概率论与数理统计课后习题参考问题详解高等教育出版社
概率论与数理统计第四版- 课后习题答案
完全版概率论与数理统计习题答案第四版盛骤(浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1），n表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
表示为：A或A－(AB+AC)或A－(B∪C)（2）A，B都发生，而C不发生。
表示为：AB或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一个发生（4）A，B，C都发生，表示为：A+B+C 表示为：ABC表示为：或S－(A+B+C)或（5）A，B，C都不发生，（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于,,中至少有一个发生。
故表示为：。
（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：,,中至少有一个发生。
故表示为：（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。
故表示为：AB+BC+AC6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。
概率论与数理统计课后习题参考题答案高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育出版社习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
概率论与数理统计课后习题参考问题详解高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
(高等教育出版)概率论与数理统计教程课后习题答案
4
P ( A) = 1 - P ( A) = 1 −
94 ⎛9⎞ = 1− ⎜ ⎟ 10000 ⎝ 10 ⎠
4
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 1 解 (1) 答案为 。 5 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案 4 2 为 = 10 5 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本 空间包含 10 2 个样本点。用事件 A 表示“该数的立方的最后两位数字都是 1” ，则该 数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a ，则该数的立方的最后两位数 字为 1 和 3 a 的个位数，要使 3 a 的个位数是 1，必须 a = 7 ，因此 A 所包含的样本 点只有 71 这一点，于是 。 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接， 6 个尾也两两相接。 求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。 并把上述结果推广到 2n 根草的情形。 解 (1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另 一头，它又可以与其它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对 头而言有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，同样对尾也有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种接法，所以样本点总数为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1) 2 。 用 A 表示“6 根草恰好连成一个环” ，这种连接，对头而言仍有 5 ⋅ 3 ⋅ 1 种连接法，而 对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一 尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环， 故 尾 的 连 接 法 为 4 ⋅ 2 。 所 以 A 包 含 的 样 本 点 数 为 (5 ⋅ 3 ⋅ 1)(4 ⋅ (3) 指 定 的 m 个 盒 中 正 好 有 j 个 球 的 概 率 为 ⎜ ⎝ m − 1 ⎠⎝
概率论与数理统计高教版第四版课后习题答案
1 0 ＃ fn ( A) 1;
2 fn (S ) = 1;
3 若A1 , A2 , f n ( A1 A2
2
表1-1 实验序号 n=5 nH fn(H) 2 3 1 5 1 0.2 0.6 0.2 1.0 0.2 n=50 nH fn(H) 22 25 21 25 24 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 n=500 nH fn(H) 251 249 256 253 251 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502
+ P( An ).
(3.2) 式得证。 性质ⅲ 设A,B是两个事件，若A⊂B,则有 P(B-A)=P(B)-P(A); (3.3) P(B)≥P(A). (3.4) 证 由A⊂B知，B=A∪(B-A),且A(B-A)=Ø,再由概率的有限可 加性（3.2），得 P(B)=P(A)+P(B-A), (3.3)得证；又由概率的非负性，P(B-A)≥0,知 P(B)≥P(A). 性质ⅳ 对于任意事件A， P(A)≤1.
P( A1 A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + . (3.1) 由概率的定义，可以推得概率的一些重要性质。 性质ⅰ P(Ø )=0. ¥ 证 令An =? (n 1, 2,..), 则 An =破 ，且Ai A j = ,i ? j,
n= 1
i,j=1,2,...,由概率的列可加性（3.1）得
1 2 3 4 5
6
7 8
重庆工商大学《概率论与数理统计》课后习题答案—高等教育出版社(袁德美主编)第六章
P{X1 x1}P{ X 2 x2} P{X 50 x50 }
50Biblioteka C xi 100p xi
(1
p )100 xi
i 1
50
C xi 100
p50x (1
p)500050 x
i 1
其中x
1 50
50 i 1
Xi
幻灯片 3 6.3 某射手进行射击训练,已知他击中目标的概率为 p,每一轮击中目标就停止.设第 i 轮射 击的次数记为 Xi , 求样本 X1,X2,…,Xn 的联合分布. 解
幻灯片 1
6.1 为研究某信息台 1~3 月份从晚上 19 点到晚上 22 点每分钟内接到人工服务的呼叫次数,
今从 1~3 月份的全部记录中随机抽取 200 个记录进行研究,问该研究项目的总体是什么?个
体是什么?样本是什么?
