椭圆的简单几何性质(第一课时)教学设计

合集下载

3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质导学案正文

3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质【学习目标】1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征,并用其标准方程分析推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.能说明椭圆特征量的几何意义.3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性质的代数表达.◆ 知识点椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0) y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0) 图形性质焦点焦距 |F 1F 2|=2c (c=√a 2-b 2)范围对称性关于对称长轴 |A 1A 2|=2a ,其中a 为长半轴长短轴 |B 1B 2|=2b ,其中b 为短半轴长顶点离心率(0<e<1)2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 (1)离心率椭圆的焦距与长轴长的比ca 叫作椭圆的离心率,用e 表示,即 ,e ∈(0,1). (2)离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示,在Rt △BF 2O 中,cos ∠BF 2O=c a,记e=c a,则0<e<1,e 越大,∠BF 2O 越小,椭圆越 ;e 越小,∠BF 2O 越大,椭圆越 .【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)设F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,M 为椭圆上任一点,则|MF|的最大值为a+c (c 为椭圆的半焦距).( )(2)椭圆的离心率e 越大,椭圆就越圆. ( )(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为x 225+y 216=1.( )◆ 探究点一椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆C 1:x 2100+y 264=1,椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C 2的方程,并写出x ,y 的取值范围及椭圆C 2的对称性、顶点、焦点和离心率.变式 (1)若点(3,2)在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上,则下列说法正确的是( )A .点(-3,-2)不在椭圆C 上B .点(3,-2)不在椭圆C 上 C .点(-3,2)在椭圆C 上D .无法判断上述点与椭圆C 的位置关系 (2)点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的外部,则a 的取值范围是 ( )A .(-√2,√2)B .(-∞,-√2)∪(√2,+∞)C .(-2,2)D .(-∞,-2)∪(2,+∞)[素养小结]由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点:(1)已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时,若不是标准形式的方程,则先化成标准形式的方程,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.(2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.◆探究点二由几何性质求椭圆的标准方程例2 (1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0)的椭圆的标准方程为.(2)在平面直角坐标系中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为√22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为.变式 (1)与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为.(2)已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=6,则C 的方程为.[素养小结]利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置;(2)设出相应椭圆的标准方程;(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数;(4)写出椭圆的标准方程.◆探究点三求椭圆的离心率例3 (1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且△AF1F2为等边三角形,则椭圆C的离心率为( )A.12B.√22C.√32D.23(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是C的左、右焦点,P为C上一点,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=π6,则C的离心率为( )A.√33B.23C.√63D.2-√3变式 (1)[2024·黄山高二期中] 已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点,且2|AB|=|BC|,则该椭圆的离心率为( ) A.-1+√2B.2-√2C.-1+√3D.2-√3(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,若在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N满足∠F1MF2=∠F1NF2=2π3,则椭圆C离心率的取值范围是. [素养小结]求椭圆离心率的值(或范围)的步骤:(1)利用条件建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式);(2)借助a2=b2+c2消去b,转化为关于a,c的齐次方程或不等式;(3)将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式;(4)解方程或不等式即可求得e的值或取值范围.拓展已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),M,N分别为椭圆C的左、右顶点,若在椭圆C上存在一点H,使得k MH·k NH∈(-12,0),则椭圆C的离心率e的取值范围为( )A.(√22,1)B.(0,√22)C.(√32,1)D.(0,√32)。

椭圆的简单几何性质一教案

椭圆的简单几何性质（一）教学目标（一）教学知识点椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点 . （二）能力训练要求1. 使学生了解并掌握椭圆的范围 .2 使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心.3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及 a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距 .4. 使学生掌握离心率的定义及其几何意义 .教学重点椭圆的简单几何性质 .教学难点椭圆的简单几何性质 . （这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的）教学方法师生共同讨论法 . 通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质 .教学过程Ⅰ. 课题导入那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？同学们知道， 2008年的 8月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的 9 月 25 日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？（出示神七发射画片并解说）：2008年9月 25日21时， “神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问： “神舟七号 ”载人飞船的运行轨道是什么？――对，是椭圆。

据有关资料报道，飞船发射升空后，进入的是以地球的地心为一个焦点，距地球表面近地点高度约２００公里、远地点约３４６公里的椭圆轨道。

我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它们有几种形池州第六中学王超师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程22a x 2b y2 1（a b 0），（焦点在 x 轴上）或22 a y 2 b x21(aabb 0）（焦点在 y 轴上）（板书）式？问题 1：我们前面刚刚学习了椭圆的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？它有几种形式22 22（板书）x2 y 2 1(a b 0) y2 x 2 1(a b 0) a 2 b 2a 2b 2焦点在 x 轴上）（焦点在 y 轴上）问题 2：你想求出神七在宇宙中运行的椭圆轨道的标准方程吗？Ⅱ. 讲授新课（板书标题）椭圆的几何性质首先我们进入本节课的第一个环节一、几何性质［师］我们不妨对焦点在 x 轴的椭圆的标准方程 .22（板书） x 2 y 21（ a >b >0）进行讨论 .a 2b 2在解析几何里，我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质：一是由曲线的图像去 “看” 曲线的几何特征（以形辅数），同时又由曲线的方程来“证”明它（以数助形）。

椭圆的简单几何性质第一课时教学设计(第16组 )

椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教材分析1、教材的地位和作用《椭圆的简单几何性质》是北师大版选修2-1的内容。

本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。

先引导学生观察椭圆（几何直观），了解应该关注椭圆的哪些方面的性质，然后再引导学生考虑方程的各种特征对应着椭圆的哪些几何特征，逐渐让学生掌握研究曲线的几何性质的方法。

这样由形到数，由数到形，通过对曲线的范围、対称性及特殊点的讨论，从整体上把握曲线形状、大小、和位置。

对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，为后续研究其它曲线性质作铺垫。

2．教学重、难点重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

难点：用曲线方程研究曲线几何性质3．学情分析学生已学习了圆的相关性质，并掌握了椭圆的基本定义及其标准方程，亲历体验、发现和探究的意识，具备一定的图形分析能力和逻辑推理能力。

二．教学目标1．知识与技能：（1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。

（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。

2．过程与方法：（1）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；（2）运用数形结合思想解决实际问题的能力。

3．培养学科核心素养通过学生对椭圆几何性质的探究过程，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养。

三．教法与学法分析1. 教学方法：（1）类比分析法；（2）辨析与研讨法；（3）启发式引导法；（4）反馈式评价法.2. 学法指导自主探究法、观察发现法、归纳总结法。

四．教学过程分析创设情景第一“环节”：导入新课，明确研究方向：（类比与辨析）设置问题1：根据所学的知识，如何画椭圆的大致图形？（描点，体验关键点；对称性）设置问题2：请同学们回忆圆C ：x 2+y 2=a 2(a >0)的几何性质。

