12.3 恒定磁场的高斯定理
恒定磁场的高斯定理
恒定磁场的高斯定理
高斯定理是伟大物理学家兼数学家高斯在1839年发表的著作《有关被称为数学分析的普洛斯特拉分支之一的制定法》中提出的定理，它是电磁学的重要基础。
根据它，电场的磁场是受磁场而产生的电流的积分，它可以用来解释恒定磁场的性质及其分布规律。
首先，高斯定理指出，如果把一个恒定磁场看成一个圆柱体，磁场沿着柱体的侧面改变，结果就像斜率在每一点中恒定，那么在这个柱体上，斜率最大，我们可以轻松求出磁场的分布规律。
尤其是，当磁场穿过两个柱体轴之间的沿着轴的定义域积分时，磁场结果就是沿着轴的定义域的累加的和，也就是磁场的平均值。
其次，通过高斯定理，可以利用距离类比的方法，确定定向性磁场的强度。
比如，可以把它看做一个受定向磁场影响的小铁球，这个铁球会受到磁场的拉力，从而可以从距离类比的角度来了解磁场的强度。
综上所述，高斯定理是一个非常重要的物理定理，它深刻地解释了恒定磁场的性质及分布规律，为我们了解定向性磁场提供了新的理解手段，为电磁学提供了重要依据，该定理有着重要的理论意义和应用价值，为日常生活提供了多项便利。
磁场的高斯定理课件
高斯定理的应用领域
磁场测量
利用高斯定理测量磁场强度、磁 通量等物理量，应用于地球磁场 测量、磁力勘探等领域。
电磁感应
高斯定理在电磁感应现象中有重 要应用，如发电机、变压器等设 备的原理分析。
磁性材料研究
高斯定理对于研究磁性材料的性 质和磁性物理现象具有重要意义 ，如磁滞现象、磁畴结构等。
02
磁场的高斯定理的数学表述
高斯定理与麦克斯韦方程组的关系
高斯定理是麦克斯韦方程组的一部分
高斯定理是麦克斯韦方程组中的一个重要组成部分，它描述了磁场线闭合的特性 。通过麦克斯韦方程组的推导，可以进一步理解高斯定理在电磁场中的作用和意 义。
高斯定理与安培环路定律的关系
高斯定理和安培环路定律是相互关联的，它们描述了磁场和电流之间的关系。通 过安培环路定律，可以推导出高斯定理，进一步证明其在电磁场中的重要性和应 用。
实验操作过程与注意事项
01
操作过程
02
搭建实验装置，包括磁场产生器、测量线圈和数据采集系统。
将测量线圈放置在封闭曲面上，并确保测量过程中线圈与曲面
03
保持相对静止。
实验操作过程与注意事项
01
启动磁场产生器，记录测量线圈 中的感应电动势。
02
重复实验，改变封闭曲面的形状 和大小，以验证高斯定理的普遍 性。
关理论的理解和应用。
06
总结与展望
高斯定理的重要性和应用价值
高斯定理是磁场理论中的基本定理之一，它揭示了磁场与电荷散布之间的关系，对 于理解磁场和电磁现象的本质具有重要意义。
高斯定理的应用价值在于，它为解决各种磁场问题提供了重要的理论工具，如磁场 计算、电磁感应、磁力应用等。
高斯定理在物理学、工程学、电子学等领域有着广泛的应用，对于推动科学技术的 发展具有重要作用。
第十二章恒定磁场-§12.3磁场的高斯定理
s s
《大学物理》校级精品课程教学团队
3.任意磁场中通过任意闭合曲面S的电通量
规定：闭合曲面由内指向外的法线方向为dS的正方向。 n
B
B
d m B d S B d S cos
m
B d S B cos dS
I1
A
r
dr
0 I1 B1 B2 2 d 2
BA
l r
O
I2
取面积元，其上通量为：
0 I1 0 I2 2r 2 ( d r ) r r I 0 I 2 0 1 m d m [ ]l d r r 2 r 2 (d r ) I l r r I l d r1 0 1 ln 1 2 0 2 ln 2 r1 2 d r1 r2
解：长直导线周围的磁场为非匀强磁场。(已知I,l,a,b) 建立如图示Ox坐标轴，在x处取长l宽dx的面元 ds= l dx
a
B
I
b
l
长直导线在面元处的磁感应强度为
B
0 I
2 πx
通过此面元的磁通量为：
o
x
dx
x
d m B ds
通过平面S的磁通量：
0 I
2 πx
ldx
m d m
d m B d S Bl d r
1 2
r1
B
d
r2
r3
1
d 40cm r2 20cm
l 25cm
r1 r3 10cm
I1 I 2 20 A
《大学物理》校级精品课程教学团队
2.26 1பைடு நூலகம் 6 Wb
磁场高斯定理的内容
磁场高斯定理的内容
