湖北省荆州中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

合集下载

湖北省荆州中学高一数学上学期期中试题理新人教A版

期中试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U ={0，1，2，3，4}，M ={0，1，2}，N ={2，3}，则（U C M ）∩N =（）A ．{}4,3,2B ．{}2C ．{}3D ．{}4,3,2,1,0 2．已知函数()y f x =，则该函数与直线x a =的交点个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．至多一个3．实数,,a b c 是图象连续不断的函数()y f x =定义域中的三个数，且满足,()()0,()()0a b c f a f b f c f b <<<<，则()y f x =在区间(,)a c 的零点个数为（） A ．2 B ．奇数 C ．偶数 D ．至少是24．()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递减，若(2)(4)0f a f a -+-<，则a 的取值范围是（）A ．1a <B ．3a <C ．1a >D ． 3a > 5．下列函数图象关于原点对称的有（）①()f x =2()log (f x x =；③1(),(1,0)(0,1]f x x x=∈- ④()lg f x x x =-. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ． ②④6．集合2{|log ,1}A y y x x ==>，1{|(),1}2x B y y x ==>，则()R C A B =（）.A ．1{|0}2y y <<B ．{|01}y y <<C ．1{|1}2y y << D ．∅7．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为2121L x x=-+和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（）A ．120.25万元B ．120万元 C. 90.25万元 D ．132万元 8．下列说法正确的个数是（） ①空集是任何集合的真子集；②函数1()3x f x +=是指数函数；③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个；④若AB B =，则A B A =A.0个B.1个C. 2个D. 3个9．已知函数()f x 的定义域为{},1x x R x ∈≠，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（）A ．5[,)4+∞B ．7[,)4+∞C ．5(1,]4D ．7(1,]410．定义域为R 的函数1,33()2,3x x f x x ⎧-≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x b -+=有3个不同实数解123,,x x x ，且123x x x <<，则下列说法错误的是（） A ．521b a +-= B ．0b <C ．1233x x x -+=D ．2221239x x x ++=二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知2510xy==，则11x y+= ____________________． 12．已知A 是有限集合，x A ∉，{}B A x =，若,A B 的子集个数分别为,a b ，且b ka =，则k = _____．13．已知1()02xa x x ⎧⎫∈-=⎨⎬⎩⎭，则2(23)()xx f x a --=的增区间为 _______________．14．已知函数22log (1)(0)()2(0)x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是_______________．15．若函数()y f x =是函数(01)xy a a =<≠的反函数，其图象过点)a ，且函数(3)my f x x=-+-在区间(2,)+∞上是增函数，则正数m 的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题12分）（1）计算：2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（2）已知11223x x-+=，求22123x x x x --+-+-的值.17．（本题12分）已知集合{}41(21)(216)0x x A ++=--≤与{}131B x m x m =+≤≤-分别是函数()f x 的定义域与值域.（1）求集合A ；（2）当A B B =时，求实数m 的取值范围．18．（本题12分）湖北省第十四届运动会纪念章委托某专营店销售，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元，x 为整数.(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x (元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域．．．)； (2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出最大值．19．（本题12分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （1）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（2）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意实数12,[1,3]x x ∈，有12()()f x f x t -≤成立，求t 的最小值.20．（本题13分）若非零函数()f x 对任意实数,x y 均有()()()f x f y f x y ⋅=+，且当0x <时() 1.f x >（1）求证：()0f x >；（2）求证：()f x 为R 上的减函数；（3）当1(4)16f =时，对[1,1]a ∈-时恒有21(22)4f x ax -+≤，求实数x 的取值范围.21．（本题14分）已知函数1()a x f x x-=（1）写出函数()f x 的单调区间；（2）若()2f x x <在(1,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数()y f x =在[,]m n 上值域是[,]()m n m n ≠，求实数a 的取值范围．荆州中学2013～2014学年度上学期期中试卷年级：高一科目：数学（理科）命题人：徐法章审题人：田园参考答案三、解答题： 16.解：（1）原式＝222log 2320322[()]log101)3----++1921344=--+=- ………………6分（2）112122()29x xx x --+=++=得17x x -+=1222()249x x x x --+=++=得2247x x -+=原式＝47245734-=- ………………12分 17. 解：（1）由41(21)(216)0x x ++--≤可化为112168x +≤≤则314x -≤+≤得43x -≤≤故集合{}43A x x =-≤≤ ………………6分（2）集合B 为函数的值域B φ∴≠A B B B A =∴⊆ ………………8分13141413313m m m m m +≤-⎧⎪∴+≥-≤≤⎨⎪-≤⎩得故实数m 的取值范围为4[1,]3………………12分18. (1)依题意⎩⎨⎧∈<<---∈≤<--+=++N x x x x N x x x x y ,4020),7)](20(1002000[,207),7)](20(4002000[∴⎪⎩⎪⎨⎧∈<<---∈≤<---=++N x x x N x x x y ,4020],41089)247[(100,207],81)16[(40022，定义域为{}407<<∈+x N x ………………6分(2) ∵⎪⎩⎪⎨⎧∈<<---∈≤<---=++N x x x N x x x y ,4020],41089)247[(100,207],81)16[(40022， ∴ 当720x <≤时，则16x =，max 32400y =(元)当2040x <<时，则23x =或24，max 27200y =(元)综上：当16x =时，该特许专营店获得的利润最大为32400元. ………………12分 19.解：（1）(4)413nf =-=即44,1nn =∴= 4()f x x x∴=-函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞关于原点对称4()()f x x f x x-=-+=- ()f x ∴是奇函数 ………………4分（2）任取120x x <<则212121212112444()()()f x f x x x x x x x x x x x -=--+=-+-⋅ 120x x << 21120,0x x x x ∴->⋅> 21()()f x f x ∴>()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递增 ………………8分（3）依题意只需 12max ()()t f x f x ≥-又12max min max 14()()()()3f x f x f x f x -=-=143t ∴≥min 143t ∴= ………………12分20. （1）证法一：(0)()()f f x f x ⋅=即()[(0)1]0f x f -=又()0f x ≠(0)1f ∴=当0x <时，()1,f x > 0x ->()()(0)1f x f x f ⋅-== 则1()(0,1)()f x f x -=∈ 故对于x R ∈恒有()0f x > ………………4分证法二：2()()[()]0222x x x f x f f =+=≥ ()f x 为非零函数 ()0f x ∴>（2）令12x x >且12,x x R ∈有1212()()()f x f x x f x ⋅-=，又210x x -< 即21()1f x x -> 故2211()()1()f x f x x f x =-> 又()0f x > 21()()f x f x ∴> 故()f x 为R 上的减函数 ………………8分（3）21(4)(22)(2)16f f f ==+=⇒故1(2)4f =， ………………10分则原不等式可变形为2(22)(2)f x ax f -+≤ 依题意有 220x ax -≥对[1,1]a ∈-恒成立2220220x x x x x ⎧-≥∴⇒≥⎨+≥⎩或2x ≤-或0x = 故实数x 的取值范围为{}(,2]0[2,)-∞-+∞ ………………13分21.解：（1）增区间(0,)+∞, 减区间(,0)-∞ ………………2分（2）()2f x x <在(1,)+∞上恒成立即12x a x+>在(1,)+∞上恒成立易证，函数1()2g x x x=+在(0,2上递减，在)2+∞上递增故当x ∈(1,)+∞上有()(3,)g x ∈+∞3a ∴≤故a 的取值范围为(,3]-∞ ………………5分（3）[,](,0)m n ⊆-∞或[,](0,)m n ⊆+∞①当0m n <<时，()f x 在(0,)+∞上递增，(),()f m m f n n ∴==即11a m m a nn ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即方程1a x x -=有两个不等正实数根方程化为：210x ax -+=故2400a a ⎧∆=->⎨>⎩得2a > ………………10分②当0m n <<时()f x 在(0,)+∞上递减 (),()f m n f n m ∴== 即1(1)1(2)a n m a m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（1）－（2）得1()(1)0n m mn --=又n m ≠，1mn ∴= 0a ∴= ………………13分综合①②得实数a 的取值范围为{}(2,)0+∞ ………………14分。

湖北省荆州中学高一上学期期中考试(数学文).doc

湖北省荆州中学高一上学期期中考试（数学文）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列表示图形中的阴影部分的是（） A ．()()A C B CB ．()()A B AC C ．()()A B B CD ．()A B C2．下列函数中，奇函数的个数是（）①11x x a y a +=- ②2lg(1)33x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=-A ．1B ．2C ．3D ．43．设f(x)是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又f(-3)=0，则()0x f x ⋅<的解集是（）A ．(3,0)(3,)-+∞B ．∞（-，-3）（0，3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3，0）（0，3） 4．对于10<<a ，给出下列四个不等式①)11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+③aaaa111++< ④aaaa111++>其中成立的是（）A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④ 5．下列四个说法：(1)函数f(x)>0在x>0时是增函数，x<0也是增函数，所以f(x)是增函数；(2)若函数2bx ++2f(x)=ax 与x 轴没有交点，则280b a -<且a>0；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) y=1+x和y =表示相等函数。

其中说法正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6．若1x 是方程lgx+x=3的解，2103x x x +=是的解，则12x x +的值为（）A ．32B ．23C ．3D ．137．在222,log ,x y y x y x ===这三个函数中，当1201x x <<<时，使1212()()22x x f x x f ++>恒成立的函数的个数是（）ABCA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（）A ．14400亩B ．172800亩C ．17280亩D ．20736亩 9.已知函数()ln 26f x x x =+-有一个零点在开区间（2，3）内，用二分法求零点时，要使精确度达到0.001，则至少需要操作（一次操作是指取中点并判断中点对应的函数值的符号）的次数为( ).A ．8B ．9C ．10D ．11 10.函数14)(2++=x ax x f 在区间]4,1[上的最小值为)(a g ，则（）A.15,00)25,(0)()411,(2)21617,(2)a a a a g a a a a a ⎧+>-≤<⎪⎪=⎪=⎨⎪--≤<-⎪⎪+≤-⎩（或 B.15,(00)241()1,(2)21617,(2)a a a g a a a a a ⎧+>-≤<⎪⎪⎪=--≤<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩或C.5,(02)41()1,(2)211617,(0)2a a a g a a a a a ⎧⎪+≥≤-⎪⎪=--≤<-⎨⎪⎪+-≤<⎪⎩或 D.45,()5()41617,()5a a g a a a ⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪+<-⎪⎩二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .12．求值：22log 3321272log 8-⨯+=__________.13．用列举法表示集合：10|,1m Z m Z m ⎧⎫∈∈=⎨⎬+⎩⎭. 14. 函数f(x)对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程()0f x =有三个实根，则这三个实根的和为 .15．函数2y x =与函数ln y x x =在区间(0,)+∞上增长较快的一个是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题12分）设全集U R =，两个集合分别为{}2|10M m mx x =--=方程有实根，{}2U |0N n x x n =--=方程有实根，求（M ）N.ð17．（本题12分）已知函数211()log 1xf x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性.18. （本题12分）光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a ,通过x 块玻璃后强度为y . （1）写出y 关于x 的函数关系式;（2）通过约多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的三分之一? ( lg30.4771)=19．（本题12分）已知2562≤x 且21log 2x ≥，求函数2()log 2x f x =⋅的最大值和最小值．（本题13分）有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133]。

