高中数学复合函数练习题

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第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设P=f(u)的定义域为A，u=g(P)的值域为B，若A⊇B，则P关于P函数的P=f ［g(P)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)g∈(E为)Dx0，1）0，1用范围为（0，又f1，e）f(P)（f例例4.已知f x xx ()lg 22248-=-______________。

例5.____________。

f（二）同步练习：1、已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。

答案：]1,1[-2、已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。

答案：]9,3[-3、已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)23,1()0,21(⋃- 三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u=在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断（3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

2020高中数学检测(四)复合函数求导及应用(含解析)2-2

课时跟踪检测（四）复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一简单复合函数求导问题1．y＝cos3x的导数是（)A．y′＝－3cos2x sin x B．y′＝－3cos2xC．y′＝－3sin2x D．y′＝－3cos x sin2x解析:选A 令t＝cos x，则y＝t3,y′＝y t′·t x′＝3t2·（－sin x)＝－3cos2x sin x。

2．求下列函数的导数．(1）y＝ln（e x＋x2);（2）y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x。

解：(1）令u＝e x＋x2，则y＝ln u.∴y′x＝y′u·u′x＝错误!·（e x＋x2）′＝错误!·(e x＋2x)＝错误!。

（2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·（2x＋3）′＝2×102x＋3ln 10。

(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－错误!(1－cos 4x)＝错误!＋错误!cos 4x.所以y′＝错误!′＝－sin 4x。

对点练二复合函数与导数运算法则的综合应用3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x解析：选B y′＝（x2）′cos 2x＋x2（cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·（2x）′＝2x cos 2x－2x2sin 2x。

4．函数y＝x ln(2x＋5）的导数为（)A．ln(2x＋5)－错误!B．ln(2x＋5)＋错误!C．2x ln（2x＋5) D．错误!解析：选B y′＝[x ln（2x＋5）]′＝x′ln（2x＋5）＋x［ln（2x＋5)］′＝ln(2x＋5）＋x·12x＋5·(2x＋5)′＝ln（2x＋5）＋错误!。

复合三角函数的单调性-高中数学知识点讲解(含答案)

