1.2.2.1 组合与组合数公式

(1)计算 C
4 10 －
C A
3 7
3 3；
(2)证明： mC
m n
nC
m 1 n 1 .
【解答】 10×9×8×7 4 3 (1)原式＝C10－A7＝ －7×6×5＝210－210＝0. 4×3×2×1 (2)证明：mCm n ＝m· n！ n· n－1！ ＝ m！n－m！ m－1！n－m！
m 合数 C n ．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 A
m m m A C A 根据分步计数原理，得到： n n m
m n n 1 n 2 A m n 因此： Cn m Am m!
*
m ． n
n m 1
这里 m、n N ，且 m n，这个公式叫做组合数公式．
m 1
m 1
m
m 1
m 1 n
m 1
m
m 1
证明： 2 C n
C n 2C n
m 1 m m
m 1
m
(C n C n ) (C n C n ) C n 1 C n 1 C n 2 .
m 1 m 1
m
m 1
你学会了吗?
※对自己说，你有什么收获？
类型3：含组合数的方程或不等式
【例】(2)解不等式C C
4 n
6 【解】(2)由 C4 ＞ C n n得
6 n.
n！ n！ ＞ 4！n－4！ 6！n－6！ n≥6
－1＜n＜10， ⇒ n≥6.
2 n －9n－10＜0， ⇒ n≥6
又 n∈N*，
※对同学说，你有什么提示？
※对老师说，你有什么疑惑？
2018年5月31日星期
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.
（1）有序与无序的区别
（2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合一旦取完 就结束，而排列还要继续进行排序 2.理解组合数的的定义与公式
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n （ 1） C n m Am m!
类型3：含组合数的方程或不等式
【例】(1)解方程 3C
x 7 x3
5A
2 x 4 ；
【解答】(1)由排列数和组合数公式，原方程可化为 x－3！ x－4！ 3· ＝5· ， x－7！4！ x－6！ 3x－3 5 则 ＝ ，即为(x－3)(x－6)＝40. 4！ x－6 ∴x2－9x－22＝0， 解之可得 x＝11 或 x＝－2. 经检验知 x＝11 是原方程的根，x＝－2 是原方程的增根． ∴方程的根为 x＝11.
A 6
2 3
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加
某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲、乙；甲、丙；乙、丙
3
问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.
问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组
有 顺 序
排列
组合
无 顺 序
第二步，
3 4
A
3 3
（ 6）个；
根据分步计数原理，
A C A
3 3 4 4
3 4
3 3
.
A 从而C A
3 4
3 4 3 3
P m C C 如何计算 : n 3 P3
3 4
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数， 可以分为以下2步： 第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少 个? 票? 有多少种不同的火车票价？ 少种分法? 少次?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车
排列问题
组合问题
组合问题 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 ,共有多 组合是选择的结果，
边城高级中学
张秀洲
1、理解组合与组合数的概念． 2、会推导组合数公式并会应用公式求值.
自学教材 P21—P24 解决下列问题
一、会推导组合数公式并会应用公式求值. 二、《教材》 P25 练习.
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加
某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，
1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合． 共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢? 1）元素相同；
2）元素排列顺序相同. 思考三:组合与排列有联系吗? 构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤. 元素相同
从 n 个不同元中取出 m 个元素的排列数
A
组合数公式:
m n m n m m
m n
C n Am
m
m
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
n! 0 C 我们规定： C 1. n m !( n m )!
m n
类型1：有关组合数的计算与证明 【例】计算：⑴ C
组合数的两个性质
性质1：C ＝C
0 n
m n
n m n
n n
规定：C 1, C 1
性质2：C C
m n
m 1 n
C
m n 1
注:1.公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上 标较大的相同的一个组合数． 2.此性质的作用：恒等变形，简化运算．
【例】计算：
(1)
C
3 99
C 99;
2
=C
(2)
3 100
100 99 98 161700 3 21
3 2
2C
3 8
C9 C8 .
2 8 3 9 3 8 3 9 3 9 3 8 3 8
C C C C C C C C 56
3 8
求证:
（ 2） C
m n
n! m !( n m )!
3.组合数性质:
C ＝C
m n
n m n
C C
m n
m 1 n
C
m n 1
2018年5月31日 1次
必做题:《教材》 P27 A组 第2、9、10、11、13题
选做题:《教材》 P28 A组 第12、14题 【预习】课本P21-P23《组合》
别是:
ab , ac , bc
(3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组 合.
a
b c d
b
c d
c
d
(6个)
ab , ac , ad , wenku.baidu.comc , bd , cd
3.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。 c a b
b c c
d d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
n－1！ ＝ n· m－1！n－m！
m－1 ＝nCn－1 .
m 1 m 1 求证:C n C n . nm n ！ m 证明: , Cn m （ ! n m）! m 1 m 1 m 1 n! Cn nm n m ( m 1)!( n m 1)!
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
排列与组合的概念有什 么共同点与不同点？
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个
元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
一个组合．
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
m
m 1 n! ( m 1)! ( n m )( n m 1)!
n! m Cn. m !( n m ) !
三、《教材》 P25 练习1-6.
2018年5月31日星期四
类型2：简单的排列问题 【例】一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前 没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足
4 7
4 7
⑵ C
7 10
⑶ C
3 10
7 6 5 4 n m m 解：(1)C 35 猜想：Cn ＝C ?n 4 3 21 10 9 8 7 6 5 4 7 (2)C10 120 7 6 5 4 3 21 10 9 8 3 (3)C10 120 3 21
（3）从口袋内取出3个球，没有黑球，共有多少种不
同的取法？
m n
C 35
3 7 m 1 n
猜想：C C
C
m n 1
证明：C C 证明: C C
m n
m n m 1 n
m 1 n
=C
m n 1
n! n! m !( n m )! ( m 1)![n ( m 1)]! n !( n m 1) n ! m ( n m 1 m )n ! m !( n m 1)! m !( n 1 m )! ( n 1)! m C n1. m ![( n 1) m ]!
m 1 m m 1
m 1
m
m 1
m 1 n
m 1
m
m 1
证明： 1 C n C n1 C n1
Cn Cn C n 1.
m m 1 m
求证:
(1) (2)
C C
m n 1
C n C n1 C n1 ; C n 2C n C n 2 .
球队的上场队员是11人，问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场
方案？
11 C17 12 376
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门 员，那么教练员有多少种方式做这件事？
11 1 C17 C11 136 136
（1）平面内有10个不同的点，以其中每两个点 为端点的线段共有多少条？
组合
abc abc acb
排列
bac bca cab cba
abd
acd
abd adb
bad bda
dab dba
acd cad dac adc cda dca 你发现了什么 ? bcd bdc cbd cdb dbc dcb
bcd
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
求A 可分两步考虑： 3 求 P4 可分两步考虑： 3 第一步， C 4 （ 4）个；
C 45
2 10
（2）平面内有10个不同的点，以其中每两个点为
端点的有向线段共有多少条？ A2 90 10
【例题】.一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑球．
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C 56
3 8
（2）从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，共有
多少种取法？
C 21
2 7
(1) (2)
C C
m n 1
C n C n1 C n1 ; C n 2C n C n 2 .
m 1 m m 1
m 1
m
m 1
m 1 n
求证:
(1) (2)
C C
m n 1
C n C n1 C n1 ; C n 2C n C n 2 .
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多 (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有 多少种不同的方法?
排列问题
排列是选择后再排序的结果.
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分