判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统
合集下载
判断微分方程是否线性
判断微分方程是否线性
如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。
否则称其为非线性微分方程。
可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。
微分方程：一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。
微分方程有时也简称方程。
线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。
这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。
可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。
比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。
信号与系统 线性时不变系统及其特性
H f 2 (t )
C1
f 2 (t )
H
C2
C2 H f 2 (t )
C1 H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
若
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t ) C1H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
e(t ) e(t t0 ) r21 (t ) e(t t0 ) cos t
经过系统 时移 t0
时移 t0
经过系统
t 0 t 0
e(t ) e(t ) cos t r22 (t ) e(t t0 ) cos(t t0 )
r21 (t ) r22 (t )
叠加性：
e1 (t ) r1 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) e2 (t ) r2 (t )
e1 (t )
e2 (t )
e1 (t) e2 (t)
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
r1 (t) r2 (t)
信号与系统
详细内容在第五章讨论。
信号与系统
五.因果性
定义
因果系统： 当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。 即 因果系统输出不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。 e(t ) e(t )u (t )
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
C1
f 2 (t )
H
C2
C2 H f 2 (t )
C1 H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
若
H C1 f1 (t ) C2 f 2 (t ) C1H f1 (t ) C2 H f 2 (t )
e(t ) e(t t0 ) r21 (t ) e(t t0 ) cos t
经过系统 时移 t0
时移 t0
经过系统
t 0 t 0
e(t ) e(t ) cos t r22 (t ) e(t t0 ) cos(t t0 )
r21 (t ) r22 (t )
叠加性：
e1 (t ) r1 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) e2 (t ) r2 (t )
e1 (t )
e2 (t )
e1 (t) e2 (t)
H H
H
r1 (t )
r2 (t )
r1 (t) r2 (t)
信号与系统
详细内容在第五章讨论。
信号与系统
五.因果性
定义
因果系统： 当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。 即 因果系统输出不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。 e(t ) e(t )u (t )
f (t )
H
H f (t )
DE
y (t )
f (t )
y (t )
信号与系统第一章重点
是线性系统,否则是非线性系统 否则是非线性系统。 则系统 H[•] 是线性系统 否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统? 判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统
dr(t) +10r(t) + 5 = e(t) t > 0 dt
∞
（2）奇偶性 δ (−t) = δ (t)
δ ′(t)dt = δ (t) −∞
∞
（3）比例性 −∞ 1 δ (at) = δ (t ) f (t)δ ′(t) = f (0)δ ′(t) − f ′(0)δ (t) a （6）卷积性质 （4）微积分性质 du(t) t f (t) ∗δ (t ) = f (t ) δ (t) = ∫−∞δ(τ )dτ = u(t) dt
不同） （ 与 f (t)δ (t) = f (0)δ (t) 不同 ）
X
1 δ (at) = δ (t) a
冲激偶的标度变换
1 1 δ ′(at ) = ⋅ δ ′(t ) a a
1 1 (k ) δ (at ) = ⋅ k δ (t ) a a
(k )
定义看： 从δ (t) 定义看：
p(t ) 1
δ (t) f (t)dt = f (0) −∞
δ (−t) f (t)dt = −∞
+∞
t =−τ
+∞
故 ， δ (t) =δ(−t)
∫
−∞
+∞
δ (τ ) f (−τ )d(−τ )
= ∫ δ (τ ) f (−τ )dτ = f (0)
−∞
+∞
为 t 又因 δ (t)只在 = 0有 值
陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
夏德钤《自动控制原理》(第4版)-名校考研真题-第2章 线性系统的数学模型【圣才出品】
2 / 28
圣才电子书
【答案】C
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
二、填空题
1．系统的微分方程是 输入量，该系统是______。[南京邮电大学研]
其中 c（t）为输出量，r（t）为
【答案】线性系统
【解析】由于系统的微分方程中没有交叉项，也没有高于一次的项，满足线性系统要
即
于是该系统的传递函数模型为
10．由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图 2-7 所示，求闭环传递函数 [中科院研]
8 / 28
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
图 2-7 解：设第一个运算放大器的输出电压为 ，第二个运算放大器的输出电压为 ，则可 以得到：
求，为线性系统。
2．函数
的拉氏变换式是______。[华南理工大学 2006 年研]
【答案】3/(s＋6)
3．积分环节的传递函数表达式为 G(s)=______。[华南理工大学 2006 年研] 【答案】
三、计算题 1．试判断下列用微分方程描述的系统是线性系统还是非线性系统？[大连理工大学研]
解：（1）线性系统； （2）非线性系统； （3）非线性系统； （4）非线性系统。
解：（1）
图 2-3
6．已知 解：
，求
[大连理工大学研]
7．某系统如图 2-4 所示，已知： 研]
，试确定
[大连理工大学
解：由
图 2-4 在零初始条件下两边同时拉普拉斯变换并整理得
6 / 28
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
8．设定描述系统的微分方程。图 2-5 中 B 是阻尼器摩擦因数， 是弹簧的弹性系
圣才电子书
【答案】C
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
二、填空题
1．系统的微分方程是 输入量，该系统是______。[南京邮电大学研]
其中 c（t）为输出量，r（t）为
【答案】线性系统
【解析】由于系统的微分方程中没有交叉项，也没有高于一次的项，满足线性系统要
即
于是该系统的传递函数模型为
10．由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图 2-7 所示，求闭环传递函数 [中科院研]
8 / 28
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
图 2-7 解：设第一个运算放大器的输出电压为 ，第二个运算放大器的输出电压为 ，则可 以得到：
求，为线性系统。
2．函数
的拉氏变换式是______。[华南理工大学 2006 年研]
【答案】3/(s＋6)
3．积分环节的传递函数表达式为 G(s)=______。[华南理工大学 2006 年研] 【答案】
三、计算题 1．试判断下列用微分方程描述的系统是线性系统还是非线性系统？[大连理工大学研]
解：（1）线性系统； （2）非线性系统； （3）非线性系统； （4）非线性系统。
解：（1）
图 2-3
6．已知 解：
，求
[大连理工大学研]
7．某系统如图 2-4 所示，已知： 研]
，试确定
[大连理工大学
解：由
图 2-4 在零初始条件下两边同时拉普拉斯变换并整理得
6 / 28
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台
8．设定描述系统的微分方程。图 2-5 中 B 是阻尼器摩擦因数， 是弹簧的弹性系
判断系统线性-时变-因果方法
4.因果信号
t=0接入系统的信号称为因果信号 表示为：
例1-7-1
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 均匀性和叠加性。可以证明： 系统不满足均匀性 系统不具有叠加性 此系统为非线性系统。
请看下面证明过程
证明均匀性
设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
§1.7 线性时不变系统
•线性系统与非线性系统 •时变系统与时不变系统 •线性时不变系统的微分特性 •因果系统与非因果系统
一．线性系统与非线性系统
1.定义
线性系统：指具有线性特性的系统。 线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
叠加性：
线性特性
2. 判断方法
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
若 则系统 是线性系统,否则是非线性系统. 注意：外加激励与系统非零状态单独处理
二．时变系统与时不变系统
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
时不变性
2. 判断方法
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
若 则系统
是非时变系统,否则是时变系统.
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
利用线性证明，可推广至高阶。
四.因果系统与非因果系统
1. 定义
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出 现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响 应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
t=0接入系统的信号称为因果信号 表示为：
例1-7-1
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 均匀性和叠加性。可以证明： 系统不满足均匀性 系统不具有叠加性 此系统为非线性系统。
请看下面证明过程
证明均匀性
设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
§1.7 线性时不变系统
•线性系统与非线性系统 •时变系统与时不变系统 •线性时不变系统的微分特性 •因果系统与非因果系统
一．线性系统与非线性系统
1.定义
线性系统：指具有线性特性的系统。 线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
叠加性：
线性特性
2. 判断方法
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
若 则系统 是线性系统,否则是非线性系统. 注意：外加激励与系统非零状态单独处理
二．时变系统与时不变系统
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
时不变性
2. 判断方法
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
若 则系统
是非时变系统,否则是时变系统.
