为30m >480300144000⨯=∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件，则需要人数为（人）. 1440001201200=∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少（人）.1203090-=【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会求的最大值.()300q m 22．已知函数的图象过点，.()ln()()f x x a a R =+∈()1,02()()2f x g x x e =-（1）求函数的解析式；()f x （2）若函数在区间上有零点，求整数k 的值；()ln(2)y f x x k =+-()1,2（3）设，若对于任意，都有，求m 的取值范围. 0m >1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()ln(1)g x m <--【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.()ln f x x =k ()1,2【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；ln(1)0a +=a （2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函()2ln 2y x kx =-2210x kx --=2()21h x x kx =--数在上有零点，列出不等式组，即可求解；()y h x =()1,2（3）求得的最大值，得出，得到，设()g x ()g m max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--，结合单调性和最值，即可求解.2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m 【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得， ()ln()()f x x a a R =+∈()1,0ln(1)0a +=0a =所以函数的解析式为.()f x ()ln f x x =（2）由（1）可知，，()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-(1,2)x ∈令，得，()2ln 20x kx -=2210x kx --=设，则函数在区间上有零点，2()21h x x kx =--()ln(2)y f x x k =+-()1,2等价于函数在上有零点，所以，解得， ()y h x =()1,2(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩712k <<因为，所以的取值为2或3.Z k ∈k （3）因为且，所以且， 0m >1m m >1m >101m<<因为，2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--所以的最大值可能是或， ()g x ()g m 1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为 22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以，2max ()()2g x g m m m ==-只需，即，max ()ln(1)g x m <--22ln(1)m m m -<--设，在上单调递增，2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->()h m (1,)+∞又，∴，即，所以，(2)0h =22ln(1)0m m m -+-<()(2)h m h <12m <<所以m 的取值范围是.()1,2【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，()f x 从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,5,8U =，集合M 满足{}1,8U M =ð，，则（）A ．1M ∈B ．2M∉C ．3M∈D ．5M∉【正确答案】C【分析】根据补集的定义求出{}235M =，，，即可得到结果.【详解】因为{}1,8U M =ð，所以{}235M =，，，则3M ∈，所以C 正确.故选：C.2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式26190x x --<的解集是（）A ．∅B ．RC ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式26190x x --<可化为29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得13x ≠，故原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为0e ktW M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h ，参考数据：lg 20.3010≈）（）A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【正确答案】B【分析】由题意可得e 0.5k -=，进而得()0.10.5t=，利用指数与对数的关系可得0.5log 0.1t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知()00150%e kM M --=，所以e 0.5k -=，设过滤90%的污染物需要的时间为t ，则()00190%e ktM M --=，所以()()0.1e e 0.5ttkt k --===，所以0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈.故选：B.5．已知函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④的大致图象如图所示，则（）A ．a c b a +<+B ．a d b c +<+C ．b c a d +<+D ．b d a c+<+【正确答案】A【分析】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，进而由不等式性质可以判断A 正确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，则由不等式性质可得a c b a +<+，所以A 正确.由不等式可加性可得a c b d +<+，故D 错误，不能推出B 、C ，故B 、C 错误.故选：A.6．方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设()e 41xf x x =-+，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭，()00e 40120f =-⨯+=>，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭，()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，所以()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =，所以方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7．下列函数中，最小正周期为π2，且在π(,0)4-上单调递减的是（）A ．)πsin(42y x =+B ．)πcos(42y x =-C ．tan(π2)y x =+D ．|sin(π2)|y x =+【正确答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】c πsin(4)os 42y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故A 错误；s πcos(4)in 42y x x =-=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间(,π48)π--上是单调递减，在区间()π8,0-上是单调递增，故B 错误；tan(π2)tan 2y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故C 错误；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=，因为sin 2y x =的最小正周期为π，则此函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，|sin 2|sin 2y x x ==-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递减，故D 正确.故选：D.8．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】由对数性质，可得：(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5851log 3log 5log 8∴<=，即b c <；而3332log 2log log 3a ==，5552log 3log log 3b ==>=，综上所述，a bc <<.故选：B.本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题2:R,10p x x x ∀∈-+>，则（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∀∈-+=”C ．命题p 是假命题D ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”【正确答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭，则命题p 是真命题；命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”，故A 、D 正确．故选：AD ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则（）A ．()12f x x =B ．()f x 的值域是[0,)+∞C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞上是减函数【正确答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可.【详解】设()f x x α=，∵()y f x =的图象过点(，∴1233α==，∴12α=，∴12()f x x =，从而可得，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域是[0,)+∞，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，在[0,)+∞上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误.故选：AB.11．已知5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且ππ32x <<，则（）A ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．12cos 132π3x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭D ．5cos 135π6x ⎛⎫-=⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π，tan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭．由sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断A ；由πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断B ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断C ；由πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断D.【详解】由ππ32x <<得ππ063x -<-<，则12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故C 正确；5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.12．已知01a b <<<，则（）A ．b aa b <B ．log log a b b a >C ．log log 2a b b a +>D ．sin(sin )sin a b<【正确答案】ACD【分析】由x y a =的单调性可得b a a a <，由a y x =的单调性可得a a a b <，从而可判断A ；由log ,log a b y x y x ==的单调性可得log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，从而可判断B ；由基本不等式可判断C ；利用结论：当π(0,)2x ∈时，sin x x <，可判断D.【详解】0< 1,x a y a <∴=在(0,)+∞上单调递减，又,b a a b a a <∴<，0,a a y x >∴= 在(0,)+∞上单调递增，由a b <得a a a b <，b a a b ∴<，故A 正确；由01a b <<<可知log ,log a b y x y x ==在(0,)+∞上均单调递减，log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，log 1log a b b a ∴<<，故B 错误；由01a b <<<，可知lg lg log 0,log 0lg lg a b b a b a a b =>=>，因此lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=，当且仅当a b =取等号，但已知01a b <<<，故等号不成立，从而得log log 2a b b a +>，故C 正确；当π(0,)2x ∈时，sin x x <．π012a b <<<< ，π0sin 2a ab ∴<<<<，又sin y x =在π(0,)2单调递增，所以sin(sin )sin sin a a b <<，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．若函数()f x =的定义域为A ，函数()()lg 2g x x =-的定义域为B ，则A ∩B =______.【正确答案】()1,2-【分析】先求得集合A B 、，再利用交集定义即可求得A B ⋂.【详解】()f x =的定义域为()1,-+∞；函数()()lg 2g x x =-的定义域为(),2-∞，则A B = ()1,2-.故()1,2-14．已知tan 2a =，则()2sin cos αα-=__________.【正确答案】15##0.2【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可．【详解】()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++．故答案为.15四、双空题15．函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，则21m n+的最小值为______.【正确答案】(1,2)；8【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得21m n+的最小值.【详解】当1x =时，1112a -+=，则函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点(1,2)P ，点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，可得2100)m n m n +=>>(，，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122m n ==时等号成立）故(1,2)；8五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【正确答案】π8-【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长6πA BCB AC===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC====，分别以点A、B、C为圆心，圆弧,,AB BC AC所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S=⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯.故答案为六、解答题17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求sin cosαα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数()a f x x x=+.(1)若()15f =，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若()43f =，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并加以证明.【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(0,)+∞上的单调递增，证明见解析【分析】（1）由(1)5f =求出a ，从而得()f x ，由函数奇偶性的定义求解即可；（2）由()43f =求出a ，从而得()f x ，由函数单调性的定义进行判断证明即可.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：∵()af x x x=+，且()15f =，∴15a +=，解得4a =∴4()f x x x=+，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 又44()()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在(0,)+∞上的单调递增，理由如下：∵()af x x x=+，且()43f =，∴434a +=，解得4a =-，∴4()f x x x=-设120x x <<，则2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵120x x <<，∴21x x -0>，12410x x +>故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在(0,)+∞上的单调递增.19．已知函数1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【正确答案】(1)5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为14-.【分析】（1）根据周期可以求出2ω=，进而求出()f x 的单调递减区间；（2）根据π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而求出()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意可得2πT==πω，则2ω=，则1π()sin(2)23f x x =-，所以()f x 的单调递减区间需要满足：ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈，解得5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为.5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1π()sin(2)23f x x =-，因为π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin(2),32x ⎡-∈-⎢⎣⎦，则1(),4f x ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-.20．已知函数||1()()2x f x a b =+的图象过点()0,2，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交．(1)求函数()y f x =的解析式：(2)解关于x 的不等式3(ln )2f x <．【正确答案】(1)()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点()0,2得,a b 的关系，根据图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交求出b ，从而得解；（2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点()0,2，得()02f a b =+=，∵函数||1()()2x f x a b =+无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，∴1b =，从而1a =，∴()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由3(ln )2f x <得|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则ln 1x >，所以ln 1x <-或ln 1x >，解得10ex <<或e x >．所以不等式3(ln )2f x <的解集为()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据： 1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈，当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立）【正确答案】奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求，理由见解析【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅，根据函数的性质一一验证即可．【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅．对于0.2y x =，易知满足①，但当25x >时，>5y ，不符合公司的要求；对于 1.02x y =，易知满足①，但当82x ≥时， 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=，不符合公司的要求；对于8log 1y x =+，函数在[10,1000]上单调递增，而且函数的最大值8log 1000 3.3225≈<，因而满足①②，因为当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立，所以当[10,1000]x ∈时，8log 125%x x +<⋅，满足③，故符合公司的要求．综上，奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求．22．对于定义在I 上的函数()f x ,若存在实数0x I ∈,使得()00f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点,已知2()2(0)f x ax x a =-+≠有两个不动点12,x x ,且122x x <<(1)求实数a 的取值范围；(2)设[]()log ()a F x f x x =-，证明：()F x 在定义域内至少有两个不动点.【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到210ax x -+=的两个实数根为12,x x ，设2()1p x ax x =-+，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，根据1x =是方程()g x x =的实数根，得出()2()220n n h n a an n a =--+=>，结合函数()h x 单调性，即可求解．【详解】（1）因为函数()f x 有两个不动点12,x x ，所以方程()f x x =，即2220ax x -+=的两个实数根为12,x x ，记2()22p x ax x =-+，则()p x 的零点为1x 和2x ，因为122x x <<，所以(2)0a p ⋅<，即(42)0a a -<，解得102a <<，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）因为()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，即2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设2()22p x ax x =-+，因为10,4(12)02a a <<∆=->，所以()0=p x 有两个不相等的实数根．设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，不妨设m n <．因为函数2()22p x ax x =-+图象的对称轴为直线1x a =，且1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121m n a a <<<<．记()2()22x h x a ax x =--+，因为(1)0h =，且(1)0p a =>，所以1x =是方程()F x x =的实数根，所以1是()F x 的一个不动点，()2()220n n h n a an n a =--+=>，因为102a <<，所以24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭，且()h x 的图象在2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象是不间断曲线，所以0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，又因为()p x 在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()0()0p x p n >=，所以0x 是()F x 的一个不动点，综上，()F x 在(,)a +∞上至少有两个不动点．。

2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学试题1(含解析)

2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学试题1(含解析)

3a 1 1 a
a
1 2
等价于
2 2
3a 1
1 2 a2
，解得
1 a 1，即 3 1 a 3
1 3
a
1 2
，
即实数
a
的取值范围是
1 3
,
1 2
.
故选：B 7. 生物体死亡后，它机体内原有的碳 14 含量 P 会按确定的比率衰减（称为衰减率）， P 与
死亡年数
t
之间的函数关系式为
P
故选：C
2. 已知 x R ，则“ x 2 ”是“| x | 2 ”的（ ）
A. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 【正确答案】A
B. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：由| x | 2 解得 2 x 2 ，
所以由 x 2 推不出| x | 2 ，故充分性不成立，
个单位长度得到函数
y
sin
1 2
x
π 3
sin
1 2
x
π 6
的图像，故
B
错误；
对于 C，函数 y sin x 的图像所有点向右平移 π 个单位长度，再把所得图像各点横坐标缩 3
短到原来的
1 2
（纵坐标不变），得到函数
y
sin
2x
π 3 的图像，故
C
正确；
对于 D，函数 y sin x 的图像所有点向右平移 π 个单位长度，再把所得图像各点横坐标伸 6
9,
当且仅当 4b a ,即 a 2b 1 时等式成立,
ab
3
故 1 1 的最小值为 9, ab
故选项 D 正确. 故选:AD

