简单线性回归
数据分析中的回归分析技巧
数据分析中的回归分析技巧在数据分析领域，回归分析是一种常用的统计方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以预测因变量的值，并了解自变量对因变量的影响程度。
本文将介绍一些回归分析的技巧和应用案例。
1. 简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，用于研究一个自变量与一个因变量之间的关系。
在简单线性回归中，我们假设自变量和因变量之间存在线性关系，通过拟合一条直线来描述这种关系。
例如，我们可以使用简单线性回归来研究广告投入与销售额之间的关系。
通过分析历史数据，我们可以得到一个回归方程，从而预测未来的销售额。
2. 多元线性回归分析多元线性回归分析是在简单线性回归的基础上发展起来的一种方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
在多元线性回归中，我们可以考虑更多的因素对因变量的影响。
例如，我们可以使用多元线性回归来研究房屋价格与房屋面积、地理位置和房龄等因素之间的关系。
通过分析这些因素，我们可以建立一个回归模型，从而预测房屋价格。
3. 逐步回归分析逐步回归分析是一种逐步选择自变量的方法，用于确定最佳的回归模型。
在逐步回归中，我们从一个包含所有可能的自变量的模型开始，然后逐步剔除对因变量的解释程度较低的自变量，直到得到一个最佳的回归模型。
逐步回归分析可以帮助我们减少模型的复杂性，并提高预测的准确性。
4. 非线性回归分析在某些情况下，自变量和因变量之间的关系可能不是线性的，而是呈现出曲线或其他形式。
这时，我们可以使用非线性回归分析来研究这种关系。
非线性回归可以通过拟合曲线或其他非线性函数来描述自变量和因变量之间的关系。
例如，我们可以使用非线性回归来研究温度与化学反应速率之间的关系。
通过分析实验数据，我们可以找到一个最佳的非线性模型，从而预测不同温度下的反应速率。
5. 回归诊断在进行回归分析时，我们需要对回归模型进行诊断，以评估模型的拟合程度和预测的准确性。
回归诊断可以帮助我们检查模型的假设是否成立，以及是否存在异常值或离群点。
简单线性回归
6.98020
15
a 224 (6.98020) 14.7 21.77393
15
15
Yˆ 21.77393 6.9802 X
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应 Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（12-2）中的 Yˆ 实际 上是 X 所对应 Y 的总体均数 Y |X 的一个样本 估计值，称为回归方程 的预测值（predicted value）,而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
均数YY 是固定的，所以这部分变异由 Yˆi 的大小不同引起。
当 X 被引入回归以后，正是由于Xi 的不同导致了 Yˆi a bXi 不同，所以SS回 反映了在 Y 的总变异中可以用 X 与 Y 的直线关系解释的那部分变异。
b 离 0 越远，X 对 Y 的影响越大，SS回 就越大，说明 回归效果越好。
lXX
(X X )2
a Y bX
式 中 lXY 为 X 与 Y 的 离 均 差 乘 积 和 :
lXY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
本例：n=15 ΣX=14.7 ΣX2=14.81
ΣY=224 ΣXY=216.7 ΣY2=3368
216.7 (14.7)(224)
b
15 14.81 (14.7)2
儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X， 英寸）存在线性关
系：Yˆ 33.73 0.516 X 。
也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来 说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子 代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton 将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”
第12章_简单线性回归
x-x均值 -12
-8 -6 -6 -2 2 6 6 8 12
y-y 均值
(x-x均值)*(yy均值)
(x-x均 值)^2
-72
-25 -42 -12 -13 7 27 39 19 72
864
200 252 72 26 14 162 234 152 864 SUM 2840 SUM
