高教版数学分析第4版课件17-4

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数学分析PPT课件第四版华东师大研制第1章实数集与函数

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(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
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二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的左邻域
3. 令 a0 .a1a2 ,则是正规小数表示. 4. sup S.
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.

数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社

数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社1五、Γ函数与B函数Γ函数与B函数是含参变量的反常积分所定义的非初等函数，它们在数学、物理、经济中有广泛的应用．（一）Γ函数（Gamma函数）函数10()某某ed某αα+∞--Γ=称为Γ函数．由§12.2例7（书中P270）知，()αΓ的定义域为0α>．1．()αΓ在区间(0,)+∞连续．事实上，1`111001()某某某某ed某某ed某某ed某αααα+∞+∞------Γ==+．12(0,),,ααα∈+∞使120ααα<≤≤．111(0,1],某某某某e某eαα----∈≤；211[1,),某某某某e某eαα----∈+∞≤．已知瑕积分111100某某ed某αα--<（）与无穷积分211某某ed某α+∞--都收敛，由M判别法知，无穷积分10某某ed某α+∞--在区间12[,]αα一致收敛，而被积函数1某某eα--在区域12(0,)D某ααα<<+∞≤≤连续，根据本节定理9，Γ函数在12[,]αα连续，于是，Γ函数在点α连续，从而在(0,)+∞连续．2．Γ函数在(0,)+∞内可导．用与上述相似的方法可证明Γ函数在(0,)+∞内可导，且10()ln(0)某某e某d某ααα+∞--'Γ=>．3．递推公式：0,α>有(1)()αααΓ+=Γ．0α>，有10000(1)()某某某某某ed某某de某e某ed某αααααααα+∞+∞+∞---+∞--Γ+==-=-+=Γ．设1,nnnNα+<≤+∈，逐次应用递推公式，有(1)()(1)(1)(1)()()nnααααααααααΓ+=Γ=-Γ-==--Γ-，而01nα<-≤．由此可见，只要知道Γ函数在1](0，的函数值，由递推公式就能计算任意正数α的函数值()αΓ．在数学手册（人民教育出版社，1979版）中给2出的是[1,2)上的Γ函数的值．例12(3.65)2.651.65(1.65)Γ=Γ，查表知，(1.65)0.9001Γ=，带入上式，得(3.65)2.651.65(1.65)2.651.650.90013.9357Γ=Γ=≈．若求(0.65)Γ，则(1.65)0.9001(1.65)0.65(0.65),(0.65)1.38480.650.65ΓΓ=ΓΓ==≈．当,nnNα+=∈，有(1)()(1)(1)(1)1(1)!nnnnnnnnnΓ+=Γ=-Γ-==-Γ=，即0(1)!n某nn某ed某+∞-Γ+==．（二）B函数函数1110(,)(1)pqpq某某d某--B=-称为B函数．已知(,)pqB的定义域为(0,0)Dpq<<+∞<<+∞（见§12．2中例8，P271）。

工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-4.5函数的微分

问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在取
得增量 x 时, 面积的增量为 x0x
关于△x 的线 x 0时为
x0x
性主部
高阶无穷小
故
称为函数在 x0 的微分
§4.5 函数的微分定义
§4.5 函数的微分定义
§4.5 函数的微分定义
§4.5 函数的微分定义
前节知识回顾定义几何意义与物理意义微分的性质高阶微分
本节小结
§4.5 函数的微分微分的性质
§4.5 函数的微分微分的性质
§4.5 函数的微分微分的性质
授课内容
前节知识回顾定义几何意4.5 函数的微分高阶微分
§4.5 函数的微分高阶微分
授课内容
前节知识回顾定义几何意义与物理意义微分的性质高阶微分
本节小结
§4.5 函数的微分几何意义与物理意义
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
当 x 很小时,
记自变量的微分, 记作则有
dy
yy f (x)
y
o
x0
x
x0 x
从而
导数也叫作微商
§4.5 函数的微分几何意义与物理意义
授课内容
工科数学分析教程（上）
§4.5 函数的微分
授课内容
前节知识回顾定义几何意义与物理意义微分的性质高阶微分
本节小结
上节课内容回顾
授课内容
前节知识回顾微分的定义几何意义与物理意义微分的性质高阶微分
本节小结
§4.5 函数的微分定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由变到

