整式的乘法经典例题讲解与练习题

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整式的乘法 (2)

(2)①、②、③三个小长方形的面积分别是__m__a_、__m_b__、__m_c．
(3)由(1)、(2)得出等式 _m_(__a_+_b__+_c_)__=_m_a__+_m_b__+_m_c_．
(-2a)•(2a2-3a+1)
=(-2a)•2a2+(-2a)•(-3a)+(-2a)•1
（乘法分配律）
m=1
解得： n=2
∴m、n得值分别是m=1,n=2.
精心选一选：
1、下列计算中，正确的是（ B）
A、2a3·3a2=6a6
B、4x3·2x5=8x8
C、2X·2X5=4X5
D、5X3·4X4=9X7
2、下列运算正确的是（ D ）
A、X2·X3=X6
B、X2+X2=2X4
C、(-2X)2=-4X2 D、(-2X2)(-3X3)=6x5
若n为正整数，且x3n=2,求 2x2n ·x4n+x4n ·x5n的值。
解： 2x2n ·x4n+x4n ·x5n =2x6n+x9n =2(x3n)2+(x3n)3 =2×22+23 =8+8 =16
∴原式的值等于16。
我努力我 1、理解掌握了单项
式乘法法则；
收 2、会利用法则进行单获项式的乘法运算。
以下有四种不同形状的长方形卡片，请你选取其中的两张，用它们拼成更大的长方形，尽可能采用多种拼法。
n （1）
m
n（3）
b
a （2）
m
a（4）
b
n
a m
m (a+n )= ma+mn

整式乘法计算50题(含解析)

整式乘除50题一、幂的运算1．计算：（1）x n﹣2•x n+2；（n是大于2的整数）（2）﹣（x3）5；（3）[（﹣2）2]3；（4）[（﹣a）3]2．2．若n为正整数且（m n）2=9，求．3．已知x a﹣3=2，x b+4=5，x c+1=10；求a、b、c间的关系．4．已知a n=2，b2n=3，求（a3b4）2n的值．5．计算：（1）﹣（）1000×（﹣10）1001+（）2013×（﹣3）2014（2）（8）100×（﹣）99×．6．化简：（x+y）5÷（﹣x﹣y）2÷（x+y）7．已知10x=a，10y=b，求103x+3y+103x﹣2y的值．8．己知53x+1÷5x﹣1=252x﹣3，求x的值．9．已知（x2n）2÷（x3n+2÷x3）与﹣x3是同类项，求4n2﹣1的值．10．我们约定：a⊗b=10a÷10b，如4⊗3=104÷103=10．（1）试求：12⊗3和10⊗4的值；（2）试求：21⊗5×103．二、整式乘法计算题11．计算：4xy2•（﹣x2yz3）．12．计算：（a3b2）（﹣2a3b3c）．13．计算：（3a2）3×b4﹣3（ab2）2×a4．14．计算：（a n•b n+1）3•（ab）n．15．计算：[﹣2a2（x+y）3]•[3a3•b（x+y）2]．16．计算：﹣6a2b（x﹣y）3•ab2（y﹣x）2．17．计算：．18．计算：（﹣5x2y3）2•（﹣2x4y2）3•（xy2）4．19．计算：（﹣x3y2）3•（2xy2）2﹣（﹣x4y3）2•x3y4．20．计算：．21．计算：（x﹣2）（x2+4）．22．计算：（﹣7x2﹣8y2）（﹣x2+3y2）23．计算：（2x﹣3y﹣1）（﹣2x﹣3y+5）．24．计算：（2x﹣x2﹣3）（x3﹣x2﹣2）．25．计算：（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）26．计算：（x+3）（x﹣5）﹣（x﹣3）（x+5）27．计算：5x2﹣（x﹣2）（3x+1）﹣2（x+1）（x﹣5）28．计算：3（2x﹣1）（x+6）﹣5（x﹣3）（x+6）29．计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）30．计算：（x﹣y）（x2+xy+y2）三、乘法公式及应用31．化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．32．已知2x+2y=﹣5，求2x2+4xy+2y2﹣7的值．33．已知（a+b）2=17，ab=3．求（a﹣b）2的值．34．已知：x+y=﹣1，xy=﹣12，求x2+y2﹣xy和（x﹣y）2的值．35．已知x+y=2，x2+y2=10，求xy的值．36．已知实数x满足x+=3，则x2+的值为7．37．求代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值．38．已知（a+1）2﹣（3a2+4ab+4b2+2）=0，求a，b的值．39．已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1=0，求（x+y）13•x10的值．40．已知a，b，c为实数，设．证明：A，B，C中至少有一个值大于零．41．计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．42．已知a﹣b=2，b﹣c=2，a+c=14，求a2﹣b2．43．若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．44．用平方差公式计算：（1）99.8×100.2=（2）40×39=45．计算3001×2999的值．46．计算：（x+y）（x﹣y）（x2+y2）（x4+y4）47．计算：（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）48．计算103×97×10009的值．49．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？50．计算12﹣22+32﹣42+52+62+…+20002﹣20012．参考答案与试题解析一、幂的运算1．计算：（1）x n﹣2•x n+2；（n是大于2的整数）（2）﹣（x3）5；（3）[（﹣2）2]3；（4）[（﹣a）3]2．解答：解：（1）原式=x n﹣2+n+2=x2n；（2）原式=﹣x15；（3）原式=43=64；（4）原式=a6．2．若n为正整数且（m n）2=9，求．解答：解：∵（m n）2=9，∴m n=±3，∴=m9n×m4n=m13n=（m n）13=±×313=±310．3．已知x a﹣3=2，x b+4=5，x c+1=10；求a、b、c间的关系．解答：解：∵2×5=10，∴x a﹣3×x b+4=x c+1，∴x a+b+1=x c+1，∴a+b=c．4．已知a n=2，b2n=3，求（a3b4）2n的值．解答：解：∵a n=2，b2n=3，∴（a3b4）2n=a6n b8n=（a n）6×（b2n）4=26×34=24×34×22=64×4=5184．5．计算：（1）﹣（）1000×（﹣10）1001+（）2013×（﹣3）2014（2）（8）100×（﹣）99×．解答：解：（1）原式=（×10）1000×（﹣10）+（×）2013×=﹣10+=﹣；（2）原式=﹣（×）99××=﹣．6．化简：（x+y）5÷（﹣x﹣y）2÷（x+y）解答：解：（x+y）5÷（﹣x﹣y）2÷（x+y）=（x+y）5÷（x+y）2÷（x+y）=（x+y）2．7．已知10x=a，10y=b，求103x+3y+103x﹣2y的值．解答：解：∵10x=a，10y=b，∴103x+3y+103x﹣2y=103x×103y+103x÷102y=a3×b3+a3÷b2=a3b3+=．8．己知53x+1÷5x﹣1=252x﹣3，求x的值．解答：解：原式等价于52x+2=54x﹣62x+2=4x﹣6x=4．故答案为：4．9．已知（x2n）2÷（x3n+2÷x3）与﹣x3是同类项，求4n2﹣1的值．解答：解：（x2n）2÷（x3n+2÷x3）=x n+1，可得x n+1与﹣x3是同类项，即n+1=3，解得：n=2，则原式=16﹣1=15．10．我们约定：a⊗b=10a÷10b，如4⊗3=104÷103=10．（1）试求：12⊗3和10⊗4的值；（2）试求：21⊗5×103．解答：解：（1）∵a⊗b=10a÷10b，如4⊗3=104÷103=10，∴12⊗3=1012÷103=109，10⊗4=1010÷104=106；（2）21⊗5×103=1021÷105×103=1019．二、整式乘法计算题11．计算：4xy2•（﹣x2yz3）．解答：解：4xy2•（﹣x2yz3）=﹣x3y3z3．12．计算：（a3b2）（﹣2a3b3c）．解答：解：（a3b2）（﹣2a3b3c）=﹣a6b5c．13．计算：（3a2）3×b4﹣3（ab2）2×a4．解答：解：（3a2）3×b4﹣3（ab2）2×a4=27a6×b4﹣3a2b4×a4=27a6b4﹣3a6b4=24a6b4．14．计算：（a n•b n+1）3•（ab）n．解答：解：原式=a3n×b3n+3×a n b n=a3n+n b3n+3+n=a4n b4n+3．15．计算：[﹣2a2（x+y）3]•[3a3•b（x+y）2]．解答：解：原式=﹣6a5b（x+y）5．16．计算：﹣6a2b（x﹣y）3•ab2（y﹣x）2．解答：解：原式=﹣6a2b（x﹣y）3•ab2（x﹣y）2=﹣2a3b3（x﹣y）5．17．计算：．解答：解：原式=﹣x4y5．18．计算：（﹣5x2y3）2•（﹣2x4y2）3•（xy2）4．解答：解：原式=25x4y6•（﹣8x12y6）•（x4y8）=﹣x20y20．19．计算：（﹣x3y2）3•（2xy2）2﹣（﹣x4y3）2•x3y4．解答：解：（﹣x3y2）3•（2xy2）2﹣（﹣x4y3）2•x3y4=﹣x9y6•4x2y4﹣x8y6•x3y4=﹣x11y10﹣x11y10=﹣x11y10．20．计算：．解答：解：原式=﹣x4y4z﹣3x4y4z=﹣x4y4z．21．计算：（x﹣2）（x2+4）．解答：解：原式=x3+4x﹣2x2﹣8．22．计算：（﹣7x2﹣8y2）（﹣x2+3y2）解答：解：原式=﹣7x2•（﹣x2）+（﹣7x2）•3y2﹣8y2•（﹣x2）﹣8y2•3y2 =7x4﹣21x2y2+8x2y2﹣24y4=7x4﹣13x2y2﹣24y4．23．计算：（2x﹣3y﹣1）（﹣2x﹣3y+5）．解答：解：原式=﹣4x2﹣6xy+10x+6xy+9y2﹣15y+2x+3y﹣5=﹣4x2+（﹣6xy+6xy）+（10x+2x）+9y2+（3y﹣15y）﹣5=﹣4x2+12x+9y2﹣12y﹣5．24．计算：（2x﹣x2﹣3）（x3﹣x2﹣2）．解答：解：原式=2x4﹣2x3﹣4x﹣x5+x4+2x2﹣3x3+3x2+6=3x4﹣x5﹣5x3++5x2﹣4x+6．25．计算：（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）解答：解：原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]=（c﹣b﹣d）2﹣a2=（c﹣b）2﹣2（c﹣b）d+d2﹣a2=c2﹣2cb+b2﹣2cd+2bd+d2﹣a2 26．计算：（x+3）（x﹣5）﹣（x﹣3）（x+5）解答：解：（x+3）（x﹣5）﹣（x﹣3）（x+5）=x2﹣2x﹣15﹣（x2+2x﹣15）=x2﹣2x﹣15﹣x2﹣2x+15=﹣4x．27．计算：5x2﹣（x﹣2）（3x+1）﹣2（x+1）（x﹣5）解答：解：原式=5x2﹣（3x2﹣5x﹣2）﹣2（x2﹣4x﹣5），=5x2﹣3x2+5x+2﹣2x2+8x+10，=13x+12．28．计算：3（2x﹣1）（x+6）﹣5（x﹣3）（x+6）解答：解：3（2x﹣1）（x+6）﹣5（x﹣3）（x+6）=3（2x2+12x﹣x﹣6）﹣5（x2+6x﹣3x﹣18）=6x2+33x﹣18﹣5x2﹣15x+90=x2+18x+7229．计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）解答：解：原式=a3+a2b﹣a2b﹣ab2+ab2+b3，=a3+b3．30．计算：（x﹣y）（x2+xy+y2）解答：解：原式=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3=x3﹣y3．三、乘法公式及应用31．化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．解答：解：原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．32．已知2x+2y=﹣5，求2x2+4xy+2y2﹣7的值．解答：解：∵2x+2y=﹣5，∴x+y=，∴2x2+4xy+2y2﹣7=2（x+y）2﹣7，当x+y=时，原式=2×（）2﹣7=．33．已知（a+b）2=17，ab=3．求（a﹣b）2的值．解答：解：∵（a+b）2=17，ab=3，∴a2+2ab+b2=17，则a2+b2=17﹣2ab=17﹣6=11，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=11﹣6=5．34．已知：x+y=﹣1，xy=﹣12，求x2+y2﹣xy和（x﹣y）2的值．解答：解：∵x+y=﹣1，xy=﹣12，∴x2+y2﹣xy=（x+y）2﹣3xy=1+36=37；（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=1+48=49．35．已知x+y=2，x2+y2=10，求xy的值．解答：解：将x+y=2进行平方得，x2+2xy+y2=4，∵x2+y2=10，∴10+2xy=4，解得：xy=﹣3．36．已知实数x满足x+=3，则x2+的值为7．解答：解：由题意得，x+=3，两边平方得：x2+2+=9，故x2+=7．故答案为：7．37．求代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值．解答：解：5x2﹣4xy+y2+6x+25=4x2﹣4xy+y2+x2+6x+9+16=（2x﹣y）2+（x+3）2+16而（2x﹣y）2+（x+3）2≥0，∴代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值是16．38．已知（a+1）2﹣（3a2+4ab+4b2+2）=0，求a，b的值．解答：解：∵（a+1）2﹣（3a2+4ab+4b2+2）=0，∴2a2﹣2a+4b2+4ab+1=0，∴（a﹣1）2+（a+2b）2=0，∴a﹣1=0，a+2b=0，解得a=1，b=﹣．故a=1，b=﹣．39．已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1=0，求（x+y）13•x10的值．解答：解：∵13x2﹣6xy+y2﹣4x+1=0，∴9x2﹣6xy+y2+4x2﹣4x+1=0，即（3x﹣y）2+（2x﹣1）2=0，∴3x﹣y=0，2x﹣1=0，解得x=，y=，当x=，y=时，原式=（+）13•（）10=（2×）10×23=8．40．已知a，b，c为实数，设．证明：A，B，C中至少有一个值大于零．解答：证明：由题设有A+B+C=（）+（）+（），=（a2﹣2a+1）+（b2﹣2b+1）+（c2+2c+1）+π﹣3，=（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c+1）2+（π﹣3），∵（a﹣1）2≥0，（b﹣1）2≥0，（c+1）2≥0，π﹣3＞0，∴A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，∴A，B，C中至少有一个大于零．41．计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．解答：解：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1），=2（m2+2m+1）﹣（4m2﹣1），=2m2+4m+2﹣4m2+1，=﹣2m2+4m+3．42．已知a﹣b=2，b﹣c=2，a+c=14，求a2﹣b2．解答：解：∵b﹣c=2，a+c=14，∴a+b=16，∵a﹣b=2，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=16×2=32．43．若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．解答：解：∵a==（3分）b=（4分）20082﹣12＜20082（5分）∴a＜b（6分）说明：求差通分，参考此标准给分．若只写结论a＜b，给（1分）．44．用平方差公式计算：（1）99.8×100.2=（2）40×39=解答：解：（1）99.8×100.2，=（100﹣0.2）（100+0.2），=1002﹣0.22，=9999.96．（2）40×39，=（40+）（40﹣），=402﹣（）2，=1599．45．计算3001×2999的值．解答：解：3001×2999=（3000+1）（3000﹣1）=30002﹣12=8999999．46．计算：（x+y）（x﹣y）（x2+y2）（x4+y4）解答：解：原式=（x2﹣y2））（x2+y2）（x4+y4）=（x4﹣y4）（x4+y4）=x8﹣y8．47．计算：（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）解答：解：原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．48．计算103×97×10009的值．解答：解：103×97×10009，=（100+3）（100﹣3）（10000+9），=（1002﹣9）（1002+9），=1004﹣92，=99999919．49．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？解答：解：（1）原式=（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1 =（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（332﹣1）×（332+1）+1=364；②∵31=3，32=9，33=27，34=8135=243，36=729，…∴每3个数一循环，∵64÷3=21…1，∴364的个位数字是3．50．计算12﹣22+32﹣42+52+62+…+20002﹣20012．解答：解：原式=﹣[（20012﹣20002）+（19992﹣19982）+…+（62﹣52）+（42﹣32）+（22﹣12）] =﹣[（2001+2000）×1+（1999+1998）×1+…+（6+5）×1+（4+3）+（2+1）×1]=﹣（2001+2000+1999+1998+…+6+5+4+3+2+1）=﹣2003001．。