三．线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
利用线性证明，可推广至高阶。
四.因果系统与非因果系统
1. 定义
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出 现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响 应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
线性时不变系统及其特性
例：微分方程 r(t) e(t) e(t 2)所代表的系统是否是因果系统 解： t 0 r(0) e(0) e(2)
所以该系统为非因果系统。
未来的激励
第十六页，共16页
BIBO稳定。一个正常工作的系统都必须是稳定的。
第十四页，共16页
信号与系统
五.因果性
定义 因果系统：
当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。 即
因果系统输出不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。
系统的这种特性称为因果特性。
符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
判断方法 输出不超前于输入
H •
H C1 f1(t) C2 f2 (t)
f1(t) HH•• H f1(t)
C1 C1H f1(t)
C1H f1(t) C2H f2 (t)
f2 (t) H • H f2 (t) C2 C2H f2 (t)
若 H C1 f1(t) C2 f2 (t) C1H f1(t) C2H f2 (t) 则系统 H • 是线性系统，否则是非线性系统。
因果信号
t = 0接入系统的信号称为因果信号。 e(t) e(t)u(t)
第十五页，共16页
信号与系统
五.因果性
例：微分方程 r(t) e(t) e(t 2)所代表的系统是否是因果系统 解： t 0 r(0) e(0) e(2)
现在的响应=现在的激励+以前的激励
所以该系统为因果系统。
原方程两端乘A：
t 0 (1)
A
d
r(t) dt
10r (t )
5
Ae(t)
t 0 (2)
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
系统的分类
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
则系统 H 是线性系统,否则是非线性系统. 注意：外加激励与系统非零状态单独处理
14
例 2
判断下列两个系统是否为非时变系统．
系统1： r t cos et
t 0 t 0
系统2：r t et cos t
1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。
(1)e(t ) e(t t0 ) r11 (t ) cos e(t t0 ) t 0
微分方程r t et et 2代表的系统是否是因果 系统．
t0
r 0 e0 e 2
未来的激励 该系统为非因果系统
21
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮 度…为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。
线性 非线性
时变 系统 非时变
2
常微分方程 (t ) 集总参数系统 : 分布参数系统 : 偏微分方程 ( t , x , y, z )
因果系统 若系统在t0时刻的响应只与t= t0和t< t0时刻 非因果系统 的输入有关，否则，即为非因果系统。
可逆系统 若系统在不同的激励信号作用下产生不同 不可逆系统 的响应，则称此系统为可逆系统。
r21(t ) r22 (t )
t 0
此系统为时变系统。
16
例3
yt t f t 判断系统是否为线性非时变系统
判断线性系统举例
01
02
03
线性电阻电路
由电阻、电源和开关组成， 遵循欧姆定律和基尔霍夫 定律，是线性电路的典型 代表。
线性动态电路
包含电容、电感等储能元 件，通过一阶或二阶常微 分方程描述，仍为线性系 统。
线性网络电路
由多个线性电路元件组成， 通过网络方程描述其行为， 保持线性特性。
控制系统
线性时不变控制系统
系统输出与输入之间的关系是线性的，且系统参数不随时间变化。这类系统可以通过传递函数或状态空间方 程进行描述和分析。
03 线性系统举例分析
机械振动系统
简单振荡器
01
由弹簧、阻尼器和质量块组成，遵循胡克定律和牛顿第二定律，
是线性系统的典型代表。
复杂振荡器
02
包含多个质量块、弹簧和阻尼器，通过联立方程组描述其运动，
仍为线性系统。
连续体振动
03
如弦振动、板振动等，通过偏微分方程描述，在一定条件下可
简化为线性系统。
电路系统
线性系统性质
• 由于线性系统较容易处理，许多时候会将系统理想化或简化为线性系统。线性系统常应用在自动控制理论、信号处理及电 信上。像无线通讯讯号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。
线性系统分类