解
该研究项目的总体是全部记录.
该研究项目的个体是每个记录.
该研究项目的样本是随机抽取的 200 个记录.
其中x
1 n
n i 1
Xi
幻灯片 4 6.5 测得一组样本的观测值 24.2，25.0，22.8，23.4，24.3，23.8，24.2，23.5，23.3 求样本均值,样本方差,样本标准差以及样本的二阶中心矩.
1 n
x n i1 xi
解 样本均值
23.8
s2
1 n 1
n i 1
( xi
P( X i xi ) (1 p)xi 1 p, i 1, 2, , n
p (x1, x2 , xn )
P{X1 x1, X 2 x2 , , X n xn }
P{X1 x1}P{ X 2 x2} P{X n xn }
高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习答案
1
2
E( X E( X ) ) E( X 1) x 1 f ( x)dx
(1 x) x dx
0 1 2 1
1 ( x 1) (2 x) dx 3
4.13 设 (X, Y ) 的联合概率密度是
y
12 y 2 , 0 y x 1 f ( x, y ) 其他 0 , 求(1)E(X),E(Y);(2)E(XY);(3)E(X2＋Y2)
4.19 设 X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每 次命中目标的概率为0.4,则E(X2)=( A )
(A)18.4
解
(B)24
(C)16
(D)12
X
B(10, 0.4)
E ( X ) np 4
D( X ) npq 2.4
又D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) 0
XY
Cov( X , Y ) 0 D( X ) D(Y )
1 解 又P( X 1, Y 1) 8 3 3 P ( X 1) , P (Y 1) 8 8
但P( X 1, Y 1) P( X 1) P(Y 1)
2 2
xyf ( x, y) dxdy dx
0
1 xy 12 y dy 2
(3) E ( X Y )
1
x
( x 2 y 2 ) f ( x, y ) dxdy
2 2 2
16 dx ( x y ) 12 y dy 0 0 15
概率论与数理统计高教版第四版课后习题答案
定义1.2 若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,…,En组成， 并且这些事件的出现具有相同的可能性，而事件A由其中的 某m个基本事件E1/,E2/,…,En/组成，则事件A的概率可用下式 计算：
有利于A的基本事件数 m P( A) = = 试验的基本事件总数 n (1.1)
这里E1,E2,…,En构成一个等概率完备事件组。 （三）计算概率的例题 例1 袋内有5个白球，3个黑球，从中任取两个位球，计算 取出的两个球都是白球的概率。 例2 一批产品共200个，有6个废品，求：（1）这些产品的 废品率；（2）任取3个恰有一个是废品的概率；（3）任取3个
12
数值p，即（P(A)）就是在一次试验中对事件A发生可能 性的大小的数量描述。 如上所说，频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是 说概率决定于试验。一个事件发生的概率完全决定于事件本 身的结构，是先于试验而客观存在的。 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的 但 并不能用这个定义计算P(A)。实际上，人们是采用一次大量 实验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值。 这就是说，概率的统计定义还不是真正意义上的数学定 义。 （二）概率的古典定义 直接计算某一事件的概率有时是非常困难的，甚至是不 可能的。仅在某些情况下，才可以直接计算事件的概率。
5
个事件发生。记作
å
¥
Ai 或
¥
Ai
i= 1
i= 1
4. 事件的交（积） 两个事件A与B同时发生，即“A且B” ，是一个事件，称为 A与B的交（积），它是由既属于A又属于B的所有公共样本点 构成的集合，记作 AB或A∩B 5.事件的差 事件A发生而事件B不发生，是一个事件，称为事件A与事 件B的差。它是由属于A但不属于B的样本点构成的集合。记作 A-B. 6. 互不相容事件
概率论与数理统计习题答案(王勇主编)高等教育出版社
·1·习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
概率论与数理统计 浙大 第四版 课后答案(盛骤 谢式千 潘承毅 著) 高等教育出版社
k = (n +1) p时, M = 1 ，此时 P{X = k} = P{X = k −1}
k > (n +1) p时, M < 1
所以当
k
=
⎧(n +1)p −1, (n + 1) p,若(n +1) p为整数
⎨ ⎩
（n
+
1）p，若（n
+
1）p为非整数
（2）对于泊松分布 P(λ) ，由
P(k;λ) P(k −1;λ)
0
1
P{0 ≤ X ≤ 2} = F(2) − F(0) = 1− 0 = 1
⎧0 解法二： f (x) = F '(X ) = ⎪⎨2Ax
⎪⎩ 0
x<0 0≤ x <1 x ≥1
∫ ∫ 由
1=
+∞
1
f (x)dx = 2Axdx =A
∴
A = 1 其它同解法一
−∞
0
⎧x 17、已知随机变量 X 的概率密度为: f (x) = ⎪⎨2 − x
k=0 k!