144
64 36 36 4 4 36 36 64 144
对于考察变量与变量之间关系时，我们 采用回归分析的方法建立模型或方程进 行变量间关系的分析。 因变量：被预测的变量 自变量：进行预测的变量
简单线性回归模型（对总体而言）
Y 0 1 X
1， 2为未知参数， 为随机误差项，反映其 它未列入回归模型的变量对因变量的影响。
-6
-2 2 6 6 8 12 SUM
-12
-13 7 27 39 19 72 SUM 2840
关于简单线性回归模型的标准假设： E(Y ) 0 1 X E ( ) 0 1. ，可推知， 该方程称为回归方程。 2 2. 对于所有的X，误差项 的方差 一样：即同 方差假定。 i j ) 0 3.误差项 独立。其协方差为零，cov( 4.自变量是给定的变量，与误差项线性无关。 5.误差项 服从正态分布，从而说明Y服从正态分 布
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
6
8
8
12
16
20
20
22
26
58
105
88
118
117
137
157
169
149
202
序号 1
简单线性回归模型
Yt = β1+ β2Xt+et et ~N(0,1) 兩個分析模型的理由： 解釋應變數 (yt) 會如何隨著自變數 (xt ) 的改變而
改變。
在 x0 已知下預測 y0。
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰 1
y, y, yˆ
yt y yˆt y eˆt
最小平方估計式的變異數與共變數
(1) σ2 Var(b2) 越不精確
(2)T
Var(b2) 越精確
(3)Var(X2 )
Var(b2) 越精確
(4)Cov(X2 , X3 ) Var(b2) 越不精確
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰15
誤差為常態分配之最小平方估計式的性質
R2↑
Notice : 殘差模式也有許多其他的不足之處，例 如有被忽略的變數，異質變異性 （heteroskedasticity），自我相關 （autocorrelation） 錯誤建立迴歸模型。
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰10
殘差為常態分配嗎？
1.平均值→0 2.傑古貝拉檢定（Jarque-Bera test for normality），用來檢定常態性。 Ho: 常態，H1:非常態 若 P＞α 無法拒絕虛無假設
選擇函數形式：實證議題
技術的改變
1.散佈（plot）
2.模型 Yt=β1+β2 Xt+et 3.估計
4.預測
時間
5.殘差分佈 → 檢查是否為常態分配?
開南大學公管所與國企所合開選修課 --量化分析與應用 --黃智聰 9
简单线性回归模型
简单线性回归模型在一个回归模型中，我们需要关注或预测的变量叫做因变量，我们选取的用来解释因变量变化的变量叫做自变量。
一元线性回归模型y=w0+w1x+ε，其中w0，w1为回归系数，ε为随机误差项，假设ε~N(0,σ2),则随机变量y~N(w0+w1x,σ2)。
面对一个具体问题，给定样本集合D={(x1,y1),…,(x n.yn)},我们的目标是找到一条直线y=w0+w1x使得所有样本点尽可能落在它的附近。
数据模型为( w 0 ^ , w 1 ^ ) = a r g m i n ( w 0 ^ , w 1 ^ ) ∑ i = 1 n ( y i − w 0 − w 1 x i ) 2(\hat{w_{0}},\hat{w_{1}})=argmin_{(\hat{w_{0}},\hat{w_{1}})}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-w_{0}-w_{1}x_{i})^{2}(w0^,w1^)=argmin(w0^ ,w1^)i=1∑n(yi−w0−w1xi)2多元线性回归模型y=w0x0+w1x1+w2x2+…+w dxd+ε或y=wT x+ε，其中x=（x1，x2,…,x d）为自变量，w=（w1,w2,…,w d）为回归系数。
假设将训练集中的输入特征部分记为n*d维矩阵X，矩阵第一列值全为1，训练数据的输出特征部分写成向量形式y=(y1，y2，…，yn)T。
在多元线性模型中，输入X对应的模型输出为y ^ = X w \hat{y}=Xwy^=Xw线性回归的问题实际数据可能不是线性的●使用R2等指标进行模型诊断，R2越接近1，证明模型拟合的越好。
多重共线性●正则化、主成分回归、偏最小二乘回归过度拟合问题当模型的变量过多时，线性回归可能会出现过度拟合问题。
