武汉 中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC

（1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）30.

【解析】

【分析】

（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.

【详解】

（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，

∴OE CD ⊥，

∴90CEO ∠=︒，

又∵OC BE ，

∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA

∵OE=OB ，

∴OEB OBE ∠=∠，

∴COE COA ∠=∠，

又∵OC=OC ，OA=OE ，

∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）

， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，

又∵AB 为⊙O 的直径，

∴AC 为⊙O 的切线；

（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，

∴OF=OB=BF=EF ，

∴OE=OB=BE ，

∴OBE ∆为等边三角形，

∴60BOE ∠=︒，

而OE CD ⊥，

∴30D ∠=︒．

故答案为30．

【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

2．已知O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点．

()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______

； ()2如图②，若m 6=．

①求C ∠的正切值；

②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积．

【答案】()130；()2C ∠①的正切值为34；ABC S 27=②或43225

. 【解析】

【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论；

()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论；

②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．

【详解】

()1如图1，连接OB ，OA ，

OB OC 5∴==，

AB m 5==，

OB OC AB ∴==，

AOB ∴是等边三角形，

AOB 60∠∴=， 1ACB AOB 302

∠∠∴==， 故答案为30；

()2①如图2，连接AO 并延长交O 于D ，连接BD ，

AD 为O 的直径，

AD 10∴=，ABD 90∠=，

在Rt ABD 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3tan ADB BD 4

∠∴==， C ADB ∠∠=，

C ∠∴的正切值为34

； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，

AC BC =，AO BO =，

CE ∴为AB 的垂直平分线，

AE BE 3∴==，

在Rt AEO 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=，

CE OE OC 9∴=+=，

ABC 11S AB CE 692722

∴=⨯=⨯⨯=；

Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，

连接OA 交BC 于F ，

AC AB =，OC OB =，

AO ∴是BC 的垂直平分线，

过点O 作OG AB ⊥于G ， 1AOG AOB 2∠∠∴=，1AG AB 32==， AOB 2ACB ∠∠=，

ACF AOG ∠∠∴=，

在Rt AOG 中，AG 3sin AOG AC 5

∠==， 3sin ACF 5

∠∴=， 在Rt ACF 中，3sin ACF 5

∠=， 318AF AC 55

∴==， 24CF 5

∴=， ABC 111824432S AF BC 225525

∴=⨯=⨯⨯=； Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC 432S 25

=．

【点睛】

圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

3．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．

（1）求证：∠ABD=2∠BDC；

（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；

（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）

9

2 DE=.

【解析】

【分析】

（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到

∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到

AB=22

AD BD

+=26，由相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，

则∠CAB=∠BDC=α，

∵点C为弧ABD中点，∴AC=CD，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；

（2）∵CH⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，

∵∠CAB=∠CDB，∴∠ACE=∠ADC，

∵∠CAE=∠ADC，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE；