自然数的整除

三、倍和倍内，教学因数和倍数只在 整数范围内讨论，学生可以说“18是3和6的倍数”，但是 不能说“18是4的倍数”。这是受小学生知识水平的限制， 在教学时将讨论的范围缩小了。 但是实际上，倍和倍数的概念，是可以推广到有理数 和实数范围内的。例如18÷4=4.5 ，我们可以说18是4的 4.5倍。为避免概念混淆，我们在说到“倍数”时，指的 是二者间有倍数关系，而不提多少倍。 例如，我们可以说18是4的倍数，也可以说 “18是4的4.5倍”， 但是不会说“18是4的4.5倍数”。
整除、倍数和因数 带余除法 数的奇偶 质数、合数 质数的判断
分解质因数
数的奇偶 一、定义
自然数分类可以分为奇数和偶数两类 1、偶数的定义：偶数指能被2整除的数，如0,2,4,6，···。
记作2n(n为整数)。
2、奇数的定义：奇数指不能被2整除的数（即余数为1）， 如1,3,5,7，···。记作2n+1(n为整数)。 每个整数不是偶数，就是奇数，二者必居其一。
整除、倍数和因数 带余除法 数的奇偶 质数、合数 质数的判断
分解质因数
质数的判断
一、查表法（希腊学者埃拉斯托尼）
二、试除法
例如：判断197是否是质数。 可以用2、3、5、7、11等小于(197)
½ 的质数去试除。
最大素数（长达17,425,170 位）：
257885161-1
如果你一秒钟写一个数字，每 天写12小时，那么只要403天 就可以写完这个质数了。
的
自然 整
数
除
整除、倍数和因数 带余除法 数的奇偶 质数、合数 质数的判断
分解质因数
整除、倍数和因数 一、定义
1、整除的定义：对于整数a和整数b，如果存在一个整数k， 使得a=b·k，那么就说a能被b整除，记作b|a。它的意义是a恰
好能被b除尽，且商是整数。 2、倍数和因数的定义：如果整数a能被自然数b整除，商为k， 那么称a是b的倍数，也称为b的k倍；b叫做a的因数（有时也 叫做a的约数）。 例如，15能被3整除，15是3的倍数，3是15的因数。 18能被3整除，而不能被4整除。
哥德巴赫猜想：
公元1742年6月7日哥德巴赫写信给 当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜 想： (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表 示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以 表示成三个奇质数之和。 (与现今表达有出入，原因是哥德巴赫认 为1也是素数，参见书信复印件的图示)。 欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证 明。
分解质因数的方法
（1）先根据数的特征，求出这个数的最小质因数； （2）以这个质因数为除数用短除法求商； （3）商如果仍然是合数，就继续除下去，直到商是质 数为止； （4）把各个除数以及最后的商写成连乘的形式。
例如，把2310分解质因数。 解：2310=2×3×5×7×11
分解质因数的关键是对质数的判断，对于不大的合数进行分解 质因数时，可以随时查阅质数表。 如果容易看出要分解的数是某些数的乘积，那么可以先把它写 成某些数的乘积的形式。再把乘积中的数分别进行分解，最后把所 得的全部质因数连乘起来。
整除、倍数和因数 带余除法 数的奇偶 质数、合数 质数的判断
分解质因数
质数、合数 一、定义
自然数分类可以分为质数和合数两类 1、质数的定义：在大于1的自然数中，如果只有两个因数—— 即1和该数本身，这样的自然数叫做质数（或素数） 。 如：2,3,5,7,11,17 2、合数的定义：如果有两个以上的因数——即1和该 数本身外，还有其他因数，这样的自然数叫做合数。 如：4,6,8,9,10,15
如：3是18的质因数，而6虽然是18的因数但不是18的质因数；但18可以分解成质因数 乘积2×3×3。 作为特例，一个质数的质因数分解就是这个质数本身。所以“只有合数才能分解成质 因数”的说法是错误的。
二、定理
1、定理5：任何一个大于1的整数都可以分解质因数。 2、定理6（算术基本定理）：一个大于1的整数， 如果不管质因数的次序， 那么，分解质因数的 结果是唯一的。
例如，把21600分解质因数。 解：21600=216×100 =9×24×100 =9×3×8×4×25 =3²×3×2³×2²×5² = 25×3³×5²
质因数分解和密码 质因数的应用：
据2006年9月2日新华网报道（记者 钱铮） 目前在安装通用芯片的计算机上对200位左 右的数字进行质因数分解是不可能的。但是， 对于采用300位以上的数字的标准的公开密 钥，解开这种密码需要上亿台新型专用并行 计算机，因而实际上还不可能。不过，世界 上许多数学家都在加入设置密码和破译密码 的竞赛。
二、整除与除尽
整数域
余数为零且商为整 数，所以这个式子 整除与除尽一样。 18÷3=6 是整除的，同时也 是除尽了的。
实数域
因为商不是整数，所以不能说 18÷4=4.5 是整除，但因为在这个除法里， 整除与除尽却不一样。 它的余数也为零，所以这个式 子里的除法也是除尽了的
考虑到学生的接受能力，在我们的小学数学教材里
数学史研究表明：
数的最早分类就是奇偶。 我国三千多年前的一块甲骨文（编号
6422）上，就有两列奇偶数。
奇数和偶数是数学专业名词。普通名词称为“单 数”和“双数”，意思是一样的。习惯上只在正数时
使用单数和双数的说法。因此，单（双）数一定是奇
（偶）数，反之则不然，如不能把 ﹣2称为双数。
当然也能被 2 整除，因而符合偶数的定义。从自然 数列： 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、……中奇数、偶数 的排列关系来看，“ 0 ”的位置恰好是第一个偶数。 数的奇偶性它关注的重点并不是奇数与偶数值得 大小、多少，而是他们本身具有的特性。也正因为数 的奇偶性只是自然数内部的一种数学属性，教学时不 必刻意地将其“生活化”或“情境化”。纯粹数学地 阐述，小学生能够理解掌握。所有偶数都可以由2 生成（2n），而所有的奇数都由2n+1生成。
是整数）。
（2n-1）2+(2n+1)2+(2n+3)2+1=12(n2+n+1) 所以， 12|[（2n-1）2+(2n+1)2+(2n+3)2+1]。 又 n2+n+1=n(n+1)+1, 而 n,n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，
所以n(n+1)是偶数，从而n2+n+1是奇数，
故24不能整除[（2n-1）2+(2n+1)2+(2n+3)2+1]。
整除、倍数和因数 带余除法 数的奇偶 质数、合数 质数的判断
分解质因数
带余除法 一、定义
1、定义：整数a除以整数b，如果除尽，即余数为0，那么称 为整除。如果除不尽，余数不为0，就称为带余除法。一般地
记为：
a ÷ b=q(余数r<b)。 2、定理1 整除的传递性：a | b, b | c 则 a | c.