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整式的乘法测试1．列各式中计算结果是x2-6x+5 的是 ()A. （ x-2）（ x-3）B.（ x-6）（ x+1）C.（ x-1）（ x-5）D.（ x+6）（ x-1）2．下列各式计算正确的是( )A.2 x+3x=5B.2x?3x=6C.（ 2x）3=8D.5x6÷x3=5 x23．下列各式计算正确的是( )A.2 x（ 3x-2）=5x2-4xB.（ 2y+3x）（ 3x-2y） =9 x2-4y2C.（ x+2）2 =x2+2 x+4D.（ x+2）（ 2x-1） =2x2 +5x-24．要使多项式 (x2+px+2)( x-q)展开后不含 x 的一次项，则p 与 q 的关系是 ()A. p=qB. p+q=0C.pq=1D.pq=225．若 (y+3)( y-2)= y +my+n，则 m、 n 的值分别为 ()B.m=1， n=-6C.m=1， n=6D.m=5， n=-66．计算： (x-3)(x+4)=_____ ．7．若 x2+px+6=( x+q)(x-3) ，则 pq=_____ ．8．先观察下列各式，再解答后面问题：( x+5)( x+6)= x2+11x+30； (x-5)( x-6)= x2-11x+30 ；(x-5)(x+6)= x2 +x-30；(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？(2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来；(3)用你写的公式，直接写出下列两式的果；①( a+99)( a-100)=_____ ；② (y-500)( y-81)=_____ ．9． (x-y)(x2+xy+y2 )=_____ ； (x-y)(x3+x2y+xy2+y3)=_____根据以上等式行猜想，当n是偶数，可得：(x-y)(x n+x n -1y+y n -2y2+⋯+x2y n-2+xy n-1+y n)=_____．10．三角形一2a+2b，条上的高2b-3a，个三角形的面是_____．11．若 (x+4)( x-3)= x2+mx-n， m=_____ ， n=_____．12．整式的乘法运算(x+4)( x+m)， m 何，乘中不含x ？ m 何，乘中x的系数6？你能提出哪些？并求出你提出的．13．如，正方形卡片 A ， B 和方形卡片 C 若干，如果要拼一个(a+2 b)，( a+b)的大方形，需要 C 卡片 ()．14．算：(1)(5 mn2-4m2n)(-2 mn)(2)(x+7)(x-6)-(x-2)(x+1)15．明代数式(2x+1)(1-2 x+4x2)-x(3x-1)(3x+1)+( x2+x+1)( x-1)-(x-3) 的与 x 无关．参考答案1．答案： C解析：【解答】 A 、（ x-2）（ x-3） =x2-6x+6，故本选项错误；B、（ x-6）（ x+1） =x2-5x-6，故本选项错误；C、（ x-1）（ x-5） =x2-6x+5，故本选项正确；D、（ x+6）（ x-1） =x2+5x-6，故本选项错误；故选 C．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，进行计算即可得出正确答案．2．答案： A解析：【解答】 A 、 2x+3 x=5x，故 A 选项正确；B、 2x?3x=6x2，故 B 选项错误；C、（ 2x）3=8x3，故 C 选项错误；D、 5x6÷x3=5x3，故 D 选项错误；故选 A ．【分析】根据整式乘法和幂的运算法则．3．答案： B解析：【解答】 A 、 2x（ 3x-2） =6x2-4x，故本选项错误；B、（ 2y+3 x）（ 3x-2y）=9x2-4y2，故本选项正确；C、（ x+2）2=x2+4x+4，故本选项错误；2D、（ x+2）（ 2x-1） =2x +3x-2，故本选项错误．【分析】根据整式乘法的运算法则、平方差公式、完全平方公式的知识求解，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．4．答案： D解析：【解答】（x2+px+2）（ x-q） =x3-qx2+px2-pqx+2x-2q=x3+（ p-q）x2 +（ 2-pq） x-2q，∵多项式不含一次项，∴p q-2=0 ，即 pq=2 ．故选 D【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，次项，令一次项系数为0 即可列出p 与5．答案： B合并同类项得到最简结果，q 的关系．由结果中不含x 的一解析：【解答】∵（y+3）（ y-2）=y2-2y+3 y-6= y2+y-6，∵（ y+3）（ y-2） =y2+my+n，∴y2+my+n=y2+y-6，∴m=1， n=-6 ．故选 B ．【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算（ y+3）（ y-2），再根据多项式相等的条件即可求出 m、 n 的值．6．答案： x2+x-12解析：【解答】（x-3）（ x+4） =x2+4x-3x-12=x2+x-12【分析】根据（a+b）（ m+n） =am+an+bm+bn 展开，再合并同类项即可．7．答案： 10解析：【解答】∵（x+q）（ x-3）=x2+（ -3+q） x-3q，∴x2+px+6= x2+（ -3+q） x-3q，∴p=-3+ q， 6=-3q，∴p=-5 ， q=-2 ，∴pq=10．故答案是 10．【分析】等式的右边根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（ a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 进行计算，再根据等式的性质可得关于p、 q 的方程组，求解即可．8．答案：① a2-a-9900 ；② y2-581y+40500．解析：【解答】（1）两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；（2）（ x+a）（ x+b） =x2+（ a+b） x+ab．（3）①（ a+99 ）（ a-100） =a2-a-9900 ；②（ y-500）（ y-81） =y2-581y+40500 ．【分析】（ 1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答；（2）根据（ 1）中呈现的规律，列出公式；（3）根据（ 2）中的公式代入算．9．答案： x3-y3； x4-y4；x n+1-y n+1．解析：【解答】原式=x3+x2 y+xy2-x2y-xy2 -y3=x3-y3；原式 =x4+x3 y+x2 y2+xy3-x3y-x2 y2-xy3-y4 =x4-y4；原式 =x n+1+x n y+xy n-2+x2y n-1 +xy n -x n y-x n-1y2-y n-1y2-⋯ -x2y n -1 -xy n-y n+1=x n+1-y n+1，【分析】根据多式与多式相乘的法：多式与多式相乘，先用一个多式的每一乘另外一个多式的每一，再把所得的相加．10．答案： -3a2+2b2-ab．解析：【解答】∵三角形一2a+2b，条上的高2b-3a，∴ 个三角形的面：（2a+2b）（ 2b-3a）÷2=（a+b）（ 2b-3a） =-3 a2+2b2-ab．【分析】根据三角形的面=底×高÷2 列出表示面是式子，再根据多式乘以多式的法算即可．11．答案： 1， 12．解析：【解答】∵（x+4）（ x-3）=x2-3x+4 x-12=x2+x-12=x2+mx-n，∴m=1， -n=-12 ，即 m=1， n=12 ．【分析】将已知等式左利用多式乘以多式法算，根据多式相等的条件得出m 与 n 的，代入所求式子中算，即可求出．12．答案： -4， 2解析：【解答】∵（x+4）（ x+m） =x2+mx+4 x+4m若要使乘中不含x ，∴4+ m=0∴m=-4若要使乘中x 的系数6，∴4+ m=6∴m=2提出： m 何，乘中不含常数？若要使乘中不含常数，∴4m=0∴m=0【分析】把式子展开，若要使乘中不含x ，令含x 的系数零；若要使乘中x的系数为6，则令含x 项的系数为6；根据展开的式子可以提出多个问题．13．答案： 3 张．解析：【解答】（a+2b）（ a+b） =a2+3ab+2b2．则需要 C 类卡片 3 张．【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（ a+b）=a2+3 ab+2b2，即需要一个边长为 a 的正方形， 2 个边长为 b 的正方形和 3 个 C 类卡片的面积是 3ab．14．答案：（ 1） 10m2n3+8m3 n2；（ 2） 2x-40．解析：【解答】（ 1）原式 =-10m2n3+8m3n2；（2）原式 =x2-6x+7 x-42-x2-x+2x+2=2x-40．【分析】（ 1）原式利用单项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果；（2）原式两项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．15．答案：代数式的值与 x 无关解析：【解答】原式 =2x-4x2+8x3+1-2x+4x2-9x3-x+x3-1+ x-3=-3 ，则代数式的值与x 无关．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可做出判断．。

整式的乘法专题训练

整式的乘法专题训练题目一：(2x)(3x)解析：根据单项式乘以单项式法则，系数相乘，字母部分按同底数幂相乘，结果为6x²。

题目二：(-3a²b)(4ab²)解析：系数相乘为-12，同底数幂相乘，a 的次数为2+1 = 3，b 的次数为1+2 = 3，结果是-12a³b³。

题目三：(2x²y)(-3xy³)解析：系数相乘为-6，x 的次数为2+1 = 3，y 的次数为1+3 = 4，答案是-6x³y⁴。

题目四：(5m²n)(-2m³n²)解析：系数相乘为-10，m 的次数为2+3 = 5，n 的次数为1+2 = 3，结果是-10m⁴n³。

题目五：(3x)(x² - 2x + 1)解析：用3x 分别乘以括号里的每一项，3x·x² = 3x³，3x·(-2x) = -6x²，3x·1 = 3x，结果为3x³ - 6x² + 3x。

题目六：(2x - 1)(x + 3)解析：用2x 乘以(x + 3)得2x² + 6x，再用-1 乘以(x + 3)得-x - 3，最后相加，2x² + 6x - x - 3 = 2x² + 5x - 3。

题目七：(x - 2)(x² + 3x - 1)解析：x 乘以(x² + 3x - 1)得x³ + 3x² - x，-2 乘以(x² + 3x - 1)得-2x² - 6x + 2，相加得x³ + 3x² - x - 2x² - 6x + 2 = x³ + x² - 7x + 2。

题目八：(3x + 2)(2x² - 5x + 1)解析：3x 乘以(2x² - 5x + 1)得6x³ - 15x² + 3x，2 乘以(2x² - 5x + 1)得4x² -10x + 2，相加得6x³ - 15x² + 3x + 4x² - 10x + 2 = 6x³ - 11x² - 7x + 2。

初中数学整式的乘法与因式分解例题解析

初中数学整式的乘法与因式分解例题解析一、整式的乘法例题例1：计算：a2·(－a)3·(－a)；x n·x n＋1·x n－1·x；(x－2y)2·(2y－x)3解：原式＝a2·(－a)3·a1＝－a2·a3·a4＝－a9；原式＝x n＋n＋1＋n－1＋1＝x3n＋1；方法一：原式＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3＝－(x－2y)5方法二：原式＝(2y－x)2·(2y－x)3＝(2y－x)5例2：下列运算中正确的是（）A.a2＋a3＝a5B.a2·a3＝a6C.a2＋a3＝aD.(a2)3＝a6解析：a2与a3不是同类项,不能合并,A错误；a2·a3＝a2＋3＝a5≠a6,B错误；a3与a2不是同类项,不能合并,C错误；D正确；(a2)3＝a2×3＝a6。

答案：D例3：已知a m＝4,a n＝10,求a2m＋n的值。

解析：将代数式a2m＋n变形为含a m、a n的代数式,依据是幂的运算法则。

解：a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝42×10＝160.例4：计算：(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.解：原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9.原式＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.例5：计算：(－2ab)(3a2－2ab－4b2)；5ax(a2＋2a＋1)－(2a ＋3)(a－5)解：原式＝－6a3b＋4a2b2＋8ab3原式＝5a3x＋10a2x＋5ax－(2a2－10a＋3a－15)＝5a3x＋10a2x＋5ax－2a2＋7a＋15例6：计算：(5mn2－4m2n)(－2mn)；(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)解：原式＝－10m2n3＋8m3n2.原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40二、因式分解例题例7：下列式子中,从左到右变形属于因式分解的是（）A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25解析：根据因式分解的概念,只有B选项满足：等号左边是多项式,等号右边是几个整式的积的形式,并且经检验运算过程正确,故选B.答案 B例8：若代数式x2＋ax可以分解因式,则常数a不可以取( )解析：因为代数式x2＋ax可以分解因式,所以常数a不可以取0.例9：下面分解因式正确的是（）A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1B.(x2－4)x＝x3－4xC．ax＋bx＝（a＋b）xD.m2－2mn＋n2＝(m＋n)2解析：根据因式分解的概念,A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式；D项虽是分解因式,但错误,应是m2－2m ＋n2＝(m－n)2答案：C例10：把下列各式分解因式：－16x4y6＋24x3y5－9x2y4；4(x＋y)2－4(x＋y) ·z＋z2；(a－b)3－2(b－a)2＋(a－b)；9(x＋a)2＋30(x＋a)(x＋b)＋25(x＋b)2解：原式＝－x2y4(16x2y2－24xy＋9)＝－x2y4(4xy－3)2；原式＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)·z＋z2＝[2(x＋y)－z]2＝（2x＋2y－z）2；原式＝(a－b)[(a－b)2－2(a－b)＋1]＝(a－b)[(a－b)－1]2＝(a－b)(a－b－1)2；原式＝[3(x＋a)]2＋2·3(x＋a)·5(x＋b)＋[5(x＋b)]2＝[3(x＋a)＋5(x＋b)]2＝(3x＋3a＋5x＋5b)2＝(8x＋3a＋5b)2.关键提醒：因式分解的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式.(2)再看能否使用公式法.(3)用分组分解法,即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的.(4)因式分解的最后结果,必须是几个整式的积.(5)因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止。

整式的乘法与因式分解基础及练习最完整版强烈推荐

整式的乘法与因式分解基础及练习最完整版强烈推荐一、整式的乘法（一）幂的乘法运算1、同底数幂相乘：=•nma a 推广：n n n n n n n n n n a a a a a+++=⋅⋅3213211（n n n n n ,,,,321 都是正整数）2、幂的乘方：()=nma推广：[]321321)(n n n n n na a =（321,,n n n 都是正整数）3、积的乘方：()=nab推广：nm n n n n m a a a a a a a a 321321)(=⋅⋅例1、（同底数幂相乘）计算：（1）52x x ⋅ （2）389)2()2()2(-⨯-⨯-（3）m m a a+-⋅11（4）523)()()(x y x y y x -⋅-⋅-1、a 16可以写成（）A ．a 8+a 8B ．a 8·a 2C ．a 8·a 8D ．a 4·a 42、已知,32=x那么32+x 的值是。

3、计算：(1) a • a 3•a 5（2）52)(xx ⋅-（3）2233x x x x ⋅-⋅ （4）(x +y )n ·(x +y )m +1（5）（n －m ）·（m －n ）2·（n －m ）4例2、（幂的乘方）计算：（1）（103）5（2）23)(m a-（3）()[]522y x - (4) 532])][()[(m n n m --1、计算（－x 5）7+（－x 7）5的结果是（）A ．－2x 12B ．－2x 35C ．－2x 70D ．0 2、在下列各式的括号内，应填入b 4的是（）A ．b 12=（）8B ．b 12=（）6C ．b 12=（）3D ．b 12=（）23、计算：（1）43])[(m - （2）()()3224a a ⋅-（3）5342])[()(p p p -⋅-⋅- (4)（m 3）4+m 10m 2+m·m 3·m8例3、（积的乘方）计算：（1）（ab ）2（2）（－3x ）2（3）332)3(c b a -（4）32])(3[y x + （5）20082009)3()31(-⨯1、如果（a m b n）3=a 9b 12，那么m ，n 的值等于（）A ．m=9，n=4B ．m=3，n=4C ．m=4，n=3D ．m=9，n=6 2、下列运算正确的是（）(A)22x x x =⋅ (B)22)(xy xy = (C)632)(x x = (D)422x x x =+3、已知x n =5，y n =3，则（xy ）3n= 。