2020-2021学年湖北荆州高一上数学期中试卷

2020-2021学年湖北荆州高一上数学期中试卷一、选择题1. 已知集合A={x|x−5x−2≤0,x∈N}，则集合A的非空真子集个数为( )A.7B.6C.4D.52. 命题“∃x∈R，使得1<y≤2“的否定形式是( )A.∀x∈R，有1<y≤2B.∃x∉R，使得1<y≤2C.∃x∈R，使得y≤1或y>2D.∀x∈R，有y≤1或y>23. 已知f(√x+1)=x+2√x，则f(x)的解析式为( )A.f(x)=x2−4x−1(x≥1)B.f(x)=x2−4x−1C.f(x)=x2−1D.f(x)=x2−1(x≥1)4. 函数f(x)=x+1x−1在区间[2,6]上的最大值为( )A.5 3B.2C.3D.755. 已知幂函数f(x)=(n2−n−1)x n2+3n 是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，则n的值为( )A.−1或2B.2C.−2D.−16. 函数y=√3−x+2ln(x−1)的定义域为( )A.(−∞,1)∪[3,+∞）B.(1,2)∪(2,3)C.(1,2)∪(2,3]D.(1,3]7. 已知a=log20.1，b=20.1，c=0.21.1，则a，b，c的大小关系是( )A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a8. 已知集合A={x|ax2+2x+1=0}，若集合A为单元素集，则a的取值为( )A.−1或0或1B.0或1C.1D.−19. 若函数f(x)={ax(x>1)，(2−3a)x+1(x≤1)在R上是减函数，则实数a的取值范围( )A.(23,+∞) B.(23,34] C.(23,1) D.[34,1)10. 已知函数f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，在区间(−1,0]上单调递增，若实数a满足f(a−1)+f(a)<0，则实数a的取值范围是( )A.(0,12) B.[0,12) C.(−∞,12) D.(12,+∞)二、多选题已知log2a>log2b，则下列不等式一定成立的是( )A.2a>3bB.2a−b>1C.1a<1bD.log2(a−b)>0若函数f(x)是[−m,m](m>0)上的奇函数，且函数g(x)=3f(x)+1在[0,m]上的最大值为7，最小值为−2，则函数g(x)在区间[−m,0]上有( )A.最小值为−5B.最小值为−4C.最大值为4D.最大值为5三、填空题函数f(x)=2a x+2−1(a>0且a≠1)的图象所过定点为________.已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y≥m2−2m恒成立，则实数m的取值范围是________.若定义∀x1，x2，min{x1, x2}表示其两个数中的较小者，若f(x)=2−x2，g(x)=x，则min{f(x), g(x)}的最大值为________.已知函数g(x)={31−x(x≤0),log2x(x>0),若f(a)>3，则实数a的取值范围为________.四、解答题计算：(1)(94)12−(−2020)0+(827)−23+(1−13)−2−√(−4)2；(2)log535+log√5√10−1log145−2log√212+e ln2.若集合A={x|1<x≤4}，B={x|2a≤x<3−a} .(1)若a=−1，求A∪B；(2)命题p:x∈A，命题q:x∈B，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=x2+2(k−1)x+4.(1)若函数f(x)在区间[2,4]上是单调的，求实数k的取值范围；(2)若f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围．已知生产某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．其中生产成本C（万元）与生产量x（百件）间的函数关系是C=x+3，销售收入S（万元）与生产量x（百件）间的函数关系是S={3x+18x−8+5(0<x≤6)，14(x>6).(1)将商品的利润y表示为生产量x的函数；(2)为使利润最大化，应如何确定生产量.已知函数f(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性并予以证明；(3)若a>1，解关于x的不等式f(x)>0.已知函数f(x)=2a x+a−42a x+a(a>0且a≠1）是定义在R上的奇函数.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈(0,1]时，m⋅f(x)≥2x−2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北荆州高一上数学期中试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】分式不体式目解法子明与织填集速个数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】全称命因与特末命题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】函数于析式偏速站及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数因值的十用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】指数来数与慢数太数的截系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】集合中都连的个数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用已知都数环单梯遗求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】函数单验家的性质函数奇明性研性质其他不三式的解州【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】指数体数白单调员与说殊点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义函数来定义雨题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】根式与使数指数如色见化及其化简运算对数都北算性质对数根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱集合体系拉的参污取油问题根据较盛必食例件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】已知都数环单梯遗求参数问题函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数函表的透义域函数奇三性的判刺对数函数表础象与性质其他不三式的解州【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数的较域及盛求法不等式都特立问题函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期中数学试题解析