复合三角函数的单调性（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2011秋•通州区校级期末）对于函数2sin(2)6y x π=+，则下列结论正确的是( )A ．(,0)3π的图象关于点(,0)3π对称B ．[,]36ππ-在区间[,]36ππ-递增 C ．12x π=-的图象关于直线12x π=-对称D ．最小正周期是2π2．（2012春•东城区期末）函数2()2sin sin(2)6f x x x π=++在区间[0，]2π的最大值和最小值分别为( )A ．2，12B ．32，12C ．2，1D ．1+13．（2006•西城区二模）函数())16f x x π=--的最小值和最小正周期分别是( )A ．1,πB ．1,πC ．πD ．1,2π4．（2002•北京模拟）函数sin 2x y =的单调增区间是( ) A ．[22k ππ-，2]()2k k Z ππ+∈B ．[22k ππ+，32]()2k k Z ππ+∈ C ．[2k ππ-，2]()k k Z π∈ D ．[2k π，2]()k k Z ππ+∈二．填空题（共3小题）5．（2014秋•朝阳区校级月考）函数2()cos sin 1f x x x =--+的值域是． 6．（2011春•西城区校级期中）函数2()8sin 3f x x =-的递减区间是．7．（2008秋•顺义区期末）函数21(cos )32y x =--的最大值为，最小值为．三．解答题（共3小题）8．（2014秋•石景山区期末）函数()2sin(2)3f x x π=-的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[4π-，]6π上的最大值和最小值．9．（2011秋•宣武区校级期中）已知3(,1cos ),(2sin ,1cos ),m x x n x x x R =+=-∈，函数()f x m n =． ()I 求()3f π的值；()II 求函数()f x 的单调增区间；（Ⅲ）求()f x 在区间5[0,]12π上的最值． 10．（2013秋•延庆县期末）已知函数()2sin 1f x x =+．（Ⅰ）设ω为大于0的常数，若()f x ω在区间2[,]23ππ-上单调递增，求实数ω的取值范围；（Ⅱ）设集合2{|}63A x xππ=，{||()|2}B x f x m =-<，若A B B =，求实数m 的取值范围．复合三角函数的单调性（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2011秋•通州区校级期末）对于函数2sin(2)6y x π=+，则下列结论正确的是( )A ．(,0)3π的图象关于点(,0)3π对称B ．[,]36ππ-在区间[,]36ππ-递增 C ．12x π=-的图象关于直线12x π=-对称D ．最小正周期是2π【分析】根据正弦函数的周期性和对称性、单调性，对各个选项进行判断，从而得出结论．【解答】解：由于点(,0)3π不在函数2sin(2)6y x π=+的图象上，故函数图象不关于点(,0)3π对称，故排除A ．令222262k x k πππππ-++，k z ∈，解得36k x k ππππ-+，k z ∈，故函数的增区间为[,]36ππ-，故B 正确．当12x π=-时，函数值y =12x π=-对称，故排除C ．由函数的解析式可得，最小正周期等于22T ππ==，故D 不正确．综上可得，只有B 正确，故选：B ．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和对称性、单调性，属于中档题．2．（2012春•东城区期末）函数2()2sin sin(2)6f x x x π=++在区间[0，]2π的最大值和最小值分别为( )A ．2，12B ．32，12C ．2，1D ．1+1 【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数()f x 的解析式为1sin(2)6x π+-．由[0x ∈，]2π，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．【解答】解：函数211()2sin sin(2)1cos22cos212cos21sin(2)6226f x x x x x x x x x ππ=++=-+=-=+-．由[0x ∈，]2π，可得2[66x ππ-∈-，5]6π，故当262x ππ-=时，函数()f x 取得最大值为112+=，当266x ππ-=-时，函数()f x 取得最小值为11122-=，故选：A ．【点评】本题主要考查复合三角函数的单调性，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．3．（2006•西城区二模）函数())16f x x π=--的最小值和最小正周期分别是( )A ．1,πB ．1,πC ．πD ．1,2π【分析】由正弦函数的性质即可求得())16f x x π=--的最小值和最小正周期．【解答】解：())16f x x π=--，∴当sin(2)16x π-=-时，()f x 取得最小值，即()1min f x =-；又其最小正周期22T ππ==，())16f x x π∴--的最小值和最小正周期分别是：1，π．故选：A ．【点评】本题考查正弦函数的周期性与值域，属于中档题． 4．（2002•北京模拟）函数sin 2x y =的单调增区间是( ) A ．[22k ππ-，2]()2k k Z ππ+∈B ．[22k ππ+，32]()2k k Z ππ+∈ C ．[2k ππ-，2]()k k Z π∈ D ．[2k π，2]()k k Z ππ+∈【分析】由于2u y =是增函数，只需求sin u x =的增区间即可．【解答】解：因为2x y =是增函数，求函数sin 2x y =的单调增区间，就是()sin g x x =的增区间，它的增区间是[2/2k ππ-，2/2]()k k Z ππ+∈ 故选：A ．【点评】本题考查复合函数的单调性，是基础题．二．填空题（共3小题）5．（2014秋•朝阳区校级月考）函数2()cos sin 1f x x x =--+的值域是 1[4-，2] ．【分析】利用同角三角函数间的关系可得211()(sin )24f x x =--，再利用正弦函数的单调性质即可求得答案．【解答】解：22211()cos sin 1sin sin (sin )24f x x x x x x =--+=-=--，当1sin 2x =时，14min y =-；当sin 1x =-时，2max y =；所以，函数2()cos sin 1f x x x =--+的值域是1[4-，2]故答案为：1[4-，2]．【点评】本题考查复合三角函数的值域，着重考查正弦函数的单调性质，利用二次函数的配方法解决是关键，考查转化思想．6．（2011春•西城区校级期中）函数2()8sin 3f x x =-的递减区间是 [,],2k k k Z πππ-∈ ．【分析】令sin x t =，则11t -，函数22()8sin 3()83f x x g t t =-==-，显然函数()g t 在[1-，0]上是减函数，故本题即求函数sin t x =在10t -时的增区间，结合正弦函数的图象可得答案．【解答】解：令sin x t =，则11t -，函数22()8sin 3()83f x x g t t =-==-，显然函数()g t 在[1-，0]上是减函数，故本题即求函数sin t x =在10t -时的增区间，故[,],2x k k k Z πππ∈-∈，故函数()f x 的减区间为[,],2k k k Z πππ-∈，故答案为[,],2k k k Z πππ-∈．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．7．（2008秋•顺义区期末）函数21(cos )32y x =--的最大值为 34- ，最小值为．【分析】把cos x 用一个字母t 表示，根据余弦函数的有界性得到t 的范围，原函数就可看做关于t 的二次函数，再利用二次函数求最值的方法，求出函数的最大值与最小值．【解答】解：令cos x t =，cos [1x ∈-，1]，[1t ∴∈-，1]∴函数21(cos )32y x =--可化为21()32y t =--，[1t ∈-，1] ∴当1t =-时，y 有最大值，最大值为34-，当12t =时，y 有最小值，最小值为3- 故答案为34-；3-【点评】本题主要考查三角函数与二次函数综合，利用换元法求函数的最大值与最小值，转化化归的思想方法，属基础题．三．解答题（共3小题）8．（2014秋•石景山区期末）函数()2sin(2)3f x x π=-的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[4π-，]6π上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）直接由函数解析式求得函数的周期及0y ，由三角函数取得最大值求得0x ；（Ⅱ）由x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）()f x 的最小正周期为22ππ=，0512x π=，02y =；（Ⅱ）[,]46x ππ∈-，∴52[,0]36x ππ-∈-．于是，当203x π-=，即6x π=时，()f x 取得最大值0；当232x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取得最小值2-．【点评】本题考查了三角函数周期的求法，考查了三角函数的最值，是基础的计算题． 9．（2011秋•宣武区校级期中）已知3(,1cos ),(2sin ,1cos ),m x x n x x x R =+=-∈，函数()f x m n =． ()I 求()3f π的值；()II 求函数()f x 的单调增区间；（Ⅲ）求()f x 在区间5[0,]12π上的最值．【分析】()I 根据向量数量积的坐标公式，结合三角函数的降次公式和辅助角公式，得31cos21()sin 2sin(2)2262x f x m n x x π-==+=-+，代入3x π=即可得到()3f π的值； ()II 根据函数sin y x =的单调区间的公式，令222262k x k πππππ-+-+，解得63k xk ππππ-++，可得函数()f x 的单调增区间； ()III 根据5[0,]12x π∈，可以计算出22[,]663x πππ-∈-，再结合正弦函数的图象可得130sin(2)622x π-+，由此可得()f x 在区间5[0,]12π上的最值小值和最大值．【解答】解：()I 根据题意，得3()cos 2sin (1cos )(1cos )2f x m n x x x x ==++-21cos2121cos 2sin(2)262x x x x x π-=+-=+=-+ 2113()sin()1336222f πππ∴=-+=+=()II 令222262k x k πππππ-+-+，（其中k 是整数）可得63k xk ππππ-++∴函数()f x 的单调增区间为(6k ππ-+，)3k ππ+．()k Z ∈5()[0,]12III x π∈ 22[,]663x πππ∴-∈-，可得1sin(2)126x π-- 因此130sin(2)622x π-+，()f x 在区间5[0,]12π上的最值小值为0，最大值为32 【点评】本题以向量的数量积为载体，要求对三角函数式进行化简，并求函数的值域与最值，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和三角函数的图象与性质的知识点，属于中档题． 10．（2013秋•延庆县期末）已知函数()2sin 1f x x =+．（Ⅰ）设ω为大于0的常数，若()f x ω在区间2[,]23ππ-上单调递增，求实数ω的取值范围；（Ⅱ）设集合2{|}63A x xππ=，{||()|2}B x f x m =-<，若A B B =，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意，()2sin 1f x x ωω=+，由[2x πω∈-，]2π，0ω>，可得[2x πω∈-，]2πω，利用()f x ω在区间2[,]23ππ-上单调递增，可得不等式组，解不等式组，即可求实数ω的取值范围；（Ⅱ）求出函数的值域，根据AB B =，可得A B ⊆，从而可得不等式组，解不等式，即可求出实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，()2sin 1f x x ωω=+，由[2x πω∈-，]2π，0ω>，可得[2x πω∈-，]2πω， ()f x ω在区间2[,]23ππ-上单调递增，∴223220ππωππωω⎧⎪⎪⎪--⎨⎪>⎪⎪⎩，304ω∴<；（Ⅱ）AB B =，A B ∴⊆，|()|2f x m -<，2()2m f x m ∴-<<+，263xππ， ∴1sin 12x ， 2()3f x ∴， ∴2223m m -<⎧⎨+>⎩，14m ∴<<．【点评】本题考查三角函数的性质，考查函数的值域，考查集合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦函数的单调性是关键．。

