随机过程期末试题及答案(2)

课程名称： 随机过程（B 类） 考试班级 学号 试卷说明：
课程所在学院： 理学院 姓名
成绩
1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 4 页，共 四 大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间； 3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 本试卷全部答案写在试卷上； 5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场； 6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！ 一．填空题（每空 2 分，共 20 分） 1．设随机变量 X 服从参数为
4
1 (sin(ω t+1)-sinω t) 。 2 1
λ
的同一指数分布。
4．设 {Wn ,n ≥ 1}是与泊松过程 {X(t),t ≥ 0} 对应的一个等待时间序列，则 Wn 服从 Γ 分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t
⎧ t ⎪ , 对 应 随 机 变 量 X (t ) = ⎨ 3 t ⎪ ⎩e ,
（2）一维分布函数 F(x;0),F(x;1) 。 求（1） {X(t),t ∈ ( −∞, +∞)} 的样本函数集合； 解： （1）样本函数集合为 {cosπ t,t}, t ∈ (-∞,+∞) ； （2）当 t=0 时， P {X(0)=0} = P {X(0)=1} =
1 ， 2
⎧0 ⎧0 x<0 x<-1 ⎪ ⎪ ⎪1 ⎪1 故 F(x;0)= ⎨ 0 ≤ x<1 ；同理 F(x;1)= ⎨ −1 ≤ x<1 ⎪2 x ≥ 1 ⎪2 x ≥ 1 1 ⎪ ⎪1 ⎩ ⎩
(n)
{
}
⎧ ⎩
= ∑ P {X(n)=j,X(l)=k X(0)=i} X(l)=k X(0)=i ⎬ ⎭
k∈I
k∈I (l) (n-l) ik kj
⎫
=
∑ P {X(l)=k X(0)=i} P {X(n)=j X(l)=k,X(0)=i}= ∑ P
k∈I
P
，其意义为 n 步转移概率可以
用较低步数的转移概率来表示。 4.设 {N(t),t ≥ 0} 是强度为 λ 的泊松过程， {Yk , k=1,2,} 是一列独立同分布随机变量，且与
2.设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2 分钟内到达的顾客不超过 3 人的概率。 解：设 {N(t),t ≥ 0} 是顾客到达数的泊松过程， λ = 2 ，故 P {N(2)=k} =
(4) k -4 e ，则 k!
32 -4 71 -4 e = e 3 3
P {N(2) ≤ 3} = P {N(2)=0}+P {N(2)=1}+P {N(2)=2}+P {N(2)=3} = e-4 + 4e-4 + 8e-4 +
{
}
⎡ N(t) ⎣ i=1
∑Y
i
⎤ N(t) = n ⎥ ⎦
=E⎢
⎡
∑Y ⎣
i=1
n
i
⎤ ⎡ n ⎤ N(t) = n ⎥ = E ⎢ ∑ Yi ⎥ = nE(Y1 ) ，所以 E [X(t) ] = λ tE {Y1} 。 ⎣ i=1 ⎦ ⎦ ⎧cosπ t H T ⎩t
1 ， 2
三．计算题（每题 10 分，共 50 分） 1.抛掷一枚硬币的试验， 定义一随机过程：X(t)= ⎨ , t ∈ (-∞,+∞ ) ， 设 p(H)=p(T)=
(n)
{
}
1
f ij = ∑ f ij(n) ，若 f ii < 1 ，称状态 i 为非常返的。
n=1
∞
9．非周期的正常返状态称为遍历态。 10．状态 i 常返的充要条件为
∑p
n=0
∞
(n) ii
= ∞。
二．证明题（每题 6 分，共 24 分） 1.设 A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BC A )=P(B A )P(C AB) 。
1 1 3 1
0⎤ 1⎥ ⎥， 3⎥ 0⎥ ⎦
Hale Waihona Puke P(2)⎡1 3 2 ⎢ 1 =P = 9 ⎢ 1 ⎢ ⎣3
1 3 7 9 1 3
⎤ ⎥, ⎥ 1 3⎥ ⎦
1 3 1 9
由p(2) ij >0知，此链有遍历性； 设极限分布π = (π 1 , π 2 , π 3 )，
⎡1 ⎢ 2 ⎢1 5.设有四个状态 I= {0， 1，， 2 3} 的马氏链，它的一步转移概率矩阵 P= ⎢ 2 ⎢1 ⎢ 4 ⎢ ⎣0
7．设 {X n , n ≥ 0} 为马氏链，状态空间 I ，初始概率 pi = P(X 0 =i) ，绝对概率 p j (n) = P {X n = j} ，
(n) n 步转移概率 p(n) ij ，三者之间的关系为 p j (n) = ∑ p i ⋅ p ij 。 i∈I
8．在马氏链 {X n , n ≥ 0} 中，记 f ij = P X v ≠ j,1 ≤ v ≤ n-1,X n = j X 0 = i , n ≥ 1,