借鉴圆的几何性质，想一想椭圆12222=+by a x （a >b>0）会有哪些几何性质？利用多媒体打出一个焦点在轴x 轴上的椭圆，引导学生从直观上观察椭圆，想一想我们应该关注椭圆哪些方面的性质，如何研究？引导学生回顾圆借助方程研究几何性质的方法类比研究椭圆的几何性质。

椭圆的简单几何性质(第一课时)教案

椭圆的简单几何性质（第一课时）教案（科目:数学时间：2011年12月6日第二节地点：昌宁二中高98班教室）【授课教师】李光俊【授课班级】昌宁二中高二年级98班【教学目标】1、知识目标：⑴掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。

⑵能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题。

2、能力目标：培养学生的解析几何观念，培养学生观察、概括能力，以及分析问题、解决问题的能力。

3、情感目标：培养学生对待知识的科学态度和主动探索精神，激发学生学习激情，提高学生数学素养,培养学生对立统一的辩证唯物主义思想。

【教学重点】椭圆的简单几何性质。

【教学难点】椭圆的简单几何性质的应用。

【教学方法】尝试教学法【教具准备】多媒体电脑课件【教学过程】一、思考并回答下列问题： 1．椭圆的定义在平面内，到两定点F 1、F 2的距离之和为常数（大于|F 1F 2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。

2．椭圆的标准方程当焦点在X 轴上时当焦点在Y 轴上时3．椭圆中a,b,c 的关系： 22c b a +=4．平面解析几何研究的两个主要问题是什么？（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。

（2）通过方程，研究平面曲线的性质。

|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y二、椭圆的简单几何性质（以 )0(12222>>=+b a by a x 为例）1．椭圆的范围：由12222=+b y a x-a ≤x ≤a, -b ≤y ≤b 知椭圆落在x=±a, y= ± b 组成的矩形巩固练习题1．椭圆14922=+y x 的范围是22,33≤≤-≤≤-y x 巩固练习题2．椭圆)0,0(12222>>=+n m y n x m 的范围是ny n m x m 11,11≤≤-≤≤-2．椭圆的对称性：从图形上看，椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。

椭圆的简单几何性质教案 (1)

椭圆的简单几何性质【教学目标】1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义。

2．初步利用椭圆的几何性质解决问题。

教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。

教学难点：利用椭圆的几何性质解决问题。

【教学过程】预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况情景导入、展示目标：由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质.师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．师：由于方程f(x ，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x 都有唯一的函数值y 与之对应，而方程中x 、y 的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．合作探究、精讲点拨。

探究一观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 1 、范围：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。

椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。

（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22b y ____ 1；即____≤≤y___因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线___________和__________围成的矩形里。

《椭圆的简单几何性质》教学设计

椭圆的简单几何性质（1）教学设计杨华燕大附中2.2.2椭圆的简单几何性质（1）教学设计一、教学任务及对象1、教学内容分析《椭圆的简单几何性质》是选修2-1第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经学过曲线与方程和椭圆的概念及其标准方程基础上引入的，是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，它是由方程研究曲线的性质的一个应用，也是为后面学习利用双曲线、抛物线的标准方程研究其几何性质做铺垫，因此本节课起到承前启后的作用。

2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了椭圆的标准方程，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。

二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：使学生掌握椭圆的几何性质，初步学会运用椭圆的几何性质解决问题，进一步体会数形结合的思想。

2、过程与方法：通过数和形两条线研究椭圆的几何性质，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法；对椭圆的几何性质的归纳、总结时培养学生抽象概括能力；进一步强化数形结合思想。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。

三、重、难点分析重点：椭圆的简单几何性质难点：培养数形结合思想四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“生本课堂”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.2．学法分析本节课通过探究椭圆的几何性质，让学生体会数形结合思想，加深对解析几何的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．五、教学过程本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生充分的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。

《椭圆的几何性质》(第1课时)教学设计

１基本情况
１．１授课对象学生来自于省示范性重点高中——江苏省天
一中学，活泼可爱，聪明伶俐．
１．２教材分析
本节内容属于选修２一ｌ的第２章，是在学习了椭
圆标准方程的基础上，通过对椭圆标准方程的讨论，
使学生掌握椭圆的几个性质，掌握标准方程中口，ｂ，
ｃ，ｇ的几何意义以及口，ｂ，ｃ，Ｐ之闻的相互关系．
有疑”的教学思想仍是一条行之有效的教学准则．
２一Ｚ
师：接下来，我把磊Ｘ－＋京２１中的２５，１６换成
口２，ｂ２，你能画出它的图形吗？首先，它的范围是怎么样的？
生（众）：一口≤ｚ≤ｎ，一ｂ≤Ｙ≤ｂ．师：很好（利用课件演示“椭圆的范围”），另外，
对称性有没有变？
生；没有，还是关于ｚ轴、了轴对称，关于原点对
生（众）：ｙ轴．师：很好，所以我刚才画的椭圆确实很难看（将椭圆的图形修正，并在黑板上总结椭圆的对称性：关
于ｚ轴对称，关于Ｙ轴对称），还有？（稍作停留）
生（众）：关于原点对称．
活动意图通过故意设计的一个小插曲，使学
生认识到椭圆的对称性，并回归到方程，利用方程的
特征深刻认识椭圆的轴对称性和中心对称性．“学贵
·４·
中学数学月刊
２０１０年第６期
《椭圆的几何性质》（第１课Ｂ寸）教学设计
何志奇（江苏省天一中学２１４１０１）
作者简介何志奇，生于１９５７年，１９８２年２月毕业于江苏师范学院（今苏州大学）数学系，１９９６年结业于华东师大数学系硕士课程研修班．江苏省数学特级教师，江苏省首批教授级高级教师，中国数学奥林匹克一级教练员，苏州大学数学科学学院特聘硕士生导师．教育部“新课程高中数学远程培训”导师组数学课程团队核心组成员，江苏省教育厅主编《普通高中数学新课程教学指导意见》一书编写组核心成员．现任江苏省天一中学师训处主任．主编多部数学教学专著和发表多篇论文，参与省市级规划课题和江苏省高考数学命题研究工作．

《椭圆的简单几何性质》教学设计精编版

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯《椭圆的简单几何性质》教课一.教材分析1.教材的地位和作用本节课是一般高中课程标准实验教科书数学选修1-1 第二章 2.1.2 第 1 课时：椭圆的简单几何性质。

在此以前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这不过纯真地经过曲线成立方程的研究。

而这节课是联合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程商讨椭圆的几何性质,是数与形的完满结合，让学生在认识如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充足认识到“由数到形，由形到数”的转变，领会了数与形的辨证一致，也从中体验了学数学的乐趣，遇到了数学文化熏陶，为后继研究分析几何中其余曲线的几何性质确立了重要基础。

2.教材的内容安排和办理本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在分析几何中，利用曲线的方程议论曲线的几何性质对学生来说是第一次，所以可依据学生本质状况及认知特色，改变了教材中原有研究次序，指引学生先从察看课前预习所作的详细图形下手，依照经过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，顺序渐近进行研究。

