抛物线.板块二.抛物线的几何性质.教师版 普通高中数学复习讲义Word版

【例1】 抛物线24y x =上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为（ ）A ．3B ．2C ．1.5D ．1 【考点】抛物线的几何性质 【难度】1星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】B ；【答案】B ；【考点】抛物线的几何性质【难度】2星 【题型】选择【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】B ；【答案】B ；【例3】 抛物线24x y =-与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则（ ）A ．84ABO AB S ==△，B ．82AOB AB S ==△，C ．42AOB AB S ==△，D ．44AOB AB S ==△， 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】抛物线24x y =-的焦点为(01)-，，对称轴为y 轴，故点A ，B 的纵坐标为1-，典例分析板块二.抛物线的几何性质代入得其横坐标分别为22-，，故4AB =，14122ABC S ∆=⨯⨯-=，故选C ；【答案】C ；【例4】 过点(12)M ，且以y 轴为准线的抛物线的焦点的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【考点】抛物线的几何性质 【难度】星 【题型】选择 【关键字】无【解析】设焦点为F ，则由抛物线的性质，||1FM =．【答案】A ；【例5】 设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ⋅=-，则点A 的坐标是（ ）A ．(2,±B ．(2,C ．(1,2)±D ．(1,2) 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】(1,0)F ，不妨设11(,)A x y ，于是有221111111(,)(1,)4x y x y x x y ⋅--=-=--，又2114y x =，故有211340x x +-=，从而14x =-（舍去）或11x =．此时12y =±．【答案】C ；【例6】 抛物线24y x =的弦AB 过定点(20)，，则AOB ∠是（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上都可能 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】若AB 过点(40)，，则AOB ∠为直角，点(20)，在点(40)，左侧，故为钝角． 【答案】C ；【例7】 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭， C ．(12)， D ．(12)-， 【考点】抛物线的几何性质【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，海南高考【解析】由抛物线的定义知，即求抛物线上的点P ，使得它到准线1x =-的距离与到点(21)Q -，的距离之和最小，如图，过Q 点作准线的垂线，与抛物线交于一点，P 为此点时，有距离和的最小值，故P 的纵坐标为1-．【答案】A ；【例8】 已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A ()02，的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）AB ．3 CD ．92【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】抛物线的焦点为02⎛⎫⎪⎝⎭，，由抛物线的定义知，即求抛物线上的点到()02，与到102⎛⎫ ⎪⎝⎭，的距离之和的最小值，结合图象知，即为点()02，与点102⎛⎫⎪⎝⎭，的距离，为= 【答案】A ；【例9】 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．115 D ．3716【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，四川高考 【解析】直线2:1l x =-为抛物线的准线，由抛物线的定义知， P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点(10)F ，的距离， 故本题化为在抛物线上找一个点P 使得P 到点(10)F ， 和直线2l 的距离之和最小，最小值为(10)F ，到直线 1:4360l x y -+=的距离，即min 2d ==．【答案】A ；【例10】 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且||||AK AF ，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【考点】抛物线的几何性质【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，四川高考【解析】边读题边画图．28y x =的焦点(20)F ，，准线2x =-，(20)K -，．设()A x y ，，由AK =，即2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+． 化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立，解得：2x =，4y =±．因此1144822AFK A S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=．