高中数学北师大必修一复合函数单调性

如何判定呢？比如函数y=f[g(x)]？
复合函数单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (x)
u g(x)
y f [g(x)]
增函数
增函数
增函数
增函数减函数减函数
减函数增函数减函数
2 a a 1 x22x4 1 2 3x1 2x 0
2
练习（2）方程2x 1 k有两个不同的解，求k的范围.
方程f (x) g(x)的解，就是函数y f (x)和y g(x) 图象的交点的横坐标，两函数图象有几个交点，方程 f (x) g(x)就有几个解.
练习1：求y x2 4x 5函数的单调区间。
求a的值。
利用函数 f(x)＝(12)x 的图像，作出下列函数的图像． (1)f(x－1)；(2)f(x＋1)；(3)－f(x)；(4)f(－x)； (5)f(x)－1；(6)f(|x|)． [提示] 首先分析出每一个函数与已知函数图像的关系，再利用相应的函数图像的变换作出各自图像．
[解]
解下列不等式 ;
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
(问：函数y x2 4x 3的单调递增区间是什么？）
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
已知函数 f (x) 9x 2 3x 2, x [1, 2],
求这个函数的值域。
如果函数y a2x 2 ax 1在-1,1上有最大值14，
复合函数单调性
例1、画出函数 f (x) 2 x 的图像
分析：
2x, x 0
f
(x)
2 x
(1)x, 2

高中数学第三章函数的概念与性质专项训练题(带答案)

高中数学第三章函数的概念与性质专项训练题单选题1、若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f(a)−f(b)a−b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增答案：A分析：根据条件可得当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，从而可判断. 由f(a)−f(b)a−b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.2、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（） A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞) 答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)， ∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4；综上所述：a 的取值范围为[0,4]. 故选：C.3、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B4、已知幂函数y =x m 2−2m−3(m ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上单调递减，则满足(a +1)−m3<(3−2a )−m 3的a 的取值范围为（）A ．(0,+∞)B ．(−23,+∞) C ．(0,32)D ．(−∞,−1)∪(23,32)答案：D分析：由条件知m 2−2m −3<0，m ∈N ∗，可得m ＝1．再利用函数y =x −13的单调性，分类讨论可解不等式. 幂函数y =x m2−2m−3(m ∈N ∗)在(0,+∞)上单调递减，故m 2−2m −3<0，解得−1<m <3．又m ∈N ∗，故m ＝1或2．当m ＝1时，y =x −4的图象关于y 轴对称，满足题意；当m ＝2时，y =x −3的图象不关于y 轴对称，舍去，故m ＝1．不等式化为(a +1)−13<(3−2a )−13，函数y =x −13在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，故a +1>3−2a >0或0>a +1>3−2a 或a +1<0<3−2a ，解得a <−1或23<a <32．故应选：D ．5、已知函数f (x +1)的定义域为(−1,1)，则f (|x |)的定义域为（） A ．(−2,2)B ．(−2,0)∪(0,2) C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−12,0) 答案：B分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 依题意函数f (x +1)的定义域为(−1,1)， −1<x <1⇒0<x +1<2，所以0<|x |<2，解得−2<x<0或0<x<2，所以f(|x|)的定义域为(−2,0)∪(0,2).故选：B6、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式(2x−5)f(x−1)<0的解集为（）A．(−2,52)∪(4,+∞)B．(4,+∞)C．(−∞,−2)∪[52,4]D．(−∞,−2)答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x−5>0f(x−1)<0、{2x−5<0f(x−1)>0求解集即可. 由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0，对于(2x−5)f(x−1)<0，当{2x−5>0f(x−1)<0，即{x>52x−1<−3或{x>52x−1>3，可得x>4；当{2x−5<0f(x−1)>0，即{x<52−3<x−1<3，可得−2<x<52；综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞).故选：A7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C 8、函数f (x )=√−x 2+5x+6x+1的定义域（）A ．(−∞,−1]∪[6,+∞)B ．(−∞,−1)∪[6,+∞)C ．(−1,6]D ．[2,3] 答案：C分析：解不等式组{−x 2+5x +6≥0x +1≠0得出定义域.{−x 2+5x +6≥0x +1≠0，解得−1<x ⩽6即函数f (x )的定义域(−1,6] 故选：C 多选题9、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C[0,1]项错误，D项正确．故选：ABD10、下列各组函数是同一函数的是（）A．y=|x|x与y=1B．y=√(x−1)2与y=x−1C．y=(√x)2x 与y=(√x)2D．y=x3+xx2+1与y=x答案：CD分析：根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.对于A：函数y=|x|x的定义域为x≠0，函数y=1定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数y=√(x−1)2定义域为R，化简可得y=|x−1|，与y=x−1解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数y=(√x)2x 定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，函数y=(√x)2定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，故为同一函数；对于D：函数y=x3+xx2+1定义域为R，化简可得y=x，与y=x为同一函数.故选：CD11、如图所示是函数y=f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A．函数f(x)的定义域为[−4,4)B．函数f(x)的值域为[0,+∞)C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应答案：BD分析：利用函数的图象判断.由图象知：A.函数f(x)的定义域为[−4,0]∪[1,4)，故错误；B.函数f(x)的值域为[0,+∞)，故正确；C. 函数f(x)在[−4,0]，[1,4)上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故正确；故选：BD12、已知函数y=(m−1)x m2−m为幂函数，则该函数为（）A．奇函数B．偶函数C．区间(0,+∞)上的增函数D．区间(0,+∞)上的减函数答案：BC分析：由幂函数的概念可得m的值，根据幂函数的性质可得结果.由y=(m−1)x m2−m为幂函数，得m−1=1，即m=2，则该函数为y=x2，故该函数为偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，故选：BC.13、已知函数f(x)是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，当x∈(0,4]时，f(x)的图象如图所示，那么满足不等式f(x)−3x+1−3≥0的x的可能取值是（）3A ．－4B ．－1C ．12D ．2 答案：AC分析：把“求f(x)−3x+1−33≥0的解集”转化为“求f (x )≥3x −1的解集”，进而转化为观察两个函数图象的特征，即可求出不等式的解集．因为函数f (x )是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，由题意，画出函数f (x )在[−4,0)∪(0,4]上的图象（如图），在同一坐标系内画出y =3x −1的图象，因为f (2)=89，所以f (−2)=−f (2)=−89=3−2−1，又f (1)=2=31−1，所以f (x )的图象与y =3x −1的图象交于(−2,−89)和(1,2)两点，f (x )−3x+1−33≥0即为f (x )≥3x −1，由图象可得，只需−4≤x ≤−2或0<x ≤1，故A ，C 可能取到故选：AC ．填空题14、函数y =√x 2−1的单调递减区间为___________. 答案：(−∞,−1](或(−∞,−1)都对)解析：利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；令t =x 2−1，则y =√t ，∵ t =x 2−1在(−∞,−1)单调递减，y =√t 在(0,+∞)单调递增，根据复合函数的单调性可得：y =√x 2−1在(−∞,−1)单调递减，所以答案是：(−∞,−1).15、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③分析：根据定义逐一判断，即可得到结果表示区间端点连线斜率的负数，−f(b)−f(a)b−a在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.16、已知幂函数f(x)的图象过点(3,13)，则此函数的解析式为______．答案：f(x)=x−1##f(x)=1x分析：设出幂函数f(x)，代入点(3,13)即可求解.由题意，设f(x)=xα，代入点(3,13)得13=3α，解得α=−1，则f(x)=x−1.所以答案是：f(x)=x−1.解答题17、已知函数f(x)=x2x2+1(1)证明：f(x)为偶函数；(2)判断g(x)=f(x)+x的单调性并用定义证明；(3)解不等式f(x)−f(x−2)+2x>2答案：(1)证明见解析(2)g(x)为R上的增函数，证明见解析(3)(1,+∞)分析：（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）首先得到g(x)的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（1）证明：f(x)的定义域为R，又f(−x)=(−x)2(−x)2+1=x2x2+1=f(x)，故f(x)为偶函数；（2）解：g(x)=f(x)+x=x2x2+1+x，所以g(x)为R上的增函数，证明：任取x1，x2∈R，且x1>x2，g(x1)−g(x2)=x12x12+1+x1−(x22x22+1+x2)=x1−x2+x12x12+1−x22x22+1=x1−x2+x12(x22+1)−x22(x12+1) (x12+1)(x22+1)=x1−x2+x12−x22(x12+1)(x22+1)=(x1−x2)[1+x1+x2(x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+x12+x22+1+x1+x2 (x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)].∵x1>x2，∴x2−x2>0，又x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)>0，∴(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)]>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)为R上的增函数；（3）解：不等式f(x)−f(x−2)+2x>2，等价于f(x)+x>f(x−2)+2−x=f(2−x)+2−x即g(x)>g(2−x)，∵g(x)为R上的增函数，∴x>2−x，解得x>1，故不等式的解集为(1,+∞).18、函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)<0，且f(1)=13．（1）证明f(x)是奇函数；（2）证明f(x)在R上是单调递增函数；（3）若f(x)+f(x−3)≥−1，求实数x的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）[0,+∞)．分析：（1）先用赋值法求出f(0)=0，令y=−x，即可根据定义证明f(x)是奇函数；（2）利用定义法证明f(x)是R上的增函数；（3）先把f(x)+f(x−3)≥−1转化为f(2x−3)≥f(−3)，利用单调性解不等式即可．（1）令x =y =0，则f (0)=f (0)+f (0)，解得f (0)=0，令y =−x ，则f (0)=f (x )+f (−x )，即f (x )+f (−x )=0，即f (−x )=−f (x )，易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数；（2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，因为当x <0时，f (x )<0，所以f (x 1−x 2)<0，则f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)+f (−x 2)=f (x 1−x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )是R 上的增函数；（3）由f (1)=13，得f (2)=23，f (3)=1，又由f (x )是奇函数得f (−3)=−1. 由f (x )+f (x −3)≥−1，得f (2x −3)≥f (−3)，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以2x −3≥−3，解得x ≥0，故实数x 的取值范围为[0,+∞)．。