绝密★启用前2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U ＝{}4x x ≤，A ＝{}{}23,32x x B x x -<<=-≤≤，则UU ()()A B ⋃＝（）A ．(,2](2,)-∞-⋃+∞B ．(,2](2,4]-∞-⋃C ．(,2)[2,4]-∞-⋃D ．(3,4]-答案：B【分析】根据全集U 求出A 的补集，找出A 补集与B 补集的并集即可．解：解：全集{|4}U x x =，{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-，{|2U A x x ∴=-或34}x ，{|3UB x x =<-或24}x <()()(,2](2,4]U U A B ∴=-∞-⋃．故选：B ．2．下列从集合A 到集合B 的对应中，是函数的是（） A ．{}{}0,3,0,1,:2A B f x y x==→=B．{}{}2,0,2,4,:A B f x y x =-=→=C ．{}21,0,,:A R B y y f x y x==>→= D ．,A R B R ==，:21f x y x →=+ 答案：D【分析】根据映射的定义，逐一判断四个答案中的对应，是否满足映射的定义，可得答案．解：解：A 中对应，当3x =时B 中无对应元素，故不是映射；B 中对应，A 中任一元素的绝对值在B 中均无对应元素，故不是映射；C 中对应，当0x =时，B 中无对应元素，故不是映射；D 中对应，任意x A R ∈=，都有唯一21y x B R =+∈=与之对应，故是映射；故选：D ．3．若2(1)g x x =-，221[()]1xf g x x-=+，则(0)f =（） A ．1 B ．0 C ．35D ．12答案：C【分析】令()0g x =，求出x ，代入[()]f g x ，即可求出结果. 解：令()120g x x =-=，则12x =，所以22131324(0)551142f ⎛⎫- ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：C.4．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则函数(13)f x -的定义域是（） A ．21(,)33- B ．11(,)63-C ．(0,3)D ．7(,1)2-答案：A【分析】先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域.解：函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则302x <<，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133x -<<函数(13)f x -的定义域为21(,)33-故选:A点评：对于抽象函数定义域的求解方法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数()()f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．5．函数2()2f x x x =--在[],a b 上的值域是[]3,1-，若1b =，则+a b 的取值集合为（） A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．[]2,1-答案：B【分析】因为函数()f x 在1x =-处取得最大值1，并且方程223x x --=-的根是3-或1，又1b =，则31a --，从而求得+a b 的取值集合．解：解：22()2(1)1f x x x x =--=-++，1x ∴=-时，()f x 取到最大值1，方程223x x --=-的根是3x =-或1．若1b =，则31a --，a b ∴+的取值集合围是：[2-，0]．故选：B ． 6．函数1()ax f x x a+=+在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,+∞ B ．[)2,-+∞ C ．()2,-+∞ D ．[)()2,11,--⋃+∞答案：D【分析】根据分离常数法，得到21()a f x a x a-=++，结合函数的单调性求出a 的取值范围即可．解：解：21()a f x a x a-=++，函数1y x a=+在(2,)+∞递减，而()f x 在(2,)+∞递增，故210a -<，解得：1a >或1a <-，但20a +，故2a -，故a 的取值范围是[2-，1)(1-⋃，)+∞，故选：D ．7．已知(1)y f x =+为偶函数，且()y f x =在[)1,+∞上单调递增，则不等式4(2)3f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：A【分析】根据函数奇偶性，以及给定区间的单调性，得到()y f x =在(],1-∞上单调递减，将原不等式化为42113x -<-，求解即可得出结果. 解：因为(1)y f x =+为偶函数，所以(1)y f x =+关于y 轴对称，因此()y f x =关于直线1x =对称，又()y f x =在[)1,+∞上单调递增，所以()y f x =在(],1-∞上单调递减，因此由4(2)3f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭可得42113x -<-，即1213x -<，所以112133x -<-<，则1233x <<，即不等式4(2)3f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为12,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：A.8．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（） A ．(0,4) B ．(4,0)-C ．(4,4)-D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞答案：D【分析】画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得解：数形结合法：画出函数()22,(),()x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得由图可得：204a a <<解得4a >或204a a >>-解得4a故选：D点评：数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断. 二、多选题 9．若110a b<<，则下列不等式中，正确的有（） A ．a b ab +< B ．a b > C ．a b < D ．2b aa b+≥ 答案：AD【分析】利用不等式的基本性质即可得出．解：110a b<<， 0b a ∴<<，C 错误；2b aa b +>,所以2b a a b+≥，D 正确，而0,ab a b a b >>+<，所以B 错误，A 正确，故选：AD点评：本题主要考查了不等关系的命题判定，考查了不等式的性质，属于中档题. 10．下列说法正确的有（）A ．函数1()f x x=在其定义域内是减函数 B ．命题“2,10x R x x ∃∈++>”的否定是“2,10x R x x ∀∈++≤” C ．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件 D ．若()y f x =为奇函数，则()y xf x =为偶函数答案：BD【分析】直接结合函数的定义域，利用函数的单调性和奇偶性判定AD 的正误，利用命题的否定判断B 的正误，利用充分条件和必要条件的定义判断C 的正误. 解：选项A 中，函数1()f x x=定义域是()()00-∞∞，，+，如图所示，函数在定义域内不是连续的，在()0-∞，上是减函数，在()0+∞，上是减函数，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B 中，根据含有一个量词的命题的否定可知，命题“2,10x R x x ∃∈++>”的否定是是“2,10x R x x ∀∈++≤”，故正确；选项C 中，“两个三角形全等”，可推出“两个三角形相似”，反过来，“两个三角形相似”推不出“两个三角形全等”，故“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的充分不必要条件，故错误；选项D 中，若()y f x =为奇函数，则满足()()f x f x -=-，故函数()()y g x xf x ==中，[]()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==，故()()y g x xf x ==是偶函数，故正确. 故选：BD.11．已知幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，则下列说法正确的有（） A ．函数是偶函数 B ．函数是增函数 C ．当1x >时，()1f x >D．当120x x <<时，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭答案：BCD【分析】根据幂函数过点(16,4)，求出函数解析式，再结合幂函数的性质，逐项判断，即可得出结果.解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，所以164α=，则12α=，所以12()f x x ==，其定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A 错；又102>，所以12()f x x =是增函数，故B 正确；因此当1x >时，()(1)1f x f >=，故C 正确；当120x x <<时，因为12()()2f x f x +=，122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭，则22121212()()222f x f x x x x x f +⎡+⎤+⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦20=-<⎝⎭，所以1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：BCD.12．若函数y =[)0,+∞，则a 的可能取值为（） A ．0 B ．2C ．4D ．6答案：ABC【分析】根据题中条件，先讨论0a =，确定值域，判定是否满足题意；再讨论0a ≠，根据函数值域列出不等式求解，即可得出结果.解：当0a =时，0y =≥，即值域为[)0,+∞，满足题意；当0a ≠时，设2()41f x ax x =++，为使函数y =[)0,+∞，只需2()41f x ax x =++取尽大于等于零的全体实数，即只需函数2()41f x ax x =++与x 轴有交点即可，因此20440a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得04a <≤，综上，04a ≤≤，因此ABC 都有可能取到，D 不能取到，故选：ABC. 三、填空题13．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，2()1f x x x =++；那么()y f x =在0x <上的解析式为___________答案：2()1f x x x =-+-【分析】根据题意，若0x <，则0x ->，求出()f x -的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案．解：解：根据题意，若0x <，则0x ->，则22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+，又由()f x 为奇函数，则2()()1f x f x x x =--=-+-，故2()1f x x x =-+-，故答案为：2()1f x x x =-+-． 14．已知1()1x f x x +=-，则135199()()()()100100100100f f f f ++++=______________答案：100【分析】分析得出(2)()2f x f x -+=得解. 解：1()1x f x x +=-211211(2)()2f x f x x x x x -+∴-+=++=--- ∴135199()()()()100100100100f f f f ++++ 1199319799101[()()][()()][()()]100100100100100100f f f f f f =+++++250100=⨯=故答案为：100．点评：由函数解析式得到(2)()2f x f x -+=是定值是解题关键.15．已知函数()f x x x =，若(21)(4),f a f a +≥-则a 的取值范围是_______ 答案：[)1,+∞【分析】根据函数解析式，先判断函数单调性，利用单调性，即可求出结果.解：因为22,0(),0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，当0x ≥时，2()f x x =显然单调递增，且()(0)0f x f ≥=；当0x <时，2()f x x =-显然也单调递增，且()(0)0f x f <=，所以()f x x x =在R 上单调递增；由(21)(4)f a f a +≥-可得214a a +≥-，解得1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞. 四、双空题16．已知正数,x y 满足2x y xy a +=+，当0a =时，x y +的最小值为_______；当2a =-时，x y +的最小值为_______答案：3+7【分析】当0a =时，则211y x+=，则212()()3x yx y x y y x y x +=++=++，利用基本不等式即可求出；当2a =-时，2(1)1x y x +=-，则可得4131x y x x +=-++-，利用基本不等式即可求出．解：解：当0a =时，2x y xy +=，则211y x+=， 2122()()332322x y x yx y x yy x y x y x∴+=++=+++=+，当且仅当1x =+，2y =+故x y +的最小值为3+当2a =-时，22x y xy +=-，当1x =时，等式不成立，当1x ≠则2(1)01x y x +=>-，则1x >， 2(1)44421323437111(1)x x y x x x x x x x ++=+=++=-++=+=----，当且仅当3x =时取等号，x y ∴+的最小值为7，故答案为：3+，7．点评：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．五、解答题17．记函数()f x =A ，函数()g x =(1)a <的定义域为B. （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围. 答案：(]1,2,12⎡⎫-∞-⋃⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求函数的定义域，就是求使得根式有意义的自变量x 的取值范围，然后求解分式不等式即可；（2）因为1a <，所以一定有21a a <+，从而得到()2,1B a a =+，要保证B A ⊆，由它们的端点值的大小列式进行计算，即可求得结果. 解：（1）要使函数()f x 有意义，则需3201x x +-≥+，即101x x -≥+，解得1x <-或1≥x ，所以()[),11,A =-∞-+∞；（2）由题意可知，因为1a <，所以21a a <+，由()()120x a a x --->，可求得集合()2,1B a a =+，若B A ⊆，则有111a a <⎧⎨+≤-⎩或121a a <⎧⎨≥⎩，解得2a ≤-或112x ≤<，所以实数a 的取值范围是(]1,2,12⎡⎫-∞-⋃⎪⎢⎣⎭.点评：该题考查的是有关函数的定义域的求解，以及根据集合之间的包含关系确定参数的取值范围的问题，属于简单题目. 18．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12()25f =（1）求()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间(1,1)-上是增函数；（3）解关于t 的不等式()()10f t f t -+>. 答案：(1)2()1x f x x =+;(2)证明见解析；（3）1[0,)2 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合12()25f =列方程组，解方程组求得,a b 的值，也即求得函数()f x 的解析式.（2）任取1211x x -<<<，通过计算12())0(f x f x -<，证得函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）利用奇函数的性质化简不等式(1)()0f t f t -+<，在根据函数()f x 的定义域和单调性列不等式，解不等式求得t 的取值范围.解：解：（1）依题意得(0)012()25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，即20101221514ba b ⎧=⎪+⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎪⎩，得10a b =⎧⎨=⎩，2()1x f x x ∴=+；（2）证明：任取1211x x -<<<，则12()()f x f x -12221211x xx x =-++()()()()12122212111x x x x x x --=++，1211x x -<<<，∴120x x -<，2110x +>，2210x +>又1211x x -<<，1210x x ∴->，12()()0f x f x ∴-<，()f x ∴在(1,1)-上是增函数；（3）(1)()()f tf t f t ，()f x 在(1,1)-上是增函数，111t t ∴-≤-<-≤，解得：102t ≤<．所以不等式解集为1[0,)2点评：利用奇偶性解题的类型及方法(1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足()()f x f x -=-或偶函数满足()()f x f x -=列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据()00f =列式求解，若不能确定则不可用此法．19．在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2v ;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;(2)试确定下潜速度v ,使总的用氧量最少. 答案：（1）12230(0)y v v v =++>；（2）5v =. 试题分析：（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得v =总的用氧量最少. 试题解析：(1)2303012·50.4?0.2230(0)2y v v v v v v =+⨯+=++>(2)1223022y v v =++≥+=+当且仅当1230v v =即5v =时取等号答：当下潜速度为v =点睛：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想；常用到的四种函数模型：①直线模型：一次函数模型0y kx b k =+≠（）；②反比例函数模型：k y x=型；③指数函数模型：xy a b c =⋅+；④对数函数模型，即a y mlog n x =+型.20．已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()f x y f y +-=(21)x x y ++成立，且(1)0f =.（1）求(0)f 的值，及()f x 的解析式；（2）当21x -≤≤时，不等式()(1)5f x a a x -≥--恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）()02f =-；()22f x x x =+-；（2）2a ≤.【分析】（1）通过对抽象函数赋值，令1,1x y =-=进行求解，即得(0)f ；令0y =可消去y ，再结合()0f 的值，即求得解析式；（2）先讨论1x =时不等式恒成立，21x 时，再通过分离参数法求得a 的取值范围即可.解：解：（1）令1,1x y =-=，可得()()()01121f f -=--++，又由()10f =，解得()02f =-；令0y =，得()()()01f x f x x -=+，又因()02f =-，解得()22f x x x =+-；（2）当21x -≤≤时，不等式()(1)5f x a a x -≥--恒成立，即()213x a x -≤+，若1x =时不等式即04≤，显然成立；若21x时，10x ->，故231x a x +≤-恒成立，只需2min31x a x ⎛⎫+≤ ⎪-⎝⎭，设()()()22121434()12111x x x g x x x x x---++===-+----，设(]1,0,3t x t =-∈ 则4()2g t t t=+-是对勾函数，在()0,2递减，在()2,3递增，故2t =时，即1x =-时min ()2g x =，故2a ≤，综上，a 的取值范围为2a ≤. 点评：方法点睛：1.抽象函数通常利用赋值法求函数值或者求解析式；2.二次函数含参恒成立的问题，一般是通过分离参数进行求解，当然也可以根据判别式法进行求解，视具体情况而定.21．已知函数1,01,()1, 1.xx xf x x x x -⎧<<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，画出函数()f x 图象，并指出函数()f x 在区间(0,1)及[)1,+∞上的单调性；（2）当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；（3）若对所有的[][]1,2,1,1x a ∈∈-，都有21()22f x m am ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围.答案：（1）图象见解析，()f x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增；（2）2；（3）(]{}[),202,-∞-+∞【分析】（1）111,01,()111, 1.x x x xf x x x xx -⎧=-<<⎪⎪=⎨-⎪=-≥⎪⎩，进而根据函数1y x =与1y x =-的图象平移得到；由图象可得到函数的单调区间；（2）由题知01a b <<<，进而根据题意得1111a b-=-，即112a b +=；（3）由题得[]2max 1()22f x m am ≤-+，[][]1,2,1,1x a ∈∈-，进而得对所有的[]1,1a ∈-，都有202m am ≤-恒成立，令()22g a ma m =-+，所以()()22120120g m m g m m ⎧=-+≥⎪⎨-=+≥⎪⎩，可解得实数m 的取值范围. 解：（1）111,01,()111, 1.x x x xf x x x xx -⎧=-<<⎪⎪=⎨-⎪=-≥⎪⎩，所以结合函数1y x =与1y x=-的图象得，当()0,1x ∈时，11yx=-是函数1y x =在()0,1x ∈上的图象向下平移一个单位得到；当[)1,x ∈+∞时，11y x =-是函数1y x=-在[)1,x ∈+∞上的图象向上平移一个单位得到；所以函数图象如图：由函数图象可知函数()f x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增；（2）因为0a b <<，且()()f a f b =，所以01a b <<<，所以1111a b-=-，整理得：112a b +=.故112a b+=. （3）因为对所有的[][]1,2,1,1x a ∈∈-，都有21()22f x m am ≤-+恒成立，所以[]2max 1()22f x m am ≤-+，[][]1,2,1,1x a ∈∈-，由于[]1,2x ∈时，()f x 是增函数，故[]()max 1()22f x f ==，故对所有的[]1,1a ∈-，都有211222m am ≤-+恒成立，所以对所有的[]1,1a ∈-，都有202m am ≤-恒成立，令()22g a ma m =-+，所以()()22120120g m m g m m ⎧=-+≥⎪⎨-=+≥⎪⎩，解得0220m m m m ≤≥⎧⎨≤-≥⎩或或，所以实数m 的取值范围为：(]{}[),202,-∞-+∞.点评：本题第三问解题的关键是将问题转化为[]2max 1()22f x m am ≤-+，[][]1,2,1,1x a ∈∈-，计算整理可得对所有的[]1,1a ∈-，都有202m am ≤-恒成立，进而将其看成关于a 的一次函数列不等式组求解.22．对于定义域为D 的函数()f x ，若同时满足下列条件：①()f x 在D 内有单调性；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在区间[],a b 上的值域也为[],a b ，则称()f x 为D 上的精彩函数，[],a b 为函数()f x 的精彩区间．（1）求精彩区间3y x =符合条件的精彩区间；（2）判断函数()()40f x x x x=+>是否为精彩函数？并说明理由．（3）若函数()g x m =是精彩函数，求实数m 的取值范围．答案：(1)[]1,0-,[]1,1-,[]0,1;(2)不是精彩函数,证明见解析;(3)]17,44m ⎛∈-- ⎝. 【分析】(1)由精彩函数的定义,建立等量关系,即可求得3y x =符合条件的精彩区间; (2)判断函数()()40f x x x x=+>是否满足精彩函数的条件即可. (3)由函数()g x m =在定义域上单调递增,然后由()==g x m x 有两个不等的实数解,转化为利用根的判别式求解m 的取值范围.解：(1)由函数3y x =在定义域上为增函数,则由题意可得33a a b b a b ⎧=⎪=⎨⎪<⎩,解得110,,011a a ab b b =-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩,所以函数3y x =符合条件的精彩区间有:[]1,0-,[]1,1-,[]0,1. (2)不是精彩函数,证明如下:由函数()()40f x x x x =+>在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,可得函数()4f x x x =+在定义域(0,+∞)上不单调,即不满足精彩函数的第一个条件,所以函数()()40f x x x x=+>不是精彩函数.(3)由函数()g x m =定义域为[)4,-+∞,且易知函数在定义域上为单调递增函数,因函数()g x m =是精彩函数,则需()==g x m x 有两个不等的实数解,即方程()222140x m x m -++-=有两个不等的实数根设为21x x >,且214x x >≥-,21x x m >≥,1x =则令()()22214h x x m x m =-++-,由题意得:()()()2221440214240m m m m h ⎧=+-->⎪⎪+>-⎪≥⎪⎪-≥⎩, 联立解得]17,44m ⎛∈-- ⎝点评：本题考查了函数与方程的综合应用,考查了函数基本性质的运用,考查了在给定区间上利用根的判别式判断方程解的问题,属于中档题.。