【答案】B ；【例11】 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF △（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x = 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，山东高考【解析】04a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，于是l 的方程为：24a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令0x =得， 02a A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．14242a a S =⨯⨯-=，解得8a =±．【答案】B ；【例12】 设抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C上且||||AK AF ，则AFK △的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】准线方程为2x =-，焦点(20)F ，．不妨设A 点在x 轴上方，如图，过A 作AH 垂直于准线于H，则||||AK AF AH ==，故||||AH HK =设()A A A x y ，，则有22248A A A A y y x y =+=+⇒=，从而2A x =，于是不难知道|||||AF KF AK =，AKF △为直角三角形，11||||44822AKF S AF FK =⋅=⨯⨯=△【答案】B ；【例13】 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若2FA FB =，则k =（ ）A ．13BC ．23D【考点】抛物线的几何性质【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，全国高考【解析】抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-，直线(2)y k x =+恒过定点(20)P -，．如图过A B ，分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，点B 为AP 的中点．连结OB ，则1||||2OB AF =，∴||||OB BF =．点B 的横坐标为1，故点B的坐标为(1，∴k ==D ．【答案】D ；【例14】 连接抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）A．1-+ B．32 C．1+ D．32【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2007年，江西高考【解析】线段FM 所在直线方程1x y +=与抛物线交于00(,)A x y ，联立214x y x y +=⎧⎨=⎩消去x得：2610y y -+=，解得032y =-（较大的值舍去），∴131(322OAM S ∆=⨯⨯-=．【答案】B ；【例15】 设抛物线22y x =的焦点为F，过点)0M的直线与抛物线相交于A B ，两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ）A ．45B ．23C ．47D ．12【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009 年，天津高考 【解析】如图，由题知121||21||212B BCF B ACF A Ax S x BC S AC x x ++===++△△， 又13||222B B BF x x =+=⇒=，∴B y =由A 、B 、M 三点共线有M A M BM A M By y y y x x x x --=--，22A x ⇒=， ∴121||31421||214152B BCF B ACF A Ax S x BC S AC x x +++=====+++△△，故选择A ． 【答案】A ；【例16】 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（ ）A ．232y x =B ．23y x =C ．292y x =D ．29y x =【考点】抛物线的几何性质【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，宁夏高考模拟 【解析】D ，可知22BC BF BD ==，于是知直线AB 的倾斜角为60︒． 又3AF =，故32A p x +=，32A p x =-，)2A A p y x p ⎫=-=-⎪⎭，由23(3)232p p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得：32p =或92p =．又322p p ->，得32p =．【答案】B ；【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，崇文一模【例18】 过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30︒的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB= ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】由抛物线的定义知1sin30()2BF AF AB BF AF -=︒=+，于是13AF FB =． 【答案】13；【例19】 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(02)A ，．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 ． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2010年，浙江高考的准线为l ，过(10)M ，．若AM MB =，则【考点】抛物线的几何性质 【难度】星 【题型】填空【关键字】2010年，全国高考 【解析】2；【答案】2；【例21】 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为()22M ，，则ABF ∆的面积等于 ． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，全国高考【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线方程为2(2)x k y -=-，代入抛物线方程得24880y ky k -+-=，由124222y y k+==，得1k =，即直线AB 方程为y x =，因此A B ，的坐标分别为()00，，()44，，又()10F ，，故不难算出11422ABF S ∆=⨯⨯=． 【答案】2；【例22】 过抛物线24y x =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+=_______【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】设点22121244y y P y Q y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 当12||||y y ≠时，由P F Q ，，三点共线得1211222212141444y y y y y y y y -=⇒=---，又22121144y y p q =+=+，，于是2212(1)(1)144y y p q --=⋅=，从而易得111p q +=．当12||||y y =时，只可能PQ 与x 轴垂直，此时也容易验证1121p q p q==+=，．【答案】1；【例23】 直线1y kx =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，设以AB 为直线的圆为圆C ，则坐标原点O 与圆C 的关系为_______． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】∵OA OB ⊥，故原点O 在圆上．【答案】原点O 在圆上【例24】 已知P 是抛物线216y x =上的一点，它到x 轴的距离为12，则它到焦点的距离为_______． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】设()P P P x y ，，则12P y =±，代入抛物线方程得212916P x ==，此抛物线的准线方程为4x =-，故P 点到准线的距离为9(4)13--=，故P 点到焦点的距离为13．【答案】13【例25】 抛物线2y x =上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _____． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星【题型】填空 【关键字】无【解析】抛物线2y x =的准线l 的方程为14x =-，焦点坐标为F 1(0)4，，设点P 为抛物线上到顶点的距离等于到准线的距离的点，由抛物线定义知，PO PF =，即点P 在线段OF 的中垂线上．线段OF 的中垂线为111(0)48x =+=，代入抛物线方程知4y =，即所求的点的坐标为1(84，或1(84-，．【答案】1(84，或1(84-，．【例26】 抛物线229y x =上一点M 到焦点的距离为738，则点M 到抛物线顶点的距离是 ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】抛物线292y x =的焦点坐标为908⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为98x =-，设00()M x y ，，由抛物线的定义知097388x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故08x =，于是06y =±，抛物线的顶点为(00)，，故所求距离为10．【答案】10；【例27】 抛物线28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，若5PF =，则点P 的坐标为_________．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】抛物线28y x =的准线方程为2x =-，由抛物线的定义知：P 点到准线的距离等于5PF =，设()P P P x y ，，有(2)5P x --=，且0P x ≥，解得3P x =，代入28y x =，解得P y =±，故点P 的坐标为(3或(3-，；【答案】(3或(3-，；【例28】 已知抛物线2112x y =上有两点P 、Q ， 若P 点的横坐标为2，则点P 到焦点的距离为_______； 若Q 点到焦点的距离为9，则Q 点的坐标为______．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空【关键字】无【解析】2211212x y y x =⇒=，它的准线方程为3x =-，由抛物线的定义知，要求P 到焦点的距离，只需求P 到准线的距离即可，又P 的横坐标为2，故P 到焦点的距离为2(3)5--=；设Q 点的坐标为()P P x y ，，则有(3)9P x --=，且0P x >，故6P x =，代入解得P y =±，故Q点坐标为(6±，； 【答案】5；(6±，【例29】 已知点(32)M ，，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PM PF +取最小值时，点P 的坐标为__________．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】本题若建立目标函数来求PM PF +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．抛物线22y x =的准线l 的方程为12x =-，过P 点作PE ⊥准线l ，垂足为E ， 过M 点作MN ⊥准线l ，垂足为N ，如图， 由定义知PF PE =，故13()2PM PF PM PE ME MN +=+=--≥≥．