在教课中不单要侧重对椭圆几何性质的理解和运用，并且更应重视对学生进行这类研究方法的思想浸透，经过教师合理的情境创建，师生的共同议论研究，学生的亲身实践体验，使学生真实意义上理解在分析几何中，如何用代数方法研究曲线的性质，稳固数形联合思想的应用，达到确实地用数学分析解决问题的能力。

3. 要点、难点：教课要点：掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其研究方法研究问题, 领会数形联合思想方法在数学中的应用教课难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

二.学生的学情心理分析我的任教班是普班,大多半学生的数学基础较为单薄, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强, 可是他们的思想活跃，参加意识激烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，所以依照以上特色,在教课设计方面，我打算借助多媒体手段，创建问题情境，联合图形启迪指引，组织学生合作研究等形式，都切合我班学生的认知特色，为他们创建了一个自然和睦的讲堂气氛。

椭圆的几何性质(教案

《椭圆的简单几何性质》（第一课时）论证学法指导，探索新知1、范围的探究问1：根据12222=+byax(a>b>0)的图象，你能说出x、y的范围吗？问2：如何根据方程12222=+byax（a>b>0）来验证x、y 的取值范围？引导：椭圆标准方程12222=+byax（a>b>0）有什么特点？（1）方程的左边是平方和的形式，右边是常数1。

（2）方程中x2和y2的系数不相等。

（展示过程）归纳结论：①椭圆方程中x、y的范围为：axa≤≤-且byb≤≤-；②椭圆位于直线x=a±和y=b±所围成的矩形内。

2、对称性的探究（1）椭圆12222=+byax（a>b>0）具有怎样的对称性呢？你能根据图象加以说明吗？（展示动画，归纳总结）（2）你能根据椭圆的标准方程来验证它的对称性吗？如何验证？①把x换成-x，方程变吗？说明图象关于什么对称？②把y换成-y，方程变吗？说明图象关于什么对称？教师提问，学生独立思考，然后通过观看动画得出结论。

教师巡视，展示学生解答过程，师生评价。

动画展示椭圆的对称性，归纳结论。

教师提问，学生观察思考、动手操作。

教师展示学生解答过程，师生共评。

教师结合图形给出相关定义。

学生结合图形，展开讨论。

图形展示，得出结论。

学生观察、回答。

使学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法。

动画展示椭圆的对称性,使学生体会椭圆的对称美。

展示和评价学生的解题过程，培养学生逻辑推理能力。

结合图形给出相关定义，使学生对定义有深刻理解，也为范围的探究作好铺垫。

体会a、b、c的几何意义，体现数与形的紧密结合,为椭圆扁平程度的探究奠定基础。

环节教学内容师生互动设计意图（3）归纳总结：椭圆12222=+byax（a>b>0）的图象关于x轴,y轴和原点对称，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心。

3、顶点的探究椭圆12222=+byax（a>b>0）与对称轴有几个交点呢？你能根据方程求出这些交点坐标吗？顶点定义：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆的简单几何性质教案第一课时

《椭圆的简单几何性质》教案第一课时教学目的：1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质 2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系 3．理解．掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法教学重点：椭圆的几何性质教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体．实物投影仪内容分析：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质．画图就是解析几何的目的怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围．对称性．顶点．离心率．准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法．难点是椭圆的离心率．准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围．对称性．顶点坐标．离心率．椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义．椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数c b a ,,e c b a ,,,方程及应用教学过程：一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．标准方程：，（）3．问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长．短轴长各是多少？的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？二、讲解新课：由椭圆方程()研究椭圆的性质．(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致)(1)范围：从标准方程得出，，即有，，可知椭圆落在组成的矩形中．(2)对称性：把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称．换成方程不变，图象关于轴对称．把同时换成方程也不变，图象关于原点对称．12222=+b y a x 12222=+bx a y 0>>b a c b a ,,12222=+by a x 0>>b a 122≤a x 122≤by a x a ≤≤-b y b ≤≤-b y a x ±=±=,y x --,QB 2B 1A 2A 1P F 2F 1P ′P ″xOy如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴．轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点令，得，因此椭圆和轴有两个交，它们也是椭圆的顶点因此椭圆共有四个顶点：，加两焦点共有六个特殊点．叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称性，顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．(4)离心率：发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同这种扁平性质由什么来决定呢？概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：范围：考察椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线12222=+b y a x 0=y a x ±=)0,(),0,(2a A a A -12222=+by a x b y ±=),0(),,0(2b B b B -12222=+b y a x )0,(),0,(2a A a A -),0(),,0(2b B b B -)0,(),0,(21c F c F -b a 2,2ace =2)(1a b e -=10<<e 0,0→→c e ,,1a c e →→B 2B 1A 2A 1xOy段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例三、讲解范例：例1 求椭圆的长轴和短轴的长．离心率．焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．解：把已知方程化成标准方程所以，，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是，将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）（2）答：简图如下：400251622=+y x 1452222=+y x 345,4,522=-===c b a 82,102==b a 53==a c e )0,3(),0,3(21F F -)0,5(),0,5(2A A -)4,0(),4,0(2B B -22554x y -±=22554x y -=50≤≤x ),(yx 1162522=+y x 192522=+y x例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（1）（2）答：简图如下：四、课堂练习：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为：两段，求其离心率解：由题意，=：，即，解得 2．如图，求椭圆，()内接正方形ABCD 的面积解由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE 的面积是所求正方形面积的1/4，且B 点横纵坐标相等，故设B （)，代入椭圆方程求得，即正方形ABCD 面积为五、小结：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性．顶点．范围．离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法六、课后作业：七、板书设计（略）14922=+y x 1364922=+yx)(:)(c a c a -+2311=-+e e 625-=e 12222=+by a x 0>>b a 22222ba b a t +=22224b a b a +八、课后记：。