• 线性系统按照不同的分类标准可分为 多种类型，如：按系统的输入、输出 信号的数量可分为单输入单输出系统 和多输入多输出系统；按系统参数是 否随时间变化可分为时不变系统和时 变系统；按系统的输入、输出信号是 否为时间的连续函数可分为连续时间 系统和离散时间系统等。
非线性系统特点
不满足叠加原理
非线性系统的输出与输入之间不 存在简单的比例关系，即输出的 变化量与输入的变化量不成正比。
信号与系统复习套题一答案
《信号与系统》套题一参考答案一、简答题1、dtt df t f t f x e t y t)()()()0()(+⋅=- 其中x(0)是初始状态，为激励)(t f 为全响应，，)(t y 试回答该系统是否是线性的？ 解：由于无法区分零输入响应和零状态响应，因而系统为非线性的。
3、 若信号)(t f 的最高频率为20KHz ，则信号)3()2()(2t f t f t f +=的最高频率为___________KHz ；若对信号)(2t f 进行抽样，则奈奎斯特频率s f 为 ____________KHz 。
解：本题目主要考查的是取样定理的条件：)2(21)2(ωj F t f ↔)3(31)3(ωj F t f ↔ 因而：)2(t f 的最高频率为40KHz ，)3(t f 的最高频率为60KHz)3()2()(2t f t f t f +=的最高频率为两个分信号最高频率，为60KHz ，若对信号)(2t f 进行抽样，奈奎斯特频率12022=≥m s f f KHz4、 设系统的激励为()f t ，系统的零状态响应)(t y zs 与激励之间的关系为：)()(t f t y zs -=，判断该系统是否是时不变的，并说明理由。
解：设)()(01t t f t f -=，若系统为时不变的，则必有结论)(01t t y y zs zs -=。
根据题意，由)(1t f 作用于系统的零状态响应为：)()(011t t f t y zs -=，根据信号的基本运算，)()()(0011t t f t t f t y zs +-=-=，很明显，)(01t t y y zs zs -≠，因而系统为时变的。
7、 设系统的激励为()f t ，系统的零状态响应)(t y zs 与激励之间的关系为：)1(*)()(-=k f k f k y zs ，判断该系统是否是线性的，并说明理由。
解：系统为非线性的。
因为表达式中出现了)(k f 的二次方。
线性系统线性
1
一．线性系统与非线性系统
第 页
1.定义
线性系统：指具有线性特性的系统。
线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
et rt ket krt
叠加性：
e1 e2
(t (t
) )
r1 r2
((tt))
e1
(t
)
e2
(t
)
r1
(t
)
r2
(t
)
X
2
第
线性特性
页
t 0 r0 e0 e 2
未来的激励 所以该系统为非因果系统。
X
系统分析方法
15
第
一.建立系统模型的两种方法
页
输入输出描述法： •着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部
变量情况；
•单输入/单输出系统；
•列写一元 n 阶微分方程。
状态变量分析法：
•不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，
t
r2
t
10r1
t
r2
t
10
e1t来自e2t
t 0
(6)
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
X
6
二．时变系统与时不变系统
第 页
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
原方程两端乘A：
t 0 (1)
一．线性系统与非线性系统
第 页
1.定义
线性系统：指具有线性特性的系统。
线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
et rt ket krt
叠加性：
e1 e2
(t (t
) )
r1 r2
((tt))
e1
(t
)
e2
(t
)
r1
(t
)
r2
(t
)
X
2
第
线性特性
页
t 0 r0 e0 e 2
未来的激励 所以该系统为非因果系统。
X
系统分析方法
15
第
一.建立系统模型的两种方法
页
输入输出描述法： •着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部
变量情况；
•单输入/单输出系统；
•列写一元 n 阶微分方程。
状态变量分析法：
•不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，
t
r2
t
10r1
t
r2
t
10
e1t来自e2t
t 0
(6)
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
X
6
二．时变系统与时不变系统
第 页
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
原方程两端乘A：
t 0 (1)
线性系统课件