当M 、P 、E 三点共线时，取到等号，此时P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2， 所以P 点坐标为(22)，．【答案】(22)，【例30】 对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(0)P a ，都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是_______．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】法一：当0a <时，以P 为圆心，||a a =-为半径的圆与 抛物线24y x =相切于原点，故此时满足条件；0a =时，显然满足；当0a >时，要满足条件，需要圆222()x a y a -+=与抛物线24y x =相切或相离，即22(2)0x a x +-=有且只有一个非负根，2(2)0a -≤，即02a <≤． 综上知：(2]a ∈-∞，． 法二：设()Q x y ，，则有24y x =，222222()2(2)PQ x a y x a x a a =-+=+-+≥，即(42)0x x a +-≥对所有的0x ≥恒成立，即24x a -≥对所有的0x ≥恒成立，故2402a a -⇒≤≤，即(2]a ∈-∞，． 【答案】(2]-∞，【例31】 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于A B ，两点，交其准线于C 点．若53CB BF =，则直线l 的斜率为_________．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】由题设易知B 在A C ，之间，A 在x 轴上方时，如图．过B作准线的垂线，垂足为H，由抛物线的性质及已知条件可得3||||||5BH BF BC==，且CBH AFx∠=∠，于是不难知道直线l的斜率为43．类似的，A在x轴下方时，所求斜率为43 -．【答案】43k=±；【例32】已知抛物线21y ax=-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．【考点】抛物线的几何性质【难度】星【题型】填空【关键字】2008年，全国高考【解析】由抛物线21y ax=-的焦点坐标为1(01)4a-，为坐标原点得，14a=，则2114y x=-与坐标轴的交点为(01)(20)(20)--，，，，，，以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯=．【答案】2；【例33】过抛物线216y x=上的动点P向圆22(4)1x y-+=引切线，则切线长的最小值是_______．【考点】抛物线的几何性质【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】记圆心为(40)A，，则切线长d=，先求minPA即可．∵A为抛物线的焦点，P是抛物线上任一点，故min 4PA=（此时P在原点位置），故切【例34】 若抛物线24y x =的弦AB 垂直于x 轴，且AB =则抛物线的焦点到直线AB 的距离为_________．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】设直线AB 的方程为0x x =0(0)x >，于是得A B ，的纵坐标分别为±故+=02x =；抛物线的焦点为(1,0)，故它到直线AB 的距离为211-=．【答案】1【例35】 过抛物线22(0)y p x P =>的焦点F 作一直线l 与抛物线交于P Q ，两点，作11PP QQ ，垂直于抛物线的准线，垂足分别是11P Q ，，已知线段PF QF ，的长度分别是a b ，，那么11||PQ = ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】如图，由抛物线的定义知11PP a QQ b ==，，过Q 作1PP 的垂线，垂足为H ．于是11||||PQ QH ==【答案】【例36】 已知()P x y ，是抛物线28y x =-的准线与双曲线22182x y -=的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则2z x y =-的最大值为【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】2x =-与12y x =±围成的区域，简单的线性规划．【答案】5；【例37】 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++=，则128PF PF PF +++=_____． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】根据抛物线的定义，可知12ii i pPF x x =+=+（1238i =，，，，）， ∴()1281288118PF P F P F x x x +++=++++⨯=． 【答案】18；【例38】 已知圆()22:32A x y -+=，点P 是抛物线2:4C y x =上的动点，过点P 作圆A 的两条切线，则两切线夹角的最大值为 ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，海淀一模【解析】如图，两切线夹角MPN ∠的最大值对应的点P 满足PA 有最小值．设2001,4P y y ⎛⎫⎪⎝⎭，有2222422200*********(4)8416216PA y y y y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故当点(1,2)P ±时，对应min PA =此时1sin 2MPA ==∠，从而ππ263MPN =⋅=∠． 【答案】π3；【例39】 如图，抛物线22y px =的弦12P P 交x 轴于点Q ，过1P、2P 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，求证：OQ 是OM 和ON 的比例中项．