《椭圆的简单几何性质》第一课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《椭圆的简单几何性质》第1课时教学设计利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，本节在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，第1课时不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．1．掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a，b，c的几何意义以及a，b，c的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．2．利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．3．通过自主探究、交流合作使学生亲身体验探究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．教学重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．教学难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的教学过程．学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点．引入新课提出问题：方程16x 2＋25y 2＝400表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？活动设计：情形1：列表、描点、连线进行作图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；情形3：方程变形，求出a ，b ，c ，联想椭圆画法，利用绳子作图；情形4：只作第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其他象限内的图形．辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯．设计意图：(1)问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决体现了对二元二次方程的研究，为利用方程研究性质打下基础；(2)课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特征：范围、对称性、关键点；(3)实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异和思维认识层次；(4)辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识．点评：(1)能够抓住椭圆的几何特征、范围、对称性、关键点作图；(2)研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；(3)本节课我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法．教师板书：椭圆的简单几何性质．探求新知问题：学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)有什么特点？(1)椭圆方程是关于x ，y 的二元二次方程；(2)方程的左边是平方和的形式，右边是常数1；(3)方程中x 2和y 2的系数不相等．设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备．【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围．实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维．学生活动过程：情形1：x 2a 2＋y 2b 2＝1变形为y 2b 2＝1－x 2a2≥0，x 2≤a 2|x |≤a －a ≤x ≤a . 这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围－a ≤x ≤a .同理，我们也可以得到y 的范围－b ≤y ≤b .情形2：可以把x 2a 2＋y 2b 2＝1看成sin 2α＋cos 2α＝1，利用三角函数的有界性来考虑x a ，y b的范围．点评：你可能没有意识到，如果将a ，b 乘过去，就得到了⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acosα，y ＝bsinα，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下课后可以阅读有关内容．所以我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的是放宽研究问题的思路，拓宽我们的思维角度．谁还有其他的方法？情形3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以x 2a 2≤1，同理可以得到y 的范围．情景4：利用学习过函数的定义域、值域，这对研究椭圆的范围有何启示呢？由x 2a 2＋y 2b 2＝1，则y ＝±b aa 2－x 2，可通过求这个函数的定义域、值域得范围. 但y ＝±b aa 2－x 2是函数吗？学生(思考后)说不是. 教师提问：怎么处理呢？学生活动：把 y ＝b a a 2－x 2和y ＝－b aa 2－x 2分别看作是一个函数. 先求函数y ＝b aa 2－x 2的定义域、值域．利用前面学习过的代数函数求定义域、值域的方法，可得－a ≤x ≤a , 0≤y ≤b ，同样得 y ＝－b aa 2－x 2中－a ≤x ≤a , －b ≤y ≤0 ，于是得到范围．教师总结：只需求 y ＝b aa 2－x 2(0≤x ≤a ) 的定义域、值域即可，然后利用对称性可得范围. 通过前面的探讨，我们知道椭圆是有范围的，即它围在一个矩形框内．有了前面这几个性质，我们就可以很快地作出焦点在 x 轴上的椭圆的草图了．教师在黑板上示范作图(先找到标准方程所表示的椭圆与坐标轴的四个交点，画出矩形框，再用光滑曲线连接，并注意对称性)．设计意图：(1)传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；(2)通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现得异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；(3)多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想．结论：由椭圆方程中x ，y 的范围得到椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形里．【问题2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：－x 代替x 后方程不变，说明椭圆关于y 轴对称；－y 代替y 后方程不变，说明椭圆曲线关于x 轴对称；－x 、－y 代替x ，y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称．问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？辨析与研讨：－x 代替x 后方程不变，就是用(－x ，y )来代换方程中的(x ，y )，方程不变，(－x ，y )和(x ，y )关于y 轴对称，两点坐标都满足方程，而(x ，y )是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于y 轴对称；其他同理．相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．设计意图：(1)抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；(2)在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；(3)多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美．【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标．实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：在椭圆的标准方程中，令x＝0，得y＝±b，令y＝0，得x＝±a.顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，－b)．相关概念：线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a 和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a，b，c就有了明显的几何意义．设置问题：在椭圆标准方程的推导过程中令a2－c2＝b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？学生探究：c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，连结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，即a2－c2＝b2.多媒体展示特征三角形．设计意图：(1)利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是a2－c2＝b2的几何意义，多媒体课件的展示体现了a，b，c的几何意义，从而得到a2－c2＝b2的本质．运用新知活动设计：阅读课本例4，你有什么认识？活动成果：(1)利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程化为标准方程，然后找出相应的a，b，c.(2)利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边长，以原点为中心画矩形；②由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；③用曲线将四个顶点连成一个椭圆；④画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．设计意图：(1)学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；(2)与开头相呼应，使学生认识到运用椭圆的简单几何性质能够简化作图过程．反思与评价：回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：(1)知识与技能：椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；(2)过程与方法：重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；(3)情感、态度与价值观：善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．设计意图：不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次．课堂小结(1)椭圆的范围、长轴长、短轴长．(2)椭圆的对称性，对称轴、对称中心．布置作业(1)反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；(2)研究y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的范围、对称性、顶点； (3)课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征“方程中x 2和y 2的系数不相等”，因此当x 2和y 2的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业(1)强调研究方法的重要性，作业(2)是对学生学习效果的一种检验，作业(3)引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率；1．课堂设计理念授人以鱼不如授人以渔．通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位．2．对教材的研究认识利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质．因此，在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力．同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，本节课不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质．3．课堂教学模式的设置自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力．数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处．因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习．4．课堂练习题的说明如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础．为了不冲淡主题，课堂教学过程重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力．因此，在椭圆几何性质的其他课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用．。

高二数学上 8.2 椭圆的简单几何性质(一)优秀教案

8.2 椭圆的简单几何性质一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)2．难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，)3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？a,b,c的关系是？学生口述，教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．1．X围即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取X围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x ，y)在曲线上，因为曲线关于x 轴对称，所以点P 1(x ，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P 1关于原点对称点P 2(-x ，y)必在曲线上．因P(x ，y)、P 2(-x ，y)都在曲线上，所以曲线关于y 轴对称．最后指出：x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心． 3．顶点只须令x=0，得y=±b ，点B 1(0，-b)、B 2(0，b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y=0，得x=±a ，点A 1(-a ，0)、A 2(a ，0)是椭圆和x 轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A 1(-a ，0)、A 2(a ，0)、B 1(0，-b)、B 2(0，b)．教师还需指出：(1)线段A 1A 2、线段B 1B 2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ；(2)a 、b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的X 围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．根据前面所学有关知识画出下列图形（1）1162522=+y x （2）142522=+y x 4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e 的几何意义．先分析椭圆的离心率e 的取值X 围： ∵a ＞c ＞0，∴ 0＜e ＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 已知椭圆16x2+25y2=400，它的长轴长是：。

椭圆的简单几何性质教学教案

椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际物体（如地球、月球绕太阳的运动）来让学生理解椭圆的形状。

解释椭圆是由一个固定点（焦点）和到该点距离之和等于常数的点的集合所形成的图形。

1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

解释方程中a和b的含义，以及它们与椭圆的性质之间的关系。

第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴定义椭圆的长轴，即通过椭圆中心并且平行于x轴的轴。

解释长轴的长度是2a，与椭圆的半长轴a的关系。

2.2 椭圆的短轴定义椭圆的短轴，即通过椭圆中心并且垂直于x轴的轴。

解释短轴的长度是2b，与椭圆的半短轴b的关系。

2.3 椭圆的焦距定义椭圆的焦距，即焦点之间的距离。

解释焦距与椭圆的长轴和短轴的关系，即焦距等于2c，其中c是焦点到椭圆中心的距离。

第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式推导椭圆的面积公式，即A = πab，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

