微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目-777705511
多元函数微分学习题课-14页精品文档
6、全微分形式不变性
无论 z是自变量u 、 v 的函数或中间变量u 、 v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dzzduzdv. u v
7、隐函数的求导法则
(1) F(x,y)0
dyFx
dx Fy
(2 )F (x ,y ,z) 0
z Fx,z Fy x Fz y Fz
求隐函数偏导数的方法 ①公式法 ②直接法 ③全微分法
8、多元函数的极值
极值、驻点、必要条件P341 (偏导为0)
充分条件P342 P(x,y )
求 函 数 z f ( x ,y ) 极 值 的 一 般 步 骤 ：
最值 条件极值，目标函数、约束条件
一、主要内容
极限运算 多元连续函数
的性质
多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
偏导数 概念
多元函数的极值
全微分 的应用
高阶偏导数
隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用
1、多元函数的极限 说明：（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限运算法则与一元 函数类似． 存在性 ——定义，夹逼定理
构造 Lagrange 函数 F ( x ,y ,z ) f ( x ,y ,z ) ( x ,y ,z )
二重积分
1. 二重积分的定义
n
D
f
x, y d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
多元函数微分习题课
x
x
z
y
x
( ) du
dx
=
f1 +
f2 cos x −
1 f3 ϕ3
2 xϕ1 + esin xϕ2 cos x
十.设u = f ( x, y,z),ϕ( ) x2,ey,z = 0, y = sinx,
其中 f ,ϕ 都具有一阶连续偏导数,且 ∂ϕ ≠ 0 ,求 du .
∂z
dx
解法二:用微分形式不变性:
(A). f ( x, y) 在 P 点连续; (B). f ( x, y) 在 P 点必可微;
(C). lim x → x0
f
( x,
y0 )
及 lim y→ y0
f
( x0 ,
y)
都存在;
(D). lim f ( x, y) 存在. x → y→ y0
答:(C)
三.求由方程 xyz + x2 + y2 + z2 = 2 所确定的函 数 z = z ( x, y) 在点(1,0,−1) 处的全微分dz .
答:dz = dx − 2dy
四.设 z = z ( x , y ) 定义在全平面上 (1).若 ∂z ≡ 0 ,试证 z = f ( y ) ,其中 f ( y )
∂x
是任意待定的函数; (2).若 ∂ 2 z ≡ 0 ,试证 z = f ( x ) + g ( y ) ,其
∂x∂y
中 f ( x ), g ( y ) 是可导的待定函数.
;
有二阶连续偏导数,
解: z y = x4 f1 + x2 f2 , z yy = x5 f11 + 2 x3 f12 + xf22
微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目-777705511
习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）一．累次极限与重极限例.1 ()y x f ,=⎝⎛=⋅≠⋅+0,00,1sin 1sin y x y x x y y x例.2⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=003),(222222y x y x y x xyy x f例.3 22222(,)()x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f y x x y ，而二重极限()y x f y x ,lim 0→→不存在。
一般结论：二．多元函数的极限与连续，连续函数性质例.4 求下列极限：（1）11)0,1(),()(lim -+++→+y x y x y x y x ； （2）)ln()(lim22)0,0(),(y x y x y x ++→;（3）(,)(0,0)sin()limx y xy x →；（4）22limx y x yx xy y →∞→∞+-+；（5）22()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+。
例.5 证明：极限0)(lim 222),(),(=+∞∞→x y x y x xy ．例.6若()y x f z ,=在2R 上连续, 且()22lim ,x y f x y +→+∞=+∞, 证明 函数f 在2R 上一定有最小值点。
例.7 )(x f 在n R 上连续,且(1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>∀c )()(x x cf c f =例.8若),(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，0)0,0(=f ，且a yx y x y x f y x =++-→2222)0,0(),(),(lima 为常数。
证明：（1）),(y x f 在)0,0(点连续；（2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微； （3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。
高等数学多元函数微分学习题集锦
第七章、多元函数微分法 习题课
解法3
隐函数求导法，
u = f ( x , y ( x , z ) ) = f ( x , y ( x , z ( x )) ) , dz ⎞ ⎛ du = f x + f y ⋅ ⎜ y x + yz ⋅ ⎟ , dx ⎠ dx ⎝ gx yx = − gy gz yz = − gy
的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的 四面体体积最小，求切点坐标并求此最小体积
2
2
2
解
设 P ( x 0 , y 0 , z 0 )为椭球面上一点， 令
则 Fx′ |P =
2 x0 , F ′ | = 2 y0 , Fz′ |P = 2 z0 , y P a2 c2 b2 过 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切平面方程为
第七章 多元函数微分法及其应用 习 题 课
一、主要内容 二、典型例题 三、作业
一、主要内容
平面点集 平面点集 和区域 和区域
极 限 运 算 极 限 运 算 多元连续函数 多元连续函数 的性质 的性质
第七章、多元函数微分法 习题课
多元函数概念 多元函数概念
多元函数 多元函数 的极限 的极限
多元函数 多元函数 连续的概念 连续的概念
dz . 消去 d y 即可得 dx
第七章、多元函数微分法 习题课
⎧ x 2 + y 2 + z 2 − 3x = 0 例7. 求曲线 ⎨ 在点(1,1,1) ⎩2 x − 3 y + 5 z − 4 = 0 的切线与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
n1 = (2 x − 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) = (−1, 2 , 2 ) n 2 = (2 , − 3 , 5 )
清华大学微积分A习题课1_多元函数极限、连续、可微及偏导)
1 ( x + y +1) x + y −1
= e2 ；
( x , y ) → (0,0)
lim ( x + y ) ln( x 2 + y 2 ) = 0.
x 2 + y 2 ln( x 2 + y 2 ) 。
提示：考虑不等式 0 ≤ ( x + y ) ln( x 2 + y 2 ) ≤ 2
y →0 x →0 x →0 y →0
x →0 y →0
例.3 f ( x, y ) =
x2 y 2 ，证明： lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = 0 ，而二重极限 y →0 x →0 x →0 y →0 x 2 y 2 + ( x − y)2
lim f ( x, y ) 不存在。
证明: 存在 a > 0, b > 0, 使 a x ≤ f (x) ≤ bx . 证 明 : 由 (2) 知 f ( 0 ) = 0 满 足 不 等 式 ； 当 x ≠ 0 时 ， 因 f 连 续 ，
x 属于有界闭集 x
{y |
x 有 界 且 可 取 到 最 大 值 和 最 小 值 。 从 而 存 在 a > 0, b > 0, 使 得 y = 1} ， 故 f x
习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）
一．累次极限与重极限
1 1 x sin + y sin , x ⋅ y ≠ 0 y x 例.1 f ( x, y ) = 0, x⋅ y = 0
两个二次极限都不存在，但二重极限 lim f ( x, y ) = 0
x →0 y →0
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
感谢观看
Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
多元函数微分学练习题
（2）
xy ； （3） lim x x 2 y 2 y 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？
1 （4） lim 1 x x y 4
。
x3 y , x 2 y 2 0, 6 2 （1） f ( x, y ) x y 0, x 2 y 2 0; x3 y3 , x 2 y 2 0, sin （2） f ( x, y ) x 2 y 2 0, x 2 y 2 0. 4． 设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域，M 0 为 D 外的一点。 证明在 D 中必存在点 P0
8．设 z arcsin
x x2 y2
，求
2z 2z z ， 2， 。 x yx x
4 a 2t
9．证明：函数 u
1 2a t
e
( x b ) 2
（ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程
u 2u a2 2 。 t x
x y 10．设 u ( x, y ) yf y xg x ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 2u 2u x 2 y 0。 xy x 2 f 2u 2u 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 2 y ， x y ， 2 x， xy x y 求f。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？
(1, 1, 1)
。
1 2 2 , x 2 y 2 0, ( x y ) sin 2 2 x y 2．设 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 0.
吴第8章多元函数微分学-习题课
【解】 lim f(x,y)0f(0,0)所以f 在(0,0)点连续,故否B .
x 0
y 0
f( x ,0 ) f( 0 ,0 ) x 2 s1 ix n 2 ) (
f x ( 0 ,0 ) l x 0 im x
lim 0 x 0 x
fy (0 ,0 ) ly 0 ifm (y ,0 ) yf(0 ,0 ) ly 0 iy m 2 sy i 1y n 2 ) ( 0 偏导数存在, 否A .
