04.圆轴的扭转

当在轴的右端作用一力偶 矩m时，圆轴各相邻截面之 间也都发生了绕各自截面轴 心的相对转（错）动。假设 圆轴不长，扭转变形又不是 很大，则纵向线在变形后仍 可近似地看成是一条直线， 只是倾斜了一个角度γ。
一、圆周扭转时的变形分析（续1）
2. 变形分析： 假想沿n-n和m-m两个相距dx的横截面将轴切取一薄
四指沿扭矩的方向屈起， 拇指的方向离开截面，扭 矩为正，反之为负。
三、横截面的内力矩——扭矩（续2）
3.扭矩正负号的规定：
（1）右手螺旋法则：
四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
（2）扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 （3）外力偶矩正负号的规定：
指向截面
与坐标轴同向为正，反向为负
' 量显然可以用弧线 ：c c 表示，其值为：
(书P54）
cc' Rd
n-n截面在b点处的 角应变：
g＝cc' R d (5-5)
dx dx
一、圆周扭转时的变形分析（续3）
观察截面n-n上距圆心为ρ处的bρ 点， 如左图，bρ点处的角应变：
g
＝
c c' dx
d
dx
(5-6)
d 表示扭转角沿轴线x的变化率，为两个截面相隔单
g
Mn
B
x
j
B'
1.受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小等，转向相反。
2.变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 3.扭转角：任意两截面间有相对的角位移，这种角位移
称为扭转角。
轴的概念
工程上，将以扭转变形为主要变形的构件通 称为轴。（对比：以弯曲为主要变形的构件在工 程上通称为梁)同时，多数轴是等截面直轴。
片（如图）。
可以发现：圆轴扭转时，在其各个相邻的横截面间均发 生了绕各自形心的相对转动。如果用dφ来表示n-n和mm这两个相邻横截面间所发生的相对转角，那么dφ/dx就 可以用来表达轴在n-n截面处的扭转变形程度。
一、圆周扭转时的变形分析（续2）
3.公式推导：
正是由于相邻的两个横截面之间发生了 绕各自行形心的相对转动，所以在每两个 横截面上各对对应点（譬如图中的b点和c 点）之间就会发生沿圆周弧线的相对错动， 这种对应点之间所发生的相对错动量，其 大小显然是和所讨论的点到形心的距离有 关，就b、c这一对对应点，它们相对错动
二、剪应力互等定理
1.剪应力互等定理推导：
因为周向线的大小、形状以及 周向线之间的距离均未改变，所以 圆筒的纵向和周向均没有线应变， 则沿纵向和周向就不可能有正应力， 沿半径方向也不可能有剪应力，从 横截面取出一个“单元体”（微小 正六面体），则只可能上、下、左、 右面有剪力作用；其应力分布如图 （d）， 当圆筒受到力矩T作用时：
dx 位长度时的扭转角，称为单位长度扭转角.
用符号表示，即＝ d
dx
对于同一截面上各点来说，是常量。
一、圆周扭转时的变形分析（续4）
4.横截面任意点的剪应力：
通过以上的变形分析，我们得到了横截面半径上任意 点处的剪应力变为：
g
＝
d
dx
(5-6)
上式表明：横截面半径上任意点处的剪应变γρ与该点 到横截面形心处的距离ρ成正比。
如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。
例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴
所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减
低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级
四轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成
是一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就 细一些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
应力的作用下，单元体的直角将发生微
g
小的改变，这个改变量g 称为剪应变
（也称为角应变）。
2.剪切虎克定律: 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪
应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克定律。
Gg （5-3）
剪切弹性模量
本节小结
扭转变形的实质是圆筒的各相邻横截面之间发生了 以圆筒轴线为回转中心的相对转动。剪切弹性模量G、 拉压弹性模量E以及横向变形系数μ都是表示材料弹性 性质的常数，它们可由试验确定。同时，在它们之间有 一定的关系，对于“各向同性”(在各个方向上的力学性能 和物理性能指标都相同的特性)的材料，它们之间的关系：
M 1 = -M B =-350N.m
M B + M C + M 2 =0 M D -M 3 = 0
