2020年八年级数学下册 四边形综合题 重难点培优练习(含答案)

2020年八年级数学下册四边形综合题
重难点培优练习
1.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；
同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥
BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD，BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不需要证明）
3.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→D→C→B的路径运动．设点P运动的路程为x，
△PAB的面积为y．图2反映的是点P在A→D→C运动过程中，y与x的函数关系．请根据图象回答以下问题：
（1）矩形ABCD的边AD= ，AB= ；
（2）写出点P在C→B运动过程中y与x的函数关系式，并在图2中补全函数图象．
4.在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．
(1)如图1，当点E与点B重合时，∠CEF= °；
(2)如图2，连接AF．
①填空：∠FAD ∠EAB(填“＞”，“＜“，“=”)；
②求证：点F在∠ABC的平分线上；
(3)如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．
5.如图，两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系
（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件：请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你画出图形，此时CG与CF有何数量关系.
6.菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP.
（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD=4，连接AP，求AP的长.
（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN.试判断△MON的形状，并说明理由.
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，
交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE.
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
8.如图，在在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从
A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB 向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t 秒，回答下列问题：
（1）BC= cm；
（2）当t= 秒时，四边形PQBA成为矩形．
（3）当t为多少时，PQ=CD？
（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
9.如图1，已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则易证：EG=FH．
（1）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2，BC=3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，
FH的长为（如图3），试求EG的长度．
10.如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于
点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．
11.如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将
线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG.
(1)证明：四边形CEFG是菱形；
(2)若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积；
(3)试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时，BG=CG，请写出你的探究过程．
12.四边形ABCD是正方形，点E在边BC上（不与端点B、C重合），点F在对角线AC上，且EF ⊥AC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG
（1）若AB=7，
BE=，求FG的长；
（2）求证：DF=FG；
（3）将图1中的△CEF绕点C按顺时针旋转，使边CF的顶点F恰好在正方形ABCD的边BC上（如图2），连接AE、点G仍是AE的中点，猜想BF与FG之间的数量关系，并证明你的猜想．
13.△ABC和△DEF都是边长为6cm的等边三角形，且A、D、B、F在同一直线上，连接CD、BF．
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）若AD=2cm，△ABC沿着AF的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动的时间为t秒．（a）当t为何值时，平行四边形BCDE是菱形？说明理由；
（b）平行四边形BCDE有可能是矩形吗？若有可能，求出t的值，并求出矩形的面积；若不可能，说明理由．
14.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD的中点时,有AF=DE,AF⊥DE成立.
试探究下列问题:
(1)如图①,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)
(2)如图②,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
(3)如图③,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.
15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速
度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）用t的代数式表示：AE= ；DF= ；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
参考答案
1.解：
（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t，解得t=4．
答：当t=4时，四边形ABQP是矩形；
（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形
当AQ=CQ，即=8﹣t时，四边形AQCP为菱形．解得：t=3．
答：当t=3时，四边形AQCP是菱形；
（3）当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，面积为：4×8﹣2××3×4=20（cm2）．
2.（1）证明：∵直线m∥AB，∴EC∥AD．
又∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．又∵DE⊥BC，∴DE∥AC．
∵EC∥AD，DE∥AC，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE=AD．
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：∵D是AB中点，DE∥AC（已证），∴F为BC中点，∴BF=CF．
∵直线m∥AB，∴∠ECF=∠DBF．∵∠BFD=∠CFE，∴△BFD≌△CFE．∴DF=EF．
∵DE⊥BC，∴BC和DE垂直且互相平分．∴四边形BECD是菱形．
（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．
理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，
∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
3.解：（1）根据题意得：矩形ABCD的边AD=2，AB=4；故答案为：2；4；
（2）当点P在C→B运动过程中，PB=8﹣x，∴y=S△
=×4×（8﹣x），即y=﹣2x+16（6≤x≤8），APB
正确作出图象，如图所示：
4.解：
(1)∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°﹣∠EAG=60°，
∴∠CEF=∠AEC﹣∠AEF=60°，
故答案为：60°；
(2)①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=180°﹣∠ABC=60°，
∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠FAE=60°，
∴∠FAD=∠EAB，
②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB=∠FMB=90°，∴∠NFM=60°，
又∠AFE=60°，∴∠AFN=∠EFM，
∵EF=EA，∠FAE=60°，∴△AEF为等边三角形，∴FA=FE，
在△AFN和△EFM中，，∴△AFN≌△EFM(AAS)
∴FN=FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，
∴点F在∠ABC的平分线上；
(3)∵四边形AEFG是菱形，∠EAG=120°，
∴∠AGF=60°，∴∠FGE=∠AGE=30°，
∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，
∴∠GAH=∠AGE=30°，∠H=∠FGE=30°，
∴∠GAN=90°，又∠AGE=30°，∴GN=2AN，
∵∠DAB=60°，∠H=30°，∴∠ADH=30°，∴AD=AH=GE，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD，∴BC=GE，
∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE=∠EAB=30°，
∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB=AN=NE，∴GE=3AB，
∴=3．
5.解：（1）S
=S四边形AFBD，
△ABC
理由：由题意可得：AD∥EC，则S△ADF=S△ABD，
故S△ACF=S△ADF=S△ABD，则S△ABC=S四边形AFBD；
（2）△ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，
理由如下：
∵F为BC的中点，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，
又∵AD∥BF，∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，∴平行四边形AFBD为矩形
∵∠BAC=90°，F为BC的中点，∴AF=BC=BF，
∴四边形AFBD为正方形；
（3）如图3所示：
由（2）知，△ABC为等腰直角三角形，AF⊥BC，
设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=k，∴CG=CF.
6.解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=10，AB∥CD
∵PD=4，∴PC=6，∵PB⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠CPB=∠ABP=90°，
在RT△PCB中，∵∠CPB=90°P C=6，BC=10，∴PB===8，
在RT△ABP中，∵∠ABP=90°，AB=10，PB=8，∴PA===2.
（2）△OMN是等腰三角形.理由：如图2中，延长PM交BC于E.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB=CD，
∵PE⊥AC，∴PE∥BD，∴=，∴CP=CE，∴PD=BE，
∵CP=CE，CM⊥PE，∴PM=ME，∵PN=NB，∴MN=BE，
∵BO=OD，BN=NP，∴ON=PD，∴ON=MN，∴△OMN是等腰三角形.
7.（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，
∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，
∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.
8.解：
证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，如图1：∴AM=HF，AN=EG，∵长方形ABCD，∴∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，∴∠NAM=90°，∴∠BAM=∠DAN，∴△ABM∽△ADN，
∴AM:AN=AB:AD，∵AB=2BC=AD=3，∴EG:FH=1.5；
（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，如图2：
∵AB=1，AM=FH=，∴在Rt△ABM中，BM=0.5将△
AND绕点A旋转到△APB，
∵EG与FH的夹角为45°，∴∠MAN=45°，∴∠DAN+∠MAB=45
即∠PAM=∠MAN=45°，从而△APM≌△ANM，∴PM=NM，
设DN=x，则NC=1﹣x，NM=PM=0.5+x在Rt△CMN中，(0.5 +x)2=0.25+(1﹣x)2，解得x=1/3，
∴EG=AN=，答：EG的长为
．10.
11. (1)证明：根据翻折的方法可得EF=EC，∠FEG=∠CEG.又∵GE=GE，∴△EFG≌△ECG.∴FG=GC.
∵线段FG是由EF绕F旋转得到的，∴EF=FG.∴EF=EC=FG=GC.∴四边形FGCE是菱形．
（2）连接FC交GE于O点．根据折叠可得BF=BC=10.∵AB=8
∴在Rt△ABF中，根据勾股定理得AF=6.∴FD=AD－AF=10－6=4.
设EC=x，则DE=8－x，EF=x，在Rt△FDE中，FD2＋DE2=EF2，
即42＋(8-x)2=x2.解得x=5.即CE=5.S菱形CEFG=CE·FD=5×4=20.
（3）当＝
时，BG=CG，理由：由折叠可得BF=BC，∠FBE=∠
CBE，
∵在Rt△ABF中，
=
，∴BF=2AF.∴∠ABF=30°.
又∵∠ABC=90°，∴∠FBE=∠CBE=30°，EC=0.5BE.
∵∠BCE=90°，∴∠BEC=60°.又∵GC=CE，∴△GCE为等边三角形．
∴GE=CG=CE=0.5BE.∴G为BE的中点．∴CG=BG=0.5BE.
12.
13.（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长为6cm的等边三角形，
∴BC=DE，∠ABC=∠FDE=60°，∴BC∥DE，∴四边形BCDE是平行四边形；
（2）解：（a）当t=2秒时，▱BCDE是菱形，此时A与D重合，∴CD=DE，∴▱ADEC是菱形；（b）若平行四边形BCDE是矩形，则∠CDE=90°，如图所示：∴∠CDB=90°﹣60°=30°同理∠DCA=30°=∠CDB，∴AC=AD，同理FB=EF，∴F与B重合，
∴t=（6+2）÷1=8秒，∴当t=8秒时，平行四边形BCDE是矩形．
14.解：(1)成立.
(2)成立.理由:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°.
在△ADF和△DCE中,DF=CE,∠ADC=∠BCD,AD=CD∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠DAF=∠CDE.
∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.
(3)四边形MNPQ是正方形.
理由:如图,设MQ交AF于点O,PQ交DE于点H,
∵点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,
∴MQ=PN=错误!未找到引用源。