∑ 查表得 +∞ e−3 3k = 0.000292 < 1 − 0.999 = 0.001 k =11 k!
所以在月初进货时要进此种商品 10 件，才能保证此商品当月不脱销的概率 为 0.999。 10、每年袭击某地的台风次数近似服从参数为 4 的泊松分布。求一年中该地区受 台风袭击次数为 3~5 的概率。 解：设 X 表示每年袭击某地的台风次数
=
λ k
…,
k
=
2,3...
可知
当 k < λ 时， P(k − 1; λ) < P(k; λ)
概率及数理统计课后习题答案(高等教育出版社)
6．从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中“至少有两只配成一双” （事件 A）的 概率是多少？
解： P ( A)
1 2 C5 C8 C52 4 C10
7 ． 在 1,1 上 任 取 一 点 X ， 求 该 点 到 原 点 的 距 离 不 超 过
o
. .
网
1 的概率. 5
答 ： 样 本 空 间 由 如 下 36 个 样 本 点 组 成 {(i , j ) i , j 1,2,3,4,5,6} （ 3） 调 查 城 市 居 民 （ 以 户 为 单 位 ） 烟 、 酒 的 年 支 出 答 ： 结 果 可 以 用 （ x， y） 表 示 ， x， y 分 别 是 烟 、 酒 年 支 出 的 元 数 .这 时 ， 样 本
a 0 x 2 a 所求事件满足： 0 y 2 x y (a x y )
m
概率论与数理统计
习题解答
B 相 互 独 立 ， 求 P( B) .
解：若 A 、 B 互 不 相 容 ， P ( B ) P (A B ) P (A ) 0.7 0.4 0.3 ； 若 A 、 B 相 互 独 立 ， 则 由 P (A B ) P (A ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) 可 得 P ( B) =0.5. 13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中 1，2，3 号仓库的概率分别为 0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率. 解：设 A {命中仓库}，则 A {没有命中仓库}，又设 Ai {命中第 i 仓库} (i 1,2,3) 则 P ( A1 ) 0.01, P ( A2 ) 0.02, P ( A3 ) 0.03 ，
概率论与数理统计第四版课后习题答案
概率论与数理统计第四版课后习题答案概率论与数理统计习题答案第四版盛骤 (浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）=n n nn o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为： CB A 或A － (AB+AC )或A －(B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生，表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ??（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题二的答案.解析
求(1)a的值;(2)X的分布函数F(x);(3)P(0.2<X＜1.2) 解 (1)由规范性得1
f ( x)dx
1
0
xdx (a x)dx
1
2
a2
2.21 设 X
0 x 1 x , f ( x) 2 x , 1 x 2 0, 其他
(3) P (0.2 X 1.2) F (1.2) F (0.2) 0.66
2.22 设 X
2 x , f ( x) 0,
0 x 1 其他
求(1)P(X=0.1);(2)P(X＜0.2|0.1<X<0.5)
解 (1) P ( X 0.1) 0
(1)求A的值;(2) P ( X
解 (2) P ( X
6
6
);(3)概率密度函数f ( x )
) P (
6
X
6
) F ( ) F (
6
1 sin 0 6 2
6
)
0 , x0 2.20 设连续型随机变量X的分布函数 F ( x ) A sin x , 0 x 2 1, x 2
13 c 60
4 9
2.9
0 , 0.3 , 设离散型随机变量X的分布函数为 F ( x ) 0.7 , 1,
x 1 1 x 2 2 x3 x3
求X的分布列. 解 分布列为 X P －1 2 3
0.3
0.4
0.3
2.10 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8,现随 机检查4件,求至少有两件一级品的概率. 解 设X为随机检查的4件产品中的一级品的个数. 则X～B(4,0.8) 则所求概率为
概率论与数理统计课后习题答案(高等教育出版社) (浙江大学)(盛骤、谢式千、潘承毅)
第一章 概率论的基本概念[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,41)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，81)(=AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。
解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C ) = P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8508143=+-.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记A 表“4只全中至少有两支配成一对” 则A 表“4只人不配对” ∵ 从10只中任取4只，取法有⎪⎭⎫⎝⎛410种，每种取法等可能。
要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。
取法有4245⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛21132181)(1)(2182)(410445=-=-==⋅=∴A P A P C C A P[十四] )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ⋃===求。
