基本不等式完整版(非常全面)教案资料
《基本不等式》教案
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程。
【教学难点】
基本不等式 等号成立条件。
【授课类型】新授课
【授课安排】共3课时，此为第一课时。
【教具】多媒体课件
【内容分析】
基本不等式是高中数学课程标准中的必修内容，一般放在高二上学期进行学习。在初中，学生已经学习过不等式的相关内容，如一元一次不等式等。这一章将不等式集中起来进行探讨，在学习基本不等式之前已经学习了不等关系与不不等式、一元二次不等式及其解法以及一元二次不等式（组）与简单的线性规划问题等内容。将基本不等式放在这里进行学习，符合维果斯基的“最近发展区”理论。
解：∵x，y都是正数
∴ ＞0， ＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0
(1) ＝2即 ≥2.
(2)x＋y≥2 ＞0
∴
即
三.随堂练习
1.已知a、b、c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８c
分析：对于此类题目，选择定理： （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a，b，c都是正数
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以， ，即
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得 ，
通常我们把上式写作：
2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证a+b (2)
要证（2），只要证a+b- 0（3）
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。
基本不等式教案
基本不等式教案教案标题：基本不等式教案教学目标：1. 理解和运用基本不等式的概念；2. 掌握基本不等式的性质及解题方法；3. 提升对不等式问题的分析和解决能力。
教学准备：1. 教师：白板、标志笔、多媒体设备；2. 学生：教科书、练习册、笔、纸。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）利用一些简单的实例向学生介绍不等式的概念，并引发对不等式的思考，例如：3 > 2、4 ≠ 5。
步骤二：教学（30分钟）1. 解释基本不等式的定义和性质，包括大于、小于、大于等于、小于等于等概念。
2. 介绍不等式的运算规则，如相加、相减、相乘等，以及这些运算对不等式的影响。
3. 演示并分析如何解决一步骤的基本不等式方程，引导学生理解解不等式方程的思路和方法。
4. 提供一些具体的例子，让学生通过实际操作来练习解决不等式方程的能力。
步骤三：巩固（15分钟）1. 设计一些巩固练习，让学生独立或合作完成，检测他们对基本不等式的理解和应用。
2. 在学生完成练习后，逐个检查答案，并解释如何得出正确答案。
步骤四：拓展（10分钟）1. 提出一些扩展问题，要求学生运用基本不等式的知识，解决更复杂的不等式问题。
2. 引导学生思考应用不等式解决实际问题时可能遇到的困难，并讨论如何克服这些困难。
步骤五：总结（5分钟）总结基本不等式的概念、性质和解题方法，并鼓励学生运用这些知识解决更多的不等式问题。
教学扩展：1. 鼓励学生品尝到不同类型不等式的实例，如一元一次不等式、绝对值不等式等，扩展他们对不等式的理解和应用。
2. 提供更多的练习和挑战题，提高学生解决不等式问题的技巧和速度。
3. 引导学生进行小组或个人项目，研究不等式在实际生活中的应用，如经济学、生物学等领域。
衡量评估：1. 教师观察学生在课堂上的互动和参与度；2. 学生完成的练习和作业的准确性和完整性；3. 学生通过小组或个人项目展示的能力和创造性。
注意事项：1. 教师应根据学生的实际情况和学习进度，调整教学步骤和难度，确保教学效果；2. 鼓励学生积极参与互动，提出问题并解答；3. 考虑学生的不同学习特点和能力，利用多种教学方法和资源，提供个性化的教学指导。
基本不等式教学设计（通用8篇）
基本不等式教学设计（通用8篇）基本不等式教学设计1教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。
课程目标分析依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
基本不等式教案最全面(精华版)
基本不等式教案一，教学目标：1，学问与技能：①明白基本不等式地推导过程，懂得几何意义，并把握基本不等式取得等号地条件；②能够初步运用基本不等式以及等号取得地条件，求出一些简洁函数地最值 并能解决一些较为简洁地实际问题；(最大最小值 )， 2，过程与方法：本节内容为同学对不等式熟悉上地一次提升； 要引导同学从数， 形两方面探究基本不等式地证明，从而进一步突破难点；定理地证明要严密，要帮忙同学分析每一步地理论依据，培育同学观看，试验，归纳，判定，猜想等严密严谨地思维才能；3，情感与价值：培育同学举一反三地规律推理才能， 严谨求实地科学态度， 领会数学地应用价值， 激发 同学地学习爱好；同时通过基本不等式地几何说明，提高同学数形结合地才能；二，教学重点与难点：a b重点： 用数形结合思想懂得不等式，并从不同角度探究不等式 ab 地多种说明；2 难点： 懂得“当且仅当 a b 时取等号”地数学内涵，并会应用基本不等式求解函数地最 大最小值问题，以及解决一些简洁地实际问题 .；三，学法与教学用具：先让同学观看常见地图形， 通过图形地直观比较抽象出基本不等式； 从生活中实际问题突出数学本质，可调动同学地学习爱好；定理地证明要留一部分给同学，让他们自主探究；教学用具：直角板，圆规，投影仪，如有条件可以使用多媒体 (几何画板 )进行教学；四，教学设想：1，几何操作，引入问题：给出如右地所示地几何图形， AB 为 O 地直径，点 C 为，连O 于 AB 上任意一点，过点 C 作垂直于 AB 地弦交 DD 结 AD ， BD ，同学们，能通过这个圆以及简洁地三角形得到一些相等与不等地关系吗 .a 2 ，b 2 提问一： ，那么 CD 地长度为多少？，现在我们不妨假设 AC BC 由 AB 为直径可知 ABD 为直角三角形， 再依据 DC AB ，简洁证得 ACD ∽ DCB ， 即得 CD ab ；提问二： 依据中学学习地学问，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆地直径有什么关系？任意一条弦长不大于直径地长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等；提问三： 结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，如可以，等号成立地条件为什么？1 DD2 第一由垂径定理可知， CD ，因此有 DD 2ab ，即为 O 地一条弦长，而2 2 2 2 O 直径地长度， a b 表示地为 依据上一问地结论可以得知有不等式 a b 2ab ，两2 2a b 边同时除以 2 ，不等式可以表示为： ab ；再据上一问地结论，易知上述不等式可2 a b 时 (即当点 C O 重合时以成立当且仅当 与圆心 )，等号才成立；a 2b 22 提问四： a , b 深化摸索，假如将不等式 ab 中地 a , b 用 替换，能够得到什么结论；这时， a , b 有什么条件限制吗？a b替换之后，不等式即变为 ab a b 时等号成立；此时要求有，当且仅当 2 a 0 , b 0 ；2，代数证明，得到结论：依据上面地几何分析结果，我们初步形成不等式结论：2 2 a b 2ab ①a b如 ab a, b R ，就 ②2 提问五： 能否给出上述两个不等式严格地证明？ ( 同学尝试证明后口答 , 老师板书 )a 2b 2 b)2；证明① ( 作差法 ) ： 2ab (a b ) 2 b) 2 a b 时， (0 ；当 a 又 当 b 时， (a 0 ；2 2 a b 2ab ，当 b 时取等号；a a 2b 2 a b （留意强调：当且仅当 时, 有等式 2ab 成立）证明② (分析法 )：由于 a, b R ，于为a b要证 ab ， ③2 只要证 2 ab ， ④a ba b 2 ab 0 ， 要证④，只要证 ⑤b )2 要证⑤，只要证 ( 0 ， a ⑥a b 明显，⑥为成立地，所以 ab ，当且仅当 b 时取到等号 ；a 2 于为我们得到这节课要学习地内容：a b基本不等式：如 a,b R ab a b 时，等号成立），就 （当且仅当 2 3，深化熟悉：a b 为 a b2a ,b 地算术平均数 ；因此基本不等式 为 a , b 地几何平均数； 称 1.称 ab ab 2 地代数意义为： 两个正数地几何平均数不大于它们地算术平均数；a b 成立地条件仅需2.其实 0 就可以，但 a 0 或 b 0 时定理明显a 0 ,b ab 2 成立，因此一般仅考虑 a 0 , b 0 地情形；4，例题讲解：b a ab 41，①已知 ab 0 ，求证： 2 7 （ a 3 ）a 例 ②求证： a 3 设计意图：通过简洁例题，同学把握证明格式，懂得“前提条件” ，“等号成立条件” ； ( 1 1)( 1 1)( 1如 a, b, c (0, ) ，且 a b c 1，求证： 1) 8例 2， a b c 设计意图：娴熟运用基本不等式；不等式证明题中，等量关系条件地运用；100m 2 地矩形菜园，问这个矩形地长，宽各为多少时，所用 例 3，（ 1）用篱笆围一个面积为 地篱笆最短，最短地篱笆为多少？（2）一段长为 36m 地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长，宽各为多少时，菜园地面 积最大；最大面积为多少？分析：（ 1）当长与宽地乘积确定时，问周长最短就为求长与宽与地最小值； 宽地与确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大（ 2）当长与 4800 m 3 ，深为 3m ；假如池底每平 例 4，某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为 方米地造价为 150元， 池壁每平方米地造价为 造价为多少元？ 120元， 怎样设计水池能使总造价最低？最低分析： 如底面地长与宽确定了， 宽各为多少时，水池地总造价最低；水池地造价也就确定了， 因此可转化为考察底面地长与 设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及依据题意列出函数表达式 利用基本不等式来求最大（小）值；,要懂得 例题总结：a,b R 1. 两个正数地与为定值时，它们地积有最大值，即如 ，且 a b M ， M 为2M 4 定值，就 ，等号当且仅当 a b 时成立 .ab R ，且 ab P ， P 为定值， 即如 a, b 2.两个正数地积为定值时， 它们地与有最小值， 就 a b 2 P ，等号当且仅当 a b 时成立 .课堂练习2ab 1 设 a , b 均为正数，证明不等式： .1 a b 1 bc a b c a 8abc2 已知 a , b , c 都为正实数，求证： 5，摸索争论：bc a ca b 4 y abc （1）设 a b x clg y 地最大值及相应地 a, b, c R ，求证： （2）已知 x 0, y 0 ，且 3x 12 ；求 lg x , y 值；6，归纳总结：提问六： ①通过本节课地学习，你学到了什么学问？②在解决问题地基础上，你把握了哪些探求问题地方法与数学思想方法？综合同学地回答，老师再在此基础上总结：a b（1）基本不等式： 如 a,b R ，就 （当且仅当 a b 时，等号成立）ab 2 （2）运用基本不等式解决简洁最大最小值问题，把握解题地基本方法；在使用 “与为常数， 积有最大值 ”与 “积为常数，与有最小值 ”这两个结论时，把握 “一正，二定，三相等 ”；当条 件不完全具备时，应制造条件使之具备条件；一般说来， “见与想积，拆低次，凑积为定值， 就与有最小值 ; 见积想与，拆高次，凑与为定值，就积有最大值 （3）数学思想与方法技巧：. ”；数学思想 ：基本不等式地探究过程 （从特别到一般） ；基本不等式地几何说明 （数形结合） ； 数形结合思想， “整体与局部 ”.方法技巧 ：（ 1）换元法，比较法，分析法（ 2）配，凑等技巧；老师归纳总结：整堂课要环绕如何引导同学分析题意， 设未知量， 找出数量关系进行求解这个中心； 例 题地支配应当从易到难， 从简洁到复杂， 适应同学地认知水平； 老师要依据课堂情形准时提 出针对性问题， 同时通过同学地解题过程进一步发觉同学地思维漏洞， 误；订正数学表达中地错 7，测评设计：（1）基本作业：课本 P100 习题 A 组 3 ， 4 题， B 组 1， 2 题；（2）提高练习：4 ①求 y 2 3x x 1） . 地最小值（其中 x ，求 11 sin x②已知 0 x y sin x 地最小值． 2x 8 y ③已知 x 0 , y 0 ，且 1，求 xy 地最小值．3x 3 y ④设 x , y R ，且 x y 2 ，求 地最小值． 1 x 1 y ⑤已知正数 x , y 满意 x 2 y 1 ，求 地最小值五，教学后记，教学反思： （教材：人教版新课标必修 5）。
(教案)基本不等式
基本不等式【课时安排】3课时【第一课时】 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
【教学重难点】教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；教学难点：基本不等式等号成立条件。
【教学过程】一、课题导入。
基本不等式的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
二、讲授新课。
1．探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和2a bab +≤2a bab +≤2a bab +≤22a b +是2ab ，正方形的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 当 所以，，即4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式 特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a ．b ，可得，通常我们把上式写作： （2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证（1） 只要证a+b _____（2）要证（2），只要证a+b-_____0（3） 要证（3），只要证（_____-_____）（4）显然，（4）是成立的。
当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。
《2.2基本不等式》优秀教案教学设计