高中练计算能力的题

高中练计算能力的题
高中数学是一个需要较强计算能力的学科，因此在日常学习中，练习计算能力的题目非常重要。

以下是一些适合高中生练习计算能力的题目：
1. 计算复合函数：给定两个函数$f(x)$和$g(x)$，计算$(fcirc
g)(x)$或$(gcirc f)(x)$。

2. 多项式求导：给定一个多项式$f(x)$，求它的导函数$f'(x)$。

3. 三角函数计算：计算诸如$sin(2x)$、
$cosleft(frac{pi}{3}right)$、$tan(-frac{pi}{4})$等三角函数的值。

4. 矩阵运算：对于给定的矩阵，进行加、减、乘、求逆等运算。

5. 极限计算：计算$limlimits_{xto a}f(x)$，其中$a$为常数，$f(x)$为给定函数。

这些题目可以帮助学生提高计算能力，加深对数学知识的理解和应用。

在练习中，要注意细节和步骤，以避免粗心导致错误。

- 1 -。

2016年专项练习题集-指数型复合函数的性质与应用

2016年专项练习题集-指数型复合函数的性质与应用介绍：函数是高中数学的核心内容之一，它贯穿整个高中数学课程的始终。

在每年的高考题中占据非常重要的地位，而且经常与其它知识点结合。

选择题1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141－x的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞) C.[41，＋∞)D ．(41，＋∞) 【分值】5 【答案】A【考查方向】本题主要考查指数函数与一次函数的复合。

高考题中经常出现，它既可以考查复合函数也可以考查函数图像的变换。

.【易错点】指数函数是以x 轴为渐进线的所以函数值取不到0. 【解题思路】先把指数部分换元，然后用指数函数的图像求解. 【解析】设t =1-x .因为x ∈R,所以t ∈R 。

由指数函数y=t)(41的图像得y ∈(0，＋∞)2．函数f (x )＝a x +1＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(-1，1)B ．(1，1)C ．(0，1)D ．(2，1) 【分值】5 【答案】A【考查方向】本题主要考查指数函数过固定点的性质.【易错点】直接把指数中的常数当固定点坐标或直接令指数函数值为0. 【解题思路】令真数的值为0求出固定点横坐标，再代入函数求纵坐标. 【解析】∵a 0＝1，∴f (-1)＝1，故f (x )的图象必过点(-1，1).3．已知1221-=x x f )()(。

“x ＞1”是“)(x f ＜1”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分值】5 【答案】B【考查方向】该题主要考察指数函数的单调性和充分条件必要条件. 在近几年的各省高考题中几乎每年都会考到【易错点】用指数函数单调性解指数不等式正确构造同底幂.【解题思路】直接构造同底对数解不等式)(x f ＜1，再判定充要关系.【解析】)(x f ＜1即 0121212)()(<-x根据所涉及指数函数是R 上的减函数得012>-x从而得到1>x 或1-<x由此得到“x ＞1”是“)(x f ＜1”的充分不必要条件4．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时f (x )＝x2121-)(，那么函数f (x )在[－1，0]上的最大值与最小值之和为( )A ．85B ．721 C ．821 D ．10 【分值】5 【答案】D【考查方向】本体主要考查指数型函数的单调性与最值. 在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现，需要高度重视。