解释面积公式中π的作用和意义。

3.2 椭圆的面积性质解释椭圆的面积与长轴和短轴的关系，即面积与长轴和短轴的乘积成正比。

举例说明椭圆面积的计算方法，并进行实际计算练习。

第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义定义椭圆的离心率e，即焦距与长轴之间的比值，e = c/a。

解释离心率的作用和意义，以及它与椭圆的形状之间的关系。

4.2 椭圆的离心率性质解释离心率与椭圆的长轴和短轴的关系，即离心率越小，椭圆越接近于圆形。

举例说明椭圆离心率的计算方法，并进行实际计算练习。

第五章：椭圆的焦点和直线的交点5.1 椭圆的焦点定义椭圆的焦点，即椭圆上到焦点距离之和等于常数的点。

解释焦点的性质，以及它们与椭圆的中心和长轴之间的关系。

5.2 椭圆与直线的交点解释椭圆与直线的位置关系，以及交点的性质。

举例说明椭圆与直线交点的计算方法，并进行实际计算练习。

椭圆的简单几何性质教案

一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。

2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。

3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。

教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。

2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。

（2）椭圆的短轴长度为2b。

（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。

（4）椭圆的面积S=πab。

3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。

引导学生运用椭圆的性质解决问题。

4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。

三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。

2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。

3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。

四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。

五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。

六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。

〖2021年整理〗《椭圆的简单几何性质》优秀教案

椭圆的简单几何性质（第一课时）（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率； 2在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系； 3知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响（二）学习重点1用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性； 2椭圆的简单几何性质（三）学习难点椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用二教学设计（一）预习任务设计 1预习任务（1）读一读：阅读教材第43页至第46页（2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？（3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点 2预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a （）（2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆（）（3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为2212516x y +=（）（4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+（）【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】通过椭圆的标准方程22221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e ca=，的取值范围取值范围a x a -≤≤【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√ （二）课堂设计 1知识回顾椭圆的标准方程：当焦点在轴时，)0(12222>>=+b a b y a x当焦点在轴时，)0(12222>>=+b a b x a y2新知讲解探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质运用所学的知识，你能否画出方程14922=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图）预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升（1）范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里（2）对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心（3）顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a是椭圆与x 轴的两个交点所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22R t O BF ∆中，2||O B b =，2||O F c =，22||BF a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a b =-（4）离心率：椭圆的焦距与长轴的比e ca=叫椭圆的离心率 ∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a+=e 1,0c a b →→→⎧⎨⎩当时,椭圆图形越扁； e 00,c b a →→→⎧⎨⎩当时,椭圆越接近于圆●活动② 巩固基础、检查反馈例1根据下列条件求椭圆的标准方程（1）28,e 3c ==；（2）过点(3,0)P ，离心率e =，求椭圆的标准方程【知识点】椭圆的标准方程以及离心率【解题过程】（1）8e ,1223c c a a e =∴===，又2222212880b a c =-=-= ∴椭圆标标准方程为22114480x y +=或22114480y x += （2）当椭圆的焦点在x 轴上时，3,c a ca ==∴=从而222963b a c =-=-=，∴椭圆的方程为22193x y +=当椭圆的焦点在y 轴上时，3,c b a === 227a ∴=，∴椭圆方程为221927x y += ∴所求椭圆的方程为221927x y +=或22193x y += 【思路点拨】已知椭圆的某些性质，和与性质相关的条件求标准方程仍需先判定焦点位置，从而确定方程形式，并用待定系数的思想，求出方程中的,a b 值，得到方程【答案】（1）22114480x y +=或22114480y x +=；（2）221927x y +=或22193x y +=同类训练已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值【知识点】椭圆的离心率【解题过程】依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ====，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===253m =⇒=【思路点拨】根据椭圆焦点的位置确定,,a b c 的值，结合离心率的定义建立方程求解【答案】m =3或253例2已知12,F F 分别为椭圆12222=+by a x 的左右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，求这个椭圆的离心率【知识点】椭圆的离心率【解题过程】由题意12PF F ∆为直角三角形，且90P ∠=，1260PF F ∠=，122F F c =，则12,PF c PF ==，所以由椭圆的定义知，122PF PF a +=，即2c a =，得离心率e 1ca== 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围1-同类训练已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A B 、两点，0OA OB ⋅=，求椭圆的离心率【知识点】椭圆的离心率【解题过程】2(,0)F c ，把x c =代入椭圆12222=+b y a x 得2(,)b A c a由0OA OB ⋅=，结合图形得22||||OF AF =，即：22222e e 10e b c b ac a c ac a =⇒=⇒-=⇒+-=⇒=【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围【答案】1+52- 例3如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线：254x =的距离的比是常数45，求点的轨迹方程【知识点】椭圆的方程以及离心率【解题过程】分析：若设点(),M x y ，则()224MF x y =-+，到直线：254x =的距离254d x =-，则容易得点的轨迹方程25:44,5d M l x MF M P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设是点到直线的距离，根据题意，点的轨迹就是集合2(4)4.2554x y x -+=-22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得22 1.259x y +=即所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆【思路点拨】利用条件直接求轨迹方程，我们可以将例3抽象为下面问题：点(,)P x y 与定点(,0)F c 的距离和它到一定直线2:a l x c =的距离之比是常数ca (0)a c >>，求点P 的轨迹方程（记222b ac =-，则轨迹方程为22221x y a b+=）【答案】221 259x y+=3课堂总结知识梳理椭圆的简单几何性质：标准方程）（012222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 图形范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤,a y a b x b -≤≤-≤≤顶点 1(,0)A a -2(,0)A a 1(0,)B b -2(0,)B b 1(0,)A a -2(0,)A a 1(,0)B b -2(,0)B b 长轴长 2a短轴长 2b对称性对称轴：,x y 轴；对称中心：(0,0)cb a ,,关系 222a bc =+离心率e c a=重难点归纳利用椭圆轴长、离心率、准线等性质求解椭圆方程时，需注意：（1）在,,,e a b c 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可求出其它两个，必须正确地掌握四个参数间的相互关系；（2）离心率的转化和变形：22222e 1()1(1)2c b be b a e a a==-⇒=-⇒=- （三）课后作业基础型自主突破＋错误!＝1的离心率为错误!，则m 的值为（）【知识点】椭圆的离心率【解题过程】由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴m ＝错误! 【思路点拨】利用椭圆离心率定义解题【答案】B1：错误!＋错误!＝1和椭圆C 2：错误!＋错误!＝1 0错误!8=错误!错误!b >0的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为错误!，过F 2的直线交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4错误!，则C 的方程为（）＋错误!＝1 错误!＋2＝1 错误!＋错误!＝1 错误!＋错误!＝1 【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】根据条件可知错误!＝错误!，且4a ＝4错误!， ∴a ＝错误!，c ＝1，b ＝错误!，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1 【思路点拨】过焦点的直线利用椭圆的定义【答案】A＋错误!＝1a >b >0的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（）－2【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得a －ca ＋c ＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝错误! 【思路点拨】利用椭圆的几何性质中量的关系【答案】B轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2错误!，则此椭圆的标准方程为________ 【知识点】椭圆的定义【解题过程】由已知，2a ＝8,2c ＝2错误!，∴a ＝4，c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为错误!＋2＝1 【思路点拨】利用条件求a,b,c 的值【答案】错误!＋2＝16已知椭圆的短半轴长为1，离心率00，∴a 2>1， ∴1b >0，半焦距为c ，则错误!∴错误!∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为错误!＋错误!＝1【思路点拨】利用椭圆a,b,c 三者关系以及椭圆定义解题【答案】错误!＋错误!＝1＋错误!＝1的左焦点为F ，直线＝m 与椭圆相交于点A 、B 当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】如图，当直线＝m ，过右焦点1,0时，△F AB 的周长最大，由错误!解得＝±错误!，∴|AB |＝3 ∴S ＝错误!×3×2＝3 【思路点拨】数形结合解题【答案】3 探究型多维突破0，0是椭圆错误!＋错误!＝1上一点，A 点的坐标为6,0，求线段错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!22(26)(2)184x y -+=22(3)12x y -+=22(3)12x y -+=12:2:1PF PF =12:2:1PF PF =＋32＝mm >0的离心率e ＝错误!，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】椭圆方程可化为错误!＋错误!＝1， ∵(2)033m m m m m m +-=>++，∴m >错误! 即a 2＝m ，b 2＝错误!，22(2)3m m c a b m +=-=+由e ＝错误!得，错误!＝错误!，∴m ＝1 ∴椭圆的标准方程为2＋错误!＝1， ∴a ＝1，b ＝错误!，c ＝错误!∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1－错误!，0，F 2错误!，0；四个顶点分别为A 1－1,0，A 21,0，B 10，－错误!，B 2021错误!【思路点拨】利用离心率的定义建立关系6已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到轴的距离等于短半轴长的错误!，求椭圆的离心率【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】解法一：设焦点坐标为F1－c,0，F2c,0，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为c，错误!b在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋错误!b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝错误!＋错误!b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2ab又c2＝a2－b2 3b＝2a∴错误!＝错误!∴e2＝错误!＝错误!＝1－错误!＝错误!，∴e＝错误!解法二：设Mc，错误!b，代入椭圆方程，得错误!＋错误!＝1，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，即e＝错误!【思路点拨】利用椭圆的几何关系结合椭圆离心率的定义解题。