DE,PQ=MN=错误!未找到引用源。

AF,MQ∥DE∥PN,PQ∥AF∥MN, ∴四边形GHQO是平行四边形,
∵AF=DE,∴MQ=PQ=PN=MN,∴四边形MNPQ是菱形.
∵AF⊥DE,∴∠AGD=90°,∴∠HQO=∠AOQ=∠AGD=90°,
∴四边形MNPQ是正方形.
15.解：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，又∵在直角△CDF中，∠C=30°，∴DF=0.5CD=2t，故答案为：2t，2t；（2）∵DF⊥BC∴∠CFD=90°∵∠B=90°∴∠B=∠CFD∴DF∥AB，
由（1）得：DF=AE=2t，∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，
即当t=10时，▱AEFD是菱形；
（3）分两种情况：①当∠EDF=90°时，如图1，DE∥BC．∴∠ADE=∠C=30°∴AD=2AE
∵CD=4t，∴DF=2t=AE，∴AD=4t，∴4t=60﹣4t，∴t=7.5
②当∠DEF=90°时，如图2，DE⊥EF，∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，∵∠A=60°，∴∠DEA=30°，
∴AD=0.5AE，∴60﹣4t=t，解得t=12．
综上所述，当t=7.5s或12s时，△DEF是直角三角形．。