专题1.2 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题1.2 整式的乘法-重难点题型【北师大版】【题型1 整式乘法中的求值问题】【例1】（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（）A．37B．13C．20D．36【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，则p+q＝13，36＝1×36，则p+q＝37，36＝2×18，则p+q＝20，36＝3×12，则p+q＝15，36＝6×6，则p+q＝12，∴p+q不可能为36，即m不可能为36．故选：D．【变式1-1】（2021春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（）A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值．【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．∴a＝2，b＝﹣3．∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．故选：A．【变式1-2】（2020秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可．【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy，当x+y＝2，xy＝﹣1时原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）＝﹣7．故答案为：﹣7．【变式1-3】（2021春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【分析】（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【解答】解：（1）甲错把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙错把a看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a＝﹣4代入，得b＝5；（2）当a＝﹣4，b＝5时，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【分析】（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论．（2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020•n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值．【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，由题意2m+1＝0，n﹣2＝0，∴m=―12，n＝2．（2）原式＝m2020•n2020•n，＝（m•n）2020•n，由（1）得m=―12，n＝2，原式＝（―12×2）2020×2，＝2．【变式2-1】（2021春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得．【解答】解：由题意：（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．∵乘积中不含x2和x3的项，∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．∴m＝3，n＝17．∴m+n＝20．【变式2-2】（2021春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n 的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根据展开式中不含x2和x3项得：m+4=0 n―3m=0，解得：m=―4n=―12．即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，当m＝﹣4，n＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．【变式2-3】（2021春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x∵其值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，解得，m=3 2，答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值与x无关，∴5y﹣2＝0，即y=2 5；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．∴S1﹣S2取值与x无关，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋•河北区期末）计算：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可；（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．【解答】解：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)=―12x2y⋅13x3y2+12x2y⋅34x2y―12x2y⋅16（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x―12y+1）；（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【分析】（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy＝3xy﹣x2﹣2y2．【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；（2）列出正确的算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；∴1+4a＝13，解得：a＝3；（2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为，B区显示的结果为．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400，当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400＝﹣84．【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【分析】（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可；（2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案．【解答】解：（1）草坪的面积为：（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；（2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．【变式4-2】（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可．【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）＝3y2+4xy﹣2y2＝y2+4xy（平方米）．∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．【变式4-3】（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．【解答】解：（1）由题意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案为：＜，（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周长与甲的周长相等，∴正方形的边长为4m164=m+4，②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（）A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可．【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）＝3y3﹣2xy2+4．故选：B．【变式5-1】（2020•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（）A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【分析】先将被除式2x2﹣3补0，再列竖式计算即可．【解答】解：∵被除式2x2﹣3缺项，∴补0后变为2x2+0x﹣3，长除法计算为：故选：D．【变式5-2】（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为．【分析】直接利用整式的除法运算法则分别计算得出答案．【解答】解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，∴长方形的另一边长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1，故长方形的周长为：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．故答案为：10a﹣4b+2．【变式5-3】（2021春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A ＝．【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：∵多项式A除以2x2﹣3，得到的商为3x﹣4，余式为5x+2，∴A＝（2x2﹣3）（3x﹣4）+5x+2＝6x3﹣8x2﹣9x+12+5x+2＝6x3﹣8x2﹣4x+14．故答案为：6x3﹣8x2﹣4x+14．【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根据规律可得（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝　（其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【分析】（1）观察各式，得到因式结果即可；（2）利用得出的规律计算即可；（3）利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝x n﹣1；（3）原式＝351﹣1．故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1【变式6-1】（2021春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案为：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1＝m4﹣1；（3）（m﹣1）（m n﹣1+m n﹣2+…m2+m+1）＝m n+1﹣1；故答案为：m n+1﹣1；（4）根据（3）得出的规律可得：1+3+32+33+…+3100=31011 31，=310112．【变式6-2】（2021春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；故答案为：a2﹣ab+b2；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3；（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+y3﹣（x3﹣y3）＝2y3．【变式6-3】（2020秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝　；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝　．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：　．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3；故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3；（2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；B．最后一项应该是4n2，不符合题意；C．符合题意；D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．故选：C．（4）A＝109﹣1＝（103）3﹣1＝（103﹣1）（106+103+12）＝999×1001001＝3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．。

整式乘法(讲+练)【12大题型】-【重要笔记】(人教版)(解析版)

14.1 整式乘法单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.注意：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.题型1：单项式乘单项式-计算1.计算3x2⋅(−2x3)的结果是（）A．6x5B．−6x5C．−2x6D．2x6【答案】B【解析】【解答】解：3x2⋅(−2x3)=−6x5，故答案为：B．【分析】利用单项式乘单项式的计算法则求解即可。

【变式1-1】计算：（1）＝；（2）6b2•4ab＝；（3）2m3n•（﹣mn2）＝；（4）﹣4a3b2c•3ab3＝．【分析】（1）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．（2）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．（3）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．（4）根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．【解答】解：（1）＝2x2y；故答案为：2x2y．（2）6b2•4ab＝24ab3；故答案为：24ab3．（3）2m3n•（﹣mn2）＝﹣2m4n3；故答案为：﹣2m4n3．（4）﹣4a3b2c•3ab3＝﹣12a4b5c．故答案为：﹣12a4b5c．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．【变式1-2】计算：（1）5a2•a4﹣3（a3）2+（﹣a3）2．【解答】解：5a2•a4﹣3（a3）2+（﹣a3）2＝5a6﹣3a6+a6＝3a6．（2）（﹣ab）•（﹣4a2b）+6a•（﹣2ab）2．【解答】解：（﹣ab）•（﹣4a2b）+6a•（﹣2ab）2＝a3b2+6a•4a2b2＝a3b2+24a3b2．＝a3b2．【点评】此题考查了单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型2：单项式乘单项式-科学计数法2.光的速度约为3×105km/s，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102s，地球与太阳的距离约是多少千米？【分析】根据路程＝速度×时间，先列式表示地球到太阳的距离，再用科学记数法表示．【解答】解：3×105×5×102＝15×107＝1.5×108千米．故地球与太阳的距离约是1.5×108千米．【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．同时考查了同底数幂的乘法．【变式2-1】经天文学家测算，太阳系外离地球最近的恒星系是南门二，其中比邻星发出的光到达地球的时间约为4.22年，光的速度是3×105km/s，求比邻星到地球的距离s．（结果用科学记数法表示，1年按3.15×107秒计算）【分析】直接利用已知求出时间×光速＝距离，进而得出答案．【解答】解：由题意可得，s＝4.22×3.15×107×3×105＝3.9879×1013（km），答：比邻星到地球的距离s为3.9879×1013km．【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．【变式2-2】市环保局将一个长为2×106分米，宽为4×104分米，高为8×102分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由．【分析】根据单项式的乘法，可得长方体的体积，根据积的乘方等于乘方的积，可得正方体的体积，可得答案．【解答】解：有，因为长方体废水池的容积为（2×106）×（4×104）×（8×102）＝64×1012＝（4×104）3，所以正方体水池的棱长为4×104分米．【点评】本题考查了单项式的乘法，利用单项式的乘法是解题关键．单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.注意：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.题型3：单项式乘多项式-计算3.已知﹣4a 与一个多项式的积是16a 3+12a 2+4a ，则这个多项式是（）A ．﹣4a 2+3aB ．4a 2﹣3aC ．4a 2﹣3a +1D ．﹣4a 2﹣3a ﹣1【分析】直接利用整式的乘除运算法则得出答案．【解答】解：∵﹣4a 与一个多项式的积是16a 3+12a 2+4a ，∴这个多项式是：（16a 3+12a 2+4a ）÷（﹣4a ）＝﹣4a 2﹣3a ﹣1．故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式3-1】计算：（1）（﹣2a 2b ）3•（3b 2﹣4a +6）；（2）（﹣2m ）2•（m 2﹣5m ﹣3）．【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可；（2）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可．【解答】解：（1）原式＝﹣8a 6b 3⋅（3b 2﹣4a +6）＝﹣24a 6b 5+32a 7b 3﹣48a 6b 3；（2）原式＝．＝m 4﹣20m 3﹣12m 2．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．()m a b c ma mb mc ++=++【变式3-2】计算：（1）．【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解即可．【解答】解：＝2x •x 2﹣2x ×+2x ×1 ＝2x 3﹣x 2+2x ．（2）6a 2（ab ﹣b 2）﹣2a 2b （a ﹣b ）．【解答】解：6a 2（ab ﹣b 2）﹣2a 2b （a ﹣b ）＝2a 3b ﹣6a 2b 2﹣2a 3b +2a 2b 2＝﹣4a 2b 2．多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.注意：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.题型4：多项式乘多项式-计算4.计算（x +5）（x ﹣3）的结果是（）A ．x 2﹣15B ．x 2+15C ．x 2+2x ﹣15D ．x 2﹣2x ﹣15【分析】根据多项式乘多项式的法则，可表示为（a +b ）（m +n ）＝am +an +bm +bn ，计算即可．【解答】解：（x +5）（x ﹣3）＝x 2+2x ﹣15．故选：C ．【点评】本题主要考查多项式乘多项式．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++【变式4-1】（1）（2a+b）（2b﹣a）．【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算即可．【解答】解：（2a+b）（2b﹣a）＝4ab﹣2a2+2b2﹣ab＝3ab﹣2a2+2b2．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．（2）（2）．【分析】根据多项式乘多项式的运算法则解答即可．【解答】解：原式＝x2﹣xy+xy﹣y2＝x2+xy﹣y2．【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．（3）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）．【分析】利用多项式乘多项式的法则进行求解即可．【解答】解：（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）＝6x2+8xy﹣2x﹣21xy﹣28y2+7y＝6x2﹣13xy﹣2x﹣28y2+7y．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式4-2】（1）计算：（x+3）（x﹣7）﹣x（x﹣1）．【分析】利用多项式乘多项式的法则及单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可．【解答】解：（x+3）（x﹣7）﹣x（x﹣1）＝x2﹣7x+3x﹣21﹣x2+x＝﹣3x﹣21．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解答的关键是在运算过程中注意符号的变化．（2）（x+1）（x﹣2）+x（x+1）+1．【分析】根据多项式乘多项式、单项式乘多项式以及整式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝x2﹣x﹣2+x2+x+1＝2x2﹣1．【点评】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式以及整式的加减运算法则，本题属于基础题型．（3）2x（x﹣3）+（x﹣2）（x+7）．【分析】先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可．【解答】解：原式＝2x2﹣6x+x2+7x﹣2x﹣14＝3x2﹣x﹣14．【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．题型5：整式乘法与求字母的值5.若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1B．m＝﹣5，n＝﹣1C．m＝5，n＝1D．m＝5，n＝﹣1【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，根据多项式恒等的法则得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：（x+3）（2x﹣m）＝2x2﹣mx+6x﹣3m＝2x2+（﹣m+6）x﹣3m，∵（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，∴﹣m+6＝n，﹣3m＝﹣15，解得：m＝5，n＝1，故选：C．【点评】本题考查了多项式乘多项式和解二元一次方程组，能正确运用多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．【变式5-1】已已A=已a+3已已a-2已+a已2-a已已已1已已已A已已2已已a已已已已已已已的最大整数解，求A的值．【答案】（1）3a-6；（2）此不等式组的解集：2≤＜4，3．【分析】（1）去括号合并同类项；（2）求出不等式组的解，根据a的值是不等式组的最大整数解，确定a的值，再代入（1）的结果计算．【解答】解：（1）A=（a+3）（a-2）+a（2-a）=a2+a-6+2a-a2=3a-6；（2）解每一个不等式，得∴此不等式组的解集：2≤a＜4，∵a的值是不等式组的最大整数解，∴a=3，∴A=3×3-6=3．【点评】本题考查多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘、一元一次不等式组的整数解，掌握多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘的运算法则，求出一元一次不等式组的整数解是解题关键．【变式5-2】已已已m+n已x n y m-2已3xy2+5x2y已=21x m y n+1+35x m+1y n已已m已n.【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．【解答】解：由（m+n）x n y m-2（3xy2+5x2y）=21x m y n+1+35x m+1y n，得【【【【已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已已题型6：整式乘法与化简求值6.先化简，再求值：（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8y，其中x=﹣1，y=2．【答案】解：原式=x2+2xy+y2﹣2xy﹣y2﹣8y=x2﹣8y，当x=﹣1，y=2时，原式=1﹣16=﹣15．【解析】【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【变式6-1】．先化简，再求值：（2a+b）（﹣b+2a）﹣（2a﹣3b）2﹣5b（3a﹣2b），其中a=﹣1 2，b= 13．【答案】解：原式=4a2﹣b2﹣（4a2﹣12ab+9b2）﹣（15ab﹣10b2）=4a2﹣b2﹣4a2+12ab﹣9b2﹣15ab+10b2 =﹣3ab．当a=﹣12，b=13时，原式=﹣3×（﹣12）×13=12【解析】【分析】首先利用平方差公式、完全平方公式以及单项式与多项式的乘法法则计算，然后合并同类项即可化简，然后代入数值计算．【变式6-2】先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x=﹣4，y=1 2．【答案】解：原式=x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy）﹣4y2 =﹣7xy，当x=﹣4，y=12时，原式=﹣7×（﹣4）×12=14【解析】【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即可．题型7：整式乘法错看问题7.某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？【答案】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1，正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）=﹣12x4+12x3﹣3x2．【解析】【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以﹣3x2得出正确结果．【变式7-1】在计算(x+a)(x+b)时，甲把错b看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙错把a 看成了−a，得到结果：x2+x−6 .（1）求出a,b的值；（2）在（1）的条件下，计算(x+a)(x+b)的结果.【答案】（1）解：由甲计算得：(x+a)(x+6)=x2+8x+12∴6a=12∴a=2；代入乙的式子，得(x−2)(x+b)=x2+x−6∴−2b=−6∴b=3.（2）解：(x+2)(x+3)= x2+3x+2x+6= x2+5x+6.【解析】【分析】（1）按甲、乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果.【变式7-2】已已已已x+a已已x+b已已已已已b已已已已6已已已已已已已x2+8x+12已已已已a已已已-a,已已已已已x2+x-6已已1已已已a,b已已已已2已已已1已已已已已已已已已x+a已已x+b已已已已已【分析】（1）根据题意得出（x+a）（x+6）=x2+（6+a）x+6a=x2+8x+12，（x-a）（x+b）=x2+（-a+ b）x-ab=x2+x-6，得出6+a=8，-a+b=1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（x+6）=x2+（6+a）x+6a=x2+8x+12，（x-a）（x+b）=x2+（-a+b）x-ab=x2+x-6，所以6+a=8，-a+b=1，解得：a=2，b=3；（2）当a=2，b=3时，（x+a）（x+b）=（x+2）（x+3）=x2+5x+6．【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．题型8：整式乘法遮挡问题8.在复习“整式的乘除与因式分解”时，老师在黑板上书与了一道练习题并正确地计算出结果，随后用手遮住了一个多项式，形式如下：•（﹣22x）＝﹣8x3﹣4x2+4x（1）设老师遮住的多项式为A，求多项式A．（2）求多项式A与多项式x﹣的乘积．【分析】（1）由题意得所求的多项式A＝（﹣8x3﹣4x2+4x）÷（﹣22x），从而可求解；（2）利用多项式乘多项式的法则进行求解即可．【解答】解：（1）由题意得：A＝（﹣8x3﹣4x2+4x）÷（﹣22x）＝﹣8x3÷（﹣4x）﹣4x2÷（﹣4x）+4x÷（﹣4x）＝2x2+x﹣1；（2）由题意得：（2x2+x﹣1）（x﹣）＝2x3﹣x2+x2﹣x﹣x+＝2x3﹣x+．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式8-1】李老师给同学们讲了一道题，小明认真地把它抄在笔记本上，放学后回到家拿出课堂笔记本，突然这道题的被除式的第二项和商的第一项被墨水污染了，污染后的习题如下：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．你能复原被污染的地方吗？请你试一试．【分析】利用多项式除以单项式法则判断即可确定出所求．【解答】解：根据题意得：5xy•（﹣7x2y）＝﹣35x3y2，（21x4y3）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2，（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2+5xy﹣y，则被污染的地方是35x3y2，﹣3x2y2．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-2】莜莜不小心将墨水滴到了课本上，刚好把数学题（9x5y2﹣2x3y）■xy的运算符号遮住．（1）若被墨水遮住的运算符号为乘号，求该数学题的计算结果；（2）若该数学题的结果为9x4y﹣2x2，求被墨水遮住的运算符号．【分析】（1）直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）（9x5y2﹣2x3y）•xy＝9x6y3﹣2x4y2；（2）∵（9x5y2﹣2x3y）÷xy＝9x4y﹣2x2，∴墨水遮住的运算符号为：÷．【点评】此题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．题型9：整式乘法不含某项问题9.已知（x2+nx）与（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2和x3的项，求m，n的值．【分析】利用多项式乘多项式法则计算得到结果，根据结果不含x2和x3的项，确定出m与n的值即可．【解答】解：根据题意得：（x2+nx）（x2﹣3x+m）＝x4﹣3x3+mx2+nx3﹣3nx2+mnx＝x4+（n﹣3）x3+（m﹣3n）x2+mnx，∵（x2+nx）与（x2﹣3x+m）的乘积中不含x2和x3的项，∴n﹣3＝0，m﹣3n＝0，解得：m＝9，n＝3．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式9-1】已知将（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x2和x3项，求a，b的值．【分析】先用多项式乘多项式展开，再让x3，x2的系数为0．列方程求解．【解答】解：（x3+ax+b）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+ax3﹣3ax2+4ax+bx2﹣3bx+4b＝x5﹣3x4+（4+a）x3+（﹣3a+b）x2+（4a﹣3b）x+4b∵不含x3和x2项，∴4+a＝0，﹣3a+b＝0，解得a＝﹣4，b＝﹣12．【点评】本题考查了多项式乘多项式，方程思想是解题的关键．【变式9-2】关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和常数项，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．【分析】先利用多项式乘多项式法则化简整式，再根据化简后不含有x2项和常数项求出a、m，代入方程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．【解答】解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m＝2ax2﹣6x+ax﹣3﹣4x2+m＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3．∵化简后不含有x2项和常数项，∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0．∴a＝2，m＝3．∵an+mn＝﹣5，∴2n+3n＝﹣5．∴n＝﹣1．∴﹣4n2+3m＝﹣4×（﹣1）2+3×3＝﹣4×1+9＝﹣4+9＝5．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则、一元一次方程的解法是解决本题的关键．【变式9-3】已1已已已已已已x2+mx+n已已x2-4x+2已已已已已已x3已x2已已已m已n已已已已2已已已已ABC已已已已已a已b已c,已已已|a-2b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|已【分析】（1）先利用多项式乘法法则把多项式展开，由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，由此可以得到4-m=0，2-4m+n=0，解方程组即可以求出m、n；（2）根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x2-4x+2）=x4-（4-m）x3+（2-4m+n）x2+（2m-4n）x+2n,∵展开的结果不含x3和x2项，∴4-m=0，2-4m+n=0，解得：m=4，n=14．即m=4，n=14；（2）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a-2b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0．∴|a-2b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=-（a-2b-c）+（a+c-b）+（a+b-c）=-a+2b+c+a+c-b+a+b-c=a+2b+c.【点评】考查了多项式乘多项式，三角形的三边关系、绝对值及整式的加减，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答，注意三角形的三边关系和绝对值的性质的综合运用．题型10：整式乘法新定义问题10.将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号叫做二阶行列式，若＝5x，求x的值．【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程得到答案．【解答】解：由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣3）（x+1）＝5x，解得x＝﹣．【点评】本题考查的是新定义、多项式乘多项式和一元一次方程的解法，根据新定义列出一元一次方程是解题的关键．【变式10-1】定义：一个多项式A乘以另一个多项式B化简得到新的多项式C，若C的项数比A的项数多不超过1项，则称B是A的“友好多项式”．特别地，当C的项数和A相同时，则称B是A的“特别友好多项式”．（1）若A＝x﹣2，B＝x+3，那么B是否是A的“友好多项式”？请说明理由；（2）若A＝x﹣2，B是A的“特别友好多项式”，①请举出一个符合条件的二项式B＝．②若B是三项式，请举出一个符合条件的B，并说明理由；（3）若A是三项式，是否存在同样是三项式的B，使得B是A的“友好多项式”？若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断；（2）①根据“特别友好多项式”的定义解答；②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明；（3）根据“友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明．【解答】解：（1）B是A的“友好多项式”，理由如下：（x﹣2）（x+3）＝x2﹣2x+3x﹣6＝x2+x﹣6，x2+x﹣6的项数比A的项数多不超过1项，则B是A的“友好多项式”；（2）①（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4，∴x+2是A的“特别友好多项式”；②（x﹣2）（x2+2x+4）＝x3﹣2x2+2x2﹣4x+4x﹣8＝x3﹣8，∴x2+2x+4是A的“特别友好多项式”；（3）存在，例如，a+b+c与a+b﹣c是“友好多项式”，理由如下：（a+b+c）（a+b﹣c）＝（a+b）2﹣c2＝a2+2ab+b2﹣c2，∴a+b+c与a+b﹣c是“友好多项式”．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握“友好多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【变式10-2】给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为；（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为．【分析】（1）根据特征系数对的定义即可解答；（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x＝﹣2即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1），故答案为：（3，2，﹣1）；（2）∵有序实数对（1，4，4）的特征多项式为：x2+4x+4，有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式为：x2﹣4x+4，∴（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）＝x4﹣4x3+4x2+4x3﹣16x2+16x+4x2﹣16x+16＝x4﹣8x2+16；（3）根据题意得（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，令x＝﹣2，则（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝2×16﹣8﹣10×4+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝32﹣8﹣40+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12，∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值﹣2是解题的关键．题型11：整式乘法与规律问题11.观察下面的几个算式，你发现了什么规律？①16×14＝224＝1×（1+1）×100+6×4②23×27＝621＝2×（2+1）×100+3×7③32×38＝1216＝3×（3+1）×100+2×8（1）按照上面的规律，依照上面的书写格式，迅速写出81×89的结果；（2）用公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab证明上面所发现的规律[提示：可设这个两位数分别是（10n+a）、（10n+b），其中a+b＝10]；（3）简单叙述以上所发现的规律．【分析】（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出81×89＝7209；（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明；（3）既要叙述等式左边的规律，还要叙述等式右边的规律，即（1）中的叙述．【解答】解：（1）81×89＝8×（8+1）×100+1×9＝7209；（2）设这两个两位数分别是10n+a和10n+b，其中a+b＝10，（10n+a）（10n+b）＝100n2+（a+b）×10n+ab＝100n2+100n+ab＝100n（n+1）+ab；（3）两个十位数字相同，个位数字和是10的两个两位数相乘，等于它们的十位数字与十位数字加1的数相乘的100倍，再加上两个数的个位数字的积．【点评】此题主要考查了整式混合运算的应用，找出题中的规律是解本题的关键．【变式11-1】观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…（1）根据上面各式的规律可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x2+x+1）＝（其中n为正整数）；（2）利用上述规律，求1+2+22+23+…+250的值．【分析】（1）根据已知等式，归纳总结得到一般性结果即可；（2）原式变形后，计算即可得到结果．【解答】解：（1）（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x2+x+1）＝x n+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+23+…+250）＝251﹣1．故答案为：（1）x n+1﹣1．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式11-2】探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3；故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3；（2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；B．最后一项应该是4n2，不符合题意；C．符合题意；D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．故选：C．（4）A＝109﹣1＝（103）3﹣1＝（103﹣1）（106+103+12）＝999×1001001＝3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查学生的计算能力，能对公式进行逆用是解题的关键．单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即注意：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 注意：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.题型12：整式除法的运算与求值12.计算：（1）（3a 2b 3）•（﹣2ab 4）÷（6a 2b 3）．【分析】根据整式的乘除法则进行计算便可．【解答】解：（3a 2b 3）•（﹣2ab 4）÷（6a 2b 3）＝﹣6a 3b 7÷（6a 2b 3）＝﹣ab 4．（2）a •a 2•a 3+（﹣2a 3）2﹣（2a 4）2÷a 2．【解答】解：a •a 2•a 3+（﹣2a 3）2﹣（2a 4）2÷a 2＝a 6+4a 6﹣4a 8÷a 2＝a 6+4a 6﹣4a 6＝a 6．（3）计算：a 2•a 4﹣6a 8÷2a 2+（﹣3a 3）2．【解答】解：a 2•a 4﹣6a 8÷2a 2+（﹣3a 3）2＝a 6﹣3a 6+9a 6＝7a 6．（2）（12x 3﹣18x 2+6x ）÷（﹣6x ）．【解答】解：（12x 3﹣18x 2+6x ）÷（﹣6x ）＝﹣2x 2+3x ﹣1．【变式12-1】计算：[x （x 2y 2﹣xy ）﹣y （x 2﹣x 3y ）]÷3x 2y ．【分析】直接利用单项式乘多项式法则化简，进而合并，再利用整式的除法运算法则，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加计算得出答案．【解答】解：原式＝[x 3y 2﹣x 2y ﹣（x 2y ﹣x 3y 2）]÷3x 2y()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y＝2x3y2÷3x2y﹣2x2y÷3x2y＝xy﹣．计算：（8x4﹣6x3﹣4x2+10x）÷（﹣2x）．【分析】把多项式的每一项除以单项式即可得出结果．【解答】解：（8x4﹣6x3﹣4x2+10x）+（﹣2x）＝8x4÷（﹣2x）﹣6x3÷（﹣2x）﹣4x2÷（﹣2x）+10x÷（﹣2x）＝﹣4x3﹣（﹣3x2）﹣（﹣2x）+（﹣5）＝﹣4x3+3x2+2x﹣5．【变式12-2】若某多项式除以2x2﹣3，得到的商式为x+4，余式为3x+1，求此多项式．【分析】根据“被除式＝除式×商式+余式”列式计算便可．【解答】解：根据题意得，这个多项式为：（2x2﹣3）（x+4）+（3x+1）＝2x3+8x2﹣3x﹣12+3x+1＝2x3+8x2﹣11．【点评】此题考查了整式的税法和除法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式12-3】如果，求m，a，b的值．【分析】先根据整式的除法运算法则计算已知等式的左边，再根据底数相同，指数也相等得方程，求解即可．【解答】解：∵，∴．则，解得【点评】此题考查的是整式的除法运算，掌握其法则是解决此题的关键．一、单选题1．下列各式正确的是（）.A．√4=2√2B．20=0C．3a−2a=1D．2−(−2)=4【答案】D【解析】【解答】解：A、√4=2，故A不符合题意；B、20=1，故B不符合题意；C、3a-2a=a，故C不符合题意；D、2-（-2）=2+2=4，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用正数的算术平方根只有一个，可对A作出判断；利用任何不等于0的数的0次幂为1，可对B作出判断；合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对C作出判断；利用减去一个数等于加上这个数的相反数，可对D作出判断.2．下列计算结果是x6的是（）A．x3+x3B．x4÷x2C．x2⋅x3D．(x3)2【答案】D【解析】【解答】解：A. x3+x3=2x3，不符合题意，B. x4÷x2=x2，不符合题意，C. x2⋅x3=x5，不符合题意，D. (x3)2= x6，符合题意，故答案为：D．【分析】本题主要考查同底数幂的乘法除法、幂的乘方以及合并同类项等知识，熟练掌握相关法则是关键。

