用不动点法求数列通项的一点几何意义

用不动点法求数列通项的一点几何意义

用不动点法求数列通项的一点几何意义猜想

孟剑卫（江苏省东海高级中学，江苏东海）定义；方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。利用递推数列f（x）的不动点,可将某些递推关

系a

n =￡(a

n-1

)所确定的数列化为等比数列或较易

求通项的数列，这种方法叫不动点法。

对于这个方法有几个重要定理，若只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。

下面笔者对这几个定理予以几何解释：

定理1：若f(x)=ax+b(a≠0,a≠1)，p是f(x)的

不动点，a

n 满足递推关系a

n

=￡(a

n-1

),(n>1)则

a n-P=a(a n-1-p),即{ a n-P }是公比为a的等比数列。它的代数证明如下：

证明：因为p是f（x）的不动点,所以ap+b=p,

所以b-p=-ap,由a

n =a.a

n-1

+b得a

n

-p=a.

a

n-1+b-p=a(a

n-1

-p),所以{ a

n-P

}是公比为a的等

比数列。

对这一定理的几何意义如下：

f(x)=x,即 f(x)与g(x)=X的交点一目了然，

a

n -p /a

n-1

-p 即为 f(x)的斜率a。

上面是【文1】给出的纯代数证明，下面看看它所蕴含的几何意义。

与定理一的几何意义相似，表示的是两条直线的的斜率相比是定值k,但怎么证明笔者尚未想到简便的方法，只能从上面的代数方法借鉴。第二种情况也是如

此，a

n -p/a

n-1

-p+k(a

n

-p)=1.如下图，由于笔者能力有限，尚未发现几何证法。

上面几个定理笔者暂且不再进行证明，在此只提出一种理想化的构思，见谅。

参考文献1胡贵平《用不动点法求数列通项》[J]

2胡良星用不动点法求数列通项[J] 《中学数学研究》 2000年第7期