高中数学函数基础练习题

高中数学函数基础练习题
1. 一元二次函数
a. 已知一元二次函数的顶点坐标为（2，-3），过该点的切线
方程为y=2x+1。

求该函数的解析式。

b. 若一元二次函数经过点（1，2）和（3，-4），求该函数的
解析式。

2. 指数函数
a. 已知指数函数的解析式为y=2^x，求使得y=8的x的取值。

b. 若指数函数的解析式为y=3^x，求使得y=1/27的x的取值。

3. 对数函数
a. 已知对数函数的解析式为y=log2(x)，求使得y=4的x的取值。

b. 若对数函数的解析式为y=log5(x)，求使得y=1/125的x的取值。

4. 三角函数
a. 已知三角函数y=sin(x+π/6)，求使得y=1的x的取值。

b. 已知三角函数y=cos(2x+π/3)，求使得y=0的x的取值。

5. 合并函数
a. 已知函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求函数h(x)=f(g(x))的解析式。

b. 已知函数g(x)=x^2，h(x)=√(x+7)，求函数f(x)=h(g(x))的解析式。

6. 组合函数
a. 已知函数f(x)=2x^3-3x+1，求函数g(x)=f(f(x))的解析式。

b. 已知函数g(x)=√(x+1)，求函数f(x)=g(g(x))的解析式。

7. 复合函数
a. 已知函数f(x)=3x+5，g(x)=2x-1，求函数h(x)=f(g(x))的解析式。

b. 已知函数g(x)=3x-2，h(x)=2x+4，求函数f(x)=g(h(x))的解析式。

高中数学如何求解三角函数的复合函数问题

高中数学如何求解三角函数的复合函数问题在高中数学中，我们经常会遇到三角函数的复合函数问题，这是一个常见但也较为复杂的题型。

掌握解决这类问题的方法和技巧，对于提高数学成绩和解题效率都非常重要。

本文将以具体的题目为例，分析解题思路和方法，帮助读者更好地理解和应用。

一、题目分析考虑以下题目：已知函数$f(x)=\sin(x)$，$g(x)=\cos(2x)$，求复合函数$h(x)=f(g(x))$的表达式。

这是一个典型的三角函数的复合函数问题，需要我们将两个函数进行复合，得到最终的表达式。

解决这类问题的关键在于理解复合函数的含义和运算规则。

二、解题思路对于复合函数$h(x)=f(g(x))$，我们可以先计算$g(x)$，再将$g(x)$的结果代入$f(x)$中。

具体步骤如下：1. 首先计算$g(x)$的表达式。

已知$g(x)=\cos(2x)$，根据三角函数的基本性质，我们知道$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$。

因此，$g(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$。

2. 将$g(x)$的表达式代入$f(x)$中。

已知$f(x)=\sin(x)$，将$g(x)$的表达式代入$f(x)$中得到$h(x)=f(g(x))=\sin(\cos^2(x)-\sin^2(x))$。

至此，我们得到了复合函数$h(x)$的表达式。

三、解题分析通过以上步骤，我们成功求解了复合函数$h(x)$的表达式。

在解题过程中，我们需要掌握一些关于三角函数的基本性质和运算规则，如$\cos(2x)$的展开公式。

此外，我们还需要注意复合函数的计算顺序，先计算内层函数，再计算外层函数。

这个题目主要考察了对三角函数的复合运算的理解和应用。

在解题过程中，我们还可以进一步思考如何将复合函数的表达式进行化简，以便更好地理解和应用。

四、举一反三通过以上的例题分析，我们可以得出一些解题技巧和方法。

同时，我们也可以运用这些技巧和方法解决其他类似的题目。

人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3 简单的复合函数的导数

复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．
课时学案
题型一明确复合关系
例 1 指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(2－x2)3；
(2)y＝sinx2；
(3)y＝cosπ4－x； (4)y＝lnsin(3x－1)．
2．若可导函数 f(x)满足 f′(3)＝9，则 f(3x2)在 x＝1 处的导数值为_____54___．
解析 ∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)， ∴f(3x2)在 x＝1 处的导数值为 6×1×f′(3)＝54.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝sin22x＋π3； (2)y＝cos22x；
【解析】 (1)设 y＝u2，u＝－2x＋1，则 y′x＝y′u·u′x＝2u·(－ 2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设 y＝eu，u＝x－1，则 y′x＝y′u·u′x＝eu·1＝ex－1.
(3) 设
y ＝ log2u ， u ＝ 2x ＋ 1 ，则
y′x
＝
y′u
·
u
′
x
＝
2 uln2
【解析】 ∵y＝ x21－3x＝(x2－3x)－12， ∴y′＝－12(x2－3x)－32·(x2－3x)′ ＝－12(x2－3x)－32·(2x－3)． ∴曲线 y＝ x21－3x在点4，12处的切线斜率为 k＝y′|x＝4＝－ 12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－156. ∴曲线在点4，12处的切线方程为 y－12＝－156(x－4)，即 5x ＋16y－28＝0.
【解析】 (1)函数的导数 f′(x)＝12· 3x12＋1·6x＝ 3x32x＋1，则曲线在点(1，2)处的切线斜率 k＝f′(1)＝ 33＋1＝32，则对应的切线方程为 y－2＝32(x－1)，即 3x－2y＋1＝0. (2)y′＝x(1－x2)－32，令 y′＝0，得 x＝0，∴y＝1.

专题22复合函数的零点问题-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(原卷版)

x22x,x0
个整数解，则实数a的最大值为（）
A．2B．3C．5D．8
5.（2020·吉林长春）函数f(x)2sinxsin2x在0,2的零点个数为（）
A．2B．3C．4D．5
6.（2018·辽宁期中）定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1x)f(1x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝f(x)－ae－在区间[2018,2018]上有4 032个零点，则实数a的取值范围是
.
10.（2020·霍邱县）已知函数fxxefx2tfx30tR
x2
，若关于x的方程有两个不等实
数根，则t的取值范围为．
第22题复合函数的零点问题
一．题源探究·黄金母题
设函数f(x)
若x0是ff
周期点．
1x, 0xa,
a（a为常数且a0,1
11x,ax1
1a
xx的零点但不是fxx的零点，则称x0
）
为
．
f
(x)
的二阶周期点，求函数
f
(x)
的二阶
【试题来源】2013年高考江西卷改编．
【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．
4个交点，求出参数a
的范围
考向2有关分段函数的复合函数的零点
2x2
,x1
已知函数fx{2
log2x1,x1
Fxffx2fx3的零点个数是（）
2
A．4B．5C．6D．7
，
则
函数
【温馨提醒】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x．
考向3二次函数型复合函数的零点问题
已知f(x)=x，若关于的方程f(x)2t(2b+ㄮ)f(x)+b2+b=0恰

