概率论与数理统计课后习题参考问题详解高等教育出版社
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概率论与数理统计课后习题参考答案
高等教育
习题1.1解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）
(正，正)，（正，反） ； （正，正），（反，反）
(正，正)，（正，反），（反，正）
（2）第二人中奖的概率。
解：令 “第 个人中奖”，
(1)
或
（2）
11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；
（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；
（9）三种报纸不全订阅。
解：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ;（5） ；
（6） ；（7） 或
（8） ；（9）
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果： , , , , , .
每次拿一件，取后放回，拿3次：
（1） ；（2） ；
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1wenku.baidu.com ；
（2）
12. 从 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
， 。
解：
；
或
13. 从 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解：
14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：
（1）6人中至少有1人生日在10月份；
5. 设事件 与 相互独立，两个事件只有 发生的概率与只有 发生的概率都是 ，求 和 .
解： ，又 与 独立
即 。
6. 证明 若 >0， >0，则有
（1）当 与 独立时， 与 相容；
（2）当 与 不相容时， 与 不独立。
证明：
（1）因为 与 独立，所以
， 与 相容。
（2）因为 ，而 ，
， 与 不独立。
那么
9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。
解：令 “系统（Ⅰ）正常工作” “系统（Ⅱ）正常工作”
“第 个元件正常工作”，
相互独立。
那么
10. 10奖券中含有4中奖的奖券，每人购买1，求
（1）前三人中恰有一人中奖的概率；
解：
； ；
； ；
.
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；
（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
（1） ；（2） ；
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件 满足 ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： ， ， .
解：如图：
6. 若事件 满足 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。例如： ， ， ，
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： ；
；
；
； ；
3. 以 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 表示以下事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；
（3）只订一种报； （4）正好订两种报；
那么， ，但 。
7. 对于事件 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。 例如： ， ， ，
那么 ，但是 。
8. 设 ， ，试就以下三种情况分别求 ：
（1） ， （2） ， （3） .
解：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
9. 已知 ， ， 求事件 全不发生的概率。
解：
=
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： “三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； “无绿”； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。
（2）6人中恰有4人生日在10月份；
（3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
（1） ；（2） ；
（3）
15. 从一副扑克牌（52）任取3（不重复），计算取出的3牌中至少有2花色相同的概率。
解：
或
习题1.2解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令 “被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”
那么，
（1）
（2）
12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
7. 已知事件 相互独立，求证 与 也独立。
证明：因为 、 、 相互独立，
与 独立。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：
令 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，
那么
令 表示最多有一台机床需要工人照顾，
解：
令 “取到的是 等品”，
。
2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令 “两件中至少有一件不合格”， “两件都不合格”
3. 为了防止意外，在矿同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求
（1）两种报警系统I和II都有效的概率；
（2）系统II失灵而系统I有效的概率；
（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
解：令 “系统（Ⅰ）有效”， “系统（Ⅱ）有效”
则
（1）
（2）
（3）
4. 设 ，证明事件 与 独立的充要条件是
证：
： 与 独立， 与 也独立。
：
又
而由题设
即
，故 与 独立。
高等教育
习题1.1解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）
(正，正)，（正，反） ； （正，正），（反，反）
(正，正)，（正，反），（反，正）
（2）第二人中奖的概率。
解：令 “第 个人中奖”，
(1)
或
（2）
11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；
（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；
（9）三种报纸不全订阅。
解：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ;（5） ；
（6） ；（7） 或
（8） ；（9）
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果： , , , , , .
每次拿一件，取后放回，拿3次：
（1） ；（2） ；
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1wenku.baidu.com ；
（2）
12. 从 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
， 。
解：
；
或
13. 从 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解：
14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：
（1）6人中至少有1人生日在10月份；
5. 设事件 与 相互独立，两个事件只有 发生的概率与只有 发生的概率都是 ，求 和 .
解： ，又 与 独立
即 。
6. 证明 若 >0， >0，则有
（1）当 与 独立时， 与 相容；
（2）当 与 不相容时， 与 不独立。
证明：
（1）因为 与 独立，所以
， 与 相容。
（2）因为 ，而 ，
， 与 不独立。
那么
9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。
解：令 “系统（Ⅰ）正常工作” “系统（Ⅱ）正常工作”
“第 个元件正常工作”，
相互独立。
那么
10. 10奖券中含有4中奖的奖券，每人购买1，求
（1）前三人中恰有一人中奖的概率；
解：
； ；
； ；
.
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；
（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
（1） ；（2） ；
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件 满足 ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： ， ， .
解：如图：
6. 若事件 满足 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。例如： ， ， ，
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： ；
；
；
； ；
3. 以 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 表示以下事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；
（3）只订一种报； （4）正好订两种报；
那么， ，但 。
7. 对于事件 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。 例如： ， ， ，
那么 ，但是 。
8. 设 ， ，试就以下三种情况分别求 ：
（1） ， （2） ， （3） .
解：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
9. 已知 ， ， 求事件 全不发生的概率。
解：
=
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： “三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； “无绿”； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。
（2）6人中恰有4人生日在10月份；
（3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
（1） ；（2） ；
（3）
15. 从一副扑克牌（52）任取3（不重复），计算取出的3牌中至少有2花色相同的概率。
解：
或
习题1.2解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令 “被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”
那么，
（1）
（2）
12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
7. 已知事件 相互独立，求证 与 也独立。
证明：因为 、 、 相互独立，
与 独立。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：
令 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，
那么
令 表示最多有一台机床需要工人照顾，
解：
令 “取到的是 等品”，
。
2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令 “两件中至少有一件不合格”， “两件都不合格”
3. 为了防止意外，在矿同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求
（1）两种报警系统I和II都有效的概率；
（2）系统II失灵而系统I有效的概率；
（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
解：令 “系统（Ⅰ）有效”， “系统（Ⅱ）有效”
则
（1）
（2）
（3）
4. 设 ，证明事件 与 独立的充要条件是
证：
： 与 独立， 与 也独立。
：
又
而由题设
即
，故 与 独立。