经济数学总复习题一元微积分
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Ex
7．叙述微分中值定理（拉格朗日中值定理和罗尔定理）
.
答：
罗尔定理：如果函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可
导，且在区间端点的函数值相等，即
f (a ) = f (b) ，那么在 (a , b) 内至少有一
点 ? (a ? ? ? b) ，使得函数 f ( x) 在该点的导数等于零： f ' (? ) ? 0 。
周期性：如果至少存在一个数 T，使函数 y ? f (x)对于任意有意义的 x , 关系式 f (x ? T ) = f (x) 恒成立，则称 f (x) 为周期函数，T 称为 f (x) 的周期， 通常周期函数的周期是指最小正周期。
3．叙述数列极限
lim
n ??
xn
?
A 和函数极限
lim
x? x0
xn
?
A 或 xn →A（n→∞），否则数列{xn }是发散
的。
函数极限：
①如果对于每一个预先给定的正数 ? ，总存在一个正数 N ，使得对于
适合不等式 x ? N 的一切 x ，一定有
f ?x?? A ? ?
那 么 常 数 A 称 为 函 数 f ?x?当 x ? ? 时 的 极 限 ， 记 为 lim f ?x?? A ， 或 x? ? f ?x?? A ?x ? ? ?，否则就说 f ?x?在 x ? ? 时没有极限或是发散的。
f (x)
?
A 的概念.
答：
数列极限：对于数列{xn }，如果存在某个确定的常数 A，对于预先给 定的任意一个正数 ? ，总存在一个正整数 N，使得对于满足 n>N 时的一
切 xn ，不等式 xn ? A < ? 都成立，则称常数 A 是数列{xn }的极限，或者称
数列{xn }收敛于
A，记为 lim n ??
华南理工大学网络教育学院
《经济数学》总复习题 ——一元微积分
适用专业：工商管理、电子商务、计算机等 授课教师：王全迪博士、杨立洪博士
一．问答题（共 4 题，每题 5 分，共计 20 分）
1．叙述初等函数的定义 .
答：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为基本
初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的有限次的四则运算和有
?y ?
f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x0 ) 存在，则称
?x? 0 ? x
? x? 0
?x
函数 y ? f (x ) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ? f (x ) 在 x0 处的导数，
记为 y '|x ? x0 ，即
lim lim y'|x? x0
=
? x?
0
?y ?x
f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在区间内是单调增加的；如果恒有 f (x1) > f (x2 ) ，则 称函数 f (x) 在区间内是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为 单调函数。
奇偶性：设函数 f (x) 的定义域关于原点对称。对于定义域内任一点 x ， f (? x) = f (x) 恒成立，则称 f (x) 为偶函数。如果对于任一点 x ， f (? x) = ? f (x) 恒成立，则称 f (x) 为奇函数。
4．叙述函数在一点连续的定义 . 答：设函数 y ? f ( x ) 在点 x0 的某一邻域内有定义， 如果函数 f ( x ) 当 x ?wk.baidu.comx0 时 的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数 f ( x 0 ) ，即
lim f ( x) ? f ( x0 ) ， x? x0
那么就称函数 f ( x) 在点 x0 连续。
拉格朗日中值定理：如果函数
f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间
(a, b) 内可导，那么在 (a, b) 内至少有一点 ? (a ? ? ? b) ，使等式
f (b ) ? f (a ) ? f ' (? )( b ? a ) 成立。
8．叙述不定积分定义 . 答：在区间 I 上，函数 f ( x) 的所有原函数的全体 F ( x) ? C（ C 是任意常数） ， 称之为函数 f ( x) 的不定积分， 记作 ? f ( x)dx = F (x) ? C ，其中记号 ? 成为积分 号， f ( x) 为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量。
限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，
称为初等函数。
2．叙述函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性概念 .