数学分析PPT课件第四版华东师大研制第5章导数和微分

意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
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由此可知, f (x0) 0 说明是锐角; f (x0) 0 说
明是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
点击上图动画演示
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证当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有

《数学分析》第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入.))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.2．全微分:例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1二. 偏导数:1. 偏导数的定义、记法:2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1.3. 求偏导数:例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 .例5 设 . 0, 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)sin cos (lim ),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f=)0,0(0)sin cos (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 200y y y yf y f y y →→=-= 不存在 .Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .三. 可微条件:1. 必要条件:Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微⇒) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆. (证)由于dy y dx x =∆=∆ , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例6 考查函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. [1]P 110 E5 .2. 充分条件:Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) [1]P 111 Th 3 若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点) , (00y x 可微.证 f y y x x f -∆+∆+) , (00) , (00y x[][]) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 0 1,0 ),() , (0000→<<∆+∆+∆∆+∆+=αθαθx x y x f y y y x x f x y []x x y x f y y x f x y ∆+∆+∆+=αβ),(),(0000 0→β y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=βα) , () , (0000.即f 在点) , (00y x 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例7 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 , 0, 0 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (可微, 但x f 和y f 在点) 0 , 0 (处不连续 . 证).0 , 0(),( , 01sin),(2222→→++=y x yx y x y x f ρ因此)(),(ρο=y x f ,即 )(00)0,0(),(ρο+∆+∆=-y x f y x f ,f 在点)0 , 0(可微,0)0,0( , 0)0,0(==y x f f . 但≠),(y x ) 0 , 0 (时, 有2222221cos1sin2),(yx y x x yx x y x f x ++-+=,沿方向,kx y = 2221||limlimkx xy x x x x +=+→→不存在, ⇒沿方向,kx y = 极限22221cos limyx y x x x ++→不存在; 又→),(y x ) 0 , 0 (时, 01sin222→+yx x ,因此,),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在, x f 在点) 0 , 0 (处不连续.由f 关于x 和y 对称,y f 也在点) 0 , 0 (处不连续 .四. 中值定理:Th 4 设函数f 在点) , (00y x 的某邻域内存在偏导数. 若),(y x 属于该邻域, 则存在)(010x x x -+=θξ和)(020y y y -+=θη, 10 , 1021<<<<θθ, 使得))( , ())( , (),(),(00000y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ. ( 证 ) 例8 设在区域D 内0==y x f f . 证明在D 内c x f ≡)(.五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义. [1]P 115.Th 5 曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 存在不平行于Z 轴的切平面的充要条件是函数),(y x f 在点),(000y x P 可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，则曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 处的切平面方程为 (其中),(000y x f z =)))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-，法线方向数为()1 , ),( , ),( 0000-±y x f y x f y x ，法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x . 例9试求抛物面 22by ax z +=在点),,(000z y x M 处的切平面方程和法线方程 .[1] P 115 E63.作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.例10 求96.308.1的近似值. [1] P 115 E7例11 应用公式C ab S sin 21=计算某三角形面积.现测得50.12=a , 30 , 30.8==C b . 若测量b a , 的误差为C , 01.0±的误差为1.0± . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. [1] P 116 E8 Ex [1]P 116—117 5—14 ；§ 2复合函数微分法（ 5 时）简介二元复合函数 : ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P 327—328 . ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===;, ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=;, ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微, 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s ty yz tx xz tz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ( 证 ) [1] P 155称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P 156的例.对外m 元),,,(21m u u u f , 内n 元),,,(21n i k x x x u φ= ) , , 2 , 1(m k =, 有∑=∂∂∂∂=∂∂mk ikk i x u u f x f 1 ， n i , , 2 , 1 =. 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 y x v e u v u z y x +==+=+22 , , )ln(2. 求x z ∂∂和y z∂∂. [1] P 157 E1 例2 22uv v u z -=, y x v y x u sin , cos ==. 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例3 ())3(222y x yx z ++=, 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例4 设函数),,(w v u f 可微 . ),,(),,(xyz xy x f z y x F =. 求x F 、y F 和z F . 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :ⅰ> xx y = ; ⅱ> xx xx y cos sin ln )1(2++= . [1] P 158 E4例6 设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换θθsin , cos r y r x ==下 , 证明222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ. [1] P 157 E2 例7 设函数)(u f 可微 , )(22y x yf z -=. 求证xz yzxy x z y=∂∂+∂∂2. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8 )sin(y x e z xy+=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出x z ∂∂和yz∂∂. [1] P 160 E5Ex [1]P 160—161 1—5.三. 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法：例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z∂∂∂. [1]P 167 E1 例10 xyarctgz =. 求二阶偏导数. [1]P 167 E2 2. 关于混合偏导数: [1]P 167—170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , [1]P 171例11 ) , (y xx f z =. 求22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. [1]P 171 E34. 验证或化简偏微分方程:例12 22ln y x z +=. 证明22x z ∂∂ + 22y z∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu y y u x变为极坐标形式. 