2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（∁U A）⋃（∁U B）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4]D．（﹣3，4]2．（5分）下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是（）A．A＝{0，3}，B＝{0，1}，f：x→y＝2xB．A＝{﹣2，0，2}，B＝{4}，f：x→y＝|x|C．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝D．A＝R，B＝R，f：x→y＝2x+13．（5分）若，则f（0）＝（）A．1B．0C．D．4．（5分）已知函数f（2x）的定义域为，则函数f（1﹣3x）的定义域是（）A．B．C．（0，3）D．5．（5分）函数f（x）＝﹣x2﹣2x在[a，b]上的值域是[﹣3，1]，若b＝1，则a+b的取值集合为（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣4，0]D．[﹣2，1]6．（5分）函数在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）7．（5分）已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（）B．[）C．（）D．[）8．（5分）若关于x的方程x|x﹣a|＝a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为（）A．（0，4）B．（﹣4，0）C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）D．（﹣4，0）∪（0，4）二、多选题（共4小题）9．（5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）A．a+b＜ab B．|a|＞|b|C．a＜b D．+＞2 10．（5分）下列说法正确的有（）A．函数在其定义域内是减函数B．命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0”C．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件D．若y＝f（x）为奇函数，则y＝xf（x）为偶函数11．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．当x＞1时，f（x）＞1D．当0＜x1＜x2时，12．（5分）若函数的值域为[0，+∞），则a的可能取值为（）A．0B．2C．4D．6二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+x+1；那么y＝f（x）在x＜0上的解析式为．14．（5分）已知，则＝．15．（5分）已知函数f（x）＝x|x|，若f（2a+1）≥f（4﹣a），则a的取值范围是．16．（5分）已知正数x，y满足2x+y＝xy+a，当a＝0时，x+y的最小值为；当a ＝﹣2时，x+y的最小值为．三、解答题（70分）17．（10分）记函数f（x）＝的定义域为A，g（x）＝（a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＞0．19．（12分）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．（1）将y表示为v的函数；（2）试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．20．（12分）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；（2）当﹣2≤x≤1时，不等式f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5恒成立，求a的取值范围．21．（12分）已知函数（1）画出函数f（x）图象，并指出函数f（x）在区间（0，1）及[1，+∞）上的单调性；（2）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求的值；（3）若对所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．（Ⅰ）求“和谐”函数y＝x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否为“和谐”函数？并说明理由．（Ⅲ）若函数是“和谐”函数，求实数m的取值范围．参考答案一、单选题（每小题5分，40分）1．（5分）已知全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，则（∁U A）⋃（∁U B）＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪（2，4]C．（﹣∞，﹣2）∪[2，4]D．（﹣3，4]【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B补集的并集即可．解：∵全集U＝{x|x≤4}，A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x＜﹣3或2＜x≤4}∴（∁U A）⋃（∁U B）＝（﹣∞，﹣2]∪（2，4]．故选：B．2．（5分）下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是（）A．A＝{0，3}，B＝{0，1}，f：x→y＝2xB．A＝{﹣2，0，2}，B＝{4}，f：x→y＝|x|C．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝D．A＝R，B＝R，f：x→y＝2x+1【分析】根据映射的定义，逐一判断四个答案中的对应，是否满足映射的定义，可得答案．解：A中对应，当x＝3时B中无对应元素，故不是映射；B中对应，A中任一元素的绝对值在B中均无对应元素，故不是映射；C中对应，当x＝0时，B中无对应元素，故不是映射；D中对应，任意x∈A＝R，都有唯一y＝2x+1∈B＝R与之对应，故是映射；故选：D．3．（5分）若，则f（0）＝（）A．1B．0C．D．【分析】根据题意，由函数的解析式：在f[g（x）]＝f（1﹣2x）＝中，令x＝，计算可得答案．解：根据题意，若1﹣2x＝0，则x＝，在f[g（x）]＝f（1﹣2x）＝中，令x＝，可得f（0）＝＝，故选：C．4．（5分）已知函数f（2x）的定义域为，则函数f（1﹣3x）的定义域是（）A．B．C．（0，3）D．【分析】由0＜x＜，得出0＜2x＜3，从而0≤1﹣3x＜3，解出即可．解：∵0＜x＜，∴0＜2x＜3，∴0＜1﹣3x＜3，解得：﹣＜x＜，故选：A．5．（5分）函数f（x）＝﹣x2﹣2x在[a，b]上的值域是[﹣3，1]，若b＝1，则a+b的取值集合为（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣2，0]C．[﹣4，0]D．[﹣2，1]【分析】因为函数f（x）在x＝﹣1处取得最大值1，并且方程﹣x2﹣2x＝﹣3的根是﹣3或1，又b＝1，则﹣3≤a≤﹣1，从而求得a+b的取值集合．解：f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，∴x＝﹣1时，f（x）取到最大值1，方程﹣x2﹣2x＝﹣3的根是x＝﹣3或1．若b＝1，则﹣3≤a≤﹣1，∴a+b的取值集合围是：[﹣2，0]．故选：B．6．（5分）函数在（2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据分离常数法，得到f（x）＝a+，结合函数的单调性求出a的取值范围即可．解：f（x）＝a+，函数y＝在（2，+∞）递减，而f（x）在（2，+∞）递增，故1﹣a2＜0，解得：a＞1或a＜﹣1，但2+a≥0，（x＞2），故a≥﹣2，故a的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．7．（5分）已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（）B．[）C．（）D．[）【分析】根据y＝f（x+1）是偶函数，得到y＝f（x+1）的对称轴为y轴，进而确定出f （x）的对称轴，利用函数增减性求出所求不等式的解集即可．解：∵函数y＝f（x+1）是偶函数，∴y＝f（x+1）关于y轴对称，∵y＝f（x+1）向右平移1个单位得到y＝f（x），∴y＝f（x）关于直线x＝1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∵不等式，|2x﹣1|＜|﹣1|，即|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选：A．8．（5分）若关于x的方程x|x﹣a|＝a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为（）A．（0，4）B．（﹣4，0）C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）D．（﹣4，0）∪（0，4）【分析】因为本题是选择题，答案又都是范围，所以可采用特殊值代入法．取a＝2时排除答案A，D．a＝﹣2时排除答案B可得结论．【解答】解；因为本题是选择题，答案又都是范围，所以可采用特殊值代入法．取a＝2时，关于x的方程x|x﹣a|＝a转化为x|x﹣2|＝2，即为当x≥2时，就转化为x（x﹣2）＝2，⇒x＝1+或x＝1﹣（舍），有一根1+．当x＜2时，就转化为x（x﹣2）＝﹣2，⇒x不存在，无根．所以a＝2时有1个根不成立．排除答案A，D．同理可代入a＝﹣2解得方程的根有1个，不成立．排除答案B、故选：C．二、多选题（每小题5分，20分）9．（5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）A．a+b＜ab B．|a|＞|b|C．a＜b D．+＞2【分析】由＜＜0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误．解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故A正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故B错误．C显然错误．由于，，∴+＞2＝2，故D正确．故选：AD．10．（5分）下列说法正确的有（）A．函数在其定义域内是减函数B．命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0”C．两个三角形全等是两个三角形相似的必要条件D．若y＝f（x）为奇函数，则y＝xf（x）为偶函数【分析】直接利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定AD的结论，利用命题的否定判断B的结论，利用充分条件和必要条件判断C的结论．解：对于A：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以函数在（0，+∞）和（﹣∞，0）上都为单调递减函数，故A错误；对于B：命题“∃x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≤0”故B正确；对于C：两个三角形全等，则两个三角形必相似，但是两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等，则两个三角形全等是两个三角形相似的充分不必要条件，故C错误；对于D：若y＝f（x）为奇函数，且函数y＝x也为奇函数，则函数则y＝xf（x）为偶函数，故D正确．故选：BD．11．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．当x＞1时，f（x）＞1D．当0＜x1＜x2时，【分析】求出幂函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确．解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，解得α＝，所以f（x）＝＝；所以f（x）是非奇非偶的函数，是定义域[0，+∞）上的增函数；当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1；画出f（x）在[0，+∞）上的图象，如图所示：由图象知，当0＜x1＜x2时，；所以正确的选项是BCD．故选：BCD．12．（5分）若函数的值域为[0，+∞），则a的可能取值为（）A．0B．2C．4D．6【分析】分a＝0和a≠0两类，结合一次函数、二次函数和根式的性质，求解即可．解：当a＝0时，y＝≥0成立，符合题意；当a≠0时，设f（x）＝ax2+4x+1，要使原函数的值域为[0，+∞），则a＞0且△＝16﹣4a≥0，解得0＜a≤4，综上，a的取值范围为[0，4]，故选：ABC．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+x+1；那么y＝f（x）在x＜0上的解析式为f（x）＝﹣x2+x﹣1．【分析】根据题意，若x＜0，则﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案．解：根据题意，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）+1＝x2﹣x+1，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+x﹣1，故f（x）＝﹣x2+x﹣1，故答案为：f（x）＝﹣x2+x﹣1．14．（5分）已知，则＝100．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的表达式，分析可得f（x）+f（2﹣x）＝2，据此计算可得答案．解：根据题意，，则f（2﹣x）＝＝，则f（x）+f（2﹣x）＝+＝2，故＝f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）＝2×50＝100，故答案为：100．15．（5分）已知函数f（x）＝x|x|，若f（2a+1）≥f（4﹣a），则a的取值范围是[1，+∞）．【分析】画出函数f（x）的图象，结合函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．解：由题意f（x）＝，画出函数f（x）的图象，如图示：，显然函数f（x）在R递增，若f（2a+1）≥f（4﹣a），则2a+1≥4﹣a，解得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．16．（5分）已知正数x，y满足2x+y＝xy+a，当a＝0时，x+y的最小值为3+2；当a＝﹣2时，x+y的最小值为7．【分析】当a＝0时，则+＝1，则x+y＝（x+y）•（+）＝3++，利用基本不等式即可求出；当a＝﹣2时，y＝，则可得x+y＝x﹣1++3，利用基本不等式即可求出．解：当a＝0时，2x+y＝xy，则+＝1，∴x+y＝（x+y）•（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当x＝1+，y＝2+，故x+y的最小值为3+2，当a＝﹣2时，2x+y＝xy﹣2，当x＝1时，等式不成立，当x≠1则y＝＞0，则x＞1，x+y＝x+＝x+2+＝x﹣1++3≥2+3＝4+3＝7，当且仅当x＝3时取等号，∴x+y的最小值为7，故答案为：3+2，7．三、解答题（70分）17．（10分）记函数f（x）＝的定义域为A，g（x）＝（a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】（1）要使f（x）有意义，则需由2﹣≥0按分式不等式的解法求求A；（2）要使g（x）有意义，则由真数大于零求解，然后按照B⊆A，求解．解：（1）由2﹣≥0得：≥0，解得x＜﹣1或x≥1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）；（2）由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）≥0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）≤0由a＜1得a+1＞2a，∴B＝[2a，a+1]∵B⊆A，∴2a≥1或a+1＜﹣1即a≥或a＜﹣2，而a＜1，∴≤a＜1或a＜﹣2故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[，1）．18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＞0．【分析】（1）首先利用函数在（﹣1，1）上有定义且为奇函数，所以f（0）＝0，首先确定b的值，进一步利f（）＝求出a的值，最后确定函数的解析式．（2）直接利用定义法证明函数的增减性．（3）根据以上两个结论进一步求出参数的取值范围．【解答】（1）解：函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数．所以：f（0）＝0，得到：b＝0，由于且f（）＝所以：＝，解得：a＝1所以：f（x）＝；（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，则：f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝，由于：﹣1＜x1＜x2＜1，所以：0＜x1x2＜1，即：1﹣x1x2＞0，所以＞0，则：f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x）在（﹣1，1）上的增函数；（3）由于函数是奇函数，所以：f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（t﹣1）+f（t）＞0，转化成f（t﹣1）＞﹣f（t）＝f（﹣t）．则：﹣1＜t﹣1＜1且﹣1＜t＜1且t﹣1＞﹣t，解得：＜t＜1，所以不等式的解集为：{t|＜t＜1}．19．（12分）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．（1）将y表示为v的函数；（2）试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．【分析】（1）利用已知条件直接求解y表示为v的函数．（2）利用基本不等式求解函数的最值即可．解：（1）①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．…（8分）（2）…（12分）当且仅当即时取等号…（15分）答：当下潜速度为时，总用氧量最少．…（16分）20．（12分）已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1）成立，且f（1）＝0．（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；（2）当﹣2≤x≤1时，不等式f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）令x＝﹣1，y＝1，由条件，结合f（1）＝0，即可得到f（0）；令y＝0，结合f（0），即可求出f（x）的解析式；（2）将不等式转化为x2+ax+3﹣a≥0，令g（x）＝x2+ax+3﹣a，利用二次函数的性质求得g（x）的最小值，从而可求得a的取值范围．解：（1）令x＝﹣1，y＝1，则由已知f（0）﹣f（1）＝﹣1（﹣1+2+1），∴f（0）＝﹣2，令y＝0，则f（x）﹣f（0）＝x（x+1），又∵f（0）＝﹣2，∴f（x）＝x2+x﹣2．（2）根据题意f（x）﹣a≥（1﹣a）x﹣5，则有x2+ax+3﹣a≥0，令g（x）＝x2+ax+3﹣a，x∈[﹣2，1]，对称轴为x＝﹣，当﹣≤﹣2，即a≥4时，g（x）的最小值g（﹣2）＝7﹣3a≥0，解得a≤，与a≥4矛盾；当﹣≥1，即a≤﹣2时，g（x）的最小值g（1）＝4≥0恒成立，故a≤﹣2符合题意；当﹣2＜﹣＜1，即﹣2＜a＜4时，g（x）的最小值g（﹣）＝﹣+3﹣a≥0，解得﹣6≤a≤2，所以﹣2＜a≤2．综上，a的取值范围是a≤2．21．（12分）已知函数（1）画出函数f（x）图象，并指出函数f（x）在区间（0，1）及[1，+∞）上的单调性；（2）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求的值；（3）若对所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）运用分段函数的图象画法可得f（x）的图象，结合图象可得所求单调性；（2）由题意可得0＜a＜1，b＞1，可得f（a），f（b），整理可得所求和；（3）由题意可得m2﹣2am+≥f（x）max，由f（x）在[1，2]的单调性可得最大值，再设g（a）＝m2﹣2am，a∈[﹣1，1]，只需g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，解不等式可得所求范围．解：（1）由分段函数的图象画法可得f（x）的图象，由图象可得f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数；（2）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b），即为＝，即有﹣1＝1﹣，可得＝2；（3）对所有的x∈[1，2]，a∈[﹣1，1]，都有恒成立，可得m2﹣2am+≥f（x）max，由y＝f（x）在[1，2]递增，可得f（x）max＝f（2）＝，可得m2﹣2am≥0对a∈[﹣1，1]恒成立，设g（a）＝m2﹣2am，a∈[﹣1，1]，可得g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，即为，即，解得m≥2或m≤﹣2或m＝0．22．（12分）对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．（Ⅰ）求“和谐”函数y＝x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否为“和谐”函数？并说明理由．（Ⅲ）若函数是“和谐”函数，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求y＝x3符合条件的“和谐”区间；（Ⅱ）判断函数是否满足“和谐”函数？的条件即可．（Ⅲ）根据函数g（x）是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）因为y＝x3是单调递增函数，所以有，即[a，b]＝[﹣1，1]或[a，b]＝[﹣1，0]或[a，b]＝[0，1]．（Ⅱ）函数在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上不单调，不是“和谐”函数．（Ⅲ）若是“和谐”函数．设﹣4≤x1＜x2，则，所以是单调递增函数．若它是“和谐”函数，则必具备方程有两个不相同的实数解，即方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4＝0有两个不同的实数解且同时大于或等于﹣4和m．若令h（x）＝x2﹣（2m+1）x+m2﹣4，则，解得m∈（，﹣4]．另解：方程有两个不相同的实数解，等价于两函数y1＝x﹣m与的图象有两个不同的交点，当直线过（﹣4，0）时，m＝﹣4；直线与抛物线相切时，∴．若它是“和谐”函数，则必具备方程有两个不相同的实数解，即方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4＝0有两个不同的实数解且同时大于或等于﹣4和m．若令h（x）＝x2﹣（2m+1）x+m2﹣4，则，解得m∈（，﹣4]．。