解：由61)()(314121)()|()()()()|(=⇒⨯=−−−−→−=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件 由乘法公式，得121)|()()(==A B P A P AB P 由加法公式311216141)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P [十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）二只都是正品（记为事件A ）法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。
62.04528)(21028===CC A P法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。
概率论与数理统计1-6章作业及参考答案高等教育出版社
（1） A1, , An 互不相容；（2） A1, , An 相互独立；（3）一般情形。
解：(1) 由概率的有限可加性可得
p= P(A1)+ P(A2)+ …+ P(An)
(2)
P = P( A1 ∪ A2 ∪ ∪ An )
= 1 − P( A1 A2 An )
= 1 − P( A1 )P(A2 ) P( An )
解：1) P{X = k} = Cnk pk (1 − )p n−k , k = 0,1,2..., n 或 X ~ B(n, p)
2) P{Y = k} = ( Cnk+k −1 pn 1 − p)k , k = 0,1,2...
22. 设事件 A，B，C 相互独立，且 P(A)=1/4, P(B)=1/3, P(C)=1/2. 试求： （1） 三个事件都不发生的概率； （2） 三个事件至少有一个发生的概率； （3） 三个事件恰好有一个发生的概率； （4） 至多有两个事件发生的概率。 解：
23. 设有事件 A1, , An ，在下列各种条件下怎样求 A1, , An 至少有一个发生的概率。
第一章
（本章计算概率的习题除 3~6 以外， 其余均需写出事件假设及概率公式， 不能只有算式） 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1）同时抛三颗色子，记录三颗色子的点数之和； （2）将一枚硬币抛三次，(i)观察各次正反面出现的结果；(ii)观察正面总共出现的次数； （3）对一目标进行射击，直到命中 5 次为止，记录射击次数； （4）将一单位长的线段分成 3 段，观察各段的长度； （5）袋中装有 4 个白球和 5 个红球，不放回地依次从袋中每次取一球，直到首次取到红球 为止，记录取球情况。
=
1 21
概率论与数理统计 (齐民友 著) 高等教育出版社 课后答案
k 格品，另一件是不合格品有
C
1 M
−m
C
1 m
种取法，故所求概率为
C
1 M
−
m
C
1 m
= 2m
.C
2 M
−m
+
C
1 m
C
1 M
−m
M + m −1
注：这里采用的是在缩减的样本空间中计算条件概率的方法，且题中“有一件”其意应在
“至少有一件”而不能理解为“只有一件”，这是因为对另一件是否是不合格还不知道。
. 是一个古典概型问题，而第二次抽出次品抽取法有11× 2 种，故所求事件概率为 11× 2 = 1 12 ×11 6 11、这可看成是条件概率问题 w方法一 设 A 表示第一次取到不合格品，B 表示第二次取到不合格品，所求概率是 P ( AB | A ∪ B ) ，按条件概率的定义有
wP
(
AB
|
A∪
h 所以 P {( A ∪ B )( A ∪ B )( A∪ B )( A∪ B )} = P ( φ ) = 0
9、七个字母任意排有 7！种排法，且每一排法的可能性相同，这是一个古典概型问题，
k 而排成 SCIENCE 有1× 2×1× 2×1×1×1 = 4 种排法，故所求概率为 4 = 1 7 ! 1260 10、12 件产品按不放回方式抽两次时有12×11 种抽取法，且每一种取法的概率相等，这
角形，即三角形 ABC 为锐角三角形的事件 A 为
d A = {(x, y) | 0 < x < 2π ,0 < y < π ,0 < 2π − (x + y) < π ,(x, y) ∈ Ω}
概率论与数理统计第四版_习题答案(完整版)
（1）从 0≤P(AB)≤P(A)知，当 AB=A，即 A∩B 时 P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6， （2）从(*)式知，当 A∪B=S 时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[ 四 ] 设 A ， B ， C 是三事件，且 P( A) P( B ) P(C )
P( A) 1 P( A ) 0.7, P( B ) 1 P( B) 0.6, A AS A( B B ) AB AB 注意 ( AB)( AB ) . 故有
P (AB)=P (A)－P (A B )=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理， P (A∪ B )= P (A)+ P ( B )－P (A B )=0.7+0.6－0.5=0.8 于是 P( B | A B )
8.[五] 在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从 26 个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？ 记 A 表“能排成上述单词”
2 ∵ 从 26 个任选两个来排列，排法有 A26 种。每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词：55 个 ∴
P( A)
（2）至少有 2 个次品的概率。 记：A 表“至少有 2 个次品” B0 表“不含有次品” ，B1 表“只含有一个次品” ，同上，200 个产品不含次品，取法
1100 400 1100 有 200 种，200 个产品含一个次品，取法有 1 199 种
概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤
(浙江大学)
浙大第四版（高等教育出版社）
第一章 概率论的基本概念
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解：令 “第 个人中奖”，