3.1.2椭圆的简几何性质(第一课时) (1)

3.1.2椭圆的简单几何性质（第一课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的范围、对称性、中心、顶点、轴、离心率等几何性质，能够应用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。

2.会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程二、教学重难点1.学会椭圆的长短轴、焦点坐标、离心率的基本概念2.掌握椭圆的离心率、长短轴的定义基础及其灵活应用三、教学过程1.椭圆的简单几何性质1.1创设情境，引发思考【实际情境】神舟飞船发射成功，飞行轨道具有何种特征？阅读教材，完成下表。

____≤x ≤____ _____≤x ≤_____问题1：请用圆规作出图中椭圆焦点的位置。

并说明依据。

【活动预设】1.引导学生归纳概括出椭圆的图形特征： 2.椭圆标准方程中a 、b 、c 的关系. 【设计意图】渗透数形结合思想1.2探究典例，形成概念活动：探究离心率的定义依据【活动预设】求适合下列条件的椭圆的焦点坐标和离心率：【设计意图】为数学概念的形成提供理论依据.问题2：求适合下列条件的椭圆的长短轴、焦点坐标和离心率：(1)x2100+y236=1；(2)x236+y2100=1【活动预设】探究焦点位置与标准方程之间联系。

【设计意图】比较不同的焦点位置对图形的影响1.3具体感知，理性分析活动：自主举例的接龙活动.【活动要求】分成A、B组：A组给出标准方程B组画出椭圆的图像并说明特征；然后交换：A组给出椭圆的图形B组写出标准方程。

【活动预设】对椭圆的标准方程的形式给出清晰的认识【设计意图】在形成椭圆概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延的角度加深概念的理解，从而形成数形结合的思想用标准方程研究椭圆的几何性质。

2.初步应用，理解概念例1 求椭圆16x2＋25y2＝400旳长轴长短轴长，离心率，焦点和顶点坐标【预设的答案】16x2＋25y2＝400是否为标准方程？【设计意图】对椭圆方程的结构认识。