2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩（∁R B ）＝（） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣2，0，1}D ．{﹣2，﹣1，1}2．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则（） A ．￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0D ．a ＝2时，p 为真命题3．3133)16√2+(0.001)−13+√√2=（）A ．2√3−1.9B ．12+√2−√3C ．12D ．2√3+84．函数y =|x|x 2−1的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．5．若a =5√3，b ＝50.3，c ＝0.82，则（） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c6．已知函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，若F （a ）＝7，则F （﹣a ）的值为（） A ．2B ．﹣7C ．3D ．﹣37．“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知f （x ）是定义在实数集R 上的函数，在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0，且函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称，则不等式x •f （1﹣x ）＜0的解集是（） A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣1，0）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（） A ．若a ＞b ，c ＜0，则ac＞bcB ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a＜b+m a+mC ．对任意实数a ，b ，都有a 2+b 2﹣2|ab |≥0D ．若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2，则f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)210．已知函数f(x)=2x2−4x+3，则（）A ．f （x ）在[2，+∞）上单调递增B ．f （x ）的值域为（0，+∞）C ．不等式f （x ）＜256的解集为（﹣1，5）D ．若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）11．设函数f （x ）＝min {|x ﹣3|，3|x |﹣1，|x +3|}，则下列说法正确的是（） A ．f （f （3））＝1 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．函数f （x ）的最小值为0D ．当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）﹣1≤a ，则a 的取值范围为[2，+∞） 12．已知不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，则m 的值可以是（）A ．−√2B ．﹣1C ．√3D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知x 12−x −12=2，则x 2+x﹣2的值为．14．已知幂函数f （x ）＝（m 2+4m +4）x m +2在（0，+∞）上单调递减，若（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，则a的取值范围为．15．已知函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4在[1，3]上的最大值为﹣12，则实数k 的值为．16．已知图象连续不断的函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时，总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，则满足不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）的a 的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}，集合B ＝{x |{2x ≥41−13x ≥0}．（1）当a ＝1时，求A ∪B ；（2）设a ＞0，A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．18．（12分）若关于x 的不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}．（1）求实数a 的值；（2）当x ＞a 时，求y =x 2−2x+5x−a的最小值． 19．（12分）已知函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，且f （1）＝5．（1）若a ＞0，b ＞0，[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，求9a+1b 的最小值；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使得当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值恰为−13m ，而最大值恰为−13n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由； 20．（12分）已知函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)．（1）求证：f （x ）是奇函数，并判断f （x ）的单调性（不需要证明）；（2）若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立，求实数k 的取值范围． 21．（12分）先看下面的阅读材料：已知三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），称相应的二次函数f 1(x)=3ax 2+2bx +c 为f （x ）的“导函数”，研究发现，若导函数f 1（x ）＞0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递增；若导函数f 1（x ）＜0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递减．例如：函数f （x ）＝﹣2x 3+3x 2+12x +5，其导函数f 1(x)=−6x 2+6x +12=−6（x 2﹣x ﹣2）＝﹣6（x ﹣2）（x +1），由f 1（x ）＞0，得﹣1＜x ＜2，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞2，所以三次函数f （x ）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减．结合阅读材料解答下面的问题：（1）求三次函数f(x)=−x 3+12x 2+4x 的单调区间；（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形ABCD 地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE （线段EO 和RP 为两条底边，OP ⊥OE ），已知AB ＝2km ，BC ＝6km ，AE ＝BF ＝4km ，其中曲线AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分． ①设OP ＝xkm （0＜x ＜2），求出梯形OPRE 的面积S 与x 的解析式； ②求该公园的最大面积．22．（12分）已知函数f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，（a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a （a ∈R ）的单调区间；（2）如果关于x 的方程f （x ）＝0有三个不相等的非零实数解x 1，x 2，x 3，求1x 1+1x 2+1x 3的取值范围．2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩（∁R B ）＝（） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣2，0，1}D ．{﹣2，﹣1，1}解：B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则∁R B ＝{x |x ≥1或x ≤﹣1}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A ∩（∁R B ）＝{﹣2，﹣1，1}．故选：D ．2．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则（） A ．￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0D ．a ＝2时，p 为真命题解：命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0，当a ＝2时，x ＝1或2时，x 2﹣3x +2＝0，故p 为假命题．故选：B ．3．3133)16√2+(0.001)−13+√√2=（）A ．2√3−1.9B ．12+√2−√3C ．12D ．2√3+8解：原式=313×316×212212+(110)3×(−13)+2−√3=312+10+2−√3=12．故选：C ． 4．函数y =|x|x 2−1的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．解：由函数 y =|x|x 2−1，可得x ≠±1，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞），又 f(−x)=|−x|(−x)2−1=x x 2−1=f(x)，所以y =|x|x 2−1是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此 A ，D 错误；当 0＜x ＜1时，x 2−1＜0，y =|x|x 2−1＜0，所以C 错误．故选：B ．5．若a =5√3，b ＝50.3，c ＝0.82，则（） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c解：∵5√3＞50.3＞50=1，∴a ＞b ＞1， ∵0＜0.82＜0.80＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＞b ＞c ．故选：D ．6．已知函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，若F （a ）＝7，则F （﹣a ）的值为（）A ．2B ．﹣7C ．3D ．﹣3解：函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，F （a ）＝7，F （a ）+F （﹣a ）＝a 3+2a ﹣2﹣a +5+（﹣a ）3+2﹣a ﹣2a +5＝10，所以F （﹣a ）＝10﹣F （a ）＝10﹣7＝3．故选：C ．7．“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意得f （x ）在R 上单调递减，故{ 13−a ＜00＜a ＜113−a +1≥a ，解得：13＜a ≤23，故“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的充分不必要条件．故选：A ．8．已知f （x ）是定义在实数集R 上的函数，在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0，且函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称，则不等式x •f （1﹣x ）＜0的解集是（）A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）解：因为函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称，所以f （x ）的图象关于原点对称，即f （x ）为奇函数，因为f （x ）在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0，故f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，f （﹣2）＝0，由x •f （1﹣x ）＜0可得xf （x ﹣1）＞0，即{x ＞0f(x −1)＞0或{x ＜0f(x −1)＜0，即{x ＞0x −1＞2或−2＜x −1＜0或{x ＜00＜x −1＜2或x −1＜−2，解得x ＞3或0＜x ＜1或x ＜﹣1．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（） A ．若a ＞b ，c ＜0，则ac＞bcB ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a＜b+m a+mC ．对任意实数a ，b ，都有a 2+b 2﹣2|ab |≥0D ．若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2，则f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2解：对于A ，由1c＜0，a ＞b ，可得a c＜b c，故A 错误；对于B ，若a ＞b ＞0，m ＞0，则ba −b+m a+m=m(b−a)a(a+m)＜0，可得b a＜b+m a+m，B 正确；对于C ，a 2+b 2﹣2|ab |＝（|a |﹣|b |）2≥0，当且仅当|a |＝|b |时，等号成立，故a 2+b 2﹣2|ab |≥0，C 正确；对于D ，二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2，则f(x 1+x 22)=14(x 1+x 2)2+a 2(x 1+x 2)+b ，f(x 1)+f(x 2)2=12[(x 12+ax 1+b)+(x 22+ax 2+b)]，可得f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=14(x 12+x 22)−12(x 12+x 22)=−14(x 1−x 2)2≤0，由x 1≠x 2可知等号不能成立，故f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2，D 正确．故选：BCD ．10．已知函数f(x)=2x2−4x+3，则（）A ．f （x ）在[2，+∞）上单调递增B ．f （x ）的值域为（0，+∞）C ．不等式f （x ）＜256的解集为（﹣1，5）D ．若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）解：根据题意，设t ＝x 2﹣4x +3，则y ＝2t ，依次分析选项：对于A ，t ＝x 2﹣4x +3是对称轴为x ＝2的二次函数，开口向上，则t ＝x 2﹣4x +3在[2，+∞）上单调递增，y ＝2t 在R 上单调递增，故f （x ）在[2，+∞）上单调递增，A 正确；对于B ，t ＝x 2﹣4x +3≥﹣1，则y ＝2t ≥12，则f （x ）的值域为[12，+∞），B 错误；对于C ，不等式f （x ）＜256＝28，即x 2﹣4x +3＜8，解可得﹣1＜x ＜5，即不等式的解集为（﹣1，5），C 正确；对于D ，g （x ）＝2﹣ax•f （x ）=2x2−(4+a)x+3，设m ＝x 2﹣（4+a ）x +3，则y ＝2m ，若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则m ＝x 2﹣（4+a ）x +3在（﹣∞，1]上单调递减，必有12（4+a ）≥1，解可得a ≥﹣2，即实数a 的取值范围为[﹣2，+∞），D 正确．故选：ACD ．11．设函数f （x ）＝min {|x ﹣3|，3|x |﹣1，|x +3|}，则下列说法正确的是（） A ．f （f （3））＝1 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．函数f （x ）的最小值为0D ．