线性代数的应用举例和分析
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有一些问题可以追溯到周代 《周礼》的“六艺” 其中一门是“九数”
方程术：
今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗； 问上、中、下禾实一秉各几何？
设上、中、下禾各一秉打出的粮食分别为 x ,y,z 斗，则问题就是
（按：即今日代数中多元多次方程式，我国古代算经中早记 其法，天、地、人、物四字 即西方代数中Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ｗ四 未知数）。
黄蓉从腰间抽出竹棒，倚在郭靖身上，随想随在沙上书写， 片刻之间，将沙上所列的七 八道算题尽数解开。这些算题那女子 苦思数月，未得其解，至此不由得惊讶异常，呆了半 晌，忽问： “你是人吗？”黄蓉微微一笑，道：“天元四元之术，何足道哉？ 算经中共有一 十九元，‘人’之上是仙，明、霄、汉、垒、层、高、 上、天，‘人’之下是地、下、低、 减、落、逝、泉、暗、鬼。 算到第十九元，方才有点不易罢啦！”那女子沮丧失色，身子摇 了几摇，突然一交跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会， 忽然抬起头来，脸有喜 色，道：“你的算法自然精我百倍，可是 我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横 斜角，每三字 相加都是十五，如何排法？”
三、线性方程组的应用
❖ 3.1 《九章算术》中方程术 ❖ 3.2 文学作品中的方程组 ❖ 3.3 交通流量 ❖ 3.4 电路网络 ❖ 3.5 化学平衡方程式 ❖ 3.6 构造有营养的减肥食谱
3.1《九章算术》
❖ 从先秦到西汉中叶经众多学者编撰、修 改的一部数学著作
全书246个问题，分为9章： 方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、 盈不足、方程、勾股
1 1 1 1
A
3 3 1
0 2 1
3 2 2
4
21
其逆矩阵为：
9 1 1 7
A1
1 2
5 1219
1 1 1
1 3 3
5 1153
余则成和翠平共同约定：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，……25, 26
A B C D E F G H I J ,…… Y Z 另外，0表示空格，27表示句号，等等 于是例如密文： { 1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,0,20, 8,5,0,20,1,19,11,27 } 表示：ACCOMPLISH THE TASK
0
0
1
1
nn
n
各个页面的链入数目： c j gij i1
n
各个页面的链出数目： rj g ij j1
再定义矩阵A: Aaijnn
aijpg cijj
其p 中 0.8,51p
n
则A是Markov链的转移概率矩阵，可以证明：A的
最大特征值为1，相应的特征向量x满足
xAx
网页级别（PageRank）
对多达30多亿的网页进行重要性分析， 如果网页A链接到网页B，google 就认为“网页 A投了网页B一票”
G(gij)nn,其中 gig j ij1 ,若 0,否 i链则 到 j
G是一个巨大而稀疏的矩阵 n30108
1 0 1 1
0 1 0 1
G
1
1源自文库
1
0
线性代数的应用 举例和分析
线性代数的应用举例
❖ 一、搜索引擎 ❖ 二、矩阵在密码学中的应用 ❖ 三、线性方程组的应用
矩阵的英文怎么说？
matrix
[meitriks] n. (pl. matrixes, -trices [5meitrisi:z] ①(生物形成生长的)母体, 母体组织;【解】子宫 ②发源地, 策源地 ③【生】细胞间质, 基质 ④【矿】母岩, 杂矿石, 基岩;【地质】脉石, 填质; (岩石中化石等的)痕印 ⑤【冶】(合金的)基体 ⑥【刷】纸型, 字模 ⑦唱片模子 ⑧【数】阵, 矩阵, 真值表, 母式;【无】矩阵变换电路; 【语】主句、独立句
matrix
matrix
矩阵-----Matrix
a11
A
a21 am1
a12 a22 am2
a1n
a2n
amn
这两个人是谁？
1998年斯坦福大学两位博士生Larry Page 和
Sergey Brin 创立了Google.
Google搜索引擎
❖ Google的核心技术是通过
21 51
6 43
1440
1 13 19 8 1
3 3 15
16 12 9
8 0 20
5 0 20
19
11 27
为了使加密的保密性更强，用 于加密的矩阵A的阶数越大越好， 而且还得保证密码矩阵的元素都
是整数
原来是： { 1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,0,20, 8,5,0,20,1,19,11,27 } 也就是 ACCOMPLISH THE TASK
10 6 31 23 2
CAX512422
39 22 9
137 104 78
21 51
6 43
1440
简单！我用 A1 左乘收到的密文AX就行了
9 1 1 7 10 6 31 23 2
A1C
A1AX
1 5
2
19 21
1 1 1
1 3 3
5 54 1153 1222
39 22 9
137 104 78
则x是Markov链的平稳分布，也就是Google的PageRank.
这两个人是Larry Page 和 Sergey Brin
这两个人是谁？
二、矩阵在密码学中的应用
加密
原来的消息—明文
密文
当矩阵A可逆时，对 R n 中所有的X，等式
A1AX X
左乘以 A
X
AX
左乘以 A1
用可逆矩阵来加密
余则成和翠平都知道的密码矩阵是
3x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3z 26
解决方法：遍乘直除法 -------Gauss消去法
3.2 文学作品中的方程组
射 雕 英 雄 传
郭靖扶着黄蓉跟着过去，只见那内室墙壁围成圆形，地下满铺 细沙，沙上画 着许多横直符号和圆圈，又写着些“太”、“天元 ”、 “地元”、“人元”、“物元”等 字。郭靖看得不知所云，生怕 落足 踏坏了沙上符字，站在门口，不敢入内。黄蓉自幼受父亲 教导， 颇精历数之术，见到地下符字，知道尽是些术数中的难题，那 是算经中的“天元之 术”，虽然甚是繁复，但只要一明其法，也 无甚难处
然后加密：
把这个消息：ACCOMPLISH THE TASK 按列写成4×5矩阵X
1 13 19 8 1
X
3 135
16 12 9
8 0 20
5 0 20
19 2171
1 1 1 11 13198 1
CAX 3 31
0 2 1
3 2 2
43 16 8 5 19 2 11351922002002 17 1
方程术：
今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗； 问上、中、下禾实一秉各几何？
设上、中、下禾各一秉打出的粮食分别为 x ,y,z 斗，则问题就是
（按：即今日代数中多元多次方程式，我国古代算经中早记 其法，天、地、人、物四字 即西方代数中Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ｗ四 未知数）。
黄蓉从腰间抽出竹棒，倚在郭靖身上，随想随在沙上书写， 片刻之间，将沙上所列的七 八道算题尽数解开。这些算题那女子 苦思数月，未得其解，至此不由得惊讶异常，呆了半 晌，忽问： “你是人吗？”黄蓉微微一笑，道：“天元四元之术，何足道哉？ 算经中共有一 十九元，‘人’之上是仙，明、霄、汉、垒、层、高、 上、天，‘人’之下是地、下、低、 减、落、逝、泉、暗、鬼。 算到第十九元，方才有点不易罢啦！”那女子沮丧失色，身子摇 了几摇，突然一交跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会， 忽然抬起头来，脸有喜 色，道：“你的算法自然精我百倍，可是 我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横 斜角，每三字 相加都是十五，如何排法？”
三、线性方程组的应用
❖ 3.1 《九章算术》中方程术 ❖ 3.2 文学作品中的方程组 ❖ 3.3 交通流量 ❖ 3.4 电路网络 ❖ 3.5 化学平衡方程式 ❖ 3.6 构造有营养的减肥食谱
3.1《九章算术》
❖ 从先秦到西汉中叶经众多学者编撰、修 改的一部数学著作
全书246个问题，分为9章： 方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、 盈不足、方程、勾股
1 1 1 1
A
3 3 1
0 2 1
3 2 2
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其逆矩阵为：
9 1 1 7
A1
1 2
5 1219
1 1 1
1 3 3
5 1153
余则成和翠平共同约定：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，……25, 26
A B C D E F G H I J ,…… Y Z 另外，0表示空格，27表示句号，等等 于是例如密文： { 1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,0,20, 8,5,0,20,1,19,11,27 } 表示：ACCOMPLISH THE TASK
0
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各个页面的链入数目： c j gij i1
n
各个页面的链出数目： rj g ij j1
再定义矩阵A: Aaijnn
aijpg cijj
其p 中 0.8,51p
n
则A是Markov链的转移概率矩阵，可以证明：A的
最大特征值为1，相应的特征向量x满足
xAx
网页级别（PageRank）
对多达30多亿的网页进行重要性分析， 如果网页A链接到网页B，google 就认为“网页 A投了网页B一票”
G(gij)nn,其中 gig j ij1 ,若 0,否 i链则 到 j
G是一个巨大而稀疏的矩阵 n30108
1 0 1 1
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G
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1源自文库
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线性代数的应用 举例和分析
线性代数的应用举例
❖ 一、搜索引擎 ❖ 二、矩阵在密码学中的应用 ❖ 三、线性方程组的应用
矩阵的英文怎么说？
matrix
[meitriks] n. (pl. matrixes, -trices [5meitrisi:z] ①(生物形成生长的)母体, 母体组织;【解】子宫 ②发源地, 策源地 ③【生】细胞间质, 基质 ④【矿】母岩, 杂矿石, 基岩;【地质】脉石, 填质; (岩石中化石等的)痕印 ⑤【冶】(合金的)基体 ⑥【刷】纸型, 字模 ⑦唱片模子 ⑧【数】阵, 矩阵, 真值表, 母式;【无】矩阵变换电路; 【语】主句、独立句
matrix
matrix
矩阵-----Matrix
a11
A
a21 am1
a12 a22 am2
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这两个人是谁？
1998年斯坦福大学两位博士生Larry Page 和
Sergey Brin 创立了Google.
Google搜索引擎
❖ Google的核心技术是通过
21 51
6 43
1440
1 13 19 8 1
3 3 15
16 12 9
8 0 20
5 0 20
19
11 27
为了使加密的保密性更强，用 于加密的矩阵A的阶数越大越好， 而且还得保证密码矩阵的元素都
是整数
原来是： { 1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,0,20, 8,5,0,20,1,19,11,27 } 也就是 ACCOMPLISH THE TASK
10 6 31 23 2
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简单！我用 A1 左乘收到的密文AX就行了
9 1 1 7 10 6 31 23 2
A1C
A1AX
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则x是Markov链的平稳分布，也就是Google的PageRank.
这两个人是Larry Page 和 Sergey Brin
这两个人是谁？
二、矩阵在密码学中的应用
加密
原来的消息—明文
密文
当矩阵A可逆时，对 R n 中所有的X，等式
A1AX X
左乘以 A
X
AX
左乘以 A1
用可逆矩阵来加密
余则成和翠平都知道的密码矩阵是
3x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3z 26
解决方法：遍乘直除法 -------Gauss消去法
3.2 文学作品中的方程组
射 雕 英 雄 传
郭靖扶着黄蓉跟着过去，只见那内室墙壁围成圆形，地下满铺 细沙，沙上画 着许多横直符号和圆圈，又写着些“太”、“天元 ”、 “地元”、“人元”、“物元”等 字。郭靖看得不知所云，生怕 落足 踏坏了沙上符字，站在门口，不敢入内。黄蓉自幼受父亲 教导， 颇精历数之术，见到地下符字，知道尽是些术数中的难题，那 是算经中的“天元之 术”，虽然甚是繁复，但只要一明其法，也 无甚难处
然后加密：
把这个消息：ACCOMPLISH THE TASK 按列写成4×5矩阵X
1 13 19 8 1
X
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8 0 20
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