答：
有界性：如果存在正数 M 使得对函数 f ?x?在其定义域 D 内，不等式
f ?x?? M 恒成立，则称函数 f ?x?在 D 内有界；否则，称函数 f ?x?在 D 内无
界。
单调性：在区间 ?a,b?上任意两点 x1 及 x2 ，当 x1 < x2 时，恒有 f (x1) <
? x ，函数在 y 处的改变量为 ? y ，? x 和 ? y 分别表示自变量在 x 处和函数在
xy
y 处的相对改变量，当 ? x ? 0 时，它们的比值的极限
?y
x ?y
y
y xf ' (x)
lim lim ?
?
? x? 0 ? x ? x? 0 f (x) f (x)
x
称之为 y 对 x 的弹性，记为? (x) ? Ey 。
②如果对于每一个预先给定的正数 ? ，总存在正数? ，使得对于适合
不等式 0 ? x ? x0 ? ? 的一切 x ，对应的函数值 f ?x?都满足不等式
f ?x?? A ? ?
那 么 常 数 A 就 叫 做 函 数 f ?x?当 x ?
x0
的极限。记为
lim
x? x0
f ?x??
A
，或
f ?x?? A , ?x ? x0 ?。
?
?x? 0
f (x0 ? ? x) ? ?x
f (x0 ) ，
也可记作
f '(x0 ) ，
dy 或 df ?x ? 。
dx x ? x0
dx x? x0
6．叙述边际函数和弹性函数的概念 .
答：边际函数：经济中某个函数 f (x) 的导数 f '(x) 为该函数在 x 处的边际
函数。
弹性函数：设某个经济函数 y ? f (x) 可导，自变量在 x 处的改变量为
5．叙述函数在一点可导的定义 .
答：设函数 y ? f (x ) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得 增 量 ? x （ 点 x0 ? ? x 仍 在 该 邻 域 内 ） 时 ， 相 应 地 函 数 y 取 得 增 量
lim lim ? y ? f (x 0 ? ? x) ? f (x 0 ) ；如果极限
7．叙述微分中值定理（拉格朗日中值定理和罗尔定理）
.
答：
罗尔定理：如果函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可
导，且在区间端点的函数值相等，即
f (a ) = f (b) ，那么在 (a , b) 内至少有一
点 ? (a ? ? ? b) ，使得函数 f ( x) 在该点的导数等于零： f ' (? ) ? 0 。
周期性：如果至少存在一个数 T，使函数 y ? f (x)对于任意有意义的 x , 关系式 f (x ? T ) = f (x) 恒成立，则称 f (x) 为周期函数，T 称为 f (x) 的周期， 通常周期函数的周期是指最小正周期。
3．叙述数列极限
lim
n ??
xn
?
A 和函数极限
lim
x? x0
xn
?
A 或 xn →A（n→∞），否则数列{xn }是发散
的。
函数极限：
①如果对于每一个预先给定的正数 ? ，总存在一个正数 N ，使得对于
适合不等式 x ? N 的一切 x ，一定有
f ?x?? A ? ?
那 么 常 数 A 称 为 函 数 f ?x?当 x ? ? 时 的 极 限 ， 记 为 lim f ?x?? A ， 或 x? ? f ?x?? A ?x ? ? ?，否则就说 f ?x?在 x ? ? 时没有极限或是发散的。
f (x)
?
A 的概念.
答：
数列极限：对于数列{xn }，如果存在某个确定的常数 A，对于预先给 定的任意一个正数 ? ，总存在一个正整数 N，使得对于满足 n>N 时的一
切 xn ，不等式 xn ? A < ? 都成立，则称常数 A 是数列{xn }的极限，或者称
数列{xn }收敛于
A，记为 lim n ??
华南理工大学网络教育学院
《经济数学》总复习题 ——一元微积分
适用专业：工商管理、电子商务、计算机等 授课教师：王全迪博士、杨立洪博士
一．问答题（共 4 题，每题 5 分，共计 20 分）
1．叙述初等函数的定义 .