2.2基本不等式教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标 【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 1.基本不等式2a bab +≤等号成立条件； 2.利用基本不等式2a bab +≤求最大值、最小值. 教学过程 1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用,分别代替上式中的a ，b ，可得①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 2.讲授新课1）2a bab +≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，(a>0,b>0)2a bab +≤2）2a bab +≤用分析法证明： 要证2a b ab +≥（1）只要证a +b ≥（2）要证（2），只要证a +b -≥0（3） 要证（3），只要证（-）2≥0（4）显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立. 探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .你能利用这个图形得2a bab +≤的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB即ＣD ＝ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力. 例1已知x >0，求x ＋的最小值.分析：求x ＋的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋），使x >0，都有x ＋≥y .观察x +，发现x=1.联系基本不等式，可以利用正数x 和的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋=2当且仅当x =，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了x>0，有x＋≥2，而且给出了“当且仅当x=，即=1，x=1时，等号成立”，这是为了说明2是x＋（x>0）的一个取值，想一想，当y0<2时，x＋=y0成立吗？这时能说y.是x＋（x>0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.证明：因为x，y都是正数，所以.（1）当积xy等于定值P时，，所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值.（2）当和x+y等于定值S时，,所以，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由，可得x+y≥2=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z =150×+120（2×3x +2×3y ）=240000+720（x +y ）.由容积为4800m 3，可得3xy =4800，因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2＞0 b ＋c ≥2＞0c＋a≥2＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b 的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤，ab ≤（）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.。
【公开课教案】《基本不等式》教案
基本不等式教案一、教学目标：1、知识与技能：①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；②能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。
2、过程与方法：本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。
要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。
定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。
3、情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
同时通过基本不等式的几何解释，提高学生数形结合的能力。
二、教学重点和难点：重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b +≤的多种解释； 难点：理解“当且仅当a b =时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。
三、学法与教学用具：先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。
从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。
定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。
教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。
四、教学设想：1、几何操作，引入问题：给出如右的所示的几何图形，AB 是O 的直径，点C 是AB 上任意一点，过点C 作垂直于AB 的弦交O 于DD '，连结AD 、BD ，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一些相等和不等的关系吗?提问一：现在我们不妨假设2AC a =，2BC b =，那么CD 的长度是多少？、由AB 为直径可知ABD ∆是直角三角形，再根据DC AB ⊥，容易证得ACD ∆∽DCB ∆，即得CD ab =；提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。
〖2021年整理〗《基本不等式》优秀教案
课时2 基本不等式任远一、教学目标（一）核心素养通过学习重要不等式222a b ab +≥推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，进而推广到三个正数的情形。
使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法．（二）学习目标1学会推导并掌握均值不等式定理；2能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式3．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题（三）学习重点均值不等式定理的证明及应用（四）学习难点等号成立的条件及解题中的转化技巧二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第5页至第9页，填空：①22a b + 2ab ，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ；，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ； ③3a b c ++≥ ，当且仅当 时，等号成立，其中,,a b c ∈ ； （2）想一想：（1）中三个结论等号成立条件有什么区别？它们有什么应用？答：①中等号成立时，,a b ∈R ；②③中等号成立时,(0,)a b ∈+∞应用于求函数的最值2．预习自测（1）两个正数的算术平均数 它们的几何平均数A ．大于B ．小于C ．不大于D ．不小于【知识点】基本不等式【解答过程】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数【思路点拨】掌握基本不等式【答案】D ．（2）若6x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【知识点】基本不等式 【解题过程】由2()2x y xy +≤，得26()2xy ≤，即9xy ≤，当且仅当3x y ==时，等式成立 【思路点拨】注意使用基本不等式时的条件【答案】D ．（3）函数2sin ,(0,]sin 2y x x x π=+∈的最小值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．