复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

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第六章留数理论及其应用

§1.留数1.(定理柯西留数定理):

2.(定理):设a为f(z)的m阶极点,

其中在点a解析,,则

3.(推论):设a为f(z)的一阶极点,

4.(推论):设a为f(z)的二阶极点

5.本质奇点处的留数:可以利用洛朗展式

6.无穷远点的留数:

即,等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号

7.(定理)如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),设为,则f(z)在各点的留数总和为零。

注:虽然f(z)在有限可去奇点a处,必有,但是,如果点为f(z)的可去奇点(或解析点),则可以不为零。

8.计算留数的另一公式:

§2.用留数定理计算实积分

一.→引入

注:注意偶函数

二.型积分

1.(引理大弧引理):上

2.(定理)设

为互质多项式,且符合条件:

(1)n-m≥2;

(2)Q(z)没有实零点

于是有

注:可记为

三.型积分

3.(引理若尔当引理):设函数g(z)沿半圆周

上连续,且

在上一致成立。则

4.(定理):设,其中P(z)及Q(z)为互质多项式,且符合条件:(1)Q的次数比P高;

(2)Q无实数解;

(3)m>0

则有

特别的,上式可拆分成:

四.计算积分路径上有奇点的积分

5.(引理小弧引理):

于上一致成立,则有

五.杂例

六.应用多值函数的积分

§3.辐角原理及其应用

即为:求解析函数零点个数

1.对数留数:

2.(引理):(1)设a为f(z)的n阶零点,则a必为函数的一阶极点,并且

(2)设b为f(z)的m阶极点,则b必为函数的一阶极点,并且

3.(定理对数留数定理):设C是一条周线,f(z)满足条件:

(1)f(z)在C的内部是亚纯的;

(2)f(z)在C上解析且不为零。

则有

注1:当条件更改为:(1)f在Int(C)+C上解析;(2)C上有f≠0,有,即

注2:条件可减弱为:f(z)连续到边界C,且沿C有f(z)≠0

4.(辅角原理):

5.(定理鲁歇(Rouche)定理):设C是一条周线,函数f(z)及(z)满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;

(2)在C上,|f(z)|>|(z)|

则函数f(z)与f(z)+(z)在C内部有同样多(几阶算几个)的零点,即

N(,C)=N(f,C)

6.(定理:若函数f(z)在区域D内但也解析,则在D内f’(z)≠0.

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