磁场高斯定理是电磁学中的一条重要定理，它描述了磁场的分布与其周围磁荷的关系。
磁场高斯定理可以表述为：闭合曲面上通过磁场力线的磁通量等于该曲面内部所有磁荷的代数和的倍数。
具体来说，磁场高斯定理可以表示为以下公式：
∮B·ds = μ₀∑qi
其中，∮B·ds 表示磁场B与曲面ds的点积在闭合曲面上的积
分（也称为磁通量），μ₀为真空中的磁导率（常数），∑qi
表示闭合曲面内部所有磁荷的代数和。
根据磁场高斯定理，当闭合曲面上没有内部磁荷时，磁场的总磁通量为零。
而当闭合曲面内有磁荷时，磁场的总磁通量与闭合曲面内的磁荷成正比，比例系数为磁导率。
磁场高斯定理可以用于计算磁场，尤其是当磁荷分布较复杂时。
通过选择合适的闭合曲面，可以简化磁场计算的过程，并得到准确的结果。
大学物理 恒定磁场
26
测载流子电性 — 半导体类型
8.5 载流导线在磁场中受力
一、一段载流导线上的力——安培力 I 2 1个电子 受力 f qv B 1 N个电子受力 d F Nq v B 电流元 I d l B
N n d V nS d l
不对 q 做功。
v
q
B
v
B
F qE qv B
15
二、带电粒子在均匀磁场中运动
1）运动方向与磁场方向平行
Fm qv B
Fm qvBsinθ
θ 0 F 0
q
v
B
带电粒子作匀速直线运动
16
二、带电粒子在均匀磁场中运动
3）运动方向沿任意方向
v // v cos v v sin
mv sin 半径： R qB 2R 周期：T v
v
q
+
v
v// h
B
匀速圆周运动与匀速直线运动的合成 运动轨迹为螺旋线
2 m qB
2 m 螺距： h Tv // v cos qB
18
（3）地磁场内 的范艾仑辐射带
22
23
四、霍耳效应
现象：导体中通电流 I ，磁 场B 垂直于I ，在既垂直于 I ，又垂直于B 的方向出现 电势差 U 霍耳电压UH
B
h
V
+ v - - -q- - -
F
I
b
原因： 载流子q，漂移速度 v
Fm qv B
25
霍耳系数
1 RH ne
恒定磁场高斯定理公式
恒定磁场高斯定理公式
恒定磁场高斯定理：
1. 定义：恒定磁场高斯定理是物理学中一种物理学定理，其主要涉及
到磁场如何影响物体，及磁场是如何分布的。
2. 原理：恒定磁场高斯定理称为「磁产生定律」，这个定律表明：磁
场的强度、施加力的大小和物体的深度之间的关系是简单的高斯模型，即在空间上，磁场的强度衰减率满足高斯型模型，而不是简单的正弦
型模型。
3. 应用：恒定磁场高斯定理常用来描述磁场的强度分布，如果一个磁
场内没有任何外部质量或电流的影响，那么磁场的强度衰减率将满足
高斯型模型。
这一定律经常用于测量磁场的强度，以了解地磁场的强
度分布和磁场方位，以及估计电磁散射层的厚度。
4. 公式：恒定磁场高斯定理的数学公式表述为，若将物体的中心视为
原点，则磁场的强度B随着距离r的变化满足：
$$B(r)=\frac{B_0}{1+\left(\frac{2c}{r}\right)^2}$$
其中，B_0为物体中间磁力线的平均强度，而c是磁场到物体中心的距离。
5. 参考：E.W Jorry曾表明恒定磁场高斯定理，这个定律经常被用于研究地磁场和大气层。
6. 总结：测量磁场强度及分布与恒定磁场高斯定理有关，它给出了磁场强度衰减率满足高斯型模型的物理定律，广泛的应用于地磁方位、磁场强度分布和电磁散射层厚度估计等等方面。
磁场高斯定理+环路定理+安培力
μ 0 πR 2 I n dx dB = 2π ( R 2 + x 2 )3 / 2 μ 0 R 2 I n dx B=∫ 2 ( R 2 + x 2 )3 / 2
x = R cot β , dx = − R csc 2 β dβ , R 2 + x 2 = R 2 csc 2 β
μ0 μ0 = ∫ ( − nI sin β )dβ = nI (cos β 2 − cos β1 ) β1 2 2 μ0 B= nI (cos β 2 − cos β 1 ) 2
3. 无限长载流圆柱体的磁 场 磁场特点：轴对称。 内部：
v v ∫ B ⋅ dl = μ 0 ∑ I
μ 0r 2 πr I= I 2πrB = μ 0 2 2 R πR
2
内
μ 0 Ir B= 2 πR 2
外部：
电流I均匀流过截面
v v ∫ B ⋅ dl = 2πrB =μ 0I