5【知识点】基本不等式【解题过程】2sin sin y x x =+≥当且仅当2sin sin x x =即sin x =取等号，不满足sin [0,1]x ∈，当2x π=时，min 3y =【思路点拨】注意使用基本不等式时的取得条件【答案】B（4）已知三个正数,,a b c 满足27abc =，则24a b c ++的最小值为（ ）A ．21B ．18C ．15D ．12【知识点】三个正数的均值不等式【解题过程】由243a b c ++≥，2418a b c ++≥=，当且仅当24a b c ==即36,3,2a b c ===取等号 【思路点拨】【答案】B二课堂设计1.知识回顾（1）比较两个实数的大小可用作差比较法（2）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<（3）运用不等式的基本性质时要注意两边同乘一个数时的正负2．问题探究探究一 认识基本不等式●活动① 重要不等式定理1 如果,a b ∈R ，那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立证明：由作差比较法得，222()2()0a b ab a b +-=-≥，且当且仅当a b =时，等式成立几何解释：如果把实数,a b 作为线段长度，那么可以这样a b ≥解释定理1（以为例）如图，在正方形ABCD 中，AB a =；在正方形CEFG 中，EF b =那么22ABCD CEFG S S a b +=+正方形正方形矩形,BCGH JCDI 的长均为a ，宽均为b ，它们面积之和为2BCGH JCDI S S ab +=矩形正方形以上两个矩形的公共部分为以边长为b 的正方形，其面积为2b ，所以上述两个矩形面积之和2ab 就等于图中阴影部分的面积，它不大于两个正方形的面积之和，即222a b ab +≥，当且仅当a b =时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于两个正方形面积之和，即222a b ab +=【设计意图】认识重要不等式，回顾作差比较法．●活动② 基本不等式将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式：定理2（基本不等式） 如果,0a b >，那么2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 证明：因为22((22a b a b a b ab +=+≥=所以2a b ab +≥，a b =，即a b =时，等号成立几何解释：如图，CD 是Rt ABC ∆中斜边AB 上的高，OC 是斜边AB 上的中线，,AD a BD b ==于是，11()22OC AB a b ==+由Rt DCA ∆∽Rt DCB ∆，得2CD AD BD =⋅，即CD ab =，易知，OC CD ≥，且当且仅当,O D 重合时OC CD =，所以2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 综上所述，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高如果,a b 都是正数，我们就称2a b +为,a b ab 为,a b 的几何平均数于是，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数【设计意图】通过对基本不等式的证明，加深对基本不等式的理解，突破重点．●活动③ 了解基本不等式的使用步骤基本不等式可以用证明不等式以及求某些代数式的最值，使用时要注意：“一正”：使用基本不等式的两个数或式必须是正数；“二定”：求最值时，使用基本不等式的两个数或式应该和或积为定值；“三相等”：要验证能否取得等号，若能，则所求为最值，否则，不是，可参考双勾函数的图像求最值 由基本不等式2a b ab +≥，得2()2,4a b a b ab ab ++≥≤： （1）当积为定值时，和有最小值，为ab（2）当和为定值时，积有最大值，为2()4a b + 【设计意图】通过对基本不等式的分析，了解基本不等式的用法探究二 三个正数的均值不等式●活动① 认识三个正数的均值性质类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正数,,a b c ，可能有：如果,,a b c +∈R ，那么33a b c abc ++≥a b c ==时，等号成立 如何证明这个猜想呢？仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：已知,,a b c +∈R ，那么3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立证明：因为33332233()333a b c abc a b a b ab c abc ++-=+--+-332222()333()(()())3()a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c =++---=+++-++-++22222()(()()3)()()a b c a b a b c c ab a b c a b c ab ac bc =+++-++-=++++---2221()(()()())02a b c a b b c a c =++-+-+-≥ 所以3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到定理3 如果,,a b c +∈R ，那么3a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立 这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数事实上，基本不等式可以推广到一般的情形，对于n 个正数12,,,n a a a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即122n n n a a a a n +++≥，当且仅当12n a a a ===时，等号成立 【设计意图】通过对三个正数均值不等式的认识，为后面的运用做好铺垫．探究三 均值不等式的应用●活动① 利用基本不等式求最值例1 求函数12(0)y x x x=+>的最小值 【知识点】基本不等式【解题过程】解：12y x x =+≥=当且仅当12x x =，即x =时取等号，所以函数12(0)y x x x =+>的最小值为【思路点拨】掌握利用基本不等式求函数最值【答案】同类训练 求函数12(0)y x x x=+<的最大值 【知识点】基本不等式【解题过程】解：112((2)())y x x x x =+=--+-≤-=-，当且仅当12x x-=-，即x =号，所以函数12(0)y x x x=+<的最大值为- 【思路点拨】注意使用基本不等式求函数最值时的条件【答案】-同类训练 求函数12(1)y x x x=+≥的最小值 【知识点】基本不等式【数学思想】数形结合思想【解题过程】由双勾函数12(1)y x x x=+≥的图像可知，函数在[1,)+∞上单调递增，所以12(1)y x x x=+≥的最小值为3 【思路点拨】由例1可知，使用基本不等式求此函数最值时，无法取等号，可利用双勾函数的图像求最值【答案】3例2 求函数14(1)1y x x x =+>-的最小值 【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】法1：（配凑法）1144(1)44811y x x x x =+=-++≥+=--，当且仅当14(1)1x x -=-，即32x =时取等号法2：（换元法）令1(0)x t t -=>，则114(1)4448y t t t t =++=++≥+=，当且仅当14t t=，即13,22t x ==时取等号 【思路点拨】配凑法与换元法实质相同，都要注意使用基本不等式的条件【答案】8同类训练 求函数2449(1)1x x y x x ++=>-+的最小值 【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】令1(0)x t t +=>，则224(1)4(1)9449944t t t t y t t t t-+-+-+===+-48≥-=，当且仅当94t t =，即31,22t x ==时取等号 【思路点拨】与例2为同类型题目，可使用换元法，利用基本不等式同类训练 求函数y =的最小值【知识点】基本不等式，换元法【数学思想】数形结合思想【解题过程】令(2)t t =≥，则2112t y t t t +==+≥，当且仅当1t =时取等号，不满足2t ≥，由双勾函数图像可知，函数在[2,)+∞单调递增，所以函数的最小值为52【思路点拨】当类似基本不等式的类型不能取等号时，可考虑利用双勾函数图像【答案】2【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用基本不等式求函数的最值．