输出仅取决于在t时刻 和t时刻之前的输入，而与t时刻之后的输入无关， 则称系统具有因果性或因果关系。具有因果关系的 系统称为因果系统，又称为物理可实现系统。
若系统在t时刻的输出不仅取决于在t时刻和t时
刻之前的输入，还与t时刻之后的输入无关，则称
系统不具有因果性。不具因果性的系统能够预测t
12
2.空间描述法
+ u
R
L
C
uc
可以用二阶微分方程式描述该系统 － 以i 和 u c 作为该系统的两个状态变量
duc C i dt di L Ri u c u dt
1 x2 C 1 R 1 x 2 x1 x 2 u L L L x1
1 i C 1 R 1 i uc i u L L L uc
n 1
d r (t ) d r (t ) dr(t ) an n an 1 n1 a1 a0r (t ) dt dt dt m m 1 d e( t ) d e( t ) de(t ) bm m bm1 m1 b1 b0e(t ) dt dt dt
ˆ ˆ ˆ ˆ y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u 2 ( s ) ... g1r ( s )u r ( s ) ˆ ˆ ˆ ˆ y 2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u 2 ( s ) ... g 2 r ( s )u r ( s ) .... ˆ ˆ ˆ ˆ y m ( s ) g m1 ( s )u1 ( s ) g m 2 ( s )u 2 ( s ) ... g mr ( s )u r ( s )
y=Hu
式中，H是某一算子或函数，如传递函数就是一种算子。
若系统在t时刻的输出不仅取决于在t时刻和t时
刻之前的输入，还与t时刻之后的输入无关，则称
系统不具有因果性。不具因果性的系统能够预测t
12
2.空间描述法
+ u
R
L
C
uc
可以用二阶微分方程式描述该系统 － 以i 和 u c 作为该系统的两个状态变量
duc C i dt di L Ri u c u dt
1 x2 C 1 R 1 x 2 x1 x 2 u L L L x1
1 i C 1 R 1 i uc i u L L L uc
n 1
d r (t ) d r (t ) dr(t ) an n an 1 n1 a1 a0r (t ) dt dt dt m m 1 d e( t ) d e( t ) de(t ) bm m bm1 m1 b1 b0e(t ) dt dt dt
ˆ ˆ ˆ ˆ y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u 2 ( s ) ... g1r ( s )u r ( s ) ˆ ˆ ˆ ˆ y 2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u 2 ( s ) ... g 2 r ( s )u r ( s ) .... ˆ ˆ ˆ ˆ y m ( s ) g m1 ( s )u1 ( s ) g m 2 ( s )u 2 ( s ) ... g mr ( s )u r ( s )
y=Hu
式中，H是某一算子或函数，如传递函数就是一种算子。
判断系统线性-时变-因果方法
故此系统不满足均匀性当aet作用于系统时若此系统具有线性则证明叠加性56式矛盾该系统为不具有叠加性假设有两个输入信号分别激励系统则由所给微分方程式分别有
§1.7 线性时不变系统
•线性系统与非线性系统 •时变系统与时不变系统 •线性时不变系统的微分特性 •因果系统与非因果系统
一．线性系统与非线性系统
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
例1-7-2
判断下列两个系统是否为非时变系统． 系统1： 系统2：
1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。
此系统为时不变系统。
系统2： 系统作用:输入信号乘cos(t)
此系统为时变系统。
例1-7-3
判断系统是否为线性非时变系统 是否为线性系统？
可见,先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性 运算,所以此系统是线性系统
请看下面证明过程证明均源自性设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
原方程两端乘A：
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
证明叠加性
假设有两个输入信号 所给微分方程式分别有：
分别激励系统，则由
当 应有
同时作用于系统时，若该系统为线性系统，
(3)+(4)得
1. 定义
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出 现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响 应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
系统的这种特性称为因果特性。
符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