μ 0I B= 2 πr
L
∑I
内
i
I
= μ 0 I'
3 = μ 0 ( + I) 4 3 = μ0I 4
均质铜框
磁场特点：管内，在平 行于轴线 的任意直线上是均匀磁 场；轴线上
B = μ 0nI，非轴线上 B的数值暂时未知
（马上就知晓）。管外 ，磁场强度为 0。 取虚线所示的闭合回路 , 电流为 I，单位长度 n匝 v v ∫ B ⋅ dl =μ 0 (nl I ) v v v av v v v b v c v d v ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
§12.2 毕奥－萨伐尔定律 v v μ 0 Idl × r ˆ dB = 4π r 2
磁场的高斯定理数学表达式
磁场的高斯定理数学表达式
高斯定理数学公式是：∮F·dS=∫(▽·F)dV。
在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
静电场与磁场：
两者有着本质上的区别。
在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场。
而在磁场中，由于自然界中没有磁单极子存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
磁场中的高斯定理及安培环路定理
0
l
l
μI
Ñl 2π0R dl
R
l
v B
r
μI 0
2πR＝μ
I
2πR
0
若l 绕行方向与图示方向相反，则
B 0I 2R
dl
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
π＝μ 0
(
I
)
Ñ l
l
赋予电流代数含义，则
v B
dlv＝μ
I
0
l
2. 无限长直电流通过垂直平面内的任一回路
r
Ñ B
r dl
Ñ B
cosθdl
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
d
c
讨论
关于安培环路定理的应用
BdS
0 I
adx
d x
2 x
通过矩形线圈的磁通量为:
dx
d
d b
0I adx
0Ia ln d b
d 2 x
2 d
15.4 安培环路定理
rv
一. 引言：稳恒磁场的环流 Ñl B dl ?
二. 定理推导
1. 无限长直电流通过圆形回路圆心且垂直于该回路
I
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
当电流分布以至于磁场分布具有高度对称性时， 可以应用安培环路定理计算磁感应强度的分布。
磁场的高斯定理
z
Idl
rˆ 相互垂直
所以
dB
在
Idl
r
2
组成的平面内
且垂直
r
由此可知
dB
0Idl
4πr2
27
第三步：根据坐标 写分量式
y
Idl rˆ
R I
o
Idl
r
组成的平面
dB
r
x
.d
d BPx
B
yz
x
z
dB
0Idl
4πr2
dBxdBsin40 πIrd2lR r
dByzdBcos
28
第四步：考虑所有电流元在P点的贡献
基本装置:
有磁单极子穿过时，感应电流
qm
超导线圈 Φ2Φ0
I
电感 L
I 2Φ0 / L
I
8Φ 0
L
t
1982.2.14,13:53
19
qm
超导线圈 Φ2Φ0
I
电感 L
I
8Φ 0 L
t
1982.2.14,13:53
实验中: 4匝直径5cm的铌线圈 连续等待151天 1982.2.14自动记录仪 记录到了预期电流的跃变
则磁感强度为
B 0I
2πr
IR
J
r
B
49
场的分布为 r < R
B
0
Jr
2
r>R
B 0I
2πr
IR
求长为l的一段磁通量: 建坐标如图。
J
r
B
在任意坐标r处 宽为dr的面积元
的磁通量为 dBdS0Jrldr
2
dr
l
or r
磁场的高斯定理 ppt课件
B 0i
2
带电粒子在磁场中的运动
带电粒子在电场和磁场中所受的力
电场力 F eqE
z
Fm
磁场力（洛伦兹力） F m q v B
x
o
q+
B
v
y
运动电荷在电场 和磁场中受的力
F q E q v B
带电粒子在磁场中运动举例
回旋半径和回旋频率
v 0 B
qv0B
m
v02 R
R
B0NL I
当 2R d时，螺绕环内可视为均匀场 .