高中数学第一章导数及其应用1.2.2复合函数的导数及导数公式的应用习题课件新人教a选修2_2

∵y′＝2x－2 1，∴y′|x＝x0＝2x02－1＝2，解之得x0＝1， ∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为
d＝|2－40＋＋13|＝ 5，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.
答案：A
二、填空题：每小题5分，共15分． 7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
课时2 复合函数的导数及导数公式的应用
作业 ①理解复合函数的概念．②掌握复合函数求导的
目标方法与步骤，会求一些简单的复合函数的导数．
作业设计
限时：40分钟满分：90分
一、选择题：每小题5分，共30分．
1．函数y＝2sin3x的导数是( )
A．2cos3x
)
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
D．ex＋e－x
解析：y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x)．
答案：A
6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离
是( )
A. 5
B．2 5
C．3 5
D．0
解析：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－ y＋3＝0平行．
B．－2cos3x
C．6sin3x
D．6cos3x
解析：y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.
答案：D
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( ) A．ln(2x＋5)－2x＋x 5 B．ln(2x＋5)＋2x2＋x 5 C．2xln(2x＋5)

微积分高中练习题及讲解

微积分高中练习题及讲解微积分基础练习题1. 导数的概念和计算题目：求函数 $ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数。

解答：\[f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x + 1) = 6x - 2\]当 $ x = 2 $ 时，$ f'(2) = 6 \times 2 - 2 = 10 $。

2. 复合函数的导数题目：若 $ u(x) = x^3 $ 且 $ v(x) = \sin(x) $，求$ (u \cdot v)' $。

解答：\[(u \cdot v)' = (x^3 \cdot \sin(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 3x^2 \cdot \sin(x) + x^3 \cdot \cos(x) \]3. 链式法则题目：求 $ y = (x^2 + 1)^3 $ 的导数。

解答：设 $ u = x^2 + 1 $，则 $ y = u^3 $。

\[y' = (u^3)' = 3u^2 \cdot u' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot (2x) =6x(x^2 + 1)^2\]4. 积分的概念和计算题目：计算定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $。

解答：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}\]5. 微分方程题目：解微分方程 $ y' + 2y = e^{-x} $，其中 $ y(0) = 1 $。

解答：这是一个一阶线性微分方程。

首先求解齐次方程 $ y' + 2y = 0 $，得到 $ y_h(x) = Ce^{-2x} $。

人教版高中数学必修一第一章 1.2.2 复合函数问题练习(含答案)

( x1 2 x1 3) ( x 2 2 x 2 3) = ( x 2 x1 )( x 2 x1 2)
∵ x 2 x1 3
2
2
2
∴ x 2 x1 0
2
x2 x1 2 0
又底数 0
∴ ( x1 2 x1 3) > ( x 2 2 x 2 3) ∴ y 2 y1 0 即 y 2 y1
2
整理得 y x 7 x 6 ，
g ( x) x 2 7 x 6 ．
5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例5 设 f ( x)满足f ( x) 2 f ( ) x, 求 f ( x) ．
三复合函数定义域问题 (1)、已知
n(n 1) ， 2
f ( x)

的定义域，所以，E 为的作用范围为 D，又 f 对的定义域。的定义域为_____________。，所以的作用范围为（0，1）
思路：设函数
的定义域为 D，即
x x 2 x x 4 则 2 ，解得：， y y 6 y y 3 2
点 M ( x , y ) 在 y g ( x) 上， y x 2 x ．
把
x x 4 2 代入得： 6 y ( x 4) ( x 4) ． y 6 y
① 1得：
式中的 x＝ 1， 2， …， n－ f (2) f (1) 2，f (3) f (2) 3，，f (n) f (n 1) n
将上述各式相加得： f ( n) f (1) 2 3 n ，

高中数学求复合函数定义域方法及复合函数苏教版必修2

2,已知f(x)的定义域为D，求f[g(x)]的定义域，实质是解不等式g(x)∈D；而已知f[g(x)]定义域为D，求f(x)定义域，是根据x∈D，求g(x)的取值范围。
练习，已知f(2x-1)定义域为[0，1]，求f(3x)的定义域
（该题实质是将上面两个合成了一个题，答案：0≤x≤1 -1≤2x-1=t≤1 f(t)定义域为[-1，1]，f(3x)有意义-1≤3x≤1∴f(3x)的定义域为[-1/3，1/3] ）
例1、求下列函数的定义域。⑴y= ⑵y=
解：⑴式子有意义，则|x|-x>0 |x|>x，定义域为(-∞，0)
⑵由题意定义域为{x|x≥-5，且x≠-3}
说明：1，函数定义域就是每个式子有意义的一切x的范围集合
2，定义域为集合，一般写成集合的格式，区间是一种特殊的集合。当定义域是紧跟解析式后面时，可以在小括号内用不等式注明。
练习：求下列函数的定义域：1，y= 2,y=
(答案：1，{x|x∈R,且x≠±1}；2，{x|xx∈R,且x≠1,2,3}
例2，某工厂的统计资料显示，产品的次品率p与日产量x件的关系如下：
x
1
2
3
4
5
……
98
p
2/99
1/49
2/97
1/48
5/95
……
1
又知，每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元(a>0),将该厂的日盈利额M元表示为日产量x的函数。
[总之]今天的主要内容是：
1，函数定义域就是每个式子有意义的一切x的范围集合；定义域为集合，一般写成集合的格式，区间是一种特殊的集合。当定义域是紧跟解析式后面时，可以在小括号内用不等式注明
2，实际问题除了原式外，还要根据实际情况确定函数的定义域

05-专项拓展训练与指数函数有关的复合函数问题高中数学必修一北师大版

=
5 −1
−
5 +1
= − ,所以是奇函数,故C正确.当
∈ −1,0 时, = [ ] = −1,当 ∈ [0,1)时, = [ ] = 0,
所以的值域是{−1,0},故D正确.
类型4 形如
= + − + ± − + > , ≠ 的函数

+ ⋅ + > , ≠ 的函数
3.函数 = 2 + + 1 > 0, ≠ 1 在[−1,1]上的最大值为13，则实
1
3或
数的值为_____.
3
【解析】令 = ,则 > 0.令 = + + 1 = ( +