2.判断方法
输出不超前于输入
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。
§1.7 线性时不变系统
•线性系统与非线性系统 •时变系统与时不变系统 •线性时不变系统的微分特性 •因果系统与非因果系统
一．线性系统与非线性系统
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
例1-7-2
判断下列两个系统是否为非时变系统． 系统1： 系统2：
1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。
此系统为时不变系统。
系统2： 系统作用:输入信号乘cos(t)
此系统为时变系统。
例1-7-3
判断系统是否为线性非时变系统 是否为线性系统？
可见,先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性 运算,所以此系统是线性系统
请看下面证明过程证明均源自性设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
原方程两端乘A：
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
证明叠加性
假设有两个输入信号 所给微分方程式分别有：
分别激励系统，则由
当 应有
同时作用于系统时，若该系统为线性系统，
(3)+(4)得
1. 定义
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出 现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响 应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
系统的这种特性称为因果特性。
符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。
2.判断方法
输出不超前于输入
3.实际的物理可实现系统均为因果系统
非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。
大学信号与系统习题答案
§ 1.1 信号与系统信号(signal)消息（Message）：在通信系统中，一般将语言、文字、图像或数据统称为消息。
信号（Signal）：指消息的表现形式与传送载体。
信息（Information）：一般指消息中赋予人们的新知识、新概念，定义方法复杂，将在后续课程中研究。
信号是消息的表现形式与传送载体,消息是信号的传送内容。
如电信号传送声音、图像、文字等。
电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。
系统（system）系统（system）：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的，具有稳定功能的整体。
如太阳系、通信系统【-----为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）,其方框如下图所示：消息信号】、控制系统、经济系统、生态系统等。
系统可以看作是变换器、处理器。
电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。
在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络”三个名词在一般情况下可以通用。
信号理论与系统理论信号理论信号分析：研究信号的基本性能，如信号的描述、性质等。
信号传输：通信的目的是为了实现消息的传输。
原始的光通信系统——古代利用烽火传送边疆警报；声音信号的传输——击鼓鸣金。
利用电信号传送消息。
1837年,莫尔斯(F.B.Morse)发明电报;1876年，贝尔(A.G.Bell)发明电话利用电磁波传送无线电信号。
1901年,马可尼(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋的无线电通信;全球定位系统GPS(Global Positioning System);个人通信具有美好的发展前景光纤通信带来了更加宽广的带宽。
信号的传输离不开信号的交换。
信号处理：对信号进行某种加工或变换。
其目的是：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。
信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统
本章是整个课程的入门部分，引入了一些新的概念，但 也有很多内容实际上在以前的数学和物理课程中已接触或学 习过。也正是如此，要更加注意“旧貌换新颜”从新的学科 领域的角度来看待已学的知识，不仅要体会这些知识在不同 学科间是相通的，更要着重理解本门课程的新角度。
1.本章主要讲述信号与系统的基本概念。重点在于信号概念 及信号分类、典型连续时间信号和奇异信号、信号运算、信 号分解、系统概念及其分类、线性时不变系统概念和性质。 2.在信号图形描述中，应掌握所有典型连续时间信号和奇异 信号的的图形特征。