例2 无限长载流圆柱体的
I
磁场
R R
解 （1）对称性分析
L
r
（2） rR
B
lB dl 0I
B 0I
2π r
0rR lB dl 0π πR r2 2I
I . dB
dI
B
0Ir
2π R2
B
B的方向与 I成右螺旋
0rR,
B
0Ir
2π R2
d
I
r1
dl1 r2dl2
l
B 1dl 1 B 2dl 2 20 π Id
B 1 d l 1 B 2 d l 2 0
lBdl 0
多电流情况
B B 1 B 2 B 3
lB d l0 (I2 I3 )
I1
I2
I3
推广：
➢ 安培环路定理
l
n
Bdl 0 Ii
i1
安培环路定理
I1
L
I1
外电流有关？
B （02？）是若否LB 回d路lL0内,是无否电回流路穿L过上？各处
二 安培环路定理的应用举例
例1 求载流螺绕环内的磁场 圆解，（环1外）B 对为称零性. 分析：环内B 线为同心
123恒定磁场的高斯定理
B
长直导线： B 0I
d
2π x
取面元
dS ldx
方向同
B
a
I
l
ΦB
B dS
S
ad ( 0 I )(ldx) a 2x
x
dx
0 Il ln a d
O
x
2π
a
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章 恒定磁场
3. 磁场的高斯定理
《大学物理》教程
通过任一闭合曲面的磁通量必等于
零，也称磁通连续定理。
dS
Ba
a
磁感应线密度
dS Bp
p
b Bb
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章 恒定磁场
1. 磁感应线 （磁场的图示法）《大学物理》教程
常见载流导线的磁感应线
I S I N
I
S
N
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章 恒定磁场
1. 磁感应线 （磁场的图示法）《大学物理》教程
磁感应线性质
I
B • dS s
注意 （1）dS法向正方向的选取：
非闭合面： 面元的法向 B 单位矢量可 有两种相反 取向
§12.3 恒定磁场的高斯定理
闭合面：规定面元的
dS
法向单位矢量取向外为正
dS
dS
B
dS
第十二章 恒定磁场
2. 磁通量 B
《大学物理》教程
磁场穿过某曲面的磁通量为： ΦB
B • dS s
SB •d S 0
E • dS
qint
S
0
比
较
物理意义：说明
恒定磁场是无源场。
物理意义：说明
磁场的高斯定理
R
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
例2 无限长载流圆柱体的 磁场 L 解 （1）对称性分析 ） （2） r > R ） v v µ0 I ∫l B ⋅ d l = µ 0 I B = 2π r v v π r2 0 < r < R ∫ B ⋅ d l = µ0 2 I l πR µ0 Ir B= 2 2π R
y
v dF θ
v B
I
v Idl
P
v 解 取一段电流元 Idl v v v dF = Idl × B
o
L
x
dFx = −dF sin θ = − BIdl sin θ
dFy = dF cos θ = BIdl cos θ
Fx = ∫ d Fx = BI ∫ d y = 0
0
0
y
Fy = ∫ dFy = BI ∫ dx = BIl
v v ∫ B⋅dl = µ0(−I1 − I2)
L
= −µ0 I1 + I2） （
I1
I1
L
I2 I 3
v 问（1） 是否与回路 L ） B
外电流有关？ 外电流有关？
I1
v v （2）若 ∫ B ⋅ d l = 0 ,是否回路 L 上各处 ） 是否回路 L v 内无电流穿过？ B = 0 ？是否回路 L 内无电流穿过？
s⊥
θ
s
v B
θ
v en
v B
磁通量： 磁通量：通过 某曲面的磁感线数 匀强磁场下， 匀强磁场下，面 S的磁通量为： 的磁通量为： 的磁通量为 v v v v Φ = B ⋅ S = B ⋅ enS
Φ = BS cosθ = BS⊥ 一般情况 v v Φ = ∫s B ⋅ dS
磁场的高斯定理磁力线
m B dS 0
s
•磁场是无源场，磁力线为闭合曲线。
二、安培环路定理
1.定理证明
I
0 I
o
B
R
B
2π R
dl
0 I l B dl 2π Rdl
B dl 0 I
l
l
设闭合回路 l 为圆 形回路（ l 与 I成右螺 旋）
磁场中的高斯定理二安培环路定理二安培环路定理定理证明及应用定理证明及应用为形象的描绘磁场分布而引入的一组有方向的空间曲线
§9.2
磁场的高斯定理与安培环路定理 一、磁场的高斯定理
1.磁力线 2.磁通量 3.磁场中的高斯定理
二、安培环路定理
定理证明及应用
§9.2
磁场的高斯定理
一、磁场的高斯定理
1.磁力线(磁感应线) 为形象的描绘磁场分布而引入 的一组有方向的空间曲线。
dΦm
dS
B
磁通量单位：韦伯，Wb
S
dS 2
B
2 S
dS1
1
B2
B1
dΦ 1B 1 dS1 0 dΦ2 B2 dS2 0
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。
例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩形面 积的磁通量.