称轴为直线 =
2
4
2
6

3

当0 < − < ,即−3 < < 0时, 的最小值为 − ,令
2
2
2

2
2
−
=
−
+ 2 = 1,即2 = 4,所以 = −2.
2
4
2
综上, = −2.
,令
【练后反思】求复合函数 = 的单调区间,首先要求出函数的定义
域,然后把函数分解成 = , = ,由和的单调性,求出复合
2
1
− ，所以
2
1 2
)
2
+
3
，其图象的对
4
= 2 + + 1在 0, +∞ 上单调递增.①若 > 1

高中数学《简单复合函数的导数》知识点讲解及重点练习

5.2.3　简单复合函数的导数学习目标　1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．知识点　复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考　函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？答案　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(　√　)2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(　×　)3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(　√　)一、求复合函数的导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝1(1－3x)4；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解　(1)令u＝1－3x，则y＝1u4＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝12 (1－3x)5.(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2).(3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2(2x ＋1)ln 2.(4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2，则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x ；(2)y ＝5log 2(1－x )；(3)y ＝sin (2x ＋π3).解　(1)()12=12,y x --设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝()1212u 'x '⎛⎫- ⎪⎝⎭-()32212u -⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭＝－()32=12x .--(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5(x －1)ln 2.(3) 设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝(sin u )′(2x ＋π3)′＝cos u ·2＝2cos (2x ＋π3).二、复合函数与导数的运算法则的综合应用例2　求下列函数的导数：(1)y ＝ln 3x e x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos (2x ＋π2)sin (2x ＋π2).解　(1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x .(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(3)∵y ＝x cos (2x ＋π2)sin (2x ＋π2)＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝(－12x sin 4x )′＝－12sin 4x －x 2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .反思感悟　(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2　求下列函数的导数：(1)y ＝sin 2x 3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3；(3)y ＝x ln(1＋x )．解　(1)方法一　∵y ＝1－cos 23x 2，∴y ′＝(12－cos 23x 2)′＝13sin 23x .方法二　y ′＝2sin x 3cos x 3·13＝23sin x 3cos x 3＝13sin 23x .(2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3.(3)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′＝ln(1＋x )＋x 1＋x.三、与切线有关的综合问题例3　(1)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A.5 B ．25 C ．35 D ．0答案　A解析　设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．∵y ′＝22x －1，∴0=|x x y'＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是5.(2)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．解　由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思感悟　(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．跟踪训练3　(1)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为．答案　1解析　由f (x )＝ln x ＋k e x，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝ .该切线与坐标轴围成的面积为．答案　2　14解析　令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，所以f′(0)＝a e0＝a，故a＝2.由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－1 2 .∴S＝12×12×1＝14.1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( ) A．y＝u n，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝t n，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝t n答案　AD2．函数y＝(2 020－8x)3的导数y′等于( )A．3(2 020－8x)2B．－24xC．－24(2 020－8x)2D．24(2 020－8x)2答案　C解析　y′＝3(2 020－8x)2×(2 020－8x)′＝3(2 020－8x)2×(－8)＝－24(2 020－8x)2.3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x答案　B解析　y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝ .答案　3 2解析　∵f′(x)＝33x－1，∴f′(1)＝33－1＝32.5．曲线y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为．答案　x＋y－1＝0解析　∵y ′＝－12－x ＝1x －2，∴y ′| x ＝1＝11－2＝－1，即切线的斜率是k ＝－1，又切点坐标为(1,0)．∴y ＝ln(2－x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.1．知识清单：(1)复合函数的概念．(2)复合函数的求导法则．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)下列函数是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1 B ．y ＝cos (x ＋π4)C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案　BCD解析　A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数，其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成．2．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( )A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5答案　B解析　∵y ＝x ln(2x ＋5)，∴y ′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5.3．函数y ＝x 3e cos x 的导数为( )A ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos xB ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin xC ．y ′＝3x 2e cos x －x 3e sin xD ．y ′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x sin x答案　B解析　y ′＝(x 3)′e cos x ＋x 3(e cos x )′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x ·(cos x )′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x .4．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1答案　C解析　∵y ＝x e x －1，∴y ′＝e x －1＋x e x －1，∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，故选C.5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案　B解析　设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有Error!由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是．答案　y ′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x解析　∵y ＝sin 2x cos 3x ，∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .7．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′(π9)sin 3x ＋cos 3x ，则f ′(π9)＝ .答案　33解析　∵f (x )＝f ′(π9)sin 3x ＋cos 3x ，∴f ′(x )＝f ′(π9)·3cos 3x －3sin 3x ，令x ＝π9可得f ′(π9)＝f ′(π9)×3cos π3－3sin π3＝32 f ′(π9)－3×32，解得f ′(π9)＝33.8．点P 是f (x )＝(x ＋1)2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是，此时点P 的坐标为．答案　728　(－12，14)解析　与直线y ＝x －1平行的f (x )＝(x ＋1)2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最短．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2(x 0＋1)＝1，∴x 0＝－12，y 0＝14.即P (－12，14)到直线y ＝x －1的距离最短．∴d ＝|－12－14－1|(－1)2＋12＝728.9．求下列函数的导数：(1)y ＝ln(e x ＋x 2)；(2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解　(1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x 2.(2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln 10.(3)∵y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2 x ·cos 2 x ＝1－12sin 2 2x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x .∴y ′＝－sin 4x .10．曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解　∵y ＝e sin x ，∴y ′＝e sin x cos x ，∴y ′|x ＝0＝1.∴曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.又直线l 与x －y ＋1＝0平行，故直线l 可设为x －y ＋m ＝0.由|m －1|1＋(－1)2＝2得m ＝－1或3.∴直线l 的方程为x －y －1＝0或x －y ＋3＝0.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13 B.12 C.23D ．1答案　A解析　依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2.所以曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是(23，23)，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13.12．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )A.π4 B.π2 C.3π4 D. 7π8答案　CD解析　因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x＋2.因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈[3π4，π).13．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝ .答案　π6解析　∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0，∴tan φ＝33，又0<φ<π，∴φ＝π6.14．已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是．答案　y ＝－2x －1解析　设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，所以f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，所以切线方程为y ＝－2x －1.15．已知f (1x )＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋x B ．－11＋xC.1(1＋x )2 D ．－1(1＋x )2答案　D解析　由f (1x )＝x1＋x ＝11x ＋1，得f (x )＝1x ＋1，从而f ′(x )＝－1(1＋x )2，故选D.16．(1)已知f (x )＝e πx sin πx ，求f ′(x )及f ′(12)；(2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使过该点的切线平行于x 轴，并求切线方程．解　(1)∵f (x )＝e πx sin πx ，∴f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πx cos πx＝πe πx (sin πx ＋cos πx )．∴f ′(12)＝2e sin +cos 22πππ⎛⎫π ⎪⎝⎭2e .π=π(2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知0=|0.x x y'=又y ′＝－2x (1＋x 2)2，∴0=|x x y'＝－2x 0(1＋x 20)2＝0.解得x 0＝0，此时y 0＝1.即该点的坐标为P (0,1)，切线方程为y －1＝0.。

