非线性时间序列.doc

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近代时间序列分析选讲:

一. 非线性时间序列

二. GARCH 模型

三. 多元时间序列

四. 协整模型

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非线性时间序列

第一章 .非线性时间序列浅释

1.从线性到非线性自回归模型

2.线性时间序列定义的多样性第二章 . 非线性时间序列模型

1.概述

2.非线性自回归模型

3.带条件异方差的自回归模型

4.两种可逆性

5.时间序列与伪随机数

第三章 . 马尔可夫链与 AR 模型

1.马尔可夫链

2.AR 模型所确定的马尔可夫链

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3.若干例子

第四章 . 统计建模方法

1.概论

2.线性性检验

3.AR 模型参数估计

4.AR 模型阶数估计

第五章 . 实例和展望

1.实例

2.展望

第一章 .非线性时间序列浅释

1.从线性到非线性自回归模型

时间序列 {x t } 是一串随机变量序列 , 它有广泛的实际背景 , 特别是在经济与金融

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领域中尤其显著. 关于它们的从线性与非线

性概念 , 可从以下的例子入手作一浅释的说

明.

考查一阶线性自回归模型---LAR(1):

x t = x t-1 +e t ,t=1,2,

(1.1)

其中 {e t } 为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t = 2 <, 而且e t与 {x t-1 ,x t-1 ,} 独立 .

反复使用 (1.1) 式的递推关系 , 就可得到

x t =x t-1 +e t

=e =e =e t

t

t

+x t-1

+{ e t-1 +x t-2 } +e t-1 + 2 x t-2

=

= e t +e t-1 + 2 e t-2

+ +n-1 e t-n+1+n x t-n.

(1.2)

如果当 n时,

n x

t-n 0, (1.3) {e t + e t-1 + 2 e t-2++n-1 e t-n+1}

j=0j e

t-j .(1.4)

虽然保证以上的收敛是有条件的, 而且要涉及到具体收敛的含义, 但是 , 对以上的简单模型 , 不难相信 , 当| |<1 时 , (1.3)(1.4) 式成立 . 于是 , 当 | |<1时,模型LAR(1)

有平稳解 , 且可表达为

x t =j=0j e t-j.(1.5) 通过上面叙述可见求LAR(1) 模型的解有简

便之优点 , 此其一 . 还有第二点 , 容易推广

到 LAR(p) 模型 . 为此考查如下的 p 阶线性自

回归模型 LAR(p):

x t = 1 x t-1 + 2 x t-2 +...+p x t-p +e t ,

t=1,2, (1.6) 其中 {e t } 为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t = 2 <, 而且 e t与{x t-1 , x t-1 ,} 独立 .

虽然反复使用(1.6) 式的递推式, 仍然可得

到 (1.2) 式的类似结果, 但是 ,用扩张后的一

阶多元 AR 模型求解时 , 可显示出与 LAR(1) 模型求解的神奇的相似. 为此记

x t 1

x t 1

, U= 0

X t = ,

x t p 1 0

1 2 p

1 0 0

(1.7)

A= ,

0 00

于是 (1.6) 式可写成如下的等价形式:

X t =A X t-1 + e t U.(1.8) 反复使用此式的递推关系, 形式上仿照 (1.2) 式可得

X t =AX t-1 +e t U

= e t U+ e t-1 AU+A 2 x t-2

=

=e t U+e t-1 AU+e t-2 A 2 U+

+e t-n+1 A n-1 U+A n x t-n .

如果矩阵 A 的谱半径 (A的特征值的最大模) (A),满足如下条件

(A)<1,(1.10)

由上式可猜想到 (1.8) 式有如下的解 :

X t =k=0 A k Ue t-k .

(1.11)

其中向量X t的第一分量x t形成的序列 {x t },

就是模型 (1.6) 式的解 . 由此不难看出 , 它有

以下表达方式

x t =k=0k e t-k .(1.11)

其中系数k 由(1.6)式中的 1 ,2 , ...,p

确定 , 细节从略 . 不过 , (1.11) 式给了我们

重要启发 ,即考虑形如

x t =k=0k e t-k ,k=0k 2,

(1.12)

的时间序列类( 其中系数k 能保证(1.12)

式中的x t有定义 ). 在文献中 , 这样的序列

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{x t } 就被称为线性时间序列.

虽然以上给出了线性时间序列的定义, 以下暂时不讨论什么是非线性时间序列, 代

之先讨论一阶非线性自回归模型

---NLAR(1),以便与LAR(1) 模型进行比

较分析 . 首先写出 NLAR(1)模型如下

x t = (x t-1 )+e t ,t=1,2,

(1.13)

其中 {e t } 为i.i.d.序列，且Ee t =0, Ee t = 2 <, 而且e t与 {x t-1 ,x t-2 ,} 独立 , 这些假定与LAR(1) 模型相同 , 但是 ,(x t-1 )

不再是 x t-1的线性函数 , 代之为非线性函数,

比如