北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习

《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1）＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。

整式的乘法精选试题(含答案解析)

第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1．若x 2－4x ＋m 2是完全平方式，则m 的值是（） A 、2 B 、－2 C 、±2 D 、以上都不对2．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A. B.C.D.3．下列计算正确的是A ．-1-32a a a ÷=B ．0103（）=C ．532)(a a = D ． -21124=（）4．下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为【】A ．51B ．70C ．76D ．81 5．一个长方形的长为，它的周长为3a+2b ，则它的宽为（） A ．B ．C ． aD ． 2a6．观察一串数：0，2，4，6，….第n 个数应为（） A.2（n －1） B.2n －1 C.2（n ＋1） D.2n ＋1 7．下列运算正确．．的是（） A ．1055a a a =+ B ．2446a a a =⨯ C ．a a a =÷-10 D ．044a a a =-8．下列运算正确的是（）A ．222()a b a b +=+ B ．()()22a b b a a b --=-C ．001= D ．326a a a a ⋅⋅=9．用“○+”定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有a ○+b=b 2+1，例如7○+2=22+1=5，当m 为实数时，m ○+（m ○+2）的值是 A. 25B. m 2+1C. 5D. 2610．下列计算正确的是 A. maa 22ma =⋅ B. 523)(a a =C. 523x x x x =⋅⋅ D. 104553---=÷n n n a a a11．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（） A 、–3 B 、3 C 、0 D 、112．下面是一名学生所做的4道练习题：①(－3)0=1；②a 3+a 3=a 6；③44144mm-=；④(xy 2) 3=x 3y 6，他做对的个数是( )A ．0B ．1C ． 2D ．3 13．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A 、(x+a)(x-a)B 、(b+m)(m-b)C 、(-x-b)(x-b)D 、(a+b)(-a-b) 14．已知多项式x 2＋kx ＋41是一个完全平方式，则k 的值为（） A 、±1 B 、－1 C 、 1D 、21±15．已知(m ﹣n)2=8，(m+n)2=2，则m 2+n 2=A 、10B 、6C 、5D 、3 16．若a b 3a b 7+=-=，，则ab=A ．－10B ．－40C ．10D ．4017．图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A ．2mnB ．（m+n ）2C ．（m-n ）2D ．m 2-n 218．求1+2+22+23+ +22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+ +52012的值为（）A ．52012﹣1 B ．52013﹣1 C ．2013514- D ．2012514-19．化简：22(2)(2)a a +--=（）A ．2B ．4C ．8aD ．2a 2+220．若35-==+ab b a ，，则2)(b a -的值是（） A. 25 B. 19 C. 31D. 3721．下列计算正确的是（）A. 03310=⨯⎪⎭⎫⎝⎛B. 1055x x x =+C. 428x x x =÷D. ()623a a=-22．已知整数1234,,,,a a a a ⋅⋅⋅满足下列条件：10a =,21|1|a a =-+,32|2|a a =-+, 43|3|a a =-+,…,依次类推,则2012a 的值为A ．1005-B ．1006-C ．1007-D ．2012- 23．（2011山东济南，14，3分）观察下列各式：（1）1=12；（2）2+3+4=32；（3）3+4+5+6+7=52；（4）4+5+6+7+8+9+10=72… 请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（） A ．1005+1006+1007+…+3016=20112 B ．1005+1006+1007+…+3017=20112 C ．1006+1007+1008+…+3016=20112 D ．1007+1008+1009+…+3017=20112 24．如图是长10cm ，宽6cm 的长方形，在四个角剪去4个边长为x cm 的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是 A ．(6－2x )(10－2x ) B ．x (6－x )(10－x ) C ．x (6－2x )(10－2x ) D ．x (6－2x )(10－x )25．已知整式252x x-的值为6，则2256x x -+的值为 A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 26．计算20085()4-×0.82009得：( )A 、0.8B 、-0.8C 、+1D 、-1二、填空题（题型注释）27．已知2a b +=，则224a b b -+的值是．28．x 2﹣4x+4=（）2．29．如图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式： 1+3+5+7+…+（2n ﹣1）= （用n 表示，n 是正整数）30．如果1kx x 2++是一个完全平方式，那么k 的值是 . 31．若4p q -=，2pq =-，则22p q +的值为_______________. 32．如果0542=-+y x ，则 x 4·=y16 .33．若2x 2x 3-=，则代数式22x 4x 3--的值为 .34．若,23,83==n m则=+-1323n m35．已知a+b=3，a 2+b 2=5，则ab 的值是36．当x 2+2(k-3)x+25是一个完全平方式，则k 的值是 . 37．计算：=⨯-200220035)2.0( 。

人教版初二数学：整式的乘法精题讲解及练习

整式的乘法基础知识22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mbm n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩互逆 22222()():2()a b a b a b a ab b a b ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧-=+-⎨⎨⎪⎨⎪⎪±+=±⎪⎩⎩⎪⎪⎩因式分解的意义提公因式法因式分解因式分解的方法平方差公式:运用公式法完全平方公式因式分解的步骤一、整式的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：m n m n a a a+⋅=（m ，n 都是正整数）。

例1：计算（1）821010⨯；（2）23x x ⋅-（-）（）；（3）n 2n 1n aa a a ++⋅⋅⋅例2：计算（1）35b 2b 2b 2+⋅+⋅+（）（）（）；（2）23x 2y y x -⋅（）（2-）例3：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。

整式的乘法2．幂的乘方（重点）幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如53a （）是三个5a 相乘，读作a 的五次幂的三次方。

幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即m n mn a a =（）（m ，n 都是正整数）。