解 xyarctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.r xy x x xr =+=∂∂22, r y y r =∂∂ , 2ry x -=∂∂θ ,2r x y =∂∂θ. θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ur y r u r x x u x r r u x u 2, θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r x r u r y y u y r r u y u 2; 因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂uu ry x u r y r u r xy u r x r u r xy x u y y u x 2222222 . 方程化简为0=∂∂θu. 例14 试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu y x u x u 化为02=∂∂∂ts u. 解tus u x t t u x s s u x u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ , t u b s u a y t t u y s s u y u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 22x u ∂∂=x∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt∂∂= =22s u∂∂+2t s u ∂∂∂2+22t u ∂∂.y x u ∂∂∂2=y∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt∂∂= =22s ua ∂∂+)(b a +t s u ∂∂∂2+b 22tu ∂∂.22y u ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22t u ∂∂. 因此 , =∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yuy x u x u)341(2a a ++=22s u ∂∂ + ()6442ab b a +++t s u ∂∂∂2 + )341(2b b ++22t u ∂∂. 令 03412=++a a , 1 , 31 , 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a 或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u 化简为02=∂∂∂t s u .Ex [1]P 183 1，2 .§3 方向导数和梯度（ 3 时）一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义.l 为从点0P 出发的射线.),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点,以ρ表示P 与0P 两点间的距离.若极限 ρρρρfP f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在,则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数,记为P lf ∂∂或)(0P f l 、),,(000z y x f l .对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数. 易见,x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中ⅰ> l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; ⅱ> l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解 ⅰ> l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即)0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x .3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ,37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 ,.3137lim )()(lim 23000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f lft P ρρ ⅱ> 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 ,.1051059lim )()(lim 2000-=-=-=∂∂++→→tt t P f P f lft P ρρ2. 方向导数的计算:Th 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微, 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在, 且 =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦. ( 证 ) [1]P 163对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注：由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )(⋅αcos , βcos , γcos ),可见, )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影.例2 ( 上述例1 )解 ⅰ> l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31.)(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z .因此 ,l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+. ⅱ> l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 ,l f∂∂=10510321011-=⋅-⋅.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例3 [1]P 164 E2 .二. 梯度 ( 陡度 ):1. 梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf =()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见, 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算:ⅰ> grad =+)(c u grad u .ⅱ> grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .ⅲ> grad (u v ) = u grad v +v grad u .ⅳ> grad 2uvgradu ugradv u v -=. ⅴ> grad f (u ) = gradu u f )('.证ⅳ> 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv uy x y x []=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -.Ex [1]P 165 1，2 ，3 ，6 .§4 Taylor 公式和极值问题（ 4 时）一．中值定理：凸区域 . Th 1 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续, 在D 的所有内点处可微. 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++. 证令 , ) , ()(tk b th a f t ++=Φ.在闭凸区域上的情况: [1]P 173—174.推论若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二. Taylor 公式:Th 2 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数, 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ 证 [1]P 175 例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.) 08.1 (96.3 [1]P 175—176 E4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 [1]P 176 E5Ex [1]P 183 5，6，7⑴⑷.2．极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设0P 为函数)(P f 的极值点. 则当)(0P f x 和存在时,有)(0P f x =)(0P f y 0=. (证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a . ⅰ> ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;ⅱ> ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .ⅲ> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式, 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;ⅱ> 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;ⅲ> 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;ⅳ> 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上, 有以下定理.Th 4 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数, 0P 是驻点. 则ⅰ> ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点; ⅱ> ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;ⅲ> ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;ⅳ> ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例3—7 [1]P 179—182 E6—10 .四．函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f . 在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y , 2)1,0(=f ; 在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点;在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f ,驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=.Ex [1]P 184 8⑴⑵，9⑴⑵，10，11 .。