2022-2023学年广东省广州市白云中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年广东省广州市白云中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年广东省广州市白云中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,6,9,3,7,8A B C ===，则()A B C =（ ） A ．{}1,2,6,5 B ．{}3,7,8 C ．{}1,3,7,8 D ．{}1,3,6,7,8【答案】D【分析】利用交集和并集的定义求解即可【详解】因为{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,6,9,3,7,8A B C ===， 所以{}1,3,6A B =，(){}1,3,6,7,8A B C = 故选：D2．命题“320002,20x x x ∃>->”的否定为（ ） A ．322,20x x x ∀>-≥B ．322,20x x x ∀>-≤C ．320002,20x x x ∃<-≥ D ．320002,20x x x ∃<-≤ 【答案】B【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论. 【详解】改量词：02x ∃>改为2x ∀>，否结论：320020x x ->否定为3220x x -≤，所以“320002,20x x x ∃>->”的否定为：“2x ∀>，3220x x -≤”.故选：B3．已知0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．0a b +< B ．2a ab <C ．2ab b <D ．22a b <【答案】C【分析】由题意可得a 为负数，b 为正数， 举反例说明A ，D 错误； 由20,0a ab ><，判断B 错误； 由不等式的性质判断C 正确.【详解】解：由题意可得a 为负数，b 为正数， 对于A ，取1,2a b =-=，则10a b +=>，故错误； 对于B ，因为20,0a ab ><，所以2a ab >，故错误；对于C ，因为0a b <<，两边同时乘以b ，可得2ab b <，故正确； 对于D ，取2,1a b =-=，则22a b >，故错误. 故选：C.4．已知角α的终边上一点坐标为)1-，则角α的最小正值为（ ）A ．5π6B ．7π6 C ．11π6D ．5π3【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出cos α，再根据α的终边位于第四象限，即可得到满足条件的角α的取值，进而得到角α的最小正值．【详解】因为角α的终边上一点坐标为1)-，所以2233cos 231α，且α的终边位于第四象限，π2π6k α∴=-+，Z k ∈．当1k =时，角α取最小正值11π6， 故选：C 5．函数()f x = ） A ．()2,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,+∞D ．()0,2【答案】A【分析】根据函数解析式，列出相应的不等式组，解不等式可得答案 【详解】要使()f x =有意义，只需240x ->，解得2x >，故函数()f x =的定义域是()2,+∞故选：A6．若()3π4π,,sin π25θθ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ）A ．35B ．725- CD ．2425-【答案】B【分析】先利用诱导公式求出sin θ，再根据二倍角得余弦公式即可得解. 【详解】解：因为()4sin πsin 5θθ+=-=，所以4sin 5θ=-，所以27cos212sin 25θθ=-=-. 故选：B.7．已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，若()()4321f x g x x x x +=-+-+，则()2f 的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．11- D ．19-【答案】B【分析】根据题意，带特殊值2与2-，结合奇偶函数，两式作差即可得到答案. 【详解】因为()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，所以()(2)2,(2)(2)f f g g =--=-，由()()4321f x g x x x x +=-+-+可得(2)(2)1684111f g +=-+-+=-①，(2)(2)1684127(2)(2)f g f g -+-=---+=-=-+②， ①-②得2(2)16f =，(2)8f =， 故选：B8．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项. 【详解】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个， 故选：D.【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.二、多选题9．函数log a y x =与a y x =的图像如图所示，则实数a 的值可能为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．3【答案】AC【分析】由对数函数、幂函数的性质判断即可.【详解】由图像结合对数函数的性质可知01a <<，则D 错误； 由图像可知函数a y x =为奇函数，则B 错误，AC 正确； 故选：AC10．下列函数中是偶函数的有（ ） A ．21y x =- B ．11y x x --C ．2y x = D ．|1||1|y x x =++-【答案】AD【分析】判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断()()f x f x -=是否成立.【详解】对于A 项，设()y f x =，则()21f x x =-，因为()21f x x =-的定义域为R并且()()()2211f x x x f x -=-+=+=，所以()f x 是定义在R 上的偶函数.对于B 项，设()y f x =则()11f x x x =--的自变量x 满足1010x x -≥⎧⎨-≥⎩即1x =，所以定义域为{}1，定义域不关于原点对称，所以()11f x x x --为非奇非偶函数. 对于C 项，设()y f x =则()2f x x =，因为()2f x x =的定义域为R ， 并且()()()22f x x x f x -=-=-=-，所以()2f x x =是定义在R 上的奇函数.对于D 项，设()y f x =则()|1||1|f x x x =++-，因为()11f x x x =++-的定义域为R ，并且()()()1111f x x x x x f x -=-++--=-++=，所以()11f x x x =++-是定义在R 上的偶函数.11．下列不等式中成立的是（ ） A ．πsin1sin3< B ．2πcos cos23> C ．cos70sin18> D ．15π4πsinsin 75< 【答案】ACD【分析】由诱导公式与三角函数的性质判断， 【详解】对于A ，ππ0132<<<，故πsin1sin 3<，故A 正确， 对于B ，2π02π3<<<，故2πcos2cos 3>，故B 错误，对于C ，2c 0os70sin in 18s =︒>，故C 正确， 对于D ，15ππsin sin 77=，4ππsin sin 55=，而πππ0<<752<，故15π4πsin sin 75<，故D 正确， 故选：ACD12．下列结论中错误的有（ ）A ．若命题“2000R,40x x x m ∃∈++=”为假命题，则实数m 的取值范围是[)4,+∞B ．若,,R a b c ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件D ．当x ∈R 时，2x x+的最小值为【答案】ABD【分析】转化为x ∀∈R ，240x x m ++≠，计算2440m ∆=-<，可得出m 的范围，即可判断A 项；根据不等式的性质，可判断B 项；求出11a<的等价条件为1a >或0a <，即可判断C 项；利用特值法即可判断D 项.【详解】对于A 项，等价于x ∀∈R ，240x x m ++≠，为真命题，则2440m ∆=-<，解得4m >，故A 项不正确；对于B 项，因为22ab cb >，显然20b >，210b>，所以a c >；因为a c >，若0b =，则22ab cb =，故B 项不正确；对于C 项，111a a a--=，所以11a <等价于10a a -<，即()10a a ->，所以1a >或0a <， 显然“1a >”是“1a >或0a <”的充分不必要条件，故C 项正确；对于D 项，当=1x -时，2123x x+=--=-<D 项不正确.三、填空题 13．计算：1417sin cos tan 336πππ+-=___________. 【答案】0【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】141725sincos tan 3sin 4cos 2tan 03636πππππππ⎛⎫⎛⎫+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2533sincos 003622ππ⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：014．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为90cm ，内弧线的长为30cm ，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm ，则该扇形的中心角的弧度数为__________.【答案】103【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得9cm OC =，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】如图，依题意可得弧AB 的长为90cm ，弧CD 的长为30cm ，设扇形的中心角的弧度数为α， 则,AB OA CD OC αα=⋅=⋅，则90330OA OC ==，即3OA OC =， 因为18cm AC =，所以9cm OC =，所以该扇形的中心角的弧度数301093CD OC α===．故答案为：10315．把函数()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像先向右平移4π个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），所得到的图像对应的函数解析式记为()g x ，则8g π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.【答案】1-【分析】根据诱导公式，结合余弦型函数的图像变换性质，运用代入法进行求解即可.【详解】()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由题意可知：π()cos(2)4g x x =--，所以πππ()cos(2)1884g =-⨯-=-，故答案为：1-四、双空题16．()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =+．则0x <时，()f x =_______；不等式()(21)3f x f ->的解集是_____________． 【答案】 22x x - ()(),12,-∞-+∞【分析】设0x <，计算()f x -，再根据偶函数的性质()()f x f x =-，即可得对应解析式，再利用偶函数及函数的单调性解不等式即可.【详解】设0x <，则0x ->，所以22()()2()2f x x x x x -=-+-=- 又()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-， 所以当0x <时，2()2f x x x =-，又0x ≥时，利用二次函数性质知函数()f x 单调递增，不等式()(21)3f x f ->等价于()(21)3f x f ->， 213x ∴->，即213x ->或213x -<-，解得：2x >或1x <- 所以不等式()(21)3f x f ->的解集是()(),12,-∞-+∞故答案为：22x x -，()(),12,-∞-+∞【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性、不等式的解法，解不等式时设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.五、解答题17．已知集合{}26,{14},{1},R A xx B x x C x m x m U =≤≤=<<=<<+=∣∣∣. (1)求(),U A B A B ； (2)若C B ⊆，求m 的取值范围.【答案】(1){|16}A B x x ⋃=<≤，(){|12}U A B x x ⋂=<<； (2)[1,3]【分析】（1）利用集合的交、并、补运算即可求解.（2）利用集合的包含关系列不等式组114m m ≥⎧⎨+≤⎩，解不等式组即可求解.【详解】（1）因为集合{|26}A x x =≤≤，{|14}B x x =<<， 所以{|2UA x x =<或6}x >，故{|16}A B x x ⋃=<≤，(){|12}U A B x x ⋂=<<； （2）因为{|1}C x m x m =<<+，且C B ⊆，则114m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得13m ≤≤，所以m 的取值范围为[1,3]．18．已知函数()22sin cos f x x x x =-()f x 的值域，最小正周期以及单调增区间. 【答案】值域[2,2]-，最小正周期T π=，增区间511(,),Z 1212k k k ππππ++∈ 【分析】由三角恒等变换公式化简，再根据三角函数性质求解，【详解】()22sin cos 2sin 22sin(2)3f x x x x x x x π=--=--由正弦函数性质得()f x 的值域为[2,2]-，最小正周期T π=，令3222232k x k πππππ+<-<+，得511,Z 1212k x k k ππππ+<<+∈， 即()f x 的单调增区间为511(,),Z 1212k k k ππππ++∈ 19．已知函数()21x af x x -+=+为奇函数. (1)求函数()f x 的解析式；(2)用函数单调性的定义证明：函数()f x 在区间()1,1-上单调递减 【答案】(1)()21xf x x =-+ (2)证明见解析【分析】（1）利用()()f x f x -=-可构造方程求得a ，由此可得()f x ； （2）取1211x x -<<<，整理得()()()()()()21122122121011x x x x f x f x xx ---=<++，由此可得结论.【详解】（1）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即2211x a x ax x +-+=-++， x a x a ∴+=-，解得：0a =，()21x f x x ∴=-+. （2）取1211x x -<<<，则()()()()()()()()22211221121122212222222112121111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x --+---=-+==++++++，1211x x -<<<，121x x ∴<，210x x ->，又2110x +>，2210x +>，()()210f x f x ∴-<，f x 在区间()1,1-上单调递减.20．已知函数()()sin 0,0,,22f x A x A x R ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<∈ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)将()y f x =图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的()0t t >倍，得到()y g x =的图像.若4π为函数()y g x =的一个零点，求t 的最大值.【答案】(1)()2sin 6π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x(2)310【分析】（1）、根据图像，求出A ，T ，ϕ，即可求出函数()y f x =的解析式;（2）、先根据图像变换求出()g x 的解析式，再由题意可知=04g π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出t 的表达式，即可求出t 的最大值.【详解】（1）由图像知，2A =.又54632T πππ=-=，0ω>，22T ππω∴==，1ω∴=,()()2sin f x x ϕ∴=+， 将点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入()()2sin f x x ϕ=+，22sin 3πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭,()232k k ππϕπ∴+=+∈Z ,()26k k πϕπ∴=+∈Z ，又22ππϕ-<<，6πϕ∴=,()2sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（2）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()12sin 6g x x tπ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又4π为函数()y g x =的一个零点，=04g π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，12sin =0446g t πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 146k t πππ∴⋅+=，3122t k ∴=-，k ∈Z .故时1k =，t 的最大值为310.21．如图所示，ABCD 是一声边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的扇形草地，P 是弧TS 上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在BC 和CD 上的长方形停车场PQCR ．(1)设PAB α∠=，长方形PQCR 的面积为S ，试建立S 关于α的函数关系式； (2)当α为多少时，S 最大，并求最大值．【答案】(1)()10009000cos sin 8100cos sin S αααα=-++，02πα． (2)4πα=时，面积最大为1240509000-【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可；（2）令cos sin t αα=+换元，然后由二次函数性质可解.【详解】（1）延长RP 交AB 于M ，设(0)2PAB παα∠=≤≤， 则90cos AM α=，90sin MP α=，10090cos PQ α=-，10090sin PR α=-．(10090cos )(10090sin )PQCR S PQ PR αα∴=⋅=--100009000(cos sin )8100cos sin αααα=-++，02πα．（2）设cos sin 2)4t πααα=+=+， 02πα，知[1t ∈2]，21cos sin 2t αα-=， 2211010000900081004050()95029PQCR t S t t -∴=-+⨯=-+． ∴当2t ，即4x π=时，PQCR S 有最大值1240509000-．答：长方形停车场PQCR 面积的最大值为1240509000-22．知函数()2log 1f x x =+,()()()22g x f x f x =+⎡⎤⎣⎦. (1)求方程()2g x =的解集;(2)若()f x 的定义域是[]1,16,求函数()g x 的最值;(3)若不等式()()22log 4f x x m f x ++>⋅⎡⎤⎣⎦对于[]1,16x ∀∈恒成立,求m 的取值范围. 【答案】（1）{}41,2- （2）()min 2g x =，()max 14g x = （3）13m <+【分析】（1）将()f x 表达式代入()g x 中求解方程的解.（2）写出()g x 表达式后化简求值域.（3）先将不等式进行换元处理后，分离参数求解m 的取值范围.【详解】（1）()()()22g x f x f x =+⎡⎤⎣⎦ ()2222log 1log 1x x =+++()222log 4log 2x x =++因为()2g x =，即()222log 4log 22x x ++= 即2log 0x =或2log 4x =-，所以1x =或42x -=,方程的解集为{}41,2-.（2）因为()f x 的定义域是[]1,16,所以()g x 的定义域[]1,4所以20log 2x ≤≤又()()222log 4log 2g x x x =++设()2log 02t x t =≤≤，则()242g t t t =++()02t ≤≤ 所以()()()02g g t g ≤≤，即()214g t ≤≤所以()min 2g x =，()max 14g x =（3）设()()15k f x k =≤≤所以不等式()()22log 4f x x m f x ++>⋅⎡⎤⎣⎦对于[]1,16x ∀∈恒成立等价于不等式23k k mk ++>对于[]1,5k ∀∈恒成立即()2130k m k +-+>在[]1,5k ∀∈恒成立 第一种情况：当0<时，即()21120m --<，11m -<+.第二种情况：当0=时，即1m =±415<+<，所以舍去1+1m =-. 第三种情况：当0>时，即1m +或者1m <-i>21121130m m -⎧≤⎪⎨⎪+-+>⎩，解得：1m <-ii>21525(1)530m m -⎧≥⎪⎨⎪+-⋅+>⎩解得：无解. 综上所述：1m <+【点睛】此题考查换元思想和含参讨论二次函数在定区间恒成立问题，难点是分类讨论时的依据，属于较难题目.。