●活动② 求含双变量的代数式的最值例3 若236(0,0)x y x y +=>>，求以下代数式的最值:①xy 的最大值；②213x y+的最小值 【知识点】基本不等式【解题过程】①236x y +=≥，所以32xy ≤,当且仅当233x y ==，即3,12x y ==时取等号；②2121112613()(23)(5)(53366362x y x y x y x y y x +=++=++≥+=,当且仅当263x y y x=，即22,3x y ==时取等号【思路点拨】注意利用基本不等式求代数式的最值的方法 【答案】①32 ②32同类训练 已知211,,2m n m n +∈+=R ，求2m n +的最小值 【知识点】基本不等式【解题过程】2142(2)()22(4)2(416n m m n m n m n m n +=++⋅=++≥+=，当且仅当4n m m n=，即8,4m n ==时取等号 【思路点拨】掌握“1”的代换的应用例4 已知2234(0,0)32x y xy x y +-=>>，求2x y +的最大值 【知识点】基本不等式 【解题过程】由223432x y xy +-=，得23(2)532x y xy +-=， 所以223552(2)2()32222x y x y x y ++-=⋅≤，即233(2)832x y +≤，所以122x y +≤，当且仅当11,48x y ==时取等号【思路点拨】在“积”与“和”的混合关系中，要明确保留和变换的分别是哪一部分 【答案】12同类训练 已知0,0,228x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值【知识点】基本不等式【解题过程】因为228x y xy ++=，所以2(2)28(2)4x y x y x y +⋅=-+≤， 所以2(2)4(2)320x y x y +++-≥，即(28)(24)0x y x y +++-≥，因为0,0x y >>，所以24x y +≥，当且仅当2x y =，即2,1x y ==时取等号【思路点拨】掌握利用基本不等式求“积”与“和”的最值【答案】4【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用基本不等式求含双变量的代数式的最值．●活动③ 三个正数的均值不等式的应用例5 求函数242(0)y x x x=+>最小值 【知识点】三个正数的均值不等式【解题过程】22226y x x x =++≥=，当且仅当222x x=,即1x =时取等号 【思路点拨】掌握利用三个三个正数的均值不等式求最值【答案】6同类训练 把一块边长是3的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？【知识点】三个正数均值不等式【解题过程】解：设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则231132324(32)(32)(32)4()2443x x x V x x x x x -+-+=-=-⋅-⋅≤= 当且仅当324x x -=，即12x =时取等号 【思路点拨】掌握利用三个正数的均值不等式解决实际问题 【答案】当切去的正方形边长是12时，才能使盒子的容积最大 【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用三个正数的均值不等式求代数式的最值． 3 课堂总结知识梳理（1）两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．（2）运用基本不等式求最值时要注意：一正、二定、三相等．（3）利用三个正数的均值不等式求最值时要注意取等条件．重难点归纳（1）正确理解基本不等式的意义．（2）灵活应用均值不等式求代数式的最值．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列各式中，最小值等于2的是A xyy x + C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+【知识点】基本不等式【解题过程】因为20,20x x ->>，所以22x x -+≥当且仅当22x x -=，即0x =时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D2．设,R x y ∈且5x y +=，则33x y +的最小值是A ．10B ．C ．D ．【知识点】基本不等式【解题过程】33x y +≥==当且仅当52x y ==时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D3．设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为 A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【知识点】基本不等式【解题过程】,x y 为正数，144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当4y x x y=，即2y x =时等号成立【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B4．若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【知识点】基本不等式 【解题过程】因为直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，所以111a b+=所以11()()224a b a b a b a b b a +=++=++≥+=，当且仅当2a b ==时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】C5．设0x >，则函数133y x x=--的最大值是________． 【知识点】基本不等式【解题过程】11333(3)3y x x x x =--=-+≤-，当且仅当13x x =，即x = 【思路点拨】利用基本不等式求最值时，注意使用条件【答案】3-6．设,,R x y z +∈，且6x y z ++=，则lg lg lg x y z ++的取值范围是A ．(,lg 6]-∞B ．(,3lg 2]-∞C ．[lg 6,)+∞D ．[3lg 2,)+∞【知识点】基本不等式；对数的运算【解题过程】因为lg lg lg ()x y z lg xyz ++=，而33()23x y z xyz ++≤= 【思路点拨】利用基本不等式求最值 所以3lg lg lg ()lg 23lg 2x y z lg xyz ++=≤=，当且仅当2x y z ===时取等号．【答案】B能力型 师生共研7．