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设点1P 、2P 的坐标分别为11()x y ，、22()x y ，，则直线12P P 的方程为112121y y x x y y x x --=-- …………① 由于点Q 是直线12P P 和x 轴的交点，令0y =得点Q 的横坐标为211212x y x y x y y -=-．点1P 和2P 分别在x 轴的上方和下方，不妨设点1P 在x 轴的上方，点2P 在x 轴的下方，则1y =2y = 代入①，得x ==，所以2OQ OM ON =，即证得OQ 是OM 和ON 的比例中项．【答案】设点1P 、2P 的坐标分别为11()x y ，、22()x y ，，则直线12P P 的方程为 112121y y x x y y x x --=-- …………① 由于点Q 是直线12P P 和x 轴的交点，令0y =得点Q 的横坐标为211212x y x y x y y -=-．点1P 和2P 分别在x 轴的上方和下方，不妨设点1P 在x 轴的上方，点2P 在x 轴的下方，则1y =2y =代入①，得x ==，所以2OQ OM ON =，即证得OQ 是OM 和ON 的比例中项．【例40】 定长为3的线段AB 的两个端点在2y x =上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离． 【考点】抛物线的几何性质【难度】星 【题型】解答 【关键字】无【解析】方法一：可直接利用抛物线设点221122()()A x x B x x ，，，，以及AB 中点为00()M x y ，，用弦长公式及中点公式得出0y 关于0x 的函数表达式，用函数思想求出最短距离．由题设有2222121212022120()()922x x x x x x x x x y ⎧-+-=⎪+=⎨⎪+=⎩由第一个方程得221212()(1())9x x x x -++=，即 22121212(()4)(1())9x x x x x x +-++=．由后两个方程得21200242x x x y =-代入上面的式子，有2220000[42(42)](14)9x x y x --+=．化简得2200022009944(41)1154141y x x x x =+=++-=++≥，即054y ≥． 当202094141x x +=+即02x =时，0min 5()4y =，此时5()24M ±，．方法二：M 到x 轴的距离是一种“点到线距离”，可先 考虑M 到准线的距离，想到用定义．如图，22223MM AA BB AF BF AB =+=+=≥∴232MM ≥，即11342MM +≥，∴154MM ≥，当AB 经过焦点F 时取得最小值．∴M 到x 轴的最短距离为54．【答案】54【例41】 设抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】法一：因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2px my =+，代入抛物线方程得 2220y pmy p --=．若记()11A x y ，，()22B x y ，，则12y y ，是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为22p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故直线CO 的斜率为211122OA y y p k k p y x ====-． 所以直线AC 经过原点O ． 法二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，AD EF BC ∥∥． 连结AC ，与EF 相交于点N ，则||||||||||||EN CN BF AD AC AB ==，||||.||||NF AF BC AB = 根据抛物线的几何性质，AF AD =，BF BC =， ∴AD BF AF BC EN NF ABAB⋅⋅===．即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．【答案】法一：因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以经过点F的直线AB 的方程可设为2px my =+，代入抛物线方程得 2220y pmy p --=．若记()11A x y ，，()22B x y ，，则12y y ，是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为22p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故直线CO 的斜率为211122OA y y p k k p y x ====-． 所以直线AC 经过原点O ． 法二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD l ⊥，D 是垂足．则AD EF BC ∥∥． 连结AC ，与EF 相交于点N ，则||||||||||||EN CN BF AD AC AB ==，||||.||||NF AF BC AB = 根据抛物线的几何性质，AF AD =，BF BC =， ∴AD BF AF BC EN NF ABAB⋅⋅===．即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．【例42】 自抛物线24y x =上一点(12)A ，引两弦AM 、AN ，已知两弦的斜率之和为零，求AMN △面积的最大值． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】因0AM AN k k +=知：1MN pk b=-=-，设直线MN 的方程是0x y m ++=，则点A 到直线MN 的距离d =．