数列与不等式的综合问题

数列与不等式的综合问题

数列与不等式的综合问题

测试时间：120分钟

满分：150

分

解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为

q (q ≠1)，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2

b 2

.

(1)求a n 与b n ；

(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2

3

.

解 (1)设{a n }的公差为d ，因为

⎩⎪⎨⎪

⎧

b 2＋S 2＝12，q ＝S 2

b 2

，

所以⎩

⎪⎨⎪⎧

q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d

q .解得q ＝3或q ＝

－4(舍)，d ＝3.(4分)

故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1

.(6分)

(2)证明：因为S n ＝

n 3＋3n

2

，(8分)

所以1

S n ＝2n

3＋3n ＝23⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －

1n ＋1.(10分) 故1

S 1＋1

S 2＋…＋1

S n

＝

23⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝23⎝

⎛

⎭⎪⎫1－

1n ＋1.(12分) 因为n ≥1，所以0<1n ＋1≤12，于是1

2≤1－

1

n ＋1

<1，

所以13≤23⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－

1n ＋1<23， 即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <2

3

.(15分) 2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n

2a n ＋1

，n ∈N *.

(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n －1为等比数列；

(2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1

a n

，若S n <100，求最

大正整数n .

解 (1)证明：因为1

a n ＋1＝23＋1

3a n

，

所以1

a n ＋1－1＝13a n －13＝13⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

a n －1.

又因为1a 1－1≠0，所以1

a n

－1≠0(n ∈N *

)，

所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n －1为等比数列．(7分)

(2)由(1)，可得1

a n －1＝23×⎝ ⎛⎭

⎪⎫13n －1

，

所以1

a n ＝2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫13n

＋1.

所以S n ＝

1

a 1

＋

1

a 2

＋…＋

1

a n

＝n ＋

2⎝ ⎛⎭⎪⎫

13＋13

2＋ (13)

＝n ＋2×13－13n ＋11－

13

＝n ＋1－1

3n ，

若S n <100，则n ＋1－1

3n <100，所以最大正整

数n 的值为99.(15分)

3．[2016·新乡许昌二调](本小题满分15分)已知{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝2，b 1＝3，a 3＋b 5＝56，a 5＋b 3＝26.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)若－x 2

＋3x ≤n

2n ＋1

对任意n ∈N *恒成立，

求实数x 的取值范围．

解 (1)由题意，⎩⎨⎧

a 1＋2d ＋

b 1·q 4＝56，

a 1＋4d ＋

b 1·q 2

＝26，

将a 1＝2，b 1＝3代入，得

⎩⎨⎧

2＋2d ＋3·q 4＝56，2＋4d ＋3·q 2

＝26，

消d 得2q 4－q 2－28＝0，∴(2q 2＋7)(q 2－4)＝0，

∵{b n }是各项都为正数的等比数列，∴q ＝2，所以d ＝3，(4分)

∴a n ＝3n －1，b n ＝3·2n －1

.(8分)

(2)记c n ＝3·2

n －1

2n ＋1

，

c n ＋1－c n ＝3·2n －1

·

2n －12n ＋12n ＋3

>0

所以c n 最小值为c 1＝1，(12分)

因为－x 2

＋3x ≤n

2n ＋1

对任意n ∈N *恒成立，

所以－x 2

＋3x ≤2，解得x ≥2或x ≤1， 所以x ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．(15分) 4．[2016·江苏联考](本小题满分15分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，

b n >0(n ∈N *

)，且b 1，a 2，b 2成等差数列，a 2，b 2，a 3＋2成等比数列．

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)设c n ＝abn ，数列{c n }的前n 项和为S n ，

若S 2n ＋4n S n ＋2n >a n ＋t 对所有正整数n 恒成立，求常数t 的取值范围．

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)．

由

题

意

，

得

⎩

⎨⎧

21＋d ＝2＋2q ，2q 2

＝1＋d 3＋2d ，

解得d ＝q

＝3.(3分)