L
L
B dl 0 I
i
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有 高度的对称性 。 利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根据 磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。
选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。 (2)环路的长度便于计算；
磁场的基本特征高斯定理和安培环路定理
磁通量：通过某曲面的磁感线数
匀强磁场中，通过面曲面S的磁通量：
一般情况
磁场高斯定理
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零（故磁场是无源的）.
2）关于磁单极：
将电场和磁场对比：
qm － 磁荷
讨论
1）
磁场的基本性质方程
由电场的高斯定理
可把磁场的高斯定理写成与电场类似的形式
怎么恢复对称性呢？ 设想在小圆柱内存在等值反向的电流密度值都等于J 的 两个均匀的电流 结果会出现电流密度值相同 电流相反的完整的两个圆柱电流 大圆柱电流：小圆柱内的与通电导体电流方向一致的电流和导体构成 小圆柱电流 空间的场就是两个均匀的圆柱电流场的叠加
设 场点对大圆柱中心o的位矢为 解: 场点对小圆柱中心o'的位矢为 由安环定理可分别求出（见例2） 总场为：
例8 通电导体的形状是：在一半径为R的无限长的导体圆柱内，在距柱轴为 d 远处，沿轴线方向挖去一个半径为 r 的无限长小圆柱。如图。 导体内均匀通过电流，电流密度为 求：小圆柱空腔内一点的磁感强度 分析：由于挖去了一个小圆柱，使得电流的分布失去了对轴线的对称性，所以无法整体用安培回路定理求解。 但，可以利用补偿法，使电流恢复对轴线的对称性。
其方向与电流满足右手螺旋法则。
无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：
例5： 求载流螺绕环内的磁场。
根据对称性知，在与环共轴的圆周上磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向。磁感线是与环共轴的一系列同心圆。
磁场的结构与长直螺旋管类似， 环内磁场只能平行于线圈的轴线(即每一个圆线圈过圆心的垂线)
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题，就像用高斯定理来处理电荷分布具有一定对称性的静电场问题一样。
磁场高斯定理
磁场高斯定理磁场的高斯定理：对于任意磁场B(r)B(r)和任意闭合曲面，曲面上的磁通量为零。
∮B(r)⋅ds=0(1)(1)∮B(r)⋅ds=0也就是说空间任意一点的磁场散度为零。
适用高斯定理可以写成微分形式：∇⋅B=0(2)(2)∇⋅B=0接下来我们试着验证一下这一结论是否和我们之前的理论是一致的，也就是说我们能否直接从比奥萨伐尔定律所给出的磁场B(r)B(r)推出，首先我们考虑静磁场下，电流是恒定的，因此电流密度j