假如在房价预测问题中，假设x表示房屋面积，如果将x2，x3等作为独立变量可能出现以下情况简单线性回归通常对模型作了以下假设:1.输入特征是非随机的且互相不相关;2.随机误差具有零均值，同方差的特点，且彼此不相关;3.输入特征与随机误差不相关;4.随机误差项服从正态分布N(0, σ2 ).。
庞浩计量经济学第二章简单线性回归模型
最小二乘法的应用
在统计学和计量经济学中，最 小二乘法广泛应用于估计线性 回归模型，以探索解释变量与 被解释变量之间的关系。
通过最小二乘法，可以估计出 解释变量的系数，从而了解各 解释变量对被解释变量的影响 程度。
最小二乘法还可以用于时间序 列分析、预测和数据拟合等场 景。
最小二乘法的局限性
最小二乘法假设误差项是独立同分布 的，且服从正态分布，这在实际应用 中可能不成立。
最小二乘法无法处理多重共线性问题， 当解释变量之间存在高度相关关系时， 最小二乘法的估计结果可能不准确。
最小二乘法对异常值比较敏感，异常 值的存在可能导致参数估计的不稳定。
04
模型的评估与选择
R-squared
总结词
衡量模型拟合优度的指标
详细描述
R-squared，也称为确定系数，用于衡量模型对数据的拟合程度。它的值在0到1之间，越接近1表示模型拟合越 好。R-squared的计算公式为(SSreg/SStot)=(y-ybar)2 / (y-ybar)2 + (y-ybar)2，其中SSreg是回归平方和， SStot是总平方和，y是因变量，ybar是因变量的均值。
数据来源
本案例的数据来源于某大型电商 平台的销售数据，包括商品的销 售量、价格、评价等。
数据处理
对原始数据进行清洗和预处理， 包括处理缺失值、异常值和重复 值，对分类变量进行编码，对连 续变量进行必要的缩放和转换。
模型建立与评估
模型建立
基于处理后的数据，使用简单线性回 归模型进行建模，以商品销售量作为 因变量，价格和评价作为自变量。
线性回归模型是一种数学模型， 用于描述因变量与一个或多个 自变量之间的线性关系。它通 常表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε
线性模型知识点总结
线性模型知识点总结一、线性模型概述线性模型是统计学中一类简单而又常用的模型。
在线性模型中，因变量和自变量之间的关系被描述为一个线性方程式。
线性模型被广泛应用于各种领域，如经济学、医学、社会科学等。
线性模型的简单和普适性使得它成为数据分析中的一种重要工具。
线性模型可以用来建立预测模型、对变量之间的关系进行建模和推断、进行变量选择和模型比较等。
在实际应用中，线性模型有多种形式，包括简单线性回归、多元线性回归、广义线性模型、岭回归、逻辑回归等。
这些模型在不同的情况下可以更好地满足数据的特点和要求。
二、线性回归模型1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的线性模型之一，它描述了一个因变量和一个自变量之间的线性关系。
简单线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1分别是截距项和斜率项，ε是误差项。
简单线性回归模型基于最小二乘法估计参数，从而得到最优拟合直线，使得观测值和拟合值的离差平方和最小。
简单线性回归模型可以用来分析一个自变量对因变量的影响，比如身高和体重的关系、学习时间和考试成绩的关系等。
2. 多元线性回归多元线性回归是在简单线性回归的基础上发展而来的模型，它能够同时描述多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε其中，X1、X2、...、Xp是p个自变量，β0、β1、β2、...、βp分别是截距项和各自变量的系数，ε是误差项。
多元线性回归模型通过估计各系数的值，可以得到各自变量对因变量的影响情况，以及各自变量之间的相关关系。
3. 岭回归岭回归是一种用来处理多重共线性问题的线性回归方法。
在多元线性回归中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致参数估计不准确，岭回归通过对参数加上一个惩罚项来避免过拟合，从而提高模型的稳定性和泛化能力。
岭回归模型可以用如下的方程式来表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε - λ∑(β^2)其中，λ是岭参数，用来平衡参数估计和惩罚项之间的关系。
简单线性回归
简单线性回归
简单线性回归作为统计学中常用的模型，受到了很多研究者的关注。
它可以用来描述和分析两种变量之间的相关性，从而解释影响它们变化的内在原因。
简单线性回归模型可以简单地表示如下：一个被称为自变量（x）和另一个称为因变量（y）之间关系的函数。
它可以用来推测因变量（y）的未知值，并预测不同自变量（x）所表示值的概率。
它还可以被用来检验对自变量和因变量的假设，确定自变量对因变量的影响有多大，以及因变量是否和已知的自变量有关。