例4：计算（1）m 2a （）；（2）()43m ⎡⎤-⎣⎦；（3）3m 2a -（）3．积的乘方（重点）积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。

如：()()()()3ab ab ab ab =⋅⋅ 积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

初一整式的乘法(含答案)

整式的乘法一、基础知识1、整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，就是把单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘，就是用多项式的每一项和另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

2、乘法公式平方差公式:22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 二、课前预习 (5分钟训练) 1.计算下列各式：（1）(2×103)×(3×104)×(5×102)；（2）(13×105)3(9×103)2；（3）45x 2(－53xy 3)；（4）(－3ab)(2a 2－13ab+5b 2)；2.若x m ＝3，x n ＝2，则x 2m+3n ＝________. 三、课中强化(10分钟训练) 1.下列计算正确的是( )A.(－4x 2)(2x 2+3x －1)=－8x 4－12x 2－4xB.(x+y)(x 2+y 2)=x 3+y 3C.(－4a －1)(4a －1)=1－16a 2D.(x －2y)2=x 2－2xy+4y 22.计算：(1)2(a5)2·(a2)2－(a2)4·(a2)2·a2；(2)(b n)3·(b2)m+3(b3)n·b2·(b m－1)2；(3)(27×81×92)2.3.(1)化简求值：(x－2)(x－3)+2(x+6)(x－5)－3(x2－7x+13)，其中x＝－7 18;(2)已知|a－2|+(b－12)2＝0，求－a(a2－2ab－b2)－b(ab+2a2－b2)的值.4.如图15－2－2，某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形草地，若圆的半径为r米，长方形长为a米，宽为b米.(1)请用代数式表示空地的面积;(2)若长方形长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积(计算结果保留π).图15－2－2四、课后巩固(30分钟训练)1.化简(－2a)·a－(－2a)2的结果是( )A.0B.2a2C.－6a2D.－4a22.下列5个算式中，错误的有( )①a 2b 3+a 2b 3＝2a 4b 6 ②a 2b 3+a 2b 3＝2a 2b 3 ③a 2b 3·a 2b 3＝2a 2b 3 ④a 2b 3·a 2b 3＝a 4b 6 ⑤2a 2b·3a 3b 2＝6a 6b 2A.1个B.2个C.3个D.4个3.现规定一种运算：a*b ＝ab+a －b ，其中a 、b 为实数，则a*b+(b －a)*b 等于( )A.a 2－bB.b 2－bC.b 2D.b 2－a4.随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低.某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为( ) A.(45n+m)元 B.(54n+m)元 C.(5m+n)元 D.(5n+m)元 8.填“输出”结果：(1)输入22321(1)(1)?2x x x x x x x x =→-+--+-→输出 (2)输入323,2,5[3()][3(3)]?37x y z y y x z y z y x =-=-=-→--+--→输出参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.计算下列各式：（1）(2×103)×(3×104)×(5×102)；（2）(13×105)3(9×103)2；（3）45x2(－53xy3)；（4）(－3ab)(2a2－13ab+5b2)；（5）(a+13)(a－14).答案：（1）3×1010; （2）3×1021;（3）－43x3y3; （4）－6a3b+a2b2－15ab3;二、课中强化(10分钟训练)1.下列计算正确的是( )答案：C2.计算：解：(1)原式＝2a10·a4－a8·a4·a2＝2a14－a14＝a14.(2)原式＝b3n·b2m+3b3n·b2·b2m－2＝b3n+2m+3b3n+2m＝4b3n+2m.(3)(27×81×92)2＝(33×34×34)2＝(311)2＝322.3解：(1)(x－2)(x－3)+2(x+6)(x－5)－3(x2－7x+13)＝18x－93. 当x＝－718时，原式＝－100.(2)因为|a－2|+(b－12)2＝0，所以a－2＝0，b－12＝0.因此a＝2，b＝12.－a(a2－2ab－b2)－b(ab+2a2－b2)＝－a3+2a2b+ab2－ab2－2a2b+b3＝－a3+b3.当a＝2，b＝12时，原式＝－778.4.如图15－2－2，某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形草地，若圆的半径为r米，长方形长为a米，宽为b米.(1)请用代数式表示空地的面积;(2)若长方形长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积(计算结果保留π).图15－2－2思路分析：利用长方形的面积公式.解：(1)空地面积为(ab－πr2)平方米.(2)当a ＝300，b ＝200，r ＝10时，ab －πr 2＝300×200－100π＝(60 000－100π)平方米.答：广场空地的面积为(60 000－100π)平方米.三、课后巩固(30分钟训练)1.化简(－2a)·a －(－2a)2的结果是( ) 答案：C2.下列5个算式中，错误的有( )思路解析：掌握加法运算与乘法运算的法则，①运算错误，用合并同类项法则，应为a 2b 3+a 2b 3＝2a 2b 3；②为合并同类项，运算正确；③为单项式的乘法，运算错误，正确的运算为a 2b 3·a 2b 3＝a 4b 6；④正确；⑤为单项式的乘法，运算错误，正确的运算为2a 2b·3a 3b 2＝6a 5b 3. 答案：C3.现规定一种运算：a*b ＝ab+a －b ，其中a 、b 为实数，则a*b+(b －a)*b 等于( )A.a 2－bB.b 2－bC.b 2D.b 2－a 答案：B4.随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低.某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为( )A.(45n+m)元B.(54n+m)元 C.(5m+n)元 D.(5n+m)元思路解析：原售价为120%n-+m. 答案：B8.填“输出”结果：(1)输入22321(1)(1)?2x x x x x x x x =→-+--+-→输出(2)输入323,2,5[3()][3(3)]?37x y z y y x z y z y x =-=-=-→--+--→输出思路分析：这是一道混合化简求值题，由单项式和多项式相乘组成，运算顺序依然是先乘法后加减，化简时前后的单项式相乘可以同时进行.对于这类求代数式值的问题，不便直接将字母的值代入代数式，而应先将代数式化简成最简形式，然后再代入求值. (1)x2(x2－x+1)－x(x3－x2+x－1)=x4－x3+x2－x4+x3－x2+x=x，当x=12时，原式＝12.(2)y［y－3(x－z)+y［3z－(y－3x)］=y(y－3x+3z)+y(3z－y+3x)=y2－3xy+3yz+3yz－y2+3xy=6yz，当x=－23337，y=－2，z=－5时，原式=6×(－2)×(－5)=60.答案：(1)12(2)60。

七(下)第1章整式的乘除(全章复习与巩固)知识讲解与专项讲练

2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。

【知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(a m )n ＝a mn ＝a nm ＝(a n )m (m 、n 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(ab )n ＝a n b n ，(a x b y )n ＝a nx b ny (n 、x 、y 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m 、n 为正整数，并且m ＞n ).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即：任何不等于零的数的零次方等于1.6.负整数次幂：p p a a 1=-(a ≠0，p 为正整数），a n 与a －n 互为倒数，n m m n pp a b b a ,a b b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---即：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数.特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘除1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、整式的乘除➽➼幂的运算✭✭幂的逆运算1．计算：（1）()3201113823π-⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2331233282a a a a -⋅-÷举一反三：【变式1】计算：101|2|(2023667)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭（2）()()223234(6)x y xy ⋅-÷【变式2】计算：(1)22012()272--+-(2)2642135(2)5x x x x x⋅--+÷(1)253()()[()]a b b a a b -⋅-÷--；(2)先化简，再求值：426223225(3)()(2)a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎣⎦，其中5a =-．2．（2022春·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）阅读：已知正整数a 、b 、c ，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，根据上述材料，回答下列问题(1)比较大小：205______204（填写>、<或=）(2)比较332与223的大小（写出具体过程）(3)已知23a =，86b =求()322a b +的值【答案】(1)>(2)332223<，见分析(3)972【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，即可进行解答；（2）将根据幂的乘方的逆运算，将332与223转化为同指数的幂，再比较大小即可；（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将()322a b +转化为()3222a b ⨯，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有2a 和8b 的性质，进行计算即可．（1）解：∵54>，∴202054>，故答案为：>．（2）∵()1133311228==，()1122211339==，89<，∴332223<．（3）原式()3222a b =⨯()()33222a b =⨯()()32322ba =⨯()2338b =⨯3236=⨯=972．【点拨】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则．举一反三：【变式1】已知，若实数a 、b 、c 满足等式54a =，56b =，59c =．(1)求25a b +的值；(2)求25b c -的值；(3)求出a 、b 、c 之间的数量关系．【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）按要求解答下列各小题．(1)已知1012m =，103n =，求10m n -的值；(2)如果33a b +=，求327a b ⨯的值；(3)已知682162m m ⨯÷=，求m 的值．类型二、整式的乘除➽➼整式的乘法3．计算：(1)()()()2332ab a a b --- ；(2)()()221a a -+；(3)()()212x x +-．【答案】(1)446a b -(2)3222a a --(3)2232x x --【分析】（1）按照单项式乘以单项式的法则进行运算即可；（2）按照单项式乘以多项式的法则进行运算即可；（3）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可；（1）解：()()()2332ab a a b --- ()2236a b a b =- 44a b =-．（2）()()221a a -+3222a a =--；（3）()()212x x +-2242x x x =-+-2232x x =--．【点拨】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握“整式的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算：(1)()()202024311202323π-⎛⎫-+-+-- ⎪⎝⎭（2）()()()222x y x y x x y -++--【变式2】（2022春·河南周口·七年级校联考期中）如图，把8张长为a ，宽为b 的小长方形纸片摆放在一个大长方形纸盒内，空白部分分别用A ，B 表示，两个摆放小纸片的长方形（阴影）公共的部分边长为m ，（用a ，b ，m 分别表示周长和面积）(1)填空：①空白部分A 的周长A P =__________，面积A S =_____________，②空白部分B 的周长B P =______________，面积B S =________________；(2)若5a b =，求A B P P -，A B S S -的代数式．类型三、整式的乘除➽➼平方差公式✭✭完全平方公式4．（2022春·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）化简下列多项式：(1)()()()214121x x x +---；（2）()()223223a b a b +--+.【答案】(1)72x -(2)2244129a b b -+-【分析】（1）先计算乘法，再合并同类项，即可求解；（2）利用平方差公式计算，即可求解．（1）解：()()()214121x x x +---22441441x x x x x =-+--+-72x =-（2）解：()()223223a b a b +--+()()223223a b a b =+---⎡⎤⎣⎦()()22223a b =--2244129a b b =-+-【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，灵活利用乘法公式计算是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022春·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）计算：(1)()()()y x y x y x y +--+;(2)()()224x x x ++-【变式2】运用公式进行简便计算：(1)210.210.2 2.4 1.44-⨯+；(2)2222111111112342022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．5．（2022春·四川内江·八年级校考阶段练习）（1）已知实数x ，y 满足2296x y -=，8x y -=，求x y +的值．（2）已知实数a 、b 满足()23a b +=，()227a b -=，求22a b ab ++的值．【答案】（1）12x y +=；（2）229a b ab ++=．【分析】（1）利用平方差公式，化简求解即可；（2）利用完全平方公式进行化简，分别求得22a b +和ab 的值，即可求解．解：（1）∵2296x y -=，∴()()96x y x y +-=，∵8x y -=，∴12x y +=；（2）∵()23a b +=，()227a b -=，∴2223a ab b ++=，22227a ab b -+=，∴222a 2b 30+=，424ab =-，∴22a b 15+=，6ab =-，∴()221569a b ab ++=+-=．【点拨】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．举一反三：【变式1】已知5a b +=，3ab =．求下列各式的值：(1)22a b +；(2)()2a b -；(3)()()()()1111a b a b ++--．【变式2】已知：221x x +=，将()()()()2(1)3331x x x x x --+----先化简，再求它的值．类型四、整式的乘除➽➼整体的除法6．（2022春·八年级课时练习）计算下列各题：(1)()()322432714x y xy x y ⋅-÷；(2)()()222x y x y y x ⎡⎤+-+÷．【变式1】先化简，再求值：()()()21242x y x y x y y ⎡⎤+--+÷⎣⎦，其中1x =，2y =．【变式2】已知24750a a -+=，求代数式()2232(21)a a a a -÷--的值．类型五、整式的乘除➽➼图形问题7．（2021春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a ，b 的式子且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到乘法公式____________．(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：计算：①10397⨯；②()()22a b c a b c +---．【变式1】图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1：方法2：(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()()22,,m n m n mn+-(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若75a b ab +==，，则2()a b -=．（请直接写出计算结果）【变式2】（2022春·八年级课时练习）如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+D ．()222a b a b -=-(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：3a b -=，2221a b -=，求a b +的值；②计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【中考真题专练】【1】（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【2】（2022·广西·统考）先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==．【3】（2022·河北·统考）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，()()22212110++-=为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ，n ，请论证“发现”中的结论正确．a+，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵【4】（2022·浙江金华）如图1，将长为23爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3a=时，该小正方形的面积是多少？2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。

整式的乘法典型例题

《整式的乘法》典型例题
例1 计算：
（1）
（2）
（3）
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
说明：单项式乘以多项式，积仍是一个多项式，其项数与所乘多项式的项数相等，要注意积的各项符号的确定．若是混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，运算结果要检查，如有同类项要合并，结果要最简．
例2计算题：
（1）；（2）．
分析：（1）中单项式为，多项式里含有，，1，乘积结果为三项，特别是1这项不要漏乘．（2）中指数为字母，计算时要注意底数幂相乘底数不变指数相加．
解：（1）原式
（2）
说明：单项式与多项式的第一项相乘时，要注意积的各项符号的确定；同号相乘得正，异号相乘得负．
例3化简
（1）；
（2）．
分析：在计算单项式乘以多项式时，仍应按有理数的运算法则，先去小括号和，再去中括号．
解：（1）原式
（2）原式
例4求值：，其中．
解：原式
当时，
说明：求值问题，应先化简，再代入求值．
例5设，求的值．
分析：由已知条件，显然，再将所求代数式化为的形式，整体代入求解．
解：
说明：整体换元的数学方法，关键是识别转化整体换元的形式．。