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【知识点】基本不等式；恒成立 【解题过程】不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则min 1(()())9a x y x y ++≥，21()()111)a y ax x y a a x y x y++=+++≥++=，得到21)9+≥，2≥4≤-舍去．即正实数a 的最小值为4 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B8．若log 2x y =-，则x y +的最小值是【知识点】三个正数的均值不等式；对数的运算【解题过程】当log 2x y =-，得2x y -=且0,0x y >>，221122x x x y x x x +=+=++≥=当且仅当212x x=，即x =时取等号． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】A探究型 多维突破9．定义运算“*”：22*(,,0)R x y x y x y xy xy-=∈≠，当0,0x y >>时，*(2)*x y y x +的最小值为________．【知识点】基本不等式．【数学思想】转化与化归思想 【解题过程】因为22*(,,0)x y x y x y xy xy-=∈≠R ，所以22222242*(2)*222x y y x x y x y x y y x xy yx xy y x --++=+==+≥=，当且仅当2x y y x=，即x =时等号成立【思路点拨】利用基本不等式求最值25()(52)(0)2f x x x x =-<<． 【知识点】三个正数的均值不等式 【解题过程】231145252250()(52)=4(52)(52)()44327x x x f x x x x x x +-+-=-⋅⋅-⋅-≤=， 当且仅当452x x =-，即56x =时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】错误!自助餐11.若不等式240x ax ++≥对一切(0,1]x ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A [0,)+∞B [4,)-+∞C [5,)-+∞D [4,4]-【知识点】基本不等式；恒成立问题．【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由240x ax ++≥，得4a x x -≤+，所以min 4(),(0,1]a x x x -≤+∈，因为45x x +≥，当且仅当1x =时取等号，所以5a -≤，即5a ≥-．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D12．直线220(,)ax by a b R ++-=∈平分圆222460x y x y +---=，则21a b+的最小值是（ ） 2 22【知识点】基本不等式；圆．【解题过程】由题可得，直线220(,)ax by a b ++-=∈R 过圆心(1,2)，所以1(,)a b a b ++=∈R 所以21212=()()33a b a b a b a b b a +++=++≥+，当且仅当2a b b a=，即21a b ==-时等号成立 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D13．已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的取值范围是【知识点】基本不等式【解题过程】3xy x y =++≥，3≥1≤-（舍去），即9xy ≥，当且仅3x y ==时取等号【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】[9,)+∞14．已知函数()2x f x =，点(,)P a b 在函数1(0)y x x =>的图象上，那么()()f a f b ⋅的最小值是________．【知识点】基本不等式【解题过程】点(,)P a b 在函数1(0)y x x =>的图象上，所以有1ab =因为0,0a b >>，所以()()=224a b f a f b +⋅≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】415．设,,0x y z >且346x y z ++=，则23x y z 的最大值是_________．【知识点】n 个正数的均值不等式【解题过程】因为634422x x x y z y y y z =++=+++++≥，所以231x y z ≤，当且仅当42x y z ==，即12,1,4x y z ===时取等号 【思路点拨】利用三个正数的均值不等式求最值【答案】116某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2021年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3x -与1t +成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2021年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．1若计划2021年生产的化妆品正好能销售完，试将2021年的利润y 万元表示为促销费t 万元的函数；2该企业2021年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【知识点】基本不等式【数学思想】函数与方程思想【解题过程】1由题意可设31k x t -=+，将0,1t x ==代入，得2k =所以231x t =-+ 当年生产x 万件时，年生产成本为232332(3)31x t +=-++，当销售x 万件时，年销售收入为211.5[32(3)3]12t t -+++ 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+．2令1(1)t λλ=+≥，则2(1)98(1)353250()504222y λλλλλ--+-+==-+≤-=， 当且仅当32=2λλ，即8λ=，7t =时等号成立 【思路点拨】利用基本不等式解决实际问题【答案】（1）29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+；（2）当促销费定在7万元时，年利润最大。
【公开课教学设计】《3.4基本不等式》(第一课时)教案
【公开课教学设计】
3．4基本不等式教案（第一课时）
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.了解基本不等式的代数及几何背景；
3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、过程与方法
通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感态度与价值观
通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；
2.基本不等式成立的条件及应用。
教学难点：基本不等式成立的条件及应用。
教具准备：投影仪
教学过程。
基本不等式教案及教案说明