由204x y m y x ++=⎧⎨=⎩得：2440y y m ++=，12MN y =-=，所以132AMN S MN d ∆=⋅=+，224(1)(3)2(2-2)(3)(3)AMN S m m m m m ∆=-+++=310322332233m m m -++++⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当223m m -=+即13m =-时，max ()AMN S ∆=【答案】13m =-时，max ()AMN S ∆=【例43】 正方形ABCD 的一条边AB 在直线4y x =+上，顶点C 、D 在抛物线2y x =上，求正方形的边长．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设CD 的方程为y x b =+，由2y x b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得20y y b -+=，设11()C x y ，，22()D x y ，，则121y y +=，12y y b =，1212x x y y -=-，∴CD== 又AB 与CD的距离d =4y x =+上的一点(04)，即得）， 由ABCD2b =-或6b =-．∴正方形的边长为【答案】【例44】 曲线2y x =上两点B 、C ，O 是原点，OB BC ⊥，则当B 移动时，C 的纵坐标的范围． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设2()B t t ，，2()C y y ，，由题意知0t y t ≠≠，，∵OB BC ⊥，∴2221OB BC t y t k k t y t -=⋅=--，即111t y t ⋅=-+．∴1y t t =--．而1(0)t t t --≠的取值范围为(2][2)-∞-+∞，，（分0t >或0t <，利用基本不等式）， 所以C 的纵坐标范围为(2][2)-∞-+∞，，．【答案】(2][2)-∞-+∞，，．【例45】 证明：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形． 【考点】抛物线的几何性质【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】直接从正面思考比较困难，可以从反面来考虑，用反证法．不妨设抛物线方程为22(0)y px p =>，，如果抛物线上存在四点形成平行四边形，设这四个点1234A A A A ，，，相应的坐标为()(1234)i i x y i =，，，，，．首先不可能有两个点的纵坐标相等，否则设12y y =，则由22i i y x p=知12x x =，即12A A ，是一个点．其次不可能有一条边与x 轴垂直，若不然，设边12A A 与x 轴垂直，则1212x x y y ==-，．再由平行四边形的性质知12A A 的对边34A A 也与x 轴垂直，3434x x y y ==-， ∵1234||||A A A A =，∴2143||||y y y y -=-，即13|2||2|y y =， 于是13y y =或14y y =，这与没有两个点的纵坐标相等不符． 所以四条边都不与x 轴垂直，也就是它们的斜率都存在． 不妨设四个点按顺时针方向依次为1234A A A A ，，，， 由1234A A A A ∥，知1234A A A A k k =，∴43212143y y y y x x x x --=--，将2(1234)2i i y x i p ==，，，，代入得4321222221342222y y y y y y y y p p p p--=--，化简可得1234y y y y +=+ ………① 同理由2314A A A A ∥，可得3214y y y y +=+ ………② ①②相加，便有24y y =，这与没有两个点纵坐标相等不符． 综上可知抛物线上的四点不可能组成平行四边形．【答案】直接从正面思考比较困难，可以从反面来考虑，用反证法．不妨设抛物线方程为22(0)y px p =>，，如果抛物线上存在四点形成平行四边形，设这四个点1234A A A A ，，，相应的坐标为()(1234)i i x y i =，，，，，． 首先不可能有两个点的纵坐标相等，否则设12y y =，则由22i i y x p=知12x x =，即12A A ，是一个点．其次不可能有一条边与x 轴垂直，若不然，设边12A A 与x 轴垂直，则1212x x y y ==-，．再由平行四边形的性质知12A A 的对边34A A 也与x 轴垂直，3434x x y y ==-，∵1234||||A A A A =，∴2143||||y y y y -=-，即13|2||2|y y =， 于是13y y =或14y y =，这与没有两个点的纵坐标相等不符． 所以四条边都不与x 轴垂直，也就是它们的斜率都存在． 不妨设四个点按顺时针方向依次为1234A A A A ，，，，由1234A A A A ∥，知1234A A A A k k =，∴43212143y y y y x x x x --=--，将2(1234)2i i y x i p ==，，，，代入得4321222221342222y y y y y y y y p p p p--=--，化简可得1234y y y y +=+ ………① 同理由2314A A A A ∥，可得3214y y y y +=+ ………② ①②相加，便有24y y =，这与没有两个点纵坐标相等不符． 综上可知抛物线上的四点不可能组成平行四边形．【例46】 从抛物线22(0)y px p =>上的一个定点A 引两条倾斜角互补的弦AP ，AQ ，则直线PQ 的斜率为定值． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】若定点A 为顶点，则直线PQ 垂直于x 轴；若定点()A a b ，在抛物线上且不是顶点，设直线AP 的方程是()(0)x a k y b k -=-≠，由2()2x a k y b y px-=-⎧⎨=⎩得：22220y pky pkb pa -+-=， 由于22b pa =，故22222222y pky pkb pa y pky pkb b -+-=-+- 22()2()()(2)0y b pk y b y b y pk b =---=--+=，从而2P y pk b =-．