答：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为基本
初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的有限次的四则运算和有
?y ?
f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x0 ) 存在，则称
?x? 0 ? x
? x? 0
?x
函数 y ? f (x ) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ? f (x ) 在 x0 处的导数，
记为 y '|x ? x0 ，即
lim lim y'|x? x0
=
? x?
0
?y ?x
f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在区间内是单调增加的；如果恒有 f (x1) > f (x2 ) ，则 称函数 f (x) 在区间内是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为 单调函数。
奇偶性：设函数 f (x) 的定义域关于原点对称。对于定义域内任一点 x ， f (? x) = f (x) 恒成立，则称 f (x) 为偶函数。如果对于任一点 x ， f (? x) = ? f (x) 恒成立，则称 f (x) 为奇函数。
4．叙述函数在一点连续的定义 . 答：设函数 y ? f ( x ) 在点 x0 的某一邻域内有定义， 如果函数 f ( x ) 当 x ?wk.baidu.comx0 时 的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数 f ( x 0 ) ，即
lim f ( x) ? f ( x0 ) ， x? x0
那么就称函数 f ( x) 在点 x0 连续。
拉格朗日中值定理：如果函数
f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间
(a, b) 内可导，那么在 (a, b) 内至少有一点 ? (a ? ? ? b) ，使等式
f (b ) ? f (a ) ? f ' (? )( b ? a ) 成立。
8．叙述不定积分定义 . 答：在区间 I 上，函数 f ( x) 的所有原函数的全体 F ( x) ? C（ C 是任意常数） ， 称之为函数 f ( x) 的不定积分， 记作 ? f ( x)dx = F (x) ? C ，其中记号 ? 成为积分 号， f ( x) 为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量。
限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，
称为初等函数。
2．叙述函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性概念 .
答：
有界性：如果存在正数 M 使得对函数 f ?x?在其定义域 D 内，不等式
f ?x?? M 恒成立，则称函数 f ?x?在 D 内有界；否则，称函数 f ?x?在 D 内无
界。
单调性：在区间 ?a,b?上任意两点 x1 及 x2 ，当 x1 < x2 时，恒有 f (x1) <
? x ，函数在 y 处的改变量为 ? y ，? x 和 ? y 分别表示自变量在 x 处和函数在
xy
y 处的相对改变量，当 ? x ? 0 时，它们的比值的极限
?y
x ?y
y
y xf ' (x)
lim lim ?
?
? x? 0 ? x ? x? 0 f (x) f (x)
x
称之为 y 对 x 的弹性，记为? (x) ? Ey 。
②如果对于每一个预先给定的正数 ? ，总存在正数? ，使得对于适合
不等式 0 ? x ? x0 ? ? 的一切 x ，对应的函数值 f ?x?都满足不等式
f ?x?? A ? ?
那 么 常 数 A 就 叫 做 函 数 f ?x?当 x ?
x0
的极限。记为
lim
x? x0
f ?x??
A
，或
f ?x?? A , ?x ? x0 ?。
?
?x? 0
f (x0 ? ? x) ? ?x
f (x0 ) ，
也可记作
f '(x0 ) ，
dy 或 df ?x ? 。
dx x ? x0
dx x? x0
6．叙述边际函数和弹性函数的概念 .
答：边际函数：经济中某个函数 f (x) 的导数 f '(x) 为该函数在 x 处的边际
函数。
弹性函数：设某个经济函数 y ? f (x) 可导，自变量在 x 处的改变量为
5．叙述函数在一点可导的定义 .
答：设函数 y ? f (x ) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得 增 量 ? x （ 点 x0 ? ? x 仍 在 该 邻 域 内 ） 时 ， 相 应 地 函 数 y 取 得 增 量
lim lim ? y ? f (x 0 ? ? x) ? f (x 0 ) ；如果极限