第八章 习题课
多元函数微分法及其应用
一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类 四、关于多元函数极(最)值的题类
一、关于多元函数极限的题类
【例1】 求
lim
x0
xy x2 y2
y0
【解】
xy
lim
x 0
x2
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
【解Ⅰ】公式法
抽象函数隐函数求导
令F(x,y,z)x2z2y(fz), y
则
Fz
2zf(z), y
Fyf(zy)zyf(zy),
z y
Fy Fz
yf( z) zf ( z)
y
y
2yz yf(z)
.
y
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
抽象函数隐函数求导
【解Ⅱ】（求导直接法） z是x,y的函数
zyz 两边同时对y求导 2zyzf(zy)yf(zy)yy2 ,
yf(z) zf (z)
解得
多元函数微分学练习题及解答
是曲面在点 处的一个法向量，从而该点处曲面的切
平面方程为 又点 在曲面上，
故切平面方程可以化简为 。其在三坐标轴上的截距为 ，
，从而切平面与三坐标面围成的四面体体积为 。
2）当 最大时，体积就最小，又由于点 是椭球面的第一卦限部分曲面上任取一点，所以问题就化为求函数
在
条件 之下的最大值，为此作拉格朗日函数
1） ；
2）可能极值点唯一，因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值一定在这唯一
可能的极值点处取到。
3）曲面上的点 与两定点P（1，0，1）和Q（2，0，1）的距离平方和为最小。
31、椭球面 的第一卦限部分曲面上的切平面与三坐标
面围成一四面体，试求这种四面体体积的最小值。
[解]：1）设点 是椭球面 的第一卦限部分曲面上的一点。
[Hale Waihona Puke ]：。13、设 ，，求 。
[解1]：由多元复合函数的求导公式知：
；
[解2]：将 代入方程 中，则函数化为 一元复合函数，
利用一元复合函数的求导公式知 。
14、设 而 ，求 。
[解]：由多元函数的求导公式： ， 。
，
同理 。
15、 求
[解]：设 则
； ；
，由多元隐函数的求导公式：
；
。
16、设 ，其中 是可微函数，求 。
1）
函数 在点 处方向导数的最大值
2）相应的方向就是 方向，即向量 的方向。
33、求函数 在曲线 上点 处沿曲线在该点的切线正方向（对应
增大的方向）的方向导数
[解]： 对应于 ，
1）先求出满足题目要求的切线的方向向量
在 处切线的方向向量为
， ，
高等数学第四章多元函数的微分知识点及习题
− − −
=
=
特别：曲线方程写成： = , 时，令 , , = , − 则在 , ,
的法向量为 = , , −
例题、求曲面 2 + 2 2 + 3 2 = 36在点
线方程。
。
三、全微分
全微分： = (, ) ,
= (, , ) ,
ⅆ =
ⅆ
ⅆ =
+
ⅆ
ⅆ
+
ⅆ
例题、计算 = ⅇ 在点 2,1 处的全微分。
+
ⅆ
例题、计算 = +
解：
=1
sin
2
+ ⅇ 的全微分。
求证
+
1
ln
= 2
例题、设 = arcsin
例题、设 = 1 +
，求 ， 。
2
2
+
，求 ， 。
例题、设 =
ln tan ，求 ， 。
例题、设 =
2
ⅇ
sin
1, −2,1 处的切线方程和法平面方程。
十一、曲面的切平面和法平面方程
曲面: , , = 在 , , 处的法向量
= , , , , , , , ,
切线方程：
− + − + − =
微积分练习题
微积分练习题一、极限与连续(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x(1) f(x) = |x| 1，在x = 0处(2) f(x) = (x^2 1) / (x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(x + 2) 2，在x = 1处二、导数与微分(1) f(x) = x^3 3x + 2(2) f(x) = e^x sin x(3) f(x) = ln(sqrt(1 + x^2))(1) f(x) = x^2 + 3x 5(2) f(x) = cos(2x)(3) f(x) = 1 / (1 x)三、高阶导数与微分方程(1) f(x) = x^4 2x^2 + 1(2) f(x) = e^x cos x(3) f(x) = ln(x^2 + 1)(1) y' = 2x + y(2) y'' 2y' + y = e^x(3) (1 + x^2) y'' + 2x y' = 0四、不定积分与定积分(1) ∫(x^2 + 1) dx(2) ∫(e^x x) dx(3) ∫(1 / (x^2 + 1)) dx(1) ∫_{0}^{1} (3x^2 2x + 1) dx(2) ∫_{π}^{π} (sin x) dx(3) ∫_{1}^{e} (1 / x) dx五、多元函数微分学(1) f(x, y) = x^2 + y^2(2) f(x, y) = e^(x + y) sin(x y)(3) f(x, y) = ln(x^2 + y^2)(1) f(x, y) = x^3 + y^3(2) f(x, y) = sin(x + y)(3) f(x, y) = sqrt(x^2 + y^2)六、重积分(1) ∬_D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为圆心在原点，半径为1的圆(2) ∬_D (x y) dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2(3) ∬_D (e^(x + y)) dxdy，其中D为三角形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ x(1) ∭_E (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz，其中E为立方体区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1(2) ∭_E (xyz) dxdydz，其中E为长方体区域0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 3，0 ≤ z ≤ 4七、级数(1) Σ (1/n^2)，n从1到∞(2) Σ (n/(n+1)^2)，n从1到∞(3) Σ ( (1)^n / n )，n从1到∞(1) Σ (x^n / n)，n从1到∞(2) Σ (n! x^n)，n从0到∞(3) Σ ( (n^2 + 1)^n x^n )，n从0到∞八、微分方程的应用(1) 物体在空气中自由下落，其速度v与时间t的关系，已知阻力与速度成正比。
高数多元微分习题课
六、 z (v cos v u sin v)e u , z (u cos v v sin v)e u .
x
y
七、f cos sin ,
l
(1) , (2) 5 , (3) 3 及 7 .
4
4
44
八、(4 , 3 , 35). 5 5 12
九、切点( a , b , 33
c 3 ),Vmin
3、设 z f ( x, v), v v( x, y) 其中 f , v 具有二阶连续偏
导数.则 2z (
).
y 2
(A) 2 f v f 2v ；
(B)f
2v
；
vy y v y 2
v y 2
(C) 2 f (v )2 f 2v ； (D) 2 f v f 2v .
(2)当 x y 0时,而(x, y)不是原点时, 则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
三、1、 z x
(ln
y) x ln y1 , z y
ln x y
x ln y ；
2、 ux f1 yf 2 ( yz xyz x ) f 3 ,
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3.
分析: 本题变为求一点P( x, y, z)，使得 x, y, z
满足 x2 y2 z 0且使 d 1 x y 2z 2 6
(即 d 2 1 ( x y 2z 2)2 ) 最小． 6
令 F ( x, y, z) 1 ( x y 2z 2)2 (z x2 y2 ), 得
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4
yf11
yf
22
.
例3 设 u f ( x, y, z), ( x2 ,e y , z) 0, y sin x,
微积分各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
多元函数的极限与连续习题
多元函数的极限与连续习题1. 用极限定义证明:14)23(lim 12=+→→y x y x 。
2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
（1）yx yx y x f +-=),(；(2) yx y x y x f 1sin 1sin)(),(+=； (3) yx y x y x f ++=233),(；(4) xy y x f 1sin ),(=。
3. 求极限 （1）220)(lim 22y x x y x y +→→；（2）11lim222200-+++→→y x y x y x ；（3）22001sin)(lim yx y x y x ++→→； （4）222200)sin(lim y x y x y x ++→→。
4. 试证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00)1ln(),(x y x xxy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 212=+→→y x y x 。
因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|22-+-=-+y x y x|1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-<y x0>∀ε，要使不等式ε<-+-<-+|]1||2[|15|1423|2y x y x 成立 取}1,30min{εδ=，于是0>∀ε， 0}1,30min{>=∃εδ，),(y x ∀：δδ<-<-|1|,|2|y x且 )1,2(),(≠y x ，有ε<-+|1423|2y x ，即证。
2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
（1）yx yx y x f +-=),(； 1lim lim 00=+-→→y x y x y x ， 1lim lim 00-=+-→→yx yx x y ，二重极限不存在。
习题课多元函数微分学
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
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练习题
1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数
y2 (1) z x f ( ) x y ( 2) z f ( x ) x y2 (3) z f ( x , ) x
3. 求由方程2 x 2 y 2 z 2 2 xy 2 x 2 y 4 z 4 0 所确定的隐函数z z x, y 的极值.