1芦台一中乔树华《椭圆的简单几何性质》(第一课时)教学设计

2．2椭圆椭圆的简单几何性质（第1课时）（人教A版高中课标教材数学选修2-1）教学设计授课教师：乔树华天津市宁河区芦台第一中学2018年10月《椭圆的简单几何性质》（第一课时）教学设计天津市宁河区芦台第一中学乔树华一、教学内容解析1.内容本节课学习椭圆的几何性质，主要包括范围、长轴、短轴、对称性、离心率，以及性质的应用.2.内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中2.2《椭圆》的第二课时，主要内容是研究椭圆的几何性质. 椭圆的对称性、长轴、短轴描述了椭圆的形状特征，椭圆的范围描述了椭圆的大小，椭圆的离心率是用数值刻画椭圆扁平程度的量.从单元内容看，本单元主要包括三种圆锥曲线的定义、标准方程和性质，以及坐标法的应用，在学习的过程中要深入对数形结合思想的理解.本节课是在学生熟悉了直线和圆的方程、椭圆的定义及其标准方程的基础上，并具有初步运用方程研究曲线的方法的活动经验后，第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.它为之后研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题等内容提供了数学模型和方法指导，因此本节课对体会单元核心思想方法具有举足轻重的地位和作用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了数形结合、分类讨论及类比推理的思想和用代数法研究曲线性质的数学方法.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，理解“以数解形”的数形结合思想.二、教学目标设置1.教学目标（1）在动手画椭圆的过程中，发现并提出椭圆对称性、大小、圆扁程度等几何性质的问题，发展学生发现问题提出问题的能力,培养学生数学抽象的能力.（2）通过对椭圆图形特征的研究，分析椭圆的范围、长轴、短轴、对称性的性质，发展学生分析几何图形和直观想象的能力.（3）结合方程分析椭圆性质，以数解形，提升学生对数形结合思想的理解.（4）通过离心率的探究，使学生经历观察、分析、归纳、概括的思维过程和动手操作的实践过程，发展学生数学逻辑推理的能力.2.目标解析（1）设计画椭圆图形，可以提高学生研究曲线时动手作图的基本技能，并让学生从作图的过程中初步了解椭圆的各项几何性质，发展学生直观想象和数学抽象的数学核心素养，培养学生分析问题和解决问题的操作性思维能力.（2）研究曲线性质时，首先从图形角度研究，可以提高学生发现问题的能力,并让学生体会几何直观在研究曲线性质中的作用.（3）通过方程对椭圆的几何性质的探究，学生进一步感受用代数方法解决几何问题的数形结合的思想，在由数释形的过程中，培养学生的探究习惯，发展学生的理性思维.（4）在椭圆离心率的探究过程中，通过实验发现规律，结合老师的引导点拨，让学生去实现对离心率的发现和理解，培养学生严谨的治学态度和不断发现问题的能力，以及运用所学知识解决新问题的能力.三、学生学情分析学生已经熟悉和掌握椭圆的定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力，但这是学生第一次通过方程研究曲线的几何性质，研究思路并不是很清晰.对于范围、对称性、顶点三个性质，通过老师的点拨引导，学生比较容易掌握.离心率概念比较抽象，学生缺乏研究此类问题的经验.本节课的教学难点是：学生对椭圆的核心性质——离心率的认识与理解.本单元内容的教学，要使学生充分经历“操作、观察、分析、抽象、概括”的学习过程.即从生活中抽象图形的模型，动手操作画图象，观察曲线的特点，探究曲线的方程，根据方程研究曲线.教学中，充分运用类比学习、螺旋提升的方法，不断形成完整的解析几何研究方法和学习策略.在运用方程讨论曲线性质时，主要以独立探究为主，离心率的发现过程要为学生创设适当的情境，使学生在最近发展区中发现问题、解决问题.对于坐标法的理解，教师要为学生创造循序渐进地理解数形结合思想的条件，以代数与几何为什么结合、怎么结合、结合时注意什么等问题为抓手，帮助学生深刻理解此数学思想方法.四、教学策略分析根据本节课教学内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，激发学生的学习兴趣，在课堂教学中让学生通过动手操作画椭圆，亲历知识的生成过程，力求借助信息技术手段，以“几何画板”软件为平台，通过对椭圆的核心性质离心率e 的变化的演示，观察椭圆圆扁程度的变化，让学生体会运用“数形结合”的思想方法建立起高中数学的两条主线——代数主线和几何主线间的密切联系，同时利用展台将学生的研究成果进行实时呈现，能够使本节课重点研究的椭圆的简单几何性质的四方面——椭圆的范围、对称性、顶点及离心率问题及时得到很好的解决.具体来说包括：1.任务驱动教学法：利用问题串作引导，引发学生积极思考并积极探究；2.演示教学法：学生实物投影展示和教师几何画板动态演示相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；3.启发式教学法：在研究范围和离心率时，教师做积极启发并与学生自主探究与合作讨论相结合突破难点；4.学法：以小组合作为基本活动模型，采用自主学习法，结合合作探究法，讨论法，归纳总结法与交流展示法.五、教学过程设计（一）创设情境、建构概念1.情境创设：让学生观察建筑中国国家大剧院，它与湖中倒影的正视图呈椭圆形，进而引出课题.2.知识回顾：椭圆的标准方程：当焦点在x 轴时，)0(12222>>=+b a by a x 当焦点在y 轴时，)0(12222>>=+b a bx a y 【设计意图】回顾上节课所学内容，巩固知识并为本节课所学做铺垫.3.活动创设课前布置预习作业：你能否利用所学知识，在同一坐标系中画出方程1162522=+y x 和192522=+y x 所表示的曲线.课上分组展示学生的成果,并让学生观察他们有什么几何特征. 预设可能出现的情况：预设1：先判断其为椭圆，再利用定义画图；预设2：先判断其为椭圆，寻找到与坐标轴的交点，画椭圆；评价预设：寻找画图的关键点，提高画图容易度.预设3：先判断其对称性，只需精确画出其第一象限的图象；评价预设：发现椭圆的对称性，可以给画图带来方便.预设4：从函数角度出发，利用描点法作图.评价预设：将其转化为函数，利用函数图象的画法作图.【设计意图】数学是现实世界的反映.从学生感兴趣的问题出发，创设思维情境，让学生在动手操作的过程中重温方程和曲线的关系，直观感受椭圆的几何特征，自然引出本节课的课题.（二）独思共议，引导探究通过画具体的椭圆，由特殊到一般，提出一般的椭圆会有哪些性质.以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 为例研究椭圆的几何性质. 探究一.椭圆的范围问题1：椭圆大小如何刻画? 问题2：该椭圆上点的横坐标的取值范围是什么?纵坐标呢(预设：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观)问题3：你能否用方程说明该范围?追问：范围可以由不等关系求出，如何建立y x ,的不等关系?(先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果)从方程上看：预设1：因为012222≥-=a x b y 所以122≤ax ,故可得a x a ≤≤-，同理可得b y b ≤≤-. o预设2：由椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x 中实数平方的非负性可得122≤a x ，122≤by ，所以a x a ≤≤-，b y b ≤≤-.预设3：利用三角换元：设θθsin ,cos ==by a x ，则θθsin ,cos b y a x ==，所以a x a ≤≤-，b y b ≤≤-.教师总结点评：利用方程中变量的非负性，判断其它变量范围的方法，是解析几何中利用方程研究曲线范围的一般方法.【设计意图】通过椭圆的标准方程确定椭圆的范围，使学生感受利用椭圆方程研究椭圆几何性质的方法，理解椭圆)0(12222>>=+b a by a x 位于直线a x ±=和b x ±=所围成的矩形内，为描点法作图提供了参考，体会利用坐标法研究曲线几何性质的优越性.探究二.椭圆的对称性问题1：椭圆具有怎样的对称性?师生活动：学生可以直观感受椭圆的对称性，并引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.学生在必修2《直线的方程》和《圆的方程》的学习中经历过对曲线对称性的探究过程，此外学生还可以类比函数的奇偶性的研究方法得到椭圆的对称性，并给出椭圆中心的定义.预设：学生可能会从图形和方程的角度得到.（教师通过几何画板演示）（此问题对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生回答过程中，要强调在椭圆上“任取一点”）问题2：能否用椭圆的方程说明该对称性?（小组讨论2分钟，找代表发言）（教师动画展示）椭圆上任取点),(y x P ，关于y 轴的对称点),('y x P -也在椭圆上，说明椭圆关于y 轴对称，关于x 轴的对称点),(''y x P -也在椭圆上，说明椭圆关于x 轴对称，关于原点的对称点),('''y x P --也在椭圆上，说明椭圆关于原点对称.即坐标轴x 轴和y 轴是椭圆的对称轴，原点)0,0(O 是椭圆的对称中心，称为椭圆的中心.强调：利用曲线上任意一点关于坐标轴和原点的对称点仍在曲线上来判断曲线的对称性，也是利用方程研究曲线对称性的一般方法.问题3：研究曲线的对称性【设计意图】学生可以直观感受椭圆的对称性，并引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.教师通过信息技术的引入，让学生理解图形对称性的本质是构成图形的点的对称性，即利用曲线上点的坐标的对称性，可以实现曲线的对称性.并通过练习题，让学生学以致用，体会研究曲线对称性的一般方法.探究三.椭圆的顶点问题1：观察椭圆图形，他有哪些特殊点?问题2：这些点的坐标是什么?利用学生描点画图时的特殊点，引入椭圆的顶点，让学生感受图形中某些特殊点在确定曲线位置时的作用，从而得到顶点定义，即椭圆与对称轴x 轴和y 轴的四个交点.并指出长轴，短轴和长半轴长，短半轴长等相关概念.【设计意图】让学生明确顶点等相关概念，理解顶点与对称性的关系.探究四.椭圆的形状——认识椭圆的离心率e问题1：用什么量可以刻画椭圆的扁平程度?学生活动：小组合作，利用椭圆的定义画椭圆，（小组合作讨论，相互交流，小组展示）预设1：a c ；预设评价：学生可能从椭圆的定义出发，发现画椭圆时ac 的变化对椭圆形状的影响.预设2：ab .预设评价：学生可能观察预习作业中两个椭圆的扁平程度得到. 师生活动：小组展示探究成果.学生观察当a 保持不变时，随着c 的改变，椭圆圆扁程度的变化，发现椭圆随着a c 的增大而变扁，随着a c 的减小而变圆.教师利用几何画板动态展示，并给出离心率的概念，并引导学生求出椭圆离心率的范围，【设计意图】让学生从具体问题中抽象出离心率的定义，信息技术的引入不仅可以使学生体会到定义的科学性、严谨性，让学生深刻地理解定义，更有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学素养，不断积累数学活动的经验.122=-y x问题2：离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度?预设：e 越接近于0，则c 越接近于0,即22c a b -=越接近于a , 椭圆越接近于圆； e 越接近于1，则c 越接近于a ，即22c a b -=越接近于0,椭圆越扁.（让学生用逼近的思想想象当0→e 时，椭圆接近于圆，当1→e 时，椭圆接近于一条线段.）【设计意图】利用等价转化的思想刻画椭圆的扁平程度，加深学生对椭圆的核心性质离心率e 的认识与理解.（三）类比联想，知识迁移类比焦点在x 轴上的椭圆的几何性质，得到焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，让学生体会数学研究中的类比推理的过程与方法.【设计意图】让学生体会椭圆焦点位置的变化对其性质的影响，提升学生的逻辑推理素养，并为后续双曲线和抛物线的学习奠定基础.（四）巩固新知，提升能力例题分析：例1.椭圆400251622=+y x 的长轴长是________，短轴长是_________，焦点坐标是________，焦距是__________，顶点坐标是__________，离心率是________.例2.在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 中，已知B OF 2∆为等腰直角三角形，求椭圆的离心率.问题：你能从三角函数的角度理解离心率对椭圆形状的影响吗? 【设计意图】通过例题分析，巩固椭圆的几何性质，例2旨在引导学生深刻理解椭圆离心率的几何意义，实现认识上的又一次飞跃.（五）回顾反思，归纳总结学生和老师共同回顾、梳理、总结本节课所学的数学知识、思想、方法.（1）椭圆的几何性质（2）用坐标法研究曲线性质的过程与方法（3）所用的数学思想方法：数形结合、化归转化、类比推理师生活动：先由学生总结所学内容，教师补充说明，特别是通过本节课所经历的知识的探究过程，体会类比与数形结合的数学思想.通过本节课，让学生看到数学在生活中的应用，意识到还有很多与椭圆相关的知识需要去探究，从而不断地激发学生的数学学习兴趣.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.（六）目标测试，当堂反馈1.已知椭圆方程为6622=+y x ，它的长轴长是__________,短轴长是___________, 焦点坐标是________,焦距是________,顶点坐标是_________,离心率是________.2.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率32=e ，长轴长为6，则椭圆的标准方程为（） (A)1203622=+y x (B)15922=+y x (C)15922=+y x 或15922=+x y (D)1203622=+x y 或1203622=+y x 【设计意图】通过目标检测，可以了解学生对知识的理解和掌握情况，为教学评价提供依据,其中第2题旨在体会分类讨论思想在数学中的应用.接着展示图片：展示椭圆在建筑与天文等方面的应用，让学生看到数学在生活中的应用，意识到还有很多与椭圆相关的知识需要去探究，从而不断激发学生的学习兴趣.（七）布置作业，巩固所学实践作业：查阅椭圆在建筑学与天文学方面应用的资料，每组写一份调研小报告.分层作业：必做：课本P习题2.2A组2,3,4,5题49选做：A组第9题【设计意图】作业分层布置，力求让不同基础的学生都拥有成功学习的体验.必做题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生运用所学知识解决问题的能力，实践作业的设置是为了让学生体验如何检索、搜集资料进行数学学习，这是本节课所学内容的提高与拓展，可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力.。