数值分析第四版第四章数值积分与数值微分精品PPT课件

b
n
b
R( f ) f (x)dx a
在a,b内存在一点 ,使得
b
I ( f ) f (x)dx (b a) f ( )
a
f ?
称 f 为 f x 在区间 a,b上的平均高度.
3、求积公式的构造
➢ 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：
左矩形公式： I f f ab a
中矩形公式：Biblioteka nAk b ak 0
n
k 0
Ak xk
1 2
b2 a2
n
k 0
Ak
xk m
1 m 1
bm1 am1
§2 插值型求积公式
一、定义
在积分区间 a,b上，取 n 1个节点 xi , i 0,1, 2,..., n
作f x 的 n 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:
2 式（两点求积公式）
I f f a f b b a
2
y
f b
f a Oa
f x
bx
➢
若取三点，a,b, c
ab 2
并令 f
f
a4 f
c
f
b
6
则可得Simpson公式(三点求积公式)
I f b a f a 4 f c f b
6
➢ 一般地，取区间 a,b 内 n 1 个点xi,i 0,1, 2,..., n
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达式相当复杂,计算极不方便.
例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
1 x 2 2x 2 3 3 x 2x 2 3 9 ln( 2 x 2x 2 3 )

华东师大第四版数学分析上册课件

数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等，它具有广泛的应用价值。

数学分析PPT课件第四版华东师大研制第7章实数的完备性

a1 a2 an bn b2 b1.
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定理7.1(区间套定理) 若 {[an , bn ]} 是一个区间套,
则存在唯一的实数 , 使
或者
[an , bn ], n 1, 2, ,
{ } [an , bn ].
a1a2 anan1
n1
( 注意 : 这并不能说明
lim
n
an
aN .)
x
aN aN aN
令
1, 2
存在N1,
n
N1
时,an
(aN1
1, 2
aN1
1 ), 2
取 [a1,
b1] [
aN1
1, 2
aN1
1 2
]. 令
1 22
,
存在
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N2( N1 ), n N 2 时,
1
1
an [aN2 22 , aN2 22 ],
§1 关于实数集完备性的基本定理
在第一章与第二章中, 我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.
| an A | | an anK | | anK A | 2 ,
所以
lim
n
an
A.
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定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H为一些开区间
的集合(即 H 中的元素均为形如 ( , ) 的开区间 ).
若对于任意 x S, 都存在 ( , ) H , 使 x ( , ),

17-1 数学分析全套课件

z
P•
O
dh Q•
S
y x
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例1 试求抛物面 z a x2 b y2 在点 P( x0, y0, z0 ) 处的切平面方程与法线方程，其中 z0 a x02 b y02 .
例2 曲面z ( x2 y2 ) 3 在何处的切平面平行
于平面2x 2 y z 0，写出切平面方程
y0 )
fx ( 0x0,, y0x)2x
x2 y2
在 (0, 0)的连续性与可微型
y
2f
y ( 0x0 , y0
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)y
后页
0
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本次课内容
z f ( x, y) 在 ( x0 , y0 )可微定义 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 )
A x B y o( ),
（1） fx ( x0 , y0 )与 fx ( x0 , y0 ) 存在
（2） lim (x,y )(0,0)
f ( x0 ,
y0 )
fx ( x0 , y0 )x x2 y2
f y ( x0 ,
y0 )y
0
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f x ( , y) ( x x0 ) f y ( x0,) ( y y前0 )页. 后页返回
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定理 17.4 曲面 z f ( x, y) 在点 P( x0, y0, f ( x0, y0 )) 存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是: 函数 f 在点 P0( x0 , y0 ) 可微. 此时，切平面方程为
z z0 fx ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ),
f

... 确界原理数学分析(华师大四版)课件高教社ppt .