简单线性回归的应用可以帮助人们理解和预测复杂的关系。
比如在广告行业，广告客户可以根据投放的媒体渠道、受众类型以及其他相关因素，对广告投入提出投放策略和分析效果。
甚至在生活娱乐方面也有应用，大数据分析可以通过收集和分析现象中的多个变量，帮助我们更好地了解影响某个行为的内在关系，从而更有针对性地策划活动，圆满完成目标。
总之，简单线性回归是一种有用的统计模型，能够有效地提取和解释关于变量间关系的信息，尤其在生活娱乐活动中，简单线性回归都是十分实用的工具。
简单线性回归模型的基本假定
简单线性回归模型的基本假定简单线性回归模型是最常用的、也是最简单的回归分析模型，用于分析两个变量之间的相关性，可以帮助判断两个变量之间的线性关系。
简单线性回归模型用一条直线去描述两变量之间的关系，模型也被称为“回归直线”。
1、正态性：简单线性回归模型要求回归预测值的分布满足正态分布，而根据正态分布定理，可以预料，在平均值附近所出现离散点几率会比平均值远处出现离散点几率更高。
2、线性性：简单线性回归模型要求关系是线性的，也就是说，变量之间的关系应该是一条直线，这个假定也有一个严格的名字叫做：“线性模型自变量和因变量之间存在线性关系”。
3、独立性：简单线性回归模型假定解释变量和因变量之间的关系，它们之间是独立的。
这个假定的意思就是：解释变量不会影响因变量，因变量也不会影响解释变量，两者之间是独立的。
也就是说，解释变量变化不会影响因变量的变化，因变量的变化也不会影响解释变量的变化。
4、自变量的多数值：简单线性回归模型也假定自变量的取值有大量的变化，因此自变量的取值必须是大量的变化，要么从较低的值变化到较高的值，要么从较高的值变化到较低的值。
5、定性变量：假定解释变量可以为定性变量。
简单线性回归模型可以处理定性变量，即类别变量和虚拟变量，对定性变量处理的方法与对定量变量处理的方法基本相同。
6、常数项：要求回归模型包含一个常数项，因为解释变量的值可能会影响因变量的值，即便没有任何解释变量参与其中。
7、无共线性：简单线性回归模型要求解释变量之间没有强的多重共线性，即解释变量之间不能存在高度相关的关系。
8、无异常值：简单线性回归模型要求解释变量和因变量之间不存在太多的异常值，因为异常值可能会影响模型的拟合度。
简单线性回归
注意： 这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代
则
样本回归函数的随机形式/样本回归模型：
同样地，样本回归函数也有如下的随机形式： Yi Yˆi ˆi ˆ0 ˆ1 X i ei
式中，ei 称为（样本）残差（或剩余）项（residual），代表
回归函数在坐标系中用图形表示出来就 是回归线。它表示了应变量和解释变量 之间的平均关系。
回归线图示
概率密度函数 f(Yi)
Y
x1 xi Xk
PRF
X
注意：
一般地，在重复抽样中解释变量被假定 为固定的。所以回归分析中，解释变量 一般当作非随机变量处理。
1.4 总体回归函数
由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是 根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总 体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相 关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
1.3.1 回归分析 是对一个应变量对若干解释变量依存 关系的研究； 其目的是：由固定的解释变量去估计 和预测应变量的平均值等。
1.3.2 回归函数、回归线
应变量Y的条件期望E(Y/X i )随着解释变量 X的变化而有规律地变化。把这种变化关 系用函数表示出来，就是回归函数：
E(Y/X i ) f(X i )
列入模型的那些次要因素的综合影响。
由中心极限定理μ服从的均值
不妨假设
m
rj 1
j 1
则有
m
rj zj Z j 1
因此，由中心极限定理，无论Zj原来的分布形式如何，只要它们 相互独立，m足够大，就会有μ趋于正态分布。
而且正态分布简单易用，且数理统计学中研究的成果很多，可以 借鉴。
线性回归计算公式
线性回归计算公式
简介
线性回归是机器学习中常用的一种方法，用于建立输入变量 x 和输出变量 y 之
间的线性关系。
该方法通过拟合一个线性函数来预测连续型变量的值。
本文将介绍线性回归的计算公式及其相关概念。
线性回归模型
在线性回归模型中，我们假设因变量 y 与自变量 x 之间存在一个线性关系。
简
单线性回归模型可以表示为：
linear_regression_model
其中，y 是因变量，x 是自变量，β0 是截距，β1 是斜率。
最小二乘法
在线性回归中，我们使用最小二乘法来估计模型参数。
最小二乘法的目标是使
观测数据与模型预测值之间的误差平方和最小化。
