2020人教版八年级数学下期末复习特色题训练培优辅导

八年级数学下期末复习特色题训练培优辅导
一、阅读理解
1．阅读材料：
课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线．．．．．
划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．
小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示．
小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”
老师说：“小方说得对．”
完成下列问题：
（1）图4的划分方法是否正确？
答：_______________．
（2）判断图5
的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由；
答：
____________________________________________________________________．
（3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画出来．
图4 图5 图6
图1 图2 图
3
2. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围。

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长AD到Q，使得DQ＝AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；
③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____________。

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。

（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明。

（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°。

试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明。

二、新定义
3. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
=；
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
4. 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：=；=．
（2）若=1，写出满足题意的x的整数值．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数，次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是．
5.现场学习：
在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在a n=b中，a，b，n三者关系．
同学甲：已知a，n，可以求b，是我们学过的乘方运算，其中b叫做a的n次方．如：（﹣2）3=﹣8，其中﹣8是﹣2的3次方．
同学乙：已知b，n，可以求a，是我们学过的开方运算，其中a叫做b的n次方根．如：（±2）2=4，其中±2 是4的二次方根（或平方根）；（﹣3）3=﹣27，其中﹣3是﹣27的三次方根（或立方根）．
老师：两位同学说的很好，那么请大家计算：
（1）81的四次方根等于；﹣32的五次方根等于．
同学丙：老师，如果已知a和b，那么如何求n呢？又是一种什么运算呢？
老师：这个问题问的好，已知a，b，可以求n，它是一种新的运算，称为对数运算．
这种运算的定义是：若a n=b（a＞0，a≠1），n叫做以a为底b的对数，记作：n=log a b．例如：23=8，3叫做以2为底8的对数，记作3=log28．根据题意，请大家计算：
（2）log327=；（）﹣2+﹣log4=．
随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么
log a MN=log a M+log a N．
（3）请你利用上述性质计算：log53+log5．
3.如果一个正整数能写成2
23b
a 的形式（其中a，b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22＋3×12，31＝22＋3×32。

（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数。

（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数。

三、找规律
6．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为（）
A．6 B．12 C．32 D．64
四、作图+证明
7．在l上求作一点M，使得A M＋BM最小，并简要说明理由。

8．在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD=α（0°＜α＜180°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC．
（1）依题意补全图1；
（2）在图1中，求△BPC的度数；
（3）直接写出使得△PBC是等腰三角形的α的值．
9.在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点
E，连接BP．
（1）当点P在线段AC上时，如图1．
①依题意补全图1；
②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；
（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）
10.在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，
且BC≠BE），在射线BE上截取BA=BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图
．．．1．，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE=BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE ，BF ，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
11.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2，现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直
角边分别与直线AC，直线BC相交于点E，F，我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，当点E在线段AC上时，试判别△DEF的形状，并说明理由；
（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
12.如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC边上一动点（与点B，C不重合），点E与点D关于
直线AC对称，连结AE，过点B作BF⊥ED的延长线于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）当AE=BD时，用等式表示线段DE与BF之间的数量关系，并证明．
13．（6分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC=20°，求∠AEB的度数；
（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．
14．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC．作射线AP，过点B作BD⊥AP于点D，连接CD．（1）当射线AP位于图1所示的位置时
①根据题意补全图形；
②求证：AD+BD=CD．
（2）当射线AP绕点A由图1的位置顺时针旋转至∠BAC的内部，如图2，直接写出此时AD，BD，CD 三条线段之间的数量关系为．
五、整体思想
15. 如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则
∠AMB=（）
A．30°B．25°C．22.5° D．20°
六、折叠问题
16. 如图，把△A BC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示.若∠A = 60°，∠1 = 95°，
则∠2 的度数为（）
A．24°B．25°C．30°D．35°
17．平面直角坐标系中有一点A（1，1）对点A进行如下操作：
第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2=AA1；
第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4=A2A3；
第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6=A4A5；
……
则点A2的坐标为，点A2015的坐标为；
若点A n的坐标恰好为（4m，4n）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则∠A的度数是_____度．（用含α的代数式表示）
七、开放性试题
19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上﹣点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．
（1）求证：AF=CG；
（2）写出图中长度等于2DE的所有线段．
八、代数特色题
20. 已知：，，求代数式的值.
21. 先化简，再求值：，其中满足.
22.已知：a2+3a﹣2=0，求代数的值．
23.若，求的值．
24.已知，求的值。