一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<o点的空心邻域；(;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域；(;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域；(;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域；(;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；.；max :S S 数集的最大值min :S S 数集的最小值后退前进目录退出定义1有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即即即[]102[]1,M x M M +=>+>取证取L = 1,{2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1例22+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故S 有下界.因此S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2注1由定义,下确界是最大的下界.注4(ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明是的一个上界, S η比小的数都不是的上界,从而是最小的上界S ηη界,条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证先证sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明L .0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的存在性, 不一定有最小值, 例如(0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4.inf sup B A ≤且证明：数集A 有上确界，数集B 有下确界，由定义, 上确界sup A 是最小的上界, 因此, 任意证由假设, B 中任一数y 都是A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤y . 而inf B 是最大的下界, 因此sup A ≤inf B.一数x 都是B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确这样, sup A 又是B 的一个下界,例5,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有,sup S x ≤于是.sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中,S x ∈必有,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在,0S x ∈使0sup ,x S ε'>-因此0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界..sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证设sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是0001,.y B y x ε=∈<且因此inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集S 有上界，则S 的所有上界组成的集合是否3. 在上确界的定义中，00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。

数学分析PPT课件第四版华东师大研制第17章多元函数微分学

f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 ). (3) 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式：
z Ax B y x y,
(4)
这里 lim lim 0.
(x,y) (0,0)
(x,y) (0,0)
前页后页返回
例1 考察 f ( x, y) x y 在任一点 ( x0, y0 ) 的可微性.
(8)
定理17. 1 的应用: 对于函数
f (x, y) x2 y2,
由于 f ( x,0) | x |, f (0, y) | y |, 它们分别在 x 0
与 y 0 都不可导，即 f x (0,0) 与 f y (0,0) 都不存在 , 故 f ( x, y) 在点 (0,0) 不可微 .
d f y0 x x0 y.
前页后页返回
二、偏导数
由一元函数微分学知道: 若 f ( x) 在 x0 可微, 则增量 f ( x0 x) f ( x0 ) A x o( x), 其中 A f ( x0 ). 现在来讨论: 当二元函数 f ( x, y) 在点 ( x0, y0 ) 可微
fx(x, y)
或
f (x, y)
x
fy(x, y)
或
f
( x, y
y)
,
也可简单地写作 fx , zx , 或
f x
fy,
zy,
或
f y
.
偏导数的几何意义: z f ( x, y) 的几何图象通常是
三维空间中的曲面, 设 P0( x0 , y0 , z0 ) 为此曲面上一
点, 其中 z0 f ( x0 , y0 ) . 过点 P0 作平面 y y0 , 它与曲面相交得一曲线：

工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-3.1 数值函数

§3.1 数值函数函数的图形
§3.1 数值函数奇偶函数
§3.1 数值函数有界函数
§3.1 数值函数有界函数
§3.1 数值函数无界函数
§3.1 数值函数函数确界
§3.1 数值函数函数确界
§3.1 数值函数单调函数
§3.1 数值函数单调函数
§3.1 数值函数周期函数
工科数学分析教程（上）
第3章函数的极限与连续性 §3.1 数值函数
本章导读
数值函数
授课内容
本节小结、作业
本章导读
学什么内容为什么学有何建议
本章导读
数值函数
授课内容
本节小结、作业
§3.1 数值函数概念
§3.1 数值函数函数相等
§3.1 数值函数函数运算
§3.1 数值函数初等函数
§3.1 数值函数反函数
§3.1 数值函数反函数
§3.1 数值函数反函数
§3.1 数值函数隐函数
§3.1 数值函数参数方程式函数
பைடு நூலகம்
§3.1 数值函数极坐标
§3.1 数值函数极坐标
§3.1 数值函数极坐标
§3.1 数值函数常见曲线
§3.1 数值函数常见曲线
§3.1 数值函数常见曲线
§3.1 数值函数常见曲线
§3.1 数值函数常见曲线
§3.1 数值函数常见曲线
本章导读
数值函数
授课内容
本节小结、作业
§3.1 数值函数
作业：作业册对应章节