误差函数可以表示为：
least_squares
我们需要找到使误差函数最小化的β0 和β1 的值。
计算公式
通过最小二乘法，我们可以得到β0 和β1 的计算公式。
β1 的计算公式
β1 的计算公式如下：
beta_1_formula
其中，n 是观测数据的数量，xi 和 yi 分别是第 i 个观测数据的自变量和因变量。
β0 的计算公式
β0 的计算公式如下：
beta_0_formula
总结
线性回归是一种常用的预测连续型变量的方法，通过拟合一个线性函数来建立自变量和因变量之间的关系。
最小二乘法被广泛应用于线性回归模型的参数估计。
本文介绍了线性回归的计算公式，其中包括β0 和β1 的计算公式。
理解线性回归的计算公式是学习和应用线性回归算法的基础，能够帮助我们更好地理解和分析数据。
线性回归分析
r 2 SSR / SST 1 SSE / SST L2xy Lxx Lyy
❖
两个变量之间线性相关的强弱可以用相关系数r(Correlation
coefficient)度量。
❖ 相关系数（样本中 x与y的线性关系强度）计算公式如下：
❖ 统计学检验，它是利用统计学中的抽样理论来检验样本 回归方程的可靠性，具体又可分为拟合程度评价和显著 性检验。
1、拟合程度的评价
❖ 拟合程度，是指样本观察值聚集在估计回归线周围的紧密 程度。
❖ 评价拟合程度最常用的方法是测定系数或判定系数。 ❖ 对于任何观察值y总有：( y y) ( yˆ y) ( y yˆ)
当根据样本研究二个自变量x1，x2与y的关系时，则有
估计二元回归方程： yˆ b0 b1x1 b2 x2
求估计回归方程中的参数，可运用标准方程如下：
L11b1+L12b2=L1y
L12b1+L22b2=L2y b0 y b1 x1 b2 x2
例6：根据表中数据拟合因变量的二元线性回归方程。
21040
x2
4 36 64 64 144 256 400 400 484 676
2528
练习3：以下是采集到的有关女子游泳运动员的身高（英寸）和体
重（磅）的数据: a、用身高作自变量，画出散点图 b、根据散点图表明两变量之间存在什么关系？ c、试着画一条穿过这些数据的直线，来近似身高和体重之间的关 系
测定系数与相关系数之间的区别
第一，二者的应用场合不同。当我们只对测量两个变量之间线性关系的 强度感兴趣时，采用相关系数；当我们想要确定最小二乘直线模型同数据符 合的程度时，应用测定系数。
统计学线性回归公式整理
统计学线性回归公式整理在统计学中，线性回归是一种用于建立变量之间线性关系的分析方法。
它通过构建一个线性方程来描述自变量与因变量之间的关系，并通过最小化残差平方和来确定回归系数。
在这篇文章中，我将整理统计学线性回归的公式及其应用。
一、简单线性回归简单线性回归是指只考虑一个自变量与一个因变量之间的关系的情况。
它的数学表达式可以表示为:Y = β₀ + β₁X + ε其中，Y代表因变量，X代表自变量，β₀和β₁分别代表截距和斜率，ε代表误差项。
通过最小二乘法，可以估计出截距和斜率的值。
二、多元线性回归多元线性回归是指考虑多个自变量与一个因变量之间的关系的情况。
它的数学表达式可以表示为:Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε其中，Y代表因变量，X₁、X₂、...、Xₚ代表自变量，β₀、β₁、β₂、...、βₚ分别代表截距和回归系数，ε代表误差项。
通过最小二乘法，可以估计出截距和回归系数的值。
在多元线性回归中，需要注意自变量之间的多重共线性问题。
如果自变量之间存在高度相关性，会导致估计结果不准确或不可解释。
因此，在进行多元线性回归分析时，要先进行变量选择或者采用正则化方法来应对多重共线性。
三、线性回归的假设在线性回归中，有一些假设需要满足，包括：1. 线性关系假设：因变量与自变量之间的关系是线性的。
2. 常态性假设：误差项ε服从均值为0、方差为常数的正态分布。
3. 独立性假设：误差项ε之间相互独立。
4. 同方差性假设：误差项ε的方差在所有自变量取值上都是相等的。
这些假设的满足与否对于回归分析的结果和解释具有重要意义，需要进行适当的检验和验证。
四、线性回归的应用线性回归在实际应用中有着广泛的应用，例如：1. 预测和预测分析：通过已知的自变量数据，可以利用线性回归模型对因变量进行预测，并进行概率分析。
2. 关联性分析：线性回归可以用于探索自变量与因变量之间的关系，并确定它们之间的强度和方向。
简单的线性回归实验原理
简单的线性回归实验原理
线性回归是一种用于预测数值型数据的统计模型。
其原理是通过寻找一条最佳拟合直线，以最小化实际观测值与模型预测值之间的差异。
线性回归模型的假设是，自变量和因变量之间存在一个线性关系。
这意味着，当自变量发生变化时，因变量也会按照固定比例发生变化。
在线性回归实验中，首先收集到一组自变量值和对应的因变量值。