课题：基本不等式（第一课时）授课人：李新平教材：人教A 版必修五第三章第四节1.教学目标（1）知识目标：了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； （2）能力目标：初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力和逻辑思维能力. 帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探究的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯；（3）情感目标：通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，激发学生的学习兴趣和热情，并增强学生的爱国主义热情. 2.教学重点及难点2a b+≤的证明； 难点：基本不等式的应用，轮换对称不等式的证明. 3.教学方法与手段（1）教学方法：独立探究，合作交流与教师引导相结合 （2）教学手段：手工制作、多媒体课件=，上的一点，AC a《基本不等式》教案说明新丰一中李新平本节课是高中数学中基本不等式的第一课时，主要揭示相关知识的形成过程.考虑到学生的基础比较差，本课程在设计上，一方面通过数学知识与生活和周围世界密切联系，从数形结合角度，制作了形象生动的课件，化抽象为具体，化难为易，消除学生对数学的畏难情绪；另一方面，采用学生参与程度高的学导式讨论教学法，以老师启发为基础，穿插师生交谈法、问答式、讨论法等方法，引导学生参与讨论，以加深学生对不等式的认识和理解，并尽可能激发学生的学习兴趣和主动性.本节课分6个环节：1．课前准备环节，让学生搜集课外知识并制作第24届国际数学家大会的会标，激发学生学习的兴趣和热情；2．课题导入环节，引导学生通过观察、发现，得出重要不等式并证明结论；3．新课学习环节，注重知识的形成过程，数形结合，从代数证明和几何意义两方面帮助学生掌握重要不等式和基本不等式；4．例题与练习环节，通过例题和练习让学生熟悉基本不等式，加深学生对基本不等式实质：“正”、“定”、“等”的理解；5．课堂小结环节，知识和思想方法的小结，将知识转化为学生的素质，培养学生思维方式和个性品质.6．作业布置环节，知识巩固过程.。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。
和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。
高中数学教案《基本不等式》
教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。
●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。
●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。
2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。
●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。
●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。
3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。
●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。
●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。
数学《基本不等式》教案
数学《基本不等式》教案教学目标：1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 掌握基本不等式的使用方法；3. 提高解决具体问题的能力。
教学重点：1. 掌握基本不等式的概念和性质；2. 学会使用基本不等式解决问题。
教学难点：1. 熟练掌握基本不等式的使用方法；2. 发现并理解基本不等式的应用方向。
教学方法：1. 讲解法：结合例题，讲解基本不等式的概念、性质和使用方法；2. 练习法：通过讲解例题和练习题，提高学生解决不等式问题的能力。
教学过程：Step1. 介绍基本不等式的概念和性质基本不等式是指若a、b均为正实数，则有(a+b)^2/4 >= a*b当a=b时，等号成立，否则不等式成立。
讲解时可以结合一些简单的例子来帮助学生理解，例如：已知两个正实数a和b，求其积的最小值。
Step2. 讲解基本不等式的使用方法首先注意基本不等式只适用于正实数，然后结合例题逐步讲解使用方法，例如：已知a、b、c为正数，求a/b+b/c+c/a的最小值。
Step3. 练习题讲解提供一些练习题给学生，例如：已知x>0，y>0，满足1/x+1/y=1，求3x+4y的最小值。
Step4. 课堂练习让学生在课堂上自己尝试解决一些基本不等式的问题，在教师的指导下完成课堂练习。
Step5. 课后作业布置一些课后作业，让学生巩固所学内容，并提高解决问题的能力。
教学反思：基本不等式是数学中重要的一个概念和工具，能够帮助学生提高解题能力，但其中有些内容可能对初学者来说较难理解，因此在讲解时需要适当调整讲解方式，以符合学生的学习能力和水平。
同时，在教学过程中要注重鼓励学生发散思维，寻找不同的解题方法，从而加深对基本不等式的理解和应用。
基本不等式教案
课题:
基本不等式：
2
a b
+≤
【授课内容】基本不等式第一课时 【教学目标】
1、知识与技能：理解并掌握基本不等式，会运用基本不等式解决两种最值问题，即和为定值，
积为定值的最值问.
2、过程与方法：通过生活中的例子抽象出基本不等式，并引导学生从多角度去理解基本不等式.
3、情态与价值：通过本节的学习，让学生体会数学源于生活，培养数形结合思想，激发学生的
学习兴趣.
【教学重点】用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明 【教学难点】用基本不等式求最值 【授课类型】新授课 【授课方法】探究式、讲授式 【教学过程】
时，正方形EFGH 就时，等号成立；我们把②称为基本不等式2
a b
+∴-
ab
∴+≥x y
2当且仅当x。
基本不等式教案
【课时安排】
3 课时
【第一课时】
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中 的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
2 特别的，如果 a>0，b>0，我们用分别代替 a．b，可得 a b 2 ab ， 通常我们把上式写作： ab a b (a>0,b>0)
2 （2）从不等式的性质推导基本不等式 ab a b
2 用分析法证明： 要证 a b ab （1）
2 只要证 a+b _____（2） 要证（2），只要证 a+b-_____ 0（3） 要证（3），只要证（_____-_____） 2 （4）
国古代
数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国
人民热
情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
二、讲授新课。
1．探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两
解：设水池底面一边的长度为 xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得 l 240000 720(x 1600 )
x 240000 720 2 x 1600
x 240000 720 2 40 297600 当 x 1600 ,即x 40时,l有最小值2976000.
x 因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600 元． 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是 不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
基本不等式教案
层层递进探索新知
简单分析，提出问题
为使 有意义， .
