复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
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第六章留数理论及其应用
§1.留数1.(定理柯西留数定理):
2.(定理):设a为f(z)的m阶极点,
其中在点a解析,,则
3.(推论):设a为f(z)的一阶极点,
则
4.(推论):设a为f(z)的二阶极点
则
5.本质奇点处的留数:可以利用洛朗展式
6.无穷远点的留数:
即,等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号
7.(定理)如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),设为,则f(z)在各点的留数总和为零。
注:虽然f(z)在有限可去奇点a处,必有,但是,如果点为f(z)的可去奇点(或解析点),则可以不为零。
8.计算留数的另一公式:
§2.用留数定理计算实积分
一.→引入
注:注意偶函数
二.型积分
1.(引理大弧引理):上
则
2.(定理)设
为互质多项式,且符合条件:
(1)n-m≥2;
(2)Q(z)没有实零点
于是有
注:可记为
三.型积分
3.(引理若尔当引理):设函数g(z)沿半圆周
上连续,且
在上一致成立。则
4.(定理):设,其中P(z)及Q(z)为互质多项式,且符合条件:(1)Q的次数比P高;
(2)Q无实数解;
(3)m>0
则有
特别的,上式可拆分成:
及
四.计算积分路径上有奇点的积分
5.(引理小弧引理):
于上一致成立,则有
五.杂例
六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用
即为:求解析函数零点个数
1.对数留数:
2.(引理):(1)设a为f(z)的n阶零点,则a必为函数的一阶极点,并且
(2)设b为f(z)的m阶极点,则b必为函数的一阶极点,并且
3.(定理对数留数定理):设C是一条周线,f(z)满足条件:
(1)f(z)在C的内部是亚纯的;
(2)f(z)在C上解析且不为零。
则有
注1:当条件更改为:(1)f在Int(C)+C上解析;(2)C上有f≠0,有,即
注2:条件可减弱为:f(z)连续到边界C,且沿C有f(z)≠0
4.(辅角原理):
5.(定理鲁歇(Rouche)定理):设C是一条周线,函数f(z)及(z)满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;
(2)在C上,|f(z)|>|(z)|
则函数f(z)与f(z)+(z)在C内部有同样多(几阶算几个)的零点,即
N(,C)=N(f,C)
6.(定理:若函数f(z)在区域D内但也解析,则在D内f’(z)≠0.