广州市高一数学上册期末试卷2套含详细答案选择填空有解析

广州市高一数学上册期末试卷2套含详细答案选择填空有解析

目录第一套：2019-2020学年广东省广州市花都区高一（上）期末数学试卷第二套：2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷2019-2020学年广东省广州市花都区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log （2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A． B．或0 C．0 D．﹣2或03．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0 C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2 C．2a2D．2a25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．187．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C． D．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln （x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A． B．3 C． D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f （x1）+f（x2）= ，并求出= ．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD ⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）三角形的三个顶点为A（﹣2，4），B（﹣3，﹣1），C（1，3）．（1）求BC边上高所在直线的方程；（2）求△ABC的面积S．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，18．设AB1的中点为D，BC1∩B1C=E．求证：（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C；（Ⅱ）BC1⊥AB1．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞1）．（1）根据定义证明：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（2）根据定义证明：函数f（x）是奇函数．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=AC=BC=2，AB=2，SC=1．（1）画出二面角S﹣AB﹣C的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥S﹣ABC的体积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R（0，1）三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a 的值．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+mx+m﹣1（a≠0）．（1）若f（﹣1）=0，判断函数f（x）的零点个数；（2）若对任意实数m，函数f（x）恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（3）已知x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），求证：方程f （x）=[f（x1）+f（x2）]在区间（x1，x2）上有实数根．2019-2020学年广东省广州市花都区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）=log （2x﹣1）的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得x＞且x≠1．∴函数f（x）=log （2x﹣1）的定义域是（，1）∪（1，+∞）．故选：B．2．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x﹣ay+1=0平行，则a的值为（）A． B．或0 C．0 D．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得 a=，综合可得，a=，故选：A．3．（5分）设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0 C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f（x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2 C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有（）A．①或③B．①或②C．②或③D．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（）A．17 B．C．D．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF 的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB的余弦值为（）A．B．C． D．【解答】解：已知如图所示：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（x）=2016x+log 2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）=2016﹣x+log 2016（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；g′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选 B11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln （x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A． B．3 C． D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f（x）=（a＞0），若x1+x2=1，则f （x1）+f（x2）= 1 ，并求出= ．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0），x1+x2=1，∴f（x1）+f（x2）=f（x1）+f（1﹣x1）=+=+==1，∴=1007+f（）=1007+=．故答案为：1，．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为16+2．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD=PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB=4，CD=2，PE═EF=2在直角三角形△PEF中，PF==2，在直角三角形△DEF中，DE==，同理在直角梯形ADEF 中，AD=，根据△AED的面积相等得，×AD×ME=×AE×EF，解得ME=，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2．15．（5分）点M（x1，y1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当x1∈[2，5]时，可得A（2，4），B（5，﹣2）．设P（﹣1，﹣1），则k PA==，k PB==，∴的取值范围是．16．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD ⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）三角形的三个顶点为A（﹣2，4），B（﹣3，﹣1），C（1，3）．（1）求BC边上高所在直线的方程；（2）求△ABC的面积S．【解答】解：（1）k BC==1，∴BC边上高所在直线的斜率k=﹣1，可得BC边上高所在直线的方程：y﹣4=﹣（x+2），即为：x+y﹣2=0．（2）|BC|==4，直线BC的方程为：y﹣3=x﹣1，化为：x﹣y+2=0．点A到直线BC的距离d==2．∴△ABC的面积S=|BC|•d==8．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，18．设AB1的中点为D，BC1∩B1C=E．求证：（Ⅰ）DE∥平面AA1C1C；（Ⅱ）BC1⊥AB1．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1∩B1C=E，∴E是B1C的中点，∵AB1的中点为D，∴DE∥AC，∵AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，∴DE∥平面AA1C1C．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=CC1，∴BC1⊥B1C，AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1，∵AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1．19．（12分）已知函数f（x）=（a＞1）．（1）根据定义证明：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；（2）根据定义证明：函数f（x）是奇函数．【解答】证明：（1）f（x）=1﹣，令m＜n，则f（m）﹣f（n）=1﹣﹣1+=，∵a＞1，m＜n，则a m＜a n，（a n+1）（a m+1）＞0，故＜0，故f（m）﹣f（n）＜0，故f（x）在R递增；（2）由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=AC=BC=2，AB=2，SC=1．（1）画出二面角S﹣AB﹣C的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：（1）取AB中点O，连结SO，CO，∵SA=SB=AC=BC=2，SC=1．∴SO⊥AB，CO⊥AB，∴∠SOC是二面角S﹣AB﹣C的平面角，∵SO=CO==，∴cos∠SOC===，∴二面角S﹣AB﹣C的大小为：∠SOC=arccos．（2）过S作SE⊥平面ABC，交CO于E，OE===，SE===，=，∴三棱锥S﹣ABC的体积：V S﹣ABC===．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R（0，1）三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a 的值．【解答】解（1）设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆C经过P（3+2，0），Q（3﹣2，0），R（0，1）三点．则：1+E+F=0，令y=0，则：圆的方程转化为：x2+Dx+F=0，则：，解得：D=﹣6．利用：，解得：F=1．故：E=﹣2．所以圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0．（2）圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，转化为标准式为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．由于圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，取AB中点M，连接OM，可得|OM|=|AB|，由CM⊥AB，可得CM：y﹣1=﹣（x﹣3），即y=﹣x+4，解得M（2﹣，2+），则|AB|=2，即有=，解得a=0或﹣．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+mx+m﹣1（a≠0）．（1）若f（﹣1）=0，判断函数f（x）的零点个数；（2）若对任意实数m，函数f（x）恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（3）已知x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），求证：方程f （x）=[f（x1）+f（x2）]在区间（x1，x2）上有实数根．【解答】（1）解：∵函数f（x）=ax2+mx+m﹣1（a≠0），且f（﹣1）=0，∴a﹣m+m﹣1=0，则a=1，f（x）=x2+mx+m﹣1=（x+1）（x﹣1+m），∴当m=2时，此函数f（x）有一个零点﹣1；当m≠2时，函数f（x）有两个零点﹣1，1﹣m；（2）解：对任意实数m，函数f（x）恒有两个相异的零点，可得△1＞0恒成立，即m2﹣4a（m﹣1）＞0，即为m2﹣4am+4a＞0对任意实数m恒成立，可得△2＜0，即16a2﹣16a＜0，解得0＜a＜1；（3）证明：令F（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则F（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，F（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，∵f（x1）≠f（x2）∴F（x1）F（x2）=﹣[f（x2）﹣f（x1）]2＜0，所以F（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根，则方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]在区间（x1，x2）上有实数根．2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）（5分）若M={x|x2﹣px+6=0}，N={x|x2+6x﹣q=0}，若M∩N={2}，1．则p+q=（）A．21 B．8 C．6 D．72．（5分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．f（x）=，g（x）=x+1B．f（x）=，g（x）=（）2C．f（x）=|x|，g（x）=D．3．（5分）下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=x3D．y=|x| 4．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A．B．y=3x C．y=lg|x| D．5．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 6．（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）7．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f （log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．128．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．9．（5分）直线kx﹣y﹣k=0（k∈R）和圆x2+y2=2交点的个数为（）A．2个B．1个C．0个D．不确定10．（5分）圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1和圆C2：（x+2）2+（y﹣5）2=36的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切11．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l⊥α，α∥β，则l ⊥βC．若l∥α，α∥β，则l⊂βD．若l∥α，α⊥β，则l ⊥β12．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算= ．14．（5分）经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角是．15．（5分）若函数f（x）=a x﹣1（a＞1）在区间[2，3]上的最大值比最小值大，则a= ．16．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD 1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q 在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）（5分）若M={x|x2﹣px+6=0}，N={x|x2+6x﹣q=0}，若M∩N={2}，1．则p+q=（）A．21 B．8 C．6 D．7【解答】解：∵M∩N={2}，∴2∈M，2∈N，即4﹣2p+6=0且4+12﹣q=0，得p=5，q=16，则p+q=5+16=21，故选：A．2．（5分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．f（x）=，g（x）=x+1B．f（x）=，g（x）=（）2C．f（x）=|x|，g（x）=D．【解答】解：A．函数f（x）==x+1，x≠1，则定义域为{x|x ≠1}，所以两个函数的定义域不同，所以A不是相同函数B．f（x）=（）2=x，x≥0，g（x）==|x|，所以两个函数的定义域和对应法则不同，所以B不是相同函数C．g（x）==|x|，两个函数的定义域和对应法则，所以C表示的是相同函数．D．由即x≥1，由x2﹣1≥0得x≥1或x≤﹣1，则两个函数的定义域不同，不是相同函数．故选：C．3．（5分）下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=x3D．y=|x| 【解答】解：y=x2+1为偶函数，值域为[1，+∞）；y=lgx为对数函数，不为偶函数，且值域为R；y=x3为奇函数，值域为R；y=|x|为偶函数，值域为[0，+∞）．故选：D．4．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A．B．y=3x C．y=lg|x| D．【解答】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；函数y=3x为非奇非偶函数，不满足条件；函数y=lg|x|为偶函数，不满足条件；只有函数既是奇函数，又是增函数，满足条件；故选：D．5．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【解答】解：函数y=0.6x为减函数；故a=0.60.6＞b=0.61.5，函数y=x0.6在（0，+∞）上为增函数；故a=0.60.6＜c=1.50.6，故b＜a＜c，故选：C．6．（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，f（﹣1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．7．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f （log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．8．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，|x|=x，此时y=a x（0＜a＜1）；当x＜0时，|x|=﹣x，此时y=﹣a x（0＜a＜1），则函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是：，故选：D．9．（5分）直线kx﹣y﹣k=0（k∈R）和圆x2+y2=2交点的个数为（）A．2个B．1个C．0个D．不确定【解答】解：直线kx﹣y﹣k=0（k∈R）转化为：y=k（x﹣1），则：直线经过定点（1，0），由于定点（1，0）在圆x2+y2=2的内部．故经过定点的直线与圆有两个交点．故选：A．10．（5分）圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1和圆C2：（x+2）2+（y ﹣5）2=36的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【解答】解：圆心坐标分别为C1：（1，1），C2：（﹣2，5），两圆半径分别为R=6，r=1，圆心距离|C 1C2|===5，则|C1C2|=R﹣r，即两圆相内切，故选：D．11．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l⊥α，α∥β，则l ⊥βC．若l∥α，α∥β，则l⊂βD．若l∥α，α⊥β，则l ⊥β【解答】解：由设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故A错误；在B中，若l⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故C错误；在D中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π【解答】解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算= 2 ．【解答】解：=．故答案为：2．14．（5分）经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角是45°．【解答】解：∵P（1，3），Q（3，5），∴，设经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角为α，（0°≤α＜180°），则tanα=1，∴α=45°．故答案为：45°．15．（5分）若函数f（x）=a x﹣1（a＞1）在区间[2，3]上的最大值比最小值大，则a= ．【解答】解：∵函数f（x）=a x﹣1（a＞1）在区间[2，3]上为增函数，∴，f（x）min=a．由题意可得：，解得a=（a＞1）．故答案为：．16．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为12π．【解答】解：∵体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，∴该正方体的棱长a==2，∴球半径R==，∴该球面的表面积S=4=12π．故答案为：12π．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+ =1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．∴S△AOB=ab≥12，l的方程为：+=1，即4x+6y﹣24=018．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（1分）∴V P﹣ABCD=S▱ABCD•PC=．…（3分）（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…（4分）又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…（6分）∴EO∥平面PAD．…（7分）（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…（8分）证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…（9分）∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…（10分）又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC，…（11分）∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…（12分）19．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD 1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q 在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，故OG∥PC，所以，OG=PC=．又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP与平面BDD 1B1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q应当是A I C I的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．（1）求证：BF∥面A1DE；（2）求证：面A1DE⊥面DEBC；（3）求二面角A1﹣DC﹣E的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A 1H⊥DE，且；在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；根据余弦定理，可得：HC2=1+16﹣4=13，在△A 1HC中，，，A1C=4；∴，即A 1H⊥HC，DE∩HC=H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO=H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△A 1HO中，，；故tan；所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2．22．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+﹣2．…（3分）（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x+﹣2≥k•2x，k≤1+﹣令=t，k≤t2﹣2t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）=t2﹣2t+1，∴φ（t）min=0，∴k≤0．…（6分）（3）由f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0得|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象（如右图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0．…（10分）。