《椭圆的简单几何性质》教案1

教学目标：椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）. 重点难点分析教学重点：椭圆的简单几何性质. 教学难点：椭圆的简单几何性质. 教学设计：【复习引入】1. 椭圆的定义是什么？2. 椭圆的标准方程是什么？【讲授新课】利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．以焦点在x 轴上椭圆为例12222=+by a x (a ＞b ＞0)． 1．范围椭圆上点的坐标(x , y )都适合不等式,122≤ax ,122≤b y 即x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ．椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．2．对称性在椭圆的标准方程里，把x 换成－x ，或把y 换成－y ，或把x 、y 同时换成－x 、－y 时，方程有变化吗？这说明什么？椭圆关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 3．顶点只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、 A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．小结：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形. 4．离心率椭圆的焦距与长轴长的比ace =，叫做椭圆的离心率．∵a ＞c ＞0，∴0＜e ＜1．练习教科书P.41练习第5题．例1 求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．解：把已知方程化成标准方程,1452222=+y x 这里a ＝5，b ＝4，所以.31625=-=c椭圆的长轴和短轴的长分别是2a ＝10和2b ＝8，ace =离心率. 焦点为F 1(－3, 0)、F 2(3, 0)，顶点是A 1(?5,0)、A 2(5,0)，B 1(0,?4)、B 2(0,4)．把已知方程化成标准方程,1452222=+y x椭圆的简单作法:(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形； (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点； (3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆.例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 经过点P (－3, 0)、Q (0,－ 2); .5320)2(，离心率等于长轴的长等于解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点.即P 、Q 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点.于是得a ＝3，b ＝2.又因为长轴在x 轴上，所以椭圆的标准方程是.14922=+y x (2)由已知，2a ＝20 ，,53==a c e ∴a ＝10 ，c ＝6. ∴b 2＝102－62＝64. ∵椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上,∴所求椭圆的标准方程为16410022=+y x .16410022=+x y 或练习求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.解：，轴上，设椭圆方程为若焦点在)0(1:2222>>=+b a b y a x x依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=1116222b a b a 得⎩⎨⎧==552b a 得：故椭圆方程为.152022=+y x 【课后作业】1. 阅读教科书P.40-P.41；2. 《习案》、《学案》11。