高中数学-复合函数常考题型

所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以的定义域；已知的定义域，求的定义域;的定义域）遵循等位等效性原则。

y f （u ）在区间（c,d ）上是减函数，那么，原复合函数函数.遵循同增异减原则 '、复合函数定义域问题:（1）、已知的定义域，求的定义域又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以例2.若函数，则函数的定义域为。

答案：（2 ）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D ，即，由此得，所以f 的作用范围为 E ，又f 对x 作用,作用范围不变，所以为的定义域。

例3.已知的定义域为，则函数的定义域为。

解析：的定义域为，即，由此得高中数学-复合函数常考题型复合函数常考的题型有: （1 ）求解定义域问题已知函数y f (g(x)).若 u g(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为（c ，d ），又函数（已知的定义域，求已知的定义域，求（2 ）判定函数单调性问题：y f （g （x ））在区间（a, b ）上是增例1.设函数的定义域为（o , 1），则函数的定义域为 ___________________解析：函数的定义域为（o ，1）即，所以的作用范围为（0，1）解得，故函数的定义域为（1，e ）作用，所以的定义域为二、复合函数单调性问题间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y f(g(x))在区间(a,b )例、证明：在区间(a,b )内任取两个数 x 1 ,x 2，使a x 1 x 2 因为u g(x)在区间(a, b )上是减函数，所以 g(x i ) g(x 2),记u ig(x i ), U 2 g(X 2)即U i u 2,且 u i ,u 2 (c,d)因为函数y f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(ujf(U 2),即卩f(g(xj ) f(g(X 2))，故函数y f(g(x))在区间(a,b )上是增函数即函数的定义域为例4.已知，则函数的定义域为答案:(3 )、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D , ，由此得，的作用范围为E ，又f 对作用,作用范围不变，所以，解得的定义域。

人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4

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第四章指数函数与对数函数
A．指数函数 y＝2t B．对数函数 y＝log2t C．幂函数 y＝t3 D．二次函数 y＝2t2 答案：A
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第四章指数函数与对数函数
2．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来
的 2 000 元降到 1 280 元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )
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第四章指数函数与对数函数
(1)我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没有别的变化方式？
答案：有，还有指数衰减． (2)我们知道当底数大于 1 时，对数函数的增长速度越来越慢，那么当底数小于 1 时，对数函数的变化有何特点？答案：当底数小于 1 时，对数函数的递减速度越来越慢．
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第四章指数函数与对数函数
(1)判断正误． ①实际问题中两个变量之间一定有确定的函数．( × ) ②解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( × ) ③在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × ) ④对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．( √ )
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第四章指数函数与对数函数
知识点三建立拟合函数模型解决实际问题某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在 50 万元到 500 万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金 y(单位：万元)随年产值 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于 7 万元，同时奖金不超过年产值的 15%. (1)若某企业产值 100 万元，核定可得 9 万元奖金，试分析函数 y ＝lg x＋kx＋5(k 为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知 lg 2≈0.3，lg 5≈0.7).

复合函数的导数高中数学人教A版2019选择性必修第二册

5.2.3简单复合函数的导数
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x ) = c , 则 f' ( x ) = 0;
n
n -1
公式 2.若f ( x ) = x , 则 f' ( x ) = nx ;
公式 3.若f ( x ) = sinx , 则 f' ( x ) = cosx;
公式4.若f ( x ) = cosx , 则 f' ( x ) = -sinx;

x
1
x2, 由题意知, e = + =1,
∴x1=0, x2=1−b, 两切点分别为(0, 1+a), (1-b, a2);
两切点处的切线方程分别为y−(1+a)=x和y−a2=x−(1−b),
2
2
2
故a+1=a −1+b, 则b=−a +a+2=−(a−) + ≤ ,

∴b的取值范围是 −∞, .故选D.
=2e2xcos3x−3e2xsin3x
∴曲线在点(0, 1)处的切线的斜率为y′|x=0=2,
∴切线方程为y-1=2x，即y=2x+1.
−
设l的方程为y=2x+m, 则 = , 解得m=−4或m=6.
当m=−4时, l的方程为y=2x−4; 当m=6时, l的方程为y=2x+6.
所以l的方程为y=2x−4或 y=2x+6.
=2[cosx∙cosx+sinx∙(−sinx)]
=2(cos2x−sin2x) =2cos2x
另一方面，y′u＝(sinu)′＝cosu ，u′x＝(2x)′=2 ,
可以发现 y′x＝2cos2x=cosu×2=y′u×u′x .

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第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ，所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. 已知f x x x ()lg 22248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 22248-=-，知x x 2280-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x()2的定义域为[]-11，，则f x (log )2的定义域为____________。

解析：f x()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。

利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。

（二）同步练习：1、已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。

答案：]1,1[-2、已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。

答案：]9,3[-3、已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)23,1()0,21(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（）A. ()()4,00,4Y -B. ()()4,11,4Y --C. ()()2,11,2Y --D. ()()4,22,4Y --解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。

故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--U 。

故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--U5、已知函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a axf ax f xg 的定义域。

［解析］由已知，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232,2321,2321,2321a x a ax a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2321|{<<-x x ；（2）当a a 2323>，即10<<a 时，有221a a ->-，定义域为}232|{a x a x <<-；（3）当a a 2323<，即1>a 时，有221aa -<-，定义域为}2321|{ax a x <<-.故当1≥a 时，定义域为}2321|{a x a x <<-；当10<<a 时，定义域为}.232|{a x a x <<-［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练例1、求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<<∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。

当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若31-<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.已知y=a log (2-xa )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时，函数t=2-x a >0是减函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2,∴1＜a ＜2当0<a<1时，函数t=2-xa >0是增函数由y=a log (2-xa )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数，∴0<a<1由x ∈［0，1］时，2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1综上述，0<a<1或1＜a ＜2例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数，且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ，其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a ，解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ，即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++-==， ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F假设存在实数)0(<p p ，使得)(x F 满足条件，设21x x <，∴].12)()[()()(2221222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数，∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x , ∴11612)(2221-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ①当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②由①、②可知161-=p ，故存在.161-=p （5）同步练习：1．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞）解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t（x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B2找出下列函数的单调区间. （1）)1(232>=++-a a y x x ；（2）.2322++-=x x y答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),23[+∞上是减函数。