2022-2023学年广东省广州中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}318A x x =->,{}10B x x =≤,则A B =（ ）A ．()10+∞，B ．()3,10C ．(]3,10D ．[)10+∞，【答案】C【解析】化简集合A ，再求交集. 【详解】{}318{|3}A x x x x =->=>{|310}A B x x ∴⋂=<≤故选：C【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2．下列函数既是偶函数,又在区间()0,3上是减函数的是（ ）A ．ln y x =B ．y =C ．cos y x =D ．e e x x y -=+【答案】C【解析】根据奇偶性的判断排除B 选项，根据单调性排除A ，D.【详解】令()ln ||,(,0)(0,)f x x x =∈-∞⋃+∞，()ln ||ln ||()f x x x f x -=-==，则ln y x =为偶函数 当0x >时，ln ln y x x ==，在(0,)+∞上单调递增，故A 错误；令()g x x R =∈，则()()g x g x -==-，则函数y =B 错误； 令()cos ,h x x x R =∈，()cos()cos ()h x x x h x -=-==，则函数cos y x =为偶函数cos y x =在区间(0,)π上单调递减，则cos y x =在区间()0,3上是减函数，故C 正确；令(),x x t x e e x R -=+∈，()()x x t x e e t x --=+=，则函数e e x x y -=+是偶函数令()()()()12111221221212 0,1x x x x x x x x x x ee e x x t x t x e ee ee--++-≤<-=+---=因为120x x ≤<，所以22110,10xx x x e e e +<->-，即()()120t x t x -<所以函数e e x x y -=+在(0,)+∞上单调递增，故D 错误； 故选：C【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性以及单调性定义判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．若a ，b 是实数，则a b >是lg lg a b >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.【详解】由lg lg a b >可得a b >；但是0a b >>时，不能得到lg lg a b >. 则a b >是lg lg a b >的必要不充分条件 故选：B4．函数sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）AB C ．1D ．2【答案】D【解析】利用诱导公式得出cos sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合正弦函数的性质，得出最大值.【详解】cos cos sin 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 3y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭即当62,x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值2故选：D【点睛】本题主要考查了诱导公式以及正弦型函数的最值，属于基础题. 5．设160.7a =,130.9b =,2log 0.8c =,则a,b,c 的大小关系是（ ） A ．b a c >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】A【解析】利用6y x =的单调性比较,a b ，c 与0比较即可得出答案. 【详解】6620.7,0.90.81a b ===，则66a b < 因为函数6y x =在0,上单调递增，则660a b a b <⇒<< 22log 0.8log 10c =<= 所以b a c >> 故选：A【点睛】本题主要考查了利用幂函数以及对数函数单调性比较大小，属于基础题.6．函数cos y x x =⋅,[]5,5x ∈-的大致图象为（ ）A ．aB ．C ．D ．【答案】B【解析】判断函数奇偶性，取特殊值判断即可.【详解】令()cos f x x x =⋅，()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，则函数cos y x x =⋅为奇函数，则排除D ； 3522ππ<< (5)5cos50f ∴=⨯>，则排除AC 故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表: x1 2 34()f x 532- 5-那么函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是（ ）A ．()–,1∞ B ．()1,2 C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】利用零点存在性定理判断即可.【详解】()()()()112523,224341g f g f =-=-==-=-=-()()120g g ∴<则函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是1,2 故选：B【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.8．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出L V 用水补满，搅拌均匀，第二次倒出4L 5V 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的最小值为（ ） A ．5 B ．10C ．15D ．20【答案】B【分析】依据题意列出不等式即可解得V 的最小值.【详解】由4540(40)4060%40VV V ---≤⨯，解得1040V ≤≤ 则V 的最小值为10. 故选：B二、多选题9．设,,a b c ∈R ，且0b a <<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．11b a>B ．22ac bc >C ．22a b >D ．ab a b >+【答案】AD【分析】根据不等式的性质判断AD ，列举例子判断BC. 【详解】A.0b a <<，同除ab 可得11b a>，A 正确；B.当2c =0时，22ac bc =，B 错误；C.若1,2a b =-=-，此时有22a b <，C 错误；D.0,0ab a b >+<，故ab a b >+，D 正确. 故选：AD.10．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则（ ）A．sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．51cos 63πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭C ．1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．角α可能是第二象限角【答案】BC【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.【详解】因1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则6πα+是第一象限或者第四象限角，当6πα+是第四象限角时，sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A 不正确； 51cos cos[()]cos()6663πππαπαα⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，B 正确；1sin sin[()]cos()32663ππππααα⎛⎫-=-+=+= ⎪⎝⎭，C 正确；因6πα+是第一象限或者第四象限角，则()66ππαα=+-不可能是第二象限角.故选：BC11．以下结论正确的是（ ） A ．函数2(1)x y x+=的最小值是4B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b aa b+≥C ．若x ∈R ，则22132x x +++的最小值为3 D ．函数12(0)y x x x=++<的最大值为0【答案】BD【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.对于函数2(1)x y x+=，当0x <时，0y <，所以A 选项错误.B.由于0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当22,b a a b a b ==时等号成立，所以B 选项正确.C.2222113211322x x x x ++=+++≥=++， 但22122x x +=+无解，所以等号不成立，所以C 选项错误.D.由于0x <，所以()112220y x x x x ⎡⎤=++=--+≤-⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1,1x x x-==--时等号成立，所以D 选项正确. 故选：BD12．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，则有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ，则有()()2f x f x +-=D ．若函数|()|y f x mx =-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ 【答案】BCD【分析】举出反例可得函数不是奇函数，A 错误； 研究二次函数的单调性得到B 正确； 分情况讨论并计算可判断C 正确； 构造函数|()|(),f x g x y m x==，将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题可判断D 正确． 【详解】A 选项，(1)4,(1)2f f =-=-，即(1)(1)f f -≠-，则()f x 不是奇函数，即A 不正确；B 选项，0x <时，()22()2112f x x x x =-++=--+，对称轴为1x =，开口向下，故()f x 在(,0)-∞上递增，0x ≥时()22()211f x x x x =++=+，对称轴为=1x -，开口向上，故()f x 在(0,)+∞上递增，且2202010201-+⨯+=+⨯+，于是得()f x 在R 上单调递增， 则()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，B 正确；C 选项，0x >时，()220,()()21()2()12x f x f x x x x x ⎡⎤-<+-=+++--+-+=⎣⎦， 0x <时，()220,()()21()2()12x f x f x x x x x ⎡⎤->+-=-+++-+-+=⎣⎦，0x =时，()()2(0)2f x f x f +-==综上得：对任意x ∈R ，则有()()2f x f x +-=成立，C 正确； D 选项，因为(0)1f =，则0不是|()|y f x mx =-的零点，0x ≠时，|()||()|0f x f x mx m x-=⇔=， 令|()|(),f x g x y m x==，依题意函数()y g x =的图象与直线y m =有两个公共点，0x <时，令2()210f x x x =-++≥，解得：1x ⎡∈⎣，结合0x <可得：)1x ⎡∈⎣，令2()210f x x x =-++<，解得：((),112,x ∈-∞++∞，结合0x <可得：(),12x ∈-∞-，0x ≥时，()22()2110f x x x x =++=+≥恒成立，综上：()0f x ≥时，12,()0x f x ≥-<时，12x <-， 于是得()12,012,12012,12x x x g x x x x x x x ⎧++>⎪⎪⎪=-++-≤<⎨⎪⎪--<-⎪⎩，由对勾函数知，()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，又()g x 在[12,0)-上递减，在(,12]-∞-上递增，如图：直线1y m =与()y g x =的图象有两个公共点，14m >，直线2y m =与()y g x =的图象有两个公共点，20m <，从而得函数()y g x =的图象与直线y m =有两个公共点时0m <或4m >， 所以实数m 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞，D 正确． 故选：BCD ．三、填空题13．计算:22318lg902lg34-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭________.【答案】21【解析】由指数的运算性质与对数的运算性质化简即可得出答案.【详解】()222233318lg902lg342lg9lg10lg9214-⎛⎫++-=++-= ⎪⎭+⎝故答案为：21【点睛】本题主要考查了指数的运算性质与对数的运算性质，属于基础题. 14．已知扇形的圆心角为3π，弧长为45π，则扇形的面积为___________. 【答案】2425π 【分析】利用圆心角和弧长求出半径，根据扇形面积公式求解即可.【详解】依题意，扇形的半径412553l r ππα===，所以扇形的面积1141224225525S lr ππ==⨯⨯=， 故答案为：2425π. 15．已知πtan α26⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7tan 2απ12⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】17-【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得πtan 2α3⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正切公式求得7ππtan 2απtan 2α1234⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【详解】已知πtan α26⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π2tan απ46tan 2απ331tan α6⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭∴+==- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 则ππtan 2αtan7ππ134tan 2απtan 2αππ123471tan 2αtan 34⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 故答案为17-．【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题． 16．已知函数21()21x x f x ，若对于任意的[,2]x t t ∈+，不等式()()0f x t f x -+≤恒成立，则实数t 的取值范围是___________． 【答案】(,4]-∞-【分析】先判断()f x 在R 上是奇函数和增函数，故题意可转化成2,[,2]x t x t t ≤∈+，求()max 2x 即可求解【详解】()f x 的定义域为R ，且2112()()2112x x x xf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数， 212()12121x x xf x -==-++， 对任意12,x x <()()()()()12122112122222222110212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 为单调递增函数，由()()0f x t f x -+≤，得()()f x t f x -≤-，即()()f x t f x -≤-， 所以,[,2]x t x x t t -≤-∈+，即2,[,2]x t x t t ≤∈+恒成立， 因为当[,2]x t t ∈+时，()()max 222x t =+， 所以2(2),t t +≤，解得4t ≤-， 故答案为：(,4]-∞-．四、解答题 17．已知集合R{1A x x =≤-∣或3}x ≥，集合{23}B x k x k =<<+∣.(1)当1k =-时，求A B ⋂；(2)若A B ⋂是空集，求实数k 的取值范围. 【答案】(1){12}xx -<<∣ (2){4kk ≤-∣或3}2k ≥【分析】（1）先根据补集的定义求出集合A ，再将集合,A B 取交集； （2）需要分类讨论集合B 是否为空集.【详解】（1）集合{13}A x x =-<<∣， 当1k =-时，集合{22}B xx =-<<∣， 所以{12}A B xx =-<<∣. （2）当A B ⋂是空集时，分两种情况：情况一：集合B =∅时，23k k ≥+，所以3k ≥； 情况二：集合B ≠∅时，3k <，要使A B ⋂是空集，则需要满足31k +≤-或23k ≥，解得4k ≤-或32k ≥， 所以这种情况下，实数k 的取值范围为{4k k ≤-∣或33}2k ≤<. 综上，实数k 的取值范围为{4kk ≤-∣或3}2k ≥. 18．已知α为第一象限角,且sin 2cos αα=. （1）求sin 2α的值; （2）求的sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭值.【答案】（1）45；（2【解析】（1）利用平方关系以及二倍角的正弦公式求解即可； （2）利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】（1）2222sin cos 1(2cos )cos 1αααα+=⇒+=cos αα∴==4sin 22sin cos 25ααα∴=⋅==（2）sin 4πααα⎛⎫+=== ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式，属于基础题.19．已知函数()e ,()xf xg x ==e 为自然对数的底数，e 2.71828=⋅⋅⋅．(1)判断()g x 单调性，并用定义证明； (2)求方程()()f x g x =实数解的个数．【答案】(1)()g x 为(1,)-+∞上的单调递减函数；证明见解析 (2)唯一的实数解【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；（2）令()()()ex h x f x g x =-=()h x 在(1,)-+∞单调递增，又因为102h ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，1(0)02h =>，所以()h x 在(1,)-+∞存在唯一零点01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，从而得出结论． 【详解】（1）()g x =(1,)-+∞对任意的121x x -<<()()12g x g x -===0=>所以()()12,()g x g x g x >为(1,)-+∞上的单调递减函数.（2）由()()f x g x =可得()()0f x g x -=，令()()()e x h x f x g x=-=易知()h x 在(1,)-+∞单调递增又因为102h ⎛⎫-===< ⎪⎝⎭，1(0)02h => 所以()h x 在(1,)-+∞存在唯一零点01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()f x g x =有唯一的实数解01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 20．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1， （1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调递减区间； （3）求使()0f x 成立的x 的取值集合.【答案】（1）1a =-；（2）42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）2|22,3x k x k k πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】（1）利用两角和与差的公式化简成为sin()y A x ωϕ=+的形式，根据三角函数的性质可得a 的值．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间； （3）根据三角函数的性质求解()0f x 成立的x 的取值集合．【详解】（1）由题意：函数()sin()sin()cos 66f x x x x a ππ=++-++， 化简得：()sin cos cos sin sin cos cos sin cos 6666f x x x x x x a ππππ=++-++ cos x x a =++2sin()6x a π=++， sin()6x π+的最大值为1， ()211f x a ∴=⨯+=，解得：1a =-． （2）由（1）可知()2sin()16f x x π=+-．根据三角函数的性质可得：[262x k πππ+∈+，32]()2k k Z ππ+∈． 即322262k x k πππππ+++，()k ∈Z 解得：42233k x k ππππ++，()k ∈Z ， ()f x ∴的单调递减区间为42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； （3）由题意：()0f x ，即2sin()106x π+-， 可得：1sin()62x π+． 522666k x k πππππ∴+++，()k ∈Z ． 解得：2223k x k πππ+．()k ∈Z ()0f x ∴成立的x 的取值范围是2|22,3x k x k k πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 【点睛】本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用．属于基础题．21．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：0.540sin()13,02()39014,2x x x f x ex π-⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩ 根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40,ln90 4.50≈≈≈）【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.【详解】（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，此时()40sin 133f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 53y =. 故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x >. 由0.5901420x e -+<，得：0.5115x e-<， 两边取自然对数得：0.51ln ln 15x e-< 即0.5ln15x -<-，∴2ln15 5.42x >≈，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.22．已知函数()()()ln e 1,()ln e 1x x f x g x =+=-． (1)试判断函数1()2f x x -的奇偶性，并证明； (2)若对任意的[ln 2,ln 4]x ∈，都有不等式()()ln 0g x f x x k --+≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)偶函数；证明见解析 (2)20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明；（2）利用参变量分离法可得()e e 1e 1x x x k +≥-在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，利用换元法(令e 1x t =-)及函数的单调性求出()e e 1e 1x x x +-的最大值，即可求解k 的取值范围．【详解】（1）()1h()ln e 12x x x =+-的定义域为R ()()()e e 111e 1()()ln e 1ln e 1ln ln 02e e 211x x x xx x x h x h x x x x x --+⎛⎫+--=+--+-=-=-= ⎪++⎝⎭ 所以()1()ln e 12x h x x =+-为偶函数. （2）对任意的[ln 2,ln 4]x ∈，都有不等式()()ln 0g x f x x k --+≥恒成立，∴e 1ln ln 0e 1x x x k --+≥+恒成立， 即e 1ln ln 0e 1x x x lne k --+≥+在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立， 即()e e 1e 1x x x k +≥-在[ln 2,ln 4]x ∈上恒成立，令e 1,[1,3]x t t =-∈∴()e e 1(1)(2)23e 1x x x t t t t t+++==++- 令2()3,[1,3]g t t t t=++∈ 121212121212121222222()()3(3)()()()t t g t g t t t t t t t t t t t t t --=++-++=-+-=-当12,t t ⎡∈⎣且12t t <时，1212120,20,0t t t t t t -<-<>，则12()()0g t g t ->当12,t t ⎤⎦∈且12t t <时，1212120,20,0t t t t t t -<->>，则12()()0g t g t -< 可得()g t在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增 又20(1)6,(3)3g g ==，所以()g t 在[1,3]上的最大值为203 ∴203k ≥，即实数k 的取值范围是20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭．。

2022-2023学年广东省广州市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州市第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}{}1,0,1,0,2A B =-=，则集合A B ⋃中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】求得A B ⋃，由此判断出A B ⋃中元素的个数. 【详解】依题意{}1,0,1,2A B ⋃=-，有4个元素. 故选：D【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 2．与角330-终边相同的最小正角是（ ） A ．30- B ．330 C ．30 D ．60【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角330-终边相同的最小正角. 【详解】与角330-终边相同的最小正角为33036030-+=. 故选：C【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.3．若)11f x =+，则()3f 的值为（ ）A ．4B ．5C ．9D ．10【答案】B13=计算出x 的值，由此求得()3f 的值.13=由解得4x =，所以()3415f =+=. 故选：B【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.4．已知幂函数()()23mf x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（ ）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.5．若()()(0)f x tan x ωω=>的周期为1，则1()3f 的值为（ ）A．B．CD【答案】D【解析】根据()f x 的周期求得ω，由此求得13f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】依题意()()π1,π,tan πT f x x ωω====，所以1πtan 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．已知实数x ，y ，z 满足04x =，5log 3y =，πsin 22z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．z x y <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．x z y <<【答案】C【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案. 【详解】041x ==，55log 3log 51y =<=，πsin 2cos 22z ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而π2π2<<，所以0z <，所以z y x <<. 故选：C7．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为（ ）2cm A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为π4π4=，所以扇形面积为1π42π2⋅⋅=.故选：C【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，若实数m 满足()()()12120mf m m f m +-->，则m 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞【答案】C【分析】构造函数()()F x xf x =，根据()F x 的单调性和奇偶性化简不等式()()()12120mf m m f m +-->，进而求得m 的取值范围.【详解】依题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -=， 构造函数()()F x xf x =，则()()()()F x xf x xf x F x -=--=-=-， 所以()F x 是奇函数，图象关于原点对称. 由于1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，即()()12120F x F x x x -<-，所以()F x 在[)0,∞+上递减， 所以()F x 在R 上递减.由()()()12120mf m m f m +-->，即()()120F m F m +->，()()12F m F m >--， 即()()21F m F m >-， 所以21,1m m m <->， 所以m 的取值范围是()1,+∞. 故选：C二、多选题9．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()22,f t t g x x ==B ．()()cos ,sin 2f x x g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭C ．()()()20,(0)x x f x g x x x ⎧≥==⎨-<⎩D ．()()4lo ,log f x g x g x ==【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】()()22,f t t g x x ==对应关系和定义域显然相同，故A 正确；B 选项中，因为()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以B 正确；C 选项中，()2f x =的定义域为[0,)+∞，()g x 的定义域为R ，故C 不正确；D 选项中，显然()(),f x g x 的定义域都为(0,)+∞，又()24221lo log log 2f x g x x x ===，()12221log log l 2og x x g x ==，故D 正确. 故选：ABD10．下列说法正确的是（ ）A ．“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B ．“0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C ．“对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题D ．命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠” 【答案】AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；利用存在量词命题的否定可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若22ac bc >，则20c >，由不等式的性质可得a b >，即“22ac bc >”⇒“a b >”，若a b >，取0c ，则22ac bc =，即“22ac bc >”⇐/“a b >”， 故“22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件，A 对；对于B 选项，若0xy >，不妨取=1x -，1y =-，则0x y +<，即“0xy >”⇒“0x y +>”，若0x y +>，取=1x -，2y =，则0xy <，即“0xy >”⇐/“0x y +>”， 所以，“0xy >”是“0x y +>”的既不充分也不必要条件，B 错；对于C 选项，取x =22x =为有理数，C 错；对于D 选项，命题“R x ∃∈，210x +=”的否定是“R x ∀∈，210x +≠”，D 对. 故选：AD.11．已知函数()2π2sin 12f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>，的最小正周期为π，若m ，[]2π,2πn ∈-，且()()4f m f n ⋅=，则下列结论正确的是（ ）A ．ω的值为1B ．()()2f m f n ==-C ．5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．m n -的最大值为3π 【答案】ACD【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，再结合()f x 的最值、对称中心对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()2ππ2sin 1cos 2126f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于()f x 的最小正周期为π， 所以2ππ,12T ωω===，A 选项正确. 所以()π1cos 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于ππ1cos 21,1cos 2166x x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤-≤--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π01cos 226x ⎛⎫≤--≤ ⎪⎝⎭，当[],2π,2πm n ∈-时，要使()()4f m f n ⋅=，则()()2f m f n ==，B 选项错误. 5ππ3πcos 2cos 0662⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，5π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以5π,16⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，C 选项正确. 当()2f x =时，πcos 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π3π5π22π,π,Z 626x k x k k -=+=+∈，由5π2ππ2π6k -≤+≤，解得17766k -≤≤， 所以2,1,0,1k =--， 所以m n -的最大值为5π5ππ2π3π66⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD12．已知函数()[]πcos 2f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（ ）A ．函数12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数B ．()f x 的值域为{}1,0,1-C ．()f x 为周期函数，且最小正周期4T =D ．()f x 与7log 1y x =-的图像恰有一个公共点 【答案】BCD【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.【详解】对于A ，由于()110cos 0122f f ⎛⎫-+=== ⎪⎝⎭，()11π1cos 0222f f ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭所以1122f ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭1122f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()πππZ sin 222x k k k ⎛⎫=⋅∈∴⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-故B 正确；对于C ，由于[][]44x x +=+，所以()[][][]()πππ4cos 4cos 2πcos 222f x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标. 令7log 10x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点. 令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知a<0，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是______.【答案】5{|}2x x a -<<-【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较a -和52-的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】因为关于x 的不等式()225250x a x a +++<可化为：(25)()0x x a ++<，又因为a<0，所以52a ->-，所以不等式(25)()0x x a ++<的解集为5{|}2x x a -<<-，则关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集是5{|}2x x a -<<-，故答案为：5{|}2x x a -<<-.14．1cos80︒______. 【答案】4【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】1cos80︒==12sin802cos80cos10⎛⎫︒︒ ⎪⎝⎭︒=︒ ()2sin 8060cos80cos10︒-︒=︒︒ 2sin 20cos80cos10=︒︒︒22sin10cos104sin10cos10⨯⨯︒︒=︒︒=.故答案为：415．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是______. 【答案】π12##112π 【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得m 的取值范围，进而求得m 的最小值. 【详解】函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位后，得到()ππsin 2sin 2233y x m x m ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以ππππ2π,,Z 32212k m k m k +=+=+∈， 由于0m >，所以m 的最小值为π12. 故答案为：π1216．已知函数()21xf x -=-，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩，当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为______.【答案】4【分析】令()t f x =，得到()g t m =，由()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象得到根t 的分布， 再由()21x f x -=-的图象，得到()t f x =的根的个数即可. 【详解】解：令()t f x =，则()g f x m =⎡⎤⎣⎦，化为()g t m =，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩的图象如图所示：因为01m <<，所以()g t m =有三个不同的根123,,t t t ，其中()()()1230,1,1,2,2,3t t t ∈∈∈，函数()21xf x -=-的图象如图所示：由图象知：()1t f x =有2个不同的根，()2t f x =有1个根，()3t f x =有1个根， 所以当01m <<时，关于x 的方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为4， 故答案为：4四、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥．(1)当2a =时，求()R A B ⋃； (2)若RA B ⊆，求a 的取值范围．【答案】(1)(){}44R A B x x ⋃=-<< (2)3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果； （2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43RB x x =-<<，(){}44R A B x x ⋃=-<<.（2）RA B ⊆，当0a ≤时，A =∅，符合题意， 当0a >时，由23a ≤，得302a <≤， 故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．18．已知sin 24sin 3cos 24cos 1αααα-=-+，π0.2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， (1)求tan α和sin2α的值;(2)若πsin 2sin 2ββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求αβ+的大小．【答案】(1)tan 3α=，3sin 25α=；(2)3π4【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan 3α=，以及22tan sin2tan 1ααα=+求值；（2）条件等式由诱导公式可得sin 2cos tan 2βββ=⇒=，即可由和差公式求得()tan αβ+，结合αβ+范围即可.【详解】（1）()()2sin cos 2sin 24sin sin cos 4sin tan 3cos 24cos 12cos 4cos 2cos cos 2αααααααααααααα---====-+--２２，2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===++；（2）πsin 2sin 2cos tan 22ββββ⎛⎫=+=⇒= ⎪⎝⎭，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，∵()0,παβ+∈，∴3π4αβ+=.19．已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】(1)()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)最大值为12，最小值为1-【分析】（1）由三角恒等变换化简函数为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由整体法求单调递减区间即可；（2）由整体法求得函数值域，即可得最值.【详解】（1）()1cos 211π2cos 22cos 22223x f x x x x x +⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭， 令π22π,π2π3xk k kZ ，解得πππ,π63xk k kZ ，故()f x 的单调递减区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()π1cos 21,32f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为1-.20．已知函数()()2R 2x x af x a =+∈为定义在[]1,1-上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)设()()sin 2g x f x =，当π,12x θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（π12θ>）时，函数()g x ，求θ的取值范围.【答案】(1)1a =- (2)π5π1212θ<≤【分析】（1）由()00f =求得a 的值.（2）求得()g x 的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得θ的取值范围.【详解】（1）由于函数()22x xa f x =+是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以()()010,1,22x x f a a f x -=+==-=-，经检验符合题意.（2）()()sin2sin2sin 222x x g x f x -==-， ππ,22126x x θθ≤≤≤≤， 令sin 2t x =，()22t t h t -=-，则()()22t t h t h t --=-=-，所以()h t 是奇函数，且()h t 在R 上单调递增， 当π1sin 62t ==时，112212222h -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 要使()g x，则1sin 22t x =≥， 所以π5π266x ≤≤，所以π5ππ5π2,661212θθ<≤<≤. 21．生产A 产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x 万件()N x *∈，需要另外投入流动成本()g x 万元，且()214,072501135,7x x x g x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完. (1)写出利润()p x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)()2165,0725030,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为30-.【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得()p x .（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.【详解】（1）依题意，()()2165,0721055030,7x x x p x x g x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=--=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.（2）由（1）得()()21613,0725030,7x x p x x x x ⎧--+<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 当07x <<，所以()p x 的最大值为()613p =；当7x ≥时，50303030x x ⎛⎫-+≤-- ⎪⎝⎭当且仅当50,x x x==.由于3013-，所以当年产量为30-.22．已知函数()()2211f x x a x a =-+-+，R a ∈.(1)若()f x 在区间[]1,1-上不单调，求a 的取值范围；(2)已知关于x 的方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()2,0-(2)91,5⎫⎪⎭【分析】（1）结合二次函数的对称轴及其性质即可求解；（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，结合二次函数的实根分布讨论即可求解.【详解】（1）函数()()2211f x x a x a =-+-+的对称轴为1x a =+，由()f x 在区间[]1,1-上不单调，所以111a -<+<，解得20a -<<，所以a 的取值范围为()2,0-.（2）令()()22h x f x x x =++，方程()220f x x x ++=在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数()h x 在1,2上存在两个零点，因为()()()22221,102221,02a x a x h x f x x x x ax a x ⎧-+-+-<<=++=⎨--+≤<⎩， 且()h x 在0x =处图像不间断，当2a =-时，()23,10243,02x h x x x x -<<⎧=⎨++≤<⎩无零点； 当2a ≠-时，由于()()221h x a x a =-+-+在()1,0-上单调，所以()h x 在()1,0-内最多只有一个零点，不妨设()h x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，若()h x 有一个零点为0，则1a =，于是()26,1022,02x x h x x x x --<<⎧=⎨-≤<⎩， 零点为0或1，所以1a =满足题意，若0不是函数()h x 的零点，则函数()h x 在1,2上存在两个零点有以下两种情形：（i ）若110x -<<，202x <<，则()()()()100020h h h h ⎧-⋅<⎪⎨⋅<⎪⎩， 即()()()()1501950a a a a ⎧-+<⎪⎨--<⎪⎩，解得915a <<. （ii ）若1202x x <<<，则()()()()()()()2Δ4810022010295010150a a a h a h a h h a a ⎧=-->⎪⎪<<⎪⎨=->⎪⎪=->⎪-=-+>⎩11a <<. 综上所述，a的取值范围为91,5⎫⎪⎭.。