例1-7-4
t0
r 0 e0 e 2
现在的响应=现在的激励+以前的激励
该系统为因果系统。
微分方程r t et et 2代表的系统是否是因果 系统．
t0
r 0 e0 e 2
未来的激励 BACK
该系统为非因果系统
本章小结
原方程两端乘A：
d r (t ) A 10r ( t ) 5 Ae( t ) dt t 0 ( 2)
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
证明叠加性
假设有两个输入信号 e1 (t )及e2 (t ) 分别激励系统，则由 所给微分方程式分别有：
d r1 t 10r1 t 5 e1 t dt d r2 t 10r2 t 5 e2 t dt t 0 t 0 ( 3) ( 4)
系统作用:输入信号乘cos(t)
移t 0 过系统 (1)e(t ) 时 e(t t0 ) 经 r21 (t ) e(t t0 ) cos t
t 0
t 0 r (t ) e(t t ) cos(t t ) ( 2)e( t ) e( t ) cos t 22 0 0
1.本章主要讲述信号与系统的基本概念。重点在于信号概念 及信号分类、典型连续时间信号和奇异信号、信号运算、信 号分解、系统概念及其分类、线性时不变系统概念和性质。 2.在信号图形描述中，应掌握所有典型连续时间信号和奇异 信号的的图形特征。
例1-7-4
t0
r 0 e0 e 2
现在的响应=现在的激励+以前的激励
该系统为因果系统。
微分方程r t et et 2代表的系统是否是因果 系统．
t0
r 0 e0 e 2
未来的激励 BACK
该系统为非因果系统
本章小结
原方程两端乘A：
d r (t ) A 10r ( t ) 5 Ae( t ) dt t 0 ( 2)
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
证明叠加性
假设有两个输入信号 e1 (t )及e2 (t ) 分别激励系统，则由 所给微分方程式分别有：
d r1 t 10r1 t 5 e1 t dt d r2 t 10r2 t 5 e2 t dt t 0 t 0 ( 3) ( 4)
系统作用:输入信号乘cos(t)
移t 0 过系统 (1)e(t ) 时 e(t t0 ) 经 r21 (t ) e(t t0 ) cos t
t 0
t 0 r (t ) e(t t ) cos(t t ) ( 2)e( t ) e( t ) cos t 22 0 0
判断线性系统
故为线性系统。 操作：乘 n
（b)
y(n) x(n2 ) y1(n) x1(n2 ) T[x1(n)], y2 (n） x2 (n2 ) T[x2 (n)] T[a1x1(n) a2 x2 (n)] a1x1(n2 ) a2 x2 (n2 ) a1 y1(n) a2 y2 (n) a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)]
显然 T[x(n m)] y(n m)
故不是移不变系统。
（b) y(n) x(n) x(n 1) T[x(n)] x(n) x(n 1) y(n) T[x(n m)] x(n m) x(n m 1)
又： y(n m) x(n m) x(n m 1)
故为线性系统。
操作： n n2
(c) y(n) x2 (n)
y1(n) x12 (n) T[x1(n)], y2 (n） x22 (n) T[x2 (n)] T[a1x1(n) a2 x2 (n)] [a1x1(n) a2 x2 (n)]2 a12 x12 (n) a22 x22 (n) 2a1a2 x1(n)x2 (n)
……..
y3 (n) an an1
所以： y3 (n) anu(n) an1u(n) T[x1(n) x2 (n)] y3(n) y1(n) y2 (n) T[x1(n)] T[x2 (n)]
因此为线性系统。
（c）的证明见教科书[例1-19](p.32)
四. 判断因果系统。 如果一个系统的某个时刻的输出，只决定于某个时刻的
则系统为线性系统。
例1. 判断下列系统是否为线性系统。
(a) y(n) nx(n); (b) y(n) x(n2 ); (x(n) 5
（b)
y(n) x(n2 ) y1(n) x1(n2 ) T[x1(n)], y2 (n） x2 (n2 ) T[x2 (n)] T[a1x1(n) a2 x2 (n)] a1x1(n2 ) a2 x2 (n2 ) a1 y1(n) a2 y2 (n) a1T[x1(n)] a2T[x2 (n)]
显然 T[x(n m)] y(n m)
故不是移不变系统。
（b) y(n) x(n) x(n 1) T[x(n)] x(n) x(n 1) y(n) T[x(n m)] x(n m) x(n m 1)
又： y(n m) x(n m) x(n m 1)
故为线性系统。
操作： n n2
(c) y(n) x2 (n)
y1(n) x12 (n) T[x1(n)], y2 (n） x22 (n) T[x2 (n)] T[a1x1(n) a2 x2 (n)] [a1x1(n) a2 x2 (n)]2 a12 x12 (n) a22 x22 (n) 2a1a2 x1(n)x2 (n)
……..