(1)
或
（2）
11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
解：
； ；
； ；
.
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；
（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
（1） ；（2） ；
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件 满足 ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： ， ， .
解：如图：
6. 若事件 满足 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。例如： ， ， ，
解：
令 “取到的是 等品”，
。
2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令 “两件中至少有一件不合格”， “两件都不合格”
3. 为了防止意外，在矿同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： ；
；
；
； ；
3. 以 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 表示以下事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；
（3）只订一种报； （4）正好订两种报；
（2）6人中恰有4人生日在10月份；
（3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
（1） ；（2） ；
（3）
15. 从一副扑克牌（52）任取3（不重复），计算取出的3牌中至少有2花色相同的概率。
解：
或
习题1.2解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
7. 已知事件 相互独立，求证 与 也独立。
证明：因为 、 、 相互独立，
与 独立。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：
令 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，
那么
令 表示最多有一台机床需要工人照顾，
那么
9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。
解：令 “系统（Ⅰ）正常工作” “系统（Ⅱ）正常工作”
“第 个元件正常工作”，
相互独立。
那么
10. 10奖券中含有4中奖的奖券，每人购买1，求
（1）前三人中恰有一人中奖的概率；
（1）两种报警系统I和II都有效的概率；
（2）系统II失灵而系统I有效的概率；
（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
解：令 “系统（Ⅰ）有效”， “系统（Ⅱ）有效”
则
（1）
（2）
（3）
4. 设 ，证明事件 与 独立的充要条件是
证：
： 与 独立， 与 也独立。
：
又
而由题设
即
，故 与 独立。
解：
令 “被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”
那么，
（1）
（2）
12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；
（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；
（9）三种报纸不全订阅。
解：（1） ；2） ；（3） ；
（4） ;（5） ；
（6） ；（7） 或
（8） ；（9）
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果： , , , , , .
5. 设事件 与 相互独立，两个事件只有 发生的概率与只有 发生的概率都是 ，求 和 .
解： ，又 与 独立
即 。
6. 证明 若 >0， >0，则有
（1）当 与 独立时， 与 相容；
（2）当 与 不相容时， 与 不独立。
证明：
（1）因为 与 独立，所以
， 与 相容。
（2）因为 ，而 ，
， 与 不独立。
概率论与数理统计课后习题参考答案
高等教育
习题1.1解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 中的样本点。
解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）
(正，正)，（正，反） ； （正，正），（反，反）
(正，正)，（正，反），（反，正）
每次拿一件，取后放回，拿3次：
（1） ；（2） ；
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1） ；
（2）
12. 从 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
， 。
解：
；
或
13. 从 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解：
14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：
（1）6人中至少有1人生日在10月份；
那么， ，但 。
7. 对于事件 ，试问 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。 例如： ， ， ，
那么 ，但是 。
8. 设 ， ，试就以下三种情况分别求 ：
（1） ， （2） ， （3） .
解：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
9. 已知 ， ， 求事件 全不发生的概率。
解：
=
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： “三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； “无绿”； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。