2 2 2 x y 2 z 0, 求C上距离xOy面最远的点 4.已知曲线C : x y 3z 5, 和最近的点.
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三、多元函数微分法的应用
1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题
• 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题
3. 在微分方程变形等中的应用
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例5. 求旋转抛物面
与平面
之间的最短距离. 则P 为抛物面 z x 2 y 2 上任一点， 解: 设 到平面 x y 2 z 2 0 的距离为 问题归结为 目标函数: ( x y 2 z 2) 2 (min)
约束条件: x 2 y 2 z 0 作拉氏函数
x2 y2 2 2 , x y 0 3 2. 证明: f ( x, y ) ( x 2 y 2 ) 2 2 2 0 , x y 0 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 提示: 利用 2x y x 2 y 2 , 知 1 1 2 2 2 f ( x, y ) ( x y ) 4 lim f ( x, y ) 0 f (0 , 0)
多元函数微分学习题课
平行的切平面方程为：
.
答案：x + 4 y − z = 0 2
15 二元函数f ( x , y )在点(0, 0)可微的充分条件为[ ]. A. lim [ f ( x , y ) − f (0, 0)] = 0;
( x , y )→ (0,0)
f ( x , 0) − f (0, 0) f (0, y ) − f (0, 0) B .lim = 0, 且 lim = 0; x→0 y→0 x y C.
1 设u = f ( x , y , z ), z = ϕ ( y , t ), t = ψ ( y , x ),
∂u ∂u 其中f , ϕ ,ψ 均可微，求 , . ∂x ∂y
y 2 验证：z = , f ( u)可微， 2 2 f (x − y )
则 1 ∂z 1 ∂z z + = 2. x ∂x y ∂y y
Ans : ( −5, −5, 5),(1,1,1).
27 设z = z ( x , y )是由x 2 − 6 xy + 10 y 2 − 2 yz − z 2 +18=0确定的 函数，求z = z ( x , y )的极值点和极值. [2004考研]
x+ y x− y
ψ ( t )dt
其中ϕ 具有二阶导数，ψ 有一阶导数，则必有[ ].
[2005考研]
Ans : B.
22 设f ( x , y ), ϕ ( x , y )均为可微函数，且ϕ y ( x , y ) ≠ 0. 设( x0 , y0 )为f ( x , y )在约束条件ϕ ( x , y )下的一个极值点 则必有[ ]. A.若f x ( x0 , y0 ) = 0, 则f y ( x0 , y0 ) = 0; B .若f x ( x0 , y0 ) = 0, 则f y ( x0 , y0 ) ≠ 0; C .若f x ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则f y ( x0 , y0 ) = 0; D.若f x ( x0 , y0 ) ≠ 0, 则f y ( x0 , y0 ) ≠ 0. [2006考研]
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微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目-777705511习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）一．累次极限与重极限 例.1 ()y x f ,=⎝⎛=⋅≠⋅+0,00,1sin 1sin y x y x x y y x例.2 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=003),(222222y x y x y x xy y x f例.322222(,)()x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f y x x y ，而二重极限()y x f y x ,lim 0→→不存在。
一般结论：重极限与累次极限没有关系重极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →与累次极限),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x x y y y y x x →→→→均存在，则有),(lim ),(),(00y x f y x y x →=),(lim lim ),(limlim 0000y x f y x f x x y y y y x x →→→→=),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x x y y y y x x →→→→均存在但不等，),(lim ),(),(00y x f y x y x →不存在二．多元函数的极限与连续，连续函数性质例.4 求下列极限： （1）11)0,1(),()(lim -+++→+y x y x y x y x ； （2）)ln()(lim22)0,0(),(y x y x y x ++→;（3）(,)(0,0)sin()lim x y xy x →； （4）22lim x y x yxxy y →∞→∞+-+；（5）22()lim ()x y x y xy e -+→+∞→+∞+。
例.5 证明：极限0)(lim 222),(),(=+∞∞→x y x yx xy ．例.6 若()y x f z ,=在2R 上连续, 且()22lim,x y f x y +→+∞=+∞, 证明 函数f 在2R 上一定有最小值点。