y3 (n) an an1
所以： y3 (n) anu(n) an1u(n) T[x1(n) x2 (n)] y3(n) y1(n) y2 (n) T[x1(n)] T[x2 (n)]
因此为线性系统。
（c）的证明见教科书[例1-19](p.32)
四. 判断因果系统。 如果一个系统的某个时刻的输出，只决定于某个时刻的
则系统为线性系统。
例1. 判断下列系统是否为线性系统。
(a) y(n) nx(n); (b) y(n) x(n2 ); (x(n) 5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1-7-4
t0
r 0 e0 e 2
现在的响应=现在的激励+以前的激励
该系统为因果系统。
微分方程r t et et 2代表的系统是否是因果 系统．
t0
r 0 e0 e 2
未来的激励 BACK
该系统为非因果系统
本章小结
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
证明叠加性
假设有两个输入信号 e1 (t )及e2 (t ) 分别激励系统，则由 所给微分方程式分别有：
d r1 t 10r1 t 5 e1 t dt d r2 t 10r2 t 5 e2 t dt t 0 t 0 ( 3) ( 4)
C1
C 1 t f 1 t
H
t C 1 f 1 t C 2 f 2 t
f 2 t
H
t f 2 t
C2
C 2 t f 2 t
C 1 tf1 t C 2 tf 2 t
可见,先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性 运算,所以此系统是线性系统
系统作用:输入信号乘cos(t)
移t 0 过系统 (1)e(t ) 时 e(t t0 ) 经 r21 (t ) e(t t0 ) cos t
t 0
t 0 r (t ) e(t t ) cos(t t ) ( 2)e( t ) e( t ) cos t 22 0 0
本章是整个课程的入门部分，引入了一些新的概念，但 也有很多内容实际上在以前的数学和物理课程中已接触或学 习过。也正是如此，要更加注意“旧貌换新颜”从新的学科 领域的角度来看待已学的知识，不仅要体会这些知识在不同 学科间是相通的，更要着重理解本门课程的新角度。
1.本章主要讲述信号与系统的基本概念。重点在于信号概念 及信号分类、典型连续时间信号和奇异信号、信号运算、信 号分解、系统概念及其分类、线性时不变系统概念和性质。 2.在信号图形描述中，应掌握所有典型连续时间信号和奇异 信号的的图形特征。
是否为时不变系统？
f t
H
t f t f t
DE
t f t
t f t
f t
DE
H
可见, 时移、再经系统 经系统、再时移，, 所以此系统是时变系统。 BACK
微分方程r t et et 2代表的系统是否是因果 系统．
经过系统
时移
t 0
r21(t ) r22 (t )
此系统为时变系统。
BACK
例1-7-3
yt t f t 判断系统是否为线性非时变系统
是否为线性系统？
f 1 t
C1
C 1 f 1 t
f 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
t f 1 t
3.在信号分类中，主要掌握三种分类：周期与非周期； 能量与功率信号；奇偶信号。同时要会求周期（尤其对 两个周期信号叠加而成的信号）能量、功率、奇分量、 偶分量、直流分量。
4.在信号运算中，主要掌握横轴上的尺度、移位、和反 褶运算。不管时正向还是逆向。 5.在信号分解中，掌握奇偶分量分解、阶跃分量描述法 和正交分解及其系数求法。
时 移t 0 经过系统 移t 0 过系统 r12 (t ) cos e(t t0 ) t 0 ( 2)e( t ) 经 cos e( t ) 时
r11 t r12 t
此系统为时不变系统。
系统2：r t et cos t
t 0
t 0
( 6)
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
BACK
例1-7-2
判断下列两个系统是否为非时变系统．
系统1： r t cos et
t 0 t 0
系统2：r t et cos t
1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。
(1)e(t ) e(t t0 ) r11 (t ) cos e(t t0 ) t 0
设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d Ar ( t ) 10 Ar ( t ) 5 Ae( t ) dt t 0 (1)
原方程两端乘A：
d r (t ) A 10r ( t ) 5 Ae( t ) dt t 0 ( 2)
6.在系统分类中，重点考虑如下性质的判定：因果性、 无记忆性、线性、时不变性。
当e1 (t ) e2 (t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统， 应有 (3)+(4)得
d r1 t r2 t 10r1 t r2 t 5 e1 t e2 t dt t 0 ( 5)
d r1 t r2 t 10r1 t r2 t 10 e1 t e2 t dt
例1-7-1
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
d r (t ) 10r ( t ) 5 e( t ) ,t 0 dt
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 均匀性和叠加性。可以证明：
系统不满足均匀性
系统不具有叠加性 此系统为非线性系统。 请看下面证明过程
证明均匀性