自然数的整除

1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证
明，得出了一个结论：任何一个足够大的偶数，都可以 表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是 9个奇质数之和。。这种缩小包围圈的办法很管用，科 学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数
因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，
这样就证明了"哥德巴赫"。 在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称"s + t "问题)之进展 情况如下:
如：3是18的质因数，而6虽然是18的因数但不是18的质因数；但18可以分解成质因数 乘积2×3×3。 作为特例，一个质数的质因数分解就是这个质数本身。所以“只有合数才能分解成质 因数”的说法是错误的。
二、定理
1、定理5：任何一个大于1的整数都可以分解质因数。 2、定理6（算术基本定理）：一个大于1的整数， 如果不管质因数的次序， 那么，分解质因数的 结果是唯一的。
年份 1920年 1924年 1932年 1937年 1938年 1940年 1948年 1956年
国家 挪威 德国 英国 意大利 苏联 苏联 匈牙利 中国
姓名 布朗 拉特马赫 埃斯特曼 蕾西 布赫 夕太勃 布赫 夕太勃 瑞尼 王元
理论 "9 + 9 " "7 + 7 " "6 + 6 " "5 + 7 ", "4 + 9 ", "3 + 15 "和"2 + 366 " "5 + 5 " "4 + 4 " "1 + c "，其中c是一很 大的自然 数 "3 + 4 "
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整除、倍数和因数 带余除法 数的奇偶 质数、合数 质数的判断
分解质因数
质数、合数 一、定义
自然数分类可以分为质数和合数两类 1、质数的定义：在大于1的自然数中，如果只有两个因数—— 即1和该数本身，这样的自然数叫做质数（或素数） 。 如：2,3,5,7,11,17 2、合数的定义：如果有两个以上的因数——即1和该 数本身外，还有其他因数，这样的自然数叫做合数。 如：4,6,8,9,10,15
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分解质因数
带余除法 一、定义
1、定义：整数a除以整数b，如果除尽，即余数为0，那么称 为整除。如果除不尽，余数不为0，就称为带余除法。一般地
记为：
a ÷ b=q(余数r<b)。 2、定理1 整除的传递性：a | b, b | c 则 a | c.
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分解质因数
质数的判断
一、查表法（希腊学者埃拉斯托尼）
二、试除法
例如：判断197是否是质数。 可以用2、3、5、7、11等小于(197)
½ 的质数去试除。
最大素数（长达17,425,170 位）：
257885161-1
如果你一秒钟写一个数字，每 天写12小时，那么只要403天 就可以写完这个质数了。
三、倍和倍数的概念，可推广到有理数和实数范围
值得注意的是，在小学范围内，教学因数和倍数只在 整数范围内讨论，学生可以说“18是3和6的倍数”，但是 不能说“18是4的倍数”。这是受小学生知识水平的限制， 在教学时将讨论的范围缩小了。 但是实际上，倍和倍数的概念，是可以推广到有理数 和实数范围内的。例如18÷4=4.5 ，我们可以说18是4的 4.5倍。为避免概念混淆，我们在说到“倍数”时，指的 是二者间有倍数关系，而不提多少倍。 例如，我们可以说18是4的倍数，也可以说 “18是4的4.5倍”， 但是不会说“18是4的4.5倍数”。
二、整除与除尽
整பைடு நூலகம்域
余数为零且商为整 数，所以这个式子 整除与除尽一样。 18÷3=6 是整除的，同时也 是除尽了的。
实数域
因为商不是整数，所以不能说 18÷4=4.5 是整除，但因为在这个除法里， 整除与除尽却不一样。 它的余数也为零，所以这个式 子里的除法也是除尽了的
考虑到学生的接受能力，在我们的小学数学教材里
例如，把21600分解质因数。 解：21600=216×100 =9×24×100 =9×3×8×4×25 =3²×3×2³×2²×5² = 25×3³×5²
质因数分解和密码 质因数的应用：
据2006年9月2日新华网报道（记者 钱铮） 目前在安装通用芯片的计算机上对200位左 右的数字进行质因数分解是不可能的。但是， 对于采用300位以上的数字的标准的公开密 钥，解开这种密码需要上亿台新型专用并行 计算机，因而实际上还不可能。不过，世界 上许多数学家都在加入设置密码和破译密码 的竞赛。
“1”、“0”既不是质数，也不是合数
（1）“1”：后面讨论质因数分解时，1不作为质数，就 可以保证一个合数分解质因数是唯一的。 （2）“0”：因为0=0 ×1 ×2 ×….. ×n，有无限多个因数， 不便于讨论。
总结：自然数可以按其因数有1个、2个、有限 多个和无数个，划分为1、质数、合数和0四类。
哥德巴赫猜想：
公元1742年6月7日哥德巴赫写信给 当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜 想： (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表 示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以 表示成三个奇质数之和。 (与现今表达有出入，原因是哥德巴赫认 为1也是素数，参见书信复印件的图示)。 欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证 明。
二、定理
定理3：大于1的任何整数，至少有一个因数是质数。 证：（1）如果a是质数：由于a是它本身的因数 （2）如果a是合数：那么a除1和a外，一定有其他的因数。