【精品讲义】人教版八年级数学(上) 专题14.1 整式的乘法(知识点+例题+练习题)含答案

第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法一、同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，a m ·a n =()m aa a a ⋅⋅⋅个·()n aa a a ⋅⋅⋅个=()m n aa a a +⋅⋅⋅个=m n a +．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．m n p a a a ⋅⋅⋅=m n pa +++（m ，n ，…，p 都是正整数）．2．同底数幂的乘法法则的逆用：a m +n =a m ·a n （m ，n 都是正整数）．二、幂的乘方1．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3是三个a 5相乘，读作a 的五次幂的三次方，（a m ）n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方． 2．幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，()=mn mm n m m m m m mmn n a a a a a a a +++=⋅⋅⋅=个个．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数__________．【拓展】1．幂的乘方的法则可推广为[()]m n p mnpa a =（m ，n ，p 都是正整数）．2．幂的乘方法则的逆用：()()mn m n n m a a a ==（m ，n 都是正整数）．三、积的乘方1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab ）3，（ab ）n 等．3()()()()ab ab ab ab =⋅⋅（积的乘方的意义）=（a ·a ·a ）·（b ·b ·b ）（乘法交换律、结合律）=a 3b 3．2．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()()=n n nn an bn ab ab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个个．因此，我们有()nn nab a b =．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别__________，再把所得的幂相乘．四、单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．1．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． 2．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． 3．单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】1．积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． 2．相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．五、单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积__________．用式子表示：m （a +b +c ）=ma +mb +mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）．【注意】1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．2．计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． 3．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．六、多项式与多项式相乘1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积__________．2．多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m +n ）（a +b +c ），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m （a +b +c ）与n （a +b +c ），再用单项式乘多项式的法则展开，即（m +n ）（a +b +c ）=m （a +b +c ）+n （a +b +c ）=ma +mb +mc +na +nb +nc ．【注意】1．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．2．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．七、同底数幂的除法同底数幂的除法法则：一般地，我们有m n m n a a a -÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）．语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：m n p m n p a a a a --÷÷=（a ≠0，m ，n ，p 都是正整数，并且m >n +p ）． 2．同底数幂的除法法则的逆用：m n m n a a a -=÷（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）．八、零指数幂的性质零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如a m ÷a m ，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有a m ÷a m =a m -m =a 0．于是规定：a 0=1（a ≠0）．语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于__________．【注意】1．底数a 不等于0，若a =0，则零的零次幂没有意义． 2．底数a 可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x 2+y 2+1）0=1等． 3．a 0=1中，a ≠0是极易忽略的问题，也易误认为a 0=0．九、单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别__________作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．十、多项式除以单项式多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商__________．【注意】1．多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．2．多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． 3．多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．一、相加二、相乘三、乘方四、相乘五、相加六、相加七、相减八、1九、相除十、相加1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用．（2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂．（3）底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．计算m 2·m 6的结果是A ．m 12B ．2m 8C ．2m 12D ．m 8【答案】D【解析】m 2·m 6=m 2+6=m 8，故选D ．计算-（a -b ）3（b -a ）2的结果为A ．-（b -a ）5B ．-（b ＋a ）5C ．（a -b ）5D ．（b -a）5【答案】D【解析】-（a-b ）3（b -a ）2=（b -a ）3（b -a ）2=（b -a ）5，故选D ．2．幂的乘方与积的乘方（1）每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．（2）要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是-1时，不可忽略．计算24()a 的结果是A ．28aB ．4aC ．6aD ．8a【答案】D【解析】24()a =248a a ⨯=，故选D ．下列等式错误的是A ．（2mn ）2=4m 2n 2B ．（-2mn ）2=4m 2n 2C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6D ．（-2m 2n 2）3=-8m 5n 5【答案】D【解析】A ．（2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； B ．（-2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6，该选项正确；D ．（-2m 2n 2）3=-8m 6n 6，该选项错误．故选D ．3．整式的乘法（1）单顶式与单顶式相乘，系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意混合运算的运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减．有同类顶的一定要合并同类顶．（2）单顶式与多顶式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．计算：3x 2·5x 3的结果为A ．3x 6B ．15x 6C ．5x 5D ．15x 5【答案】D【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则，得3x 2·5x 3=15x 5．故选D ．下列各式计算正确的是A ．2x （3x -2）=5x 2-4xB ．（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2C ．（x +2）2=x 2+2x +4D ．（x +2）（2x -1）=2x 2+5x -2【答案】B【解析】A 、2x （3x -2）=6x 2-4x ，故本选项错误； B 、（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2，故本选项正确； C 、（x +2）2=x 2+4x +4，故本选项错误；D 、（x +2）（2x -1）=2x 2+3x -2，故本选项错误．故选B ．4．同底数幂的除法多顶式除以单项式可转化为单项式除以单顶式的和，计算时应注意逐项相除，不要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列．计算2x 2÷x 3的结果是 A ．xB ．2xC ．x -1D ．2x -1【答案】D【解析】因为2x 2÷x 3=2x -1，故选D ．计算：4333a b a b ÷的结果是 A ．aB ．3aC ．abD ．2a b【答案】A【解析】因为43334333a b a b a b a --÷==．故选A ．计算：22(1510)(5)x y xy xy --÷-的结果是A ．32x y -+B ．32x y +C ．32x -+D ．32x --【答案】B【解析】因为2221111121(1510)(5)3232x y xy xy xyx y x y ------÷-=+=+．故选B ．5．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来．先化简，再求值：2[()(4)8]2x y y x y x x -+--÷，其中8x =，2018y =．【解析】原式222(248)2x xy y xy y x x =-++--÷2(28)2x xy x x =+-÷142x y =+-．当8x =，2018y =时，原式182018420182=⨯+-=．1．计算3(2)a -的结果是 A ．38a -B ．36a -C ．36aD ．38a2．下列计算正确的是 A ．77x x x ÷=B ．224(3)9x x -=-C ．3362x x x ⋅=D ．326()x x =3．如果2(2)(6)x x x px q +-=++，则p 、q 的值为 A ．4p =-，12q =- B ．4p =，12q =- C ．8p =-，12q =-D ．8p =，12q =4．已知30x y +-=，则22y x ⋅的值是 A ．6B ．6-C ．18D ．85．计算3n ·（-9）·3n ＋2的结果是 A ．-33n -2B ．-3n ＋4C ．-32n ＋4D ．-3n ＋66．计算223(2)(3)m m m m -⋅-⋅+的结果是 A ．8m 5B ．–8m 5C ．8m 6D ．–4m 4+12m 57．若32144m nx y x y x ÷=，则m ，n 的值是 A ．6m =，1n = B ．5m =，1n = C ．5m =，0n =D ．6m =，0n =8．计算（-x ）2x 3的结果等于__________． 9．（23a a a ⋅⋅）³=__________．10．3119(1.210)(2.510)(410)⨯⨯⨯=__________． 11．计算：（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=__________．12．若1221253()()m n n m a b a b a b ++-= ，则m +n 的值为__________． 13．计算：（1）21(2)()3(1)3x y xy x -⋅-+⋅-；（2）23(293)4(21)a a a a a -+--．（3）（21x 4y 3–35x 3y 2+7x 2y 2）÷（–7x 2y ）．14．先化简，再求值：（1）x （x -1）+2x （x +1）-（3x -1）（2x -5），其中x =2；（2）243()()m m m -⋅-⋅-，其中m =2-．15．“三角”表示3xyz ，“方框”表示-4a b d c ．求×的值．16．下列运算正确的是A ．326a a a ⨯=B ．842a a a ÷=C ．3(1)33a a --=-D ．32911()39a a =17．计算5642333312(3)2a b c a b c a b c ÷-÷，其结果正确的是A ．2-B ．0C ．1D ．218．计算：(7)(6)(2)(1)x x x x +---+=__________． 19．如果1()()5x q x ++展开式中不含x 项，则q =__________． 20．已知：2x =3，2y =6，2z =12，试确定x ，y ，z 之间的关系．21．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x +a ）（3x +b ），由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x 2+11x -10；由于乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x 2-9x +10．（1）试求出式子中a ，b 的值；（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．22．（2019•镇江）下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =23．（2019•泸州）计算233a a ⋅的结果是A ．54aB ．64aC ．53aD ．63a24．（2019•柳州）计算：2(1)x x -=A ．31x -B ．3x x -C ．3x x +D ．2x x -25．（2019•天津）计算5x x ⋅的结果等于__________． 26．（2019•绥化）计算：324()m m -÷=__________． 27．（2019•乐山）若392m n ==，则23m n +=__________． 28．（2019•武汉）计算：2324(2)x x x -⋅． 29．（2019•南京）计算：22()()x y x xy y +-+．1．【答案】A【解析】33(2)8a a -=-，故选A ． 2．【答案】D【解析】A 、76x x x ÷=，故此选项错误； B 、224(3)9x x =-，故此选项错误； C 、336x x x ⋅=，故此选项错误； D 、326()x x =，故此选项正确，故选D ． 3．【答案】A【解析】已知等式整理得：x 2-4x -12=x 2+px +q ，可得p =-4，q =-12，故选A ．4．【答案】D【解析】∵x +y -3=0，∴x +y =3，∴2y ·2x =2x +y =23=8．故选D ．5．【答案】C【解析】3n ·（-9）·3n ＋2=-3n ·32·3n ＋2=-32n +4，故选C ．6．【答案】A【解析】原式=4m 2·2m 3=8m 5，故选A ．7．【答案】B 【解析】因为33121444m n m n x y x y x y x --÷==，所以32m -=，10n -=，5m =，1n =，故选B ． 8．【答案】x 5【解析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则可得：（-x ）2x 3=x 2·x 3=x 5．故答案为：x 5． 9．【答案】a 18【解析】（23a a a ⋅⋅）³=（6a ）³=a 18．故答案为：a 18． 10．【答案】241.210⨯【解析】原式=1.2×103×（2.5×1011）×（4×109）=12×1023=1.2×1024．故答案为：1.2×1024． 11．【答案】1b -【解析】（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=（a 2b 3-a 2b 2）÷a 2b 2=a 2b 3÷a 2b 2-a 2b 2÷a 2b 2=1b -．故答案为：1b -． 12．【答案】2【解析】（a m +1b n +2）（a 2n –1b 2m ）=a m +1+2n –1·b n +2+2m =a m +2n ·b n +2m +2=a 5b 3， ∴25223m n n m +=++=⎧⎨⎩，两式相加，得3m +3n =6，解得m +n =2，故答案为：2．13．【解析】（1）原式=2x 2y +3xy -x 2y=x 2y +3xy ．（2）原式=6a 3-27a 2+9a -8a 2+4a=6a 3-35a 2+13a ．（3）原式=21x 4y 3÷（–7x 2y ）–35x 3y ÷（–7x 2y ）+7x 2y 2÷（–7x 2y ）=–3x 2y 2+5xy –y ．14．【解析】（1）原式=x 2-x +2x 2+2x -6x 2+17x -5=（x 2+2x 2-6x 2）+（-x +2x +17x ）-5=-3x 2+18x -5．当x =2时，原式=19．（2）原式=-m 2·m 4·（-m 3）=m 2·m 4·m 3=m 9．当m =-2时，则原式=（-2）9=-512．15．【解析】由题意得×=（3mn ·3）×（–4n 2m 5） =[]526333(4)()()36m m n n m n ⨯⨯-⋅⋅⋅=-．16．【答案】C【解析】A 、2326a a a ⨯=，故本选项错误；B 、844a a a ÷=，故本选项错误；C 、()3133a a --=-，正确；D 、32611()39a a =，故本选项错误，故选C ．17．【答案】A【解析】因为5642333352363341312(3)222a b c a b c a b c ab c ------÷-÷=-=-，故选A ． 18．【答案】2x -40【解析】原式=（x 2+x -42）-（x 2-x -2）=2x -40．故答案为：2x -40．19．【答案】15- 【解析】1()()5x q x ++=211()55x q x q +++，由于展开式中不含x 的项，∴105q +=，∴15q =-．故答案为：15-．20．【解析】因为2x =3，所以2y =6=2×3=2×2x =2x ＋1， 2z =12=2×6=2×2y =2y ＋1．所以y =x +1，z =y +1．两式相减，得y -z =x -y ，所以x +z =2y ．21．【解析】（1）由题意得：（2x -a ）（3x +b ）=6x 2+（2b -3a ）x -ab ，（2x +a ）（x +b ）=2x 2+（a +2b ）x +ab ，所以2b -3a =11①，a +2b =-9②，由②得2b =-9-a ，代入①得-9-a -3a =11，所以a =-5，2b =-4，b =-2．（2）由（1）得（2x +a ）（3x +b ）=（2x -5）（3x -2）=6x 2-19x +10．22．【答案】B【解析】A 、a 2·a 3=a 5，故此选项错误；B 、a 7÷a 3=a 4，正确；C 、（a 3）5=a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2=a 2b 2，故此选项错误，故选B ．23．【答案】C【解析】23533a a a ⋅=，故选C ．24．【答案】B【解析】23(1)x x x x -=-，故选B ．25．【答案】6x【解析】56⋅=x x x ，故答案为：6x ．26．【答案】2m【解析】原式64642m m m m ÷－＝＝＝，故答案为：m 2．27．【答案】4【解析】∵23=9=32=m n n ，∴2233339224+=⨯=⨯=⨯=m n m n m n ，故答案为：4．28．【解析】2324(2)x x x -⋅=668x x -67x =．29．【解析】22()()x y x xy y +-+322223x x y xy x y xy y =-++-+ 33x y =+．。

初中数学整式的乘法(含答案)