例.7 )(x f 在nR 上连续,且 (1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>∀c )()(x x cf c f =例.8 若),(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，)0,0(=f ，且ayx y x y x f y x =++-→2222)0,0(),(),(lima为常数。
证明：（1）),(y x f 在)0,0(点连续；（2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微； （3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。
例.9 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00),sin(),(22222222y x y x y x y x xyy x f 在)0,0(点是否连续?(填是或否)；在)0,0(点是否可微? (填是或否)．三．多元函数的全微分与偏导数例.10 有如下做法：设),()(),(y x y x y x f ϕ+=其中),(y x ϕ在)0,0(点连续,则[][]dy y x y x y x dx y x y x y x y x df yx),()(),(),()(),(),(ϕϕϕϕ+++++= 令0,0==y x , ))(0,0()0,0(dy dx df +=ϕ. (1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法.例.11 设二元函数),(y x f 于全平面2ℜ上可微，),(b a 为平面2ℜ上给定的一点，则极限=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim。
例.12 设函数),(y x f 在)1,1(点可微，1)1,1(=f ，2)1,1(='xf ，3)1,1(='y f ，)),(,()(x x f x f x g =，求)1(g '。
例.13 设),,(2xyy x f z =其中2C f ∈，求xz ∂∂和yx z ∂∂∂2。
例.14 设()y x z ,定义在矩形区域(){}b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0,上的可微函数。
证明:（1）()()()0,,,≡∂∂∈∀⇔=x zD y x y f y x z ; （2）()()()()0,,,2≡∂∂∂∈∀⇔+=yx zD y x y g y f y x z例.15 n 为整数，若任意0,t >(,)(,)nf tx ty tf x y =，则称f 是n次齐次函数。
证明：(,)f x y 是零次齐次函数的充要条件是0.f fx y x y∂∂+=∂∂例.16 下列条件成立时能够推出),(y x f 在),(0y x 点可微,且全微分0=df 的是（ ）. (A) 在点),(0y x 两个偏导数0,0='='yxf f (B)),(y x f 在点),(00y x 的全增量22y x y x f ∆+∆∆∆=∆,(C)),(y x f 在点),(0y x 的全增量2222)sin(yx y x f ∆+∆∆+∆=∆(D)),(y x f 在点),(00y x 的全增量22221sin)(yx y x f ∆+∆∆+∆=∆例.17 设xy y x f =),(,则在)0,0(点( B )(A) 连续,但偏导数不存在； (B) 偏导数存在,但不可微；(C) 可微； (D) 偏导数存在且连续.例.18 设yx z arcsin =，求dz . 例.19 yx y x u +-=arctan ，则=u d 例.20 设函数)2(cos 22yx z -=，证明02222=∂∂+∂∂∂yzy x z ．例.21 设函数xyy x z )2(+=，求xz∂∂及y z ∂∂． 例.22 若函数)(u f 有二阶导数，设函数)()(1y x yf xy f xz ++=，求yx z ∂∂∂2．例.23 设函数y x yx z -+=arctan，求x z ∂∂，yz ∂∂，y x z ∂∂∂2 例.24 设),,(2xyy x f z =其中2C f ∈，求xz ∂∂和yx z ∂∂∂2。
*多元复合函数设二元函数),(v u f z =在点),(0v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点),(0y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且()()()()xy x v v v u f x y x u u v u f xz y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=00000000),(,,,,00∂∂()()()()yy x v v v u f y y x u u v u f yz y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=00000000),(,,,,00∂∂*多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，则将z 看成yx ,的函数，有dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=计算yv v f y u u f y z x vv f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,，代人，dv vf du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂=我们将dv vfdu u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=叫做微分形式不变性。
例.25 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xy f xz ,3，求yzx z ∂∂∂∂,。
例.26 已知 )1(1xy x-=，求dydx . 例.27 设),(y x f 定义在2R 上, 若它对x 连续,对y 的偏导数在2R 上有界, 证明),(y x f 连续．。