广东省广州市天河区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

广东省广州市天河区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

m m
a b
D．
b
a
m
a b
4．已知点
1,
3
在角
的终边上，则
tan
π 4
的值为（
）
A． 1 2
B． 2
C．
1 2
D．2
5．如图中，①②③④中不属于函数
y
3x
，
y
2x
，
y
1 2
x
中一个的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
6．已知
f
x
x2
1,
2x,
x 0 ，若 f a 5 ，则实数 a 为（
本 固定成本)
(2)当年产量为多少时，年利润 L x 最大? 并求出最大年利润.
21．已知函数
f
x
4cosxsin
x
π 3
3,x R ．
(1)求函数 f x 的最小正周期以及单调递减区间；
(2)设函数 g x
f
x
π 12
4cos
x
1，求函数
g
x
在
π 6
,
5π 6
上的最大值、最小值．
12．已知函数
f
x
ex 1, x m x2 4x 4,
x
m
（
m
R, e
为自然对数的底数），则（
）
A．函数 f x 至少有 1 个零点
B．函数 f x 至多有 1 个零点
试卷第 2页，共 4页
C．当 m 3 时，若 x1
x2 ，则
f
x1 f x2
x1 x2
0
D．当 m 0 时，方程 f f x 0 恰有 4 个不同实数根

2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学试题(含解析)

【详解】对于 B，令 2x k , k Z ，得 x k , k Z ，
2
24
可知
f
x
的定义域为
x
x
k
,k
Z
，故
B
错误；
24
对于 A，定义域关于原点对称，且 f x tan 2x tan 2x f x ，故 f x 是奇
函数，故 A 正确；
对于 C，令 k 2x k , k Z ，解得 k x k , k Z ，
f
x
1 x 1
sin
x 2
2021
的零点问题转化为函数
y
1 x 1 和
y sin x 的图象的交点问题，因此可作出二者的图象，则问题可解. 2
【详解】因为 sin
x 2
2021
sin x 2
，所以由
f
x 0 ，得
1 x 1
sin
x 2
，
因为函数 y
1 x 1
与
y
sin
x 2
的图象都关于直线
x
最小正周期为
，在区间
π 2
,
π
上
y
sin
x
sin
x 单调递减，
所以 A 错误；
对于
B，
y
cos
x
最小正周期为 2
，在区间
π 2
,π
上单调递减，所以
B
错误；
对于
C，
y
tan
x
最小正周期为
，在区间
π 2
,
π
上单调递增，所以
C
正确；
对于 D， y cos 2x 最小正周期为 T

广东省广州市天河区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)

广东省广州市天河区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
【小问1详解】
，
令 ，
解得 ，
则 的单调递减区间为 ；
【小问2详解】
函数 在 上有两个零点，可转化为 在 上有两个解，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ， ，
要使 在 上有两个解，则 .
即k的取值范围为 .
21.近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）确定 ， ，再计算补集得到答案.
（2）根据充分条件得到 ，得到 ，解得答案.
【小问1详解】
，故 ， ，
【小问2详解】
“ ”是“ ”的充分条件，故 ，故 ，
解得 ，故a 取值范围是
18.（1）化简: ；
（2）已知 ， ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【答案】（1）证明见解析
（2） 在区间 上是增函数；证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据函数奇偶性的定义证明即可；
(2)根据函数的单调性的定义证明即可.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，关于原点对称，
函数 ，又
所以，函数 为奇函数.
【小问2详解】
在区间 上是增函数.
证明：对于任意 且 ，
作差： ，
,
因为 ，
所以 ，
综上可知， .
故选：A
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列说法正确的是（）

2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学学情检测模拟试卷合集2套(含答案)

2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学学情检测模拟试卷合集2套(含答案)