第一讲整式乘除1.1 整式的乘法◆赛点归纳整式的乘法包括单项式以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等内容．◆解题指导例1（2001，全国竞赛）若a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111－b），则a 与b•之间的大小关系是（）．A．a>b B．a=b C．a<b D．不能确定【思路探究】由题设易得乘积式111（a－b），若能说明111（a－b）>0，即可比较a•与b的大小．这可利用多项式乘法推得．例2求在展开（5a3－3a2b+7ab2－2b3）（3a2+2ab－3b2）中，a3b2和a2b3的系数．【思路探究】若根据多项式乘以多项式法则直接运算，计算量就比较大；若用竖式计算，就很方便．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？【解】5 -3 7 -1×) 3 2 -3________________________________________________-15 +9 -21 +6+10 -6 +14 -4+) +15 -9 +21 -6___________________________________________________+15 +1 0 +17 -25 +6∴原式=15a5+a4b+17a2b3－25ab4+6b5．因为展开后的多项式没有a3b2项，所以a3b2系数不存在，a2b3的系数为17．例3 （2001，武汉市竞赛）若3x3－x=1，则9x4+12x3－3x2－7x+2001的值等于（）．A．1999 B．2001 C．2003 D．2005【思路探究】显然是无法直接代入求值的，必须将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值就不难了．例4 （2002，黄冈市竞赛）已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x•的绝对值等于3，则x3－（1+m+n+ab）x2+（m+n）·x2001+（－ab）2002的值等于________．【思路探究】要求此多项式的值，显然不能直接运用多项式乘法展开它，由题设可知，多项式（1+m+n+ab）、（m+n）与（－ab）都等于特殊值．例5 （2000，“希望杯”，初二）已知多项式2x2+3xy－2y2－x+8y－6•可以分解为（•x+2y+m）（2x－y+n）的形式，那么3211mn+-的值是______．【思路探究】由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2+3xy－2y2－x+8y－6．•根据多项式恒等的条件可列出关于m、n的二元一次方程组，进而不难求出m、n的值．【拓展题】按下面规则扩充新数：已知a和b两数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c•三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．（1）求按上述规则操作三次得到的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到1999，并说明理由．◆探索研讨在求解整式乘法比较复杂的相关问题时，运用整式乘法法则进行计算或求解相关问题，一般不宜直接运用整式乘法法则，请结合本节例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知m2+m－1=0，那么代数式m3+2m2－1997的值是（）．A．1997 B．－1997 C．1996 D．－19962．若19a+98b=0，则ab是（）．A．正数B．非正数C．负数D．非负数3．（2002，“希望杯”，初二）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（）．A ．M<NB ．M>NC ．M=ND ．不能确定4．（2001，山东省竞赛）某商店经销一批衬衣，进价为每件m•元，•零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，•那么调价后每件衬衣的零售价是（）．A ．m （1+a%）（1－b%）元B ．ma%（1－b%）元C ．m （1+a%）b%元D ．m （1+a%b%）元5．若a=199519951996199619971997,,199619961997199719981998b c ==，则（）． A ．a<b<c B ．b<c<a C ．c<b<a D ．a<c<b6．若n 是奇自然数，a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的负整数，则（）．A ．（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）是正整数B ．（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）是正整数C ．（11a +1）（21a +2） (1)a +n ）是正数 D ．（1－11a ）（2－21a ）…（n －1n a ）是正数 7．（x ，y ）称为数对，其中x ，y 都是任意实数，定义数对的加法，乘法运算如下：（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（x 1+x 2，y 1+y 2），（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）．则不成立的运算规律是（）．A ．乘法交换律：（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 2，y 2）·（x 1，y 1）B ．乘法结合律：（x 1，y 1）（x 2，y 2）·（x 3，y 3）=（x 1，y 1）（（x 2，y 2）·（x 3，y 3））C ．乘法对加法的分配律：（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））D ．加法对乘法的分配律：（x ，y ）+（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））=（（x ，y ）+（x 1，y 1））·（（x ，y ）+（x 2，y 2））8．计算：（3x+9）（2x－5）=________．9．若m=－1998，则│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=______．10．若x3+x2+x+1=0，则y=x97+x98+…+x103的值是_____．11．如果（1－3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么│a1│+│a2│+│a3│+│a4│+│a5│的值为_________．12．已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，则（a+c）（b+c）的值为________．13．已知A，B，C，D为一直线上的顺次四点，且AC=10，BD=8，求AB·CD+BC·AD的值．14．计算：（12+13+…+12002）（1+12+…+12001）－（1－12+…+12002）（12+13+…+12001）．15．在（x2－ax+b）（ax2+x－b）的展开式中，x2的系数是1，x的系数是9，求整数a和b 的值．16．已知3n+11m能被10整除，试证：3n+4+11m+2也能被10整除．答案:解题指导例1 A [提示：∵12345=（111+a ）（111－b ）=1112+111（a －b ）－ab ，∴111（a －b ）=12345－1112+ab=24+ab ．∵a>0，b>0，∴ab>0．∴24+ab>0，即a －b>0，∴a>b ．]例2 a 3b 2的系数为0，a 2b 3的系数为17．例3 D [提示：由已知有3x 3－x －1=0，9x 4+12x 3－3x 2－7x+2001=3x （3x 3－x －1）+4（3x 3－x －1）+2005=2005．若将3x 3－x=1代入，如何求？]例4 28或－26． [提示：∵m 、n 互为相反数，∴m+n=0．∵a 、b 互为负倒数，∴ab=－1．∴x 3－（1+m+n+ab ）x 2+（m+n ）x 2001+（－ab ）2002=x 3－（1+0－1）x 2+0+[－（－1）] 2002=x 3+1=±│x│3+1=28(3),26(3).x x =⎧⎨-=-⎩] 例5 －78． [提示：由题意知（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2－x+8y －6．又（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2+（2m+n ）x+（2n －m ）y+nm ，根据多项式恒等的条件，得3221,2,1728, 3.186.m n m m n m n n mn +=-⎧=-⎧+⎪-==-⎨⎨=-⎩⎪=-⎩解得故．] 【拓展题】（1）第一次只能得到1×4+4+1=9．若要求最大新数，第二次应取4和9，得到4×9+4+9=49．同理，第三次取9和49，得9×49+9+49=499．则499就是扩充三次的最大数．（2）∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）－1，∴c+1=（a+1）（b+1）．取数a和c可得新数d=（a+1）（c+1）－1，∴d+1=（a+1）（c+1）=（a+1）（a+1）（b+1）=（a+1）2（b+1）．取数b和c可得新数e=（b+1）（c+1）－1，k∴e+1=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）=（b+1）2（a+1）．设扩充后的新数为x，则总存在x+1=（a+1）m·（b+1）n（m、n为正整数）．当a=1，b=4时，x+1=2m×5n，又1999+1=2000=24×53，∴1999可以通过上述规则扩充得到．能力训练1．D [提示：由m2+m－1=0，知m2+m=1，∴m3+2m2－1997=m（m2+m）+m2－1997=m+m2－1997=－1996．]2．B [提示：由19a+98b=0，得a=－9819b，ab=9819－b2≤0．]3．B [提示：证明M－N>0．]4．C [提示：由题意知，每件衬衣进价为m元，零售价比进价高a%，•那么零售价是m+ma%元，后又调整为原来零售价的b%出售，那么调整后每件衬衣的零售价为m（1+a%）×b%]5．A [提示：设A=19951995，B=19961996，C=19971997，D=•19981998，•则有B=•A+10001，C=B+10001，D=C+10001．∴（B+10001）（B －10001）=B 2－100012，即C·A=B 2－100012． ∴C·A<B 2．由于B 、C 均为正数，所以1995199519961996,1996199619971997A B B C <<即．同理，可以得到1996199619971997,1997199719981998B C C D <<即．] 6．D [提示：a 1，a 2，…a n 是n 个互不相同的负整数，其中n 是奇自然数，若a 1=－1，a 1+1=0，则（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）=0，排除A ；若a 1=－1，a 2=－2，a 3=－3，…，a n =－n ，则（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）=（－2）（－4）（－6）…（－2n ）=（－1）n 2×4×6×…×（2n ）<0．因为n 是奇数，故排除B ；若a 1=－1，+1=0，则（11a +1）.（21a +2） (1)a +n ）=0，又排除C ．如果运用直接证法，如何证明？]7．D [提示：易见乘法交换律成立．由（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））·（x 3，y 3）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）·（x 3，y 3）=（x 1x 2x 3－y 1y 2x 3－x 1y 2y 3－y 1x 2y 3，x 1x 2y 3－y 1y 2y 3+x 1y 2x 3+y 1x 2x 3=（x 1，y 1）·（x 2x 3－y 2y 3，x 2y 3+y 2x 3）=（x 1，y 1）·（（x 2，y 2）·（x 3，y 3）），知乘法结合律成立．由（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（x ，y ）·（x 1+x 2，y 1+y 2）=（x （x 1+x 2）－y （y 1+y 2），x （y 1+y 2）+y （x 1+x 2））=（xx 1－yy 1，xy 1+yx 1）+（xx 2－yy 2，xy 2+yx 2）=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））．知乘法对加法的分配律成立．由（1，0）+（1，0）·（1，0）=（1，0）+（1，0）=（2，0）≠（2，0）·（2，0）=（（1，0）+（1，0））·（（1，0）+（1，0）），知加法对乘法的分配律不成立．]8．6x2+3x－45．9．20000．[提示：∵m=－1998，∴m+11=－1987，m+22=－1976．∴m2+11m=m（m+11）=1998×1987．∴m2+11m－999>0．∵m2+22m=m（m+22）=1998×1976，∴m2+22m+999>0．∴│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=（m2+11m－999）－（m2+22m+999）+20=11m－999－22m－999+20=－11m－1998+20=（－1998）（－11）－1998+20=20000．]10．－1．[提示：由已知，得x4=1．∴y=x97+x98+…+x103=x97（1+x+x2+x3）+x101（1+x+x2+x3）－x104=－（x4）26=－1．]11．1023．[提示：易知a1，a3，a5均小于0，a2，a4均大于0，取x=－1时，a0－a1+a2－a3+a4－a5=45，∴－a1+a2－a3+a4－a5=1023．]12．－1．[提示：设a+b+c+d=m，a+c=x，b+c=y，则a+d=m－y，b+d=m－x，由已知得x（m－y）=y（m－x），即mx－my=0，∴m（x－y）=0，又a，b，c，d互不相同，①②∴a+c≠b+c ，即x≠y ． ∴m=0．又x （m －y ）=1， ∴－xy=1．故（a+c ）（b+c ）=xy=－1．]13．设BC=x ，则AB=10－x ，CD=8－x ，AD=18－x ．∴AB·CD+BC·AD=（10－x ）（8－x ）+x （18－x ）=80．14．设12+13+…+12001=a ，则原式=（a+12002）（1+a ）－（1+a+12002）a=12002． 15．由条件知1,9.ab b a ab b --=⎧⎨+=⎩ 由①得（a －1）（b －1）=2，因为a 、b 是整数，于是 11,12,11,12,1211121 1.a a a a b b b b -=-=-=--=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=--=-⎩⎩⎩⎩或或或由②检验知a=2，b=3．16．3n+4+11 m+2=3 4×3 n +11 2×11 m =81×3 n +121×11 m =80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）．∵10│80×3 n ，10│120×11 m ，10│3 n +11 m ，∴10│（80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）），即10│（3 n+4 +11 m+2）．。

第一章第05讲整式的乘法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册

第05讲整式的乘法(10类热点题型讲练)1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题；3．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；4．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；5．掌握单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则的应用．知识点01单项式与单项式相乘单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.知识点02单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序.知识点03多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.题型01计算单项式乘单项式题型02利用单项式乘法求字母或代数式的值题型03计算单项式乘多项式及求值【例题】（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）（1）计算：()2232xy xy xy⋅－（2）先化简，再求值：(2)(22)(2)x x x x -+--，其中2x =-．【答案】（1）232246x y x y -；（2）24x -；0【分析】本题考查整式的乘法，化简求解．（1）根据单项式乘多项式的法则计算即可；（2）根据整式的乘法，合并同类项进行计算，再代入求值．【详解】（1）()2232223246xy xy xy x y x y =-⋅－；（2）(2)(22)(2)x x x x -+--()()222242x x x x =----222242x x x x =---+24x =-，当2x =-时，原式()224240x =-=--=．【变式训练】题型04计算多项式乘多项式【例题】（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()342x y x y -+；(2)()()211x x x -++．【答案】(1)22328x xy y +-(2)31x -【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算；（2）根据多项式与多项式的乘法法则计算．【详解】（1）()()342x y x y -+223648x xy xy y =+--22328x xy y =+-（2）()()211x x x -++3221x x x x x =++---31x =-【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：题型05(x+p)(x+q)型多项式乘法题型06已知多项式乘积不含某项求字母的值题型07多项式乘多项式——化简求值1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）化简求值：题型08单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积【例题】（2023上·重庆巴南·七年级校联考期中）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．(1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当5a =，3b =，1c =时阴影部分的面积．(2)记图1中阴影部分周长为m ，图2阴影部分周长之和为n ，判断m n -的值是否与正方形A 、B 、C 的边长有关，若有关请说明理由，若无关，求出m n -的值．【答案】(1)13(2)m n -的值与三个小正方形的边长无关，值为0【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减，解题的关键是掌握运算法则．（1）用长方形的面积减去3个正方形的面积即可；（2）分别求出m ，n 的值相减即可．【详解】（1）由题意知：长方形的长为()a b +，宽为()a c +∴长方形的面积()()a b a c =++∴所以图1中阴影部分的面积222()()S a b a c a b c =++---当5a =，3b =，1c =时，阴影部分的面积222(53)(51)531S =+⨯+---13=（2）图1中阴影部分的周长2()2()242m a b a b c a c =++-+=+图2中阴影部分的周长2()22()42n a c b c a c b a c=-++++-=+0m n ∴-=即m n -的值与三个小正方形的边长无关，值为0．【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为()32m a b +，宽为()2m a b +；另一块长为()m a b +，宽为()m a b -．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为()m a b -的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．(1)求计划种植草坪的面积；(2)已知30a =，10b =，若种植草坪的价格为30元/2m ，求种植草坪应投入的资金是多少元？【答案】(1)计划种植草坪的面积为()2269ma ab +(2)种植草坪应投入的资金是243000元【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键．（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；（2）将a 与b 的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：()()()()322a b a b a b a b ⨯+++⨯-＋，2222672a ab b a b =-＋＋＋2277a ab b =＋＋，栽花面积：()2222a b a ab b --＝＋，草坪面积：()2222277269a ab b a ab b a ab ++--+=＋．（2）30a =，10b =，草坪价格为30元/2m ，应投入的资金()()2269306309301030243000a ab =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=元．2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）如图，一个长方形运动场被分隔成A ，B ，A ，B ，C ，C 共6个区，A 区是边长为m a 的正方形，B 区是边长为m b 的正方形．(1)列式表示每个C 区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含a 、b 的代数式表示）(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含a 、b 的代数式表示）(3)如果30a =，10b =，求整个长方形运动场的面积．【答案】(1)右上方C 区长方形场地的周长为：()42m a b +，左下角C 区长方形场地的周长为：()42m a b +(2)整个长方形运动场的周长为：()4m a b +(3)整个长方形运动场的面积为4000m【分析】本题主要考查整式的混合运算与图形周长、面积的计算，掌握整式的混合运算，代入求值是解题的关键．（1）A 区是边长为m a 的正方形，B 区是边长为m b 的正方形，图形结合即可求解；（2）根据长方形的周长的计算方法，整式的加减运算进行化简即可求解；（3）根据长方形的面积的计算方法列式，代入30a =，10b =计算即可．【详解】（1）解：A 区是边长为m a 的正方形，B 区是边长为m b 的正方形，∴C 区长方形场地的长为：()2m a b +，宽为：()m a b -，∴右上方C 区长方形场地的周长为：()()()2242m a b a b a b ++-⨯=+⎡⎤⎣⎦，左下角C 区长方形场地的周长为：()()()2242m a b a b a b ++-⨯=+⎡⎤⎣⎦．（2）解：由（1）可知，C 区长方形场地的长为：()2m a b +，宽为()m a b -，∴整个长方形运动场的长为：()()222m a b a a b ++=+，宽为：()()2m a b a a b -+=-，∴整个长方形运动场的周长为：()()222282m a b a b a b ++-⨯=+．（3）解：整个长方形运动场的长为：()22m a b +，宽为：()2m a b -，∴整个长方形运动场的面积为：()()22222422a b a b a ab b +⨯-=+-，当30a =，10b =时，原式()22430230102104000m =⨯+⨯⨯-⨯=，∴整个长方形运动场的面积为4000m ．题型09多项式乘法中的规律性问题1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：()1a b +=，它只有一项，系数为1()1a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；()2222a b a ab b +=++，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；()3322333a b a a b ab b +=+++，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……(1)写出()4a b +的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果．(2)()5a b +的展开式的系数分别为______，系数和为______．(3)()na b +展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？【详解】（1）解：如图，根据杨辉三角可知，()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；用整式乘法验证：()4a b +()22a b ⎡⎤=+⎣⎦()2222a ab b =++()()222222a ab b aab b =++++43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b =++++++++432234464a a b a b ab b =++++；故答案为：++++432234a 4a b 6a b 4ab b ．（2）解：如图，根据杨辉三角可知，()543225345510105a a b a b a a a b b b b =++++++，∴()5a b +的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1，∴系数和为：515101051322+++++==；故答案为：1，5，10，10，5，1；52．（3）解：()1a b a b +=+，共有2项，系数分别为1，1，()2222a b a ab b +=++，共有3项，系数分别为1，2，1，()3322333a b a a b ab b +=+++，共有4项，系数分别为1，3，3，1，()4432234464a b a a b a b ab b +=++++，共有5项，系数分别为1，4，6，4，1，…∴()na b +展开式中共有1n +项，令()na b +中1a =，1b =，则()na b +的展开式中的每一项正好是每一项的系数，∴()na b +的展开式中各项的系数和为()112nn +=．故答案为：1n +；2n ．题型10整式乘法混合运算1．（2023下·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）计算：一、单选题1．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）计算22()a a ⋅-的结果是（）A ．32aB ．32-aC ．22a -D ．22a 【答案】B【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意单项式的乘法法则的灵活应用是本题的关键．【详解】解：232()2a a a ⋅-=-，故选B ．2．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）若()()2428x x x mx ++=++，则m 的值是（）A ．6B ．6-C ．8D ．8-【答案】A【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，再比较各项的系数即可得到答案；熟记多项式乘以多项式的运算法则是解本题的关键．【详解】解：∵()()2242688x x x x x mx ++=++=++，则m 的值为6．故选：A ．3．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）下列正确的是（）A ．23263236a b a b a b ⋅=B ．40.000767.610=⨯C ．()2222a a b a ab-+=-+D ．()()2212232x x x x +-=--【答案】D【分析】根据单项式乘单项式，科学记数法，单项式乘以多项式，，多项式乘以多项式的计算法则计算即可．【详解】解：A 、53232236a b a b a b ⋅=，故选项A 错误，不符合题意；B 、40.000767.610-=⨯，故选项B 错误，不符合题意；C 、()2222a a b a ab -+=--，故选项C 错误，不符合题意；D 、()()2212232x x x x +-=--，故选项D 正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，科学记数法，单项式乘以多项式，，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则计算即可．4．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）22(3)(3)x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，则m n 、的值为（）A ． 3m = 6n =B ． 3m =5n =C ．6m =3n =D ．6m =4n =【答案】C【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则先把要求的式子进行整理，再根据多项式展开后不含2x 和3x 的项，得出30,330n m n -=-+=，求出m n 、的值即可．【详解】解：22(3)(3)x nx x x m ++-+43232233393x x mx nx nx mnx x x m=-++-++-+()()()43233393x n x m n x mn x m=+-+-++-+∴30,330n m n -=-+=，解得：3,6n m ==故选：C ．5．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）通过计算比较图中图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（）A ．()a b x ab a -=-B ．()b a x ab bx -=-C ．()()a x b x ab ax bx --=--D ．()()2a xb x ab ax bx x --=--+【答案】D【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式运算等知识点，先根据图1和图2，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键．【详解】解：图1中的阴影部分的面积为()()a x b x --，图2中的阴影部分的面积为2ab ax bx x --+，∴()()2a xb x ab ax bx x --=--+．故选：D ．二、填空题∵2230m m --=，∴223m m =+，223m m -=，∴()()3227323732432232339m m m m m m m m m -+=+-+=-+=-+=⨯+=，故答案为：9．三、解答题11．（2023上·重庆渝北·八年级校联考期中）计算：(1)()223321a b ab ⋅-+；(2)()()22a b a ab b -++．【答案】(1)352263a b a b -+(2)33a b -【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和多项式乘多项式法则．（1）根据单项式乘单项式法则，让单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可；（2）根据多项式乘多项式法则进行计算即可；【详解】（1）解：原式()223223231a b ab a b =⋅-+⋅352263a b a b =-+；（2）原式()()()2222a a a ab a b b a b ab b b=⋅+⋅+⋅+-⋅+-⋅+-⋅32222333a a b ab a b ab b a b =++---=-．12．（2023下·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）计算：(1)()()3227x y xy ⋅-；(2)()()()()21233a a a a +--+-．【答案】(1)757x y -(2)237a a -+【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；（2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】（1）原式()3267x y xy ⋅-=757x y =-；（2）原式222429a a a a =-+--+【分析】（1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于m n 、的方程，解之即可求解；（2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入m n 、值计算即可；本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式32222x x mx mx nx n =-+--+，()()3222x m x m n x n =+--++，∵()22(1)x mx n x +--展开的结果中，不含2x 和x 项，∴20m -=，0m n +=，∴2m =，2n =-；（2）解：()()22m n m mn n -++322223m m n mn m n mn n =++---，33m n =-，把2m =，2n =-代入得，原式()3322=--，()88=--，16=．16．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）如图，在一个长方形空地中，沿它的两个角用栅栏围成两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T ”型的图形（阴影部分）．(1)用含x ，y 的式子表示“T ”型图形的面积并化简；(2)若30y =米，20x =米，计划在“T ”型区域铺上价格为每平方米25元的草坪，请计算草坪的造价．（不考虑其他费用）【答案】(1)225x xy+(2)95000元【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积．(1)小李同学拼成一个宽为()a b +，长为(2)a b +的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（答案直接填写到横线上）；(2)如果用这三种纸片拼出一个面积为(2)(3)a b a b ++的大长方形，求需要A ，(3)利用上述方法，画出面积为22252a ab b ++的长方形，并求出此长方形的周长【答案】(1)22()(2)32a b a b a ab b ++=++这个长方形的周长为：2[(2⨯答：此长方形的周长为6a 18．（2023上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图1，可得等式：(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a b c ++的正方形，从中你发现的结论用等式表示为；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知75a x =-，42b x =-+，c =-ab bc ac ++的值；(3)如图4，拼成AMGN 为大长方形，记长方形ABCD 的面积与长方形EFGH 的面积差为（1）正方形的面积为()2a b c ++，各小块面积总和为：222222a b c ab bc ac +++++，再由面积相等，即可得出答案；（2）由题意可得1a b c ++=，由（1）可得：()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，结合22237a b c ++=可得2137222ab bc ac =+++，进行计算即可得出答案；（3）由图可得：2BC a =，3DE a =，EH CF b ==，从而得出3EF x b a =+-，根据ABCD EFGH S S S =-长方形长方形，表示出()223S a b x b ab =--+，最后由S 的值与CD 无关，可得20a b -=，即可得出答案．【详解】（1）解：由图可得：正方形的面积为()2a b c ++，各小块面积总和为：222222a b c ab bc ac +++++，面积相等，()2222222a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++，故答案为：()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（2）解： 75a x =-，42b x =-+，34c x =-+，()()7542347542341a b c x x x x x x ∴++=-+-++-+=--+-+=，由（1）可得：()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++， 22237a b c ++=，2137222ab bc ac ∴=+++，()236ab bc ac ∴++=-，18ab bc ac ∴++=-；（3）解：由图可得：2BC a =，3DE a =，EH CF b ==，DC x = ，3EF CD CF DE x b a ∴=+-=+-，ABCD EFGH S S S =- 长方形长方形，S CD BC EF EH∴=⋅-⋅()23x a x b a b=⋅-+-⋅223ax bx b ab=--+()223a b x b ab =--+，S 的值与CD 无关，20a b ∴-=，2a b ∴=．。