当 时，显然有 .
当 时， 与 的大小关系如何呢？
复习重要不等式
为解决此问题，先来看下面的例子：
下图是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。设每个小的直角三角形的长为a，宽为b，你能在这个图案中找出一些相等关系和不等关系吗？
，
当且仅当 时，等号成立.
注意：此处要求
给出定义，明确定理
如果 都是正数，我们就称 为 的算数平均， 为
的几何平均.
（基本不等式）如果 ，那么 ，当且仅当 时，等号成立.
也可表述为：两个正数的算数平均不小于（即大于或等于）他们的几何平均.（代数意义）
培养学生简单分类讨论的思想。
复习已经接触到的重要不等式，利用国际数学大会的会标引起同学们的兴趣和注意，并且对重要不等式给出明确的证明。
大正方形的面积是 ，
四个直角三角形的面积是 .
，
即 （重要不等式）。
思考：如何证明重要不等式？
证明：因为 ，当且仅当 时等号成立，所以
，
当且仅当 时，等号成立。
在重要不等式中，要求 .
知识迁移，不等式证明
用证明重要不等式的方法，试分析 是否与0有不变的大小关系。
证明：因为
，
当且仅当 时等号成立，所以
记a=AC,b=CB,能否用右图中的
相关量解释基本不等式呢？
由已知可推出圆的半径=DO= ,
DC= ，在直角三角形OCD中，
易知 ，等号在OD与
CD重合（即 ）时取到.
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基本不等式完整版(非常全面)基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、6、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域（1）22213xx y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
2、若02<<x ，求y x x =-()63的最大值；变式：若40<<x ，求)28(x x y -=的最大值；3、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值；（提示：平方，利用基本不等式）变式：求函数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最大值；题型五：巧用“1”的代换求最值问题1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b =+11的最小值；法一：法二：变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值；变式2：已知28,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值；变式3：已知0,>y x ，且119x y+=，求x y +的最小值。
变式4：已知0,>y x ，且194x y+=，求x y +的最小值；变式5：（1）若0,>y x 且12=+y x ，求11x y+的最小值；（2）若+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值；变式6：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求nm 41+的最小值；题型六：分离换元法求最值（了解）1、求函数)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域；变式：求函数)1(182>-+=x x x y 的值域；2、求函数522++=x x y 的最大值；（提示：换元法）变式：求函数941++=x x y 的最大值；题型七：基本不等式的综合应用1、已知1log log 22≥+b a ，求ba93+的最小值2、（2009天津）已知0,>b a ，求ab ba211++的最小值；变式1：（2010四川）如果0>>b a ，求关于b a ,的表达式)(112b a a ab a -++的最小值；变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0≠>a a 时，函数1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线0=+-n y mx 上，求n m 24+的最小值；3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；变式2：（2010山东）已知0,>y x ，312121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知0,>y x ，122=++xy y x ，求xy 最大值；4、（2013年山东（理））设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,zy x 212-+的最大值为（ ）（ ） A ．0 B ．1 C ． 49D ．3（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式：设z y x ,,是正数，满足032=+-z y x ，求xzy 2的最小值；题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012沈阳检测）已知0,>y x ，且9)1)((≥++yax y x 恒成立，求正实数a 的最小值；2、已知0>>>z y x 且zx n z y y x -≥-+-11恒成立，如果+∈N n ，求n 的最大值；（参考：4） （提示：分离参数，换元法）变式：已知0,>b a 满则241=+ba ，若cb a ≥+恒成立，求c 的取值范围；题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+2、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈bdac d c b a +≥+⋅+2222)2(),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc a Rd c b a ==∈2)())()(3(bd ac d c b a +≥++),0,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad dbc ad c b a ==≥3、二维形式的柯西不等式的向量形式≤),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当→→→→==ββk a k4、三维柯西不等式若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++),,(332211时等号成立当且仅当b a b a b a R b a i i ==∈ 5、一般n 维柯西不等式设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有: 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+),,(2211时等号成立当且仅当nn i i b a b a b a R b a ==∈题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设,,x y z R ∈，若2224x y z ++=，则z y x 22+-的最小值为 时，=),,(z y x 析：]2)2(1)[()22(2222222+-+++≤+-z y x z y x3694=⨯=∴z y x 22+-最小值为6-此时322)2(16221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，34-=z2、设,,x y z R ∈，226x y z --=，求222x y z ++的最小值m ，并求此时,,x y z 之值。
Ans ：)34,32,34(),,(;4--==z y x m3、设,,x y z R ∈，332=+-z y x ，求222)1(z y x +-+之最小值为 ，此时=y（析：0)1(32332=+--⇔=+-z y x z y x ）4、（2013年湖南卷（理））已知,,,236,a b c a b c ∈++=则22249a b c ++的最小值是 (12:Ans )5、（2013年湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=,求z y x ++的值；6、求φθφθθcos cos sin cos 3sin 2-+ 的最大值与最小值。
（Ans ：最大值为22，最小值为 -22）析：令→a = (2sin θ，3cos θ，- cos θ)，→b = (1，sin φ，cos φ)。