2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．设集合{|14}A x x =≤≤，{}2|log ,B y y x x A ==∈，则A B = （）A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1,4]D ．[2,4]【正确答案】B【分析】先化简得=[0,2]B ，再利用交集的定义求解.【详解】解：由题得{}2|log ,=[0,2]B y y x x A==∈，所以A B = [1,2].故选：B2．已知集合{}220A x x x =--<，{}213B x a x a =-<<+，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则a 的取值范围为（）A ．[]1,0-B ．()1,0-C ．[)4,+∞D ．()4,+∞【正确答案】A【分析】根据“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，转化为A B ，利用集合之间的包含关系，即可求出a 的取值范围.【详解】解：220x x --<，解得12x -<<，即{}12A x x =-<<，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则AB ，21132a a -≤-⎧∴⎨+≥⎩且等号不同时成立，解得10a -≤≤，所以a 的取值范围为[]1,0-，故选：A.3．下列函数既是奇函数又在()1,1-上是增函数的是（）A ．cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2y x=-C ．22x x y -=+D ．lg(1)y x =+【正确答案】A【分析】对于A ，利用诱导公式化简，可判断是否符合条件；对于B ，定义域中不含零，可判断不符合条件；对于C ，根据其奇偶性可判断；对于D ，判断该函数的奇偶性可知是否满足条件.【详解】cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭是奇函数，在[,]22ππ-上单调递增，故在()1,1-上是增函数，故A满足条件；2y x=-定义域内不能取到零，在()1,1-内x =0时无意义，故B 不满足条件；对于()22x xy f x -==+满足()()f x f x -=是偶函数，故C 不满足条件；对于()lg(1)y f x x ==+，()()()()2lg 1lg(1lg 1f x f x x x x -+=-+++=-），结果不是恒等于零，故lg(1)y x =+不是奇函数，故D 不满足条件,故选：A.4．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ､直角边AB ､AC ，已知以直角边AC ､AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC θ∠=，则sin 2cos cos sin θθθθ-+的值为（）A ．-1B ．-2C ．0D ．1【正确答案】A【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得12AC AB =，即有1tan 2θ=，将目标式由弦化切求值即可.【详解】以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：()221228AC AC ππ⋅⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，()221228AB AB ππ⋅⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，由面积之比为14，得：()()2214AC AB =，即12AC AB =，在Rt ABC 中，1tan tan 2AC ABC AB θ=∠==，则12sin 2cos tan 2211cos sin 1tan 12θθθθθθ---===-+++，故选：A.5．已知定义在R 上的函数()f x 在[)1,-+∞上单调递增，若()20f =，且函数()1f x -为偶函数，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．()2,+∞B ．()()4,10,--⋃+∞C ．()4,-+∞D ．()()4,02,-⋃+∞【正确答案】D【分析】分析可知函数()f x 的图象关于直线=1x -对称，可得出函数()f x 的单调性，分析()f x 的符号变化，由()0xf x >可得()00x f x <⎧⎨<⎩或()00x f x >⎧⎨>⎩，解之即可.【详解】因为函数()1f x -为偶函数，则()()11f x f x --=-，故函数()f x 的图象关于直线=1x -对称，因为函数()f x 在[)1,-+∞上单调递增，故函数()f x 在(],1-∞-上单调递减，因为()20f =，则()40f -=，所以，由()0f x <可得42x -<<，由()0f x >可得<4x -或2x >，解不等式()0xf x >，可得()00x f x <⎧⎨<⎩或()00x f x >⎧⎨>⎩，解得40x -<<或2x >，故不等式()0xf x >的解集为()()4,02,-⋃+∞.故选：D.6．若202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120202021b =，20201log 2021c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．b a c>>【正确答案】D【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由函数12020x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2021xy =，2020log y x =的单调性可知20211012020a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1202020211b =>，20201log 02021c =<，故b a c >>.故选：D7．函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[0，2]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）A ．[π，2π）B ．9,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．139,122ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．917,88ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】首先代入求4x πω+的取值范围，再根据三角函数的图象，列式求ω的取值范围.【详解】当[]0,2x ∈时，,2444x πππωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若函数在此区间恰取得两个最大值，则592242πππω≤+<，解得.91788ππω≤<故选：D8．对于,a b R ∈，定义运算“⊗”：22,,a ab a ba b b ab a b⎧-≤⊗=⎨->⎩，设()(21)(1)f x x x =-⊗-，且关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有三个互不相等的实数根123,x x x ,，则123x x x ++的取值范围是（）A ．54⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．51,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)【正确答案】A由题设写出()f x 的解析式，222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，再结合函数图像可知231x x +=，再求出1x 的范围，即可求得结果.【详解】由题设知22(21)(21)(1),211()(21)(1)(1)(21)(1),211x x x x x f x x x x x x x x ⎧-----≤-=-⊗-=⎨----->-⎩化简整理得：222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，画出函数的图像，如下图由1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设1230x x x <<<，则23x x ,是2x x t -+=的两个根，关于12x =对称，故231x x +=，下面求1x 的范围：211120x x t x ⎧-=⎨<⎩，解得：111+84tx -=10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，()181,3t ∴+∈，()11813,0t ∴+∈，故113x ⎫-∈⎪⎪⎝⎭所以123534x x x ⎛⎫∈ ⎝+ +⎪⎪⎭故选：A.方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若x y xy +=(x >0，y >0)，则x +y 的最小值为4B ．扇形的半径为1，圆心角的弧度数为3π，则面积为6πC ．若8log 3,p =3log 5,q =，则3lg513pq pq=+D ．定义在R 上的函数()31x m f x -=-为偶函数，记0.52(log 3),(log 5),(2)a f b f c f m ===，则a <b <c 【正确答案】ABC【分析】对于A ，直接利用基本不等式求解即可；对于B ，直接根据扇形的面积公式求解；对于C ，利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解；对于D ，利用偶函数()()f x f x -=，可得||||x m x m +=-，解得0m =，可得()f x ，再利用函数的性质即可比较大小．【详解】对于A ：因为2()44x y x y xy x y ++=≤⇒+≥(x >0，y >0)，当且仅当==2x y 时取等号，则x +y 的最小值为4，故正确；对于B ，扇形的半径为1，圆心角的弧度数为=3πα，面积为S ，2111223S r πα∴==⨯⨯6π=．∴该扇形的面积为6π，故正确；对于C ：833log 3832lg lg p lg lg === ，332lg plg ∴=．35log 53lg q lg == ，53323(15)lg qlg pqlg pq lg ∴===-，3513pqlg pq∴=+，故正确；对于D ：定义在R 上的函数||()31(x m f x m -=-为实数）为偶函数，()()f x f x ∴-=，||||x m x m ∴+=-，0m ∴=．||()31x f x ∴=-．所以函数()f x 在[)0,∞+上单增，0.522(log 3)(3)(3)a f f log f log ∴==-=，又22035log log <<所以22(0)(3)(5)c f a f log b f log =<=<=；c a b ∴<<，故错误.故选：ABC ．10．设a 、b 、c 为实数且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．ln ln a b>C ．()20221a b ->D ．()()2211a c b c +>+【分析】取0a b >>，可判断A 选项；利用对数函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数的单调性可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，函数ln y x =的定义域为()0,∞+，而a 、b 不一定是正数，所以B 错误；对于C ，因为0a b ->，所以()20221a b ->，所以C 正确；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：CD11．设函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线E ，则下列结论中正确的是（）A ．π(,0)12-是曲线E 的一个对称中心B ．若12x x ≠，且12()()0f x f x ==，则12||x x -的最小值为2πC ．将曲线sin 2y x =向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合D ．将曲线πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合【正确答案】BD【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.【详解】函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线E ，令12x π=-，求得()1f x =-，为最小值，故()f x 的图象关于直线12x π=-对称，故A 错误；若12x x ≠，且12()()0f x f x ==，则12||x x -的最小值为122222T ππ=⨯=，故B 正确；将曲线sin 2y x =向右平移π3个单位长度，可得2sin 23y x π⎛⎫=- ⎝⎭的图象，故C 错误；将曲线πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，与曲线E 重合，故D 正确，故选：BD.12．已知函数()e 4xf x x =+-和()ln 4g x x x =+-的零点分别是α和β，则下列结论正确的有（）A ．4αβ+=B ．2βα-<C ．eαβ<D ．ln ln 4ln2αββα+<【分析】根据函数的零点、函数图象的对称性化简已知条件，结合图象、零点存在性定理、不等式的性质等知识求得正确答案.【详解】由()e 40xf x x =+-=得e 4x x =-+；由()ln 40g x x x =+-=得ln 4x x =-+，e x y =和ln y x =的图象关于直线y x =对称，直线4y x =-+和直线y x =垂直，也即直线4y x =-+的图象关于y x =对称.由4y x y x =-+⎧⎨=⎩解得22x y =⎧⎨=⎩，设()2,2C .设直线4y x =-+与e x y =的图象交于点(),eA αα，e4αα=-+①，设直线4y x =-+与ln y x =的图象交于点(),ln B ββ，ln 4ββ=-+②，则224αβ+=⨯=，A 选项正确.e ln 4αβ+=，而①-②得()e ln 4ln ln 42ln αβαββββ-=-=--=-，对于函数()ln 4g x x x =+-，()g x 在()0,∞+上递增，()()e ln e e 4e 30,3ln 310,e 3g g β=+-=-<=-><<，所以1ln ln 3,22ln 2ln 3ββ<<<<，所以42ln 2βαβ-=-<，B 选项正确.对于函数()e 4xf x x =+-，()f x 在()0,∞+上递增，()()21e 30,2e 20f f =-<=->，所以12α<<，所以e αβ>，C 选项错误.() 1.3 1.31.3e 1.34e 2.70f =+-=->，则1 1.3α<<，所以 1.3ln 1.3ln 3ln 3αβ<⨯=，对于 1.53和6，两者分别平方得()21.5323327,636===，所以 1.3ln 3ln 6<.而3ln 3ln1.3ln1.3ln 2.197βα<⨯==，()ln ln ln 6ln 2.197ln 6 2.197ln164ln 2αββα+<+=⨯<=，D 选项正确.故选：ABD本题解题的突破口在于数形结合的思想方法，首先要注意观察题目所给已知条件间的联系，转化后画出相应函数的图象，结合图象分析对称性、零点等，从而达到解题的目标.三、填空题13．已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.【正确答案】13【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故13本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知())2021log sin 8f x a x b x =+--（a ，a 为常实数），若()54f -=，则()5f =___________.【正确答案】20-【分析】由()()16f x f x -+=-得出()()5516f f -+=-，进而得出()5f .【详解】()()2021log sin 8f x a x b x⎫-=----⎪⎭，())2021log sin 8f x a x b x -=-++-，∴()()16f x f x -+=-，∴()()5516f f -+=-，∵()54f -=，∴()520f =-.故20-15．若直线2y a =与函数()10,1xy a a a =->≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______.【正确答案】102a <<【分析】就a 的取值分类讨论后可得a 的取值范围.【详解】直线2y a =与()10,1xy a a a =->≠的图象有两个公共点，故12xa a -=有两个不同的解，故121x x a a a ⎧≥⎨=+⎩和121x x a a a ⎧<⎨=-+⎩共有两个不同的解，因为211a +>，故121x x a a a ⎧≥⎨=+⎩有且只有一个实数解.若1a >，则120a -<，故121x x a a a ⎧<⎨=-+⎩无解，而121x x a a a ⎧≥⎨=+⎩只有一个解，故12xa a -=有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍；若01a <<，因为121x x a a a ⎧≥⎨=+⎩只有一个解，故121x x a a a ⎧<⎨=-+⎩需有一解，故0121a <-<，故102a <<.故答案为.102a <<16．如下图，OAB 是边长为2的正三角形，记OAB 位于直线()02x t t =<<左侧的图形的面积为()f t ，现给出函数()f t 的四个性质，其中说法正确的是__________．①1324f ⎛⎫=⎪⎝⎭②()f t 在()0,2上单调递增③当1t =时，()f t 取得最大值④对于任意的()0,2t ∈，都有()()23f t f t +-=【正确答案】②④【分析】先分析出()223,01333,122t f t t t ⎧<≤⎪=⎨⎪+-<<⎪⎩,再根据分段函数性质依次判断即可【详解】由题可知,OB 所在直线为3y x =,AB 所在直线为33y =则当01t <≤时,()213322f t t t t ==；当12t <<时,()()()223132233233422f t t t t t =---=-+则()223,013233,122t f t t t <≤=⎨⎪+-<<⎪⎩,①当12t =时,213132228f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭,故①错误；②易知,()f t 在(]0,1上单调递增,在()1,2上单调递增,且223331=1+2313222⨯=-⨯⨯-则()f t 在()0,2上单调递增,故②正确；③因为()f t 在()0,2上单调递增,则无最大值,故③错误；④由题,当12t <<时,())22332332322f t t t =+=--+,当01t <<时,122t <-<,则()()()2222222f t f t t t +-=---⎡⎤⎣⎦,当12t <<时,021t <-<,则()()))22222f t f t t t -+=---+当1t =时,21t -=,则()()()222121f t f t f +-==⨯,故④正确；故答案为②④本题考查分段函数的应用,考查二次函数单调性与最值问题,考查求函数值,考查运算能力四、解答题17．已知集合{A x y ==，{}260B x x x =--<，{}C x x a =<，全集U =R(1)求A B ⋃，()U A B ⋂ð；(2)若A C ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)(]2,8A B =- ；()()2,2U A B =- ð(2)()2,+∞【分析】（1）根据偶次根式被开方数大于等于零，进而解一元二次不等式分别求得集合,A B ，由并集、补集和交集的定义可得结果；（2）由A C ⋂=∅可得a 的范围，取补集即可得到A C ⋂≠∅时a 的范围.【详解】（1）由210160x x -+-≥得：28x ≤≤，即[]2,8A =；由260x x --<得：23x -<<，即()2,3B =-，(]2,8A B ∴=- ；()(),28,U A =-∞+∞ ð，()()2,2U A B ∴=- ð.（2）由题意知：(),C a =-∞；若A C ⋂=∅，则2a ≤，A C ∴≠∅ 时，a 的取值范围为()2,+∞.18．（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos 2f πθπθπθθπθ-+-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，求73f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos 5αα+=-，2απ<<π，求sin(3)cos(2)sin()sin 2παπαπαα--++⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】（1（2）17.【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()f θ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos 5αα+=-平方求出sin cos αα的值，从而求出cos sin αα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tan sin()cos()tan(3)()sin 3sin cos 2f θθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫- ⎪⎝⎭所以77sin sin 2sin 33332f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2απ<<π，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭关键点睛：本题考查利用诱导公式化简，利用同角三角函数关系求值，解答本题关键是由同角三角函数的关系根据1sin cos 5αα+=-，先求出242sin cos 25αα=-，结合角的范围求出cos sin αα-的值，属于中档题.19．比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h ．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示：x 0104060Q142044806720为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()250Q x x x cx =-+；②22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；3()300log a Q x x b =+．(1)当060x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶50km ，高速上行驶300km ．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速x （单位：km/h ）满足[80,120]x ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的关系满足2()210200(80120)N x x x x =-+≤≤）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？【正确答案】(1)选①3211()250Q x x x cx =-+，321()216050Q x x x x =-+(2)当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为50km/h 最少，最少为51250wh ．【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【详解】（1）解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，1022(10)13Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以1022(10)113Q ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故不符合题意，故选①3211()250Q x x x cx =-+，由表中的数据可得，3211021010142050c ⨯-⨯+⨯=，解得160c =∴321()216050Q x x x x =-+．（2）解：高速上行驶300km ，所用时间为300h x，则所耗电量为()2300300100()()2102006003000f x N x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=+- ⎪⎝⎭，由对勾函数的性质可知，()f x 在[80,120]上单调递增，∴min 100()(80)60080300045750wh 80f x f ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭，国道上行驶50km ，所用时间为50h x，则所耗电量为32250501()()2160100800050g x Q x x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭，∵060x ≤≤，∴当50x =时，min ()(50)5500wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为50km/h 时，该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为45750550051250wh +=．20．已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.【正确答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）π3.【分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）()1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.21．