整式的乘除法(知识解读+真题演练+课后巩固)(解析版)

第02讲整式的乘除法1.掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。

知识点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．知识点3：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．知识点4：单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点5：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是2x3y3．【答案】2x3y3．【解答】解：2x2y•xy2＝2x3y3．故答案为：2x3y3．【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝﹣12x3y2．【答案】﹣12x3y2．【解答】解：（2x）2（﹣3xy2）＝4x2•（﹣3xy2）＝4×（﹣3）•（x2•x）•y2＝﹣12x3y2．故答案为：﹣12x3y2．【变式1-2】（2023春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝﹣6a8b．【答案】﹣6a8b．【解答】解：2（a2）3•（﹣3a2b）＝2a6•（﹣3a2b）＝﹣6a8b．故答案为：﹣6a8b．【变式1-3】（2023春•新城区校级期末）＝﹣3x4y5．【答案】﹣3x4y5．【解答】解：原式＝6×（﹣）•（x•x3）•（y3•y2）＝﹣3x4y5，故答案为：﹣3x4y5．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【答案】﹣20a2．【解答】解：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）＝6a3﹣12a2﹣6a3﹣8a2＝﹣20a2．【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【答案】﹣4x2+18x．【解答】解：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）＝x+2x2+2x﹣6x2+15x＝﹣4x2+18x．【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【答案】﹣6a2+12ab．【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a＝﹣6a2+12ab．【变式2-3】（2022春•平桂区期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【答案】4m3．【解答】解：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）＝m4+m3﹣m4+3m3＝4m3．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【答案】（1）x3﹣3x2+4x﹣12；（2）3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．【解答】解：（1）（x﹣3）（x2+4）＝x3﹣3x2+4x﹣12；（2）（3x2﹣y）（x+2y）＝3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【答案】4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．【解答】解：原式＝4a3+12a2b+10ab2﹣6a2b﹣18ab2﹣15b3＝4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【答案】10﹣7x．【解答】解：原式＝x2﹣7x+10﹣x2＝10﹣7x．【变式3-3】（2023春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【答案】（1）2x6﹣12x5﹣6x4；（2）4x2﹣19．【解答】解：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4＝2x6﹣12x5﹣6x4（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）＝2x2﹣x+8x﹣4+2x2+3x﹣10x﹣15＝4x2﹣19【题型3多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【答案】（1）m＝﹣1，n＝2；（2）7．【解答】解：（1）原式＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n＝2x3+2mx2+nx2+mnx﹣6x﹣3n＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，由于展开式中不含x2项，常数项是﹣6，则2m+n＝0且﹣3n＝﹣6，解得：m＝﹣1，n＝2；（2）由（1）可知：m＝﹣1，n＝2，∴原式＝m3+n3＝（﹣1）3+23，＝﹣1+8＝7．【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【答案】（1）m＝3，n＝8；（2）m3+n3．【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）＝x4﹣3x3+x2+mx3﹣3mx2+mx+nx2﹣3nx+n＝x4+（﹣3+m）x3+（1﹣3m+n）x2+（m﹣3n）x+n，∵展开式中不含x2和x3项，∴﹣3+m＝0，1﹣3m+n＝0，解得：m＝3，n＝8；（2）（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3．【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，求n m的值．【答案】36．【解答】解：（x+m）（x2﹣3x+n）＝x3﹣3x2+nx+mx2﹣3mx+mn＝x3+（﹣3+m）x2+（n﹣3m）x+mn，∵展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，∴n﹣3m＝0，﹣3+m＝﹣1，解得：m＝2，n＝6，∴n m＝62＝36．【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若的积中不含x项与x2项．（1）求p、q的值；（2）求代数式p2022q2023的值．【答案】（1）；（2）3．【解答】解：（1）原式＝＝，∵不含x2项与x项，∴3p﹣1＝0，，∴，q＝3；（2）当，q＝3时，原式＝＝＝12022×3＝1×3＝3．【题型3多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．【答案】（1）（3a2+11ab+6b2）平方米；（2）196平方米．【解答】解：（1）由题意得：S＝（3a+2b）（2a+3b）﹣a（3a+2b）＝6a2+9ab+4ab+6b2﹣3a2﹣2ab＝（3a2+11ab+6b2）平方米；（2）当a＝2，b＝4，S＝3×22+11×2×4+6×42＝196（平方米）．【变式5-1】（2023春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【答案】（1）2a2+3ab+b2；（2）2a2﹣4ab+2b2；（3）20000．【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，答：该长方形空地的面积为2a2+3ab+b2．（2）（a+b﹣2b）（2a+b﹣3b）＝（a﹣b）（2a﹣2b）＝2a2﹣4ab+2b2．答：这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2．（3）当a＝200，b＝100时，这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2＝2×2002﹣4×200×100+2×1002＝20000．即这两个长方形喷泉池的总面积为20000．【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为S1，S2．（1）请通过计算比较S1与S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为S3，试说明代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数．【答案】（1）S1＞S2；（2）代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数20．【解答】解：（1），，∵，∴S1＞S2；（2）由题意得：正方形的边长是：，∴，∵＝4m2+24m+36﹣2m2﹣12m﹣16﹣2m2﹣12m＝20，∴代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数20．【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要多少元？【答案】（1）（3a2+2ab+4b2）平方米；（2）5750元．【解答】解：（1）（3a+2b）（2a+b）﹣（a+2b）（3a﹣b）＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣（3a2﹣ab+6ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣3a2+ab﹣6ab+2b2＝（3a2+2ab+4b2）平方米．故铺设地砖的面积为（3a2+2ab+4b2）平方米；（2）当a＝3，b＝4时，原式＝3×32+2×3×4+4×42＝3×9+24+4×16＝27+24+64＝115，则115×50＝5750（元）．答：完成铺设地砖需要5750元．【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；（3）如图所示：故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填写到横线上）；（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；（3）利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【答案】（1）（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张；（3）6a+6b．【解答】解：（1）图2是长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），图2是6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2，因此（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，∵A纸片的面积为a2，B纸片的面积为b2，C纸片的面积为ab，∴A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张；（3）由于2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），因此可以拼成长为（2a+b），宽为（a+2b）的长方形，如图所示：这个长方形的周长为：2×[（2b+a）+（2a+b）]＝6a+6b，答：此长方形的周长为6a+6b．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵长方形的面积＝长×宽，∴图3的面积＝（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，故图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）∵图形面积为：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，∴长方形的面积＝长×宽＝（a+b）（a+3b），由此可画出的图形为：【题型4单项式除法运算】【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝2xy．【答案】2xy．【解答】解：原式＝8x3y÷4x2＝2xy，故答案为：2xy．【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝2x．【答案】2x．【解答】解：原式＝2x，故答案为：2x．【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝﹣4a2．【答案】﹣4a2．【解答】解：﹣28a3÷7a＝﹣4a2，故答案为：﹣4a2．【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝3a．【答案】3a．【解答】解：6a2b÷2ab＝3a，故答案为：3a．【变式7-4】（2023•城阳区三模）＝﹣a4b5．【答案】﹣a4b5【解答】解：﹣a6b7÷（a2b2）＝[﹣÷（）]•a6﹣2b7﹣2＝﹣a4b5，答案为：﹣a4b5【题型5多项式除法运算】【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．【答案】4a2﹣2a+1，原式＝7．【解答】解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a＝4a2﹣2a+1，当a＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+1＝4×1+2+1＝4+2+1＝7．【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【答案】b2﹣2ab+1．【解答】解：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab＝ab3÷ab﹣2a2b2÷ab+ab÷ab＝b2﹣2ab+1．【变式8-2】（2023春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【答案】﹣5x2y2+4y3+1．【解答】解：原式＝15x4y2÷（﹣3x2）﹣12x2y3÷（﹣3x2）﹣3x2÷（﹣3x2）＝﹣5x2y2+4y3+1；【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．【答案】﹣a3b+3ab2c．【解答】解：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）＝（2a4b3c﹣6a2b4c2）÷（﹣2ab2c）＝﹣a3b+3ab2c．1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+6ab+2ab+2b2＝6a2+8ab+2b2，∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．故选：C．2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a【答案】B【解答】解：原式＝a2+2a﹣2a＝a2．故选：B．3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab【答案】D【解答】解：2a（a2+2b）＝2a•a2+2a•2b＝2a3+4ab．故选：D．4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2【答案】A【解答】解：a（a﹣2）+4a＝a2﹣2a+4a＝a2+2a，故选：A．5．（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）．又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝5，②log327＝3，③log71＝0；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．【答案】（1）5，3，0；（2）见解答；（3）2．【解答】解：（1）log232＝log225＝5，log327＝log333＝3，log71＝log770＝0；故答案为：5，3，0；（2）证明：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴＝＝a m﹣n，由对数的定义得m﹣n＝log a，又∵m﹣n＝log a M﹣log a N，∴log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）原式＝log5（125×6÷30）＝log525＝2．1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，共需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张【答案】A【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．则需要C类卡片张数为3张，故选：A．2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b【答案】D【解答】解：根据题意，得纸盒底部长方形的宽为＝4a，∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b．故选：D．3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（）A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x【答案】D【解答】解：x（x﹣2）+4x＝x2﹣2x+4x＝x2+2x．故选：D．4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（）A．a2+5ab+5b2B．a2+5ab+6b2C．a2+5b2D．a2+6b2【答案】B【解答】解：原式＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，故选：B．5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0C．q+3p＝0D．q＝3p【答案】C【解答】解：（x2﹣px+q）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣px2+3px+qx﹣3q＝x3+（﹣p﹣3）x2+（3p+q）x﹣3q，∵结果不含x的一次项，∴q+3p＝0．故选：C．6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分别是（）A．4，﹣3B．﹣7，4C．﹣5，18D．4，7【答案】D【解答】解：∵（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，∴x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+mx﹣21，即x2+（n﹣3）x﹣3n＝x2+mx﹣21，∴n﹣3＝m，﹣3n＝﹣21，∴m＝4，n＝7，故选：D．7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不含x2项，则a的值是（）A．2B．C．0D．﹣2【答案】A【解答】解：（x2+ax）（x﹣2）＝x3﹣2x2+ax2﹣2ax＝x3+（a﹣2）x2+ax2﹣2ax由题意得，a﹣2＝0，解得a＝2，故选：A．8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣5C．5D．1【答案】A【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，∴m＝﹣3，n＝2，∴m+n＝﹣1，故选：A．9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：（1）x2•（﹣2xy2）3；（2）（2m+1）•．【答案】（1）﹣8x5y6；（2）﹣2m3﹣m﹣1．【解答】解：（1）x2•（﹣2xy2）3＝x2•（﹣8x3y6）＝﹣8x5y6；（2）（2m+1）•＝﹣2m3+m2﹣2m﹣m2+m﹣1＝﹣2m3﹣m﹣1．10．（2022秋•河北区期末）计算：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；（2）（2x+1）（x﹣2）．【答案】（1）﹣6a6；（2）2x2﹣3x﹣2．【解答】解：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3＝a6+a6﹣8a6＝﹣6a6；（2）（2x+1）（x﹣2）＝2x2﹣4x+x﹣2＝2x2﹣3x﹣2．11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）【答案】见试题解答内容【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣6x+x﹣3＝2x2﹣5x﹣3．12．（2022春•临湘市校级月考）计算：（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；（2）（x﹣1）（x2+x+1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝﹣8a6b3+8a6b3＝0；（2）原式＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1．13．（2022秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝（5a2+3ab）平方米．则绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；（2）当a＝10，b＝8时，原式＝500+240＝740（平方米），740×100＝74000（元）．故绿化需要74000元费用．14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m）x2+mnx，根据展开式中不含x2和x3项得：，解得：．故m的值是3，n的值是9．15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？（3）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？【答案】见试题解答内容＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2【解答】解：（1）S通道＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2＝（6ab+5b2）（平方米）．答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米；＝（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2）（2）S草坪＝8a2+6ab+12ab+9b2﹣（2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2）＝8a2+18ab+9b2﹣6ab﹣5b2＝（8a2+12ab+4b2）（平方米）．答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米；＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2]（3）S草坪＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2）＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2＝8a2+10ab+2b2，∵a＝2b，∴32b2+20b2+2b2＝54b2＝216，∴b2＝4，∴b＝2（米）．答：通道的宽度是2米．16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝2m﹣1（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．【答案】（1）2m﹣1；（2）①2m+7；②S3与2（S1+S2）的差是常数19．【解答】解：（1）S1﹣S2＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）﹣（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7﹣m2﹣2m﹣4m﹣8＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）①根据题意得：4x＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2），解得：x＝2m+7，答：x的值为2m+7；②∵S1+S2＝（m+7）（m+1）+（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）+（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8＝2m2+14m+15，∴S3﹣2（S1+S2）＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15）＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30＝19，答：S3与2（S1+S2）的差是常数19．。