λ 的 泊 松 分 布 ， 则 X 的 特 征 函 数 为 eλ (e
it
-1)
。
2．设随机过程 X(t)=Acos(ω t+Φ ),-∞<t<∞ 其中 ω 为正常数， A 和 Φ 是相互独立的随机变量， 且 A 和 Φ 服从在区间 [0,1] 上的均匀分布，则 X(t) 的数学期望为
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为
p01 ⎤ ⎡0.7 0.3⎤ =⎢ ⎥ ，于是 p11 ⎥ ⎦ ⎣0.4 0.6⎦
⎡ 0.61 0.39 ⎤ ⎡ 0.5749 0.4251⎤ (4) (2) (2) ，四步转移概率矩阵为 = = P(2) = PP= ⎢ P P P ⎢ 0.5668 0.4332 ⎥ ，从而得到今 ⎥ ⎣0.52 0.48⎦ ⎣ ⎦
天有雨且第四天仍有雨的概率为 P00 = 0.5749 。
(4)
3
4.一质点在 1,2,3 三个点上作随机游动，1 和 3 是两个反射壁，当质点处于 2 时，下一时刻处于 1,2,3 是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。
⎡0 ⎢1 解：一步转移概率矩阵 P= ⎢ ⎢3 ⎢0 ⎣
P(X(t) ≤ x X(t1 )=x1 , X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n X(t1 )-X(0)=x1 , X(t 2 )-X(0)=x 2 , X(t n )-X(0)=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n ) ，又因为 P(X(t) ≤ x X(t n )=x n )= P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n X(t n )=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n ) ，故 P(X(t) ≤ x X(t1 )=x1 , X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) = P(X(t) ≤ x X(t n )=x n )
3.设 {X n , n ≥ 0} 为马尔科夫链，状态空间为 I ，则对任意整数 n ≥ 0,1 ≤ l <n 和 i, j ∈ I ， n 步转移 概率 pij =
(n)
∑p l p
k∈I
( ) (n-l ) ik kj
，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
证明： Pij = P X(n)=j X(0)=i = P ⎨ X(n)=j,
证明：左边=
P(ABC) P(ABC) P(AB) = = P(C AB)P(B A ) =右边 P(A) P(AB) P(A)
2.设{X(t),t³0}是独立增量过程, 且 X(0)=0, 证明{X(t),t³0}是一个马尔科夫过程。 证明：当 0 < t1 < t 2 < < t n < t 时，
{N(t),t ≥ 0} 独立，令 X(t)=∑ Yk , t ≥ 0 ，证明：若 E(Y12 <∞) ，则 E [X(t)] = λ tE {Y1} 。
k=1
N(t)
2
证明：由条件期望的性质 E [X(t) ] = E E ⎡ ⎣ X(t) N(t) ⎤ ⎦ ，而 E ⎡ ⎣ X(t) N(t) = n ⎤ ⎦ = E⎢
如果t时取得红球 如果t时取得白球
， 则
这 个 随 机 过 程 的 状 态 空 间
⎧1 2 ⎫ 2 ⎨ t, t,;e,e ⎬ 。 ⎩3 3 ⎭
6． 设马氏链的一步转移概率矩阵 P=(pij ) ， n 步转移矩阵 P
(n) (n) n 二者之间的关系为 P = P 。 = (p(n) ij ) ，
2 2
0 0 1 4 0
4 0
0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ 1 ⎥ 4⎥ 1⎥ ⎦
（2） p33 = 1, 而p30，p31，p32 均为零，所以状态 3 构成一个闭集，它是吸收态，记 C1 = {3} ；0， 1 两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记 C2 = {0， 1}，且它们都是正常返 非周期状态；由于状态 2 可达 C1，C 2 中的状态，而 C1，C 2 中的状态不可能达到它，故状态 2 为非 常返态，记 D= {2} 。 （3）状态空间 I 可分解为： E=D ∪ C1 ∪ C2 四.简答题（6 分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。 答： （略）
（１）画出状态转移图； （２）对状态进行分类； （３）对状态空间 I 进行分解。 解： （1）图略；
⎧π 1 = ⎧π 1 = 1 3 π2 ⎪ ⎪ 1 ⇒ ⎨π 2 = 方程组 ⎨π 3 = 3 π 2 ⎪π + π + π = 1 ⎪π = 2 3 ⎩ 1 ⎩ 3