初中数学 人教版九年级上册 22.1.2 二次函数的图像和性质 课件(共21张PPT)

(4) y=-3x²-2x+4
（1）一次函数的图象是一条__直__线_，
(2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
从最简单的二次函 数y=ax2
开始！
(3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
5
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2.体会数形结合的思想，提高观察分析概括能力，感受 数学之美。
1.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时，a越大，开口越小.
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练一练
在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2的图象．
2 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 2
···
-8
பைடு நூலகம்
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
7
6
5
坐标平面中描点(x,y),
4
再用平滑曲线顺次连
3 2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像. 8
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
(2) 描点 y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
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例2:在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象． 解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
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思考
从二次函数 y 1 x2 , y x2 , y 2x2
2
有什么关系？
开口大小与a的大小
当a<0时，a越小 （即a的绝对值越 大），开口越小.
y 1 x2 2
···
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
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从二次函数 么关系？
y 1 x2, y x2 , 2
y 2x2 开口大小与a的大小有什
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1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称y轴轴 ,顶点(0是,0) ; 2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点(是0,0) ;
3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
(1) 求此抛物线的函数解析式 （2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向；
（3解）（判1断）点把（（-1，-2-4，）-是8）否代在入此抛y=物a线x2上,得； -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
空中所经过的路线y .
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y=x2
y
o
x
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
实际上,二次函数的图像 o
x
都是抛物线.
它们的开口向上或者向下.
一般地,二次函数y=ax2+bx+c
的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. 还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
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对称轴、顶点、最低点、最高点
y x2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
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y x2
抛物线 y=x2在x轴上方
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
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探究
例3.在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、 y=- x2的图象，有什么共同点和不同点?
相同点
相同点：开口都向下，顶 点是原点而且是抛物线的 最高点，对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物 线的开口越小．
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
6
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
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7
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
(2) 描点y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
(3) 连线
y
10
9
根据表中x,y的数值在
8
y=x2
(3) 连线
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
根据表中x,y的数值在
-3 -4
坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接
-5
-6
y=－x2
-7
各点,就得到y=-x2的图
-8 -9
像.
-10
9
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都
是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
二次函数的图像和性质
1
2
3
4
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函 数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1) y=3x-l
(2) y=2x²
(3) y=x²+6
－4 －2 －2
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－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
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y＝ax2 图象 位置开
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
(除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上
无限伸展;
当x=0时,函数 y的值最小，
最小值是0.
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抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，
当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
y x2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.