已知函数()3()log 91xf x kx =++是偶函数.(1)当0x ≥，函数()y f x x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围；(2)设函数()3()log 32xh x m m =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)[)3log 2,0-(2)()1,+∞⎪⎪⎩⎭【分析】（1）利用偶数数的定义()()f x f x -=，即可求出实数k 的值，从而得到()f x 的解析式；令()0f x x a -+=，得()a f x x -=-，构造函数()()g x f x x =-，将问题转化为直线y a =-与函数()y g x =的图象有交点，从而求出实数a 的取值范围；（2）依题意等价于关于x 的方程()33log (32)log 33x x xm m -⋅-=+只有一个解，令3x t =，讨论2(1)210m t mt ---=的正根即可．【详解】（1）解：()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，即33log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对任意x ∈R 恒成立，23333912log (91)log (91)log log 3291x xxx x kx x ---+∴=+-+===-+，1k ∴=-．即()3()log 91xf x x =+-，因为当0x ≥，函数()y f x x a =-+有零点，即方程3log (91)2x x a +-=-有实数根．令3()log (91)2x g x x =+-，则函数()y g x =与直线y a =-有交点，333()log (91)2log (91)log 9x x x g x x =+-=+- 33911log log (1)99x x x +==+，又(]111,29x+∈，(]331()log (1)0,log 29x g x ∴=+∈，所以a 的取值范围是[)3log 2,0-．（2）解：因为()()()3333391()log 91log 91log 3log log 333x xxxx xx f x x -+=⎛ =+-⎫⎪⎝⎭=+-=+，又函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，则关于x 的方程()33log (32)log 33x x xm m -⋅-=+只有一个解，所以3233x x x m m -⋅-=+，令3(0)x t t =>，得2(1)210m t mt ---=，①当10m -=，即1m =时，此方程的解为12t =-，不满足题意，②当10m ->，即1m >时，此时()2244(1)410m m m m ∆=+-=+->，又12201mt t m +=>-，12101t t m -=<-，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当10m -<，即1m <时，由方程2(1)210m t mt ---=只有一正根，则需244(1)(1)0202(1)m m m m ⎧--⨯-=⎪-⎨->⎪-⎩，解得m =综合①②③得，实数m的取值范围为：()1,+∞⎪⎪⎩⎭．22．对于函数()f x ，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则称()f x 为定义域上的“伪奇函数”．（1）试判断()|cos |f x x =是否为“伪奇函数”，简要说明理由；（2）若2()log (sin )1f x x m =++是定义在区间[,33ππ-上的“伪奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）试讨论22()4243x x f x m m +=-+- 在R 上是否为“伪奇函数”？并说明理由．【正确答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（21m <≤；（3）答案见解析.【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=，即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解，结合三角函数的性质即可求解；（3）由题意可知，2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解，令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，再分类讨论即可得出结果【详解】（1）(0()22f f ππ-== ，()()022f f ππ∴-+=．()|cos |f x x ∴=是“伪奇函数”．（2）()f x 为“伪奇函数”，()()0f x f x ∴+-=，即22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=，即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解．sin [x ∈ ，2211sin [,1]44m x ∴=+∈．又sin 0m x +> 在[,]33ππ-恒成立，max (sin )2m x ∴>-．1m <≤．（3）当22()4243x x f x m m +=-+- 为定义域R 上的“伪奇函数”时，则()()f x f x -=-在R 上有解，可化为2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解，令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即可保证()f x 为“伪奇函数”，令22()488F t t mt m =-+-，则①当(2)0F ≤时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即22210m m --≤，解得1122m -+≤≤．②当(2)0F >时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩解得12m <m ≤≤时，22()4243x x f x m m +=-+- 为定义域R 上的“伪奇函数”，否则不是．2023-2024学年广东省广州市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当α是第四象限角时，3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈，即2α是第二或第四象限角.当324απ=为第二象限角，但32πα=不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A2．已知集合{}12A x x =->，集合{}10B x mx =+<，若A B A ⋃=，则m 的取值范围是（）A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．1,0(0,1]3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【正确答案】B【分析】将集合A 化简，根据条件可得B A ⊆，然后分0m =，0m <，0m >讨论，化简集合B ，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因为1212x x ->⇒->或12x -<-，解得3x >或1x <-即{}31A x x x =><-或，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆当0m =时，B =∅，满足要求.当0m >时，则110mx x m+<⇒<-，由B A ⊆，可得111m m-≤-⇒≤，即01m <≤当0m <时，则110mx x m+<⇒>-，由B A ⊆，可得1133m m -≥⇒≥-，即13m -≤<综上所述，1,13m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:B.3．周期为π的函数cos()y x ωϕ=+0ω>0ϕπ<<的部分图像如图所示，则ϕ=（）A ．3π-B ．23πC ．6πD ．56π【正确答案】C【分析】根据函数周期求得2ω=，结合图像知()cos()063f ππϕ=+=，从而求得ϕ.【详解】函数周期为π，则2ω=，()cos()063f ππϕ=+=，则6k πϕπ=+，Z k ∈，又0ϕπ<<，则6πϕ=故选：C4．设函数()2log f x x x m =+-，若函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，则m 的取值范围是（）A ．7,54⎫⎛- ⎪⎝⎭B ．7,114⎫⎛- ⎪⎝⎭C ．9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭D ．9,114⎫⎛ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上单调递增，结合零点存在性定理，函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，需1()04(8)0f f ⎧<⎪⎨⎪>⎩，求解即可.【详解】函数()2log f x x x m =+-在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上递增，则函数()f x 在1,84⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在零点，需22111(log 0444(8)8log 80f m f m ⎧=+-<⎪⎨⎪=+->⎩，解得7114m -<<.故选：B.5．设函数2()1f x mx mx =--，若对于[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】将恒成立问题转化为函数在区间上的最值问题，故只需研究()f x 在[1,3]x ∈的单调性并求出其最小值，再解不等式即可.【详解】当0m =时，()1f x =-，由1m ->-，得1m >，不符合题意；当0m ≠时，函数()f x 的对称轴为12x =，当0m >时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递增，此时函数min ()(1)1f x f ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需1m ->-，解得1m >，所以1m >；当0m <时，函数()f x 在区间[1,3]上单调递减，此时函数min ()(3)61f x f m ==-，要使[1,3]x ∈，()>-f x m 恒成立，只需61m m ->-，解得17m >，不符合题意；综上：实数m 的取值范围是(1,)+∞.故选：B6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为0T ，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T 满足()01e a ha tT T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，h 为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.50≈，lg 50.70≈，lg11 1.04≈.）（）A ．4分钟B ．5分钟C ．6分钟D ．7分钟【正确答案】C【分析】根据已知条件求出参数h 的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.【详解】根据题意可知25C a T =︒，080C T =︒，()01e a ha t T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即1t =，75C T =︒，所以()1175258025e h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得11e e 15010log log 5511h ==，则1e110log 11h =，所以要使得该茶降至55C ︒，即55C T =︒，则有()155258025e t h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得11e e306log log 5511t h ==，故1e1e 1e66log lg 116lg 6lg11lg 2lg 3lg1111log 101011lg10lg111lg11log lg 1111t h -+-=⨯====--0.30.5 1.04611.04+-==-，所以大约需要等待6分钟.故选：C.7．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()112,2f x f x f x ++-=+为偶函数，若()02f =，则1151()k f k ==∑（）A ．116B ．115C ．114D ．113【正确答案】C【分析】由()()112f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4，再结合()2f x +为偶函数，可得()f x 也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.【详解】由()()112f x f x ++-=，得()()22f x f x ++=，即()()22f x f x +=-，所以()()()()42222f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，又()2f x +为偶函数，则()()22f x f x -+=+，所以()()()4f x f x f x =-=-，所以函数()f x 也为偶函数，又()()112f x f x ++-=，所以()()1+3=2f f ，()()242f f +=，所以()()()()12344f f f f +++=，又()()112f f +-=，即()212f =，所以()11f =，又()()022f f +=，()02f =，()20f ∴=，所以()()()()()()()()115112342812342820114k f k f f f f f f f =⎡⎤=+++⨯+++=⨯++=⎣⎦∑故选.C8．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（）A ．125B ．85C ．165D ．185【正确答案】A由一条对称轴和一个对称中心可以得到131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ，由() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可以得到191312122T ππ-≤，算出ω的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：131264TkT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Zω=+∈∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤∴12222ππωω≤⋅⇒≤①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω=此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k ≥时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.故选：A.本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.二、多选题9．若01a <<，则（）A ．()()log 1log 1a a a a -<+B ．()log 10a a +<C ．()()113211a a -<-D ．11a a -<【正确答案】BD【分析】利用指数函数的图象及性质，对数函数的图象性质分析即可.【详解】当01a <<时，则0111a a <-<<+，又函数()log 01a y x a =<<在()0,∞+上是减函数，所以()log 10a a ->，()log 10a a +<，A 错误，B 正确；()1xy a =-是减函数，所以()()113211a a >--，C 错误，x y a =也是减函数，所以101a a a -<=，D 正确.故选：BD.本题考查指数式、对数式比大小问题，考查指数函数、对数函数的图象及性质的运用，难度一般.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（）A ．点P 再次进入水中时用时30秒B ．当水轮转动50秒时，点P 处于最低点C ．当水轮转动150秒时，点P 距离水面2米D ．点P 第二次到达距水面(1米时用时25秒【正确答案】BCD【分析】以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点P 距离水面的高度2sin 1306H t ππ⎛⎫=-+ ⎝⎭，逐一分析各选项即可求解.【详解】解：由题意，角速度26030ππω==弧度/秒，又由水轮的半径为2米，且圆心O 距离水面1米，可知半径0OP 与水面所成角为6π，点P 再次进入水中用时为264030πππ+⨯=秒，故A 错误；当水轮转动50秒时，半径0OP 转动了550303ππ⨯=弧度，而53362πππ-=，点P 正好处于最低点，故B 正确；以O 为原点，以与水平面平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点P 距离水面的高度()sin (0,0)H A t B A ωϕω=++>>，由max min31H A B H A B =+=⎧⎨=-+=-⎩，所以21A B =⎧⎨=⎩，又角速度26030ππω==弧度/秒，0=t 时，06xOP π∠=，所以30πω=，6πϕ=-，所以点P 距离水面的高度2sin 1306H ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当水轮转动150秒时，将150t =代入，得2H =，点P 距离水面2米，故C 正确；将1H =代入2sin 1306H t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，得23063t k ππππ-=+，或223063t k ππππ-=+，即6015t k =+，或6025t k =+()k N ∈．所以点P第二次到达距水面(1+米时用时25秒，故D 正确．故选：BCD ．11．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中, a b R ∈，且的0ab ≠，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则（）A ．56f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数【正确答案】BC【分析】由()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可知4x π=为()sin cos f x a x b x =+的一条对称轴，结合辅助角公式，可得a b =，进而可得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再分别判断选项即可.【详解】由题意得，()()sin cos sin f x a x b x x ϕ=++，因()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，故4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b +=a b =，故()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于选项A ，9sin 520f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5sin612f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，虽然95sin sin 2012ππ>，但时a 正负不知，故5f π⎛⎫ ⎪⎝⎭与6f π⎛⎫⎪⎝⎭无法比较大小，故A 错；对于选项B ，因55sin cos sin 22444f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，因sin 4f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，故C 正确；对于选项D ，sin cos 42f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故D 错.故选：BC.本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数的图像性质.对于图像性质问题，一般情况下需先把解析式化成()()sin ωφf x A x B =++的形式，再结合sin y x =的图像性质即可解决.12．设函数()f x 是定义在R 上的函数，满足()()0f x f x --=，且对任意的x R ∈，恒有()()22f x f x +=-，已知当[]0,2x ∈时，()22x f x -=，则有（）A ．函数()f x 是周期函数，且周期为2B ．函数()f x 的最大值是4，最小值是1C ．当[]2,4x ∈时，()22xf x -=D ．函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减【正确答案】BD【分析】推导出函数()f x 的周期，可判断A 选项的正误；求出函数()f x 在区间[]0,2上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B 选项的正误；利用函数的奇偶性和周期性求出函数()f x 在[]2,4上的解析式，可判断C 选项的正误；利用C 中的解析式结合周期性可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由已知可得()()()222f f f x x x -=+-=，则()()4f x f x +=，故函数()f x 是周期函数，且周期为4，A 选项错误；对于B 选项，当[]0,2x ∈时，()[]221,4xf x -=∈，由于函数()f x 为偶函数，则当[]2,0x ∈-时，()[]1,4f x ∈，所以，当[]2,2x ∈-时，()[]1,4f x ∈，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 的最大值是4，最小值是1，B 选项正确；对于C 选项，当[]2,0x ∈-时，()()22xf x f x +=-=，当[]2,4x ∈时，[]42,0x -∈-，则()()()242422x x f x f x +--=-==，C 选项错误；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在[]2,0-上单调单调递增，在[]0,2上单调递减，由于函数()f x 是周期为4的周期函数，故函数()f x 在[]2,4上单调递增，在[]4,6上单调递减，D 选项正确.故选：BD.三、填空题13．已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.【正确答案】()2f x x=【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：()f x 是幂函数，211m ∴-=，解得2m =或0m =，若2m =，则()0f x x =，在()0+∞，上不单调递减，不满足条件；若0m =，则()2f x x =，在()0+∞，上单调递增，满足条件；即()2f x x =.故()2f x x=14．如图所示，弧田是由圆弧 AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧 AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【正确答案】6π-【分析】根据题意得34AOB πα∠==，进而根据扇形面积公式计算即可得答案.【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，设AOB α∠=，因为弧田的弧 AB 长为3π，弧所在的圆的半径为4，所以34πα=，所以阴影部分的面积为113444sin 622παπ⨯⨯-⨯⨯⨯=-所以弧田的面积是6π-故6π-15．已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【正确答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x yx y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y yx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为.9416．已知函数()f x 满足()21,0lg ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()()22420f x mf x m -++=⎡⎤⎣⎦有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【正确答案】[]1,3【分析】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，原问题等价于22420t mt m -++=有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】令()t f x =，则方程22[()]4()20f x mf x m -++=转化为22420t mt m -++=，作出函数()f x 的图象如下图所示，由题意，方程22[()]4()20f x mf x m -++=有五个不相等的实数根，即22420t mt m -++=有一个根()11,t ∈+∞，一个根(]20,1t ∈或有一个根10t =，一个根(]20,1t ∈令22()42h t t mt m =-++，当有一个根()11,t ∈+∞，一个根(]20,1t ∈则()()2222Δ4420(1)1420m m h m m ⎧=--+>⎪⎨=-++≤⎪⎩解得：13m ≤≤，当有一个根10t =，一个根(]20,1t ∈则()()()22222Δ4420114204102220m m h m m m m ⎧=--+>⎪⎪=-++≥⎪⎨-<-≤⎪⎪+=⎪⎩解得：m ∈∅，综上，实数m 的取值范围为[]1,3故[]1,3方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。