17-4——华东师范大学数学分析课件PPT

高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例1 求函数 z 解由于 z
e x2y ex2y
的所有二阶偏导数和 , z 2e x2 y ,
3z y x2
.
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x2y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
y
3
z x
22yz2x
yy(22zexx2 y)x (42eexx22yy;)
2e
x
2
y
.
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
例2 求函数 z arctan y 的所有二阶偏导数. x
x2 y2
f (x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
数学分析第十七章多元函数微分学
高等教育出版社
§4 泰勒公式与极值问题
高阶偏导数
中值定理和泰勒公式
极值问题
其一阶偏导数为
f
x
(
x,
y)
y( x4 4x2 y2 ( x2 y2 )2
y4)
,
0,
极值问题
其中f xy，f y x这两个既有x，又有y的高阶偏导数称为混合偏导数. 类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
数学分析第十七章多元函数微分学

数学分析第十七章多元函数微分学

1.04
2.02
f (1.04,2.02)
f (1,2) f x (1,2)x f0 0.02 1.08.
课堂练习: P116, 12
小结
1、理解可微和全微分的概念，会证明可微性； 2、掌握偏导数定义和计算，会求全微分； 3、了解可微的必要条件和充分条件，及其有关例子；
这个例子说明: 函数即使在一点偏导数存在, 也不一定在该点可微 (但一元函数在一点可微与导数存在等价 ).
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2). 作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
定理 1 7.2(可微的充分条件) 若函数f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内存在偏导数, 且f x与f y在点( x0 , y0 )处连续, 则函数f在该点可微.
因此, f在( x0 , y0 )的全微分(2)可唯一地表示为 df |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y.
因 dx x, dy y, 故全微分可写为 dz |( x , y ) f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy.
下面证明过P0的平面 Z z0 f x ( x0 , y0 )( X x0 ) f y ( x0 , y0 )( Y y0 ) 就是z f ( x, y )在P0的切平面。事实上，
h z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) 1 f x2 ( x0 , y0 ) f y2 ( x0 , y0 )
它是关于x的一元函数z f ( x, y0 )在x x0处的导数.

数学分析--导数 ppt课件

数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。
定义 2 设函数 y f (x) 在点 x0 的某右邻域 (x0 ,x 0 δ)上有定义，若右
极限或
l i m Δ y l i m f ( x0 Δ x ) f ( x0 ) (0＜ x ＜ )
Δ x Δx 0
理 5.1， f(x) x 在 x x 0 0 处不可导。
当 x0 0 时，由于 D(x) 为有界函数, 因此得到
f(0)
lim
f(x)
f(0)
li
mxD(x)
0.
x0 x 0
x 0
ppt课件
下页 18
（二）函数在一点的单侧导数
类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函
dx
dx
运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，相应于上述各种
表示导数的形式，f |x x 0 或
dy dx
|xx0
。
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下页 23
例 6 证明：
(i) ( xn ) nxn1, n 为正整数 ;
(ii) (sinx) cosx , (cosx) sinx
(iii)
y 1
－1/π
0
1/π
x
ppt课件
下页 22
（三）导函数若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 f
为 I 上的可导函数。此时对每一个χ∈I，都有 f 的一个导数 f '(x) （或单侧导数）与之
对应，这样就定义了一个在 I 上的函数，称为 f 在 I 上的导函数，也简称为导数，记作

(完整版)数学分析第四版上册(20200809210036)

第一章实数集于函数
§1 实数
数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数。

为此，我们先简要叙述实数的有关概念。

一实数及其性质
在中学数学课程中，我们知道实数由有理数与无理数两部分组成。

有理数可用分数形式??
(p,q为整数，q≠0)表示，也可用有限十进制
??
小数或无限十进制循环小数来表示；而无限十进制不循环小数则称为
无理数。

有理数和无理数统称为实数。

为了一下讨论的需要，我们把有限小数（包括整数）也表示为无
限小数。

对此我们做了如下规定：对于正有限小数（包括正整数）x,当x=??0·??1??2…????时，其中0≤????≤9,i=1,2,…,n,????≠0,??0为非负整数，记
x=??0·??1??2···
(????-1)999 9…,
为正整数时，则记
而当x=??
x=(??0-1).999 9…,
例如 2.001记为 2.000999 9…；对于负有限小数（包括负整数）y，则先将-y表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为-7.999 9…；又规定数0表示为0.000 0….于是，任何实数都可用一个确定的无限小数表示。

高教版数学分析第4版课件17-4

数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第1章 实数集与函数

数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社

工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-4.5函数的微分

数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分

《数学分析》第十七章 多元函数微分学

最新数学分析第4章PPT课件