j不会在某一个点聚集或者散开，因此有：∇⋅j=0(3)(3)∇⋅j=0结合比奥萨伐尔：B(r)=μ04π∫j(r′)×(r−r′)|r−r′|3dV′(4)(4)B(r)=μ04π∫j(r′)×(r−r′)|r−r′|3dV′利用矢量乘法的规则可得：∇⋅(j×(r−r′)|r−r′|3)=(r−r′)|r−r′|3⋅(∇×j)−j⋅(∇×(r−r′)|r−r′|3)(5)(5)∇⋅(j×(r−r′)|r−r′|3)=(r−r′)|r−r′|3⋅(∇×j)−j⋅(∇×(r−r′)|r−r′|3)由于∇×(r−r′)|r−r′|3=0∇×(r−r′)|r−r′|3=0：∇⋅B=0(6)(6)∇⋅B=0注意磁场高斯定律适用于经典电动力学的任何情况，而后者只适用于静态的情况。
磁场的高斯定律实际上是电场的高斯定律在磁学中的对应，它反映了自然界没有孤立的磁单极（或者我们还没找到）。
形象地看，任意一条磁感线都不会起始或终止于空间中的某一点，它要么是闭合的回路，要么从无穷远来延伸到无穷远去。
正因为磁场的这条性质，我们可以将磁感应强度B B写成某个矢量场A A的旋度，其中A A称为矢量势（矢势）。
最新版-磁场的高斯定理
2
2r
, 0rR , Rr
无限长密绕螺线管
A
0nIr
A
2
0nIR2
2r
, 0rR , Rr
OR
r
Thanks
电流元的磁矢势
Ld
Lc
dl
d
La
a
Adl B dS
L
0 I
Lb
r0
r
z0
0
dl1
假设 磁矢势a与电流元Idl1平行
a dl a dl a dl a dl a dl
L
La
Lb
Lc
Ld
0 a dl 0 0 az (P)dl Lb
电流元的磁矢势
Ld
Lc
dl
d
dB 0 Idl1 sin
A B
j
B
B
A
j
A
B
无限长载流直导线
Q
Ld
Lc
l
La
A
Adl Adl Adl Adl Adl
L
La
Lb
Lc
Ld
Q
0 Adl 0 Adl A(P)l A(Q)l
z Lb
Ld
Lb
I P
B
S
B dS
Q 0I ldr 0Il ln Q
P 2 r
2 P
P
A dl B dS
L
A(P)l A(Q)l 0Il ln Q 2 P
A(P) 0I ln Q A(Q) 2 P
Q点为磁矢势零点.
Hale Waihona Puke Q点能否选在无穷远处？载流导线处？
无限长密绕螺线管
R
r
P
Rr
磁感应强度磁场的高斯定理
如果S为闭合曲面
B dS 0
S
S
稳恒磁场中的高斯定理 通过磁场中任一闭 合曲面的磁感应强 度的通量为零。
意义：稳恒磁场是无源场。
二、毕奥-萨伐尔定律
电荷元
带电体 载流导线 电流元 静电场 稳恒磁场
1、电流元的定义：
Idl
大小： Idl
矢量
I
线元dl
方向： 与电流方向一致
2、实验现象： （1）奥斯特实验（1819）
I
N S
电流
磁铁
（2）安培实验
S
N I I
I
磁 铁 电 流 电 流 电 流
磁铁
磁铁
磁场
电流 电流
问题1：磁铁和电流产生的磁场 在本质上是否一致？ 问题2：磁场的性质？
3、安培分子电流假设
条形磁铁 电流
类 比
螺线管
电流
磁场
4、磁感应强度： 磁场
电流
• 先秦古书《管子》：“上有慈石者下有铜金”。 • 秦始皇 阿房宫北阙门用大块大块的磁石建造， 防刺客暗杀。 • 晋代，马隆率兵与羌人作战，羌兵身披铁甲， 剽悍异常，马隆的部队伤亡很大。马隆用计： 在敌军必经的山路两旁堆放大量磁石，然后令 士兵脱去铁甲，诱敌深入。羌兵被磁石吸住， 个个步履艰难。马隆率兵乘势追杀。羌兵以为 中了魔法，士气大衰。马隆打了大胜仗。
L
电 流
?