面没有出现“整除”和“除尽”两个概念，但是学生必
须学会判断一个除法算式是否整除。在教学中我们这样 对学生进行说明：在小学范围内，整除只在整数范围内 考虑，要求除法算式的被除数、除数、商都是整数，这 样的除法算式才是整除。
整除时，我们说余数是0.口头上有时把“余数是0”
说成“没有余数”，那是不准确的说法，因为“0”是 数，当然也可以是余数。
“ 0 ”是偶数。 由于 0 能被一切自然数整除，
哥德巴赫
克里斯蒂安·哥德巴赫 ChristianGoldbach (1690－1764）
又译歌德巴赫，普鲁士数学家，他在数学 上的研究以数论为主。哥德巴赫并不是职业数 学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他 生于德国哥尼斯堡，曾在英国牛津大学学习， 原学法学。他喜欢到处旅游，结交数学家，然 后跟他们通讯，如：莱布尼茨、莱昂哈德·欧 拉和尼古拉斯·伯努利等人。在欧洲各国访问 期间结识了伯努利家族，对数学研究产生了兴 趣。1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学 院院士；1725年～1740年担任彼得堡科学院 会议秘书；1728年起担任俄国沙皇彼得二世 的中学 教师；1742年移居莫斯科，并在俄国外交部 任职， 他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜 想——哥德巴赫猜想。
“1”、“0”既不是质数，也不是合数
（1）“1”：后面讨论质因数分解时，1不作为质数，就 可以保证一个合数分解质因数是唯一的。 （2）“0”：因为0=0 ×1 ×2 ×….. ×n，有无限多个因数， 不便于讨论。
总结：自然数可以按其因数有1个、2个、有限 多个和无数个，划分为1、质数、合数和0四类。
3、定理2 有余数除法的两个整除性质： （1）a ÷ b=q(余r)。d | a, d | b 则 d | r. （2）a ÷ b=q(余r)。d | a, d | r 则 d | b.
例：
求证：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但 不能被24整除。
证：设三个连续的奇数分别为2n-1,2n+1,2n+3（其中n
30
1957年 1962年
1962年 1965年 1966年
中国 中国、苏联
中国 苏联、意大 利 中国
王元 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩
王元 苏联的布赫 夕太勃和小维诺格 拉多夫，及 意大利的朋比利 陈景润
"3 + 3 "和 "2 + 3 " "1 + 5 "
"1 + 4 " "1 + 3 " "1 + 2 "
年份 1920年 1924年 1932年 1937年 1938年 1940年 1948年 1956年
国家 挪威 德国 英国 意大利 苏联 苏联 匈牙利 中国
姓名 布朗 拉特马赫 埃斯特曼 蕾西 布赫 夕太勃 布赫 夕太勃 瑞尼 王元
理论 "9 + 9 " "7 + 7 " "6 + 6 " "5 + 7 ", "4 + 9 ", "3 + 15 "和"2 + 366 " "5 + 5 " "4 + 4 " "1 + c "，其中c是一很 大的自然 数 "3 + 4 "
1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证
明，得出了一个结论：任何一个足够大的偶数，都可以 表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是 9个奇质数之和。。这种缩小包围圈的办法很管用，科 学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数
因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，
这样就证明了"哥德巴赫"。 在陈景润之前，关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称"s + t "问题)之进展 情况如下:
密苏里州中央大学（University of Central Missouri）的数学家 Curtis Cooper
整除、倍数和因数 带余除法 数的奇偶 质数、合数 质数的判断
分解质因数
分解质因数 一、定义
若一个数的某一个因数是质数，这个因数叫叫做这个数的质因数。 把一个数用若干个质因数的乘积的形式来表示叫做质因数分解。
二、定理
定理3：大于1的任何整数，至少有一个因数是质数。 证：（1）如果a是质数：由于a是它本身的因数 （2）如果a是合数：那么a除1和a外，一定有其他的因数。
定理4：质数有无限多个。 证（反证法）：假设只有有限个质数，记为p1，p2，p3，….,Pn， 构造p=p1 ×p2 ×p3 ×…. ×Pn+1，显然p大于1且p>pi（i=1,2， 3，…,n）。因而我们只要证明p是质数，即可得出假设错误，从而 证明质数的个数是无限的。 假定p是合数，由定理3可知，p至少有一个因数q是质数，根 据假设这个q必定是p1，p2，p3，….,Pn中的一个，因而q/p1 ×p2 ×p3 ×…. ×Pn，而1不可能是质数q的倍数，这只能说明p不是合数， 而是质数。