然后，通过最小二乘法来拟合一条最佳拟合直线，该直线能够在自变量和因变量之间建立一个最合适的线性关系。
最小二乘法的目标是最小化实际观测值和模型预测值之间的误差平方和。
它通过调整直线的斜率和截距，来找到使误差平方和最小化的最佳拟合直线。
一旦得到了最佳拟合直线，就可以使用该直线来预测新的因变量值，给定特定的自变量值。
线性回归模型的评估指标包括平均绝对误差、均方误差和决定系数等。
这些指标可以用来评估拟合直线的质量和预测准确性。
简单回归系数
简单回归系数
简单回归系数是一种用于描述自变量和因变量之间线性关系的统计指标。
在简单线性回归模型中，自变量$x$和因变量$y$之间的关系可以表示为$y=a+bx$，其中$a$是截距，$b$是回归系数。
回归系数$b$表示自变量$x$每增加一个单位时，因变量$y$的平均变化量。
具体来说，如果回归系数为正数，则表示当自变量增加时，因变量也会增加；如果回归系数为负数，则表示当自变量增加时，因变量会减少；如果回归系数为零，则表示自变量和因变量之间没有线性关系。
简单回归系数的计算通常基于最小二乘法，通过最小化残差平方和来确定回归系数的值。
具体计算公式为：
$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-x_0)(y_i-y_0)}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-x_0)^2}$
其中，$x_i$和$y_i$分别表示第$i$个观测值的自变量和因变量的值，$x_0$和$y_0$分别表示自变量和因变量的平均值。
简单回归系数在统计分析和数据建模中具有重要的应用。
它可以用于预测和解释自变量和因变量之间的关系，评估变量的重要性，以及进行假设检验和推断。
通过了解回归系数的大小和正负，可以帮助我们更好地理解自变量对因变量的影响程度，并做出相应的决策和预测。
金融学《简单线性回归模型》课件
4500
2277 2388 2526 2681 2887 3050 3189 3353 3534 3710 3834
Hale Waihona Puke 30395000 5500
2469 2924 2889 3338 3090 3650 3156 3802 3300 4087 3321 4298 3654 4312 3842 4413 4074 4165
9
“线性”的判断p39
计量经济学中,线性回归模型的“线性” 有两种解释： ◆就变量而言是线性的 ——Y的条件期望（均值）是 X 的线性函数 ◆就参数而言是线性的 ——Y的条件期望（均值）是参数 β 的线性函数:
例如： E(Yi Xi ) 1 2Xi 对变量、参数均为“线性”
E(Yi Xi ) 1 2 ln Xi 对参数“线性”，对变量”非线性”
样本回归函数：
Y
SRF
如果把被解释变量Y的样本条件
均值Yˆi 表示为解释变量X的某种
函数，这个函数称为样本回归函
Yˆi
•• •••
数（SRF）。
Xi
X
13
样本回归函数的表现形式
条件均值形式：
将样本条件均值表现为解释变量的函数，样本回归函数如果为
线性函数，可表示为 Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
其中：Yˆi 是与 X i相对应的 Y 的样本条件均值 ˆ1 和 ˆ2 分别是样本回归函数的参数
一、明确几个概念（为深刻理解“回归”）
●被解释变量 Y 的条件分布：
当解释变量 X 取某固定值时（条件），Y 的值不确定， Y的不同取值会形成一定的分布，这是Y的条件分布。 ●被解释变量 Y 的条件概率：
X取某固定值时，Y 取不同值的概率称为Y的条件概率。
简单线性回归分析
注意：对于服从双变量正态分布的同样一组资料，若 同时做了相关分析和回归分析，则相关系数的 t 检验 与回归系数的 t 检验等价，且 t r = t b 。
3. 总体回归系数的区间估计：
b ± tα / 2,υ S b
0.1584±2.074×0.0246=（0.1074，0.2095）
（三）线性回归分析的前提条件： LINE
1.回归模型的方差分析:
总变异的分解：
Y P
ˆ Y −Y
Y −Y
ˆ Y −Y
Y
Y
X
图10-3
Y的总变异分解示意图
ˆ − Y )2 + ∑ (Y − Y )2 ˆ ∑ (Y − Y ) = ∑ (Y
2
SS 总 = SS 回归 + SS 残差
ν总 = n −1
ν 回归 = 1
ν 残差 = n − 2
X1 )
X2)
22.5 21.5 28.5 26.0 35.0 20.0 23.0 24.8 23.3 27.0 26.0 28.0
X3)
69 79 59 73 92 83 57 67 83 65 58 68
X4)
2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