四、磁场对载流导线的作用
1、安培定律： 一电流元在磁场中
Idl
I B
dF
受到的安培力为
dF Idl B
一段载流导线在磁场中受到的
安培力为：
L
F dF Idl B
稳恒磁场的高斯定理表达式为
稳恒磁场的高斯定理表达式为
高斯定理是一个与磁场有关的定理，它表明，通过一个磁体或者一个磁铁，可以产生一个稳定的磁场。
这个定理最初是由德国数学家拉普拉斯提出的，被用于定义电磁场的强度。
根据高斯定理，整体的磁场由于该磁体内部
的磁密度而产生。
根据高斯定理，磁场可以用椭圆坐标式表示：
B =(μ / 2*π*R) * [cos(φ) * (1/R)* (∂/∂ρ) + sin(φ) *
(1/ρ) * (∂/∂φ)] *(a2 *b2/ρ2)
其中，μ表示磁密度，a和b表示椭圆的长轴和短轴长度，ρ和φ分
别表示椭圆坐标的极径和极角。
由于高斯定理表达式的复杂程度，它不能无需进一步的运算就准确区分
出不同的磁场分布，因此，大多数应用中使用通过高斯定理得到的近似式，
例如：
B = (μ / 4π) * ((3 * R * R *cos（φ）/ R3)- (R * sin（φ）/ R3)）
这里，R表示距离磁体的距离。
这个表达式表明，当距离磁体趋近于零时，磁场效应趋近于无穷大，磁场的强度呈现出一个偏斜的分布。
高斯定理的应用很广泛，比如磁性测量，磁力学计算，静电场计算等等。
它可以简化非稳恒磁场的求解，所以在物理，工程和化学方面有着重要的意义。
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（1）每一条磁感应线都是与 电流相互套链的闭合线； （2）磁感应线的环绕方向与 电流方向成右手螺旋 关系。
I
S
S N
N
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章
恒定磁场
2. 磁通量 B
《大学物理》教程
通过磁场中某一个面的磁感应线数称为通 过这个面的磁通量，简称磁通（ B ）。 将曲面分割成无限多个
《大学物理》教程
第12章 恒定磁场
§12.3 恒定磁场的高斯定理 场(面积分)
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章
恒定磁场
1. 磁感应线 （磁场的图示法）《大学物理》教程 规定 （1） 曲线上每一点切线方向为该点磁感强度方向； （2） 通过垂直于磁场方向单位面积磁感应线数为 该点磁感强度的大小。
dS
π ★ , dΦ B 0 2
表示磁感应线穿入
§12.3 恒定磁场的高斯定理
dS '
第十二章
B'
B
恒定磁场
2. 磁通量 B
《大学物理》教程
磁场穿过某曲面的磁通量为： ΦB
s
B dS
单位：韦伯（1Wb=1T· m2）
dS
dS '
§12.3 恒定磁场的高斯定理
物理意义：说明 静电场是有源场。
第十二章 恒定磁场
《大学物理》教程
• 例题 149页 • 12.2（1）
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章
恒定磁场
S
S
S
B cosdS
S
B
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章
恒定磁场
《大学物理》教程
例 载流长直导线的电流为 I , 求通过与载流直 导线共面的矩形面积的磁通量。 解： 建坐标如图 B 0 I d 长直导线： B
2π x
dS ldx 取面元 I 方向同 B ad I ΦB B dS ( 0 )(ldx) a S 2x O 0 Il ad
2π ln a
第十二章
§12.3 恒定磁场的高斯定理
a
l
dx
x x
恒定磁场
3. 磁场的高斯定理
《大学物理》教程
通过任一闭合曲面的磁通量必等于 零，也称磁通连续定理。
B d S 0
S
qint E dS
S
0
比 较 物理意义：说明 恒定磁场是无源场。
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章 恒定磁场
BΒιβλιοθήκη §12.3 恒定磁场的高斯定理
2. 磁通量 B
《大学物理》教程
磁场穿过某曲面的磁通量为： ΦB
s
B dS
注意
（2）若为均匀场通过某平面的磁通量，
则： Φ BS cos B S B
（3）若曲面为闭合面，则： Φ B B dS
面元称为面积元矢量 dS ：
大小：ds 方向：法向
dS
B
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章
恒定磁场
2. 磁通量 B
《大学物理》教程
磁场穿过该面元的磁通量为： dΦB BdS B(dS cos ) B dS
π ★ , 2 dΦ B 0
表示磁感应线穿出
dN B dS
Ba
a p
dS
Bp
磁感应线密度
§12.3 恒定磁场的高斯定理
b
第十二章 恒定磁场
Bb
1. 磁感应线 （磁场的图示法）《大学物理》教程 常见载流导线的磁感应线
I S I N
I
S N
§12.3 恒定磁场的高斯定理
第十二章
恒定磁场
1. 磁感应线 （磁场的图示法）《大学物理》教程 磁感应线性质
B'
B
第十二章
恒定磁场
2. 磁通量 B
《大学物理》教程
磁场穿过某曲面的磁通量为： ΦB
s
B dS
注意
非闭合面： 面元的法向 单位矢量可 有两种相反 取向
（1）dS 法向正方向的选取：
B
dS
闭合面：规定面元的 法向单位矢量取向外为正
dS
dS
dS