广东省广州市高一上学期期末数学试题(解析版)

广东省广州市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．命题“”，则为（ ） :p ()2,240x x a x ∃∈+-+≤R p ⌝A ．B ．()2,240x x a x ∀∈+-+>R ()2,240x x a x ∀∈+-+≤R C ． D ．()2,240x x a x ∃∈+-+≥R ()2,240x x a x ∃∈+-+>R 【答案】A【分析】根据存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.【详解】的否定为：，()2,240x x a x ∃∈+-+≤R ()2,240x x a x ∀∈+-+>R 故选：A.2．函数的零点所在区间为（ ） ()4ln 1f x x x=-+A ． B ． (0,1)(1,2)C ． D ．(2,3)(3,4)【答案】C【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数, ()f x (0,)+∞又，，(2)ln221ln210f =-+=-<()413ln31ln3033f =-+=->由零点存在定理可知,零点所在区间为. (2,3)故选:.C 3．已知集合，则（ ） {}{N2},4A x x B x x =∈>-=≤∣∣A B = A ． B ． {}1,0,1,2,3,4-{24}xx -<<∣C ． D ． {}0,1,2,3,4{24}xx -<≤∣【答案】C【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合， {}{N2},4A x x B x x =∈>-=≤∣∣所以， A B = {}{N24}0,1,2,3,4x x ∈-<≤=∣故选：C.4．已知，则（ ）tan 2α=2sin cos cos sin αααα-=-A ．B ．C ．2D ．33-2-【答案】A【分析】进行弦化切，代入求解. 【详解】因为，所以.tan 2α=cos 0α≠所以. sin cos 22sin cos 2tan 1221cos cos 3cos sin cos sin 1tan 12cos cos αααααααααααααα---⨯-====-----故选：A5．二次不等式的解集为，则的值为（ ）210ax bx ++>1{|1}3x x -<<ab A ． B ．5 C ． D ．65-6-【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可. 【详解】不等式的解集为，210ax bx ++>1{|1}3x x -<<，<0a ∴原不等式等价于，∴210ax bx ---<由韦达定理知，，113ba -+=-1113a -⨯=，，3a ∴=-2b =-． 6ab ∴=故选：D ． 6．（ ）2cos26sin4sin86︒-︒=︒A．B ．1 CD ．2【答案】C【分析】利用两角差的余弦和诱导公式可求三角函数式的值.【详解】()124sin 4sin 4222cos 304sin42cos26sin4sin86cos 4cos 4⎫︒+︒-︒⎪︒-︒-︒︒-︒⎝⎭===︒︒︒故选：C.7．已知函数f (x )=是R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是（ ） ()211414(1)x x ax ax a x ⎧-⎪⎨⎪+++>-⎩，，…A ．B ．C ．D ．23a ≤-38a ≤-2a ≤-1a ≤-【答案】C【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出a 的范围. 【详解】因为在上单调递减，且最小值为-1. 1y x=(],1-∞-所以要使函数f (x )=是R 上的递减函数， ()211414(1)x x ax ax a x ⎧-⎪⎨⎪+++>-⎩，…只需，解得：.04141a a a a <⎧⎨-++≤-⎩2a ≤-故选：C8．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设()1f x +121x x <<()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)b f =(3)c f =A ． B ． C ． D ．c b a <<b a c <<b<c<a a b c <<【答案】B【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过121x x <<()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦()f x (1,)+∞是偶函数可得到的图象关于直线对称，即可求出答案()1f x +()f x 1x =【详解】解：∵当时，恒成立， 121x x <<()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦∴当时，，即， 121x x <<()()210f x f x ->()()21f x f x >∴函数在上为单调增函数， ()f x (1,)+∞∵函数是偶函数，即，(1)f x +()()11f x f x +=-∴函数的图象关于直线对称，∴，()f x 1x =1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又函数在上为单调增函数，∴，()f x (1,)+∞5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭即，∴，1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭b ac <<故选：B ．二、多选题9．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．1,1y x y x =+=+B ．2(0),2(0)y x x y x x =>=-<C ． ()110,1y y x x x+=-≠=D ．()()221,1f x x g t t =-=-【答案】CD【分析】从定义域和解析式两个方面判断，一一验证.【详解】对于A ：.两个函数的定义域相同，但是解析式不同，不是同一个函数.1,1y x y x =+=+故A 错误；对于B ：.两个函数的定义域不同，解析式不同，不是同一个函数.故B 2(0),2(0)y x x y x x =>=-<错误；对于C ：.两个函数的定义域相同，解析式相同，是同一个函数.故C 正确； ()110,1y y x x x+=-≠=对于D ：.两个函数的定义域相同，解析式相同，是同一个函数.故D 正确.()()221,1f x x g t t =-=-故选：CD10．下列关于函数的说法正确的是（ ）sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．在区间上单调递增 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．最小正周期是 πC ．图象关于点中心对称 ,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．图象关于直线轴对称 65x π=-【答案】AD【分析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当时，，此时函数为增函数，所5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,322x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦sin y x =以函数在区间上单调递增，故A 选项正确； sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于B 选项，由函数周期公式，故B 选项错误； 2221T ωππ===π对于C 选项，当时，，由于是的对称轴，故不是函数6x π=32x ππ+=2x π=sin y x =,06π⎛⎫⎪⎝⎭的中心对称，故错误；sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于D 选项，当时，，由于是的对称轴，故直线是函65x π=-32x ππ+=-2x π=-sin y x =65x π=-数的对称轴，故D 选项正确.sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：AD11．下列命题正确的是（ ） A ．“”是“”的充分不必要条件 1a >11a<B ．命题“”的否定是“”21,1x x ∀<<21,1x x ∃<≥C ．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 ,x y ∈R 2x ≥2y ≥224x y +≥D ．设，则“”是“”的必要而不充分条件 ,a b ∈R 0a ≠0ab ≠【答案】ABD【分析】对于ACD ，根据两个条件之间的推出关系可判断它们的正误，对于B ，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误. 【详解】对于A ，即为或， 11a<a<01a >因为可得推出或，或推不出， 1a >a<01a >a<01a >1a >故“”是“”的充分不必要条件，故A 正确. 1a >11a<对于B ，命题“”的否定是“”，故B 正确. 21,1x x ∀<<21,1x x ∃<≥对于C ，当且时，有，2x ≥2y ≥2284x y +≥≥取，但且不成立， x y ==224x y +≥2x ≥2y ≥故“且”是“”的充分而不必要条件，故C 错误. 2x ≥2y ≥224x y +≥对于D ，取，，此时，故不成立， 10a =≠0b =0ab =0ab ≠当时，必有，0ab ≠0a ≠故“”是“”的必要而不充分条件，故D 正确. 0a ≠0ab ≠故选：ABD.12．已知函数，，则（ ）()sin cos (0,0)f x x a x a ωωω=+>>3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭A ．B ．tan 6πω⎛⎫=⎪⎝⎭3a =C ． D ．在上单调递增1ω≥()f x 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AC【分析】化简函数解析式，由条件可得在处取得最大值，根据正弦函数的性质可得()f x 6x π=，与条件，由同角关系求，由此判断A ，B ，再结合正弦1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭a 函数的性质判断C ，D.【详解】，，因为在()sin cos)f x x a x x ωωωϕ=++sin ϕcos ϕ=()f x 6x π=处取得最大值，所以，，即，，所以262k πωπϕπ+=+k ∈Z 226k ππωϕπ=+-k ∈Z ，所以，因为1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即，所以3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sin cos166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得，又，所以，A 正确，B 错误；所23a =0a >a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭tan 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭以，，解得，，又，所以，故C 正确；当266k πωππ=+k ∈Z 121k ω=+k ∈Z 0ω>1ω≥13ω=时，因为，所以，所以在上不单调，故D 错误， 06x π<<13136πφx φφ<+<+()f x 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭故选：AC.三、填空题13．若集合与满足，则实数__________.{}1,2,3,A m ={}22,3,B m =A B A ⋃=m =【答案】0或1-【分析】结合集合中元素的互异性求解即可. 【详解】∵，A B A ⋃=∴或 22,1m m m ⎧≠⎨=⎩221,m m m ⎧≠⎨=⎩解得，或 1m =-0m =故答案为：0或1-14．函数的定义域为__________. ()12f x x =-【答案】[)()1,22,⋃+∞【分析】直接列不等式，求出定义域.【详解】要使函数有意义， ()12f x x =-只需解得：且.22020x x ⎧-≥⎨-≠⎩1x ≥2x ≠所以函数的定义域为. ()f x [)()1,22,⋃+∞故答案为：[)()1,22,⋃+∞15．若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.()22f x x x a =-+[]1,(1)b b >a b -【答案】0【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于成轴对称，即可得到，从而得到1x =()()11f b bf ⎧=⎪⎨=⎪⎩方程组，解得即可.【详解】解：因为，对称轴为，开口向上， ()()22211f x x x a x a =-+=-+-1x =所以函数在上单调递增， []1,(1)b b >又因为定义域和值域均为，()[1,1]b b >所以，即，解得（舍去）或，()()11fb b f⎧=⎪⎨=⎪⎩22111b b a b a b ⎧-+=⎪-=⎨⎪>⎩21a b =⎧⎨=⎩22a b =⎧⎨=⎩所以. 0a b -=故答案为：016．已知的值域为，则实数__________.()()()32233ln f x x a a x a =---⋅-[)0,∞+=a 【答案】1【分析】根据值域为可得，且， [)0,∞+1x a >+322330x a a ---≥1a x a <<+322330x a a ---≤，因此为的实数解，从而可求.1x a =+322330x a a ---=1a =【详解】因为的值域为，故恒成立且等号可取.()f x [)0,∞+()()32233ln 0x a a x a ---⋅-≥若，则，1x a >+322330x a a ---≥若，则， 1a x a <<+322330x a a ---≤故为的实数解，1x a =+322330x a a ---=故，整理得到：，()3212330a a a +---=3220a a +-=故即，解得. ()322210a a a -+-=()()21220a a a -++=1a =当时，，1a =()()()38ln 1f x x x =-⋅-当时，，2x ≥()()380,ln 10,0x x f x -≥-≥∴≥对于任意给定的正数，当，M ()13max 8,1x ⎧⎪>+⎨⎪⎪⎩⎭有，故，()381x x ->->()f x M >而当时，，12x <<()()380,ln 10,0x x f x -<-<∴>综上，时，的值域为. 1a =()f x [)0,∞+故答案为：1.四、解答题17．集合. {14},{13510}A xx B x x =≤<=<-<∣∣(1)求； A B ⋃(2)求. ()A B ⋂R ð【答案】(1) {}|15x x ≤<(2) [)4,5【分析】（1）根据并集的定义可求. A B ⋃（2）根据补集和交集的定义可求.()A B ⋂R ð【详解】（1），故. {25}B x x =<<∣{}|15A B x x =≤< （2），故.()[)R ,14,A =-∞+∞ ð()[)4,5A B =R ð18．已知.()()()πcos πcos 2sin πf θθθθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+(1)若，求的值； ()f θ=cos2θ(2)若，且，求的值.π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭263θππ<<sin θ【答案】(1)；34-【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用倍角公式可求三角函数式的值； ()cos f θθ=（2）利用两角和的正弦可求的值. sin θ【详解】（1），()cos sin cos sin f θθθθθ-==-因为，故.()f θ=cos θ=213cos22cos 12184θθ=-=⨯-=-（2）因为，所以，而，π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 3π6θ⎛⎫ ⎪⎭=-⎝263θππ<<所以，故 062πθπ<-<sin π6θ⎛⎫-⎪= ⎝⎭所以6s πin c s s in πππππsin os co sin 66666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎭=⎝⎣⎦1132=⨯=19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为m x ，宽为.m y(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？ 2162m ,x y (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.60m 12x y+【答案】(1)长为18m,宽为9m ； x y (2). 320【分析】（1）利用基本不等式即可求得； （2）利用“1”的妙用即可求得.【详解】（1）由已知可得,而篱笆总长为.162xy =2x y +又,当且仅当,即时等号成立 236x y +≥==2x y =18,9x y ==所以菜园的长为18m,宽为9m 时,可使所用篱笆总长最小. x y （2）由已知.260x y +=因为()12122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 2142x x y y=+++5≥+5229=+⨯=（当且仅当时等号成立）.x y =所以（当且仅当时等号成立）12936020x y +≥=20x y ==所以的最小值为. 12x y +32020．已知函数.())2πcos sin R 3f x x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期及对称中心；()f x (2)求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值.()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x 【答案】(1)的最小正周期为，对称中心为()f x πππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)，此时对应的的值为；，此时对应的为. ()max 14f x =x π4()min 12f x =-x π12-【分析】（1）利用三角变换公式可得，利用公式和正弦函数的性质可求最小正()1πsin(223f x x =-周期和对称中心；（2）利用整体法可求函数的最值及对应的自变量的值.【详解】（1） ()11cos 2cos sin 22x f x x x x ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 2cos sin 22x x x +=+， 11πsin 22sin(2)423x x x ==-故的最小正周期为， ()f x 2ππ2=令，故， ππ,Z x k k -=∈23ππ,Z 62k x k =+∈故对称中心为：. ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）当时，，故， ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦5πππ2636x -≤-≤π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭所以， 11π1sin 22234x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭故，此时对应的的值为； ()max 14f x =x π4，此时对应的的满足即； ()min 12f x =-x ππ232x -=-π12x =-21．已知函数是奇函数，且. 21()x f x ax b+=+()12f =(1)求a ，b 的值；(2)证明函数在上是增函数.()f x (),1-∞-【答案】(1)，1a =0b =(2)证明见解析【分析】（1）由奇函数的性质可知，可求出b 的值，再利用可求出a 的值. ()()f x f x -=-()12f =（2）利用定义法证明函数的单调性即可.()f x 【详解】（1）∵函数是奇函数，∴， 21()x f x ax b+=+()()f x f x -=-∴， 2211x x ax b ax b++=--++∴，ax b ax b -+=--∴，0b =又∵，∴， ()12f =22a b=+∴. 1a =（2）由（1）得， 211()x f x x x x+==+任取，，且，1x ()2,1x ∈-∞-12x x <∴， ()()()()()121221121212121212111x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫--=+-+=-+= ⎪⎝⎭∵，∴，，，121x x <<-120x x -<121x x >1210x x ->∴，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <∴函数在上是增函数.()f x (),1-∞-22．已知函数且经过定点，函数且的图像经过点41(0x y m m -=+>1)m ≠A ()log (0a f x x a =>1)a ≠.A (1)求函数的定义域与值域； ()42x y f a =-(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围. ()()()224k g x f x f x =⋅-1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦k 【答案】(1)定义域为，值域为.(),3-∞(),3-∞(2).[1,)+∞【分析】（1）先由函数且经过定点，求出，即可求出，直接41(0x y m m -=+>1)m ≠A ()4,2A 2a =求出函数的定义域与值域； ()42x y f a =-（2）设,把题意转化为函数在上有两个零点，分类讨论：①2log t x =()2224h t kt t =+-[]22-,0k =,②③列不等式组，求出的取值范围.0k >0k <k 【详解】（1）由函数且经过定点，令，解得：，所以当41(0x y m m -=+>1)m ≠A 40x -=4x =4x =时，.4412y m -=+=故()4,2A 因为函数且的图像经过点，所以，解得：.()log (0a f x x a =>1)a ≠()4,2A log 42a =2a =所以. ()()242log 82x x y f a =-=-要使函数有意义，只需，解得：.所以的定义域为()2log 82x y =-820x ->3x <()2log 82x y =-.(),3-∞因为，所以，所以的值域为. 0828x <-<()2log 823x y =-<()2log 82x y =-(),3-∞（2）由（1）可知, . ()()222222log (2)log 42log 2log 4k g x x x k x x =⋅-=+-设,则,因为为关于的单调递增函数,所以在上有两个零点,等价于函2log t x =[]2,2t ∈-t x ()g x 1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦数在上有两个零点()2224h t kt t =+-[]22-,当时,由,得.有一个零点,则不合题意.0k =()240h t t =-=2t =()h t 0k =当时, 解得：.0k >()()Δ4320,122,22880,280,k k h k h k =+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-=-≥⎪=≤⎪⎩1k ≥当时, 不等式组无解.0k <()()Δ4320,122,22880,280,k k h k h k =+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-=-≤⎪=≤⎪⎩综上所述, 的取值范围是. k [1,)+∞。

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广州市2014-2015学年高一数学上学期期末试卷（含答案）广州市2014-2015学年高一数学上学期期末试卷（含答案）本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的表面积公式,球的体积公式，其中为球的半径.第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集，则是（）A.B.C.D.2.与直线平行的直线方程是（）A.B.C.D.3.函数的定义域是（）A.B.C.D.4.设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10B．C．D．385.函数的图象可能是（）A．B．C．D．6.如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（）A．8πB．6πC．D．7.圆与圆的位置关系是（）A.相交B.外切C.相离D.内切8.函数在上的最小值为（）A.B.C.D.9.圆在点P(1，)处的切线方程是()A．B．C．D.10.已知下列命题正确的是（）A.①②B.③④C.②④D.①③第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11.计算12．已知点,则直线AB的倾斜角是13.若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于14.定义在R上的偶函数在上递减，且，则满足的x的取值范围三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知函数，且．（1）求a的值；（2）判定的奇偶性,并说明理由；（3）令函数，且，求的值．16.（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中，直线AB的方程为，直线AC的方程为，直线BC的方程为．（1）求证：；（2）当的BC边上的高为1时，求m的值．17.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．18.（本小题满分14分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：月份用气量（立方米）支付费用（元）一48二2038三2650该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a立方米时，只交基本费6元；用气量超过a立方米时，超过部分每立方米付b元；每户的保险费是每月c元（c≤5）．设该家庭每月用气量为x立方米时，所支付的天然气费用为y 元．求y关于x的函数解析式．19.（本小题满分14分）已知圆C的半径为3，圆心C在直线上且在轴的下方，轴被圆C截得的弦长BD为.（1）求圆C的方程;（2）若圆E与圆C关于直线对称，为圆上的动点，求的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数，其中为自然对数的底数．（1）若函数的图像经过点,求m的值；（2）试判断函数的单调性,并予以说明;（3）试确定函数的零点个数．参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题,每小题5分,满分50分.题号12345678910答案CADADDABBC二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题,每小题5分,满分20分.11.112.13.314.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）解：（1）因为，所以，-------------1分所以．----------3分（2）由（1）得，所以的定义域为----------------4分-----------------5分所以----------------6分所以为偶函数．---------------7分（3）因为，所以---------8分所以----------9分因为为偶函数所以----------11分所以．---------12分16.（本小题满分12分）解：（1）直线AB的斜率为，---------2分直线AC的斜率为，---------4分所以kABkAC=﹣1，---------5分所以直线AB与AC互相垂直，---------6分因此，为直角三角形；（2）解方程组，得，即A（2，6）--------8分设点A到直线BC的距离为，，-------10分依题意有当=1，即，即|30﹣m|=5，解得m=25或35．------12分17．（本小题满分14分）证明：（1）因为D、E为PC、AC的中点，所以DE∥PA，----2分又因为PA&#8836;平面DEF，DE&#8834;平面DEF，所以PA∥平面DEF；-----4分（2）因为D、E为PC、AC的中点，所以DE=PA=3；------5分又因为E、F为AC、AB的中点，所以EF=BC=4；-----6分又DF=5所以DE2+EF2=DF2，------8分所以∠DEF=90°，所以DE⊥EF；-------9分因为DE∥PA，PA⊥AC，所以DE⊥AC；-------10分因为AC∩EF=E，所以DE⊥平面ABC；--------12分因为DE&#8834;平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．----------14分18．（本小题满分14分）解：根据题意，------2分因为0＜c≤5，所以6+c≤11．由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量a，于是有------6分解得b=2，2a=8+c．（3）-------8分因为0＜c≤5，所以．---------10分所以6+c=8，c=2．---------12分因此，a=5，b=2，c=2．所以，-------------14分19．（本小题满分14分）解：（1）设圆心坐标，则圆方程为---------1分作于点A，在,---------2分所以--------3分所以---------4分又因为点C在轴的下方，所以---------5分所以圆C的方程为：--------6分（2）方法一：由（1）知，圆C的圆心坐标为点到直线的距离为，--------8分因为圆E与圆C关于直线对称，所以圆E的半径为3-------10分因为为圆上的动点，所以-------11分因为所以的最大值为，-------12分的最小值为--------13分所以的取值范围为--------14分方法二：由（1）知，圆C的圆心坐标为设圆心E，由题意可知点E与点C关于直线对称，所以有-------9分所以点E且圆E的半径为3所以，-------10分因为为圆上的动点，所以-------11分因为所以的最大值为，-------12分的最小值为--------13分所以的取值范围为--------14分20．（本小题满分14分）解：（1）因为函数的图像经过点所以-------1分所以-------2分（2）因为函数的定义域为，设-------3分所以，，-------4分所以因为，所以，所以--------5分所以--------6分所以在定义域上单调递增．--------7分（3）函数的零点只有一个①当时，--------8分且函数在上的图象是连续不间断曲线所以由零点定理可得函数在上存在一个零点，--------9分又由（2）得在定义域上单调递增，所以函数的零点只有一个．--------10分②当时，，又由（2）得在定义域上单调递增，所以函数的零点只有一个．--------11分方法一：③当时，设则-----12分因为，所以，所以，即-------13分且函数在上的图象是连续不间断曲线所以由零点定理可得函数在上存在一个零点，又由（2）得在定义域上单调递增，所以函数的零点只有一个．--------14分方法二：③当时，设则，且函数在上的图象是连续不间断曲线所以存在使得，即----------12分从而有-----------13分且函数在上的图象是连续不间断曲线又由（2）得在定义域上单调递增，所以当时，函数的零点只有一个．--------14分。

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