1. 线性（linear）：反应变量与自变量的呈线
性变化趋势。
2. 独立性（independence）：任意两个观察值
相互独立，一个个体的取值不受其他个体的 影响。
前提条件（续）：
3. 正态性（normal distribution）：在给定
值X时，Y的取值服从正态分布
4. 等方差性（equal variance）: 对应于不
计量经济学回归的名词解释
计量经济学回归的名词解释引言：计量经济学是应用统计学方法研究经济现象的一门学科。
回归分析是计量经济学中最为重要的统计工具之一，用于探究变量之间的关系。
在本文中，将对计量经济学回归的一些重要名词进行解释，帮助读者更好地理解这个领域。
多元线性回归：多元线性回归是回归分析中最常见的形式。
它用于研究一个因变量与多个自变量之间的关系。
这种回归模型的数学表示形式可以用以下方程表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y是因变量，X1到Xk是自变量，β0到βk是回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示了自变量与因变量之间的关系强度和方向。
简单线性回归：简单线性回归是多元线性回归的一种特殊情况，仅有一个自变量和一个因变量。
这种回归模型的数学表示形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y和X分别代表因变量和自变量，β0和β1是回归系数。
回归斜率：回归斜率是回归方程中自变量的系数。
它衡量了因变量相对于自变量的变化幅度。
正斜率表示自变量增加时因变量也增加，负斜率则表示自变量增加时因变量减少。
截距：截距是回归方程中常数项，代表当自变量为零时，因变量的值。
它表示了因变量在自变量为零时的基准水平。
残差：残差是因变量与回归方程预测值之间的差异。
用数学形式表示为：ε = Y - Y_hat其中，ε是残差，Y是观测值，Y_hat是回归方程的预测值。
残差可以用来评估回归模型的适应度，较小的残差表明模型的拟合较好。
OLS估计法：OLS（Ordinary Least Squares）估计法是计量经济学中最常用的参数估计方法，用于估计回归系数。
它的核心思想是通过最小化残差的平方和来找到最优的估计值。
OLS估计法可以提供一些统计指标，例如标准误差、t值和p值，用来评估回归系数的显著性。
多重共线性：多重共线性是指在回归模型中，自变量之间存在较高的相关性。
当自变量之间存在较强的相关关系时，会导致参数估计结果不准确，增加误差的风险。
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历史背景：
英国人类学家 F.Galton首次在《自然遗传》 一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数” 两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他和英 国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身高、 臂长、拃长（伸开大拇指与中指两端的最大长度）
做了测量，发现：
公式（12-2）称为样本回归方程，它 是对两变量总体间线性关系的一个估计。 根据散点图我们可以假定，对于 X 各个取 值，相应Y 的总体均数 Y|X 在一条直线上
（图 12-2），表示为 Y |X X
回归参数的估计 ——最小二乘原则
➢ 残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定
lXX
(X X )2
a Y bX
式 中 lXY 为 X 与 Y 的 离 均 差 乘 积 和 :
lXY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
本例：n=15 ΣX=14.7 ΣX2=14.81
ΣY=224 ΣXY=216.7 ΣY2=3368
216.7 (14.7)(224)
b
15 14.81 (14.7)2
解题步骤
1．由原始数据及散点图观察两变 量间是否有直线趋势
2．计算 X 、Y 的均数 X 、Y ，离均 差平方和 l XX 、 lYY 与离均差积和 l XY 。
3、计算有关指标的值 4、计算回归系数和截距 5、列出回归方程
绘制回归直线
此直线必然通过点( ,X )且Y 与纵坐标轴相交于
截距a 。如果散点图没有从坐标系原点开
儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X， 英寸）存在线性关
系：Yˆ 33.73 0.516 X 。