同样2Q y pk b =--， 直线PQ 的斜率是22222Q P Q PQQ PQ P P y y y y p py x x y y by p p --===--+-，因此直线PQ 的斜率为定值pb-． 【答案】若定点A 为顶点，则直线PQ 垂直于x 轴；若定点()A a b ，在抛物线上且不是顶点，设直线AP 的方程是()(0)x a k y b k -=-≠，由2()2x a k y b y px-=-⎧⎨=⎩得：22220y pky pkb pa -+-=， 由于22b pa =，故22222222y pky pkb pa y pky pkb b -+-=-+- 22()2()()(2)0y b pk y b y b y pk b =---=--+=，从而2P y pk b =-．同样2Q y pk b =--，直线PQ 的斜率是22222Q P Q PQQ PQ P P y y y y p py x x y y by p p --===--+-，因此直线PQ 的斜率为定值pb-．【例47】 抛物线22(0)y px p =>的弦PQ 的端点与顶点O 的连线成直角时，直线PQ 过定点(20)p ，；反之，抛物线22(0)y px p =>的弦PQ 过定点(20)p ，时，有OP OQ ⊥．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】直线OP 的方程是y kx =(0)k ≠，由22y kx y px =⎧⎨=⎩得：222P P p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵OP OQ ⊥，∴直线OQ 的方程为1y x k =-，同理有222Q Qx pky pk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．直线PQ 的斜率是2222122Q P Q P Q Q P Q P P y y y y p ky x x y y k y p p --===-+--， 故直线PQ 的方程是2222()1p k py x k k k -=--，化简得：2(2)1ky x p k =--，（化简思路：化简时将含k 的项移到等式的一边） 故直线PQ 过定点(20)p ，．反之，可设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线PQ 为2my x p =-， 连立222my x p y px=-⎧⎨=⎩，消去x 得：22240y pmy p --=，于是2124y y p =-，224212122164224y y p x x p p p p=⋅==， 212212414OP OQy y p k k x x p -⋅=⋅==-，故OP OQ ⊥， 命题得证．推广：抛物线22(0)y px p =>上有定点()A a b ，，抛物线的弦PQ 满足AP AQ ⊥，则直线PQ 过定点．设直线AP 的方程是()(0x a k y b k -=-≠，由2()2x a k y b y px -=-⎧⎨=⎩得：22220y p k y p k b p a -+-=，从而2P y pk b =-，同时2Q py b k=--．直线PQ 的斜率是22222Q P Q P QQ PQ PP y y pyx x y y y p p-==-+-，故直线PQ 的方程是()P P py y x x p pk bk-=---， 化简得：221()22b yp pb k px yb p k ⎛⎫+-=++- ⎪⎝⎭，（注：化简时将含k 的项移到等式的一边）故直线PQ 过定点222b p b p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，． 【答案】直线OP 的方程是y kx =(0)k ≠，由22y kx y px =⎧⎨=⎩得：222P P p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵OP OQ ⊥，∴直线OQ 的方程为1y x k =-，同理有222Q Qx pky pk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．直线PQ 的斜率是2222122Q P Q P Q Q P Q P P y y y y p ky x x y y k y p p --===-+--， 故直线PQ 的方程是2222()1p k py x k k k -=--，化简得：2(2)1ky x p k =--，（化简思路：化简时将含k 的项移到等式的一边） 故直线PQ 过定点(20)p ，．反之，可设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线PQ 为2my x p =-， 连立222my x p y px=-⎧⎨=⎩，消去x 得：22240y pmy p --=，于是2124y y p =-，224212122164224y y p x x p p p p=⋅==， 212212414OP OQy y p k k x x p -⋅=⋅==-，故OP OQ ⊥， 命题得证．推广：抛物线22(0)y px p =>上有定点()A a b ，，抛物线的弦PQ 满足AP AQ ⊥，则直线PQ 过定点．设直线AP 的方程是()(0x a k y b k -=-≠，由2()2x a k y b y px -=-⎧⎨=⎩得：22220y p k y p k b p a -+-=，从而2P y pk b =-，同时2Q py b k=--．直线PQ 的斜率是22222Q P Q PQQ PQ PP y y py x x y y y p p-==-+-，故直线PQ 的方程是()P P py y x x p pk bk-=---， 化简得：221()22b yp pb k px yb p k ⎛⎫+-=++- ⎪⎝⎭，（注：化简时将含k 的项移到等式的一边）故直线PQ 过定点222b p b p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，．。