高教版数学分析第4版课件17-4

高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
2z x 2z y x z 2x
x2
s
x
y
s
s
x
s2
2z yx
x s
2z y2
y s
y s
z y
2y s2
2z x 2
2z x y
x2
s
2
xy s s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
z y
2y s2
.
同理可得
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) ( y0 y) ( y0 ).
用前面相同的方法, 又可得到
F ( x, y) f yx ( x0 3 x, y0 4 y) x y
( 0 3 ,4 1).
当 x, y 不为零时，由 (5), (6) 两式又得
fx y ( x0 1 x, y0 2 y) f y x ( x0 3 x, y0 4 y)
(0 1,2 ,3 ,4 1).
(7)
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
由定理假设 fx y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连 续, 故当 x 0, y 0时, (7) 式的两边的极限存
f y( x,0) x
f y (0,0)
x lim x0 x
1.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此
先按定义把 f x y ( x0, y0 ) 与 f y x ( x0, y0 ) 表示成极限形 式.
x t
y s
2z y y z 2x z 2y y2 s t x s t y s t ;
2z 2z . t s s t
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例3
设z
f
(
x,
x y
),
求
2z x2 ,
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例1 求函数 z 解 由于 z
e x2y ex2y
的所有二阶偏导数和 , z 2e x2 y ,
3z y x2
.
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x2y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
中值定理和泰勒公式
极值问题
高阶偏导数 由于 z f ( x, y) 的偏导数 fx ( x, y), f y ( x, y) 一般仍 然是 x, y 的函数, 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 存在, 说明 f 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏
导数有如下四种形式:
fxx(x, y)
2z x2
数学分析 第十七章 多元函数微分学
§4 泰勒公式与 极值问题
就本节自身而言， 引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰 劳公式除了用于近似计 算外, 又为建立极值判 别准则作好了准备.
一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式 三、极值问题
*点击以上标题可直接前往对应内容
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
x2
x3
f x3 ( x, y),
z 2z
y
x
2
x2 y
f x2 y ( x, y),
fx yx ( x, y), f x y2 ( x, y), f y3 ( x, y),
f y2 x ( x, y), f yx y ( x, y), f yx2 ( x, y).
数学分析 第十七章 多元函数微分学
fx yz ( x, y, z), fxz y ( x, y, z), f yz x ( x, y, z),
f y xz ( x, y, z), fz x y ( x, y, z), fz y x ( x, y, z)
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
这两个累次极限相等.
下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
定理17.7
若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续，则
fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) .
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
2z t2
2z x2
x t
2
2z 2
xy
x t
y t
2z y 2 z 2x z 2 y
y2
t
x
t2
y
t2
;
2z s t
2z x2
x s
x t
2z x
y
x s
y t
yx
x
x2
y2
(x2
y2 )2
,
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
注意 在上面两个例子中都有 2z 2z ,
xy yx 即先对 x、后对 y 与先对 y、后对 x 的两个二阶偏导
数相等. 但是这个结论并不对任何函数都成立，例如
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
y
3
z x
22yz2x
yy(22zexx2 y)x (42eexx22yy;)
2e
x
2
y
.
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例2 求函数 z arctan y 的所有二阶偏导数. x
在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式. 注1 若二元函数 f ( x, y) 在某一点存在直到 n 阶的 连续混合偏导数，则在这一点的所有 m (m n) 阶混
合偏导数都与求导顺序无关．
注2 这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立. 例 如三元函数 f ( x, y, z) 的如下六个三阶混合偏导数
lim
x0
f ( x0
x,
y0
y) x
f
( x0,
y0
y)
lim x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) x
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极值问题
f x y ( x0 ,
y0 )
lim lim
x(x4 4x2 y2 y4)
f
y
(
x,
y)
( x2 y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0; x2 y2 0, x2 y2 0.
f x y (0,0)
lim
y0
fx (0, y) y
f x (0,0)
y lim y0 y
Fra Baidu bibliotek
1,
f yx (0,0)
lim
x 0
y0x0
1 x
y
f ( x0 x, y0 y)
f ( x0 , y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) ; (1)
类似地有
1
f
y
x ( x0 ,
y0 )
lim
x0
lim
y0
x
y
f ( x0 x,
y0 y)
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ) . (2) 为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
x
z x
,
fx y(x, y)
2z x y
y
z x
,
2z z
f y x ( x,
y)
y x
x
y
,
2z z
fy y(x,
y)
y2
y
y
.
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
偏导数. 具体计算如下: z z x z y, z z x z y; s x s y s t x t y t
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§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
显然 z 与 z 仍是 s,t 的复合函数, 其中 z , z 是
s t
x y
x, y 的函数, x , x , y , y 是 s, t 的函数. 继续求 z s t s t
关于 s, t 的二阶偏导数:
2z s2
s
z x
x
s
z x
s
x s
s
z y
y s
z y
s
y s
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§4 泰勒公式与极值问题
解
因为
z x
y x2 y2
,
z y
x2
x
y2
,
所以二阶偏导
数为
2z x2
x
y x2 y2
2xy ( x2 y2 )2
,
2z x 2 x y
y2
y
x2
y2
(x2
y2 )2
.
2z x y
y
y x2 y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
,
2z x
x2 y2
中值定理和泰勒公式
极值问题
若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．
今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般
都假设相应阶数的混合偏导数连续．
复合函数的高阶偏导数 设
z f ( x, y), x (s,t), y (s,t).
若函数 f , , 都具有连续的二阶偏导数，则复合函 数 z f ((s,t), (s,t)) 对于 s, t 同样存在二阶连续
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中值定理和泰勒公式
极值问题
由于
f (x x, y) f (x, y)
f
x
(
x,
y)
lim
x0
x
,
因此有
f
x
y
(
x0
,
y0
)
lim
y0
f x ( x0 , y0
y) y
f x ( x0 , y0 )
lim 1 y0 y
( 0 1,2 1).
(5)
为了得到 f yx ,再令
( x) f ( x0 x, y) f ( x0, y),
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高阶偏导数
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极值问题
则有
F ( x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
(3)
证令
F ( x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 y) f ( x0, y0 ),
于是有 ( x) f ( x, y0 y) f ( x, y0 ).
F ( x, y) ( x0 x) ( x0) .
(4)
对 应用微分中值定理，1 (0, 1), 使得
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极值问题
( x0 x) ( x0 ) ( x0 1 x) x
[ f x ( x0 1 x, y0 y) f x ( x0 1 x, y0 ) ] x.
x2 y2
f (x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
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高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
其一阶偏导数为
f
x
(
x,
y)
y( x4 4x2 y2 ( x2 y2 )2
y4)
,
0,
2z .
xy
解 这里 z 是以 x, y 为自变量的复合函数, 它也可以
改写成如下形式:
z
f (u,v),
u
x, v
x y
.
由复合函数求导公式，有
z x
f u f u x v
v x
f u
1 y
f v
.
注意, 这里 f , f 仍是以 u, v 为中间变量, x, y 为 u v
又 fx ( x0 1 x, y) 作为 y 的可导函数, 再使用微分 中值定理，2 (0, 1), 使上式化为 ( x0 x) ( x0 ) fx y ( x0 1 x, y0 2 y) x y .
由 (4) 则有
F ( x, y) fxy ( x0 1 x, y0 2 y) x y
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为 混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
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高阶偏导数
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极值问题
z 3z
x