也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来 说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子 代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton 将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”
“回归”已成为表示变量之间某种数量 依存关系的统计学术语，相关并且衍生出“回 归方程”“回归系数”等统计学概念。如研 究糖尿病人血糖与其胰岛素水平的关系，研 究儿童年龄与体重的关系等。
简单线性回归
本章内容
第一节 第二节 第三节 第四节
简单线性回归 线性回归的应用 残差分析 非线性回归
第一节 简单线性回归
双变量计量资料：每个个体有两个变量值 总体：无限或有限对变量值 样本：从总体随机抽取的n对变量值 （X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn） 目的：研究X和Y的数量关系 方法：回归与相关
➢ b>0，直线从左下方走向右上方，Y 随 X 增大而增大； ➢ b<0，直线从左上方走向右下方，Y 随 X 增大而减小； ➢ b=0，表示直线与 X 轴平行，X 与Y 无直线关系
b 的统计学意义是：X 每增加(减) 一个单位，Y 平均改变b个单位
回归模型的前提假设
线性回归模型的前提条件是：
线性(linear) 独立(independent) 正态(normal) 等方差(equal variance)
简单线性回归模型
Yi X i i
样本线回归方程
Yˆ a bX (12 1)
Yˆ 为各X处Y的总体均数的估计。
1．a 为回归直线在 Y 轴上的截距 ➢ a > 0，表示直线与纵轴的交点在
原点的上方 ➢ a <
2. b为回归系数，即直线的斜率
回归线上的估计值 Yˆ 的纵向距离 Y Yˆ 。
➢ 求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能 最好地代表数据点分布趋势的直线。
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小
回归参数的估计方法
b lXY ( X X )(Y Y )
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X 1.1 1.2 1.0 0.9 1.2 1.1 0.9 0.6 1.0 0.9 1.1 0.9 1.1 1.0 0.7 Y 14 13 15 15 13 14 16 17 14 16 15 16 14 15 17
在定量描述健康人凝血酶浓度（X）与凝 血时间(Y)数据的数量上的依存关系时，将 凝血酶浓度称为自变量(independent
始，可在自变量实测范围内远端取易于读 数的 值代入回归方程得到一个点的坐标， 连接此点与点( , )也可X绘出Y 回归直线。
总体回归系数β的的统计推断
样本回归系数b的标准误
sb
s y.x
n
(Xi X )2
i1
sy.x
n
(Yˆi Yi )2
i 1
n2
sy.x sb
variable)，用 X 表示；凝血时间称为因变 量(dependent variable)，用 Y 表示
由图12-1可见，凝血时间随凝血酶浓度的增加而减低 且呈直线趋势，但并非所有点子恰好全都在一直线上，此 与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线回归 （linear regression）,其方程叫直线回归方程，以区别 严格意义的直线方程。回归是回归分析中最基本、最简单 的一种，故又称简单回归。
6.98020
15
a 224 (6.98020) 14.7 21.77393
15
15
Yˆ 21.77393 6.9802 X
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应 Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（12-2）中的 Yˆ 实际 上是 X 所对应 Y 的总体均数 Y |X 的一个样本 估计值，称为回归方程 的预测值（predicted value）,而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
线性回归的概念及其统计描述
直线回归的概念
目的：研究因变量Y对自变量X的数量依 存关系。
特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系， 不同于一般数学上的X 和Y的函数关系
为了直观地说明直线回归的概念，以15
名健康人凝血酶浓度（X）与凝血时间(Y)
数据（表12-1）进行回归分析，得到图 12-1所示散点图（scatter plot）