M 2 =-M B -M C =-700N.m M 3 = M D = 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）
3)画扭矩图：
分析：对于同一根轴来说， M
若把主动轮A安置在轴的一端， 例如放在右端，则该轴的扭 矩图为：
'
1.剪应力互等定义：
两互相垂直截面上在的剪应力成对存在，且数值相等、符号相 反，均垂直于两截面的交线；称为：剪应力互等定理（剪力双生）。
2.纯剪切：
在相互垂直的面上只有剪力作用的受力情况称为：纯
剪切。
三、剪切虎克定律
1.剪应变:
从以上分析可知，受到扭转的薄壁圆
筒，各点都处于纯剪切状态，因此在剪
圆周扭转时横截面上各点的剪应变变化规律如下：
圆轴横截面上某一点的剪应变与该点到圆心的距离ρ 成正比。圆心处为零；圆轴表面最大；在半径为ρ的同一 圆周上各点的剪应变相等。
2.扭矩图：
用平行于轴线的 x 坐标表示横截面的位置，用垂直于
x 轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩
随截面位置变化的曲线，称为扭矩图。
例题：（参见“辅1”第10讲 7 . 8 .9）
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续1）
3.求解方法： 截面法求横截面的内 力
4.扭矩的正负：
右手螺旋法则： 以右手手心对着轴，
化工设备机械基础
第四章 圆轴的扭转
第四章 圆轴的扭转
主要内容：
一、了解圆轴扭曲的变形性质，应力分布。 二、熟悉圆轴扭曲时内力计算，刚度条件。 三、掌握圆轴扭曲的应力计算，强度条件。
扭转实例
当用改锥起螺钉时，在改锥
柄处受到一个力偶M的作用，
改锥下端则受到一个由螺钉 给它的等值反向力偶的作用。 这两个力偶所在的平面均与 杆的轴线垂直，改锥的这种 受力形式称为扭转。
3. 增加机器的转速，必定会使整个传动装置所传 递的功率加大，有可能使电机过载，所以不应随 意提高机器的转速。
本节小结
1.当轴传递的功率一定时，轴的转速越高，轴所受到的扭转力矩越 小。
2.当轴的转速一定时，轴所传递的功率将随轴所受到的扭转力矩的 增加而增大。
3.增加机器的转速，有可能使电机过载。
P[W ] M[N m] 2n
60
M[N m] P[W ]＝1000Pk ＝9550 Pk
2n 2n
n
60 60
§4-2 纯剪切、角应变、剪切虎克定律
一、薄壁圆筒的扭转（纯剪切） 二、剪应力互等原理 三、剪切虎克定律
一、薄壁圆筒的扭转
1.薄壁圆筒扭转时的应力:
(1)观察一个实验: a 将一薄壁圆筒表面用纵向平 行线和圆周线划分。
在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
四、n（转速）P（功率） M (扭矩）的关系(续）
P[W ] M[N m] 2n
60
1. 当轴的转数一定时，轴所传递的功率将随轴所 受到的扭转力矩的增大而增大。
2. 在设计时，选择减速机型或确定电动机的额定 功率时，应考虑整个操作周期中的最大阻力矩。
结论：传动轴上主动
—
350N.m
700N.m
446N.m +
X
M
A
轮和从动轮的安放位置
M
M
M
不同，轴所承受的最大
MB
C
D
x
扭矩(内力)也就不同。
T
显然，这种布局是不合 理的。
350N.m
700N.m
1146N.m
三. 外力偶矩的计算
1.公式推导：
由物理学可知，单位时间所作的功称为功率P，它等于力F和速度v的乘积： P=Fv，
2.圆轴扭转外力偶矩公式：（单位：KN*m）
（1） M=60*P/(2πn ) （5-1） （2） M=9.55*（P/n） （5-2）
三、外力偶矩的计算（续）
例 ：传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮
B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
离开截面
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续2）
例：主动轮A的输入扭矩M A = 1146 N.m，从动轮B、C、D输出
扭矩分别为M B =M C = 350 N.m ， M D = 446 N.m，试求传动
轴指定截面的扭矩，并做出扭矩图。
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩:
M 1+ M B = 0
解：计算外力偶矩：
MB
MC
MA
MD

B
C
MA
9550
PA n
1592N m
MB
MC
9550
PB n
477.5N m
MD
9550
PD n
637N m
A
D
四、 n（转速）P（功率） M (扭矩）的关系
M=60*P/(2πn )或 M=9.55*（P/n） （KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式即 可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出：