当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）﹣1≤a ，则a 的取值范围为[2，+∞）解：在同一坐标系作出 y ＝3|x |﹣1，y ＝|x ﹣3|和 y ＝|x +3|的图象，如图所示，则A （﹣1，2），B （1，2），所以f （x ）={|x +3|，x ≤−13|x|−1，−1≤x ≤1|x −3|，x ≥1，其图象是图中实线部分．则f （f （3））＝f （0）＝0，故A 错误；函数f （x ）为偶函数，函数f （x ）的最小值为0，无最大值，B ，C 正确；当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）max ＝2，所以a ≥2﹣1＝1，D 错误．故选：BC ． 12．已知不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，则m 的值可以是（）A ．−√2B ．﹣1C ．√3D ．2解：由题意x 2y−1+y 2x−1=[(x−1)+1]2y−1+[(y−1)+1]2x−1=(x−1)2y−1+1y−1+(y−1)2x−1+1x−1+2(x−1)y−1+2(y−1)x−1≥2√(x−1)2y−1⋅1y−1+2√(y−1)2x−1⋅1x−1+2√2(x−1)y−1⋅2(y−1)x−1=2(y−1x−1+x−1y−1)+4≥2×2√y−1x−1⋅x−1y−1+4=8，第一个等号成立当且仅当x ＝y ＝2＞1，第二个等号成立当且仅当x ＝y ＞1，综上，(x 2y−1+y 2x−1)min =8，当且仅当x ＝y ＝2＞1时成立；又不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，等价于3m 2﹣1≤8，解得−√3≤m ≤√3，对比选项可知，m 的值可以是−√2或﹣1或√3．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x 12−x−12=2，则x 2+x﹣2的值为 34 ．解：∵x 12−x −12=2，∴(x 12−x−12)2=x +x ﹣1﹣2＝4，∴x +x ﹣1＝6，∴（x +x ﹣1）2＝x +x ﹣2+2＝36，∴x +x ﹣1＝34．故答案为：34．14．已知幂函数f （x ）＝（m 2+4m +4）x m +2在（0，+∞）上单调递减，若（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，则a的取值范围为（﹣∞，4）．解：由题意可知{m 2+4m +4=1m +2＜0，解得m ＝﹣3，∴不等式（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，可化为（2a ﹣1）3＜（a +3）3，又∵函数y ＝x 3在R 上单调递增， ∴2a ﹣1＜a +3，解得a ＜4．故a 的取值范围为（﹣∞，4）．故答案为：（﹣∞，4）．15．已知函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4在[1，3]上的最大值为﹣12，则实数k 的值为 172．解：函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4开口向上，对称轴x ＝k ，区间[1，3]的中点x ＝2，当k ≤2时，|3﹣k |≥|1﹣k |，所以x ＝3离对称轴较远，所以f （x ）max ＝f （3）＝9﹣6k +4＝﹣12，解得k =256＞2，不符合k ≤2；当k ＞2时，|3﹣k |＜|1﹣k |，所以x ＝1离对称轴较远，所以f （x ）max ＝f （1）＝1﹣2k +4＝﹣12，解得k =172＞2，符合条件．所以k 的值为172．故答案为：172．16．已知图象连续不断的函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时，总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，则满足不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）的a 的取值范围为 (−12，2] ．解：因为函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时，总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，即x 1f （x 1）＞x 2f （x 2），令g （x ）＝xf （x ），则g （x ）在（0，4]上单调递减，因为f （x ）为偶函数，即f （﹣x ）＝f （x ），故g （﹣x ）＝﹣xf （﹣x ）＝﹣xf （x ）＝﹣g （x ），根据奇函数的对称性可知，g （x ）在R 上单调递减，由不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）可得g （a +2）＜g （1﹣a ），所以{−4≤a +2≤4−4≤1−a ≤4a +2＞1−a，解得−12＜a ≤2．故答案为：(−12，2]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}，集合B ＝{x |{2x ≥41−13x ≥0}．（1）当a ＝1时，求A ∪B ；（2）设a ＞0，A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（1）B ={x|{2x ≥41−13x ≥0}={x|{x ≥2x ≤3}={x|2≤x ≤3}，当a ＝1时，A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∪B ＝{x |1＜x ≤3}；（2）∵a ＞0，∴A ＝{x |a ＜x ＜3a }，又A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴{a ＜23a ＞3，∴1＜a ＜2， ∴实数a 的取值范围为（1，2）．18．（12分）若关于x 的不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}．（1）求实数a 的值；（2）当x ＞a 时，求y =x 2−2x+5x−a的最小值．解：（1）因为不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}，所以−32和1是方程2x 2+ax ﹣（a +2）＝0的两个根，由根与系数的关系知，{−32+1=−a2−32×1=−a+22，解得a ＝1．（2）由（1）知，a ＝1，当x ＞a 时，x ﹣1＞0时，所以y =x 2−2x+5x−a =x 2−2x+5x−1=(x−1)2+4x−1=(x −1)+4x−1≥2√(x −1)4x−1=4，当且仅当x ﹣1=4x−1，即x ＝3时取等号，所以y min ＝4．19．（12分）已知函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，且f （1）＝5．（1）若a ＞0，b ＞0，[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，求9a+1b 的最小值；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使得当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值恰为−13m ，而最大值恰为−13n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由；解：∵f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8），且f （1）＝5，∴3（2k ﹣1）+k 2﹣8＝5，即k 2+6k ﹣16＝0，解得k ＝2或k ＝﹣8，又函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，∴2k ﹣1＞0，即k ＞12， ∴k ＝2，则f （x ）＝3×3x ﹣4．（1）由[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，得3a +b ＝3，∴a +b ＝1，又a ＞0，b ＞0，∴9a+1b=(9a+1b)(a +b)=10+9b a+a b≥10+2√9b a⋅a b=16，当且仅当a b=9b a，即a =34，b =14时取等号，故9a+1b的最小值为16；（2）∵f （x ）＝3×3x ﹣4为增函数，∴当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值为f （m ），最大值为f （n ），由{f(m)=−13m f(n)=−13n ，得{3×3m −4=−13m3×3n−4=−13n，即{3×(3m )2−4×3m +1=03×(3n )2−4×3n +1=0，可得3m ，3n 是方程3x 2﹣4x +1＝0的两个根， ∵m ＜n ，∴3m =13，3n ＝1，解得m ＝﹣1，n ＝0， ∴存在m ＝﹣1，n ＝0 满足要求．20．（12分）已知函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)．（1）求证：f （x ）是奇函数，并判断f （x ）的单调性（不需要证明）；（2）若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立，求实数k 的取值范围．解：（1）证明：函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)，则{f(0)=1−b =0f(1)=a −b a =32，解得{b =1a =2，所以f(x)=2x −12x ，函数定义域为R ，f(−x)=2−x −12−x =12x −2x =−(2x−12x )=−f(x)，所以函数f （x ）是奇函数．由函数y ＝2x 和y =−12x 都是R 上的增函数，所以f(x)=2x−12x 在R 上单调递增．（2）f （x ）是奇函数，且在R 上单调递增，不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0等价f （t 2﹣kt +10）＞﹣f （2）＝f （﹣2），可得t 2﹣kt +10＞﹣2，若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立，等价于∀t ∈[13，3]，t 2−kt +12＞0恒成立，即t 2+12＞kt ，k ＜t 2+12t =t +12t 在[13，3]上恒成立，设g(t)=t +12t (t ∈[13，3])，∀t 1，t 2∈[13，3]，且t 1＜t 2，有g(t 1)−g(t 2)=(t 1+12t 1)−(t 2+12t 2)=(t 1−t 2)(t 1t 2−12t 1t 2)，由13≤t 1＜t 2≤3，可得t 1−t 2＜0，19＜t 1t 2＜9＜12，t 1t 2−12＜0，则g （t 1）﹣g （t 2）＞0，所以g （t 1）＞g （t 2），所以g （t ）在[13，3]上单调递减，所以g （t ）min ＝g （3）＝7，所以k ＜7，所以实数k 的取值范围为（﹣∞，7）． 21．（12分）先看下面的阅读材料：已知三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），称相应的二次函数f 1(x)=3ax 2+2bx +c 为f （x ）的“导函数”，研究发现，若导函数f 1（x ）＞0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递增；若导函数f 1（x ）＜0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递减．例如：函数f （x ）＝﹣2x 3+3x 2+12x +5，其导函数f 1(x)=−6x 2+6x +12=−6（x 2﹣x ﹣2）＝﹣6（x ﹣2）（x +1），由f 1（x ）＞0，得﹣1＜x ＜2，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞2，所以三次函数f （x ）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减．结合阅读材料解答下面的问题：（1）求三次函数f(x)=−x 3+12x 2+4x 的单调区间；（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形ABCD 地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE （线段EO 和RP 为两条底边，OP ⊥OE ），已知AB ＝2km ，BC ＝6km ，AE ＝BF ＝4km ，其中曲线AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分． ①设OP ＝xkm （0＜x ＜2），求出梯形OPRE 的面积S 与x 的解析式； ②求该公园的最大面积．解：（1）f(x)=−x 3+12x 2+4x 的导函数为f 1(x)=−3x 2+x +4，由f 1（x ）＞0，得−1＜x ＜43，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞43，所以三次函数f （x ）在区间(−1，43)上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和(43，+∞)上单调递减．（2）①以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设曲线AF 所在抛物线的方程为y ＝ax 2（a ＞0）， ∵抛物线过F （2，4），∴4＝a ×22，得a ＝1，∴AF 所在抛物线的方程为y ＝x 2，P （x ，x 2）（0＜x ＜2）， ∴又E （0，4），C （2，6），则EC 所在直线为y ＝x +4，则OE ＝4﹣x 2，PR ＝4+x ﹣x 2，∴公园的面积S =12(4−x 2+4+x −x 2)⋅x =−x 3+12x 2+4x （0＜x ＜2）， ②由（1）知，S （x ）在(0，43)上单调递增，在(43，2)上单调递减，当x =43时，S 取得最大值10427．故该公园的最大面积为10427km 2．22．（12分）已知函数f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，（a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a （a ∈R ）的单调区间；（2）如果关于x 的方程f （x ）＝0有三个不相等的非零实数解x 1，x 2，x 3，求1x 1+1x 2+1x 3的取值范围．解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a ＝x |x ﹣4|﹣4，当x ＞4时，f （x ）＝x 2﹣4x ﹣4；当x ≤4时，f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣4，即有f(x)={−x 2+4x −4，x ≤4x 2−4x −4，x ＞4，据二次函数的性质可知，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，2]和[4，+∞），单调递减区间为[2，4]．（2）f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，当a ＝0时，f(x)={−x 2，x ≤0x 2，x ＞0，不符合题意；当a ＞0时，方程有3个不相等的实数根，且f （x ）在（2a ，+∞）上递增，所以x ≥2a 时，x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0有1个根，且x ＜2a 时，﹣x 2+2ax +a 2﹣4a ＝0有2个根，所以只需满足{Δ=4a 2+4(a 2−4a)＞0f(2a)=a 2−4a ＜0，解得2＜a ＜4；当a ＜0时，当x ＞2a 时，方程x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0的判别式Δ＝4a 2﹣4（a 2﹣4a ）＝16a ＜0，由二次方程的解的分布可得方程x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0无解，所以此时不符合题意；综上：a 的取值范围是（2，4）．不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2a ，x 1x 2=−a 2+4a ，x 3=2a+√4a 2−4(a 2−4a)2=a +2√a ，所以1x 1+1x 2+1x 3=x 1+x 2x 1x 2+1x 3=2a −a 2+4a +a+2√a =2a a(4−a)+√a (a+2√a)(a−2√a)=2a a(4−a)−a−2√a a(4−a)=a+2√a (a+2√a)(a−2√a)=1a−2√a =−1(√a)2−2√a =−1(√a−1)2−1，因为2＜a ＜4，则√2−1＜√a −1＜1，可得2−2√2＜(√a −1)2−1＜0，所以1x 1+1x 2+1x 3=(√a−1)2−12√2−2=1+√22．故1x 1+1x 2+1x 3的取值范围为(1+√22，+∞)．。

湖北省荆州中学高一数学上学期期中考试(a)【会员独享】.doc

荆州中学～上学期高一数学期中试卷（A ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置） 1．若集合{|1}M x x =>-，下列关系式中成立的为 ( ) A ．0M ⊆ B ．{}0M ∈ C ．M ∅∈ D ．{}0M ⊆ 2．已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2ab c ===，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 3．下列对应法则f 中，构成从集合A 到集合B 的映射是 ( )A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>=B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．21:},0|{,x y x f y y B R A =→>== D ．2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→== 4．右图给出了红豆生长时间t （月）与枝数y （枝）的散点图; 那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？（） A ．指数函数：t y 2= B ．对数函数：t y 2log = C ．幂函数：3t y = D ．二次函数：22t y =5．设函数()y f x =的定义域为[，则函数2)y f =的定义域是（）A ．[B ．[22+C ．[6-6+D ．[0，6+6．已知()log a f x x =，()log b g x x =，()log c r x x =，()log d h x x =的图象如图所示则a,b,c,d 的大小为（）A ．c d a b <<<B ．c d b a <<<C ．d c a b <<<D ．d c b a <<<7. 若(,1]x ∈-∞-时，不等式2()420x x m m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．（－2，1） B.（－4，3） C.（－1，2） D.（－3，4） 8.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()2f a f ≥-，则a 的取值范围是（） A.2a ≤ B.2a ≥C.22a a ≤-≥或D.22a -≤≤9.已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,4)13()(x a x a x a x f x 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围（）A.(0,1) B ．1(0,)3 C. )31,61[ D. [)1,6110.对于集合M 、N,定义{}|,()()M N x x M x N M N M N N M -=∈∉⊕=--且设{}R x x x y y M ∈-==，4|2,{}R x y y N x∈-==，2|,则N M ⊕= （） A.(]04，- B.[)04，- C.()[),40,-∞-+∞ D.(](),40,-∞-+∞二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分，各题答案必须填写在答题卷相应位置上，只填结果，不要过程）11．幂函数3222)14(--+-=m m xm m y 的图像过原点，则实数m 的值等于12．已知函数2()log (2)a f x x ax =-+在()+∞,2上为增函数，则实数a 的取值范围为___________13. 若 33log 2,log 5m n == ，则 lg 5用,m n 表示为 .14.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51,1.52=-=-.若函数()()0,11x x a f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为______ 15.若函数()x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0=-+x f x f ②对于定义域内任意21,x x ，当21x x ≠时，恒有()()02121<--x x x f x f ，则称函数()x f 为“理想函数”。

湖北省荆州市高一上学期数学期中考试试卷

湖北省荆州市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 6 题；共 12 分)1. （2 分） (2020 高一上·遂宁期末) 已知集合 A= A . A=B B . A B= C.A B D.B A,B=，则（）2. （2 分） (2018 高一上·西宁期末) 下列函数中，既是偶函数，又在区间 A.上是增函数的为（）B. C.D.3. （2 分） (2017 高三上·惠州开学考) 函数 f（x）= A . {x|x＜1} B . {x|0＜x＜1} C . {x|0＜x≤1} D . {x|x＞1}+的定义域为（）4. （2 分）已知 A . 1或2，若，则 x 的值是（）第1页共8页B . 2 或－1 C . 1 或－2 D . ±1 或±2 5. （2 分）下列函数中，既是偶函数又在区间 A. B. C. D.上单调递增的函数为（）6. （2 分）设变量 a，b 满足约束条件：的极小值等于（）的最小值为 m，则函数A.-B.C.2D.二、填空题 (共 8 题；共 32 分)7. （5 分） (2017 高一上·金山期中) 若全集 U={1，2，3，4，5}，且∁UA={2，3}，则集合 A=________．8. （5 分）________9. （5 分） (2019 高一上·宁乡期中) 若函数 ________．第2页共8页，则函数的零点个数为10. （5 分） (2018 高一上·张掖期末) 函数递减区间是________．11. （1 分） (2018 高二上·凌源期末) 已知函数解集为________．12. （1 分） (2019 高一上·山西月考) 已知集合若，实数的取值范围是________．，当时，，则该函数的单调，则关于的不等式的，集合，13. （5 分） (2018 高一上·北京期中) 已知 a＞0 且 a≠1，函数 f（x）=满足对任意不相等的实数 x1 ， x2 ，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，成立，则实数 a 的取值范围________．14. （5 分） (2017·杨浦模拟) 已知函数 f（x）= 围为________．的最小值为 a+1，则实数 a 的取值范三、解答题 (共 6 题；共 65 分)15. （5 分） (2016 高一上·商州期中) 不用计算器求下列各式的值（1）（2 ） ﹣（﹣9.6）0﹣（3 ） +（1.5）﹣2（2） lg5+lg2﹣（﹣ ）﹣2+（ ﹣1）0+log28．16. （10 分） (2019 高二上·阜阳月考) 已知命题：关于的不等式指数函数是上的增函数.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合且，求实数的取值范围.无解；命题：，17. （15 分）设集合（1） b 的取值范围是________；，B={（x，y）|y≤﹣|x|+b}，A∩B≠∅．第3页共8页（2）若（x，y）∈A∩B，且 x+2y 的最大值为 9，则 b 的值是________．18. （10 分） (2016 高一上·江北期中) 求函数 y=2x﹣的值域：19. （10 分） (2019 高一上·都匀期中) 已知函数为偶函数，且．（1）求的值，并确定的解析式；（2）若(且)，求在上值域．20. （15 分） (2019 高三上·番禺月考) 2019 年 3 月 5 日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部 2014 年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上（含 3 位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有 1 位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外 2 位同行专家（不同于前 3 位专家）进行复评，2 位复评专家中有 1 位以上（含 1 位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的总评审费用 1500 元；若某次评审抽检论文总数为 3000 篇，求该次评审费用期望的最大值及对应的值．第4页共8页一、单选题 (共 6 题；共 12 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、二、填空题 (共 8 题；共 32 分)7-1、参考答案8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、解答题 (共 6 题；共 65 分)第5页共8页15-1、15-2、 16-1、16-2、 17-1、 17-2、第6页共8页18-1、 19-1、 19-2、第7页共8页20-1、 20-2、第8页共8页。

湖北省荆州中学高一上学期期中考试(数学理).doc

湖北省荆州中学高一上学期期中考试（数学理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列表示图形中的阴影部分的是（）A ．()()A CBC B ．()()A B A C C ．()()A B B CD ．()A B C2．下列函数中，奇函数的个数是（）①11x x a y a +=- ②2lg(1)33x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=-A ．1B ．2C ．3D ．43．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（）A ．14400亩B ．172800亩C ．17280亩D ．20736亩 4.已知函数()ln 26f x x x =+-有一个零点在开区间（2，3）内，用二分法求零点时，要使精确度达到0.001，则至少需要操作（一次操作是指取区间中点并判断中点对应的函数值的符号）的次数为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 5．若1x 是方程lgx+x=3的解，2103x x x +=是的解，则12x x +的值为（）A ．32B ．23C ．3D ．136．直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7.在222,log ,x y y x y x ===这三个函数中，当1201x x <<<时，使1212()()22x x f x x f ++>恒成立的函数的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．下列四个说法：(1)函数f(x)>0在x>0时是增函数，x<0也是增函数，所以f(x)是增函数；(2)若函数2bx ++2f(x)=ax 与x 轴没有交点，则280b a -<且a>0；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) y=1+x和y =表示相等函数。

