有关中点的定理及辅助线

有关中点的定理及辅助线

一、遇到中线想到线等、联想到三线合一

二、遇到中线想到面积等

例：用不同的方法把三角形的面积四等分

例：在图12—1至图12—3中，已知△ABC的面积为a．（1）如图12—1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=______（用含a的代数式表示）；（2）如图12—2，延长△ABC 的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为

S2，则S2=__________（用含a的代数式表示）；

（3）在图12—2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如

图12—3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示），并运

用上述（2）的结论写出理由．

发现：

像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图

12—3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的

面积是原来△ABC面积的

倍．

应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△

ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图12—4已给出了前两次扩展的图

案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如

果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花

的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积．

三、遇到中线想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半

例：如图BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC和ED的中点。求证：MN⊥ED

练习：（1）、在三角形ABC中，AB=AC，BD平分角ABC，过点D做DE垂直于BD交BC于点E，

求证：CD=1/2BE

（2）、如图，过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD

求证：∠FDA=∠FCB

四、遇到中线加倍延

例：已知：如图，AD为△ABC的中线，点E在AC边上，BE交AD于点F，且AE=EF

求证：AC=BF

练习：（1）已知△ABC中，AD是BC边上的中线，分别紧AB边，AC边为直角边各向外作等腰直角三角形求证：EF=2AD

（2）已知：如图，AB=BC=CE，AD为△ABC中BC边的中线，求证：∠1 =∠2

（3）BC平分∠EBD，AF平行于BC，F是ED的中点求证：EG=AD

D

E

A

B

C

F

图12

M O F E D B A C N O F E A D C B H

G O F E A D C B D l A C A'C'D'E A D F A 五、多中点想到中位线

1、三角形中位线的性质

（1）、任意四边形的中点四边形都是___________；平行四边形的中点四边形是_____________； 矩形的中点四边形是_______________；菱形的中点四边形是__________________；

正方形的中点四边形是__________________；梯形的中点四边形是_________________； 直角梯形的中点四边形是________________；等腰梯形的中点四边形是______________。

（2）O 是ΔABC 所在平面内一动点，连接OB ，OC ，并将AB ，OB ，OC ，AC 的中点D ，E ，F ，G 依次连接，如果DEFG 能构成四边形：（1）如图，当O 点在ΔABC 内部时，证明四边形DEFG 是平行四边形。（2）当O 点移动到ΔABC 外部时，（1）的结论是否还成立？画出图形并说明理由。

（3）若四边形DEFG 为矩形，O 点所在位置应满足什么条件？试说明理由。

（3）如图在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且AC=BD ，

求证：OM=ON.

（4）已知AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，求证：FC=2AF.

（5）已知，如图，AD 为△ABC 边的高，∠B=2∠C ，M 为BC 的中点.求证：DM=2

1AB

2、梯形中位线的性质

（1）、已知等腰梯形的中位线和腰长相等，都等于8cm ，这个等腰梯形的周长为（ ）

A 、16 cm

B 、32 cm

C 、24 cm

D 、40 cm

（2）、已知四边形ABCD 是高为10的等腰梯形，AB=DC ，AD ∥BC ，又AC ⊥BD ，求中位线EF 的长。

1、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ，求证：

GH=2

1(BC-AD). （3）直线l 过口ABCD 的顶点B ，AA ’⊥l ，CC ’⊥l ，DD ’⊥l,

试证明AA ’+ CC ’= DD ’