定理4：质数有无限多个。 证（反证法）：假设只有有限个质数，记为p1，p2，p3，….,Pn， 构造p=p1 ×p2 ×p3 ×…. ×Pn+1，显然p大于1且p>pi（i=1,2， 3，…,n）。因而我们只要证明p是质数，即可得出假设错误，从而 证明质数的个数是无限的。 假定p是合数，由定理3可知，p至少有一个因数q是质数，根 据假设这个q必定是p1，p2，p3，….,Pn中的一个，因而q/p1 ×p2 ×p3 ×…. ×Pn，而1不可能是质数q的倍数，这只能说明p不是合数， 而是质数。
的
自然 整
数
除
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分解质因数
整除、倍数和因数 一、定义
1、整除的定义：对于整数a和整数b，如果存在一个整数k， 使得a=b·k，那么就说a能被b整除，记作b|a。它的意义是a恰
好能被b除尽，且商是整数。 2、倍数和因数的定义：如果整数a能被自然数b整除，商为k， 那么称a是b的倍数，也称为b的k倍；b叫做a的因数（有时也 叫做a的约数）。 例如，15能被3整除，15是3的倍数，3是15的因数。 18能被3整除，而不能被4整除。
“ 0 ”是偶数。 由于 0 能被一切自然数整除，
哥德巴赫
克里斯蒂安·哥德巴赫 ChristianGoldbach (1690－1764）
又译歌德巴赫，普鲁士数学家，他在数学 上的研究以数论为主。哥德巴赫并不是职业数 学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他 生于德国哥尼斯堡，曾在英国牛津大学学习， 原学法学。他喜欢到处旅游，结交数学家，然 后跟他们通讯，如：莱布尼茨、莱昂哈德·欧 拉和尼古拉斯·伯努利等人。在欧洲各国访问 期间结识了伯努利家族，对数学研究产生了兴 趣。1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学 院院士；1725年～1740年担任彼得堡科学院 会议秘书；1728年起担任俄国沙皇彼得二世 的中学 教师；1742年移居莫斯科，并在俄国外交部 任职， 他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜 想——哥德巴赫猜想。
分解质因数的方法
（1）先根据数的特征，求出这个数的最小质因数； （2）以这个质因数为除数用短除法求商； （3）商如果仍然是合数，就继续除下去，直到商是质 数为止； （4）把各个除数以及最后的商写成连乘的形式。
例如，把2310分解质因数。 解：2310=2×3×5×7×11
分解质因数的关键是对质数的判断，对于不大的合数进行分解 质因数时，可以随时查阅质数表。 如果容易看出要分解的数是某些数的乘积，那么可以先把它写 成某些数的乘积的形式。再把乘积中的数分别进行分解，最后把所 得的全部质因数连乘起来。
整除、倍数和因数 带余除法 数的奇偶 质数、合数 质数的判断
分解质因数
数的奇偶 一、定义
自然数分类可以分为奇数和偶数两类 1、偶数的定义：偶数指能被2整除的数，如0,2,4,6，···。
记作2n(n为整数)。
2、奇数的定义：奇数指不能被2整除的数（即余数为1）， 如1,3,5,7，···。记作2n+1(n为整数)。 每个整数不是偶数，就是奇数，二者必居其一。
密苏里州中央大学（University of Central Missouri）的数学家 Curtis Cooper
整除、倍数和因数 带余除法 数的奇偶 质数、合数 质数的判断
分解质因数
分解质因数 一、定义
若一个数的某一个因数是质数，这个因数叫叫做这个数的质因数。 把一个数用若干个质因数的乘积的形式来表示叫做质因数分解。
面没有出现“整除”和“除尽”两个概念，但是学生必
须学会判断一个除法算式是否整除。在教学中我们这样 对学生进行说明：在小学范围内，整除只在整数范围内 考虑，要求除法算式的被除数、除数、商都是整数，这 样的除法算式才是整除。
整除时，我们说余数是0.口头上有时把“余数是0”
说成“没有余数”，那是不准确的说法，因为“0”是 数，当然也可以是余数。
数学史研究表明：
数的最早分类就是奇偶。 我国三千多年前的一块甲骨文（编号
6422）上，就有两列奇偶数。
奇数和偶数是数学专业名词。普通名词称为“单 数”和“双数”，意思是一样的。习惯上只在正数时
使用单数和双数的说法。因此，单（双）数一定是奇
（偶）数，反之则不然，如不能把 ﹣2称为双数。
当然也能被 2 整除，因而符合偶数的定义。从自然 数列： 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、……中奇数、偶数 的排列关系来看，“ 0 ”的位置恰好是第一个偶数。 数的奇偶性它关注的重点并不是奇数与偶数值得 大小、多少，而是他们本身具有的特性。也正因为数 的奇偶性只是自然数内部的一种数学属性，教学时不 必刻意地将其“生活化”或“情境化”。纯粹数学地 阐述，小学生能够理解掌握。所有偶数都可以由2 生成（2n），而所有的奇数都由2n+1生成。
1957年 1962年
1962年 1965年 1966年
中国 中国、苏联
中国 苏联、意大 利 中国
王元 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩
王元 苏联的布赫 夕太勃和小维诺格 拉多夫，及 意大利的朋比利 陈景润
"3 + 3 "和 "2 + 3 " "1 + 5 "
"1 + 4 " "1 + 3 " "1 + 2 "
是整数）。
（2n-1）2+(2n+1)2+(2n+3)2+1=12(n2+n+1) 所以， 12|[（2n-1）2+(2n+1)2+(2n+3)2+1]。 又 n2+n+1=n(n+1)+1, 而 n,n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，
所以n(n+1)是偶数，从而n2+n+1是奇数，
故24不能整除[（2n-1）2+(2n+1)2+(2n+3)2+1]。
3、定理2 有余数除法的两个整除性质： （1）a ÷ b=q(余r)。d | a, d | b 则 d | r. （2）a ÷ b=q(余r)。d | a, d | r 则 d | b.
例：
求证：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但 不能被24整除。
证：设三个连续的奇数分别为2n-1,2n+1,2n+3（其中n