湖北省荆州市沙市第四中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷及解析

湖北省荆州市沙市第四中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是（） A.200,10x R x ∃∈+>B.200,10x R x ∃∈+≥C.200,10x R x ∀∈+≥ D.200,10x R x ∀∈+<2.函数y = ）A.13,24⎛⎫-⎪⎝⎭B.13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.()1,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭3.已知集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，且A B R =，则实数a 的取值范围是（）A.1a <B.1a >C.1a ≤D.1a ≥4.“x 0＞”是“20x x +>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数f （x ）=-2x 2+4x ，[]0,3x ∈的值域为（） A.[]6,2-B.[]6,0-C.(],2-∞D.[]0,26.若1x >，则1411x x ++-的最小值等于（） A.6B.9C.4D.17.若关于x 的一元二次不等式2210ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是（） A.(,0)(1,)-∞⋃+∞ B.(0,1) C.(,0](1,)-∞+∞D.[0,1]8.定义域均为R 的两个函数()f x ，()g x ，“()()f x g x +为偶函数”是“()f x ，()g x 均为偶函数”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）二、填空题9.已知,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩则((2))f f -=________.10.函数12y x =-的单调减区间为______. 11.已知函数()f x 是定义在（-2，2）上的奇函数且是减函数，若()()1120f m f m -+-≥，则实数m 的取值范围是______．12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]f f =_________；()2f x≤的解集为________.三、解答题13.已知函数f x x mx =+的图象过点()1,5. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性.14.已知函数()2212411491x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎪⎩，，，（1）求(){}2ff f -⎡⎤⎣⎦的值；（2）若()3f a =，求实数a 的值.15.设集合{|2A x x =≤或6}x ≥，{|13}B x x =-<<，{|13}C x m x m =-<<+. （1）求AB ；（2）若C A ⊆，求实数m 的取值范围.16.（1）已知13x<<，求()()13f x x x=-的最大值.（2）已知x，y为正实数，且115x yx y+++=，求x y+的最大值.17.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就能减少10个.（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？（2）这种台灯的售价应定为多少元时利润最大？18.已知函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数．（1）求实数m的值；（2）判断并证明函数y=f(x)在(−∞,0]上单调性；在[−3,2]上的最大值与最小值．四、新添加的题型19.（多选）已知集合2{|320}x x x=-+=，{|20}B x ax=-=，若A B B=，则实数a的值可能为（）A.0B.1C.2D.320.（多选）下列函数中，满足“1x∀，()2x∞∈+，，都有1212()()f x f xx x-<-”的有（）A.()1f x x=- B.()31f x x=-+ C.()243f x x x=++ D.()2f xx=21.（多选）下列命题中是真命题的有（）A.“11a b>>，”是“1ab>”成立的充分不必要条件B.“0a b>>”是“22a b>”成立的充要条件C.“a b>”是“11a b<”成立的既不充分又不必要条件D.若x∈R，则函数y= 222.(多选)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝x－x2，则下列说法正确的是（）A.f (x)的最大值为14B.f (x)在(－1，0)上是增函数C.f (x)＞0的解集为(－1，1)D.f (x)＋2x≥0的解集为[0，3]参考答案1.C【解析】1.根据特称命题的否定的求解原则，即可写出其命题的否定.命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是：200,10x R x ∀∈+≥.故选：C. 2.B【解析】2.令210340x x +≥⎧⎨-≥⎩，解不等式可得答案．令210340x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得1324x -≤≤故选：B 3.C【解析】3. 由A B R =即可求出a 的取值范围.解：{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，且A B R =，得：1a ≤. 故选：C. 4.A【解析】4.设A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＜1-,或x ＞0}，判断集合A ，B 的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．设A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＜1-,或x ＞0}， ∵A ≠⊂B ，故“x ＞0”是“20x x +>”成立的充分不必要条件．故选：A ． 5.A【解析】5.求出二次函数的对称轴方程，得到函数的单调区间，从而得出其最值，得到答案. 二次函数()224f x x x =-+开口向下，对称轴为1x =，则函数在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,3]上单调递减，函数的最大值为()12f =，函数的最小值为()36f =-，据此可得函数的值域为[−6,2]. 故选：A 6.B【解析】6.配凑出基本不等式的结构求解即可.()11414155911x x x x ++=-++≥=--,当且仅当()2411x -=,32x =时取等号. 故答案为：9 7.B【解析】7.由于一元二次不等式2210ax ax ++>的解集为R ，所以可得其对应的二次函数开口向上，且与x 轴无交点，所以00a >⎧⎨∆<⎩，从而可求出a 的取值范围由题，因为为一元二次不等式，所以0a ≠ 又因为2210ax ax ++>的解集为R 所以201(2)40a a a a >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩故选：B 8.B【解析】8.由函数()f x ，()g x 定义在R 上，令()()()h x f x g x =+，则()()()h x f x g x =+的定义域也为R ，关于原点对称，只要看()h x -与()h x 的关系即可得出()h x 为偶函数，反之，通过举反例可得出非充分条件．解：令()()()h x f x g x =+，由()f x ，()g x 均为偶函数，则x ∈R ，()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，故()h x 是偶函数，即必要性成立；反之，设2()f x x x =+，()2g x x =-，()2()()2h x f x g x x =+=+是偶函数，而()f x ，()g x 均不是偶函数，故充分性不成立；则“()()f x g x +为偶函数”是“()f x ，()g x 均为偶函数”的必要不充分条件．故选：B ． 9.14【解析】9.根据函数解析式，由内而外，逐步计算，即可得出结果.因为2,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，所以2(2)(2)4f -=-=，则4((2))(4)2216214f f f -==-=-=. 故答案为：14. 10.(,2)-∞、(2,)+∞【解析】10. 先求出函数12y x =-的定义域，再画出函数图像，结合图像即可求出函数12y x =-的单调递减区间. 解：由12y x =-知2x ≠，即12y x =-的定义域为()(),22,-∞+∞，作出12y x =-的图像如图所示：由图可知：12y x =- 的单调递减区间为(,2)-∞和(2,)+∞. 故答案为：(,2)-∞、(2,)+∞. 11.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】11.由奇函数定义把不等式化为()()121f m f m -≥-，再由单调性求解，注意函数的定义域．由题意知212,2122,m m -<-<⎧⎨-<-<⎩解得1322m -<<，∵函数()f x 为奇函数，由()()1120f m f m -+-≥，得 ()()121f m f m -≥- ∵函数()f x 在（－2，2）上是减函数，∴121m m -≤-，解得0m ≥∴实数m 的取值范围是30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 12.2 {|14}x x ≤≤【解析】12.根据图像得到函数表达式()()()2262402x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+≤<⎪⎩，计算()04f =再计算[(0)]f f 得到答案；分段解不等式()2f x ≤得到答案.根据图像易知()()()2262402x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+≤<⎪⎩故()04f =，()[(0)]42f f f ==；当26x ≤≤时，()2f x ≤即224x x -≤∴≤故24x ≤≤；当02x ≤<时，()2f x ≤即2421x x -+≤∴≥故12x ≤< 综上所述：{|14}x x ≤≤ 故答案为：2；{|14}x x ≤≤ 13.（1）4m =；（2）()f x 为奇函数.【解析】13.（1）由()15f =可求得实数m 的值；（2）求出函数()f x 的定义域，计算出()f x -与()f x 的关系，进而可得出结论. （1）因为函数()f x 的图象过点()1,5，所以()115f m =+=，即4m =；（2）由（1）可得函数()334f x x mx x x =+=+，该函数的定义域为R ，因为()()()()333()444f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，即()()f x f x -=-成立，故()f x 为奇函数. 14.（1）21；（2）12-.【解析】14.（1）代入求值即可；（2）对a 进行讨论，令()3f a =解出即可.解：(1)函数()2212411491x x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎪⎩，，，， ()2212f ∴-=-=-， ()2(1)2146f f f ⎡⎤-==⨯+=⎣⎦，(){}()226646921f f f f ⎡⎤-==-⨯+=⎣⎦； ()(2)3f a =，∴当1a <-时，()23f a a=-=，解得：23a =-，不成立；当11a -≤≤时，()243f a a =+=，解得：12a =-，成立；当1a >时，()2493f a a a =-+=，此方程无解，综上所述：实数a 的值为12-. 15.（1）{|12}A B x x =-<≤；（2）{|1m m ≤-或7}m ≥.【解析】15.（1）由集合的交集运算求解即可；（2）根据集合的包含关系求解实数m 的取值范围. 解：（1）{|2A x x =≤或6}x ≥，{|13}B x x =-<<{|12}A B x x ∴⋂=-<≤；（2）{|13}C x m x m =-<<+，C A ⊆32m ∴+≤或16m -≥，即1m ≤-或7m ≥∴实数m 的取值范围是{|1m m ≤-或7}m ≥.16.（1）112；（2）4.【解析】16.（1）利用基本不等式可求最大值.（2）利用基本不等式可得()2()540x y x y +-++≤，从而可求x y +的最大值.解：（1）若103x <<，则031x <<，130x ∴->， ()()()()231311113313[]33212x x f x x x x x +-⎡⎤=-=⋅⋅-⋅=⎣⎦，当且仅当：313x x =-，即16x =时，取“=”，因此，函数()f x 的最大值为112. （2）115x y x y+++=，()()()1152224y xx y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤∴+-+=++=+++= ⎪⎣⎦⎝⎭， ()2()540x y x y ∴+-++≤，14x y ∴≤+≤，∴当且仅当2x y ==时，x y +取最大值4.17.（1）50元或80元；（2）65元.【解析】17.（1）设商品售价x 元/个，根据题意可得关于x 的方程，求解后可得其值.（2）设利润为y 元，则根据题意可得()2y 10x 6512250=--+，根据二次函数的性质可得所求的最大值.解：（1）设商品售价x 元/个，则()()30600104010000x x ---=⎡⎤⎣⎦，其中()6001040040x x ⎧-->⎨≥⎩，故40100x ≤<.又213040000x x -+=，解得50x =或80x =，即为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为50元或80元. （2）设利润为y 元，则()()306001040y x x =---⎡⎤⎣⎦210130030000x x =-+-()2106512250x =--+，40100x ≤<，∴当65x =时，y 有最大值12250，答：销售单价定为65元时，最大总利润为12250元.18.（1）m =0；（2）详见解析；（3）最大值为1，最小值为110.【解析】18.试题分析：（1）依据偶函数的定义建立方程求出实数m 的值；（2）先判断其单调性，然后再运用单调性的定义及差比法进行推理和证明；（3）借助（2）中的单调性及函数的对称性进行推断和探求最大、小值。

人教A版数学必修一湖北省荆州中学高一上学期期中考试(理)试题

科目：数学（理科）考试时间：120分钟一．选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分；每小题的四个选项中只有一个是正确的.）1、设全集{}1,2,3,4,5U =，{}123A =，，，{}3,4,5B =则()U A B ⋂=ð（）A.{}3B.{}1,2,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅2、定义集合运算A ◇B ={}|,,c c a b a A b B =+∈∈，设{}0,1,2A =，{}3,4,5B =，则集合A ◇B 的子集个数为（）A .32B .31C .30D .143、设211()21x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，，，则((2))f f -的值为（）A ．-3B ．4C ．5D ．94、已知113212111,,log 233a b c ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系为（） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>5、函数(01)x y a a a =>≠且，在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a ，则a 的值为（） A ．12 B ．32 C ．23或2 D ．12或326、下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（） A.1y x =+ B.3y x =- C.1y x=- D.||y x x = 7、已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，则函数(41)f x +的定义域为（）A.[3,5]B.1[,1]2C.[5,9]D.1[0,]28、下列函数中在区间)2,1(上有零点的是（） A.2()32f x x x =-+ B.3()23f x x x =-+C.()lg 23f x x x =+-D.()35x f x e x =+-9、如右图所示为函数①x y a =、②x y b =、③log c y x =、④log d y x =的图像，其中a b c d 、、、均大于0且不等于1，则a b c d 、、、大小关系为（）A.a b c d >>>B.a b d c >>>C.b a c d >>>D .b a d c >>>10、已知函数()f x =|2(35)||1x m x +++|的定义域为R ，且函数有八个单调区间，则实数m 的取值范围为（）A.53m <-B.73m <-或1m >-C.73m <-D.53m <-或1m >-二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）11、m n ∈R ，，集合,1m P n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{},0Q n =，若P Q =，则m n +的值等于________； 12、二次函数()f x 满足()(1)22f x f x x --=-且(0)1f =．则函数()3y f x =-的零点是；13、已知2()2y f x x =+为奇函数，且()()1g x f x =+.若(2)2f =，则(2)g -= ；14、已知01a a >≠且，函数()log 23a y x =-P ，若P 在幂函数()f x 的图象上，则()8f =__________；15、给出下列命题：①()f x =②()f x x =和2()x f x x=为同一函数； ③已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；④函数221xy x =+的值域为[,44-. 其中正确命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、(本小题满分12分)化简求值：（1）211ln 32212)(6)4e -++ （2）26666(1log 3)(log 2)(log 18)log 4-+⋅17、(本小题满分12分)已知集合11|2168x A x +⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|131B x m x m =+≤≤-. （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18、(本小题满分12分)已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[1,](1)a a ->-上的值域.19、(本小题满分12分)已知x ax x x g a f x f 43)(,18)2(,3)(-==+=并且的定义域为区间[1,1]-.（1）求函数)(x g 的解析式；（2）用定义证明)(x g 在[1,1]-上为单调递减函数；（3）若函数()4y f x =-和()g x 值域相同，求()4y f x =-的定义域.20、(本小题满分13分)如图，有一块矩形草地，要在这块草地上开辟一个内接四边形建体育设施（图中阴影部分），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a （a >2），BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，阴影部分面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当x 为何值时，阴影部分面积最大？最大值是多少？21、(本小题满分14分)函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈，有()0f x >；②对任意x 、y R ∈，有()[()]y f xy f x =；③1() 1.3f >（1）求(0)f 的值；（2）求证：()f x 在R 上是单调增函数；（3）若(2)2f =，且x 满足1()()(2)2f f x f ≤≤，求函数2212(2log )(2log )y f x f x =+的最大值和最小值.参考答案科目：数学（理科）考试时间：120分钟一．选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分；每小题四个选项中只有一个正确.）二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）综上所述43m ≤................12分 18、（1）当0x >时，2()2f x x x =-+，又()f x 为奇函数，则当0x <时，22()()(2)2f x f x x x x x =--=---=+，又(0)0f =故222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩..............6分（2）结合()f x 的图像，(1)1f -=-，由0()1a f a >⎧⎨=-⎩得12a =+.............7分当11a -<≤时，函数在[1,]a -单调递增，值域为[1,()]f a -又20,()2x f x x x >=-+，20,()2x f x x x <=+则10a -<≤时，值域为2[1,2]a a -+ 01a <≤时，值域为2[1,2]a a --+..............9分19、（1）23183,3)(,18)2(2=⇒=∴==++a a x x f a f Θ，()(3)424,[1,1]a x x x x g x x ∴=-=-∈-...............4分（2）()24,[1,1]x xg x x =-∈-，任取实数12,x x 满足1211x x -≤<≤ 11221122122121121222()()24(24)242422(2)(2)(22)(221)x x x x x x x x x x x x x x x x g x g x -=---=--+=-+-=-+-2x y =为单调递增函数，1211x x -≤<≤，则21220x x -> 12111122,2222x x x -≥=>≥，则11221x x +> 则12()()0g x g x ->，于是()g x 在[1,1]-上为单调递减函数...............8分 20、：（1）S ΔAEH ＝S ΔCFG ＝21x 2，S ΔBEF ＝S ΔDGH ＝21(a －x )(2－x )。